常见基本初等函数极限
五类基本初等函数及图形
高等数学公式导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分:222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数: 两个重要极限:三角函数公式: ·诱导公式:·和差角公式: ·和差化积公式:2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式:·半角公式:ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理:C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质:arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理。
第一章 函数与极限
第一章 函数与极限高等数学与初等数学的根本区别之一是初等数学的研究对象基本上是常量,而高等数学的研究对象主要是变量.在现实世界中,存在着许许多多变化着的量,它们之间有些变量是相互依赖、相互联系的,函数就是对变量之间相互依赖关系的一种抽象.极限是高等数学中的另一个主要概念,它是高等数学这门课程的基本推理工具.连续性是函数的一个重要性态,而连续函数是高等数学研究的主要对象.在初等数学的学习过程中,我们已经学习过函数、极限与连续的概念,本章将在此基础上,对函数、极限与连续进行复习、巩固和提高.第一节 函数一、函数的概念定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的非空实数集.如果对于变量x 在数集D 中取定的每一个确定的数值,变量y 按照一定的对应法则f 都有惟一确定的数值与之对应,则称变量y 是定义在数集D 上的变量x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为函数)(x f y =的定义域,x 称为自变量,y 称为函数(或称因变量). 当x 取数值D x ∈0时,由对应法则f ,与0x 对应的y 的值0y 称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值.记作)(00x f y =.当x 取遍D 中的每个数值时,对应的函数值全体组成的数集{}D x x f y y M ∈==,)(称为函数)(x f y =的值域.函数)(x f y =中表示对应法则(或对应关系)的记号“f ”也可改用其它字母.例如“F ”或“g ”,这时函数)(x f y =就记作)(x F y =或)(x g y =.同一个函数在讨论中应取定一种记号.如果在讨论同一问题时,涉及多个函数,则应取不同的记号分别表示.为方便起见,有时可用记号)(1x f y =,)(2x f y =,…等表示函数.这种表示函数的方法也称为函数的解析法(或公式法).函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素.如果某两个函数)(x f y =与)(x g y =的定义域和对应法则相同,则称它们为相同的函数,否则称它们为不同的函数.对于函数)(x f y =,如果自变量x 在定义域内任意取定一个数值时,对应的函数值y 总是只有一个,这种函数称为单值函数,否则称为多值函数.注意 以后凡是没有特别说明时,本书所讨论的函数都是指单值函数.例1 设62)(3-+=x x x f ,1sin )(+-=x x x g ,求(1))()3()1(2x f f f ,,;(2))1()()0(+x g g g ,,π.解(1) 36121)1(3-=-⋅+=f ,276323)3(3=-⋅+=f ,626)(2)()(262322-+=-+=x x x x x f .(2) 1100sin )0(=+-=g ,ππππ-=+-=11sin )(g ,xx x x x g -+=++-+=+)1sin(1)1()1sin()1(. 例2 已知1)1(2+-=+x x x f ,求)(x f .解 令,于是,则11-==+t x t x331)1()1()(22+-=+---=t t t t t f , 所以 33)(2+-=x x x f .例3 判断下列各对函数是否是相同的函数:(1)x x f =)(,2)(x x g =;(2)x x g x x f lg 2)(lg )(2==,.解 (1)因为x x f =)(的定义域为)(∞+-∞,, x x x g ==2)(的定义域也为)(∞+-∞,,所以,函数)()(x g x f 与是相同的函数.(2)因为2lg )(x x f =的定义域为)0()0(∞+⋃-∞,,,x x g lg 2)(=的定义域为)0(∞+,,所以,函数)()(x g x f 与是不同的函数.例4 求下列函数的定义域:(1)2312+-+=x x x y ; (2)342+-=x x y ; (3)24x y -=; (4).)2ln(232-+-+=x x x y 解(1)由0232≠+-x x ,解得21≠≠x x 且, 因此,函数2312+-+=x x x y 的定义域为)2()21()1(∞+-∞,,, .(2)由0342≥+-x x ,解得,或31≥≤x x 因此,函数342+-=x x y 的定义域为(][)∞+∞-,,31 . (3)由042≥-x ,,解得22≤≤-x 因此,函数24x y -=的定义域为[]22,-. (4)由⎩⎨⎧>-≥-+,,020232x x x 解得32≤<x , 因此,函数)2ln(232-+-+=x x x y 的定义域为(]32,. 给定一个函数)(x f y =时,就意味着其定义域是同时给定的.如果所讨论的函数来自于某个实际问题,则其定义域必须符合实际意义;如果不考虑所讨论的函数的实际背景,则其定义域应使函数)(x f y =在数学上有意义即可.为此要求:(1)分式中的分母不能为零;(2)偶次根式的被开方式非负;(3)对数的真数大于零;(4)正切符号下的式子不等于为整数);k k (2ππ+(5)余切符号下的式子不等于为整数);k k (π(6)反正弦、反余弦符号下的式子的绝对值小于等于1;(7)如果函数)(x f y =中含有上述几种情形,则应取各情形下的交集.二、函数的三种常用表示法表示函数的方法,常用的有列表法、图形法、解析法三种.1. 列表法用列出表格来表示两个变量的函数关系的方法称为列表法.例如,数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表,以及银行里使用的利息表等都是用列表法表示函数关系的.2. 图形法用函数的图形来表示两个变量的函数关系的方法称为图形法.例如,气象台用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线就是用图形法表示函数关系的.3. 解析法用一个等式表示两个变量的函数关系的方法称为解析法.这个等式称为函数的解析表达式,简称解析式.例如, )0(2>=r r S π,)0(≠+=a b ax y ,)0(2≠++=a c bx ax y , )22(42≤≤--=x x y等都是用解析法表示函数关系的.高等数学中研究的函数都是用解析法表示的函数.在许多实际问题的解决过程中,经常用到这样一类函数,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的解析式表示的函数,这类函数称为分段函数.分段函数是高等数学中常见的一种函数.例如,函数⎩⎨⎧<-≥==00x x x x x y ,,, 和 ⎪⎩⎪⎨⎧-<≤≤->-=11112x x x x x x y ,,,,, 都是分段函数,它们的图形如图1-1、图1-2所示.图1-1 图1-2注意 分段函数是用几个解析式合起来表示一个函数,而不是表示几个函数. 三、函数的四个简单性质1、奇偶性定义2 设函数)(x f 的定义域D 关于原点对称(即时D x ∈,D x ∈-则).(1)如果 )()(x f x f =-,D x ∈,则称函数)(x f 为偶函数.(2)如果 )()(x f x f -=-,D x ∈,则称函数)(x f 为奇函数.(3)如果 )()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-,D x ∈,则称函数)(x f 为非奇非偶函数.例如,函数2)(x x f =在)(∞+-∞,内是偶函数,因为)()()(22x f x x x f ==-=-. 函数3)(x x f =在)(∞+-∞,内是奇函数,因为)()()(33x f x x x f -=-=-=-. 注意 偶函数的图形关于y 轴是对称的;奇函数的图形关于原点是对称的.2.单调性定义3 设函数)(x f 的定义域为D ,区间D I ⊂.