第八章概率论
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这就是一个判断的法则 .
称 u ? x ? ? 0 为检验统计量 ?/ n
| u |? k 为拒绝域的形式 .
在很大的程度上我们可以说 ,确定假设检验的法则的 过程就是确定拒绝域的过程 .
3)可能犯的两类错误
现在假设正数 k已经确定,则当我们使用上面的法则作 判断时,由于检验统计量的随机性 ,不可避免地会导致如 下两类错误 :
P｛接受H 0 | H 0为假}＝?
或
PH1 {接受H 0 } ? P{接受H 0 | H1为真} ? ?
在本例中 ,上式可写成
PH1
?? ? ??
x
?
? /
?0
n
? k??? ? ?
??
对于给定的一对 H 0 和 H1 ,总可以找出许多的拒绝域, 比如在本例中当 k 取不同的值时就得到不同的拒绝域. 当然我们希望寻找这样的拒绝域,使得犯两类错误的概
明这天的包装机工作不正常 .
因此,本例的问题实际上是要我们根据样本所提供的 信息来检验下面的假设 :
H0 : ? ? ? 0 ? H1 : ? ? ? 0
其中 ? 0 ? 0.5 .称 H 0 为原假设（或零假设）, H1 为 备择假设.
如果接受 H 0 ,则表明这天的包装机工作正常 , 如果拒绝 H 0 ,则接受 H1 ,此时表明这天的包装机 工作不正常 .
由于当 H0为真时 ,统计量
u ? x? ?0 ~ N(0,1) ?/ n
(?0 ? 0.5, ? ? 0.015,n ? 9)
因此当 H 0 为真时 , | u | 不应很大 ,如果很大 ,则拒 绝 H 0 .基于这种想法,我们所要做的就是确定一个正 数 k ,当 | u |? k 时拒绝 H 0 同时接受 H1 ,而在 | u |? k 时接受 H 0
在本例中 ,上式可写成
PH 0
?? ? ??
x
?
? /
?0
n
? k??? ? ?
??
b)第二类错误 (取伪)
原假设 H 0 事实上是假的,但是由于检验统计量的观 察值没有落在拒绝域中 ,从而导致接受 H 0 .这时犯了 “取伪”的错误,即接受了错误的假设, 这一类错误我 们称之为第二类错误.
记犯第二类错误的概率为 ? ,则有
现在的问题是 :依据什么样的法则来决定拒绝还是 接受 H0?
2)我们已经知道 ,样本均值 x 是总体数学期望 ? 的
一个无偏估计,因此当 H 0 为真时, x 与 ? 0 ? 0.5 应该比 较接近.
由于抽样的随机性, x 与 ? 0 之间不可避免地会出 现一定的差异 ,但是如果 | x ? ? 0 | 很大时 ,我们就有 理由怀疑 H 0 的正确性并进而拒绝 H 0 .
机地抽取它所包装的糖 9 袋,称得净重分别为(公斤) 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512
问包装机工作是否正常 ?
解 我们按照下列步骤来分析 :
1)看它工作是否正常 ,实际上就是看是否可以认为
? 等于 0.5,如果可以认为 ? 等于 0.5,则表明这天的包 装机工作正常,否则,如果不可以认为 ? 等于 0.5,则表
a)第一类错误 (弃真)
原假设 H0 事实上是真的,但是由于检验统计量的 观察值落入拒绝域中,从而导致拒绝 H0 .这时犯了 “弃真”的错误,即将正确的假设摒弃了,这一类错 误我们称之为第一类错误.
记犯第一类错误的概率为? ,则有
P{拒绝H 0 | H 0为真}＝?
或
PH0 {拒绝H 0 } ? ?
率? 与 ? 都很小.但是,已有研究表明,当样本容量给定 后,? 与 ? 中的一个减小时,另一个却随着增大,要使它
们同时都很小是不可能的.
基于这种情况 ,奈曼和皮尔逊(Neyman-Pearson) 提出了 如下原则：
在控制第一类错误的概率 ? 的条件下 ,使犯第二 类错误的概率 ? 尽量的小.
这种假设检验问题称为显著性检验问题.称犯第一类 错误的概率? 为显著性水平.
Neyman-Pearson 原则的出发点 ：我们提出原假设时是 经过细致调查和考虑的 ,它必须是一个要加以保护的假 设,这样当我们要拒绝它时必须非常慎重 ,一般情况下不 宜轻易拒绝 .
