2013竞赛专题——著名不等式汇集
数学竞赛几个重要不等式
几个重要不等式一．基础知识1. 均值不等式: 设a i >0,i=1,2,…,n,n>1.n n n nn a a a G na a a A 2121,=+++=,na a a Q a a a nH nn nn 2222121,111+++=+++=,分别叫算术平均,几何平均,调和平均和平方平均,则有H n ≤G n ≤A n ≤Q n .当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等号成立. 例1.设z y x ,,是正实数,且3=++z y x .求证:()zx yz xy x z z y y x +++≥+++++27291888333333.证明:由均值不等式,得3274227283274227283233233xy y y y x y y y y x =+-⋅+⋅+≥+-++++, 同理,3274227283274227283233233y z z z y y z z z z y =+-⋅+⋅+≥+-++++, 3274227283274227283233233z x x x x z x x x x z =+-⋅+⋅+≥+-++++.三式相加得()22233333327194888z y x x z z y y x ++-≥+++++ ()()()2791279912222222z y x z y x z y x ++-+++=++-+= ()zx yz xy +++=27291.例2 证明:.,)111()11(*1N n n n n n ∈++<++证明: 因11)111(11)11(1)11(++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++<⋅+n n n n n nn n , 所以,1)111()11(+++<+n n n n . 例3设a 1,a 2,…,a n ,b 1,b 2,…,b n ∈R +,且a 1+a 2+…+a n ≤1,b 1+b 2+…+b n ≤n. 求证:n nn n b a b a b a )1()11()11)(11(2211+≥+++ . 证明:∵11)1()1(11111++≥+++=+n in i i n i i i i b na n b na na b a个∴1212111)(1)1()1()11(+=⋅+≥+∏n n nn n n n ni i ib b b a a a n n b a ,又a 1a 2…a n ≤ n n n a a a )(21+++ ≤n n 1, b 1b 2…b n ≤n n n b b b )(21+++ ≤1∴nni i in b a )1()11(1+≥+∏=,得证例4设a ,b,c,d>0,且满足(a +b)(b+c)(c+d)(d+a )=1.求证:(2a +b+c)(2b+c+d)(2c+d+a )(2d+a +b)(a bcd)2161≤. 证明:因∏(2a +b+c)4])2(41[∑++≤c b a =(a +b+c+d)4，所以,仅证 (a +b+c+d)4(abcd)2161≤⇔≤16116(a +b+c+d)4(abcd)2≤[(a +b)(b+c)(c+a )(d+a )]3 ⇔≥++++3)]11)(11)(11)(11[(ad d c c b b a 16(abc dab cda bcd 1111+++)4. 令w dz c y b x a ====1,1,1,1,欲证: [(x+y)(y+z)(z+w)(w+x)]3≥16(xyz+xyw+xzw+yzw)4:因4(xyz+xyw+xzw+yzw)2≤4[xy(z+w)+zw(x+y)]2≤ [xy (x+y)(z+w)+zw (z+w)(x+y)]2=[(x+y)(z+w)]2(xy +zw )2=[(x+y)(z+w)]2(xy+zw+2xyzw )2≤[(x+y)(z+w)]2(xy+zw+yw+xz)=[(x+y)(z+w)]2(y+z)(x+w);同理4(xyz+xyw+xzw+yzw)2≤(x+y)(z+w)[(y+z)(x+w)]2,将两式相乘得: [(x+y)(y+z)(z+w)(w+x)]3≥16(xyz+xyw+xzw+yzw)4,即原不等式得证. 2.柯西不等式:设a i ,b i ∈R(i=1,2,…,n),则∑∑∑===≥ni i i ni in i i b a ba 121212)())((.当且仅当nn b a b a b a === 2211时等号成立.变形1设a i ∈R, b i ∈R +(i=1,2,…,n),则∑∑∑===≥ni i ni i ni iiba b a 11212)(.变形2设a i ,b i 同号且a i b i ≠0(i=1,2,…,n), 则∑∑∑===≥ni ii ni i ni iiba ab a 1121)(.例5、设z y x ,,是非负数,且3222=++z y x .证明:++++++xz y y zy x x2232≤++yx z z .证明:由柯西不等式得()()2223z y x z y x ++≥++, 又3222=++z y x ,所以, .222z y x z y x ++≥++由柯西不等式,有()()()221z y x z y z y x ++++++,因此,只要证明.3111≤++++++++++zy x yx z x z y z y x再由柯西不等式得()()()()()()[]()()()[]()()[]().22111322222z y x zx yz xy z y x z y x zx yz xy z y x z y x zy zx z xy yz y zx xy x z y x zyzx z z yx yz y y xz xy x x yx z x z y z y x++=+++++++≤+++++++=++++++++++≤++⋅+++⋅+++⋅=++++++++故3111222=++≤++≤++++++++++z y x z y x zy x yx z x z y z y x .因此,原不等式得证.例6设1),,,2,1(,01==>∑=ni ii xn i x ，求证：1111-≥-∑∑==n x x x ni ini ii.证明:左边=∑∑∑∑====---≥---ni i ni ini ni i i x x n x x 11211111112112111212112))1(()1())1(()1(∑∑∑∑====---≥ni i ni ni i ni x x n 11)11(1)1()1(1222-≥-++⋅=-=---=∑∑=n x n x n nn n n n n ni ii .例7设正实数a 1,a 2,…,a n 满足a 1+a 2+…+a n =1.求证:1))((1213232222113221+≥+++++++++n na a a a a a a a a a a a a a a n n . 证明:∵132211232222121132211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++≥+++=+++,∴只要证.11322112132322221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≥++++++a a a a a a n n a a a a a a a a a n n∵12132223221122112132322221)()()()a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a nn n n ++++++=++++++.1)(13221213221a a a a a a a a a aa a nn +++++++≥ 令t=13221a a a a a a n +++ ，则t ≥n ，故只要证112+≥+n nt t t ，即t ≥n 这已知成立。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：一、引言二、高中竞赛中常见的不等式类型1.基本不等式2.柯西不等式3.排序不等式4.切比雪夫不等式5.其他不等式三、各类不等式的应用及解题技巧1.基本不等式的应用及解题技巧2.柯西不等式的应用及解题技巧3.排序不等式的应用及解题技巧4.切比雪夫不等式的应用及解题技巧5.其他不等式的应用及解题技巧四、高中竞赛不等式公式大全的总结正文：一、引言不等式作为数学中的一个重要部分，在高中竞赛中占据着举足轻重的地位。
熟练掌握各类不等式及其应用，对于提高竞赛成绩具有至关重要的作用。
本文将为您整理一份高中竞赛不等式公式大全，助您竞赛之路一臂之力。
二、高中竞赛中常见的不等式类型1.基本不等式基本不等式是最常见的不等式类型之一，主要包含算术平均数与几何平均数的不等式、调和平均数与几何平均数的不等式等。
2.柯西不等式柯西不等式是一种在向量空间中的重要不等式，它可以用于证明其他许多不等式，同时也是解决某些问题的重要工具。
3.排序不等式排序不等式是一种与排序相关的不等式，可以用于解决一些与排序有关的问题，如求解排序问题、证明排序的稳定性等。
4.切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一种在概率论和统计学中常见的不等式，可以用于求解一些概率和方差的问题。
5.其他不等式除了以上常见的不等式类型，还有一些其他的不等式，如赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式等。