如果对于区间I 上的任意两点1x 、2x ,当21x x <时,恒有(1) )()(21x f x f <,则称函数)(x f 在区间I 上是单调增加的,区间I 称为单调增区间(图1-3).(2) )()(21x f x f >,则称函数)(x f 在区间I 上是单调减少的,区间I 称为单调减区间(图1-4).图1-3 图1-4单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调函数,单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 例如,函数3)(x x f =在)(∞+-∞,内是单调增加的(图1-5).函数32)(x x f =在(]0,∞-内是单调减少的,在[)∞+,0内是单调增加的,而在()∞+∞-,内不是单调的(图1-6).图1-5 图1-6 3.有界性定义4 设函数)(x f 的定义域为D ,区间D I ⊂.如果存在正数M ,使 I x M x f ∈≤,)(,则称函数)(x f 在区间I 上有界.如果不存在这样的正数M ,则称函数)(x f 在区间I 上无界.例如,函数x x f sin )(=在)(∞+-∞,内有界,因为1sin ≤x . 函数x x f 1)(=在[)∞+,1内有界,而在)0(∞+,内无界.4.周期性 定义5 设函数)(x f 的定义域为D .如果存在非零数T ,使得对于任意,D x ∈都有D T x ∈±,且)()(x f T x f =+,则称函数)(x f 为周期函数,T 称为周期函数)(x f 的周期.注意 通常我们所说的周期函数的周期是指最小正周期.例如 正弦函数x y sin =和余弦函数x y cos =都是周期为π2的周期函数. 正切函数x y tan =和余切函数x y cot =都是周期为π的周期函数.四、反函数定义6 设函数)(x f y =的定义域为,D 值域为M .如果对于数集M 中的每一个数值y ,数集D 中都有惟一的数值x 与之对应,也就是说变量x 是变量y 的函数,这个函数称为函数)(x f y =的反函数.记作)(1y f x -=.其定义域为M ,值域为D .习惯上自变量用x 表示,因变量用y 表示.因此,我们将定义6中,函数)(x f y =的反函数)(1y f x -=记作)(1x f y -=.注意 (1)函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.(2)只有在定义区间上单调的函数才有反函数.(3)函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=互为反函数. 例5 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ; (2)x x y +-=11. 解(1)由31+=x y ,解得 13-=y x , x 与y 互换得函数31+=x y 的反函数为13-=x y . (2)由x xy +-=11,解得 y y x +-=11, x 与y 互换得函数x xy +-=11的反函数为x xy +-=11.五、初等函数1.基本初等函数(1)幂函数 αx y =(α为任意实数).(2)指数函数 x a y = (0>a 且1≠a ,a 为常数).(3)对数函数 x y a log = 10(≠>a a 且,a 为常数).常用对数函数 x y lg =,自然对数函数 x y ln =.(4)三角函数正弦函数 x y sin =,余弦函数 x y cos =,正切函数 x y tan =,余切函数 x y cot =,正割函数 x y sec =,余割函数 x y csc =.(5)反三角函数反正弦函数 x y arcsin =,反余弦函数 x y arccos =,反正切函数 x y arctan =,反余切函数 x arc y cot =.定义7 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.基本初等函数的图形和性质在初等数学中已经学习过,在此就不再详述(详见附录Ⅱ).2.复合函数在某些实际问题中,讨论的函数并非都是基本初等函数本身或仅仅由基本初等函数通过四则运算所得到的函数.例如,在自由落体运动中,物体的动能E 是速度v 的函数221mv E =,而速度v 又是时间t 的函数gt v =,因此,物体的动能E 通过速度v 而成为时间t 的函数2)(21gt m E =.对于这样的函数,我们引入复合函数的概念.定义8 设函数)(u f y =的定义域为1U ,函数)(x u ϕ=的值域为2U .如果φ≠21U U ,则y 通过变量u 成为变量x 的函数,这个函数称为由函数)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成的复合函数.记作[])(x f y ϕ=.其中,变量u 称为中间变量.例如,由函数 221mv E = 和 gt v = 复合而成的复合函数为2)(21gt m E =.注意 不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数的.例如,函数 u y arcsin = 和 22+=x u 就不能复合成一个复合函数.因为函数22+=x u 的值域[)∞+,2 与函数 u y arcsin = 的定义域[]11,-没有共同的元素.有时,一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成.例如,由函数 v u u y sin ln ==, 和 2x v = 复合而成的复合函数为2sin ln x y =.其中u 和v 都是中间变量.同时,我们还必须掌握好复合函数的复合过程,即“分解”复合函数,这对于导数、微分、不定积分及定积分的学习很有益处.例如,复合函数 10)53(+=x y 是由函数10u y = 和 53+=x u复合而成的;也是由函数2u y = 和 5)53(+=x u复合而成的;也是由函数5u y = 和 2)53(+=x u复合而成的.由此可见,一个复合函数的复合过程并不是惟一的.为了便于今后的学习,我们要求掌握第一种复合函数的复合过程.例6 指出下列复合函数的复合过程:(1)x y 5sin ln =; (2)x y 5sin 2=.解 (1)复合函数 x y 5sin ln = 是由函数x v v u u y 5sin ln ===,,复合而成的.(2)复合函数 x y 5sin 2= 是由函数x v v u u y 5sin 2===,, 复合而成的.3.初等函数定义9 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个数学解析式表示的函数称为初等函数.例如,函数15sin ln 5sin ln 12+==-=x y x y x y ,,都是初等函数.本书中所讨论的函数绝大多数都是初等函数.*六、关于函数)sin(ϕ+=wx A y 图形的学习探究在初等数学中,学习函数)sin(ϕω+=x A y (其中A>0,ω>0)的图形这一内容时,都要研究正弦函数x y sin =图形和函数)sin(ϕω+=x A y 图形的关系.在《高中数学》教材中,详细给出了解决此问题的5个步骤.然而,学生在做函数)sin(ϕω+=x A y 图形的练习和作业时,实际上大多数学生是凭记忆在机械地完成,并没有达到对此种方法真正意义上的理解、掌握和应用.究其原因是学生认为解决这一问题只有《高中数学》教材中介绍的一种方法.事实上,这是一种完全错误的认识.对于此问题,我们下面举例进行关于函数)sin(ϕω+=x A y 图形的学习探究.例 画出函数)32sin(3π+=x y ,∈x R的简图.解 根据《高中数学》教材中给出的解决此问题的如下5个步骤:我们就可以画出函数)32sin(3π+=x y ,∈x R 的简图,如图1-7(1)所示(注意图1-7(1)中的序号).这一方法也就是《高中数学》教材中给出的方法.一、创设情境、提出问题回顾上例中画出函数)32sin(3π+=x y 图形的5个步骤并仔细观察图1-7(1)中由正弦函数x y sin =图形得到函数)32sin(3π+=x y 图形的变化过程,为启发学生思维我们将这一变化过程记为方法1:x y sin = → ? → ? → )32sin(3π+=x y⇒x y sin = → )3sin(π+=x y →)32sin(π+=x y →)32sin(3π+=x y .然后从原问题出发提出如下问题:⑴ 解决这一问题的方法是否惟一? ⑵ 若不惟一,共有几种方法?⑶ 此例中给出的方法是否为最优? 二、适当提示、猜想结论在给学生一定的时间进行思考的同时,重点提示学生们解决问题的方法是随着函数)sin(ϕω+=x A y 中A 、ω、ϕ不同顺序的依次确定而确定. 