平面向量的坐标及其运算

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6.2.3平面向量的坐标及其运算-人教B版高中数学必修第二册(2019版)教案

6.2.3平面向量的坐标及其运算-人教B版高中数学必修第二册（2019版）教案教学目标1.理解平面向量的概念，掌握向量坐标表示方法和向量的基本运算法则；2.理解向量的加、减、数乘和数量积的几何意义，并能熟练运用；3.能够解决平面向量的线性方程组问题；4.能够灵活运用平面向量的计算方法，解决与平面向量有关的几何问题。

教学重难点重点：向量坐标表示方法，向量的基本运算法则。

难点：向量的线性方程组问题。

教学过程1. 引入教学向学生展示两个不同的向量，向学生询问是否能知道这两个向量的大小和方向，引发学生对向量的疑惑和兴趣。

2. 向量的概念向学生讲解向量的概念，引导学生感受向量的大小、方向和作用，并向学生展示向量在几何图形中的应用。

3. 向量的表示方法引导学生进行向量的初、末点表示法，并着重讲解向量的坐标表示方法及坐标表示的唯一性。

4. 向量的基本运算法则教师示范简单的向量加、减、数乘和数量积的计算方法，引导学生进行独立练习，并针对学生经常出错的运算法则进行重点讲解。

5. 向量的线性方程组问题引导学生掌握向量的线性方程组的数学意义和解的方法，让学生通过实际问题进行解题实践，达到掌握的目的。

6. 平面向量的应用针对实际问题让学生进行平面向量的运用，并引导学生感受平面向量在几何问题中的应用。

教学方法采用讲述法、演示法、示范法、独立练习法、引导式教学法等多种教学方法，以培养学生的学习兴趣和独立思考能力。

教学评价通过课堂练习和教学评测，进行学生认识形式的反馈。

同时，教师也需要认真备课，制定细致的教学计划和教学目的，做到全方位培养学生对向量概念和运算方法的掌握。

教学反思本节课中，教师采用多种教学方法，可以让学生在学习中感受到探究的乐趣，并能够熟练掌握向量的坐标表示方法和运算法则。

本节课教学评价要求学生进行独立思考和探究，同时也要注意反馈学生的实际认知情况，做到因材施教。

平面向量的坐标表示与运算

平面向量的坐标表示与运算一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。

为了方便我们进行计算和分析，我们可以使用坐标表示来表示和计算平面向量。

本教案将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本的运算规则。

二、平面向量的坐标表示我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以表示为一个有序的坐标 (x, y)。

同样，一个平面向量也可以用一组有序数表示，分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

三、平面向量的坐标运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，求得它们的和。

在向量的坐标表示中，向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。

2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，求得新的向量。

在向量的坐标表示中，向量的数乘可以通过将向量的每一个分量与实数相乘得到。

3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，求得它们的差。

在向量的坐标表示中，向量的减法可以通过将被减向量的每一个分量分别减去减向量的对应分量得到。

4. 向量的数量积向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个实数。

在向量的坐标表示中，向量的数量积可以通过将两个向量的对应分量相乘，并将得到的乘积相加得到。

5. 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角大小。

在向量的坐标表示中，可以利用向量的数量积公式求得两个向量的夹角。

四、实例分析考虑以下平面向量 A 和 B：A = (2, 3)B = (4, -1)我们可以通过向量的坐标运算来求解以下问题：1. 计算 A + B2. 计算 2A3. 计算 A - B4. 计算 A·B5. 计算向量 A 与向量 B 之间的夹角五、总结通过本教案我们学习了平面向量的坐标表示方法以及常见的运算规则，这些知识对于解决平面几何问题非常有用。

希望同学们能够通过练习和实践，巩固这些知识，提升自己的数学能力。

平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则

平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则平面向量的坐标表示与运算平面向量是解析几何学中的重要概念，它可以通过坐标表示和进行各种运算。

本文将介绍平面向量的坐标表示及其运算法则。

一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用有序实数对（x, y）表示，其中x代表向量在x轴上的投影长度，y代表向量在y轴上的投影长度。