在确定了显著性水平后 ,接下来的任务就是确定拒绝域 .
4）由于在 H0为真的条件下
u ? x ? ? 0 ~ N(0,1) ?/ n
| u |?
x? ?0 ?/ n
?
0.511 ? 0.5 0.015 / 9
? 2.2 ? 1.96 ?
z0.025
于是拒绝 H 0 ,即认为这天包装机工作不正常 .
综上所述,处理假设检验问题的步骤如下：
1、根据问题的实际情况 ,建立原假设 H 0 及备择 假设 H 1 ；
2、选定检验统计量并分析拒绝域的形式； 3、给定显著性水平? ,并由此确定出拒绝域C ；
第八章 假设检验(Hypothesis Testing）
假设检验 是另一种有重要理论和应用价值 的统计推断形式 .它的基本任务是 ,在总体的分布 函数完全未知或只知其形式但不知其参数的情况 下,为了推断总体的某些性质 ,首先提出某些关于 总体的假设 ,然后根据样本所提供的信息 ,对所提 假设做出“ 是”或“否”的结论性判断 .假设检 验有其独特的统计思想 ,许多实际问题都可以作 为假设检验问题而得以有效地解决 .
第一节 假设检验的基本概念
先通过一个例题来说明假设检验的基本思想及 由此而形成的一些基本概念 .在本章中我们将不 区别样本和样本值 ,都记为( x1 , x2 ,? , xn ),并且将 总体记为 x .
例 1 某车间用一台包装机包装葡萄糖 .包得的袋 装糖重是一个随机变量,它服从正态分布
N (? ,0.015 2 ) .当机器正常时 ,其均值为 0.5 公斤,随
所以由
PH 0
? ? ?
x源自文库
?
? /
?0
n
?
? k? ? ?
?
可得
k ? z? 2 .
因而,若| u |? z? ,则拒绝 H 0 ,而若| u |? z? ,则接受 H 0
2
2
称 | u |? z? /2 为拒绝域.
在本例中 ,如果取 ? ? 0.05 ,则有 k ? z0.025 ? 1.96 , 又已知 ? ? 0.015, n ? 9 ,再由样本算得 x ? 0.511 ,有
称 u ? x ? ? 0 为检验统计量 ?/ n
| u |? k 为拒绝域的形式 .
在很大的程度上我们可以说 ,确定假设检验的法则的 过程就是确定拒绝域的过程 .
3)可能犯的两类错误
现在假设正数 k已经确定,则当我们使用上面的法则作 判断时,由于检验统计量的随机性 ,不可避免地会导致如 下两类错误 :
P｛接受H 0 | H 0为假}＝?
或
PH1 {接受H 0 } ? P{接受H 0 | H1为真} ? ?
在本例中 ,上式可写成
PH1
?? ? ??
x
?
? /
?0
n
? k??? ? ?
??
对于给定的一对 H 0 和 H1 ,总可以找出许多的拒绝域, 比如在本例中当 k 取不同的值时就得到不同的拒绝域. 当然我们希望寻找这样的拒绝域,使得犯两类错误的概
明这天的包装机工作不正常 .
因此,本例的问题实际上是要我们根据样本所提供的 信息来检验下面的假设 :
H0 : ? ? ? 0 ? H1 : ? ? ? 0
其中 ? 0 ? 0.5 .称 H 0 为原假设（或零假设）, H1 为 备择假设.
如果接受 H 0 ,则表明这天的包装机工作正常 , 如果拒绝 H 0 ,则接受 H1 ,此时表明这天的包装机 工作不正常 .
由于当 H0为真时 ,统计量
u ? x? ?0 ~ N(0,1) ?/ n
(?0 ? 0.5, ? ? 0.015,n ? 9)
因此当 H 0 为真时 , | u | 不应很大 ,如果很大 ,则拒 绝 H 0 .基于这种想法,我们所要做的就是确定一个正 数 k ,当 | u |? k 时拒绝 H 0 同时接受 H1 ,而在 | u |? k 时接受 H 0
在本例中 ,上式可写成
PH 0
?? ? ??
x
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b)第二类错误 (取伪)
原假设 H 0 事实上是假的,但是由于检验统计量的观 察值没有落在拒绝域中 ,从而导致接受 H 0 .这时犯了 “取伪”的错误,即接受了错误的假设, 这一类错误我 们称之为第二类错误.