鼓励学生勇于猜想,对有思路的学生再给予进一步的提示,并同思路较为清晰的学生进行适当的讨论,而后,请其仿照方法1的写法到黑板上写出他们不同于方法1的方法.至此,问题⑴得到解决. 三、相互交流、完善结论问题的解决需要学生相互之间的合作与交流,这有利于发展学生合作交流的意识与能力.随着上述学生板书的结束,学生们的探究热情将会逐渐高涨,在此基础上,进一步鼓励全体学生继续猜想、验证、交流是否还有其它方法,并同时提醒学生找到的解决问题的方法不能重复、不能遗漏;运用分类讨论和穷举的方法引导学生完整地求得解决问题的全部方法,把成功的机会留给学生,让学生亲身经历学习探究的过程,感受真正参与合作学习、交流的快乐. 学生在求解中,不断优化策略,找到各种不同的方法,将极大地展示他们的智慧,最终引导学生们一致判定解决问题的方法有且仅有六种. 随着学生的踊跃交流、积极思考、主动探究,解决问题的6种方法逐渐明晰起来.为了体现六种方法的内在规律性,分别记为:方法1:x y sin = → )3sin(π+=x y →)32sin(π+=x y → )32sin(3π+=x y 方法2:x y sin = → )3sin(π+=x y →)3sin(3π+=x y → )32sin(3π+=x y ; 方法3:x y sin = → x y sin 3= →x y 2sin 3= → )32sin(3π+=x y ; 方法4:x y sin = → x y sin 3= →)3sin(3π+=x y → )32sin(3π+=x y ;方法5:x y sin = → x y 2sin = → )32sin(π+=x y → )32sin(3π+=x y ; 方法6:x y sin = → x y 2sin = → x y 2sin 3= → )32sin(3π+=x y .这6种方法所对应的图形变化过程分别如图1-7(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)所示.至此,问题⑵得到圆满解决.(1) (2)(3) (4)(5) (6)图1-7四、全面比较、选择最优 为了画出函数)32sin(3π+=x y 的图形,经过师生的共同探究,找到了由正弦函数x y sin =图形得到函数)32sin(3π+=x y 图形仅有的6种方法. 这些方法不要求学生、也没必要要求学生全都掌握,只是要求学生通过亲自体验,真正做到理解、掌握和应用其中的最优方法.在这6种方法中,哪种方法为最优?提出两个标准:其一是有利于学生理解、掌握和应用;其二是由正弦函数x y sin =图形得到函数)32sin(3π+=x y 图形的变化过程中,函数)32sin(3π+=x y 的图形在坐标系中的位置最为清晰、突出.让学生尝试着从所有找到的6种方法中,寻求适合学生自己的解答问题的最佳方法.根据以上两个标准,学生们经过充分的思考、实际练习、交流,对6种方法及对应图形的认真比较,最后,全体学生必将在上述6种方法中选择其中自己认为最优的的一种方法(学生选择的最优方法有可能不是教材中所给出的方法1).为了使学生更好地观察、归纳、总结、理解、掌握和应用,我们还可以利用《几何画板》向学生演示由正弦函数x y sin =图形向函数)32sin(3π+=x y 图形变化的过程.最后,问题⑶又得到了解决. 五、严谨思维、提高能力关于函数)sin(ϕω+=x A y 图形的学习探究活动必将使学生们体会到学习探究活动的乐趣和成功的喜悦、提高学生学习《高等数学》课程的兴趣,同时,也将极大地提升学生获得数学地分析问题和解决问题能力的渴望.2006年6月,胡锦涛总书记在两院院士大会上的讲话中指出:“在尊重教师主导作用的同时,更加注重培育学生的主动精神,鼓励学生的创造性思维.”因此,在高职《高等数学》课程教学过程中,应使学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习,应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式,通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的过程,发展他们的创新意识.虽然问题解决的学习探究有利于学生数学能力的培养,但是由于各种条件的制约,实际教学中却不能更多地给予学生这种学习探究的机会.因此,我们高职院校师生在高职《高等数学》课程教学过程中应充分挖掘高职《高等数学》课程中具有发散性和持续性的宝贵教学资源,在高职《高等数学》课程教学时为学生提供合作学习、主动探究的机会,充分发挥学生的学习主体作用,在体验成功的的快乐氛围中激发学生学习探究热情,为学生今后持续性学习、为提高学生数学地分析问题和解决问题的能力,为提高学生创新思维能力和实践操作能力奠定基础,从而有效地培养学生的数学能力和学习探究能力.习 题 1—11.设13)(5--=x x x f ,求)1(f ,)2(f .2.设)2)(1()1(++=+x x x x f ,求.)(x f3.判断下列各对函数是否为相同的函数: (1)2)()(x x g x x f ==,;(2)31)(-⋅=x x x f ,334)(x x x g -=;(3)1)(-=x x x f 23)(x x x g -=,;(4)1)(=x f xx x g =)(,.4.求下列函数的定义域: (1)34422+--=x x x y ;(2)42-=x y ;(3)2112++-=x x y ; (4)211x xy --=.5.判断下列函数的奇偶性: (1))1()(22x x x f -=; (2)233)(x x x f -=;(3))1)(1()(+-=x x x x f ; (4)1cos sin )(++=x x x f . 6.求下列函数的反函数: (1)2+=x x y ;(2)[)∞+∈-=,,242x x x y .7.在下列各题中,求由所给函数复合而成的复合函数: (1)x u u y sin 2==,; (2)21x u u y +==,; (3)x e u u y ==,2; (4)xv v u e y u 1sin ===,,.8.指出下列复合函数的复合过程: (1);42+=x y(2)x e y arctan =;(3)x y 5sin =; (4)12cos +=x y ;(5)x y 2sin ln =; (6)2cos ln x y =;(7))32(sin 2x y -=; (8)x e y sin ln =.9.利用正弦函数的图形作出下列函数的图形: (1)x y sin =; (2)x y sin =.第二节 函数的极限极限是高等数学中的一个重要概念,是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.例如,我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术,就是极限思想在几何学上的典型应用.高等数学中的连续、导数、定积分等概念都是在极限的基础上定义的.本节主要讨论当∞→x 时,函数)(x f 的极限;当0x x →时,函数)(x f 的极限两种情形.一、∞→x 时,函数)(x f 的极限我们从函数xy 1=的图形(图1-8)可以看出,当自变量x 取正值无限增大(记为+∞→x )时,函数xy 1=的值无限趋近于常数0(记为1→x).此时,我们称常数0为函数xy 1=当+∞→x 时的极限.记作01lim=+∞→x x .图1-8同样地,当自变量x 取负值并且它的绝对值无限增大(记为-∞→x )时,函数xy 1=的值也无限趋近于常数0.此时,我们称常数0为函数xy 1=当-∞→x 时的极限.记作01lim=-∞→xx .定义1 如果当+∞→x 时,函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ,则称常数A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限.记作.)(lim A x f x =+∞→也可记作A x f →)((+∞→x 当).定义2 如果当-∞→x 时,函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ,则称常数A 为函数)(x f 当-∞→x 时的极限.记作.)(lim A x f x =-∞→也可记作A x f →)((-∞→x 当).定义3 如果Ax f A x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim 且,则称常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限.记作.)(lim A x f x =∞→也可记作A x f →)((∞→x 当).由定义3,我们有如下极限运算公式和定理1.c c x =∞→lim (c 为常数),01lim=∞→xx .