三、各类不等式的应用及解题技巧1.基本不等式的应用及解题技巧基本不等式在求解一些最值问题、比较大小问题等方面有着广泛的应用。
解题时需要注意观察题目条件，灵活运用基本不等式。
2.柯西不等式的应用及解题技巧柯西不等式在求解一些向量空间中的最值问题、证明其他不等式等方面具有重要意义。
解题时应熟练掌握柯西不等式的形式，灵活运用。
3.排序不等式的应用及解题技巧排序不等式在解决排序问题、证明排序的稳定性等方面具有重要意义。
解题时需要注意排序不等式的适用范围，正确运用。
4.切比雪夫不等式的应用及解题技巧切比雪夫不等式在求解一些概率和方差的问题中具有重要作用。
高中竞赛之重要不等式
高中竞赛之重要不等式1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方） 定理1 对任意实数组,(1,2,,)i i a b i n =恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当 时成立。
本不等式称为柯西不等式。
证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1左=2212ni i i i j j i i ja b a b a b =≠+∑∑ ∴右-左=当且仅当 时，等式成立。
柯西不等式的两个推论： ⅰ．设 同号（ ），则 当且仅当 时取等号。
ⅱ．若，且 ，则（分母作和）由柯西不等式可以证下面的不等式。
3次可以推广为4、5等n 次。
证明:对333333123123(a +a +a )(b +b +b )和3333123111222333(c +c +c )(a b c +a b c +a b c )分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式 设 ， ，…， ； ， ，…，是两组正数，0k >且1k ≠ ，则（ ）（）当且仅当1212nna a ab b b ===时等号成立。
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当 时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。
若记 ，，则上式为特例：2212122222221122()()m m m ma a ab b b a b a b a b +++++++≤++++++多个根式可转化为一个根式。
赫尔德不等式 已知（）是 个正实数， ，则上式中若令12αβ==， ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。
2〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的）设n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有∑∑∑===-+≤≤ni i i n i t i ni in i b a b a ba i 1111．即“反序和”≤“乱序和”≤“同序和”．其中{}{}n t t t n ,,2,1,,,21 =．当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立．〔切比雪夫不等式〕实数i a ，i b 满足n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21（1=i ，2，…，n ）．则∑∑∑∑=-+===≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥ni i n i n i i n i i n i i i b a n b na nb a n 111111111． 当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立． 下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解。
2013竞赛专题_著名不等式汇集
竞赛中著名不等式汇集作者 阿道夫 （配以典型的例题） 2013.2.28在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。
不等式常以其优美的结构、严谨的解法、恢弘的气势、广阔的知识容纳性、深层的数学背景等，而被众多竞赛大家所看重，也被莘莘学子所追崇。
以下根据自己在前些年教学中的总结并引学了其他贤人的智慧汇集如下，希望对同学们有所帮助。
1. 平均不等式（均值不等式）2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）3. 排序不等式（排序原理）4. 契比雪夫不等式5. 贝努利不等式6. 琴生不等式7. 含有绝对值的不等式 8. 舒尔不等式 9. 一些几何不等式01 佩多不等式02外森比克不等式03 三角形内角的嵌入不等式10. 内斯比特不等式 11． Holder 不等式.12. 闵可夫斯基（Minkowski ）不等式1. 平均不等式（均值不等式）设n a a a ,,,21 是n 个正数，令na a a nn H 111)(21+++=（调和平均值），n n a a a n G 21)(= （几何平均值），na a a n A n+++=21)( （算术平均值），na a a n Q n22221)(+++= （平方平均值）， 则有（I ）(调和平均几何平均不等式) )()(n G n H ≤； （II ）(几何平均算术平均不等式) )()(n A n G ≤； （III ）（算术平均平方平均不等式） )()(n Q n A ≤.这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是n a a a === 21. （I ） )()(n G n H ≤ ⇔na a a n11121+++ ≤n n a a a 21⇔n a a a a a a a a a a a a n nnnnnn≥+++21221121 (1)121221121=⋅nnnnnnna a a a a a a a a a a a,由3的推论2知（1）式成立，故（I ）成立.等号成立的充要条件是nnnnnnna a a a a a a a a a a a 21221121===，即n a a a === 21.（II ）)()(n A n G ≤ ⇔nn a a a 21≤na a a n+++ 21⇔n a a a a a a a a a a a a nnnnnnn≥+++21212211(2)121212211=⋅nnnnnnna a a a a a a a a a a a,所以由3的推论2知（2）成立，故（II ）成立.显然等号成立的充要条件是n a a a === 21.（III ） 令na a a c n+++= 21，再令ii a c α=+ ，n i ,,2,1 =，则1212n n a a a nc ααα+++=++++1212n n a a a ααα=+++++++（）.∴ 12n ααα+++=0 ,222212()()()n n a c c c ααα++++++++=c =≥=.等号成立的充要条件是222120n ααα+++=，即n a a a === 21.另：G,Q 证明还可以借助2维形式加以证明练习：1）.设 的最小值为 .2）. 设A 、B 、C 、D 为空间中的四点，求证：证明：如图，取BD 的中点E ，连结AE 和EC ，则在△ABD 和△BCD 中，根据中线的性质，有3）. （2005年日本数学奥林匹克）若正实数,,,c b a 满足1=++c b a ，求证1111333≤-++-++-+b a c a c b c b a .证 ∵021>+=-+++=-+b a c b c b a c b ， 由均值不等式，得313)1(1113cb c b c b -+=-+++≤-+， ∴ 313acab a c b a -+≤-+.同理可得,313babc b a c b -+≤-+ .313cbca c b a c -+≤-+将上述3个不等式相加，得333111b a c a c b c b a -++-++-+c b a ++≤ 1=.4）.（2004年中国香港数学集训队试题）证明对于任意正实数,,,c b a 均有.222444c b a abc ca b bc a ++≥++解：,422244a c b bc a bc a ≥+++,422244b c a ac b ac b ≥+++,422244c b a abc ab c ≥+++ 上述3个式子相加，得)(4)(2)(2222222444c b a c b a abc ac b bc a ++≥+++++， 所以.222444c b a abc ca b bc a ++≥++2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式） 对任意两组实数 ，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立。
高中数学奥林匹克竞赛知识讲座-不等式
n n
B
1 + i
aibi1
i 1
n
nk 2 (n 2) sec 2 ，其中约定 bn 1 b1 。 4 2n
A
A
1 + i
n
B
1
B
证明 如图 1，作边长为 k 的正 n 边形 A1 A2 ... An ，易证
i
A
A
. . .
i
2
sn边形A1 A2 ... An
2
此外,阿贝尔恒等式也是许多有关和式的不等式的导出恒等式：
aibi bn ai ( ai ) bk bk 1 .
