第十五章拉格朗日方程习题解答
工程流体力学(第二版)习题与解答
1—3
解： 固定圆盘表面液体速度为零， 转动圆盘表面半径 r 处液体周向线速度速度 vθ s = rω ； 设液膜速度沿厚度方向线性分布，则切应力分布为
图 1-14 习题 1-5 附图
r
z
u
R
r R2 由上式可知，壁面切应力为 τ 0 = −4 m um / R ，负号表示 τ 0 方向与 z 相反；
τ = mm = −4 um
du dr
（2）由流体水平方向力平衡有： p R 2 Dp + τ 0p DL= 0 ，将 τ 0 表达式代入得
8m u L ∆p = 2m R
图 1-16 习题 1-7 附图
1-7 如图 1-16 所示，流体沿 x 轴方向作层状流动，在 y 轴方向有速度梯度。在 t=0 时， 任取高度为 dy 的矩形流体面考察，该矩形流体面底边坐标为 y，对应的流体速度为 u ( y ) ； 经过 dt 时间段后，矩形流体面变成如图所示的平行四边形，原来的 α 角变为 α − dα ，其剪 。试推导表明：流体的 切变形速率定义为 dα /dt （单位时间内因剪切变形产生的角度变化） 剪切变形速率就等于流体的速度梯度，即 dα du = dt dy 解：因为 a 点速度为 u，所以 b 点速度为 u +
V2 pT 1 × 78 =1 − 1 2 =1 − =80.03% V1 p2T1 6 × 20
压缩终温为 78℃时，利用理想气体状态方程可得
∆V = 1 −
1-2 图 1-12 所示为压力表校验器，器内充满体积压缩系数= β p 4.75 × 10−10 m2/N 的油， 用手轮旋进活塞达到设定压力。已知活塞直径 D=10mm，活塞杆螺距 t=2mm，在 1 标准大 气压时的充油体积为 V0=200cm3。设活塞周边密封良好，问手轮转动多少转，才能达到 200 标准大气压的油压（1 标准大气压=101330Pa） 。 解：根据体积压缩系数定义积分可得：
拉格朗日方程复习与例题
(i 1,2, , n)
mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
(F F
i i
Ni
系统的总虚功为
(F F
i i
Ni
mi ai ) δ ri 0
(i 1,2, , n)
利用理想约束条件
F
得到
i
i
Ni
δ ri 0
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcosBiblioteka (i 1,2, , n)
数值分析简明教程课后习题答案(第二版)
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
《工程力学》课后习题与答案全集
由 ，作出速度平行四边形，如图示：
即：
7．图示平行连杆机构中， mm, 。曲柄 以匀角速度 2rad/s绕 轴转动，通过连杆AB上的套筒C带动杆CD沿垂直于 的导轨运动。试示当 时杆CD的速度和加速度。
解：取CD杆上的点C为动点，AB杆为动系。对动点作速度分析和加速度分析，如图（a）、（b）所示。图中：
解：设该力系主矢为 ，其在两坐标轴上的投影分别为 、 。由合力投影定理有：
=-1.5kN
kN
kN
；
由合力矩定理可求出主矩：
合力大小为： kN，方向
位置： m cm，位于O点的右侧。
2．火箭沿与水平面成 角的方向作匀速直线运动，如图所示。火箭的推力 kN与运动方向成 角。如火箭重 kN，求空气动力 和它与飞行方向的交角 。
(d)由于不计杆重，杆AB在A、C两处受绳索作用的拉力 和 ，在B点受到支座反力 。 和 相交于O点，
根据三力平衡汇交定理，
可以判断 必沿通过
B、O两点的连线。
见图(d).
第二章力系的简化与平衡
思考题：1.√;2.×;3.×;4.×;5.√;6.×;7.×;8.×;9.√.
1．平面力系由三个力和两个力偶组成，它们的大小和作用位置如图示，长度单位为cm，求此力系向O点简化的结果，并确定其合力位置。
则
（mm/s）
故 =100（mm/s）
又有： ，因
故：
即：
第四章刚体的平面运动
思考题
1．×；2.√; 3.√;4.√;5.×.