定理1 A x f x =∞→)(lim 的充分必要条件是A x f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim . (1-1)例1 求下列极限:(1)x x 2lim -∞→; (2)x x )21(lim +∞→ ;(3)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=∞→.,,,,,,010001)()(lim x x x x f x f x解(1)由图1-9及定义2可得xx 2lim -∞→=0.(2)由图1-9及定义1可得0)21(lim =+∞→xx . (3)由图1-10及定义1、定义2可得1)(lim =+∞→x f x ,1)(lim -=-∞→x f x ,所以,由定理1得)(lim x f x ∞→不存在.图1-9 图1-10二、0x x →时,函数)(x f 的极限我们从函数1+=x y 和112--=x x y 的图形(图1-11、图1-12)可以看出,无论函数1+=x y 在点1=x 处有定义,还是函数112--=x x y 在点1=x 处无定义,当自变量x 无限趋近于1时,两个函数的值都无限趋近于常数2.此时,我们称常数2为函数1+=x y 和112--=x x y 当1→x 时的极限.分别记作2)1(lim 1=+→x x ,211lim21=--→x x x .图 1-11 图1-12定义4 设函数)(x f 在)0)(()(0000>+-δδδx x x x ,, 内有定义.如果在)()(0000δδ+-x x x x ,, 内,当0x x →时,函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限.记作A x f x x =→)(lim 0.也可记作A x f →)((当0x x →).A x f x x =→)(lim 0也称为函数)(x f 在点0x x =处的极限.由定义4可知,当0x x →时,极限)(lim 0x f x x →是否存在,与函数)(x f 在点0x 处是否有定义无关.同时,我们有如下极限运算公式.c c x x =→0lim (c 为常数).00lim x x x x =→.有时,我们只需考虑自变量x 小于0x 而趋近于0x (记为-→0x x )时,或自变量x 大于0x 而趋近于0x (记为+→0x x )时,函数)(x f 的极限,因此,我们给出左极限、右极限的定义.定义5 如果当-→0x x 时,函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ,则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的左极限.记作A x f x x =-→)(lim 0.定义6 如果当+→0x x 时,函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ,则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的右极限.记作Ax f x x =+→)(lim 0.由定义4我们有如下定理.定理2 A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0. (1-2)例2 求函数110011)(2>≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x f ,,,,, 在点0=x 和1=x 处的极限.解 函数)(x f 的图形如图1-13所示.图1-13(1)因为1)1(lim )(lim =+=--→→x x f x x 00,0lim )(lim 2==++→→xx f x x 00,即 )(lim )(lim x f x f x x +-→→≠00,所以,)(lim x f x 0→不存在.(2)因为1lim )(lim 211==--→→xx f x x ,11lim )(lim 11==++→→x x x f ,即 )(lim )(lim 11x f x f x x +-→→=,所以 1)(lim 1=→x f x .三、无穷小与无穷大1.无穷小定义7 如果当∞→x (或0x x →)时,函数)(x f 的极限为零,则称函数)(x f 为当∞→x (或0x x →)时的无穷小量(简称无穷小).记作0)(lim =∞→x f x (或0)(lim 0=→x f x x ).例如,因为01lim=∞→xx ,所以,函数x1为当∞→x 时的无穷小.因为0lim 0=→x x ,所以,函数x 为当0→x 时的无穷小.因为0sin lim 0=→x x ,0tan lim 0=→x x ,所以,正弦函数x sin 、正切函数x tan 都是当0→x 时的无穷小.注意 (1)常数中只有数0是无穷小.因为0的极限是0.(2)说某个函数是无穷小,必须同时指出自变量的变化趋势.因为无穷小是用极限来定义的.(3)在定义7中,自变量x 的变化趋势可以换成如下四种情形中的任何一种情形.即+∞→x ,-∞→x ,-→0x x ,+→0x x .2.无穷大定义8 如果当∞→x (或0x x →)时,函数)(x f 的绝对值)(x f 无限增大,则称函数)(x f 为当∞→x (或0x x →)时的无穷大量(简称无穷大).记作∞=∞→)(lim x f x (或∞=→)(lim 0x f x x ).例如,当0→x 时,函数x1为无穷大.记作∞=→x x 1lim.当∞→x 时,函数3x 为无穷大.记作∞=∞→3lim x x .定义9 如果当∞→x (或0x x →)时,函数0)(>x f 且无限增大,则称函数)(x f 为当∞→x (或0x x →)时的正无穷大.记作+∞=∞→)(lim x f x (或+∞=→)(lim 0x f x x ).定义10 如果当∞→x (或0x x →)时,函数0)(<x f 且)(x f -无限增大,则称函数)(x f 为当∞→x (或0x x →)时的负无穷大.记作-∞=∞→)(lim x f x (或-∞=→)(lim 0x f x x ).例如,+∞=∞→2lim x x , -∞=-∞→)(lim 2x x .注意 (1)常数中没有数是无穷大.(2)说某个函数是无穷大,必须同时指出自变量的变化趋势.(3)在定义8、定义9、定义10中,自变量x 的变化趋势可以换成如下四种情形中的任何一种情形.即+∞→x ,-∞→x ,-→0x x ,+→0x x .3.无穷小与无穷大之间的关系定理3 在自变量x 的同一变化趋势下, (1)如果 ∞=)(lim x f ,则0)(1lim=x f ;(2)如果 0)(lim =x f ,且0)(≠x f ,则∞=)(1limx f .四、两个重要极限1. 1sin lim=→xx x .2. ex xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 或 ()e x x x =+→11lim .常数e 是无理数,它的值是590457182818284.2=e ….指数函数x e y =与自然对数函数x y ln =中的底e 就是这个常数e .注意 读者应掌握两个重要极限的结构形式特点:1sin lim=→, e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ 11lim 或 ()e =+→101lim . 只要符合上述结构形式的,极限公式总是成立的.例如 155sin lim5=→xx x ,122sin lim2=→x x x ,e x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-22211lim .习 题 1-21.设xx x f =)(,xx x g =)(,作出它们的图形,并求(1))(lim 0x f x -→,)(lim 0x f x +→,)(lim 0x g x -→,)(lim 0x g x +→;(2))(lim 0x f x →,)(lim 0x g x →.2.设⎪⎩⎪⎨⎧-<≤≤->--=,,,,,,11111)(2x x x x x x x f 作出)(x f 的图形,并求)(lim 1x f x -→,)(lim 1x f x →.3.下列数中,哪些数是无穷小?哪些数是无穷大?10010,100100,0,10010-,100100-.4.