这个有序实数对称为向量的坐标表示。

例如，对于平面上的向量AB，若A点的坐标为（x₁, y₁），B点的坐标为（x₂, y₂），则向量AB的坐标表示为（x₂ - x₁, y₂ - y₁）。

二、平面向量的运算法则1. 加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将它们的终点连线，新的向量就是连接相接点与连接终点的线段的向量。

对于向量AB和向量CD，它们的和向量为向量AC。

和向量的坐标表示为（x₂ - x₁ + x₄ - x₃, y₂ - y₁ + y₄ - y₃）。

2. 数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

数乘改变了向量的大小，但不改变其方向。

对于向量AB和实数k，向量kAB的坐标表示为（k(x₂ - x₁), k(y₂- y₁)）。

3. 减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。

对于向量AB和向量CD，它们的差向量为向量AD。

差向量的坐标表示为（x₂ - x₁ - x₄ + x₃, y₂ - y₁ - y₄ + y₃）。

4. 模长：向量的模长表示了向量的大小。

在平面直角坐标系中，向量（x, y）的模长表示为√(x² + y²)。

三、平面向量的运算实例例1：已知向量A(3, 4)，向量B(5, 2)，求向量A + 向量B 和向量A - 向量B的坐标表示。

解：向量A + 向量B的坐标表示为（3 + 5, 4 + 2），即(8, 6)。

高中数学知识点：平面向量的坐标运算

高中数学知识点：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
记aλa=(λx，2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．。

平面向量的坐标运算

a b可写成 x x 1 2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ), 即 . y1 y2 消去得：x 1 y2 x2 y1 0,
a // b (b 0)的充要条件是 x1y2 x2 y1 0
(1) 消去时不能两式相除, 因为y1, 注意： y2 有可能为0. 可分 0与 = 0讨论．
1 8)， AC AB, 3
分别为(0，4)、( 2，0)和( 2， 4). 分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量 AC ， AB ， DA 和 CD 的关系进行坐标运算，用方程思想解之．
说明：本题涉及到方程思想，对运算能力要求较高．
例1.已知 a (4, 2), b (6, y)，且 a b ，
求 y。
例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，求证;A、B、 C三点共线
例3 已知A( 1, 2), B(2,
1 DA BA, 求点C、D和向量CD 的坐标. 3
小结：
1 、本节课我们主要学习了平面向量平行的坐标表示，要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行(重合)．
2 、向量平行 ( 共线 ) 充要条件的两种表示形式： a // b(b 0) a b;
(2) 充要条件不能写成
y1 y2 , x1 x2
因为x1, x2有可能为0. (3) 向量平行(共线)充要条件的两种表示形式： a // b(b 0) a b;
a // b(b 0) x1 y2 x2 y1 0.
请认真看教材P113例4、例5．

平面向量基本定理及坐标运算

答案
D
解析
→ ⊥AB →， →， → 因为AB 分别以AB 1 2 所以以 A 为原点， 1 AB2所
在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设 B1(a,0)，B2(0，b)， O(x，y)， → ＝AB → ＋AB → ＝(a，b)，即 P(a，b)．则AP 1 2 → |＝|OB → |＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1. 由|OB 1 2 所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0. 1 → 2 2 1 由|OP|<2，得(x－a) ＋(y－b) <4， 1 即 0≤1－x ＋1－y <4.
x2－x12＋y2－y12.
4．向量平行与垂直的条件设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
x1x2＋y1y2＝0 . a ± (3)a≠0，则与 a 平行的单位向量为 |a| .
(2)a、b 均不为 0 时，a⊥b⇔
→ ⊥AB → ，|OB → |＝|OB → |＝1，AP →＝ 5．(2013· 重庆)在平面上，AB 1 2 1 2 1 → → → → |的取值范围是( AB1＋AB2.若|OP|<2，则|OA 5 A．(0， 2 ] 5 C．( 2 ， 2] 5 7 B．( 2 ， 2 ] 7 D．( 2 ， 2] )
答案 A
解析
B 中不能是空间向量，C 中 λ1e1＋λ2e2 一定在平面 α
内，D 中 λ1，λ2 是唯一的．
→ ＝(3,7)，AB → ＝(－2,3)，对称中心为 O， 2．在▱ABCD 中，AD → 等于( 则CO ) 1 B．(－2，－5) 1 D．(2，5)
1 A．(－2，5) 1 C．(2，－5)