习题四
1．图示自行车的车速 m/s,此瞬时后轮角速度 rad/s,车轮接触点A打滑，试求点A的速度。
工程流体力学(第二版)习题与解答
普通高等教育“十一五”国家级规划教材“过程装备与控制工程”专业核心课程教材工程流体力学（第二版）习题与解答黄卫星编四川大学化工学院过程装备与安全工程系2008年10月30日第1章 流体的力学性质1-1 用压缩机压缩初始温度为20℃的空气，绝对压力从1个标准大气压升高到6个标准大气压。
试计算等温压缩、绝热压缩、以及压缩终温为78℃这三种情况下，空气的体积减小率V ∆= 121()/V V V −各为多少？解：根据气体压缩过程方程：k pV const =，有1/2112(/)(/)k V V p p =，所以V ∆=1/1221112()11kV V Vp V V p −=−=−等温过程k =1，所以 V ∆121/11/6p p =−=−=83.33% 绝热过程k =1.4，所以 V ∆1/1.41/1.4121(/)1(1/6)p p =−=−=72.19% 压缩终温为78℃时，利用理想气体状态方程可得212121178111=80.03%620V V p T V p T ×∆=−=−=−× 1-2 图1-12所示为压力表校验器，器内充满体积压缩系数104.7510p β−=×m 2/N 的油，用手轮旋进活塞达到设定压力。
已知活塞直径D =10mm ，活塞杆螺距t =2mm ，在1标准大气压时的充油体积为V 0=200cm 3。
设活塞周边密封良好，问手轮转动多少转，才能达到200标准大气压的油压（1标准大气压=101330Pa ）。
解：根据体积压缩系数定义积分可得：1d d p VV pβ=−→ 00exp[()]p V V p p β=−− 因为 02()001exp 4p p p D nt V V V βp −− =−=− 所以 21()0241=p p p nV e D tβp −− − 12.14 rpm图1-12 习题1-2附图1-3 如图1-13所示，一个底边为200mm 200mm ×、重量为1kN 的滑块在20°斜面的油膜上滑动，油膜厚度0.05mm ，油的粘度µ=2710−×Pa·s 。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
拉格朗日方程
朗 日
4
1 m L2 2 1 m gL cos
24 2
22
C
m2 g
方 代入拉格朗日方程 程
d dt
L x
L x
0
得
3 2
m1x
m2
x
1 2
m2
L
d dt
(
c
os
)
0
整理得 (3m1 2m2 )x m2Lcos m2L 2 sin 0（1）
拉
A
M
r
O
R
格
朗
解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自由度，取曲柄转角 为广义坐
日 标。
方
由运动学关系知，动齿轮的角速度 与曲柄的角速度 的关系为
程
则系统的动能为
r R
r
T
1 2
1 3
Q g
(r
R)2 2
1 2
P g
(r
R)2 2
1 2
代入拉格朗日方程 1.2
d dt
L
L
0
得
m 1 L2 1 m L d (x cos) 1 m L2 1 m Lx sin
拉
24
2 2 dt
12 2
22
格
m g L sin 0
22
朗
日 整理后得 2L 3xcos 3g sin 0 （2）
Q1
其中
Q2
FI 1
Q1 g
a1
拉格朗日方程刚体动力学振动 习题课
x
A vA
vCA
m 1 g c B
m 2g
解：系统的主动力均为有势力
分析系统的动能和势能
vT A 1 2xm 1 vA 2 A1 2 JA rx A 2 1 2 Am B2 v C 2 1 2JCA 2 B
vC vAvCA
T 3 4 m 1 x 2 1 2 m 2 x 2 1 6 m 2 L 22 1 2 m 2 x L c o s T ( x ,,)
V L2m2g(1cos)
拉格朗日函数 LTVL(x ,,)中不显含广义坐标x和时间t
7
BUAA
习题课
T x3 2m 1xm 2x1 2m 2L co sC 系统的什么广义动量守恒？
研究整体：
x
A vA
研究圆盘：
LrA12mAr2A12m1rxF Ay
A
F
vCA LrA Fr
A
r
F Ax
c m 1 g
T V 1 2 m 1 x 2 1 2 m 2 x 2 1 6 m 2 L 2 2 1 2 m 2 x L c o s L 2 m 2 g ( 1 c o s ) E
6
BUAA
习题课
例：机构在铅垂面内运动，均质圆盘质量m1在地面上纯滚动，均 质杆AB质量m2用光滑铰链与圆盘连接。求系统首次积分。AB=L
拉格朗日方程刚体动力学振动 习 题课
BUAA
第二类拉格朗日方程的总结
对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k，
则系统的动力学方程为：
d dt
L qj
qLj
Q'j
(j1, ,k)
其中：LTV T：为系统的动能，V：为系统的势能
Q
经典力学概论李书民
经典力学概论内容简介:《经典力学概论》是根据作者在中国科学技术大学讲授理论力学的讲义整理而成的，采用了较传统教科书更加自然的逻辑体系和简单易记的符号系统，从基本定律出发，循序渐进地引入抽象的数学方法，充分展示了物理理论简洁、抽象的美，在不删减课程主要内容，甚至较传统内容略丰的前提下，大大缩减了授课学时。
全书共分6章：牛顿力学、拉格朗日力学、小振动、刚体力学、哈密顿力学、有心力场，每章后附有一定数量难度适中的习题，《经典力学概论》论述严谨、精练，并对多个问题有独到的见解，可作为综合性大学和师范院校物理类专业的本科生教材，同时也适合有关专业研究人员和工程师阅读。
