精品制图课件- - 几何元素间的相对位置关系

c'
l2' (k1k')'k2'
b'
a'
l1'
d'
X
O
k1
b
c a (l1)l2 l
k2
d
不相交，也不平行——交叉
《机械制图》
第1章 绪论
15
5.2.2 直线与平面、平面与平面相交
• 有一个几何元素垂直于投影面的情况
⑴．直线与平面相交
例: d'
b'
例:
相交的核
2' b' 1'
( 1)’ 2’
a'
k'
• △与 P 相交于直线 MN • MN与 EF共面于P,交于K
例:
b'
2‘≡ 3' ( ) m' k'
1'
e'
a'
f'
X
n' c'
O
b
f
m
3
k
c
• K既在EF上，又在△上， 交点K即为△与EF的交点。
B P
M
E
K
C
N
(n )
A
步骤： a 2
≡1 e PH
F
① 含已知线 EF作辅助面 P（垂直面）
② 求 P与已知面的交线 MN ③ 求MN与EF的交点 K ，即所求 ④ 利用重影点判断可见性
作面面
多解， 水平面 垂直于面 垂直于面 垂直于面 多解，
水平线
的水平线 的水平线 的正平线 过垂直于面
结论:
的正平线的 所有面
①投影面垂直线的垂线 投影面垂直线的垂面
均平行于该投影面
投影面垂直面的垂线
②直线垂直于平面 直线的投影垂直于平面的迹线
《机械制图》
第1章 绪论
27
5.3.3 一般情况
点的轨迹。
L
a’
1’ 2’
c’
k’
a1’ b’ c1’
. b
.
a 1
a1
2
c1
k
LKB b1’
分析：
•求距△ L的点
•过点作 L 平行面
kb
步骤：
•作垂线
•求实长
b1
•量取L
•作平行面
此题2解
《机械制图》
c第1章 绪论
36
例：求已知直线与平面的夹角的实际大小。先求得MK、
KL、ML的实长
步骤：
步骤2：
心问题是
a'
求公有点 X
d’≡e' ≡k' ≡3'
c'
OX
c'
e'
O
ad kc
2 ( 3) 1
DE⊥V:
e
d '≡e ‘≡k '
b
a1
e
b
k d2
c
△⊥H: 水平投影的交点
即交点
• 面上找点 • 判断可见性(利用重点)， 交点是可
• 线上找点
见点。
• 判断可见性
《机械制图》
第1章 绪论
16
⑵．平面与平面相交
《机械制图》
第1章 绪论
24
例: 已知CD及A，求做AB与CD垂直相交。
c' . b'
a'
d'
a
c
b
d
分析： CD∥V ： a’b’与c’d’ 垂直相交。
解题步骤： • 过a’ 做a’b’⊥c’d’，交c’d’ 于b’ • 求线 CD上点 B 的水平投影 b • 连ab ，则 AB 为所求
《机械制图》
6'
7'
a'
l
a
f
k
d
辅助面法： 4
2
• 取水平面 P 1
g
e
• 取 Q∥P，即 Qv∥Pv
7 3
b
则：ⅣⅤ∥ⅠⅡ，ⅥⅦ∥ⅢC ，从而简化作图
KL即为所求
c' PV
QV O
c
《机械制图》
第1章 绪论
20
要点小结
• 相交问题的核心－求公有点 • 辅助平面法求交点 • 利用重影点判断可见性
《机械制图》
所以 AB与CD是不平行。
b" d'
O
c
d
YH
a"
d"
YW
《机械制图》
第1章 绪论
5
5.1.2 直线与平面平行
定理：若直线平行于面上的任一直线，则该直线与 该平面平行。
推理：若直线的投影与投影面垂直面具有积聚性的 投影相互平行，则此直线与该平面平行。
《机械制图》
第1章 绪论
6
例： ①过点K作一直线平行于面（AB×CD)。
《机械制图》
第1章 绪论
18
⑵．平面与平面相交
例：求△ABC与△DEF的交线。
基本方法：线面求交。
步注骤意： •①利用所辅做助的面辅法助求面A为B与垂△直D面EF的交点K •②利用辅辅助助面面所法包求含E的F与直△线A是BC任的选交的点L •③连接交K线L，在即两△平A面BC图与形△的DE公F的有交区线内 •④利用若重所影做点的判辅断助可面见与性交线平行， •完成交△点A在BC无与穷△远DE处F各，边应的重轮选廓辅助面
d"
YW
若需完成其侧投影 时，要保证作图的 准确性。
《机械制图》
第1章 绪论
4
例：判断AB与CD是否平行。
方法一： 利用侧投影判断
Z
a'
c'
c"
求得结果： a”b” 不平行于c”d” ， b' 所以AB与CD不平行。 X