判断题:(1)当0→x 时,函数xx 1cos是无穷小. ( )(2)当∞→x 时,函数x x sin +不一定是无穷大. ( )(3)非零常数与无穷大的乘积必为无穷大. ( ) (4)无穷小与无穷大的乘积必为无穷小. ( ) (5)在自变量的同一变化趋势下,无穷大的倒数必为无穷小. ( )第三节 极限的运算一、极限的运算法则定理1 如果B x g A x f ==)(lim )(lim ,,则(1)[]B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )()(lim ; (2)[]B A x g x f x g x f ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )()(lim ; (3)BA x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim)0(≠B .推论1 []kA x f k x kf ==)(lim )(lim (k 为常数). 推论2 [][]n n n A x f x f ==)(lim )(lim (n 为正整数). 由推论2可得极限运算公式:nnx x x xlim =→ (n 为正整数), 01lim=∞→nx x(n为正整数).定理1中的(1)、(2)可推广到有限个函数的情形.例如,如果)(lim 1x f 、)(lim 2x f 、)(lim 3x f 都存在,则[])(lim )(lim )(lim )()()(lim 321321x f x f x f x f x f x f --=--,[])(lim )(lim )(lim )()()(lim 321321x f x f x f x f x f x f ⋅⋅=⋅⋅.定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理3 有限个无穷小的乘积仍是无穷小.定理4 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积仍是无穷小.定义1 在自变量x 的同一变化趋势下,如果0)(lim =x f ,0)(lim =x g ,且1)()(lim=x g x f ,则称函数)(x f 与)(x g 为等价无穷小.记作)(x f ~)(x g .例如,0lim 0=→x x ,0sin lim 0=→x x ,由重要极限1sin lim=→xx x 可知,函数x sin 与x 当0→x 时为等价无穷小.记作当0→x 时,x sin ~x .定理5 设0lim =α,0lim =β,0lim ='α,0lim ='β.如果α~α',β~β',且αβ''lim存在,则 =αβlimαβ''lim.此定理也就是说:求两个无穷小商的极限时,分子与分母都可用其等价无穷小来代替,从而使极限的计算简化.二、极限运算的十个基本公式1.c c =lim (c 为常数).2.n n x x x x 00lim =→ (n 为正整数).3.01lim=∞→nx x(n 为正整数).4.[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±.5.[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ⋅=⋅.6.)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f =(0)(lim ≠x g ).7.[])(lim )(lim x f k x kf = (k 为常数). 8.[][]nnx f x f )(lim )(lim = (n 为正整数).9.1sin lim=→xx x . 10.e xxx =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1)1(lim .三、极限运算的十个基本类型例1 求)123(lim 22+-→x x x .解 )123(lim 22+-→x x x =22221lim )2(lim )3(lim →→→+-x x x x x=1lim 2lim 3222+-→→x x x x=122232+⋅-⋅ =9.事实上,设多项式函数nn na xa x a x f +++=- 110)(,则 )(lim )(lim 1100n n n x x x x a x a x a x f +++=-→→=n x x n x x n x x a x a x a 0lim lim lim 110→-→→+++=n n n a x a x a +++- 1100=)(0x f .即 )()(lim 00x f x f x x =→. (1-3)例2 求352lim232+--→x x x x .解 由例1得03)35(lim 22≠-=+-→x x x ,6)2(lim 32=-→x x ,则 )35(lim )2(lim 352lim2232232+--=+--→→→x x x x x x x x x=22222323lim lim 5lim 2lim lim →→→→→+--x x x x x x x x=32522223+⋅--=36-=2-.例3 求93lim23--→x x x .解 由例1得0)3(lim 3=-→x x ,0)9(lim 23=-→x x ,因此,不能直接应用商的极限运算法则求此极限. 由函数93)(2--=x x x f 得092≠-x ,从而有03≠-x .因此,首先对函数93)(2--=x x x f 进行简化,然后再应用商的极限运算法则.)3)(3(3lim93lim323+--=--→→x x x x x x x=31lim 3+→x x =)3(lim 1lim 33+→→x x x=61.例4 求36443lim 323+--+∞→x x x x x .解 因为∞=-+∞→)443(lim 23x x x ,∞=+-∞→)36(lim 3x x x ,所以,不能直接应用商的极限运算法则.首先用分子、分母多项式中最高次幂3x去除分子、分母,然后再应用商的极限运算法则.323323316443lim36443limxxxx x x x x x x +--+=+--+∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→323316lim 443lim x x x x x x=006003+--+=21.例5 求36243lim32+--+∞→x x x x x .解 首先用分子、分母多项式中最高次幂3x 去除分子、分母,然后再应用商的极限运算法则.323232316243lim36243limxxxx xx x x x x x +--+=+--+∞→∞→ = ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→3232316lim 243lim x x x x x x x=006000+--+=0.例6 求下列极限: (1)332lim2+++∞→x x x x ; (2)93lim23-+→x x x .解 (1)因为22232131lim323limxxx x x x x x x +++=+++∞→∞→=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→22321lim 31lim x x x x x x=0100+++=0,即函数3232+++x x x 为当∞→x 时的无穷小.所以,函数3322+++x x x 为当∞→x 时的无穷大.即∞=+++∞→332lim2x x x x .(2)因为)3(lim )9(lim 39lim32323+-=+-→→→x x x x x x x=6=0,即函数392+-x x 为当3→x 时的无穷小.所以,函数932-+x x 为当3→x 时的无穷大.即∞=-+→93lim23x x x .由例4、例5、例6(1)可得,当m b a ,,0000≠≠和n 为正整数时,有.当,当,当,,,n m n m n m b a b xb x b a xa xa nn nm m m x ><=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=++++++--∞→0lim110110 (1-4) 例7 求下列极限: (1)xx x sin lim 0→ ; (2)x x x tan lim 0→ ;(3)xkxx sin lim→ )0(≠k ; (4)bxax x sin sin lim 0→ )00(≠≠b a ,;(5)2cos 1limxxx -→.解 当0→x 时,有)0(0≠→k kx . (1) xx xx x x sin 1limsin lim0→→=xx x x sin lim1lim 0→→=11=1=.(2) xx xxx x x cos sin lim tan lim00→→= xx x x cos sin lim→=xx xx x cos lim sin lim 00→→=11=1=.(3) kx kx k xkx x x sin limsin lim→→=kx kx k kx sin lim→= kxkx k kx sin lim→=1⋅=k k=.