[1]图书目录前言第1章牛顿力学1.1 质点运动的描写1.2 坐标系1.3 质点力学1.4 运动参考系1.5 质点组力学1.6 变质量物体的运动习题1第2章拉格朗日力学2.1 约束2.2 虚功原理2.3 力学变分原理2.4 拉格朗日方程2.5 运动积分2.6 全变分习题2第3章小振动3.1 单自由度体系的小振动3.2 多自由度体系的小振动. 习题3第4章刚体力学4.1 刚体运动分析4.2 正交变换与张量4.3 欧拉角4.4 凯利-克莱茵参量4.5 惯量张量4.6 欧拉陀螺4.7 拉格朗日陀螺4.8 拉莫尔进动4.9 定轴转动与平面平行运动习题4第5章哈密顿力学5.1 哈密顿正则方程5.2 劳斯方法5.3 泊松括号5.4 相空间中的哈密顿原理5.5 正则变换5.6 哈密顿一雅可比方程5.7 作用变量与作用角变量5.8 正则微扰论习题5第6章有心力场6.1 质点在有心力场中的运动6.2 轨道6.3 平方反比力6.4 胡克力6.5 经典散射6.6 两体问题习题6习题参考答案。
第十五章拉格朗日方程习题解答
习 题15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C 上作用一驱动力偶M ，使质量m 1的物体A 上升。
已知平衡物B 的质量为m 2，主动轮C 和从动轮D 都为均质圆轮，半径和质量分别为r 和m 3。
如不计胶带质量，试求A 物的加速度。
图15-7a m F A 1I = a m F B 2I = ra m r ar m MMDC323I I 21)(21=== 动力学普遍方程0δ)(δ)(δ)(I 2I 1I I =-++---s F W s F W rs MMM B A D C0)()(1)2121(221133=-++---a m g m a m g m rra m ra m Mrm m m gr m m M a )()(32112++-+=15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m 1的滑块及质量为m 2的平衡重块组成，长l 的杆不计重量，弹簧刚度为k ，当θ = 0时，为原长。
若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求ω与θ的关系。
图15-8θωsin 211I l m F = )c o s 1(θ-=kl F 动力学普遍方程0δ)(δ22211I =+-r F g m r F θθcos δsin δ21r r = θt a n δδ12r r = 故0tan δ)]cos 1([δsin 212121=-+-θθθωr kl g m r l mθθωcos 2)cos 1(122l m kl g m -+=15-3 如图15-9所示，板DE 质量为m 1，放在三个质量均为m 2的滚子A 、B 和C 上，今在板上作用一水平向右的力F ，使板与滚子运动。
如板与滚子，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE 的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。
图15-9DE a m F 11I = 2/22I DE a m F = DE DE Ora m ra r m M222I 41)2(21==动力学普遍方程0δ3δ3δ)(2I 22I 11I =---ϕC M r F r F F02δ4132δ23δ)(121211=⨯⨯-⨯--rr ra m r a m r a m F DE DE DE08921=--DE DE a m a m F212198889m m F m m F a DE +=+=15-4 椭圆规尺放在水平面内，由曲柄带动，如图15-10所示。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续之勘阻及广创作一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xx x f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
理论物理导论习题及解答
2.9 秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从 哪里来的？
答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力 提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。 重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋千荡 到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的 位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高 点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降低重 心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能 不断增大，秋千就可以越荡越高。 这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转
3.1半径为r的光滑半球形碗, 固定在水平面上. 一均质棒斜靠在碗 缘, 一端在碗内, 一端则在碗外, 在碗内的长度为c, 试证棒的全长 4c 2 2r 2 为
c
证: 研究对象为棒, 建立直角坐标系 并受力分析如图.