平面向量的坐标和坐标变换公式

平面向量的坐标和坐标变换公式平面向量是二维空间中的量，它可以表示为一个有方向和大小的箭头。

在数学中，我们通常使用坐标来描述向量的位置和方向。

本文将介绍平面向量的坐标表示以及坐标变换公式。

一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，可以用两个实数表示一个平面向量。

设向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量。

例如，向量A在坐标系中的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，则向量A的坐标表示为(Ax, Ay) = (x, y)。

二、平面向量的坐标变换公式当平面向量发生坐标变换时，它的起点和终点位置可能发生改变。

为了描述这种改变，需要引入坐标变换公式。

1. 平移变换平移是指将平面向量的起点和终点同时平移相同的距离。

设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，平移向量坐标为(Tx, Ty)。

则坐标变换公式为：(Bx, By) = (Ax + Tx, Ay + Ty)2. 旋转变换旋转是指将平面向量绕原点旋转一定的角度。

设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，旋转角度为θ。

则坐标变换公式为：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ3. 缩放变换缩放是指将平面向量的大小进行伸缩。

设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，缩放因子为k。

则坐标变换公式为：Bx = k * AxBy = k * Ay4. 倾斜变换倾斜是指将平面向量在x轴或y轴方向上进行伸缩。

设平面向量A 在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，倾斜角度为α。

则坐标变换公式为：Bx = Ax + Ay * tanαBy = Ay + Ax * tanα总结：本文介绍了平面向量的坐标表示以及坐标变换公式，并按照题目要求采用相应的格式进行了阐述。

平面向量的基本定理及坐标运算

一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2）基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式．注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】线段与互相平分，则可以表示为（）A ．B ．C ．D ．【例3】已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，【例8】已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为．【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________．【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ．【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ．【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。

平面向量的坐标表示与运算

平面向量的坐标表示与运算平面向量是数学中的重要概念，它在几何和物理学中都有广泛的应用。

在平面直角坐标系中，平面向量的坐标表示与运算是研究平面向量的基础。

一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个平面向量可以用两个有序实数表示，这两个实数分别表示向量在x轴和y轴上的投影。

设向量a的坐标为(a₁, a₂)，则a可以表示为：a = a₁i + a₂j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。

二、平面向量的运算1. 向量的加法设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则向量a加b的结果可以表示为：a +b = (a₁ + b₁)i + (a₂ + b₂)j。

2. 向量的减法设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则向量a减b的结果可以表示为：a -b = (a₁ - b₁)i + (a₂ - b₂)j。

3. 向量的数量乘法设向量a的坐标为(a₁, a₂)，实数k，则向量a乘以k的结果可以表示为：k*a = ka = (ka₁)i + (ka₂)j。

4. 向量的数量除法设向量a的坐标为(a₁, a₂)，实数k(k ≠ 0)，则向量a除以k的结果可以表示为：a/k = a*(1/k) = (a₁/k)i + (a₂/k)j。

5. 向量的数量积设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则向量a与向量b的数量积结果可以表示为：a·b = a₁b₁ + a₂b₂。

