圆锥曲线的参数方程

M (a cos , b sin ) x
θ
a X
O
0, 2 y b sin
a cos
参数θ是离心角！
x 5 cos ( 为参数）化成普通方程； 例3、①把椭圆 y 4 sin
解：椭圆的普通方程为：
②点P(5cos45°,4sin45°)是否在上述椭圆上？∠POX=45°？
解：如图，设C(acosθ,bsinθ),则D(-acosθ,bsinθ)，
S ABCD
1 (2a 2a cos )b sin 2
Y
D O
C B X
ab(1 cos ) sin
令：y (1 cos ) sin sin 1 sin 2
显然，0°＜θ＜90°,0<cosθ<1
O N M
X
A
x 2 pt 2 2、已知O是坐标原点，A、B是抛物线 ( p 0, t为参数） y 2 pt
上不同于顶点的两个动点，且OA⊥OB，求AB中点的轨迹方程。
设A(2 pt 2 ,2 pt ), B(2 pu 2 ,2 pu)(tu 0) OA OB,
由此，可知直线AB恒过定点N（2p,0)
O
N M
X
A
充分运用向量工具能使问题化简；充 分利用几何直观，仔细观察是提高解 决问题能力的好方法！
例3、过抛物线y 2 2 px( p 0)的顶点O任作互相垂直的弦OA、OB
①求证：直线AB恒过一个定点； ②求分别以OA、OB为直径的两圆异于O的交点M的轨迹方程。
2 2
2
CP 25 cos 3 sin 4
3 16 sin 50 4
A
Y
2 B
Q
C
1 CP 5 2 0 AB 1 5 2
P
O
X
x2 y2 变式训练：求以椭圆 2 1(a b 0) 的长轴为底的内 2 b 接梯形的面积最大值。a
一般地，离心角φ 不等于旋转角，即 φ≠∠XOM
E A b
x2 y2 2 2 1 a b
联
M(x,y)
b tan
a
φ
O
a cos
X
2 y 2 2 2 x y 2 1 1 上任意一点，Q是圆C： 例1、P是双曲线 x 2 上任意一点，求线段|PQ|的长度的最小值。
y 2 2 px(2 p y 4 p)
Y B
A(2p,-2p),B(8P,4P),F(p/2,0)
所以， ①直线AB的方程为：y= x – 4p ②∵|AB|= 6 2 p
7 pO 2 2 1 1 7p A 3 2 S ABF AB d 6 2 p 42 p p 2 2 3 2 2
点F到直线AB的距离是： d
X
例3、过抛物线y 2 2 px( p 0)的顶点O任作互相垂直的弦OA、OB
①求证：直线AB恒过一个定点； ②求分别以OA、OB为直径的两圆异于O的交点M的轨迹方程。
①设A(2 pt ,2 pt ), B(2 pu ,2 pu)(tu 0) OA OB,
2 2
4 p t u 4 p tu 0,tu 1
2 2 2 2
Y
2 pu 2 pt 2 2 2 AB : y 2 pt ( x 2 pt )( t u ) 2 2 2 pu 2 pt
B
整理得：x 2 p (t u) y 0
（易知当t 2 u 2时也满足）
4 p t u 4 p tu 0,tu 1
2 2 2 2
设AB的中点为P(x,y)，则
x p t u y p(t u )
2

2

① ② ③
由①②③消去参数t,u得：
y p( x 2 p)
2
——圆、椭圆的参数方程
1、圆的参数方程
圆心为C(a,b)半径为R的圆的参数方程：
Y M(x,y)
x a R cos y b R sin
0, 2
R
b
θ
参数θ是旋转角。
X O a
例1、指出下列圆的圆心坐标和半径（其中θ为参数）：
x 2 3 cos (1) y 2 3 sin
②由题设知道：OM⊥AB，即OM⊥MN
OM MN 0, ( x, y) (2 p x, y) 0
Y
B
x 2 y 2 2 px 0( x 0)
为所求的轨迹方程。 在形成曲线的几何条件中，若能直接用一 个几何量的等式表示，则将此几何量的等式 坐标化，化简即得到曲线方程。 在坐标化的过程中，充分利用向量工具是 提高解题速度和简化解题过程的好方法！
3 5 1 5
1 2 t 抛物线的参数方程 x 2p tR yt 除教材给出的抛物线的参数方程外，下面抛物线的另一种 常用的参数方程是： 2 参 x 2 pt 普 (t为参数） 2 数 通 y 2 px( p 0) y 2 pt 方 方 Y 程 程 M(x,y)
圆心坐标 (2, – 2 ) 半径 R=3
x 3 4 cos (2) y 3 4 sin
圆心坐标 (3, 3 ) 半径 R=4
y 2 2x 4 y, 求2x – y 的取值范围。 2 2 解：由已知得： x 1 y 2 5
例2、实数x,y满足 x 2
/
A
y cos cos 2 2 cos cos 1 2 cos 1cos 1 3 3 1 3 3 ( S ABCD ) max ab 当cos 时，ymax 4 2 4
2
2
随堂训练
x2 y2 在椭圆 1 上到直线3x – 2y – 16 = 0距离 4 7
点P在椭圆上， ∠POX≠45°
x y 1 25 16
2
2
例3、已知点A是椭圆
2 2
x y 1 上任意一点，点B为圆C： 25 9
2
2
x ( y 4) 1 上任意一点，求|AB|的取值范围。
解：如图，要使|PQ|最长（短），只须|CP|最长（短）。 设 P(5 cos ,3 sin ) ，则：
参数t的几何意义是： 抛物线上的点M与原点 连线的斜率。
2 pt
O
2 pt
2
X
x 2 pt 2 ( p 0, t为参数） 例2、曲线C的方程是 y 2 pt
当-1≤t≤2时， ①求曲线C的弧上A、B两端点的直线方程。② 设F是曲线的焦点，且△ABF的面积为14，求p的值。 解：曲线C化成普通方程得
最小的点的坐标是： ，最小距离是：
圆锥曲线的参数方程（2）
——双曲线、抛物线的参数方程
双曲线的参数方程
双 曲 线 的 参 数 方 程
x y 双曲线： 1(a, b 0) 2 2 a b
Φ叫离心角。
2
2
a 想 x cos ( 为参数）1 sin 2 cos 2 2 tan 1 2 2 y b tan cos cosY
y 1，求y:x的取值范围。 Y x 2 cos y sin k 1 x 2 cos y sin 30° 2
2
x 2
2
O
X
2k 1 k 2
1 1 1 k 3 3
2、椭圆的参数方程
Y b
x2 y 2 椭圆 2 2 1 的参数方程： a b
Leabharlann Baidu
解：线段|PQ|的长度的最小值为点P与圆心C的距离的最小值 减去圆的半径。又：
1 2 PC 2 tan 2 cos
2
2
Y
Q P
C
X O
5 tan 8 tan 5 4 2 9 9 5(tan ) 5 5 5
2
所以线段|PQ|的长度的最小值为
2 x y 2 5 cos 5 sin 5 cos
所以2x – y 的取值范围是：[ - 5，5]
x 1 5 cos 所以，圆的参数方程为： y 2 5 sin
变式训练：已知
sin k cos 2k 2k sin 2 1 k