均质棒受到碗的弹力分别为 N 1 ， N 2 ,棒 自身重力为G。棒与水平方向的夹角 为 。设棒的长度为 l 。 由于棒处于平衡状态，所以棒沿x轴和y轴的合外力为零。 沿过A点且与z轴平行的合力矩为0。即：
d dr d dj rj j r j r dt dt dt dt
j r 2i r j r
故
2 i r 2r j r a r
⑤
2 r r 即沿位矢方向加速度： a
r
a r
1.10 一质点沿着抛物线 y 2 2 px 运动其切向加速度的量值为 p , p 法向加速度量值的 2k 倍。如此质点从正焦弦的一端 2 以速度 u 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。 解： 质点切向加速度为： a t 法向加速度为： 且
高等动力学习题答案（1[1]23章）
![高等动力学习题答案（1[1]23章）](https://img.taocdn.com/s3/m/a46a16066d175f0e7cd184254b35eefdc8d315af.png)
高等动力学习题答案第一章1.1解：由此图可以看出，该均质杆的长度为L,并已知该杆的两个端点的坐标分别为A （1x ,1y ）,B （2x ,2y ），建立坐标系，根据其几何关系可确定其约束方程：（1x - 2x ）2+ (1y -2y ）2=L 2 又∵△BOD ∽△BAC∴h/(1y -2y )=(-2x )/( 1x - 2x )=222x h +/L所谓的完整系统即系统中的约束均为完整约束（仅对质点的位形加以限制约束）的系统，在此系统中的约束仅对杆的位形加以限制约束，故为完整系统。
另外，均质杆的B 和O 两点与台阶构成点接触（高副），故f=3-2=1即自由度为1。
O()111x y P，()222x y P ，∙∙vxy题1.2图1.2.解：因为制导系统保证质点p 1的速度v 始终对准质点p 2，所以，p 1p 2所形成的直线)(x f y =的斜率为2121yxy yx xθ-=-＝tan可见是对位形和速度加以限制，此系统是非完整系统。
因为p 2有两个自由度，p 1有一个自由度，所以此系统有三个自由度。
1.3．解：（1）因为AB 是长度为l 的刚性杆，故AB 两点坐标应该满足方程为：2l（2）选择中点C O 的坐标c x ,c y 和相对轴X 的倾角θ为广义坐标。
因为接触点A 的速度只能沿与AB 杆垂直方向即:11yx=-cot θ ①2121cot x x y y θ-=- ②①②两式联立得: 121121()()0xx x y y y -+-= (3)32312L H f n p p =--=-= 故此系统为二自由度的非完整系统。
1.4 解:由几何关系知12cos 22lR ϕϕ+= 12002cos 2l l l R l ϕϕ+∴∆=-=- 对系统有 2222112222120112211(2cos )222T m R m R V k l k R l ϕϕϕϕ=++=∆=-因此,拉格朗日函数为 222221211220111(2cos )2222L T V m R m R k R l ϕϕϕϕ+=-=+-- 所以21112111121201sin .2cos 22Lm R d L m R dt L kR R l ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂=∂⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭++∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭由于1ϕ,2ϕ是对称的,所以有1212022222sin .2cos 22L kR R l d L m R dt ϕϕϕϕϕϕϕ++∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭由拉格朗日方程0j d L Ldt q q ⎛⎫∂∂-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭有 2121211021212220sin .2cos 022sin .2cos 022m R kR R l m R kR R l ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭++⎛⎫--= ⎪⎝⎭⇒12121101212220sin .2cos 022sin .2cos 022m R k R l m R k R l ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭++⎛⎫--= ⎪⎝⎭所以,能量积分为T V C +=即222221211220111(2cos )2222m R m R k R l C ϕϕϕϕ+++-=化简为2222212112201(2cos)2m R m R k R l C ϕϕϕϕ+++-=1.5．选取两圆柱的转角21,ϕϕ为广义坐标，由题意可知.22.11ϕϕR R V B +=此系统的动能为：21.122211.22.21)(21)(212121ϕϕϕϕϕR m R R m J J T C B B A ++++=21121R m J B =22221R m J B =故：.212132.22.112.22222.2121121)(214141ϕϕϕϕϕR m R R m R m R m T ++++=.2.1212.22222.212132143)224(ϕϕϕϕR R m R m R m m m ++++= 系统势能：1322112)(ϕϕϕg m R R g m V ++-=拉格朗日函数： V T L -=)(43)224(22112112.2.1212.22222.2121321ϕϕϕϕϕϕϕR R g m gR m R R m R m R m m m ++-++++= 由拉格朗日方程：0)(.2.2=∂∂-∂∂ϕϕLL dt d （i=1,2） 0)224(21213..2212..121321=-++++gR m gR m R R m R m m m ϕϕ 1 02322..1212..2222=-+gR m R R m R m ϕϕ2整理1，2式， 其能量积分：C V T =+即：C R m R m R m g R R m R m R m m m =--+++++)(43)2(222112113.2.1212.22222.2121321ϕϕϕϕϕϕϕ 1.6解；此系统的自由度=21021323=-⨯-⨯=--h l p p n ，此系统为二自由度完整系统。
拉格朗日方程复习与例题
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
