第十五章拉格朗日方程习题解答

习 题

15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C 上作用一驱动力偶M ，使质量m 1的物体A 上升。已知平衡物B 的质量为m 2，主动轮C 和从动轮D 都为均质圆轮，半径和质量分别为r 和m 3。如不计胶带质量，试求A 物的加速度。

图15-7

a m F A 1I = a m F B 2I = ra m r a

r m M

M

D

C

323I I 2

1)(21

==

= 动力学普遍方程

0δ)(δ)(δ)(I 2I 1I I =-++---s F W s F W r

s M

M

M B A D C

0)()(1)

2

12

1(221133=-++---

a m g m a m g m r

ra m ra m M

r

m m m gr m m M a )()(32112++-+=

15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m 1的滑块及质量为m 2的平衡重块组成，长l 的杆不计重量，弹簧刚度为k ，当θ = 0时，为原长。若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求

ω与θ的关系。

图15-8

θωsin 2

11I l m F = )c o s 1(θ-=kl F 动力学普遍方程

0δ)(δ22211I =+-r F g m r F θθcos δsin δ21r r = θt a n δδ12r r = 故

0tan δ)]cos 1([δsin 21212

1=-+-θθθωr kl g m r l m

θ

θωcos 2)

cos 1(122

l m kl g m -+=

15-3 如图15-9所示，板DE 质量为m 1，放在三个质量均为m 2的滚子A 、B 和C 上，今在板上作用一水平向右的力F ，使板与滚子运动。如板与滚子，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE 的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。

图15-9

DE a m F 11I = 2/22I DE a m F = DE DE O

ra m r

a r m M

22

2I 4

1)2(

2

1=

=

动力学普遍方程

0δ3δ3δ)(2I 22I 11I =---ϕC M r F r F F

02δ4

132

δ2

3δ)(121211=⨯

⨯

-⨯

--r

r ra m r a m r a m F DE DE DE

08

921=-

-DE DE a m a m F

2

12

198889m m F m m F a DE +=

+

=

15-4 椭圆规尺放在水平面内，由曲柄带动，如图15-10所示。设曲柄OC 与椭圆规尺AB 都为均质杆，质量分别为m 1和2m 1，且OC =AC =BC =l 。滑块A 与B 的质量相等均为m 2，如作用在曲柄上的驱动力矩为M O 不计摩擦，试求曲柄的角加速度。

图15-10

同习题12-6

ωl v C = ωω=AB ϕωωϕc o s 2c o s 2l l v AB A =⨯= ϕωs i n 2l v B = B A AB OC E E E E E k k k k k +++=

)(21])2)(2(121[21)2(21)31(2122222121221B A C v v m l m v m l m ++++=

ωω 222221*********

3161ωωωωl m l m l m l m ⨯+++=

2

2212

43ωl m m +=

2

221243ϕ

l m m += O Q M W F =∑=ϕ

ϕ

ϕδδ

由

ϕ

ϕ

ϕ

Q F E E t

=∂∂-

∂∂k k )(

d d

O M l m m =+)2(2

432

2

1α

2

21)43(l

m m M O

+=

α

15-5 如图15-11所示，铰接平行四边形机构O 1O 2AB 位于铅直平面内，杆O 1A ，O 2B 各长l ，质量不计；杆AB 为均质杆，质量m 。设在O 1A 杆上作用一常力矩M ，试求O 1A 转动到任意位置时的角加速度，并求︒

=90θ时的角加速度的值。 图15-11

以θ为广义坐标，先求广义力

给系统虚位移θδ

θθθθsin δδδ)

(l mg M W F

⨯-=∑

θθ

θθ

sin δδ)

(mgl M W F F

Q -=∑=

2

22k 2

1)(21

θθ ml l m E ==

由 θθ

θQ F E E t =∂∂-∂∂k k )(d d

θθ 2

k ml E =∂∂ 0k =∂∂θ

E θθsin 2mgl M ml -=

2

sin ml

mgl M θ

θ

α-==

︒=90θ时 2

ml

mgl M -==θα

15-6 如图15-12所示，在质量为m 1的均质圆柱C 上绕着一根细绳，绳的质量可以不计。绳的另一端跨过不计质量的滑轮O 与质量为m 2的物块A 相连，物块放在粗糙的水平面上，动摩擦因数为μ。如果圆柱由静止落下作平面运动，试求物块和圆柱质心的加速度。

图15-12

以A x 、C y 为广义坐标，先求广义力

显然g m F A

x Q

2μ-= g m F C

y Q

1=

22

12

12

2k ))(21(212121r x y r m y m x m E A C C A -++=

212

12

2)(4

12

121A C C A x y

m y

m x

m -++= ]32)2[(4

12

11221C C A A y m y x m x m m +-+= ])2[(21)(d d 121k C A A y m x m m x E t -+=∂∂ 0k =∂∂A x E ]3[2

1)(

d d 11k C A C y

m x m y E t +-=

∂∂ 0k =∂∂C

y E

代入拉氏方程 A

x Q

A

A F x E x

E t =∂∂-

∂∂k k )(

d d

C

y Q

C

C F y E y

E t

=∂∂-

∂∂k k )(

d d

得

g m y

m x m m C A 2121])2[(2

1μ-=-+ g m y

m x m C A 111]3[2

1=+- 解得

g m m m m x

A 2

12133+-=μ g m m m m y

C 2

12

13)32(+-+=μ