第三章 §1 1.1 椭圆及其标准方程.ppt
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课件1：3.1.1 椭圆及其标准方程
且m≠n).
(3)找关系：依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组. (4)得方程:解方程组,将a,b,c或m,n代入所设方程即为所求. 提醒:焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形式也不同.
习练·破
已知方程
x2 m2
y2 m2
=1表示焦点在x轴上的椭圆，
则m的取值范围是 ( )
A.m>2或m<-1
设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=6①，
由余弦定理得，cos∠PF1F2=
m2 16 n2 2m 4
1 2
,
即m2-n2-4m+16=0②，
由①②解得m= 5，n 7 ,
2
2
故△PF1F2的面积是
1 2
m
|
F1F2
|
sin
60
1 2
5 2
4
3 5 3. 22
【答案】D
类题·通 1.椭圆定义的应用 (1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化. (2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体， 求解定值问题.
3.1.1 椭圆及其标准方程
必备知识·素养奠基
1.椭圆的定义 (1)文字语言：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_常__数__ (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)集合语言：P={M||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|}.
36 27
课堂检测·素养达标
1.方程 x 22 y2 x 22 y2 =10化简的结果是 ()
A. x2 y2 1 25 16
x2 C.
y2
1
数学第三章1.1椭圆及其标准方程课件(北师大版选修2-1)
25 9
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程 为ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)．
由于椭圆经过点 (0， 2)和 (1， 0)，
∴
a42＋b02＝ a02＋b12＝
11， ，∴ab22＝ ＝
4， 1.
故所求椭圆的标准 方程为y2＋ x2＝ 1. 4
【名师点评】 本例中的解法体现了求椭圆 方程的一般方法，通过“定位”与“定量” 两个过程可求得所求椭圆的方程．
93
法二：由已知,设椭圆的方程是 Ax2＋By2＝1
(A>0， B>0， A≠ B)，
故6A＋B＝1， ⇒ 3A＋2B＝1，
A＝1， 9
B＝ 1， 3
即所求的椭圆的标 准方程是x2 ＋y2 ＝ 1. 93
椭圆定义及标准方程的应用
已知椭例圆2的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)， P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等 差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积．
第三章 圆锥曲线与方程
•§1 椭 圆 •1．1 椭圆及其标准方程
学习导航
学习目标
重点难点 重点：椭圆的定义及其标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导过程．
新知初探思维启动
1.椭圆的定义 (1)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
25 16
4.若方程xa22－ya2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 a 的取值范围是______． 解析：∵a2>0，xa22－ya2＝1 即xa22＋－y2a＝1， ∴－a>a2，－1<a<0.
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程 为ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)．
由于椭圆经过点 (0， 2)和 (1， 0)，
∴
a42＋b02＝ a02＋b12＝
11， ，∴ab22＝ ＝
4， 1.
故所求椭圆的标准 方程为y2＋ x2＝ 1. 4
【名师点评】 本例中的解法体现了求椭圆 方程的一般方法，通过“定位”与“定量” 两个过程可求得所求椭圆的方程．
93
法二：由已知,设椭圆的方程是 Ax2＋By2＝1
(A>0， B>0， A≠ B)，
故6A＋B＝1， ⇒ 3A＋2B＝1，
A＝1， 9
B＝ 1， 3
即所求的椭圆的标 准方程是x2 ＋y2 ＝ 1. 93
椭圆定义及标准方程的应用
已知椭例圆2的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)， P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等 差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积．
第三章 圆锥曲线与方程
•§1 椭 圆 •1．1 椭圆及其标准方程
学习导航
学习目标
重点难点 重点：椭圆的定义及其标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导过程．
新知初探思维启动
1.椭圆的定义 (1)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
25 16
4.若方程xa22－ya2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 a 的取值范围是______． 解析：∵a2>0，xa22－ya2＝1 即xa22＋－y2a＝1， ∴－a>a2，－1<a<0.
3-1-1椭圆及其标准方程课件-人教A版高中数学选择性必修第一册
P到另一个焦点的距离为
.