§5.3.1 动力学普遍方程
考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FNi mi ai 0
主动力
(i 1,2, , n)
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δ ri
系统的总虚功为
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
ae C1
FI1
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2 1 J 2 m2 R 2 2
ar B
x
m1g
解：3、确定虚位移
考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度。 二自由度系统具有两组虚 位移：
第二个拉格朗日关系式
n n ri ri d d r mi ri mi (ri ) mi ri ( i ) qk i 1 dt qk dt qk i 1 i 1 n
n rid ri ri ri d ri ri mi (ri ) mi ri q q qdt k i 1 q k dt q k qk i 1 k k n ri ri d n mri mi ri dt i 1 qk i 1 qk n
工程流体力学第二版习题与解答
图 1-13 习题 1-3 附图
1-3 如图 1-13 所示，一个底边为 200mm × 200mm 、重量为 1kN 的滑块在 20°斜面的 油膜上滑动，油膜厚度 0.05mm，油的粘度µ= 7 ×10−2 Pa·s。设油膜内速度为线性分布，试求 滑块的平衡速度 uT 。
1—2
解：设油膜内速度呈线性分布，平衡时油膜内的速度梯度可计算为
∫ =y e−∫ pdt ( qe∫ pdtdt + c)
此处迹线微分方程中 p = -1，q = t；代入后得：
∫ y = et ( te−tdt + c) = et [−e−t (t +1) + c] = cet − t −1
即
x= c1et − t −1， y= c2et − t −1
因此，t=0 时：过（a, b）的迹线方程为：
aa′= udt ， bb=′ (u+ du dy)dt dy
所以
da ≈ taa n d = bb′− aa′= du dt 即 dα = du
dy dy
dt dy
R
δ1
L
n
δ2
1—4
1-8 图 1-17 所示为旋转粘度测定仪。该测定仪由内外 两圆筒组成，外筒以转速 n（r/min）旋转，通过内外筒之间
x= (a+1)et − t−1，y= (b +1)et − t−1
= du dy
0= .0u5T ×−100−3
20000uT
1/s
由牛顿剪切定理可得滑块表面处流体受到的切应力τ 为
τ
=µ du dy
=7 ×10-2
×
20000uT
=1400 uT
拉格朗日方程
对i求和并移项得
∂ri d ∂ 1 ∂ 1 2 2 mi v i • = ∑[ ( mi vi ) − ( mi vi )] ∑ • ∂qs dt ∂ q 2 ∂qs 2 i i s
•
引入系统动能
T =
∑
i
1 2 m i vi 2
s = 1, 2, • • •, n
dvi ∂ri Qs − ∑ mi • =0 dt ∂qs i
若全部主动力均为有势力,设势能函数为 V(xi,yi,zi),则有
∂V ∂V ∂V ∂V = −( Fi = − i+ j+ k) ∂ri ∂xi ∂ yi ∂zi
∂ri Qs = ∑ Fi • ∂qs i =1
N
s=1,2, …,n 上式即为主动力有势时的广义力表达式。
∂V ∂ri • = −∑ ∂qs i =1 ∂r i
ri = ri(q1, q2, …, qn,t)
i=1,2, … ,N
于是用广义坐标的独立变分表示的虚位移为
δ ri =
∑
s =1
n
∂ ri δqs ∂qs
i
i=1,2, …,N
δW = ∑ Fi • δri
n N ∂ri ∂ri δW = ∑ Fi • ( ∑ δqs ) = ∑ ( ∑ Fi • )δqs ∂qs i =1 s =1 ∂qs s =1 i =1
m φ1 φ2
m
ϕ1 + ϕ 2 2 mr 2 • 2 • 2 cr 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
mr 2 • 2 • 2 cr 2 ϕ1 + ϕ 2 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
结构动力学哈工大版课后习题解答
第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)(=+dtU T d ，进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。
机器人学导论复习题及参考 答案
中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案机器人学导论一、名词解释题：1.自由度：2.机器人工作载荷：3.柔性手：4.制动器失效抱闸：5.机器人运动学：6.机器人动力学：7.虚功原理：8.PWM驱动：9.电机无自转：10.直流伺服电机的调节特性：11.直流伺服电机的调速精度：12.PID控制：13.压电元件：14.图像锐化：15.隶属函数：16.BP网络：17.脱机编程：18.AUV：二、简答题：1.机器人学主要包含哪些研究内容？2.机器人常用的机身和臂部的配置型式有哪些？3.拉格朗日运动方程式的一般表示形式与各变量含义？4.机器人控制系统的基本单元有哪些？5.直流电机的额定值有哪些？6.常见的机器人外部传感器有哪些？7.简述脉冲回波式超声波传感器的工作原理。
8.机器人视觉的硬件系统由哪些部分组成？9.为什么要做图像的预处理？机器视觉常用的预处理步骤有哪些？10.请简述模糊控制器的组成及各组成部分的用途。
11.从描述操作命令的角度看，机器人编程语言可分为哪几类？12.仿人机器人的关键技术有哪些？三、论述题：1.试论述机器人技术的发展趋势。
2.试论述精度、重复精度与分辨率之间的关系。
3.试论述轮式行走机构和足式行走机构的特点和各自适用的场合。
4.试论述机器人静力学、动力学、运动学的关系。
5.机器人单关节伺服控制中，位置反馈增益和速度反馈增益是如何确定的？6.试论述工业机器人的应用准则。
四、计算题：（需写出计算步骤，无计算步骤不能得分）：1.已知点u的坐标为[7,3,2]T，对点u依次进行如下的变换：（1）绕z轴旋转90°得到点v；（2）绕y轴旋转90°得到点w；（3）沿x轴平移4个单位，再沿y轴平移-3个单位，最后沿z轴平移7个单位得到点t。