(4) x bx x ax bxax x x sin sin limsin sin lim→→= xbx x ax x x sin limsin lim 0→→=ba)3(.又因为,当0→x 时,ax sin ~ax ,bx sin ~bx , 所以 bxax x sin sin lim→ 5定理 bxax x 0lim→ba x 0lim→=ba =.(5) 2222sin2limcos 1limxx xxx x →→=-22222sinlim⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x2022sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→xx x20222sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x=20222sin lim21⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x=2121⋅=21.例8 求下列极限:(1)xx x 211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→; (2)xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→21lim ;(3)xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→21lim ; (4)xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛--∞→32lim .解 当∞→x 时,有)0(≠∞→k kx . (1) xx x 211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→=211lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x211lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→x x x 2e=.请读者自己推导:nnxx e x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim (n 为非零整数).(2)xxxx xx⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→211lim21lim22211limxx x⋅∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=222211lim⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→xx x222211lim⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→xx x2e=.(3)xxxx xx⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→∞→211lim21lim)2(22211limxx x--∞→-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=)2(222111limxxx-∞→-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+==2222111lim⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-x x x=2222211lim 1lim ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-∞→-x x xx=222211lim 1⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-x x x21e=2-=e.请读者自己综合(2)、(3)推导:nxx e x n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim (n 为非零整数). (4)由(3)得221lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x xx , 331lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x xx , 则 xx xx x x x x ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→∞→32lim 32limxx x x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∞→3121limxxx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→3121limxx xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→31lim 21lim32--=eee =.例9 求xx x sin lim ∞→.解 因为1sin ≤x ,且01lim=∞→xx , 即函数x sin 为有界函数,且当∞→x 时,函数x1为无穷小.所以,当∞→x 时,函数xx sin 为无穷小.即sin lim=∞→xx x .例10 求xx x -+-→222lim 2.解 因为)22(lim 2=+-→x x ,0)2(lim 2=-→x x ,所以,不能直接应用商的极限运算法则求此极限.首先进行分子有理化,然后再应用商的极限运算法则.)22)(2()22)(22(lim222lim22++-+++-=-+-→→x x x x xx x x)22)(2(2lim2++--=→x x xx=221lim2++→x x。
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( f g)dx f dx gdx kfdx k f dx
运算公式:
fg dx f dg fg g df
分部积分法计算法则
对
幂
指
三
ln x
x
ex
sin x 、 cos x
两两组合,位置排在前面的选 f ,排列在后面的选 g
dx c dx
1 dx d ln x x
凑微分公式 1 dx 2d x x
导数公式
(c) 0 (0) 0
(x) 1 (x2 ) 2x
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(sin x) cos x (cos x) sin x
1 0
1 x
1 x2
(a x ) a x ln a
( f g) ( f ) (g) ( fg) ( f )g f (g) (kf ) k( f )
0 dx c
1 dx x c
x
dx
1 2
x2
c
1 x2
dx 1 c x
不定积分公式
1 x
dx 2
x c
ax dx ax c
ln a
不定积分运算法则: 加减法,数乘
x
dx
2
3
x2
c
3
xa dx 1 xa1 c
a 1
1 x
dx
ln |
x | c
ex dx ex c sin x dx cos x c cos x dx sin x c
(x a ) ax a1
( x) 1 2x
(e x ) e x
f g
(
f
)g g2
f
(g)
高数上第一讲:数列的极限
如数列 {x n } 的几个子列为: 的几个子列为: x1 , x 3 , x 5 ,L , x 2k −1 ,L
x 2 , x 4 , x 6 ,L , x 2 k ,L x 2 , x 5 , x 8 ,L , x 3 k −1 ,L
一般地子列可写为: 一般地子列可写为: x n , x n , x n , L , x n , L 注意: 是子列的第k 注意 :x n k 是子列的第 k项,是原数列的第nk项
预备知识
一、区间与邻域概念 二、函数( 函数(两要素、 两要素、4种特性、 种特性、运算) 运算) 三、基本初等函数( 基本初等函数(16个) µ 特: y=C(常数) 常数) y = x ( µ是常数 ) 1.幂函数 x x 特 : y=e (a > 0, a ≠ 1) 2.指数函数 y = a
请参考 第1节内 容
只要 n > 100时,
只要 n > 1000时,
1 给定 , 1000
任意给定 ε > 0, 只要 n > [ ]时 , 就有 x n − 1 < ε 成立 .
