精品制图课件- - 几何元素间的相对位置关系
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第三章_几何元素的相对位置
m(n)
●
c
d
a d
●
●
n
e
影都积聚成直线。交线必 为一条正垂线，只要求得 交线上的一个点便可作出 交线的投影。
作 图
c
f
m
① 求交线 ② 判别可见性
b
可通过平面的积 如何判别？ 聚性投影直观地 进行判别。
能! 从正面投影上可看出， 在交线左侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。
能否不用重 影点判别？
e
f
f e E
f
h
D
b
f e
h H
M
例题1
b
试判断两平面是否平行
a n r
f
s e
m c
d
c n m a d
e
s r
b
f
结论：两平面平行
例题2 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试 过点K作一平面平行于已知平面 。
a
s d m f k
n
c c r r n
n a
m
f c n
kb
a l
●
●
●
●
b
a b e ● m(n) f e m f ●
● ●
c
a
n 1 ● 2 c
h
d a d
●
●
n
e c
e
●
b m n●
●
h
1(2)
m
a
f f
b
c
一般位置线面相交，其交点的投影可利用辅助平面求得
（l）求一般位置直线与一般位置平面的交点时,可包含直线做 铅垂或正垂的辅助平面,然后求辅助平面与直线的交线,该交线与 一般位置直线的交点就是所求. （2）求两一般位置平面的交线时,当两个平面是相交给出时,利用 求一般位置直线与平面校点的方法求解;当两个平面分开给出时,通 过作两个水平辅助平面求解. b m k l c f
●
c
d
a d
●
●
n
e
影都积聚成直线。交线必 为一条正垂线，只要求得 交线上的一个点便可作出 交线的投影。
作 图
c
f
m
① 求交线 ② 判别可见性
b
可通过平面的积 如何判别？ 聚性投影直观地 进行判别。
能! 从正面投影上可看出， 在交线左侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。
能否不用重 影点判别？
e
f
f e E
f
h
D
b
f e
h H
M
例题1
b
试判断两平面是否平行
a n r
f
s e
m c
d
c n m a d
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b
f
结论：两平面平行
例题2 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试 过点K作一平面平行于已知平面 。
a
s d m f k
n
c c r r n
n a
m
f c n
kb
a l
●
●
●
●
b
a b e ● m(n) f e m f ●
● ●
c
a
n 1 ● 2 c
h
d a d
●
●
n
e c
e
●
b m n●
●
h
1(2)
m
a
f f
b
c
一般位置线面相交，其交点的投影可利用辅助平面求得
（l）求一般位置直线与一般位置平面的交点时,可包含直线做 铅垂或正垂的辅助平面,然后求辅助平面与直线的交线,该交线与 一般位置直线的交点就是所求. （2）求两一般位置平面的交线时,当两个平面是相交给出时,利用 求一般位置直线与平面校点的方法求解;当两个平面分开给出时,通 过作两个水平辅助平面求解. b m k l c f
几何元素间的相对位置-平行、相交、垂直
m
f c
n
f
n
判断平面的可见性----利用重影点原理判别
(1 ′) 2′
1
2
例：求两平面的交线并求MN并判别可见性。
⑴ a b e ● m(n) f c
d a d
●
●
n
e c
空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正 垂面，其正面投影都积聚 成直线。交线为正垂线， 只要求得交线上的一个点 便可作出交线的投影。 作 图 ① 求交线 ② 判别可见性
线与该平面平行。
应用： (1)判别已知线面是否平行； (2) 作与已知平面平行的直线； (3) 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
例：过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
c
●
n
Abc为平面内 a 的任一直线
a
b
m
●
●
n
●
c
m
试想:可作多少条这样的直线MN?
无数条!