i 1 i 1 k 1 i 1
n
n 1
k
2.3
一些著名不等式的应用 例5. 设 a, b, c 为正数且各不相等,求证:
2 2 2 9 . ab bc ca abc
x(
=
x 1 1 4 y 1 1 4 z 1 1 4 ( ) ( ) ( )6 6 , 2 y z yz 2 z x zx 2 x y x y
当且仅当 x y z ,即 a b c 时,等号成立. 评注 换元法常用来去分母、去根号,从而化简数式,对于条件 abc 1 ，常用代换
n
a1a2 ...an 作 代 换
xi
ai ,1 i n ，则 x1 x2 ...xn 1 . G
以下证明：一定存在正整数 p ，对任意的 s ，均有 x p 1 x p 2 ...x p 3 1 。鉴于 x1 x2 ...xn 1 。 那么可取 p n .若它 只需对 s n 进行证明。 如果 x1 , x1 x2 ..., x1 x2 ...xn 这 n 个乘积值均不大于 1， 们 之 中 至 少 有 一 个 大 于 1 ， 则 不 妨 设 x1 x2 ...x p 是 其 中 的 最 大 值 ， 有
全国高中数学竞赛专题不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 （3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.（4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ΛΛ证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
著名不等式荟萃
著名不等式荟萃在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数。
当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数。
当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数。
设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立。
平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一。
设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值。
最小值。
在中，当时，分别有时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；立；（3），当且仅当时等号成立；时等号成立。
（4），当且仅当时等号成立。
二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式），有对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立。
时成立。
柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位。
频频出现，这充分显示了它的独特地位。
三、闵可夫斯基不等式三、闵可夫斯基不等式，则 设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）时等号成立。
当且仅当时等号成立。
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。
右图给出了对上式的一个直观理解。
，则上式为若记，，则上式为四、贝努利不等式四、贝努利不等式（1）设，且同号，则，则（2）设，则（ⅰ）当 时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立。
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ， 即 14x y +≤。
八个著名的不等式
第八讲 几个著名的不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。
下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式 定理：设()n i R b a i i 2,1,=∈则()22211nn b a b a ba ++≤()()2222122221n n b b b a a a++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。
[一般形式的证明] 作函数()()()()()())(222222122112222212222211≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n0≤∆∴ 此时044121221≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a 121221，得证。
[向量形式的证明]令(),2,1n a a a A = (),2,1n b b b B=()()()22221222212211cos nn n n b b b a a aB A B A b a b a b a B A ++⋅+++=≤=++=⋅θ()1cos 1≤≤-θ两边同时平方得：()22211nn b a b a ba ++≤()()2222122221n n b b b a a a++⋅++，得证。
[柯西不等式的应用]例1.1设()()22121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ 求证 解：由柯西不等式可知，原不等式可化为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222122221111n na a a a a a ()22111n n =++≥ 个 当且仅当,1,1,12211n na k a a k a a k a ===时等号成立即n a a a ==21，故原不等式得证。
全国高中数学竞赛专题不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归,而变形的依据是不等式的性质,不等式的性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义,也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： 1a b b a <⇔>对称性2c b c a b a +>+⇔>加法保序性3.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>4*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.1c a c b b a >⇒>>,传递性.这是放缩法的依据. 2.,d b c a d c b a +>+⇒>> 3.,d b c a d c b a ->-⇒<> 4.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：1.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ 2.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 3||||||||||||b a b a b a +≤±≤-三角不等式.4.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中,常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略,分析问题时,我们往往用分析法,而整理结果时多用综合法,这两者并非证明不等式的特有方法,只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外,具体地证明一个不等式时,可能交替使用多种方法.因此,要熟练掌握不等式的证明技巧,必须从学习这些基本的常用方法开始;1．比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法; 1差值比较法原理：A － B ＞0A ＞B ．例1 设a, b, c ∈R +, 试证：对任意实数x, y, z, 有x 2+y 2+z 2.))()((2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++≥xz b a c yz a c b xy c b a a c c b b a abc 证明：左边-右边= x 2+y 2+z 2222()()()()()()ab bc caxy yz xz b c c a a b c a a b b c ---++++++所以左边≥右边,不等式成立;2商值比较法原理：若>1,且B>0,则A>B;例2 若a<x<1,比较大小：|log a 1-x|与|log a 1+x|.解：因为1-x ≠1,所以log a 1-x ≠0,|)1(log ||)1(log |x x a a -+=|log 1-x 1+x|=-log 1-x 1+x=log 1-x x +11>log 1-x 1-x=1因为0<1-x 2<1,所以x+11>1-x>0, 0<1-x<1.所以|log a 1+x|>|log a 1-x|.2．分析法即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止,叙述方式为：要证……,只需证……;例3 已知a, b, c ∈R +,求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab -证明：要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -只需证332abc ab c ≥+, 因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+,所以原不等式成立;例4 已知实数a, b, c 满足0<a ≤b ≤c ≤21,求证：.)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤- 证明：因为0<a ≤b ≤c ≤21,由二次函数性质可证a1-a ≤b1-b ≤c1-c, 所以)1(1)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-,所以)1(2)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-,所以只需证明)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-,也就是证)1)(1()1)(1(b a b ba b a a b a ---≤---,只需证ba-b ≤aa-b,即a-b 2≥0,显然成立;所以命题成立;3．