练习
贝
,c=3,
故椭圆的标准方程
例题
例1.已知椭圆的两焦点为F₁ (2,0)、F₂ (-2,0),并且椭圆过
点
,求椭圆的标准方程。
解：因为椭圆焦点在x轴上，可设其方程为 由椭圆得定义可知c=2
所以a=√ 10 所以b²=a²-c²=10-4=6 故椭圆得标准方程为
思考：你还能用其他 方法求它的标准方程 吗?试比较不同方法 的特点。
所以
所以椭圆的方程为5x²+4y²=1
故椭圆得标准方程为
归纳
求椭圆标准方程的方法 当焦点位置不确定时，
可设椭圆方程为mx ²+ny²=1(m>0,n>0,m≠n). 因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类 情况，所以可以避免分类讨论，从而到达了简化运算的 目的 .
例题
例2 在圆x²+y²=4 上任取一点P, 过 点P向x轴作垂 线段PD,D 为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD中点
相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M的轨
迹方程。
解：设点M(x,y),因为点A(-5,0),B(5,0) 所以直线AM得斜率为
直线BM 得斜率为
所以
所以点M 得轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点得椭圆
小结
标准方程
不同点
图形
V x
焦点坐标
共同点
定义
平面内与两定点F₁ 、F₂的距离的和等于常 数(大于|F₁F₂ I)的点的轨迹叫做椭圆.
新知
焦点在x 轴上，坐标为F(-c,0),F₂(c,0)
椭圆的标准方程
即
2
思考：如 何 推 导 焦 点 在y轴 上的椭圆的标准方程呢?
人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第一课时椭圆及其标准方程 课件(共53张PPT)
人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第一课时椭圆及其标准方程课件（共53张PPT）(共53张PPT)希腊几何学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)最重要的著作是《圆锥曲线论》．著作中将3种圆锥曲线命名为椭圆、抛物线、双曲线的做法便出自该书(分别出自第1卷的命题11,12,13)．《圆锥曲线论》的阿波罗尼奥斯是一位重量级人物．据公元6世纪的希腊数学家欧托修斯(Eutocius)“转发”的公元前1世纪的数学家杰米纽斯(Geminus)的记述，阿波罗尼奥斯被其同时代人称为“大几何学家”；美籍比利时裔科学史学家乔治·萨顿(George Sarton)则称阿波罗尼奥斯为阿基米德之后一个时期里唯一可与阿基米德比肩的几何学家．《圆锥曲线论》的影响却是深远的．后世的知名数学家如吉拉德·笛沙格(Girard Desargues)、布莱兹·帕斯卡(Blaise Pascal)、皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)、詹姆斯·格雷果里(James Gregory)等都直接间接地受过它的影响．著名天文学家约翰内斯·开普勒(Johannes Kepler)更是用圆锥曲线奠定了行星运动定律的基础，并为牛顿万有引力定律的发现埋下了伏笔．阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》虽久已淡出多数人的视野，却完成了很辉煌的历史使命.1.加强对基础知识、基本方法的梳理，要在理解的基础上熟练掌握．虽然高考对圆锥曲线的考查要求较高，但也不回避常规题型，因此必须熟练掌握解决有关圆锥曲线问题的通性通法.2. 重视圆锥曲线的定义在解题中的应用，掌握推导圆锥曲线标准方程的方法.3. 注意平面几何知识的应用．解析几何是用代数的方法解决几何问题，因此在解决有关圆锥曲线问题时，要注意数形转化思想的应用．具体应用时，要综合考虑数转化为形、形转化为数、数转化为数、形转化为形等多种角度，避免思维固化.4. 加强运算能力的同时，关注一些常见的运算技巧．解决圆锥曲线问题的常规思路，一般从几何入手再转化为代数运算．这样最终主要体现在“算”上的功夫．所谓“算”，讲的主要是算理和算法，而不是“硬算”，因此要花一定功夫研究运算、训练运算能力.3.1椭圆3．1.1椭圆及其标准方程第一课时椭圆及其标准方程[学习目标] 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升问题椭圆是如何定义的？要注意哪些问题？[预习自测]1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段解析：∵|MF1|＋|MF2|＝10＞|F1F2|＝6，由椭圆定义，动点M轨迹为椭圆．A解析：依题意a＝10，且|PF1|＋|PF2|＝6＋|PF2|＝2a＝20 |PF2|＝14. D3．适合条件a＝4，b＝1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为_________________．解析：由椭圆标准方程的含义知，m＞0，n＞0，且m≠n.m＞0，n＞0，m≠n椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的，间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为．和焦点两焦点半焦距[例1](1)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．直线D．线段(2)已知F1(0，－3)，F2(0,3)，|PF1|＋|PF2|＝6，则动点P的轨迹是() A．圆B．椭圆C．直线D．线段分析：利用定义解决问题．BD[解析](1)因为|PF1|＋|PF2|＝8＞6＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是椭圆．(2)因为|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段．平面内动点M到两定点F1，F2的距离之和等于常数且常数大于|F1F2|，则M的轨迹是椭圆；当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹不存在．1.