第三章 §1 1.1 椭圆及其标准方程.ppt
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3．求焦点在坐标轴上，且过点 A(2,0)和 B1， 23的椭圆的标
准方程． 解：法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
依题意，有a42＝1， a12＋43b2＝1，
解得 a2＝4，b2＝1.
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若焦点在 y 轴上，设椭圆方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)，同理
＞0)， 则 a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7. ∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x72＝1. ∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x72＝1.
a＋b＝8， (2)a2－b2＝16
⇒aa＋＋bb＝8a，－b＝16
⇒aa＋－bb＝＝82， ⇒ab＝＝53，.
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∴椭圆的标准方程为2x52＋y92＝1，或2y52 ＋x92＝1. (3)法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
理解教新 新知
知识点一 知识点二
第 三 章
§1 1.1
把握热点 考向
考点一 考点二 考点三
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Hale Waihona Puke Baidu
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设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲 设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快 速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点， 用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．
问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点 再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？
提示：相同．
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问题2：这种游戏设计的原理是什么？ 提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之 和为定值． 问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦 点间的距离？为什么？ 提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定 大于两焦点间的距离．
(±c,0)
焦点在y轴上 ay22＋xb22＝1(a>b>0)
(0，±c)
a2－b2＝c2
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1．平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a， 当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆； 当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是一条线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，点M的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x2项的分母大于 含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之焦点在y轴上．
D(0，－2)．
问题1：若动点P满足|PA|＋|PB|＝6，则P点的轨迹方
程是什么？
提示：x92＋y52＝1. 问题2：若动点P满足|PC|＋|PD|＝6，则动点P的轨 迹方程是什么？ 提示：y92＋x52＝1.
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椭圆的标准方程
标准方程
焦点坐标 a、b、c 的关系
焦点在x轴上 xa22＋by22＝1(a>b>0)
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[例 1] 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a＝4，c＝3，焦点在 y 轴上； (2)a＋b＝8，c＝4； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)． [思路点拨] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦 点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a 和b的值．
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[精解详析] (1)焦点在 y 轴上，设标准方程为ay22＋xb22＝1(a＞b
()
A.3x62＋3y52 ＝1
B.y62＋ x325＝1 或x62＋ y325＝1
C.3x62 ＋y2＝1
D解.3析x62＋：3椭y52 ＝圆1的或焦3y点62 ＋在3x52x＝轴1 上时，方程为3x62＋3y52 ＝1，在 y
轴上时，方程为3y62 ＋3x52＝1.
答案：D
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2．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求 椭圆C的标准方程． 解：依题意，可设椭圆 C 的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，且可 知左焦点为 F′(－2,0)． 从而有c2＝a＝2，|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， 解得ca＝＝24，. 又 a2＝b2＋c2，所以 b2＝12， 故椭圆 C 的标准方程为1x62＋1y22 ＝1.
故所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
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法二：设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0， 且 m≠n)．
依题意有312mm＋＋4nn＝ ＝11， ，
解得m＝115， n＝15.
所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
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[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为： 返回
1．若 a＝6，b＝ 35，则椭圆的标准方程是
a2＝1， b2＝4，
这与 a>b 矛盾．
故所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
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法二：设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 4m＝1，
将 A，B 坐标代入得m＋34n＝1，
解得m＝14， n＝1，
故所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
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[例 2] 如图所示，已知椭圆的方程 为x42＋y32＝1，若点 P 在椭圆上，F1，F2 为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°， 求△ PF1F2 的面积．
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.
依题意有－a322a22＋32－＋b22b122＝＝11，，
解得ab22＝ ＝155. ，
所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
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②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a ＞b＞0)．依题意有
－a222＋ b322＝1， a12＋－2b2 32＝1，
解得ab22＝ ＝51，5. 舍去，
[思路点拨] 因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要 求S△PF1F2，只要求|PF1|即可．可由椭圆的定义|PF1|＋|PF2| ＝2a，并结合余弦定理求解．
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[精解详析] 由已知 a＝2，b＝ 3，
所以 c＝ a2－b2＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△ PF1F2 中，由余弦定理得
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椭圆的定义
定义
平面内到两个定点F1，F2的 距离之和等于常数 (大于|F2|)的点的集合叫作椭圆
焦点
两个 定点F1，F2叫作椭圆的焦点
焦距 集合语言
两焦点F1，F2间的 距离 叫作椭圆的焦距 P＝{M| |MF1|＋|MF2|＝2a, ＞|F2|}
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在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，
3．求焦点在坐标轴上，且过点 A(2,0)和 B1， 23的椭圆的标
准方程． 解：法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
依题意，有a42＝1， a12＋43b2＝1，
解得 a2＝4，b2＝1.