综合法例5 若a,b,c>0,求证：abc≥a+b -cb+c-ac+a-b; 证明:∵a+b -c+b+c-a=2b ＞0, b+c-a+c+a-b=2c ＞0,c+a-b+a+b-c=2a ＞0,∴a+b -c,b+c-a,c+a-b 中至多有一个数非正.1当a+b-c,b+c-a,c+a-b 中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立. 2a+b-c,b+c-a,c+a-b 均为正时,则()()()()2a b c b c a a b c b c a b +-++-+-+-≤=同理()()()(),,a b c a c b a b c a a c b c +-+-≤+-+-≤三式相乘得abc ≥a+b -cb+c-ac+a-b例6 已知△ABC 的外接圆半径R=1,S △ABC =,a,b,c 是△ABC 的三边长,令S=,t=;求证：t>S;解：由三角形面积公式:1sin 2bc A .正弦定理：a/sinA=2R.可得abc=1.所以bc ac ab aabc b abc c abc a b c 所以t>s;4．反证法例7 设实数a 0, a 1,…,a n 满足a 0=a n =0,且a 0-2a 1+a 2≥0, a 1-2a 2+a 3≥0,…, a n-2-2a n-1+a n ≥0,求证a k ≤0k=1, 2,…, n-1.证明：假设a k k=1, 2,…,n-1 中至少有一个正数,不妨设a r 是a 1, a 2,…, a n-1中第一个出现的正数,则a 1≤0, a 2≤0,…, a r-1≤0, a r >0. 于是a r -a r-1>0,依题设a k+1-a k ≥a k -a k-1k=1, 2, …, n-1;所以从k=r 起有a n -a k-1≥a n-1-a n-2 ≥…≥a r -a r-1>0.因为a n ≥a k-1≥…≥a r+1≥a r >0与a n =0矛盾;故命题获证;5．数学归纳法例8 对任意正整数n ≥3,求证：n n+1>n+1n.证明：1当n=3时,因为34=81>64=43,所以命题成立;2设n=k 时有k k+1>k+1k,当n=k+1时,只需证k+1k+2>k+2k+1,即12)2()1(++++k k k k >1.因为1)1(1>++k k k k ,所以只需证12)2()1(++++k k k k kk k k )1(1+>+, 即证k+12k+2>kk+2k+1,只需证k+12>kk+2,即证k 2+2k+1>k 2+2k. 显然成立; 所以由数学归纳法,命题成立;6.分类讨论法例9 已知x, y, z ∈R +,求证：.0222222≥+-++-++-yx x z x z z y z y y x 证明：不妨设x ≥y, x ≥z.ⅰx ≥y ≥z,则zy z x y x +≤+≤+111,x 2≥y 2≥z 2,由排序原理可得 yx x x z z z y y y x z x z y z y x +++++≥+++++222222,原不等式成立; ⅱx ≥z ≥y,则zy y x z x +≤+≤+111,x 2≥z 2≥y 2,由排序原理可得 yx x x z z z y y y x z x z y z y x +++++≥+++++222222,原不等式成立; 7.放缩法即要证A>B,可证A>C 1, C 1≥C 2,…,C n-1≥C n , C n >Bn ∈N +.例10 已知a, b, c 是△ABC 的三条边长,m>0,求证：.mc cm b b m a a +>+++ 证明：m b a m m b a b a m b a b m b a a m b b m a a ++-=+++=+++++>+++1mc cm c m +=+->1 因为a+b>c,得证; 8.引入参变量法例11 已知x, y ∈R +, l, a, b 为待定正数,求fx, y=2323yb x a +的最小值;解： 设k x y =,则k kly k l x +=+=1,1,fx,y==⎪⎪⎭⎫⎝⎛++23322)1(k b a l k 22333233333211111l k a k b k b k b k a k a b a l ≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅+⋅++++ a 3+b 3+3a 2b+3ab 2=23)(l b a +,等号当且仅当y bx a =时成立;所以fx, y min =.)(23lb a + 例12 设x 1≥x 2≥x 3≥x 4≥2, x 2+x 3+x 4≥x 1,求证：x 1+x 2+x 3+x 42≤4x 1x 2x 3x 4. 证明：设x 1=kx 2+x 3+x 4,依题设有31≤k ≤1, x 3x 4≥4, 原不等式等价于1+k 2x 2+x 3+x 42≤4kx 2x 3x 4x 2+x 3+x 4,即kk 4)1(2+x 2+x 3+x 4 ≤x 2x 3x 4,因为fk=k+k 1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31上递减, 所以k k 4)1(2+x 2+x 3+x 4=)21(41++kk x 2+x 3+x 4≤42313++·3x 2=4x 2≤x 2x 3x 4. 所以原不等式成立;9.局部不等式例13 已知x, y, z ∈R +,且x 2+y 2+z 2=1,求证：222111zz y y x x -+-+-.233≥ 证明：先证.233122x xx ≥- 因为x1-x 2=3323221)1(2213222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≤-⋅x x , 所以.233332)1(122222x x x x x x x =≥-=- 同理222331y yy ≥-,222331z z z ≥-, 所以.233)(233111222222=++≥-+-+-z y x z z y y x x 例14 已知0≤a, b, c ≤1,求证：111+++++ab cca b bc a ≤2; 证明：先证.21cb a abc a ++≤+ ①即a+b+c ≤2bc+2. 即证b-1c-1+1+bc ≥a.因为0≤a, b, c ≤1,所以①式成立; 同理.21,21cb a cab c c b a b ca b ++≤+++≤+ 三个不等式相加即得原不等式成立;10.利用函数的思想例15 已知非负实数a, b, c 满足ab+bc+ca=1,求fa, b, c=a c cb b a +++++111的最小值; 解：当a, b, c 中有一个为0,另两个为1时,fa, b, c=25,以下证明fa, b, c ≥25.不妨设a ≥b ≥c,则0≤c ≤33, fa, b, c=.111222ba cb ac c ++++++ 因为1=a+bc+ab ≤4)(2b a ++a+bc,解关于a+b 的不等式得a+b ≥212+c -c. 考虑函数gt=tc t 112++, gt 在+∞+,12c 上单调递增;又因为0≤c ≤33,所以3c 2≤1. 所以c 2+a ≥4c 2. 所以2)1(2c c -+≥.12+c 所以fa, b, c=b a c b a c c ++++++111222≥)1(211)1(2122222c c c c c c c -+++-+++ =1112222+++++c cc c c =21321112222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++c c c c ≥231422c c ++-下证≥++-c c )11(320 ① ⇔+≥+⇔1332c c c 2+6c+9≥9c 2+9⎪⎭⎫⎝⎛-⇔c c 43≥0 .43≤⇔c因为4333<≤c ,所以①式成立;所以fa, b, c ≥25,所以fa, b, c min =.25 11.构造法例16 证明：≤;提示：构造出x,0到两定点的距离之差,并利用数形结合的方法得知两边差小于第三边且三点共线时取最大值,从而结论得证;12.运用着名不等式1平均值不等式：设a 1, a 2,…,a n ∈R +,记H n =na a a n11121+++ , G n =n n a a a 21, A n =12,na a a n+++22212nn a a a Q n+++=则H n ≤G n ≤A n ≤Q n . 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均;其中等号成立的条件均为a 1=a 2=…=a n .当n=2时,平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式,所以基本不等式实际上是均值不等式的特例证明：由柯西不等式得A n ≤Q n ,再由G n ≤A n 可得H n ≤G n ,以下仅证G n ≤A n .1当n=2时,显然成立；2设n=k 时有G k ≤A k ,当n=k+1时,记k k k a a a a ++1121 =G k+1.因为a 1+a 2+…+a k +a k+1+k-1G k+1≥k k k k k k G a k a a a k 11121-++⋅+≥==+-++k kk k k k k G k G a a a k 22121112122 2kG k+1,所以a 1+a 2+…+a k+1≥k+1G k+1,即A k+1≥G k+1. 所以由数学归纳法,结论成立;例17 利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++ 思路分析左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换．．的方法. 略解ca a c bc c b ab b a 2,2,2223222≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证. 评述1利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧.如n n x x x x x x x x x +++≥+++ 2112322221,可在不等式两边同时加上.132x x x x n ++++再如证)0,,(256)())(1)(1(32233>≥++++c b a c b a c b c a b a 时,可连续使用基本不等式.2基本不等式有各种变式 如2)2(222b a b a +≤+等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2,系数和为1.例18 已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8144≥+b a 思路分析不等式左边是a 、b 的4次式,右边为常数81,如何也转化为a 、b 的4次式呢.略解要证,8144≥+b a 即证.)