6. 向量的模长设向量a的坐标为(a₁, a₂)，则向量a的模长可以表示为：|a| = √(a₁² + a₂²)。

三、示例分析为了更好地理解平面向量的坐标表示与运算，下面以实际问题为例进行分析。

问题：有两个平面向量a(-3, 4)和b(2, -1)，求这两个向量的和、差、数量积和模长。

解答：1. 向量的加法：a +b = (-3 + 2)i + (4 - 1)j = -i + 3j。

平面向量的运算法则

平面向量的运算法则在数学中，平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。

平面向量有许多运算法则，包括相加、相减、数量乘法等。

1. 平面向量的表示方法平面向量通常用坐标表示，形式为 (x, y) 或 i*x + j*y，x、y分别表示向量在x轴和y轴上的分量，i和j是单位向量。

2. 平面向量的相加设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。

则 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。

3. 平面向量的相减设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。

则 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。

4. 平面向量的数量乘法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为实数。

则 kA 的坐标表示为 (k*x, k*y)。

5. 平面向量的数量除法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为非零实数。

则A/k 的坐标表示为 (x/k, y/k)。

6. 平面向量的数量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。

两个向量的数量积为 A·B = x1*x2 + y1*y2，是一个数量。

7. 平面向量的向量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。

两个向量的向量积为 A×B = x1*y2 - x2*y1，是一个向量。

8. 平面向量的模长一个平面向量 A 的模长表示为 |A|，计算公式为|A| = √(x^2 + y^2)，其中 x 和 y 分别为向量 A 在 x 轴和 y 轴上的分量。

9. 平面向量的数量积与夹角设有两个非零平面向量 A 和 B，它们之间的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·B) / (|A|*|B|)。

平面向量的坐标表示及坐标运算

平面向量的坐标表示及坐标运算一个平面上的向量可以用坐标的形式表示出来。

一般而言，在平面上的向量都可以用一个坐标向量来表示，用一对数字表示向量的大小和方向，可以是极坐标，也可以是直角坐标。

极坐标是把向量投影到平面上，以圆心为原点，向量的起点到圆心的距离表示大小，圆心到向量的角度表示方向。

在不同情况下，极坐标可以取不同的圆心，比如笛卡尔坐标系的极坐标，其圆心就是笛卡尔坐标系的原点；也可以取向量的起点为圆心，这样的极坐标叫作空间极坐标。

直角坐标是指将一个向量从起点投射到X轴，再从X轴投射到Y 轴，X轴上的距离表示向量的X成分，Y轴上的距离表示向量的Y成分。

这样就把一个向量表示为两个正数（或零）的组合，例如（3，4），即表示一个向量，其X成分为3，Y成分为4。

二、坐标运算1.量加法：当两个向量的起点在同一个点时，他们的坐标向量可以相加，即：（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d）。

2.量减法：同样地，当两个向量的起点在同一个点时，他们的坐标向量可以相减，即：（a，b）-（c，d）=（a-c，b-d）。

3.放向量：缩放向量意味着将向量的大小变更，而不改变向量的方向，可以用缩放系数来表示，令K为缩放系数，则：K*（a，b）=（Ka，Kb），即对向量的每个成分乘以一个系数，就可以完成缩放的运算。

4.量的模：向量的模也称为向量的长度，表示向量大小的一个数值，它可以用欧式距离来表示，欧式距离计算公式的定义为：||A||=√（a^2+b^2），其中a和b分别表示向量的X和Y成分。

5.量的夹角：向量的夹角指向量之间的夹角，可以用弧度表示，也可以用角度表示，计算向量的夹角可以用余弦定理来计算，其计算公式定义为：cosθ=AB/||A||*||B||。

6.量的点积：点积用来表示两个向量的关系，可以用X和Y在向量上的分量来表示，它的计算公式定义为：AB=a*b+c*d，其中a，b，c，d分别表示两个向量的X和Y成分。

三、总结以上，就是平面向量的坐标表示及坐标运算的相关内容，在了解了平面向量的坐标表示方式以及如何进行坐标运算后，我们可以更加熟练的处理向量的坐标运算，也可以更清楚的理解向量的含义。

平面向量的坐标表示与运算

平面向量的坐标表示与运算平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学和向量代数的研究中具有广泛的应用。

在平面直角坐标系中，平面向量可以通过其坐标表示和进行运算。

本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算方法。

一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。

例如，向量AB可以表示为(3, 4)，其中向量的起点为A，终点为B，x轴上的分量为3，y轴上的分量为4。

二、平面向量的运算1. 向量的加法与减法向量的加法可以通过分别对应分量进行加法运算得到。

例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的和向量C可以表示为C(3+1, 4+2)，即C(4, 6)。