求u, v, w, t各点的齐次坐标。
xyzOuvwt2.如图所示为具有三个旋转关节的3R 机械手，求末端机械手在基坐标系{x 0,y 0}下的运动学方程。
(人教版)西安八年级数学上册第十五章《分式》经典习题(答案解析)
一、选择题1．关于x 的一元一次不等式组31,224xm x x x ⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程13122my yy y--+=--有整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9B ．10C ．13D ．142．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（ ）A ．6000600052x x -= B ．6000600052x x-= C ．6000600052x x -=+ D ．6000600052x x-=+ 3．如果a ，b ，c ，d 是正数，且满足a +b +c +d =2，11a b c b c d ++++++11a c d ab d+++++=4，那么d a a b c b c d ++++++b ca c d ab d+++++的值为（ ）A ．1B ．12C ．0D ．44．下列各分式中，最简分式是（ ）A ．6()8()x y x y -+B ．22y x x y --C ．2222x y x y xy++ D ．222()x y x y -+ 5．下列变形不正确的是（ ） A ．1122x xx x+-=--- B ．b a a bc c--+=- C ．a b a bm m -+-=- D ．22112323x x x x--=--- 6．计算2m m 1m m-1+-的结果是（ ） A ．mB ．－mC ．m ＋1D ．m －17．大爱无疆，在爆发新冠病毒疫情后，甲，乙两家单位分别组织了员工捐款．已知甲单位捐款7500元，乙单位捐款9800元，甲单位捐款人数比乙单位少10人，且甲单位人均捐款额比乙单位多20元，若设甲单位的捐款人数为x ，则可列方程为（ ）A ．7500980020x x 10-=- B ．9800750020x 10x-=- C ．7500980020x x 10-=+D ．9800750020x 10x-=+ 8．为推进垃圾分类，推动绿色发展，宜宾天原化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用460万元购买甲型机器人比用580万元购买乙型机器人的台数少一台，两种型号机器人的单价和为140万元．若设乙型机器人每台x 万元，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．4605801x 140x -=- B ．4605801140x x =-- C ．4605801x 140x =+- D ．4605801140x x -=- 9．下列变形不正确．．．的是（ ） A ．1a b a b a b-=-- B ．1a ba b a b +=++ C ．221a b a b a b +=++ D ．221-=-+a b a b a b10．将0.50.0110.20.03x x +-=的分母化为整数，得（ ） A ．0.50.01123x x +-= B ．5051003xx +-= C ．0.50.01100203x x +-= D ．50513x x +-= 11．2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：厨余垃圾分出量如果厨余垃圾分出率=100%⨯生活垃圾总量(生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是（ ）A ．660840014710x x ⨯=B ．6608400147660840010x x⨯=++C ．660840014147660840010x x⨯=⨯++ D ．7840066010146608400x x++⨯=12．下列计算正确的个数为（ ）①555•2a a a =；②5510b b b +=；③1644n n ÷=；④247••y y y y =；⑤()()23•x x x --=-；⑥()7214a a --=；⑦()()234214•a a a -=；⑧()242a a a ÷-=-；⑨()03.141π-=． A ．2B ．3C ．4D ．513．下列各式中正确的是（ ）A ．263333()22=x x y y B ．222224()=++a a a b a bC ．22222()--=++x y x y x y x y D ．333()()()++=--m n m n m n m n 14．如果111a b a b +=+，则b a a b+的值为（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．2-15．已知有理数a ，b 满足：1ab =，1111M a b =+++，11a bN a b=+++，则M ，N 的关系为（ ）A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．M ，N 的大小不能确定 二、填空题16．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：3(1)441111a a a a a +-+==+---，212(1)332111a a a a a -+-==-+++．参考上面的方法，解决下列问题：（1）将1a a +变形为满足以上结果要求的形式：1aa =+_________； （2）①将321a a +-变形为满足以上结果要求的形式：321a a +=-_________；②若321a a +-为正整数，且a 也为正整数，则a 的值为__________．17．已知2510m m -+=，则22125m m m-+=____． 18．计算：()0322--⋅=________．19．如图，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为1a ，第2幅图中“□”的个数为2a ，第3幅图中“□”的个数为3a ，……，以此类推，若123201922222020n a a a a +++⋅⋅⋅+=（n 为正整数），则（1）5a =________；（2）n 的值为________．20．若关于x 的方程2144416m x x x +=-+-无解，则m 的值为__________． 21．