b
方法二： 若 AB∥CD，
a
则有：a‘b’∥c‘d’，ab∥cd， 图中：a‘b’∥c‘d’，ab∥dc，
要点小结
• 垂直问题的基础－直角定理
• 直线与平面垂直的条件：直线垂直于平面上两
条相交的直线
• 求点与平面距离的问题，应包括：作垂线、求 垂足、求距离的实长、判断可见性
《机械制图》
第1章 绪论
33
5.4 相对位置综合问题
利用点、线、面的基本知识及几何元素间的相 互平行、相交、垂直等关系，解决工程实际中所遇 到的距离、角度、实形、轨迹等问题： • 从空间入手，进行空间分析 • 把复杂的问题分解为若干个简单问题逐个解决 • 最后加以综合，得出结果
1
NM
Nm k
求画水平线NE，
l
2
c
再求MN、ME的实长
e
•
d
a
n Pv
《机械制图》
第1章 绪论
37
要点小结
•点、线、面的基本知识及相互关系，是解决 复杂的问题的基础 • 从空间入手，把复杂的问题分解为若干个简 单问题，最后加以综合
《机械制图》
第1章 绪论
38
内容
6.1 换面法 6.2 旋转法
几何元素间的相对位置关系
内容
5.1 几何元素间的平行问题 5.2 几何元素间的相交问题 5.3 几何元素间的垂直问题 5.4 相对位置综合问题
《机械制图》
第1章 绪论
2
5.1 几何元素间的平行问题
5.1.1 直线与直线平行
定理：若空间两直线相互平行，则它们的同名投影 必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影 相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
k' 3'
c'
L △ZKL
kl
b
k
41
2
.
l
c
a
3
d
《机械制图》
第1章 绪论
29
• 直线与直线垂直
.
例: 已知直线，过线
上点作直线⊥直线。
.
例: 已知直线，过线 外点作直线⊥直线。
PV
a’
3’ b’ 1’
4’
2’Leabharlann 1 3 ba 42《机械制图》
第1章 绪论
30
• 平面与平面垂直
a´
例: 已知△及点A， 过点A作平面⊥△。
5.2.1 直线与直线相交
• 两直线相交 相交条件:两直线各同名投影均相交，且交点符合点 的投影规律，即两直线只有一个公有点。
13
例：判断两直线是否相交。
c'
b'
k'
a'
X
c k1
d'
O
b
a k2
d
不相交
c'
b'
k'
a'
d'
X
O
c
b
a
kd
相交
《机械制图》
第1章 绪论
14
• 相叉
相叉条件:两条直线没有公有点，也不平行。 其投影的交点为两直线的重影点。
对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同 名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平 行。
3
例：完成平行四边形ABCD的投影。
b'
Z b"
注意：点C应符合
c'
点的投影规律。
a'
c"
a"
X
d'
O
b
c
a d
YH
解题步骤： ∵ DC∥AB,BC∥AD ∴ d‘c’∥a‘b’，b’c’∥a’b’； dc∥ab，bc∥ab。
c' 1'
a'
X
a
1 c
b' k' e'
f'
d'
O
e
d kf
b
作 k‘ f’ ∥1‘ b’ → kf∥1b → KF∥IB 又∵KE∥BA
∴(KE×KF)∥(AB×CD)
《机械制图》
第1章 绪论
10
例：判断下列线、面与面 P 平行否。
PV
QV
RV
PH
(a) ∥(b) ∥(c)
QH
(d) ∥(e) ∥(f) ∥ (g)
应熟练掌握点、线、面的基本知识及相互关系， 才能应用自如。
34
例：求两平行线间的距离。
步骤： • 过C作面ⅠCⅡ AB
PV 2’
b’ d’
e’ 4’
a’ 1’ 3’
c’
L △Z
ce
• 求AB与ⅠCⅡ的交点E 则CE为距离的投影
• 求CE的实长
2
4c
a
e
d
b
3
1
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第1章 绪论
35
例: 作距已知平面 L远的
. l3‘ l1‘
. l3‘ l1‘
l2‘
l2 .