(81444b a b a +≥+ 2柯西Cavchy 不等式：设1a 、2a 、3a ,…,n a 是任意实数,则等号当且仅当k ka b i i (=为常数,),,2,1n i =时成立.证明：不妨设),,2,1(n i a i =不全为0,i b 也不全为0因为i a 或i b 全为0时,不等式显然成立.记A=22221n a a a +++ ,B=22221n b b b +++ .且令),,,2,1(,n i Bby A a x i i i i ===则.1,12222122221=+++=+++n n y y y x x x 原不等式化为.12211≤+++n n y x y x y x即≤+++)(22211n n y x y x y x 2222122221n n y y y x x x +++++++ .它等价于.0)()()(2222211≥-++-+-n n y x y x y x其中等号成立的充要条件是).,,2,1(n i y x i i == 从而原不等式成立,且等号成立的充要条件是).(BA k ka b i i == 变式1：若a i ∈R , b i ∈R , i=1, 2, …, n,则.)()()(212112∑∑∑===≥ni i ni i ni iib a b a 等号成立条件为a i =λb i ,i=1, 2, …, n;变式2：设a i , b i 同号且不为0i=1, 2, …, n,则.)(1211∑∑∑===≥ni ii ni i ni iiba ab a 等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .例19 设+∈R x x x n ,,,21 ,求证：.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-思路分析 注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之. 评述注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之.详解 ∵0,,,21>n x x x ,故由柯西不等式,得2111323212)(x x x x x x x x x x x x n nn n ⋅+⋅++⋅+⋅≥- 2121)(n n x x x x ++++=- ,∴.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-评述这是高中数学联赛题,还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.3排序不等式：又称排序原理设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211同序和jn n j j b a b a b a +++≥ 2211乱序和1121b a b a b a n n n +++≥- 逆序和其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号对任一排列n j j j ,,,21 成立.证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时若n j n =,则考虑1-n j ,且在和S 中含有项),(n k b a n k ≠则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+ ① 事实上,左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a由此可知,当n j n ≠时,调换n k j n j k j b a b a b a S ++++= 11n j n ≠中n b 与n j 位置其余不动,所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后,接着再仿上调整1-n a 与1-n b ,又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和n n b a b a b a +++ 2211jn n j j b a b a b a +++≥ 2211 ②这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然,当n a a a === 21或n b b b === 21时②中等号成立.反之,若它们不全相等,则必存在n j 及k ,使n b .,k n j a a b n >>这时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”.例20 .222,,,333222222abc ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+求证 思路分析中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明.略解不妨设ab c c b a c b a 111,,222≥≥≥≥≥≥则, 则b c a b c a 111222⋅+⋅+⋅乱序和c c b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥逆序和, 同理b c a b c a 111222⋅+⋅+⋅乱序和cc b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥逆序和 两式相加再除以2,即得原式中第一个不等式.再考虑数组abac bc c b a 111333≥≥≥≥及, 仿上可证第二个不等式.例21 设*21,,,N a a a n ∈ ,且各不相同,求证：.32131211223221na a a a n n ++++≤++++思路分析不等式右边各项221ia i a i i ⋅=；可理解为两数之积,尝试用排序不等式. 略解设n n a a ab b b ,,,,,,2121 是的重新排列,满足n b b b <<< 21,又.131211222n>>>>所以223221232213232n b b b b n a a a a n n ++++≥++++.由于n b b b ,,21是互不相同的正整数,故.,,2,121n b b b n ≥≥≥ 从而n nb b b b n 121132223221+++≥++++,原式得证. 评述排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式,,22a b b a b a ⋅+⋅≥+ 例22 在△ABC 中,试证：.23ππ<++++≤c b a cC bB aA思路分析 可构造△ABC 的边和角的序列,应用排序不等式来证明之.详解 不妨设c b a ≤≤,于是.C B A ≤≤由排序不等式,得相加,得)())(()(3c b a C B A c b a cC bB aA ++=++++≥++π,得3π≥++++c b a cC bB aA ①又由,0,0,0b c a c b a a c b -+<-+<-+<有).(2)()3()2()2()()()()()()(0cC bB aA c b a C c B b A a C B A c B C A b A C B a b c a B c b a C a c b A ++-++=-+-+-=-++-++-+=-++-++-+<ππππ得.2π<++++c b a cC bB aA ②由①、②得原不等式成立.例23 设n b b b ,,,21 是正数n a a a ,,,21 的一个排列,求证.2211n b a b a b a nn ≥+++ 思路分析 应注意到),,2,1(11n i a a ii ==⋅略证 不妨设n a a a ≥≥≥ 21,因为n a a a ,,,21 都大于0. 所以有na a a 11121≤≤≤ ,又nn a a a b b b 1,,1,11,,1,12121 是的任意一个排列,于是得到 例24 设正数c b a ,,的乘积1=abc ,试证：.1)11)(11)(11(≤+-+-+-ac c b b a 略解 设xzc z y b y x a ===,,,这里z y x ,,都是正数, 则原需证明的不等式化为y x z x z y z y x xyz y x z x z y z y x -+-+-+≤-+-+-+,,,))()((显然 中最多只有一个非负数.若y x z x z y z y x -+-+-+,,中恰有一个非正数,则此时结论显然成立.若y x z x z y z y x -+-+-+,,均为正数,则z y x ,,是某三角形的三边长.容易验证)].()()([(31))()((222z y x z y x z y x z y x y x z x z y z y x -++-++-+≤-+-+-+故得.))()((xyz y x z x z y z y x ≤-+-+-+ 评述 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a 、b 、c 的乘积,1=abc 证明.23)(1)(1)(1222≥+++++b a c a c b c b a 证明：设1,1,1,1====xyz zc y b x a 则,且所需证明的不等式可化为23222≥+++++y x z x z y z y x , 现不妨设z y x ≥≥,则yx z x z y z y x +≥+≥+, 据排序不等式 得y x z x z y z y x +++++222yx z y x z y x z y x z +⋅++⋅++⋅≥ 及y x z x z y z y x +++++222yx z x x z y z z y x y +⋅++⋅++⋅≥ 两式相加并化简可得)(2222y x z x z y z y x +++++.333=≥++≥xyz z y x 4切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21,n b b b ≤≤≤ 21 ,则.21212211nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++证明：由题设和排序不等式,有n n b a b a b a +++ 2211=n n b a b a b a +++ 2211,132212211b a b a b a b a b a b a n n n +++≥+++ ,…… 将上述n 个不等式叠加后,两边同除以n 2,即得欲证的不等式.。
2-著名不等式与竞赛题
学生签字：
教师对本次课的总结和评定
1、学生上次作业完成情况：
2、学生本次上课表现情况:
3、老师对本次课的总结：
教师签字：
课前审阅：课后审核:时间:
二、填空题
6.实数 ＝x-y，则x的取值范围是.
7.若a>b>c，则不等式 + ≥ 成立的最大的k值为.
8.证明： (1+ +…+ )> ( + +…+ ) (n≥2)
B组
一、选择题
1.x>0，f(x)＝ ，求f(x)的值域.