例：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
示意图
n
两平面相交，判别可见性
3 4 2 3 4( ) 1 1
(2 ) 利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
[例题6]
试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线
EF相交
。
分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H； 连接KH，KH即为所求。
K F H E
作图 PV m 1 2 n
第三章 几何元素间的相对位置关系
§3-1 平行问题---直线与平面平行 • 两平面平行
§3-2 相交问题---直线与平面的交点 • 两平面的交线
§3-3 垂直问题-----直线与平面垂直 • 两平面垂直
第二章 几何元素间的相对关系
2.5.1 平行问题
一、直线与平面相互平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该 直线与该平面平行。 有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线 与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
若一直线平行于属于定平面内的一直线，则该直线与平面平 行。
[例题1] 试判断直线AB是否平行于定平面
b
O
1(2)
k
c
a
n
特殊位置直线与平面相交
求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点并判别其可见性。
k' 1' (2')
2 k1
[例题9] 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
b'
a'
X a
(m')n' e' k' 1' 2'
m 1 (2)
k e
b
n
c' O
c
二、一般位置平面与特殊位置平面相交
结果
判断平面的可见性
b′
m′
k′
l′
c′ f′
n′
a′
a
m
b
f
k
l
c n
求交线并判断可见性 1′
d′
m′ b′
k′ 2′
a′ e′
d 1(2)
a
m
k
e
b
c′ f′
c f
求交线并判断可见性
c′
1′ d′( g′)
e′( f′)
a′
2′ k′ l′ b′
a
g 1 (2)
f
k
c
l
d
相对位置
f
O
c
①所做的辅助面为垂直面 ②辅助面所包含的直线是任选的 ③交线在两平面图形的公有区内 ④若所做的辅助面与交线平行， 交点在无穷远处，应重选辅助面
QHቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要点： •利用辅助面法求交线 •利用重影点判断可见 性
18
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
求△ABC 与DE∥FG的 交线。
4'
e' 1' 5' f' 2'
d’ a’
p’
c’
m’
n’
b
a m c f’ e’ a f e a’ g’
p
n b’ c’
d
b
g
c
7
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
例: 判断平面(KE ╳ KF) 与(AB ╳ CD)是否平行？
c' 1' a'
b' d'
e'
k'
f'
∵KE∥BA O KF∥IB ∴(KE ╳ KF) ∥(AB ╳ CD)
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
29
3
3.1 几何元素间的平行问题
直线与直线平行
直线与平面平行 平面与平面平行
3.1.1 直线与平面平行
定理（一般情况）： 若一直线平行于平面上的某一条直线，则该直线 与平面平行。
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
4
典型问题：过平面外一点作一直线与该平面平行。 例： ①过点K作一直线平行于面（AB
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
13
3.2.2 直线与平面相交
如何求交点？ 直线为特殊位置时的情况，利用直线的积聚性。 平面为特殊位置时的情况，利用平面的积聚性。 平面和直线都处于一般位置时的情况，利用辅助 平面法。
O
c
①所做的辅助面为垂直面 ②辅助面所包含的直线是任选的 ③交线在两平面图形的公有区内 ④若所做的辅助面与交线平行， 交点在无穷远处，应重选辅助面
QHቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要点： •利用辅助面法求交线 •利用重影点判断可见 性
18
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
求△ABC 与DE∥FG的 交线。
4'
e' 1' 5' f' 2'
d’ a’
p’
c’
m’
n’
b
a m c f’ e’ a f e a’ g’
p
n b’ c’
d
b
g
c
7
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
例: 判断平面(KE ╳ KF) 与(AB ╳ CD)是否平行？
c' 1' a'
b' d'
e'
k'
f'
∵KE∥BA O KF∥IB ∴(KE ╳ KF) ∥(AB ╳ CD)
