2013竞赛专题——著名不等式汇集

竞赛中著名不等式汇集

作者 阿道夫 （配以典型的例题） 2013.2.28

在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。不等式常以其优美的结构、严谨的解法、恢弘的气势、广阔的知识容纳性、深层的数学背景等，而被众多竞赛大家所看重，也被莘莘学子所追崇。以下根据自己在前些年教学中的总结并引学了其他贤人的智慧汇集如下，希望对同学们有所帮助。

1. 平均不等式（均值不等式）

2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）

3. 排序不等式（排序原理）

4. 契比雪夫不等式

5. 贝努利不等式

6. 琴生不等式

7. 含有绝对值的不等式 8. 舒尔不等式

9. 一些几何不等式

01 佩多不等式

02外森比克不等式

03 三角形内角的嵌入不等式

10. 内斯比特不等式 11． Holder 不等式.

12. 闵可夫斯基（Minkowski ）不等式

1. 平均不等式（均值不等式）

设n a a a ,,,21 是n 个正数，令

n

a a a n

n H 111)(21+++=

（调和平均值），

n n a a a n G 21)(= （几何平均值）

， n

a a a n A n

+++=

21)( （算术平均值），

n

a a a n Q n

2

2

22

1)(+++= （平方平均值），

则有

（I ）(调和平均几何平均不等式) )()(n G n H ≤；

（II ）(几何平均算术平均不等式) )()(n A n G ≤； （III ）（算术平均平方平均不等式） )()(n Q n A ≤.

这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是n a a a === 21. （I ） )()(n G n H ≤ ⇔

n

a a a n

1

1121+++ ≤n n a a a 21

⇔

n a a a a a a a a a a a a n n

n

n

n

n

n

≥+

++

212211

21 (1)

1212

211

21=⋅

n

n

n

n

n

n

n

a a a a a a a a a a a a

,

由3

的推论2知（1）式成立，故（I ）成立.等号成立的充要条件是

n

n

n

n

n

n

n

a a a a a a a a a a a a 212

211

21=

==

，即n a a a === 21.

（II ）)()(n A n G ≤

⇔

n

n a a a 21≤

n

a a a n

+++ 21

⇔

n a a a a a a a a a a a a n

n

n

n

n

n

n

≥+

++

21212

211 (2)

121212

211

=⋅

n

n

n

n

n

n

n

a a a a a a a a a a a a

,

所以由3的推论2知（2）成立，故（II ）成立.显然等号成立的充要条件是

n a a a === 21.

（III ） 令n

a a a c

n

+++=

21，再令i

i a c α=+ ，n i ,,2,1 =，则

1212n n a a a nc ααα+++=+++

+

1212n n a a a ααα=++

+++++（）.

∴ 12

n ααα++

+=0 ,

222

222

1212()()()n n a a a c c c n n ααα++

+++++++=

222

2

212n c c c n

ααα++

+=+

≥=.

等号成立的充要条件是2

2

2120n ααα+++=，即n a a a === 21.

另：G,Q 证明还可以借助2维形式加以证明

练习：

1）.设

的最小值为 .

2）. 设A 、B 、C 、D 为空间中的四点，求证：

证明：如图，取BD 的中点E ，连结AE 和EC ，则在△ABD 和△BCD 中，根据中线的性质，有

3）. （2005年日本数学奥林匹克）若正实数,,,c b a 满足1=++c b a ，求证

1111333≤-++-++-+b a c a c b c b a .

证 ∵021>+=-+++=-+b a c b c b a c b ， 由均值不等式，得 3

13)1(1113c

b c b c b -+=-+++≤

-+，