2.设a,b,c∈R+，P＝a+b-c，Q＝b+c-a，R＝c+a-b，则“PQR>0”是“P、Q、R”同时大于零的( )
下面我们来看一些竞赛中出现过的不等式:
例10,设 ,证明
(2001年IMO)
提示:一种简单的途径是利用AM-GM不等式先证明,x,y,z>0时有
全国高中数学竞赛专题-不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式（2）商值比较法（原理：若>1，且B>0，则A>B 。
）例2 若a<x<1，比较大小：|log a (1-x)|与|log a (1+x)|. 解：因为1-x ≠1，所以log a (1-x)≠0,|)1(log ||)1(log |x x aa -+=|log (1-x)(1+x)|=-log (1-x)(1+x)=log (1-x)x +11>log (1-x)(1-x)=1（因为0<1-x 2<1，所以x+11>1-x>0, 0<1-x<1）. 所以|log a (1+x)|>|log a (1-x)|.2．分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。
）例3 已知a, b, c ∈R +，求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab - 证明：要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -只需证332abc ab c ≥+，因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+， 所以原不等式成立。
例 4 已知实数a, b, c 满足0<a ≤b ≤c ≤21，求证：.)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤-证明：因为0<a ≤b ≤c ≤21，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)，所以)1(1)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-， 所以)1(2)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-， 所以只需证明)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-， 也就是证)1)(1()1)(1(b a b b a b a a b a ---≤---，只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。
高中竞赛之重要不等式(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高中竞赛之重要不等式1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方） 定理1 对任意实数组,(1,2,,)i i a b i n =恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当 时成立。
本不等式称为柯西不等式。
证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1左=2212ni i i i j j i i ja b a b a b =≠+∑∑ ∴右-左=当且仅当 时，等式成立。
柯西不等式的两个推论： ⅰ．设 同号（），则当且仅当时取等号。
ⅱ．若 ，且，则（分母作和）由柯西不等式可以证下面的不等式。
3次可以推广为4、5等n 次。
3333333333123123123111222333(a +a +a )(b +b +b )(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) ≥ 证明:对333333123123(a +a +a )(b +b +b )和3333123111222333(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) 分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式. 柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式设 ， ，…， ； ， ，…， 是两组正数，0k >且1k ≠ ，则 （ ）（）当且仅当1212n na a ab b b === 时等号成立。
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当 时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。
若记，，则上式为特例：2212122222221122()()m mm ma a ab b ba b a b a b+++++++≤++++++222121212222222222111222()()()m m mm m ma a ab b bc c ca b c a b c a b c+++++++++++≤+++++++++多个根式可转化为一个根式。
高中竞赛常用的不等式
高中竞赛常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。
附：给出大家可能没见过的证明:对于一元二次方程0)()(2)(2n 2221n 221122n 2221=+++++++-+++b b b x b a b a b a x a a a n 等价于0)()()(2222211=-++-+-n n b x a b x a b x a ，该方程最多只有一个解，判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ， 得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。
2．四个平均的关系： 平方平均na a a Q n 2n 2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均n n n a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。
满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。
调和平均不常用。
3．排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和） （乱序和） （逆序和） 。
其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。
4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ 21212211。
竞赛不等式
一些著名不等式及应用一、平均值不等式及应用 一、相关定义设a 1，a 2，…，a n 是n 个正实数，记ana a nH n 11121+++=，n n an a a G 21=，n a a a A nn +++= 21，na a a Q nn 22221+++=，分别称H n ，G n ，A n ，Q n 为这n 个正数的调和平均、几何平均、算术平均数、平方平均． 二、相关定理定理 H n ≤G n ≤A n ≤Q n , ,等号成立当且仅当a 1=a 2=…=a n 引理 若10(2,3,,)k k k x x x k n -≥≥=且，则 []123121)1()23)(2(-----≥n n nn x n nx x x x x x x ，等号成立当且仅当x 1=x 2=…=x n．三、例题例1．设+∈R z y x ,,，求证：933))(()(222222+≥+++++++++xy zx yz z y x z y x z y x xyz 例2．设x+y+z=0, R z y x ∈,,，（1）求证：32222333)()(6z y x z y x ++≤++ （2）试求出最佳的常数μλ,，使不等式)()()(6663222666z y x z y x z y x ++≤++≤++μλ例3．设复数满足1≤-i z ，求)1)(Re(2--=i z z A 的最大值与最小值． 四、练习题1．设θβα,,为锐角，且1cos cos cos222=++θβα，求证：对任意实数x,y,z 有xy zx yz z y x ⋅+⋅+⋅≥++βααθθβcot cot cot cot cot cot )(212222．设+∈R z y x ,,，且x+y+z =1，试求：)1()1()1(242424x x z z z y y y x f -+-+-=的最小值 二、柯西不等式及应用 一、相关定理柯西不等式是指下面的定理 定理 设),,,2,1(,n i R b a i i =∈则))(()(212121∑∑∑===≤ni i ni i ni i i b a b a当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当)1(n i a b i i ≤≤=λ. 柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设),,,2,1(0,n i bi R a i =>∈∑∑∑≥=ii ni i ib a b a 212)( ,等号成立当且仅当)1(n i a b i i ≤≤=λ变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ）则∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(, 等号成立当且仅当n b b b === 21 二、例题例1.设x 1，x 2，…，x n >0, 则1111-≥-∑∑==n x x x ni ini ii例2.设+∈R x i （i=1，2，…，n ）且111=+∑=ni iix x 求证:∑∑≤≤≤=≥nj i jini ixx x112．例3.设a 为实常数,试求函数)cos (sin )(x a x x f += (x ∈R )的最大值．例4.求函数x b x a x f cos sin )(+⋅=在)2,0(π上的最大值,其中a ，b 为正常数．三. 练习1. １）设三个正实数a,b,c 满足)(2)(4442222c b a c b a ++>++ 求证： a,b,c 一定是某三角形的三边长； ２）设)3(≥n n 个正实数a 1，a 2，…，a n满足))(1()(44241222221n n a a a n a a a +++->+++2.已知+∈R z y x ,,,且12=+∑xx: 1222222≥+++++zz y y x x 3.设+∈R z y x ,,,:1222222222≥++++++++xyy x zzx x z y yz z y x 4.设+∈R z y x ,,,且x+2y+3z =36,求zy x 321++的最小值．三、排序不等式及应用一、相关定义及定理1）考虑如下2*(n+1)个实数摆成的矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤≤≤≤≤≤=n n b b b a a a A 1010，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤≤≤=n i i i n b b b a a a B 1010，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥≥≥≤≤≤=-0110b b b a a a C n n n 其中n i i i ,,,10 是0,1,2,…,n 的一个排列.