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若焦点在 y 轴上，设椭圆方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)，同理
＞0)， 则 a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7. ∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x72＝1. ∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x72＝1.
a＋b＝8， (2)a2－b2＝16
⇒aa＋＋bb＝8a，－b＝16
⇒aa＋－bb＝＝82， ⇒ab＝＝53，.
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∴椭圆的标准方程为2x52＋y92＝1，或2y52 ＋x92＝1. (3)法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
理解教新 新知
知识点一 知识点二
第 三 章
§1 1.1
把握热点 考向
考点一 考点二 考点三
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设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲 设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快 速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点， 用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．
问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点 再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？
提示：相同．
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问题2：这种游戏设计的原理是什么？ 提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之 和为定值． 问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦 点间的距离？为什么？ 提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定 大于两焦点间的距离．
(±c,0)
焦点在y轴上 ay22＋xb22＝1(a>b>0)
(0，±c)
a2－b2＝c2
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1．平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a， 当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆； 当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是一条线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，点M的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x2项的分母大于 含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之焦点在y轴上．
D(0，－2)．
问题1：若动点P满足|PA|＋|PB|＝6，则P点的轨迹方
程是什么？
提示：x92＋y52＝1. 问题2：若动点P满足|PC|＋|PD|＝6，则动点P的轨 迹方程是什么？ 提示：y92＋x52＝1.
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椭圆的标准方程
标准方程
焦点坐标 a、b、c 的关系
焦点在x轴上 xa22＋by22＝1(a>b>0)
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[例 1] 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a＝4，c＝3，焦点在 y 轴上； (2)a＋b＝8，c＝4； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)． [思路点拨] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦 点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a 和b的值．
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[精解详析] (1)焦点在 y 轴上，设标准方程为ay22＋xb22＝1(a＞b
()
A.3x62＋3y52 ＝1
B.y62＋ x325＝1 或x62＋ y325＝1
C.3x62 ＋y2＝1
D解.3析x62＋：3椭y52 ＝圆1的或焦3y点62 ＋在3x52x＝轴1 上时，方程为3x62＋3y52 ＝1，在 y
轴上时，方程为3y62 ＋3x52＝1.
答案：D
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2．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求 椭圆C的标准方程． 解：依题意，可设椭圆 C 的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，且可 知左焦点为 F′(－2,0)． 从而有c2＝a＝2，|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， 解得ca＝＝24，. 又 a2＝b2＋c2，所以 b2＝12， 故椭圆 C 的标准方程为1x62＋1y22 ＝1.
故所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
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法二：设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0， 且 m≠n)．
依题意有312mm＋＋4nn＝ ＝11， ，
解得m＝115， n＝15.
所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
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[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为： 返回
1．若 a＝6，b＝ 35，则椭圆的标准方程是
a2＝1， b2＝4，
这与 a>b 矛盾．
故所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
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法二：设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 4m＝1，
将 A，B 坐标代入得m＋34n＝1，
解得m＝14， n＝1，
故所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
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[例 2] 如图所示，已知椭圆的方程 为x42＋y32＝1，若点 P 在椭圆上，F1，F2 为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°， 求△ PF1F2 的面积．
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.
依题意有－a322a22＋32－＋b22b122＝＝11，，
解得ab22＝ ＝155. ，
所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
返回
②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a ＞b＞0)．依题意有
－a222＋ b322＝1， a12＋－2b2 32＝1，
解得ab22＝ ＝51，5. 舍去，
[思路点拨] 因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要 求S△PF1F2，只要求|PF1|即可．可由椭圆的定义|PF1|＋|PF2| ＝2a，并结合余弦定理求解．
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[精解详析] 由已知 a＝2，b＝ 3，
所以 c＝ a2－b2＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△ PF1F2 中，由余弦定理得
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椭圆的定义
定义
平面内到两个定点F1，F2的 距离之和等于常数 (大于|F2|)的点的集合叫作椭圆
焦点
两个 定点F1，F2叫作椭圆的焦点
焦距 集合语言
两焦点F1，F2间的 距离 叫作椭圆的焦距 P＝{M| |MF1|＋|MF2|＝2a, ＞|F2|}
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在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，