已知平面上两定点F1，F2及动点M，命题甲：|MF1|＋|MF2|＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B解析：由椭圆的定义，乙甲，但甲/乙，只有当2a＞|F1F2|＞0时，动点M的轨迹是椭圆．椭圆的标准方程(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a2＝b2＋c21.利用待定系数法求椭圆的标准方程步骤：(1)定位，确定焦点在哪个轴上；(2)定量，依据条件及a2＝b2＋c2确定a，b，c的值；(3)写出标准方程．1(m＞0，n＞0，m≠n)，再根据条件确定m，n的值．3．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)，将点的坐标代入，得到一个方程组，解方程组求得系数．4．已知椭圆上一点的坐标及焦点坐标求椭圆的标准方程常有两种方法：定义法、待定系数法．2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：点P在椭圆内点P在椭圆上点P在椭圆外分析：(1)根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数范围时，考虑两个分式对应的分母都大于0，然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小．CB解析：由题意可知7－k＞0，k－5＞0，且7－k≠k－5，解得5＜k＜7且k≠6，所以实数k的取值范围为(5,6)∵(6,7)．DACD焦点三角形1．如图所示，椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成的∵PF1F2，通常称其为焦点三角形．1.对于涉及椭圆上一点到其焦点的距离问题，常常考虑运用椭圆的定义，即椭圆上一点到两焦点的距离之和为定值2a.2．与焦点三角形有关的问题，常考虑定义、余弦定理相结合求解，注意方程思想的应用．1．知识清单：(1)椭圆的定义．(2)椭圆的标准方程．(3)点与椭圆的位置关系．(4)焦点三角形．2．方法归纳：坐标法、待定系数法．3．常见误区：(1)忽略椭圆定义中的限制条件．(2)不重视椭圆定义的应用．(3)椭圆标准方程的推导过程中不会化简代数式．课时作业巩固提升。
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.1椭圆及其标准方程》课件
2．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，F1，F2 是它的焦点．过 F1 的直 线 AB 与椭圆交于 A，B 两点，求△ABF2 的周长．
解：如图，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， ∴△ABF2 的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋ |AF2|＋|BF2|＝4a.
即 25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.
①
由椭圆的定义得 10＝|PF1|＋|PF2|，
所以 100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以
S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin
()
A．10
B．8
C．5
D．4
解析：∵a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 答案：A 3．已知椭圆中 a＝5, c＝ 5， 焦点在 x 轴上，则椭圆的标准方 程为_________．
答案：2x52＋2y02 ＝1
题型一 椭圆的定义及应用
[学透用活]
[典例 1] (1)下列说法正确的是
()
[解] (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． ∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1. (2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)． ∴a＝2，b＝1. 故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
()
A．(5,0)，(－5,0)
B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12)
人教A版高中数学选择性必修一3.1.1椭圆及其标准方程课件
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
本章研究的基本思路：现实背景一曲线的概念一曲线的方程一
曲线的性质一实际应用.
二、教学过程—归纳抽象，获得概念
引导语：椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生
结论：当截面与圆锥的轴所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别
是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．
通过互联网阅读圆锥曲线的形成与发展
一、教学过程—立足全章，新知引入
问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线．17世纪
后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原
2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
( > >0) ⑥
+ =1
2
2
2
= 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
设点M与焦点 1 ，2 的距离的和等于2.
(2)点满足的几何条件.由椭圆的定义可知，
椭圆可看作点集 = | 1 + 2 = 2 .
根据建立曲线方程的五个步骤，推导椭圆的标准方程：
(3)几何关系代数化.因为 1 = ( + )2 + 2 ,
2 = ( − )2 + 2 ,
将方程④两边同除以2 (2
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
本章研究的基本思路：现实背景一曲线的概念一曲线的方程一
曲线的性质一实际应用.