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Min{,}a b 表示a ，b 中的较小的值，如Min{3,4}3=，按照这个规定，方程135Min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_____________．22．计算：()222333a ba b --⋅=_______________．23．约分：22618m nmn=-________________ 24．计算：11|12|3-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 25．计算3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的结果是________．26．某公司生产了A 型、B 型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A 型计算机总价值为102万元；B 型计算机总价值为81.6万元，且单价比A 型机便宜了2400元．问A 型、B 型两种计算机的单价各是多少万元．若设A 型计算机的单价是x 万元，请你根据题意列出方程________．三、解答题27．计算：（1）()()22x y x x y -++；（2）22362369m m m m m -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭． 28．为做好新冠肺炎疫情防控，某学校购入了一批洗手液与消毒液．购买洗手液花费3200元，购买消毒液花费3000元，购买的洗手液瓶数是消毒液瓶数的2倍，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格高7元．（1）求一瓶洗手液的价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？（2）入冬以后，常见呼吸道传染病进入高发期，加剧了疫情防控的复杂性，学校决定第二次购入一批洗手液与消毒液，洗手液和消毒液的瓶数分别都比第一次的购入量多100瓶．适逢经销商进行价格调整，每瓶洗手液的价格比第一次的价格降低5%4a ，每瓶消毒液的价格比第一次的价格降低%a ，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液 与消毒液的总费用多400元，求a 的值． 29．计算与求值（1）计算：)1π；（2）求)(2316x +=中x 的值． 30．先化简，再求值：213(1)211x x x x x +--÷-+-，其中x ＝12．。
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习 题15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C 上作用一驱动力偶M ，使质量m 1的物体A 上升。
已知平衡物B 的质量为m 2，主动轮C 和从动轮D 都为均质圆轮，半径和质量分别为r 和m 3。
如不计胶带质量，试求A 物的加速度。
图15-7a m F A 1I = a m F B 2I = ra m r ar m MMDC323I I 21)(21=== 动力学普遍方程0δ)(δ)(δ)(I 2I 1I I =-++---s F W s F W rs MMM B A D C0)()(1)2121(221133=-++---a m g m a m g m rra m ra m Mrm m m gr m m M a )()(32112++-+=15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m 1的滑块及质量为m 2的平衡重块组成，长l 的杆不计重量，弹簧刚度为k ，当θ = 0时，为原长。
若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求ω与θ的关系。
图15-8θωsin 211I l m F = )c o s 1(θ-=kl F 动力学普遍方程0δ)(δ22211I =+-r F g m r F θθcos δsin δ21r r = θt a n δδ12r r = 故0tan δ)]cos 1([δsin 212121=-+-θθθωr kl g m r l mθθωcos 2)cos 1(122l m kl g m -+=15-3 如图15-9所示，板DE 质量为m 1，放在三个质量均为m 2的滚子A 、B 和C 上，今在板上作用一水平向右的力F ，使板与滚子运动。
如板与滚子，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE 的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。
图15-9DE a m F 11I = 2/22I DE a m F = DE DE Ora m ra r m M222I 41)2(21==动力学普遍方程0δ3δ3δ)(2I 22I 11I =---ϕC M r F r F F02δ4132δ23δ)(121211=⨯⨯-⨯--rr ra m r a m r a m F DE DE DE08921=--DE DE a m a m F212198889m m F m m F a DE +=+=15-4 椭圆规尺放在水平面内，由曲柄带动，如图15-10所示。
设曲柄OC 与椭圆规尺AB 都为均质杆，质量分别为m 1和2m 1，且OC =AC =BC =l 。
滑块A 与B 的质量相等均为m 2，如作用在曲柄上的驱动力矩为M O 不计摩擦，试求曲柄的角加速度。
图15-10同习题12-6ωl v C = ωω=AB ϕωωϕc o s 2c o s 2l l v AB A =⨯= ϕωs i n 2l v B = B A AB OC E E E E E k k k k k +++=)(21])2)(2(121[21)2(21)31(2122222121221B A C v v m l m v m l m ++++=ωω 222221*********3161ωωωωl m l m l m l m ⨯+++=2221243ωl m m +=2221243ϕl m m += O Q M W F =∑=ϕϕϕδδ由ϕϕϕQ F E E t=∂∂-∂∂k k )(d dO M l m m =+)2(243221α221)43(lm m M O+=α15-5 如图15-11所示，铰接平行四边形机构O 1O 2AB 位于铅直平面内，杆O 1A ，O 2B 各长l ，质量不计；杆AB 为均质杆，质量m 。
设在O 1A 杆上作用一常力矩M ，试求O 1A 转动到任意位置时的角加速度，并求︒=90θ时的角加速度的值。