矩阵A 称为同序矩阵,矩阵B 称为矩阵A 的乱序矩阵,矩阵C 称为矩阵A 的反序矩阵．若矩阵A 的乱序M 可经列列交换变出A ，则称矩阵M 为A 的可同序矩阵．显然，A 的列积和或列和积均与A 的列交换无关． 记S （A ），T （A ）分别表示矩阵A 的列积和与列和积，则S （M ）=S （A ），T （M ）=T （A ） 2）排序不等式排序不等式1 设A 为2*（n+1）同序实数矩阵，B 为A 的乱序阵，C 为A 的反序阵， 则)()()(C S B S A S ≥≥，即∑∑∑=-==≥≥nk kn k n k i k n k kk ba b a b a k，左边等号成立当且仅当B 中任意两列同序，右边等号成立当且仅当B 中任意两列反序．排序不等式2 设A 为2*（n +1）同序非负实数矩阵，B 为A 的乱序阵，C 为A 的反序阵， 则)()()(C T B T A T ≤≤，即∏∏∏=-==+≤+≤+nk k n k n k i k nk k kb a b a b ak 0)()()(，左（右）边等号成立当且仅当B 中任意两列同（反）序． 排序不等式3设A 为m*n 同序非负实数矩阵，A ＇为A 的乱序阵，则有 （1）S （A ）≥S（A ＇），即∑∏∑∏====≥m j ni m j n i ij ija ＇a1111；（2）T （A ）≤T （B ），即∏∑∏∑====≤m j ni ij m j n i ij a ＇a 1111．二、例题 例1、在△ABC 中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c 上的高，求证：asinA +bsinB +csinC ≥h a + h b +h c ．例2、A —G 不等式：a i >0 (i =1,2,…，n )，则 G a a a a n A n n ni i =≥=∑= 2111．例3、柯西不等式：))(()(212121∑∑∑===≤ni i ni i ni i i b a b a ．三、练习题1．若a >0,b >0，则2222332266b a b a b a b a +⋅+⋅+≥+． 2．在△ABC 中，求证：abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222≤-++-++-+．（IMO ）3．若a 1，a 2，…，a n 为两两不等的正整数，求证：∑∑==≥nk nk k kk a 1121．4．若x 1，x 2，…，x n ≥0，x 1+x 2+…+x n ≤21，则21)1()1)(1(21≥---n x x x ．四、复数模不等式及应用一、相关概念 关于复数模不等式，它包括两方面的内容：定理 设z 1，z 2，…，z n 为任意复数，则（1）212121Z Z Z Z Z Z +≤+≤- 当021≠⋅Z Z 时，左边（右边）等号成立当且仅当)0(0,21><=λλλZ Z ；（2）∑∑==≤nk k nk kZ Z11，式中等号成立当且仅当n Z Z Z arg arg arg 21=== ．二、例题例1、设a i ,b i ∈C (i=1,2,…，n),则))(()(212121∑∑∑===≤ni i ni i ni i i b a b a例2、设x 1 ,x 2 ,z 是复数，则不等式1212x x Z x x -≤≤+成立的充要条件是z=c 1x 1 +c 2x 2, 这里121c c ==． 三、练习题1、设,,αβθ是模均大于1的复数，求使不等式：1()αβθθααββθαβθλαβθ+++++++≥++，恒成立的λ的最大值．2、设A,B,C,D 为平面上任意四点，求证：AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅．。
高中数学奥赛讲义竞赛中常用的重要不等式
优秀学习资料欢迎下载高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式【内容综述】本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用【要点讲解】目录§1柯西不等式§2排序不等式§3切比雪夫不等式★★ ★§1。
柯西不等式定理 1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即时成立。
等式当且仅当本不等式称为柯西不等式。
思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明 1∴右-左=当且仅当定值时，等式成立。
思路 2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。
证明 2当时等式成立；当时，注意到=1故当且仅当且（两次放缩等式成立条件要一致）即同号且常数，亦即思路 3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。
证明 3 构造函数。
由于恒非负，故其判别式即有等式当且仅当常数时成立。
若柯西不等式显然成立。
例 1 证明均值不等式链：调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。
证设本题即是欲证：本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法(1) 先证①注意到欲证① , 即需证②此即由柯西不等式, 易知②成立 , 从而①真(11) 再证,③欲证③ , 只需证④而④即要证⑤( 注意)由柯西不等式, 知⑤成立.( Ⅰ)(Ⅱ) 中等式成立的条件都是即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系( ★)（其中，结合代换，即当且仅当时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等式链其中等式成产条件都是．§２．排序不等式定理２设有两组实数，满足则( 例序积和 )（乱序积和）（须序积和）其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立。
说明本不等式称排序不等式，俗称例序积和乱序积和须序积和。
证法一．逐步调整法首先注意到数组也是有限个数的集合，从而也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。
高中数学竞赛专题---几个重要不等式及其应用
几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。
1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a是非负实数，则12na a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ== 变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。
等号成立当且仅当n b b b === 21 3．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。
（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn +++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。
（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。
高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)
（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证： 作变换 令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：1.竞赛不等式的概念与重要性2.高中竞赛不等式的分类3.常见高中竞赛不等式公式4.运用高中竞赛不等式公式的方法与技巧5.总结与展望正文：【1.竞赛不等式的概念与重要性】竞赛不等式是数学竞赛中常见的一种题型，它涉及到解决实际问题的能力，是高中数学竞赛的重要组成部分。
掌握竞赛不等式，对于提高数学竞赛成绩具有重要意义。
【2.高中竞赛不等式的分类】高中竞赛不等式主要分为以下几类：（1）代数不等式：涉及代数运算，如加减乘除、乘方、开方等。
（2）几何不等式：涉及几何概念，如线段、角度、面积、体积等。
（3）三角不等式：涉及三角函数，如正弦、余弦、正切等。
（4）对数不等式：涉及对数函数，如自然对数、常用对数等。
（5）指数不等式：涉及指数函数，如自然指数、幂指数等。
【3.常见高中竞赛不等式公式】（1）均值不等式：对于任意正实数a1, a2,..., an，有(a1^2 + a2^2 +...+ an^2) / n >= (a1 + a2 +...+ an) / n。
（2）柯西不等式：对于任意实数a1, a2,..., an 和b1, b2,..., bn，有(a1b1 + a2b2 +...+ anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 +...+ an^2)(b1^2 + b2^2 +...+ bn^2)。
（3）排序不等式：对于任意实数a1, a2,..., an 和b1, b2,..., bn，有a1b1 + a2b2 +...+ anbn <= (a1 + a2 +...+ an)(b1 + b2 +...+ bn)。
（4）赫尔德不等式：对于任意实数a1, a2,..., an 和正整数p，有(a1^p + a2^p +...+ an^p) / p >= (a1 + a2 +...+ an) / n。
【4.运用高中竞赛不等式公式的方法与技巧】（1）熟练掌握各种不等式的基本形式和特点，以便在解题过程中迅速识别和运用。
竞赛中的不等式
不等式一、 常用基本不等式 1． 排序不等式设两个数组}{},{i i b a 满足n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则有：n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++- 221121112121（其中n j jj ,,21是1，2，n 的一个排列）当且仅当n a a a === 21或者n b b b === 21时等号成立。
2． Цебищев不等式 若两个数组}{},{i i b a 满足n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则有：∑∑∑∑====-+≤≤ni ni i i n i i ni i in i b a b a n ba 111111 3． 平均不等式当+∈R a i （n i ,2,1=）时，有：na a a n a a a a a a a a a nnnn n n22221212121111+++≤+++≤≤+++4． 柯西不等式 设Rb a i i ∈,（ni ,2,1=），则有：∑∑∑===≥ni ni i i n i i ib a b a 121122)(当且仅当nn b a b a b a === 2211时等号成立。