1
ε
在 n → ∞ 的过程中的一个时刻 , 记之为 N .
9
上
下
数列极限定义: 数列极限定义:
{ xn } 为一数列, 设 为一数列,如果存在常数
寻找相应的N ;但不必要求最小的N.
上 下
ε
14
例3. 设 q < 1 , 证明等比数列 的极限为 0 . n 若 q = 0 , 则 lim q = lim 0 = 0; 证: n→ ∞ n→ ∞
若0 < q < 1,
因为 xn − 0
欲使
只要
即
(完整版)高等数学上册知识点
高等数学上册第一章 函数与极限 (一) 函数1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);2、 反函数、复合函数、函数的运算;3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数; 4、 函数的连续性与间断点;函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类:左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类:左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
(二) 极限 1、 定义 1) 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2) 函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时,当左极限:)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限:)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1))(0n n z x y n n n ≥≤≤2)a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限。
3、 无穷小(大)量1) 定义:若0lim =α则称为无穷小量;若∞=αlim 则称为无穷大量。
2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在,则(无穷小代换)4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则;3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限: a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5) 无穷小代换:(0→x ) a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- (a x a xln ~1-)d) x x ~)1ln(+ (a xx a ln ~)1(log +)e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 (一) 导数1、 定义:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义:)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
第一章函数与极限1-1(试用版)
y
y x
2
1
则 f ( 5 ) 3 ( 5 ) 15
f (2) 2 1 5
f (0) 2
y 3x
2
0
x
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4、函数的特性(重点): (1).函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
(
y
f ( x0 )
) 因变量
成品
原料
加工厂
x
f
y f (x)
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判断两个函数是否是同一函数的方法:
定义域和对应法则是否相同
比如: 3 ln x 和 y 6 ln x y
2
y x和 y
x
2
( x 0)
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2、定义域约定:
自然定义域:定义域是自变量所能取的使算
1
x
(a 0, a 1)
y( ) a
x
ya
x
(a 1)
( 0 ,1 )
ye
x
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y (4)、对数函数: log a x
(a 0, a 1)
y log a x
(1 ,0 )
(a 1)
y log 1 x
a
y ln x
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则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的;
y
极限换算公式大全
极限换算公式大全极限是指在一定的条件下,在无穷大的情况下,一个函数或者一个数列的极限是指当自变量趋于某一值或者在趋于无穷远的情况下,因变量所趋于的一个确定值,可以用数学符号表示为lim f(x) = L下面是求极限的一些基本公式:1. 基本初等函数求极限:lim(x → a) c = c (c是常数)lim(x → a) x = alim(x → a) x^n = a^n (n为正整数)lim(x → a) e^x = e^alim(x → a) sinx = sin a, lim(x → a) cosx = cos alim(x → a) tanx = tan a, lim(x → a) cotx = cot alim(x → a) ln x = ln alim(x → a) √x = √a2. 复合函数求极限:若lim (x → a) f(x) = L, lim (y → L) g(y) = M, 则lim(x → a) g(f(x)) = M (此时f(x)的极限为L, g(y)的极限为M)3. 三角函数的极限:lim(x → 0) (sinx/x) = 1lim(x → 0) (1-cosx)/x = 04. 极限运算法则:若lim (x → a) f(x) = L, lim (x → a) g(x) = M,则: lim (x → a) [f(x) ± g(x)] = L ± Mlim (x → a) [f(x) × g(x)] = L × Mlim (x → a) [f(x) / g(x)] = L / M (M ≠ 0)5. 极限存取法则:若lim (x → a) f(x) = L, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)在a的某邻域内成立则lim (x → a) g(x) ≤ L ≤ lim (x → a) h(x)这些是一些基本的极限求解公式,对于不同的具体问题可能需要不同的极限求解方法。
基本初等函数公式
百度文库基本初等函数1常数函数:c y =;1y =;y e = 2幂 函 数:y x α=;2x y =;x y =;1y x -=;/m n n m y x x == 3指数函数:x a y =;x e y = 4对数函数:x y a log =;x y ln =;x y 2log =;lg y x = 5三角函数:x y sin =;x y cos =三角函数是有界函数,sin x 奇函数;cos x 偶函数6奇函数:()()f x f x -=- 图形关于坐标原点对称;偶函数:()()f x f x -= 图形关于y 轴对称;含有x x a a -+因子的是偶函数;含有x x a a --因子的是奇函数,两个重要极限 1 e 和1sin lim 0=→x x x e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 无穷小量×有界量=无穷小量当x →∞时,1sin n xπ是无穷小量1sin lim 0=→x x x ()e x xx =+→101lim极限运算法则:g f g f lim lim )lim(±=±sin lim0x xx→∞=lim sin 0x x x →=f k kf lim )lim(=;lim lim lim fg f g =⋅微分公式 dx y dy '=kdx dkx =dx ax dx x dx a a a 1)(-='= adx a dx a da x x x ln )(='=dx dx x x d 2)2(2='= 221log (log )ln 2d x x dx dx x '== xdx dx x x d cos )(sin sin ='= dxe dx e de x x x ='=)(dx xdx x x d 1)(ln ln ='= xdx dx x x d sin )(cos cos -='=导数公式0)(='c 1)(='x a x x a ln 1)(log =' x x cos )(sin =' 0)0(='2()2x x '=x x 1)(ln ='x x sin )(cos -=' ()01='211x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛ a a a x x ln )(=')()()('±'='±g f g f)()()('+'='g f g f fg )()('='f k kf1)(-='a a ax xxx 21)(='x x e e =')(2)()(g g f g f g