图15-11以θ为广义坐标，先求广义力给系统虚位移θδθθθθsin δδδ)(l mg M W F⨯-=∑θθθθsin δδ)(mgl M W F FQ -=∑=222k 21)(21θθ ml l m E ==由 θθθQ F E E t =∂∂-∂∂k k )(d dθθ 2k ml E =∂∂ 0k =∂∂θE θθsin 2mgl M ml -=2sin mlmgl M θθα-==︒=90θ时 2mlmgl M -==θα15-6 如图15-12所示，在质量为m 1的均质圆柱C 上绕着一根细绳，绳的质量可以不计。
绳的另一端跨过不计质量的滑轮O 与质量为m 2的物块A 相连，物块放在粗糙的水平面上，动摩擦因数为μ。
如果圆柱由静止落下作平面运动，试求物块和圆柱质心的加速度。
图15-12以A x 、C y 为广义坐标，先求广义力显然g m F Ax Q2μ-= g m F Cy Q1=2212122k ))(21(212121r x y r m y m x m E A C C A -++=212122)(412121A C C A x ym ym xm -++= ]32)2[(41211221C C A A y m y x m x m m +-+= ])2[(21)(d d 121k C A A y m x m m x E t -+=∂∂ 0k =∂∂A x E ]3[21)(d d 11k C A C ym x m y E t +-=∂∂ 0k =∂∂Cy E代入拉氏方程 Ax QAA F x E xE t =∂∂-∂∂k k )(d dCy QCC F y E yE t=∂∂-∂∂k k )(d d得g m ym x m m C A 2121])2[(21μ-=-+ g m ym x m C A 111]3[21=+- 解得g m m m m xA 212133+-=μ g m m m m yC 21213)32(+-+=μ即 g m m m m a A 212133+-=μ g m m m m a C 21213)32(+-+=μ15-7 如图15-13所示，一绳跨过两定滑轮A 与B ，并吊起一动滑轮C ，绳子不在滑轮上的各端都是铅垂的，滑轮上吊有重W ＝40N 的重物，绳的两端分别挂有重量各为W 1=20N ，W 2=30N 的两重物。
如滑轮与绳的重量以及轴承的摩擦均可不计，试求这三个重物的加速度。
图15-13以1y 、2y 为广义坐标(向下为正)221222211k )2(212121y y m ym y m E +++=221222211)2(212121y y m y m ym +++=2122221141)4(81)4(81y ym ym m ym m ++++= 2212211p y y mg gy m gy m E ++--=241)4(81)4(8121221121222211p k y y mg gy m gy m y ym ym m ym m E E L +-++++++=-=]41)4[(41)(d d 2111ym y m m y L t ++=∂∂ g m m y L )2(11-=∂∂ ]41)4[(41)(d d 1222ym ym m y Lt ++=∂∂ g m m y L )2(22-=∂∂代入拉氏方程 0)(d d 11=∂∂-∂∂y L y Lt0)(d d 22=∂∂-∂∂y L y Lt得0)2(]41)4[(411211=--++g mm ym ym m0)2(]41)4[(412122=--++g mm ym ym m 0)24()4(1211=--++g m m y m y m m 0)24(])4(2122=--++g m m y m y m m 04012021=+y y 0401604021=-+g yy 解得g y1111-= g y1132=即 g a 1111-=(向上) g a 1132=(向下) g a 111=(向上)15-8 图15-14所示滑轮组中，三个物块A ，B ，C 质量分别为m A =10kg ， m B =20kg ，m C =20kg 。
物块与地面间的动摩擦因数均为μ=0.2，滑轮质量不计，试求各重物的加速度。
图15-14以A x (向右为正)、C x (向左为正)为广义坐标，先求广义力显然g m g m F A B x QAμ-=2g m g m F C B x QCμ-=2222k )2(212121C A B C C A A x x m xm x m E +++=]41)4(81)4(8122C A B C B C A B A x x m xm m x m m ++++= C B A B A A x m x m m x E t 41)4(41)(d d k ++=∂∂ 0k =∂∂A x E A B C B C C xm xm m xE t 41)4(41)(d d k ++=∂∂ 0k =∂∂Cx E代入拉氏方程Ax Q AA F x E xE t=∂∂-∂∂k k )(d d Cx Q CC F x E x E t=∂∂-∂∂k k )(d d得g m g m xm xm m A B C B A B A μ-=++241)4(41g m g m xm xm m C B A B C B C μ-=++241)4(41g x x C A 322060=+ g xx C A 2410020=+ 解得2m/s 76.47034==g xA 2m /s 4.171==g x C即 2m/s 76.4=A a (向右) 2m /s 4.1=C a (向左) 2m /s 08.3=C a (向下)15-9 用动力学普遍方程推导刚体平面运动微分方程。
15-10 如图15-15所示，半径为r 的滑轮可绕水平轴O 转动，在滑轮上跨过一不可伸长的绳，绳的一端悬挂质量为m 1的重物C ，另一端与刚性系数为k 的铅垂弹簧相连。
设滑轮的质量m 2均布于轮缘上，绳与滑轮间无滑动。
试求系统的振动周期。
图15-15以C 的铅垂位移C y 为广义坐标(向下为正)22221k ))((2121ry r m ym E C C +=221)(21C ym m += 22st 2st 1p 21])[(21C C C ky y k gy m E =-++-=δδ2221p k 21)(21C C ky y m m E E L -+=-=C C ym m y Lt )()(d d 21+=∂∂ C Cky y L -=∂∂代入拉氏方程0)(d d =∂∂-∂∂CC y L yL t0)(21=++C C ky y m m 021=++C C y m m k y21m m k +=ω km m T 21π2π2+==ω15-11如图15-16所示，椭圆摆由一半径为r ，质量为m 1的均质圆盘A 与一小球B 构成，圆盘可沿水平面纯滚动。