常见基本初等函数极限

,L,
n + (-1)n-1 n
,L
。通项
yn
=
n + (-1)n-1 n
，极限
yn
=
n + (-1)n-1 n
®1
(n ® ¥) （收
敛）即 lim n + (-1)n-1 = 1
n®¥
n
(如图 4)
yn
2
×1 ×
× × × × × yn
=
n
+
(-1)n-1 n
n®¥
× × × × × × O 1 2 3 4 5 6
-¥ x
-p - 3p
2
yy 1
-p 2
O
p 2
-1
y = sin x
- 3p 2
图 15
x
p
+¥ x
x
（16）函数 y = cos x ，极限 lim cos x 趋势不定，极限不存在 （注意： x ® ¥ 即 x ® ±¥ ） x®¥
(-1)n 2n
=
ì-2, -6, -10,L（, n为奇数）
í î
4,
8,
12，L,
。通项：
（n为偶数）
yn = (-1)n 2n
极限
yn
=
(-1)n 2n
=
ì -¥(n ® ¥) íî+¥(n ® ¥)
（n为奇数） （n为偶数）
yn
=
(-1)n 2n
(n
®
¥)
趋势不定（发散）
(如图 8)
yn
12 10 8 6 4 2
n
图4
(5) 2, 4,8,L, 2n ,L。通项 yn = 2n ，极限: yn = 2n ® ¥ (n ® ¥) （发散）
(6)1, -1,1,L, (-1)n+1,L 。通项： yn = (-1)n+1 ;极限： yn = (-1)n+1 (n ® ¥) 趋势不定（发散）
(如图 6)
yn
× × × × × × × × 1 ×
(1) 函数 y = C ，极限 lim C = C ( C 为常数)；（2）函数 y = x ，极限 lim x = ±¥ （极限不存在）
x®±¥
x®±¥
y
C -¥ ¬ x
O
y =C
x ® +¥ x
y
y=x
-¥ ¬ x
o
x
x ® +¥
图1 图2
67
(3)函数 y = -x ，极限 lim（- x）= m¥ ； x®±¥
常见函数极限 一、常见数列极限的存在情况：
(1)1,1,1,1,L1,L 。通项 yn = 1，极限 yn = 1 ® 1 (n ® ¥) （收敛）
即 lim1 = 1 n®¥
(2)1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,L,
1 n
,L
。通项 yn
=
1 ，极限 n
yn
=
1 n
® 0 (n ® ¥) （收敛）
即 lim 1 = 0 (如图 2)
x +¥ x
(1, 0)
0<a<1
图 12
图 13 69
或综上(13)(14)
常见函数极限
y
y = loga x
a >1
×x
O
x ® +¥
(1, 0)
0<a<1
图 14
3、三角函数部分（原书没有）
（15）函数 y = sin x ，极限 lim sin x 趋势不定，极限不存在（注意： x ® ¥ 即 x ® ±¥ ） x®¥
y n = ( - 1) n+1 n®¥
n
g g g O
12
34
5
6
-1
图6
66
常见函数极限
(7) 1, 2,3,L, n,L 。通项 yn = n ，极限 yn = n ® ¥ (n ® ¥) （发散）(如图 7)
yn
。
×3
2
× × yn = n
1×
n®¥
O 12 34 5 6
n
图7
(8)
yn
=
y y=பைடு நூலகம்x
a >1
(0,1)
g
x
-¥ x O x +¥
图9
0< a <1
(0,1)
g
x
-¥ x O x +¥
图 10
或综上（9）-(12）得图 11
y y = ax
0< a <1
a >1
(0,1)
g -¥ ¬ x O x ® +¥
x
图 11
3、对数函数部分
（13）函数
y
=
log a
x
(a
>
1)
，极限
lim
x®+¥
log a
x
=
+¥
(a
> 1)
极限不存在
（注意： x ® +¥ ）;
(14)函数
y
=
log a
x
=
-¥
(0<a
< 1)
，极限
lim
x®+¥
log
a
x
=
-¥
(0<a
< 1)
极限不存在.
（注意： x ® -¥ ）
y
y=loga x
y
y=loga x
a >1
× O
x +¥ x
(1, 0)
× O
y y =-x
-¥ ¬ x O
x
x ® +¥
常见函数极限
(4)函数 y = 1 ，极限 lim 1 = 0
x
x x®±¥
y
-¥ ¬ x
y = x-1 = 1 x
o x ® +¥ x
图3
图4
1
(5)函数 y = x2 ，极限 lim x2 = +¥ （ 极限不存在）；(6)函数 y = x 2 ，极限 lim
n®¥ n
yn
× × × × × × × O
×
×
yn
×
=1 n
×
×
12 34 5
×
6
×
n
®
¥
n
图2
(3)
1 2
,2 3
,3 4
,L,
n ,L n +1
。通项 yn
=
n
n +
1
，极限
yn
=
n ® 0 (n ® ¥) （收敛）即 lim n = 0
n +1
n®¥ n +1
(4) 2
,
1 2
,
4 3
,
3 4
1
o g - 6- 5 -4 - 3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 -10 -12
×
g
g
yn = (-1)n2n
n®¥
n
23 4 56
g
g
图8
二、常见基本初等函数极限存在情况
（一）当 x ® ¥, x ® -¥, x ® +¥ 时的极限（为直观起见在图中将 x ® -¥ 记为 -¥ ¬ x 以下均同）
x
-¥ ¬ x
O x ® +¥
图7
y
f (x) = 3 x
-¥ ¬ x
x
O x ® +¥
图8
68
2、指数函数部分
常见函数极限
(9)函数 y = ax (a > 1），极限 lim ax = +¥ (a > 1) （极限不存在）（注意： x ® +¥ ） x®+¥
(10)函数 y = ax (a > 1）极限 lim ax = 0 (a > 1) ;（注意： x ® -¥ ） x®-¥
x®±¥
x®+¥
y
y
x = +¥ （极限不存在）
y = x2
o
-¥ ¬ x
x
x ® +¥
图5
（7)函数
y = x3 ，极限 lim x3 = ±¥ （极 x®±¥
1
1
在）；（8）函数 y = x3 ，极限 lim x3 = ±¥ ，（极限不存在）
x®±¥
y= x
o
x
x ® +¥
图6
限不存
y f (x) = x3
(11)函数 y = ax (0 < a < 1) ，极限 lim ax = 0 (0 < a < 1) （注意： x ® +¥ ） x®+¥
(12)函数 y = ax (0 < a < 1) ，极限 lim ax = +¥ (0 < a < 1) 极限不存在（注意： x ® -¥ ） x®-¥
y
y = ax