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
29
3
3.1 几何元素间的平行问题
直线与直线平行
直线与平面平行 平面与平面平行
3.1.1 直线与平面平行
定理（一般情况）： 若一直线平行于平面上的某一条直线，则该直线 与平面平行。
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
4
典型问题：过平面外一点作一直线与该平面平行。 例： ①过点K作一直线平行于面（AB
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
13
3.2.2 直线与平面相交
如何求交点？ 直线为特殊位置时的情况，利用直线的积聚性。 平面为特殊位置时的情况，利用平面的积聚性。 平面和直线都处于一般位置时的情况，利用辅助 平面法。
第2讲--第3章_几何元素间的相对位置_
问题分析：直线与平面不平行时，必然相交于一点，该交点是直
线与平面的公有点。
直线与平面相交求解的两种情况：
1.利用积聚性（直线或平面处在特殊位置）
2.利用辅助平面法（直线和平面都处于一般位置）
知识点3.2 相交问题 3.2.2 直线与平面相交 例题分析
1．利用积聚性：直线或平面处在特殊位置
例7:
2' a'
知识点3.1 平行问题 3.1.2 平面与平面平行 例题分析
例3：过M点作平面平行于ΔABC
a’
f’
m’
c’ b’
●
n’
a m b c
●
f
n
知识点3.1 平行问题
• 直线与直线平行：同名投影相互平行 • 直线与平面平行：直线与平面上任一直线平行 • 平面与平面平行：两平面上的两相交直线对应平行
知识点3.2 相交问题
知识点3.3 垂直问题
知识点3.3 垂直问题 3.3.1 任意角的投影 一般情况下：角的投影≠角的实际大小。 角的两边均平行于投影面：角的投影＝角的实际大小。
C
θ
A B a b c
θ1
C
A B
C
θ
c
c a b
θ2
θ ≠ θ1
θ ＝ θ2
知识点3.3 垂直问题 3.3.2．直角的投影特性 • 若直角中有一条边平行于某一投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。 • 若直角的投影仍是直角，则被投影的角至少有一边平行于投影面。 证明: 已知 ABBC，BC∥H， AB 倾斜于 H ∵ BCAB, BC∥H ∴ BCBb BCQ(AB ╳ Bb) 又 bc∥BC ∴ bcQ ∴ bcab Q B
A
F
01几何元素间的相对关系
A
P
B
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这 条直线的所有平面都垂直于该平面。
A
A
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
B B
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
绘制相互垂直平面的两种方法： 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的 若一平面通过另一平面的垂线，则此两平面相 1.使平面Ⅰ经过垂直于平面Ⅱ的直线 任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。 互垂直。 2.使平面Ⅰ垂直于平面Ⅱ上的直线
平面与平面平行
P S B A D
E
F
C
①若平面内的两相交直线对应地平行于另一平 面内的两相交直线，则这两个平面平行。
例4: 试判断两平面是否平行
a b n m c X c n m a d d e r f s e
O
s
r
f b
结论：两平面平行
例5: 判别由△ABC和△DEF所表示的两平面是否相互平行
2.平行投影法
且投 垂射 直线 于互 投相 影平 面行 且投 倾射 斜线 于互 投相 影平 面行 斜角投影法
直角（正）投影法
思考: 1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变? 2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形? 3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
第4章 几何元素间的相对关系
4.1 平行问题 4.2 相交问题 4.3 垂直问题 4.4 最大斜度线 4.5 综合问题分析
c
b n
例4: 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV k SV k h h
k
k
h
k h h QH k
例5: 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。
几何元素的相对位置
k1
求辅助平面与已知平面的交线； d`
求交线与已知直线的交点；
a`
c’
m` l’
k’
X c
a
dk
l
m`
包含直线DE作一铅垂面
e` b`
e
b
2、一般位置平面与一般位置平面相交
g’
转化为求二次一般位置直线
与一般位置平面相交。
d`
包 含 直 线
DE 作X 正 垂 面
a` m`
a
m
d
g
c’
包含直线GF
作正垂面
第五章 几何元素的相对位置
§5-1平行问题
1、直线与平面平行
几何条件:一直线与平面上的某一直线平行，则直线和平
面相互平行。
例1 已知面△ABC及空 间一点M，过M作一直线 与△ABC平行。
a’
X
例2 过M作一直线,使
此直线// △ABC//V
a
面
b’ m’
c’ c
m b
b’ m’