二、教学过程—归纳抽象，获得概念
引导语：椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生
结论：当截面与圆锥的轴所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别
是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．
通过互联网阅读圆锥曲线的形成与发展
一、教学过程—立足全章，新知引入
问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线．17世纪
后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原
2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
( > >0) ⑥
+ =1
2
2
2
= 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
设点M与焦点 1 ，2 的距离的和等于2.
(2)点满足的几何条件.由椭圆的定义可知，
椭圆可看作点集 = | 1 + 2 = 2 .
根据建立曲线方程的五个步骤，推导椭圆的标准方程：
(3)几何关系代数化.因为 1 = ( + )2 + 2 ,
2 = ( − )2 + 2 ,
将方程④两边同除以2 (2
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
3.1.1 椭圆及其标准方程(PPT)-
必备知识 深化预习
1．椭圆的概念 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点 的轨迹叫做___椭__圆_____．这两个定点叫做椭圆的__焦__点___，两焦点间 的距离叫做椭圆的__焦__距___，___焦__距__的__一__半___称为半焦距．
小题体验
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)已知 F1(－5，0)，F2(5，0)，平面内到 F1，F2 两点的距离之 和等于 10 的点的轨迹是椭圆．( ) × 解析：平面内的动点到 F1，F2 两定点的距离之和等于 10，与两定点之间的距离|F1F2|相等，故应形成线段，而不会形成 椭圆．
(3)相关点法：若动点 P(x，y)随着某已知方程的图形上的另一动 点 Q(x1，y1)运动而运动，且 x1，y1 可以用 x，y 表示，则可将 Q 点 的坐标代入已知图形的方程，即得动点 P 的轨迹方程．
2．过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1 有相同焦点的椭圆的
标准方程为________． 2y02 ＋x42＝1 解析：方法一：椭圆2y52 ＋x92＝1 的焦点为
(0，－4)，(0，4)，即 c＝4. 由 椭 圆 的 定 义 知 ， 2a ＝ （ 3－0）2＋（－ 5＋4）2 ＋
2．椭圆中的焦点三角形 把椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2 构成的△PF1F2 称为 焦点三角形，关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定 义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
1．已知圆(x＋2)2＋y2＝36 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，
点 N(2，0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹
直线与椭圆相交，一个交点为 P，则|PF2|＝( )
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
椭圆及其标准方程(24张PPT)
知识生成
• (1)取一条细绳 • (2)把它的两端固定在图板上的两
点F1、F2 • (3)用铅笔尖把细绳拉紧，在图板上
慢慢移动看看画出的图形
知识生成
思考1
（1）在画图的过程中，F1、F2的位置是固定的
还是运动的？
固定的
F11
（2）在画图的过程中，绳子的长度变了没有？
说明了什么？
|MF1|+|MF2|为定值
x2
y2
(4) 1
m2 m2 1
焦点坐标为： F1(0,1)，F2 (0,1)
应用拓展
2.已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
y
并且经过点P
5 ， 3 2 2
，求它的标准方程.
F1 O
解：因为椭圆的焦点在x轴上，设 由椭圆的定义知
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
2a
椭得圆，的b焦2 x距2 为a22 yc，2 则a有2bF2 1(-c，0)、F2(c，0).
化 两边同又除设以Ma与2bF2得1，axF222的 距by22离的1.和(a等于b 2a0)
构建方程
焦点在 x 轴上,椭圆的 标准方程
y
M (x, y)
F1 O
F2
x
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
当2a<2c时，即距离之和小于焦距时
知识生成
1.当2a 2c时，M点的轨迹是 椭圆 2.当2a 2c时，M点的轨迹是 线段F1F2 3.当2a 2c时，M点的轨迹是 不存在
知识深化
思考3
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为
10,则M点的轨迹是什么？
第三章 §1 1.1 椭圆及其标准方程
依题意有312mm＋＋4nn＝ ＝11， ， 解得mn＝＝1511.5， 所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
返回
[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为： 返回
1．若 a＝6，b＝ 35，则椭圆的标准方程是
()
A.3x62＋3y52 ＝1
B.y62＋ x325＝1 或x62＋ y325＝1
返回
[例3] (12分)已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C 为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P 的轨迹方程．
[思路点拨] P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|， 而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A、 B为焦点的椭圆．
返回
∴椭圆的标准方程为2x52＋y92＝1，或2y52 ＋x92＝1. (3)法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
依题意有－a322a22＋32－＋b22b122＝＝11，，
解得ab22＝ ＝155. ，
所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程． 解：由已知得 b＝2，又 a，b，c 成等差数列，
∴a＋c＝2b＝4，即|AB|＋|BC|＝4，
∴点 B 到定点 A、C 的距离之和为定值 4，由椭圆定义知
B 点的轨迹为椭圆，其中 a′＝2，c′＝1.