类似地，向量的减法可以通过分别对应分量进行减法运算得到。

2. 向量的数量积两个向量的数量积，也称为点积或内积，可以表示为两个向量的对应分量乘积的和。

例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的数量积可以表示为3×1 + 4×2 = 11。

数量积具有一些重要的性质，如交换律和分配律，可以用于向量的运算。

3. 向量的数量积与夹角两个向量的数量积与它们之间的夹角有一定的关系。

根据数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。

即A·B = |A| |B| cosθ，其中A·B表示向量A与向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A与B之间的夹角。

4. 向量的数量积与平行垂直关系如果两个非零向量的数量积为0，则它们是垂直的。

如果两个非零向量的数量积非零，则可以通过比较它们的数量积的正负来判断其是否平行。

如果数量积为正数，则它们是同向的；如果数量积为负数，则它们是反向的。

5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，是一种特殊的向量运算。

向量的向量积满足“左手定则”，结果的方向垂直于原来两个向量所在的平面，并符合右手法则。

平面向量的坐标表示与运算

平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示。

对于二维平面上的向量，一般采用坐标形式表示。

平面向量的坐标表示通常用(a, b)来表示，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。

二、平面向量的加法和减法运算1. 平面向量的加法运算将两个向量合成为一个新的向量，其坐标表示分别对应相加。

例如，设有向量A(a1, b1)和向量B(a2, b2)，则它们的和为向量C(a1+a2,b1+b2)。

2. 平面向量的减法运算将一个向量减去另一个向量，其坐标表示分别对应相减。

例如，设有向量A(a1, b1)和向量B(a2, b2)，则它们的差为向量C(a1-a2, b1-b2)。

三、平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算指的是向量与一个实数的乘法运算。

将向量的每个分量与实数相乘即可。

例如，设有向量A(a, b)和实数k，那么k乘以向量A就是向量B(ka, kb)。

四、平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算又称为点积运算，结果是一个实数。

设有两个向量A(a1, b1)和B(a2, b2)，它们的数量积可以表示为A·B = a1·a2 +b1·b2。

五、平面向量的向量积运算平面向量的向量积运算又称为叉积运算，结果是一个向量。

设有两个向量A(a1, b1)和B(a2, b2)，它们的向量积可以表示为A×B = a1b2 -a2b1。

六、平面向量的运算规律1. 加法的交换律和结合律向量加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A+ (B + C)。

2. 数量积的交换律和结合律向量数量积满足交换律和结合律，即A·B = B·A，(kA)·B = k(A·B)。

3. 数量积与向量积的分配律向量数量积与向量积满足分配律，即A·(B + C) = A·B + A·C。

平面向量的坐标表示与线性运算

平面向量的坐标表示与线性运算平面向量是平面上一个有大小和方向的箭头，它由起点和终点确定。

在数学中，可以通过坐标表示来描述平面向量，这种表示方法可使计算和运算更加方便。

一、平面向量的坐标表示平面中的向量可以由两个有序实数对表示，根据坐标轴的方向，通常用(x, y)表示平面向量。

其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

这种表示方法类似于笛卡尔坐标系中的点的表示方法。

例如，有一个向量a，它的起点在原点(0, 0)，终点在点A(x1, y1)上。

那么这个向量的坐标表示就是(a1, a2) = (x1, y1)。

其中，a1 = x1，a2 =y1。

同样地，对于任意两个平面向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2)和(b1, b2)。

二、平面向量的线性运算平面向量的线性运算包括加法和数乘两种操作。

1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量相加得到一个新的向量。

加法的运算规则如下：(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)通过向量的加法，可以得到一个新的向量，它的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。

这个新的向量叫做"和向量"。

2. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

数乘的运算规则如下：k(a1, a2) = (ka1, ka2)通过向量的数乘，可以得到一个新的向量，它的起点与原向量相同，终点在与原向量方向相同（若k>0）或相反（若k<0）的位置。