l1
L1⊥L2
l3 l1
L1⊥L3
l3 .
l2 l1
L1⊥(L1×L2)
《机械制图》
第1章 绪论
28
例: 已知面及点，求点与面的距离 。
• 作KD⊥△ • 求KD与△的交点L • 求KL实长 • 判断可见性
PV b'
2'
4' d'
a'
l' . 1'
例:
a' k'≡l' b'
X
a
c'
O
b k l
c
例:
b'
a'
X
a
c'
O
c
小结：
b
• 从有积聚性的投影出发
• 利用面上找点或线上找点的方法
• 在需判断可见性的投影上找重影点，来判断可见性
《机械制图》
第1章 绪论
17
• 一般情况
分析：• 交点K为△与EF的公有点 • 含 EF作 P⊥H
⑴．直线与平面相交
•求MN与△ABC的交点K (求交)
L
M
K
•过M作MD △ABC •求 MD与 △ABC的交点L (求交)
d' e‘
n' b'
l‘ • k‘
•求MKL(△MKL)的实形即
m‘
2‘
(分别求出MK、ML、KL的实长)
a'
1‘
•求NMD(△MND)的实形
•NMD的余角即为
D
E
c' b
M
需求得MN、 ND、MD的实长
②过点K作一水平线平行于面（AB×CD)。
c' 1'
a'
X
a
1 c
b' k' e'
f'
d'
O
e d
kf
b
① 解题步骤： 作 KE∥AB, 即KE∥(AB×CD)。
② 解题步骤： • 先作面上任一水平线 BI
• 再作 KF∥IB, 则水平线 KF ∥(AB×CD)
《机械制图》
第1章 绪论
7
例：判断图中的直线与△平面平行否。
第1章 绪论
25
5.3.2 特殊情况（一几何元素处于特殊位置）
• 一几何元素处于平行位置
作线⊥线
作面⊥线
作线⊥面
作面⊥面
.
.
.
.
多解， 水平投影垂直 于已知线投影 的所有线
铅垂面
铅垂线
多解， 通过铅垂线 的所有平面
《机械制图》
第1章 绪论
26
• 一几何元素处于垂直位置
作线线
作面线
作线面 作线面
作线面
P∥b、c、e、f、g、i
RH
(h) ∥ (i)
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第1章 绪论
11
要点小结
• 直线与直线平行
空间两直线相互平行 同名投影相互平行
• 直线与平面平行
直线与平面上任一直线平行 直线与平面平行
• 平面与平面平行
两平面上的两相交直线对应平行 二平面互相平行
《机械制图》
第1章 绪论
12
5.2 几何元素间的相交问题
• 直线与平面垂直
例如：一条水平线和一条正平线
定理：若直线垂直于平面上两条相交直线，则该直
线与该平面垂直。
推论：若直线垂直于平面,则：
• 该直线的水平投影与该平面上水平线的水平投影垂直；
• 该直线的正面投影与该平面上正平线的正面投影垂直；
• 该直线的侧面投影与该平面上侧平线的侧面投影垂直。
l2‘ l1‘
第1章 绪论
21
5.3 几何元素间的垂直问题
5.3.1 直角的投影特性
• 任意角的投影
一般情况下：角的投影≠角的实际大小。
角的两边均平行于投影面：
角的投影＝角的实际大小。
C
θ
A
θ
C
θ＝ θ
A
C
B
B
c
a
θ1
cc
a
θ2
b
b
θ1 ≠ θ2
22
• 直角的投影
若直角的一个边为投影面的平行线，则该直角 在该投影面上的投影为直角。
重点： • 利用辅助面法求交 • 利用重影点判断可见性
b' PV
3'