∴b′2＝3.
又∵A、B、C 三点共线时不能构成三角形，
返回
4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为 定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么( ) A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件 解析：若|MA|＋|MB|为定值，只有定值>|AB|时，点M轨迹 才是椭圆．故p为q的必要不充分条件． 答案：B
返回
[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为： 返回
1．若 a＝6，b＝ 35，则椭圆的标准方程是
()
A.3x62＋3y52 ＝1
B.y62＋ x325＝1 或x62＋ y325＝1
返回
[例3] (12分)已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C 为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P 的轨迹方程．
[思路点拨] P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|， 而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A、 B为焦点的椭圆．
返回
∴椭圆的标准方程为2x52＋y92＝1，或2y52 ＋x92＝1. (3)法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
依题意有－a322a22＋32－＋b22b122＝＝11，，
解得ab22＝ ＝155. ，
所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程． 解：由已知得 b＝2，又 a，b，c 成等差数列，
∴a＋c＝2b＝4，即|AB|＋|BC|＝4，
∴点 B 到定点 A、C 的距离之和为定值 4，由椭圆定义知
B 点的轨迹为椭圆，其中 a′＝2，c′＝1.
∴b′2＝3.
又∵A、B、C 三点共线时不能构成三角形，
返回
4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为 定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么( ) A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件 解析：若|MA|＋|MB|为定值，只有定值>|AB|时，点M轨迹 才是椭圆．故p为q的必要不充分条件． 答案：B
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(59张)
·
情
课
景 导
第三章 圆锥曲线的方程
堂 小
学
结
·
探 新
3.1 椭圆
提 素
知
养
合
3.1.1 椭圆及其标准方程
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方
1.通过椭圆标准方程及椭圆
堂 小
学
探 程．(重点)
结
焦点三角形的有关问题的学 提
·
新
素
知 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆 习，培养学生的数学运算素 养
·
·
合 作 探
法二：因为所求椭圆过点(4,3 2)，所以1a82＋1b62＝1.
课 时
究
分
释
又 c2＝a2－b2＝4，可解得 a2＝36，b2＝32.
层 作
疑
难
所以椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
新
素
知
养
(2)已知椭圆的焦点是 F1，F2，P 是椭圆上的一动点，如果延长
合
作 探
F1P 到 Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点 Q 的轨迹为圆．
究
释 疑
(3)方程ax22＋by22＝1(a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．
难
(
)
课 时
分
层
( )作
业
·
[提示] (1)× (2)√ (3)×
返 首 页
课 堂 小
学
结
·
探 新
情
课
景 导
第三章 圆锥曲线的方程
堂 小
学
结
·
探 新
3.1 椭圆
提 素
知
养
合
3.1.1 椭圆及其标准方程
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方
1.通过椭圆标准方程及椭圆
堂 小
学
探 程．(重点)
结
焦点三角形的有关问题的学 提
·
新
素
知 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆 习，培养学生的数学运算素 养
·
·
合 作 探
法二：因为所求椭圆过点(4,3 2)，所以1a82＋1b62＝1.
课 时
究
分
释
又 c2＝a2－b2＝4，可解得 a2＝36，b2＝32.
层 作
疑
难
所以椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
新
素
知
养
(2)已知椭圆的焦点是 F1，F2，P 是椭圆上的一动点，如果延长
合
作 探
F1P 到 Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点 Q 的轨迹为圆．
究
释 疑
(3)方程ax22＋by22＝1(a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．
难
(
)
课 时
分
层
( )作
业
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[提示] (1)× (2)√ (3)×
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学
结
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()
A.3x62＋3y52 ＝1
B.y62＋ x325＝1 或x62＋ y325＝1
C.3x62 ＋y2＝1
D解.3析x62＋：3椭y52 ＝圆1的或焦3y点62 ＋在3x52x＝轴1 上时，方程为3x62＋3y52 ＝1，在 y
轴上时，方程为3y62 ＋3x52＝1.