这个新的向量也叫做"倍数向量"。

三、例题解析假设有向量a = (3, -2)和向量b = (1, 4)，我们来进行一些常见的线性运算。

1. 向量的加法a +b = (3, -2) + (1, 4) = (3 + 1, -2 + 4) = (4, 2)2. 向量的数乘2a = 2(3, -2) = (2 * 3, 2 * -2) = (6, -4)-3b = -3(1, 4) = (-3 * 1, -3 * 4) = (-3, -12)通过以上例题可以看出，平面向量的坐标表示和线性运算在数学中有着广泛的应用。

平面向量的坐标表示与运算

平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。

在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。

x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。

二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。

2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。

3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。

4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。

5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。

三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。

1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。

2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。

平面向量的坐标表示与运算

平面向量的坐标表示与运算在数学中，平面向量是一个有方向和大小的量。

它可以用坐标表示，并且可以进行一些基本的运算，比如加法和乘法。

本文将介绍平面向量的坐标表示与运算。

1. 平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示其坐标，通常用大写字母表示向量。

假设有一个向量AB，其起点是A，终点是B。

向量AB的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量在x轴上的分量，Ay表示向量在y轴上的分量。

2. 平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有向量AB和向量CD，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)。

那么两个向量的和向量EF的坐标可以通过分别将Ax与Cx相加得到新向量的x轴分量，将Ay与Cy相加得到新向量的y轴分量来表示。

EF的坐标表示为(EF_x, EF_y)，其中EF_x = Ax + Cx，EF_y = Ay + Cy。

3. 平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

假设有向量AB，其坐标为(Ax, Ay)，实数k表示数乘因子。

那么该向量的数乘结果向量AC的坐标可以通过将Ax与k相乘得到新向量的x轴分量，将Ay与k相乘得到新向量的y轴分量来表示。

AC的坐标表示为(AC_x, AC_y)，其中AC_x = Ax * k，AC_y = Ay* k。

4. 平面向量的零向量零向量是指所有分量均为0的向量，通常用0表示。

对于任意向量AB，与其相加的零向量的坐标为(0, 0)。

即，任意向量与零向量相加，结果向量仍为原向量。

5. 平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设有向量AB和向量CD，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)。

那么两个向量的差向量GH的坐标可以通过分别将Ax与Cx相减得到新向量的x轴分量，将Ay与Cy相减得到新向量的y轴分量来表示。

GH的坐标表示为(GH_x, GH_y)，其中GH_x = Ax - Cx，GH_y =Ay - Cy。

2.3.2平面向量的坐标表示及坐标运算

若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？
2 1 -4 -3 c 2i 3 j -2 -1
O
A 2 3 4
x
1 i -1
j
( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
1
O
-1 -2
2
4
6
x
-3
-4
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
B D x A DC (3 x,4 y) O 有AB DC得：（， 3-x, 4 y) 1 2）（
(2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则 (2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7),5λ+5<0,7λ+4<0 ,

平面向量的坐标和运算

平面向量的坐标和运算平面向量是二维空间中的有向线段，由大小和方向组成，常用于描述平面上的物理量或几何关系。

本文将介绍平面向量的坐标表示法和常见的运算操作。

一、平面向量的坐标表示法平面向量通常使用坐标表示法来描述。

在直角坐标系中，平面上的向量可以由其起点和终点的坐标表示。

设向量A的起点坐标为（x₁，y₁），终点坐标为（x₂，y₂），则向量A可以表示为：A = （x₂ - x₁）i + （y₂ - y₁）j其中，i和j分别是x轴和y轴的单位向量。

二、平面向量的加法平面向量的加法操作是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

设向量A的坐标为（x₁，y₁），向量B的坐标为（x₂，y₂），则两个向量的和C可以表示为：C = A + B = （x₁ + x₂）i + （y₁ + y₂）j三、平面向量的减法平面向量的减法操作是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

设向量A的坐标为（x₁，y₁），向量B的坐标为（x₂，y₂），则两个向量的差D可以表示为：D = A - B = （x₁ - x₂）i + （y₁ - y₂）j四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。

