平面向量的坐标及其运算

同理可得 a - b ( x1 x2 , y1 y2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差
平面向量的坐标运算
2．已知 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )．求 AB 解：AB OB OA ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 x1 , y2 y1 )
四、教法、学法分析
2．教学手段
根据本节内容特点，为了更好地突出重点， 突破难点，增大课堂容量，提高课堂效率，利 用多媒体辅助手段。
五、教学过程设计
（一）导入新课 （二）讲授新课 （三）归纳小结
（四）布置作业
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示 1．在平面内有点A和点B，向量怎样 AB 表示？ 2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
向量的坐 标表示
小结
二、教材分析
2．教学重点、难点、关键
因为向量的坐标运算是一种新的运算，且是用代数 方法解决几何问题的重要工具,因此确定教学重点是： 平面向量的坐标运算；因为向量的坐标表示是不同于 几何表示的一种新的表示，学生以数表示形不易理解 和接受，在处理起点不在坐标原点的向量坐标表示时 容易遇到障碍，因此确定教学难点是：平面向量坐标 表示的概念的建立；因为向量的坐标表示的概念是学 习向量坐标运算的基础，因此确定教学关键是：对平 面向量坐标表示的概念的正确理解。
8.3.1 平面向量的坐标及其运算
于
尧
平面向量的坐标运算
一、教学目标
二、教材分析 三、学生分析
四、教法、学法分析 五、教学过程设计
一、教学目标
1、知识目标：
（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算。
2、能力目标：
体会类比思想、转化思想、数形结合思想；培养 学生分析、比较、抽象、概括的思维能力。培养学 生的形象思维能力和发现能力。
【变式训练、巩固提高】
• 1.P62，1，2 • 2.已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点， AD=（2，5），AB=（-2，3），则CD坐标为 _______DO坐标为_______CO坐标为_______.
【归纳小结 延伸提高】 • ①理解平面向量的坐标的表示a=xi+yj=(x,y). ②掌握平面向量的坐标运算：a=(x1,y1), b=(x2,y2), 则a+b=(x1+x2,y1+y2)； a=(x1,y1), b=(x2,y2),则ab=(x1-x2,y1-y2)；a=(x,y)和实数λ，则λa= （λx,λy）。 ③体会向量运算完全代数化，将数与形紧密地结 合起来的数形结合的数学思想。
AB ( 1 （ 2）， 3 1） （1， 2） DC ( 3 x ,4 y ) 由 AB DC，得
(1,2) (3 x,4 y )
1 3 x 2 4 y x 2 y 2
顶点D的坐标为（ 2， 2）
3.情感目标：
激发学生善于发现、勇于探索的精神；树立事物 在一定条件下互相转化的辨证唯物主义的观点。
• １．教材的内容、地位和作用
二、教材分析
教材的内容是平面向量的坐标表示，平面向量的 坐标运算，向量平行的坐标表示。共讲授二课时，本 节课为第一节课，主要讲授平面向量的坐标表示，平 面向量的坐标运算；本课时内容是教材新增内容，有 着广泛应用，通过学习使很多几何问题的证明可转化 为学生熟知的数量运算。它是继向量的几何表示之后 的又一种新的表示，继向量的几何运算之后的又一种 新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的 基础（向量平行的坐标表示，平面向量数量积的坐标 表示），起作承上启下的重要作用。
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 1.已知a ( x1 , y1 )，b ( x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
即 a + b ( x1 x2 , y1 y2 )
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
平面向量的坐标运算
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标． 解：设顶点D的坐标为（x，y）
平面向量的坐标运算
概念理解 1．以原点O为起点作 OA a ，点A的位置由谁确定? 由a 唯一确定 y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？ 两者相同
j 向量a
一一对应
A(x, y)
a百度文库
a
坐标（x ，y）
O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？
a b x1 x2且y1 y2
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标．
a (x, y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
平面向量的坐标运算
例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b， a-b，3a+4b的坐标．
平面向量的坐标运算
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 求它们的坐标． 解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j
a (2,3)
同理， b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
d 2i 3 j (2,3)
【分层作业 巩固创新】
巩固平面向量坐 标的运算
• P62。3，4。 • 研究性题：已知ABC的顶点A（7， 8），B（3，5），C（4，3），M， N，D分别是AB、AC、BC的中点， MN交AD于F，求DF的坐标。
研究用平面向量 坐标的运算解决 几何中的问题
板书设计
课题 平面向量 坐标运算 例题讲解 变式训练
三、学生分析
• 平面向量的基本定理的学习为学生学习本节课 内容扫清了知识上的障碍，平面上点的坐标表 示的学习方法为学生学习本节课内容扫清了学 习方法上的障碍；学习本节内容过程中可能出 现的思维障碍是：平面向量的坐标表示和平面 向量的坐标运算的公式的推导。
四、教法、学法分析
1.教学方法 考虑到学生已学过平面上点的坐标表示、平面向 量的基本定理，以及教材内容的特点，为突破重点、 难点，在教学上，我着重以目标教学法为主，综合运 用过程教学及分层教学的方法（创设情境、激发思维 ---展示目标、引导探究---达到目标 、发展思维---变式 训练、强化目标 ---归纳小结、深化目标 ）。 贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维 为主攻”的教学思想，采取“精讲、善导、激趣、引思” 的八字方针
【例题示范、学会应用】
例4 已知a=(2,1), b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的 坐标。
（掌握求向量的加、减、实数与向量的积的坐标）
例5已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、 C坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3， 4），求顶点D的坐标。
（若向量相等，则它们的坐标相等）
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实 y 数x、y，使得 a =xi + yj． a （x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=xi + yj j x
O i 那么i =（ 1 ， 0 ） j =（ 0 ， 1 ） 0 =（ 0 ， 0）