5． 绝对值不等式设C a a a b a n ∈ ,,,,21，则有：│┃a ┃-┃b ┃│≤│a+b │≤│a │+│b │；│n a a a +++ 21│≤n a a a +++ 21 6． 琴生不等式设f(x)是定义在(a,b)内的凸函数，则对于(a,b)内的任意个实数n x x x ,,21，有：∑∑≤)(1)(iix f nn x f （下凸时）或者 ∑∑≥)(1)(i ix f nn x f （上凸时）7． 在ABC ∆中，A ，B ，C 表示三个角的大小，c b a ,,表示相应边的长度，则有： A+B+C=π，a+b>c,a+c>b,b+c>a 二、 常用方法 1． 放缩法 2． 代数变形 3． 变量代换4． 构造 5． 数学归纳法 6． 利用函数的单调性 7． 应用重要不等式 8． 其他三、 代数不等式讨论题1． 求证：n n n <-++++<121312112 （2≥n）。
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竞赛中著名不等式汇集作者 阿道夫 （配以典型的例题） 2013.2.28在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。
不等式常以其优美的结构、严谨的解法、恢弘的气势、广阔的知识容纳性、深层的数学背景等，而被众多竞赛大家所看重，也被莘莘学子所追崇。
以下根据自己在前些年教学中的总结并引学了其他贤人的智慧汇集如下，希望对同学们有所帮助。
1. 平均不等式（均值不等式）2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）3. 排序不等式（排序原理）4. 契比雪夫不等式5. 贝努利不等式6. 琴生不等式7. 含有绝对值的不等式 8. 舒尔不等式9. 一些几何不等式01 佩多不等式02外森比克不等式03 三角形内角的嵌入不等式10. 内斯比特不等式 11． Holder 不等式.12. 闵可夫斯基（Minkowski ）不等式1. 平均不等式（均值不等式）设n a a a ,,,21 是n 个正数，令na a a nn H 111)(21+++=（调和平均值），n n a a a n G 21)(= （几何平均值）， na a a n A n+++=21)( （算术平均值），na a a n Q n22221)(+++= （平方平均值），则有（I ）(调和平均几何平均不等式) )()(n G n H ≤；（II ）(几何平均算术平均不等式) )()(n A n G ≤； （III ）（算术平均平方平均不等式） )()(n Q n A ≤.这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是n a a a === 21. （I ） )()(n G n H ≤ ⇔na a a n11121+++ ≤n n a a a 21⇔n a a a a a a a a a a a a n nnnnnn≥+++21221121 (1)121221121=⋅nnnnnnna a a a a a a a a a a a,由3的推论2知（1）式成立，故（I ）成立.等号成立的充要条件是nnnnnnna a a a a a a a a a a a 21221121===，即n a a a === 21.（II ）)()(n A n G ≤⇔nn a a a 21≤na a a n+++ 21⇔n a a a a a a a a a a a a nnnnnnn≥+++21212211 (2)121212211=⋅nnnnnnna a a a a a a a a a a a,所以由3的推论2知（2）成立，故（II ）成立.显然等号成立的充要条件是n a a a === 21.（III ） 令na a a cn+++=21，再令ii a c α=+ ，n i ,,2,1 =，则1212n n a a a nc ααα+++=++++1212n n a a a ααα=+++++++（）.∴ 12n ααα+++=0 ,2222221212()()()n n a a a c c c n n ααα+++++++++=2222212n c c c nααα+++=+≥=.等号成立的充要条件是222120n ααα+++=，即n a a a === 21.另：G,Q 证明还可以借助2维形式加以证明练习：1）.设的最小值为 .2）. 设A 、B 、C 、D 为空间中的四点，求证：证明：如图，取BD 的中点E ，连结AE 和EC ，则在△ABD 和△BCD 中，根据中线的性质，有3）. （2005年日本数学奥林匹克）若正实数,,,c b a 满足1=++c b a ，求证1111333≤-++-++-+b a c a c b c b a .证 ∵021>+=-+++=-+b a c b c b a c b ， 由均值不等式，得 313)1(1113cb c b c b -+=-+++≤-+，∴ 313acab a c b a -+≤-+. 同理可得,313babc b a c b -+≤-+ .313cbca c b a c -+≤-+将上述3个不等式相加，得333111b a c a c b c b a -++-++-+c b a ++≤ 1=.4）.（2004年中国香港数学集训队试题）证明对于任意正实数,,,c b a 均有.222444c b a abc ca b bc a ++≥++ 解：,422244a c b bc a bc a ≥+++,422244b c a ac b ac b ≥+++,422244c b a abc ab c ≥+++ 上述3个式子相加，得)(4)(2)(2222222444c b a c b a ab c ac b bc a ++≥+++++， 所以.222444c b a abc ca b bc a ++≥++2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式） 对任意两组实数 ，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立。
柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的 ，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们学习中应给予极大的重视。
关键在于使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式。
练习：1）.① 设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 )111)](()()[( )111)((2ac c b b a a c c b b a ac c b b a c b a ++++++++++=+++++++ 证明：9)111(2=++≥又a 、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
巧拆常数 ②a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++。
212122212112212121)( )())(( ))((x x x x b a x x b x x a bx ax bx ax ax bx bx ax =+=+≥++=++证： （∵a +b =1） 重新安排某些项的次序 ③若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411 4)11( )11)](()[()11)((2=+≥-+--+-=-+--c b b a c b b a c b b a c a 证明：∴ca cb b a -≥-+-411 结构的改变从而达到使用柯西不等式 ④ 已知+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a23329 29)111(21 )111)](()()[(21 )111)(( )1()1()1(32=-≥+++++∴=++≥++++++++++=+++++++=++++++++=++++++b a c c a b c b a b a a c c b b a a c c b ba a c cbc b a bc c c a b c b a b C c a c b c b a证明 添项 2）.设已知e d c b a ,,,,是实数，满足222228,16,a b c d e a b c d e +++++++==+⎧⎨⎩试确定e 的最大值.证 由算术平方平均不等式得：442222dc b ad c b a +++≥+++， 从而有 22222)()(4d c b a d c b a +++≥+++， 224(16)(8)e e -≥- ， 解之得 5160≤≤e .当516====d c b a 时，516=e ，因此e 的最大值为516. 3）. 试确定 的所有实数解.解：由取“=”号.所以，原方程组有唯一实数解4）.3. 排序不等式设n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列，则有 1121b a b a b a n n n +++- （倒序和） n i n i i b a b a b a +++≤ 2121 （乱序和） n n b a b a b a +++≤ 2211， （顺序和）等号全成立的充要条件是n a a a === 21或n b b b === 21.证： 我们先用数学归纳法证明.n i n i i b a b a b a +++ 2121n n b a b a b a +++≤ 2211 （1）当2=n 时，因为)(12212211b a b a b a b a +-+0))((1212≥--=b b a a ，所以 2=n 时，（1）式成立。
假设对于k n =时（1）式成立，即k i k i i b a b a b a +++ 2121k k b a b a b a +++≤ 2211，其中k i i i ,,,21 是1,2,k , 的一个排列，那么对于1+=k n ，设121,,,+k i i i 是1,2，1,+k 的一个全排列，则当11+=+k i k 时，由归纳假设知，121121++++++k k i k i k i i b a b a b a b a=112121++++++k k i k i i b a b a b a b a k112211++++++≤k k k k b a b a b a b a ，所以（1）式成立当11+≠+k i k 时，必存在j i ，1j k ≤≤，使得1j i k =+，则 11111111++-++-++++++k j j j i k i j i j i j i b a b a b a b a b a)()(11111111++-++-+++++++=k j k j j i k i j i k i j i j i b a b a b a b a b a b a111111111()()j j k k i j i j i k i j k k i a b a b a b a b a b a b -++-+++=+++++++)()(111111111+++-+++++++≤++-k k i j i k i j i j i b a b a b a b a b a b a k k j j11111)(1111+++-+++++++=++-k k i k i j i j i j i b a b a b a b a b a b a k j k j112211)(++++++≤k k k k b a b a b a b a1111+++++=k k k k b a b a b a ，即1+=k n 时（1）式成立。