c’ a’ X
c a
m b
2、平面与平面平行
几何条件:一平面上相交两直线对应地平行另一平面上相
交两直线，则此两平面平行。
b’
m’
例3 过点M作一平面与△ABC平行 例4 判断一下两平面是否平行
a’ X
a
c’ c
m b
§5-2 相交问题
一、利用积聚性求交点或交线
1、特殊位置平面与一般位置直线相交
交点是平面和直线的共有
f
k
b
a
d
3、求含有特殊位置平面在内的面面相交交线的投影
转化为求二次一般位置直线
c’
与特殊位置平面相交。
第四讲 几何元素相对位置(二)直线和直线的相对位置
4.6、直线与直线相交
V c k
a
C
A
Xa
c
判别方法：
b
交点是两直线的共有点
d
B KD
d
k
b
c k a
X
Ha ck
b d
d b
若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
例：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
k c●
b
b
a c
X
d
对于一般位置 直线，只要有两个
同面投影互相平行，ຫໍສະໝຸດ 空间两直线就平行。a
c
AB//CD
b
d
例2、判断图中两条直线是否平行。
c
a
d
X
b
c
b
da
Z c a
o
b dYW
YH
对于特殊位置 直线，只有两个同 面投影互相平行， 空间直线不一定平 行。
求出侧面投影后可知：
AB与CD不平行。
第四章
几何元素相对 位置(二)
直线和直线的 相对位置
4.5、直线与直线平行 4.6、直线与直线相交 4.7、直线与直线交叉 4.8、直角投影定理
4.5、直线与直线平行
b a
A
V d
B c
C
D
a c
b
dH
投影特性：
空间两直线平 行，则其各同名投 影必相互平行，反 之亦然。
例1、判断图中两条直线是否平行。
先作正面投影
两直线交叉
d a 1(2 )3●
两直投为线什影相么特交？性吗：？
4几何元素间的相互关系OK
h
g k d f b
c
X
g f k
结论：两平 面不垂直。
a c
O
b d
1）求直线的实长及对水平投影面的夹角角
b
b
B |zA-zB| a X a X C O b
AB ab
|zA-zB|
A
a
b
a AB AB ab |zA-zB|
|zA-zB |
2）求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
a
给题
a
例3 BE为最大斜度线，求 ABC平面与水平投影面的夹角α。 b
BE
d a e
be
c α
e a d
c
b
例4 : 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 °，与H面的 夹角为45 °。
n
X O
n
分析 平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的 夹角互为补角
A
C
E
两平面垂直 两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个 平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于 第一个平面。
例12 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h
f c a X d f a d c b h k g b O k
g
例13 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。
2
1
c e
两一般位置平面相交求交线的方法 B F K A 利用求一 般位置线面交 点的方法找出 交线上的两个 点，将其连线 即为两平面的 交线。
L E
C
D
作题步骤 c k
PV e b
2 1
X f
l
b 2
l
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c'
l2' (k1k')'k2'
b'
a'
l1'
d'
X
O
k1
b
c a (l1)l2 l
k2
d
不相交，也不平行——交叉
《机械制图》
第1章 绪论
15
5.2.2 直线与平面、平面与平面相交
• 有一个几何元素垂直于投影面的情况
⑴．直线与平面相交
例: d'
b'
例:
相交的核
2' b' 1'
( 1)’ 2’
a'
k'
• △与 P 相交于直线 MN • MN与 EF共面于P,交于K
例:
b'
2‘≡ 3' ( ) m' k'
1'
e'
a'
f'
X
n' c'
O
b
f
m
3
k
c
• K既在EF上，又在△上， 交点K即为△与EF的交点。
B P
M
E
K
C
N
(n )
A
步骤： a 2
≡1 e PH
F
① 含已知线 EF作辅助面 P（垂直面）
② 求 P与已知面的交线 MN ③ 求MN与EF的交点 K ，即所求 ④ 利用重影点判断可见性
作面面
多解， 水平面 垂直于面 垂直于面 垂直于面 多解，
水平线
的水平线 的水平线 的正平线 过垂直于面
结论:
的正平线的 所有面
①投影面垂直线的垂线 投影面垂直线的垂面
均平行于该投影面
投影面垂直面的垂线
②直线垂直于平面 直线的投影垂直于平面的迹线
《机械制图》
第1章 绪论
27
5.3.3 一般情况
点的轨迹。
L
a’
1’ 2’
c’
k’
a1’ b’ c1’
. b
.
a 1
a1
2
c1
k
LKB b1’
分析：
•求距△ L的点
•过点作 L 平行面
kb
步骤：
•作垂线
•求实长
b1
•量取L
•作平行面
此题2解
《机械制图》
c第1章 绪论
36
例：求已知直线与平面的夹角的实际大小。先求得MK、