答案：D
返回
2．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求 椭圆C的标准方程． 解：依题意，可设椭圆 C 的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，且可 知左焦点为 F′(－2,0)． 从而有c2＝a＝2，|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， 解得ca＝＝24，. 又 a2＝b2＋c2，所以 b2＝12， 故椭圆 C 的标准方程为1x62＋1y22 ＝1.
＞0)， 则 a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7. ∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x72＝1. ∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x72＝1.
a＋b＝8， (2)a2－b2＝16
⇒aa＋＋bb＝8a，－b＝16
⇒aa＋－bb＝＝82， ⇒ab＝＝53，.
返回
∴椭圆的标准方程为2x52＋y92＝1，或2y52 ＋x92＝1. (3)法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
返回
椭圆的定义
定义
平面内到两个定点F1，F2的 距离之和等于常数 (大于|F2|)的点的集合叫作椭圆
焦点
两个 定点F1，F2叫作椭圆的焦点
焦距 集合语言
两焦点F1，F2间的 距离 叫作椭圆的焦距 P＝{M| |MF1|＋|MF2|＝2a, ＞|F2|}
返回
在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，
D(0，－2)．
问题1：若动点P满足|PA|＋|PB|＝6，则P点的轨迹方
程是什么？
提示：x92＋y52＝1. 问题2：若动点P满足|PC|＋|PD|＝6，则动点P的轨 迹方程是什么？ 提示：y92＋x52＝1.
返回
椭圆的标准方程
标准方程
焦点坐标 a、b、c 的关系
焦点在x轴上 xa22＋by22＝1(a>b>0)
理解教新 新知
知识点一 知识点二
第 三 章
§1 1.1
把握热点 考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
返回
返回
返回
设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲 设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快 速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点， 用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．
返回
3．求焦点在坐标轴上，且过点 A(2,0)和 B1， 23的椭圆的标
准方程． 解：法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
依题意，有a42＝1， a12＋43b2＝1，
解得 a2＝4，b2＝1.
返回
若焦点在 y 轴上，设椭圆方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)，同理
故所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
返回
法二：设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0， 且 m≠n)．
依题意有312mm＋＋4nn＝ ＝11， ，
解得m＝115， n＝15.
所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
返回
[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为： 返回
1．若 a＝6，b＝ 35，则椭圆的标准方程是
a2＝1， b2＝4，
这与 a>b 矛盾．
故所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
返回
法二：设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 4m＝1，
将 A，B 坐标代入得m＋34n＝1，
解得m＝14， n＝1，
故所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
返回
[例 2] 如图所示，已知椭圆的方程 为x42＋y32＝1，若点 P 在椭圆上，F1，F2 为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°， 求△ PF1F2 的面积．
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.
问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点 再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？
提示：相同．
返回
问题2：这种游戏设计的原理是什么？ 提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之 和为定值． 问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦 点间的距离？为什么？ 提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定 大于两焦点间的距离．
[思路点拨] 因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要 求S△PF1F2，只要求|PF1|即可．可由椭圆的定义|PF1|＋|PF2| ＝2a，并结合余弦定理求解．
返回
[精解详析] 由已知 a＝2，b＝ 3，
所以 c＝ a2－b2＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△ PF1F2 中，由余弦定理得
返回
返回
[例 1] 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a＝4，c＝3，焦点在 y 轴上； (2)a＋b＝8，c＝4； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)． [思路点拨] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦 点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a 和b的值．
返回
[精解详析] (1)焦点在 y 轴上，设标准方程为ay22＋xb22＝1(a＞b
(±c,0)
焦点在y轴上 ay22＋xb22＝1(a>b>0)
(0，±c)
a2－b2＝c2
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1．平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a， 当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆； 当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是一条线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，点M的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x2项的分母大于 含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之焦点在y轴上．
依题意有－a322a22＋325. ，
所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
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②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a ＞b＞0)．依题意有
－a222＋ b322＝1， a12＋－2b2 32＝1，
解得ab22＝ ＝51，5. 舍去，