记犯第二类错误的概率为 ? ,则有
现在的问题是 :依据什么样的法则来决定拒绝还是 接受 H0?
2)我们已经知道 ,样本均值 x 是总体数学期望 ? 的
一个无偏估计,因此当 H 0 为真时, x 与 ? 0 ? 0.5 应该比 较接近.
由于抽样的随机性, x 与 ? 0 之间不可避免地会出 现一定的差异 ,但是如果 | x ? ? 0 | 很大时 ,我们就有 理由怀疑 H 0 的正确性并进而拒绝 H 0 .
机地抽取它所包装的糖 9 袋,称得净重分别为(公斤) 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512
问包装机工作是否正常 ?
解 我们按照下列步骤来分析 :
1)看它工作是否正常 ,实际上就是看是否可以认为
? 等于 0.5,如果可以认为 ? 等于 0.5,则表明这天的包 装机工作正常,否则,如果不可以认为 ? 等于 0.5,则表
a)第一类错误 (弃真)
原假设 H0 事实上是真的,但是由于检验统计量的 观察值落入拒绝域中,从而导致拒绝 H0 .这时犯了 “弃真”的错误,即将正确的假设摒弃了,这一类错 误我们称之为第一类错误.
记犯第一类错误的概率为? ,则有
P{拒绝H 0 | H 0为真}＝?
或
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率? 与 ? 都很小.但是,已有研究表明,当样本容量给定 后,? 与 ? 中的一个减小时,另一个却随着增大,要使它
们同时都很小是不可能的.
基于这种情况 ,奈曼和皮尔逊(Neyman-Pearson) 提出了 如下原则：
在控制第一类错误的概率 ? 的条件下 ,使犯第二 类错误的概率 ? 尽量的小.
这种假设检验问题称为显著性检验问题.称犯第一类 错误的概率? 为显著性水平.
Neyman-Pearson 原则的出发点 ：我们提出原假设时是 经过细致调查和考虑的 ,它必须是一个要加以保护的假 设,这样当我们要拒绝它时必须非常慎重 ,一般情况下不 宜轻易拒绝 .
在确定了显著性水平后 ,接下来的任务就是确定拒绝域 .
4）由于在 H0为真的条件下
u ? x ? ? 0 ~ N(0,1) ?/ n
| u |?
x? ?0 ?/ n
?
0.511 ? 0.5 0.015 / 9
? 2.2 ? 1.96 ?
z0.025
于是拒绝 H 0 ,即认为这天包装机工作不正常 .
综上所述,处理假设检验问题的步骤如下：
1、根据问题的实际情况 ,建立原假设 H 0 及备择 假设 H 1 ；
2、选定检验统计量并分析拒绝域的形式； 3、给定显著性水平? ,并由此确定出拒绝域C ；
第八章 假设检验(Hypothesis Testing）
假设检验 是另一种有重要理论和应用价值 的统计推断形式 .它的基本任务是 ,在总体的分布 函数完全未知或只知其形式但不知其参数的情况 下,为了推断总体的某些性质 ,首先提出某些关于 总体的假设 ,然后根据样本所提供的信息 ,对所提 假设做出“ 是”或“否”的结论性判断 .假设检 验有其独特的统计思想 ,许多实际问题都可以作 为假设检验问题而得以有效地解决 .
第一节 假设检验的基本概念
先通过一个例题来说明假设检验的基本思想及 由此而形成的一些基本概念 .在本章中我们将不 区别样本和样本值 ,都记为( x1 , x2 ,? , xn ),并且将 总体记为 x .
例 1 某车间用一台包装机包装葡萄糖 .包得的袋 装糖重是一个随机变量,它服从正态分布
N (? ,0.015 2 ) .当机器正常时 ,其均值为 0.5 公斤,随
所以由
PH 0
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x源自文库
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n
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可得
k ? z? 2 .
因而,若| u |? z? ,则拒绝 H 0 ,而若| u |? z? ,则接受 H 0
2
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称 | u |? z? /2 为拒绝域.
在本例中 ,如果取 ? ? 0.05 ,则有 k ? z0.025 ? 1.96 , 又已知 ? ? 0.015, n ? 9 ,再由样本算得 x ? 0.511 ,有