KL、ML的实长
步骤：
步骤2：
心问题是
a'
求公有点 X
d’≡e' ≡k' ≡3'
c'
OX
c'
e'
O
ad kc
2 ( 3) 1
DE⊥V:
e
d '≡e ‘≡k '
b
a1
e
b
k d2
c
△⊥H: 水平投影的交点
即交点
• 面上找点 • 判断可见性(利用重点)， 交点是可
• 线上找点
见点。
• 判断可见性
《机械制图》
第1章 绪论
16
⑵．平面与平面相交
《机械制图》
第1章 绪论
24
例: 已知CD及A，求做AB与CD垂直相交。
c' . b'
a'
d'
a
c
b
d
分析： CD∥V ： a’b’与c’d’ 垂直相交。
解题步骤： • 过a’ 做a’b’⊥c’d’，交c’d’ 于b’ • 求线 CD上点 B 的水平投影 b • 连ab ，则 AB 为所求
《机械制图》
6'
7'
a'
l
a
f
k
d
辅助面法： 4
2
• 取水平面 P 1
g
e
• 取 Q∥P，即 Qv∥Pv
7 3
b
则：ⅣⅤ∥ⅠⅡ，ⅥⅦ∥ⅢC ，从而简化作图
KL即为所求
c' PV
QV O
c
《机械制图》
第1章 绪论
20
要点小结
• 相交问题的核心－求公有点 • 辅助平面法求交点 • 利用重影点判断可见性
《机械制图》
所以 AB与CD是不平行。
b" d'
O
c
d
YH
a"
d"
YW
《机械制图》
第1章 绪论
5
5.1.2 直线与平面平行
定理：若直线平行于面上的任一直线，则该直线与 该平面平行。
推理：若直线的投影与投影面垂直面具有积聚性的 投影相互平行，则此直线与该平面平行。
《机械制图》
第1章 绪论
6
例： ①过点K作一直线平行于面（AB×CD)。
《机械制图》
第1章 绪论
18
⑵．平面与平面相交
例：求△ABC与△DEF的交线。
基本方法：线面求交。
步注骤意： •①利用所辅做助的面辅法助求面A为B与垂△直D面EF的交点K •②利用辅辅助助面面所法包求含E的F与直△线A是BC任的选交的点L •③连接交K线L，在即两△平A面BC图与形△的DE公F的有交区线内 •④利用若重所影做点的判辅断助可面见与性交线平行， •完成交△点A在BC无与穷△远DE处F各，边应的重轮选廓辅助面
d"
YW
若需完成其侧投影 时，要保证作图的 准确性。
《机械制图》
第1章 绪论
4
例：判断AB与CD是否平行。
方法一： 利用侧投影判断
Z
a'
c'
c"
求得结果： a”b” 不平行于c”d” ， b' 所以AB与CD不平行。 X
b
方法二： 若 AB∥CD，
a
则有：a‘b’∥c‘d’，ab∥cd， 图中：a‘b’∥c‘d’，ab∥dc，
要点小结
• 垂直问题的基础－直角定理
• 直线与平面垂直的条件：直线垂直于平面上两
条相交的直线
• 求点与平面距离的问题，应包括：作垂线、求 垂足、求距离的实长、判断可见性
《机械制图》
第1章 绪论
33
5.4 相对位置综合问题
利用点、线、面的基本知识及几何元素间的相 互平行、相交、垂直等关系，解决工程实际中所遇 到的距离、角度、实形、轨迹等问题： • 从空间入手，进行空间分析 • 把复杂的问题分解为若干个简单问题逐个解决 • 最后加以综合，得出结果
1
NM
Nm k
求画水平线NE，
l
2
c
再求MN、ME的实长
e
•
d
a
n Pv
《机械制图》
第1章 绪论
37
要点小结
•点、线、面的基本知识及相互关系，是解决 复杂的问题的基础 • 从空间入手，把复杂的问题分解为若干个简 单问题，最后加以综合
《机械制图》
第1章 绪论
38
内容
6.1 换面法 6.2 旋转法
几何元素间的相对位置关系
内容
5.1 几何元素间的平行问题 5.2 几何元素间的相交问题 5.3 几何元素间的垂直问题 5.4 相对位置综合问题
《机械制图》
第1章 绪论
2
5.1 几何元素间的平行问题
5.1.1 直线与直线平行
定理：若空间两直线相互平行，则它们的同名投影 必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影 相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
k' 3'
c'
L △ZKL
kl
b
k
41
2
.
l
c
a
3
d
《机械制图》
第1章 绪论
29
• 直线与直线垂直
.
例: 已知直线，过线
上点作直线⊥直线。
.
例: 已知直线，过线 外点作直线⊥直线。
PV
a’
3’ b’ 1’
4’
2’Leabharlann 1 3 ba 42《机械制图》
第1章 绪论
30
• 平面与平面垂直
a´
例: 已知△及点A， 过点A作平面⊥△。
5.2.1 直线与直线相交
• 两直线相交 相交条件:两直线各同名投影均相交，且交点符合点 的投影规律，即两直线只有一个公有点。
13
例：判断两直线是否相交。
c'
b'
k'
a'
X
c k1
d'
O
b
a k2
d
不相交
c'
b'
k'
a'
d'
X
O
c
b
a
kd
相交
《机械制图》
第1章 绪论
14
• 相叉
相叉条件:两条直线没有公有点，也不平行。 其投影的交点为两直线的重影点。
对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同 名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平 行。
3
例：完成平行四边形ABCD的投影。
b'
Z b"
注意：点C应符合
c'
点的投影规律。
a'
c"
a"
X
d'
O
b
c
a d
YH
解题步骤： ∵ DC∥AB,BC∥AD ∴ d‘c’∥a‘b’，b’c’∥a’b’； dc∥ab，bc∥ab。
c' 1'