设向量A的坐标为（x₁，y₁），实数k，则数量乘积E可以表示为：E = kA = k(x₁i + y₁j) = kx₁i + ky₁j五、平面向量的点乘平面向量的点乘操作是将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个实数。

设向量A的坐标为（x₁，y₁），向量B的坐标为（x₂，y₂），则两个向量的点乘F可以表示为：F = A · B = x₁x₂ + y₁y₂点乘的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值。

六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘操作只适用于三维空间中的向量，本文不做详细介绍。

在实际问题中，平面向量的坐标和运算常用于几何问题的求解，如求两条线段的交点、判断线段是否相交等。

通过将几何问题转化为向量运算，可以简化计算过程，并得到更加准确的结果。

平面向量的坐标运算

变式题
设向量OA ( k ,12)， (4,5), OB OC (10, k ), 当k为何值时，A、 B、C 三点共线？
应用：
已知 3： A、B、C、D 四点坐标分别为A(1,0)、B(4,3)、C ( 2,4)、D(0,2), 试证明四边形、B、C、D是梯形. A
练习：
已知b的方向与a ( 3,4)的方向相同，且| b | 15, 求b .
推导过程：
a // b (b 0) 的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0 注意：
1. 消去时不能两式相除， y1 , y2 有可能为， 0 b 0, x2 , y2中至少有一个不为 . 0 y1 y2 2. 充要条件不能写成： x1 , x2 有可能为0 . x1 x2
推导过程：
a // b (b 0) 的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0
a // b (b 0) 的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0 注意：
1. 消去时不能两式相除， y1 , y2 有可能为， 0 b 0, x2 , y2中至少有一个不为 . 0
应用：
B 4：已知点A(4,0)， (4,4), C (2,6), 求AC和OB的交点P的坐标 .
课堂小结
向量平行（共线）的充要条件的坐标形式
课堂小结
向量平行（共线）的充要条件的坐标形式
x1 y2 x2 y1 0
推导过程：
3. 从而向量共线的充要条件有两种形式： ①a // b (b 0) a b ② x1 y2 x2 y1 0 .
应用：
若向量a ( 1, x )与b ( x ,2)共线 1：且方向相同, 求 x .

平面向量的坐标表示与运算

平面向量的坐标表示与运算平面向量是几何中非常重要的概念，它能够用一个有序的数对来表示一个有大小和方向的量。

在数学中，平面向量通常用箭头来表示，箭头的起点表示该向量的起点，箭头的长度表示该向量的大小，箭头的方向表示该向量的方向。

对于平面向量的坐标表示与运算，下面将进行详细的介绍。

一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个平面向量可以用一个二维有序数对来表示。

设向量的起点为原点O(0, 0)，终点为P(x, y)，向量的坐标表示为OP = (x, y)。

二、平面向量的运算平面向量可以进行加法、减法和数量乘法等运算。

1. 平面向量的加法设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)，则它们的和向量C的坐标表示为C(x₁+x₂, y₁+y₂)。

即C = A + B = (x₁+x₂, y₁+y₂)。

2. 平面向量的减法设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)，则它们的差向量D的坐标表示为D(x₁-x₂, y₁-y₂)。

即D = A - B = (x₁-x₂, y₁-y₂)。

3. 平面向量的数量乘法设平面向量A的坐标表示为A(x, y)，实数k为任意实数，则k与A 的数量乘积的坐标表示为kA(kx, ky)。

三、平面向量运算的性质平面向量的运算满足如下性质：1. 加法的交换律和结合律：对于任意的两个向量A和B，有A + B = B + A和(A + B) + C = A + (B + C)。

2. 减法的定义：向量减法可以等价于向量加法：A - B = A + (-B)。

3. 数量乘法的结合性：对于任意实数k和向量A，有(kl)A = k(lA)，其中l为实数。

4. 数量乘法的分配率：对于任意的实数k和向量A、B，有k(A + B) = kA + kB。

四、平面向量的模和方向角平面向量的模表示向量的大小，可以用勾股定理求得。

设向量A的坐标表示为A(x, y)，则A的模表示为|A| = √(x² + y²)。