f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛复合函数求导基本方法()()x x x x 2cos 222cos 2sin ='='()()22222x x x xex ee ='='()()22212ln x x x x ''==[](())(())()y f x f x x φφφ''''==不定积分公式0 dx c =⎰ 2dx x c x= ln xxa a dx c a =+⎰不定积分运算法则: 加减法,数乘1 dx x c =+⎰ 322 3x dx x c =+x x e dx e c =+⎰⎰⎰⎰±=±gdx dx f dx g f )(21 2x dx x c =+⎰ 11 1aa x dx x c a +=++⎰ sin cos x dx x c =-+⎰ dx f k kfdx ⎰⎰= 211 dx c x x=-+⎰ 1ln ||dx x c x =+⎰cos sin x dx x c =+⎰分部积分法计算法则 运算公式:fg dx f dg fg g df '==-⎰⎰⎰对幂指三x ln xx esin x 、cos x两两组合,位置排在前面的选f ,排列在后面的选g '凑微分公式dx c dx =+x d dx xln 1= x d dx x21= 原函数()F x 与被积函数()f x之间的关系kdx c dkx =+ x x de dx e = x d xdx cos sin -= ⎰+=c x F dx x f )()(221dx xdx =x d dx x112-= x d xdx sin cos =)()(x f x F ='定积分公式() ()|()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰() bb baaaf g dx f dx g dx ±=±⎰⎰⎰bbaakf dx k f dx =⎰⎰(为常数)| bbb a aafg dx fg f g dx ''=-⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰-aaa为偶函数时x 即当f x f x f dx x f 为奇函数时x 即当f x f x f dx x f 0)()()(,)(2)()()(,0)( 逆矩阵求法用初等行变换求逆矩阵的方法:()()1||P I I P −−−−→初等行变换-齐次方程0m n A X ⨯=有非零解和零解条件当()r A n =时齐次方程0AX =只有零解。
函数与极限重点知识归纳
常量与变量变量的定义我们在观察某一现象的过程时, 常常会遇到各种不同的量, 其中有的量在过程中不起变化 , 我们把其称之为常量; 有的量在过程中是变化的, 也就是可以取不同的数值, 我们则把其称之为 变量。
注: 在过程中还有一种量,它虽然是变化的,但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的,我们则把它看作常量。
变量的表示如果变量的变化是连续的,则常用 区间来表示其变化范围。
在数轴上来说, 区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
以上我们所述的都是有限区间,除此之外,还有无限区间:[a ,+∞):表示不小于 a 的实数的全体,也可记为:a ≤x <+∞; (- ∞, b) :表示小于 b 的实数的全体,也可记为: - ∞<x <b ; (- ∞,+∞):表示全体实数 R ,也可记为: - ∞<x <+∞注: 其中- ∞和+∞,分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
邻域设 α 与 δ 是两个实数, 且 δ>0.满足不等式 │x- α │ <δ 的实数 x 的全体称为点 α 的 δ 邻域,点 α 称为此邻域的中心,δ 称为此邻域的半径。
函 数函数的定义如果当变量 x 在其变化范围内任意取定一个数值时,量 y 按照一定的法则总有确定的数值 与它对应,则称 y 是 x 的函数 。
变量 x 的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常 x 叫做自变量, y 叫做因变量。
注: 为了表明 y 是 x 的函数, 我们用记号 y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F" 表示 y 与 x 之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的 .注: 如果自变量在定义域内任取一个确定的值时,函数只有一个确定的值和它对应,这种 函数叫做单值函数,否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
函数的有界性如果对属于某一区间 I 的所有 x 值总有 │ f(x ) │ ≤M 成立, 其中M 是一个与 x 无关的常数, 那么我们就称 f(x)在区间 I 有界,否则便称无界。
初等函数
1 2
lim lo g 2 sin x
x
1 2
4
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3、小结
二 、 极 限
• 1、极限的概念的定义(趋近于无穷 大,趋近于某一点,左右极限) • 2、极限的四则运算法则(运用商的 极限运算法则时应注意分母极限不 为零)与复合函数运算法则
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思 考 题
在某个过程中,若 f ( x ) 有极限,g ( x ) 无极限,那么 f ( x ) g ( x ) 是否有极限?为 什么?
2
为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , f (sin x ) 的 定 义 域 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,
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1、定义
极限 无限接近 不相等
二 、 极 限
定义:如果当
x 无限接近于某一点,或者无
限增大时, 如果函数 f ( x ) 会无限接近于一个确 定的常数 a ,那么 a 叫做函数 f ( x ) 当 变化趋势时的极限,记作 者
u x
2
复合函数的前提
y f ( u ) 的定义域与 u ( x ) 的值域的交集非空
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复合函数的分解 两个原则
1)由左到右 2)逐层分解
x
一 、 初 等 函 数例来自y tan 2x
分解
y tan 2
y tan u ; u 2
x
y tan 2
x
是由 y tan u ; u 2 x 复合而成的。
x
lim arc co t x 0
因 为 lim arc co t x lim arc co t x
函数与极限知识点
x2
x2
8811
例2.求 lim 5x x1 x 2 1
解
: 原式
lim 5x
x1
lim(x 2
1)
5 2
x1
例3.求 lim x3 1 x1 x 1
解 : (当x 1时, 分母的极限为0,故不能用极限的商定理)
原式 lim (x 1)(x 2 x 1) 3
x1
x 1
例5
:
定理: 设在某变化过程中有 lim f (x)=A , lim g (x)=B ,则有: ① lim [ f (x)±g (x)]=lim f (x) ±lim g (x) =A±B、 ② lim [f (x) g (x)] =lim f (x) lim g (x) =AB ③ lim f (x) / g(x) =lim f (x) / lim g (x) =A / B (B≠0)
x→x0+0 时,函数得极限
2 、 自变量 x →∞ 时函数得极限、
x→-∞ 时,函数得极限 x→+∞时,函数得极限
1 、 x →x0 时函数得极限:
⑴定义: 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义 (但在 x0 处可以没有定义) , 当自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0 时 , 若函数 f (x) 无限趋近于一个常数 A ,就说当 x 趋近于 x0时 , 函数 f (x)以
右极限: x从右侧趋近于x0时产生得极限、
记作 : lim f (x) A xx0 0
▲. 极限 lim f (x) A存在的充要条件 : (当且仅当) x x0
lim f (x) lim f (x) A
xx0 0
xx0 0
即左极限与右极限都存在并且相等时,才能说函数得极限存在
常见基本初等函数极限
66一、常见数列极限的存在情况:(1)1,1,1,1,1,L L 。
通项1n y =,极限11()n y n =®®¥(收敛) 即lim11n ®¥=(2)11111,,,,,,234n L L 。
通项1n y n =,极限10()n y n n=®®¥(收敛) 即01lim =¥®nn (如图2)(3)01n n =+(4))®¥(收敛)即n ((5)2,(6)1,-(如图6)ny67(7) 1,2,3,,,n L L 。
通项n y n =,极限()n y n n =®¥®¥(发散)(如图7) 。
(8)(1)2nn y =-极限 (1)nn y =-(如图8)(一)当x (1) 函数yy-¥68(3)函数y x =-,极限lim x x ®±¥-=¥m (); (4)函数1y x=,极限1lim 0x x®±¥=限不存y692、指数函数部分(9)函数(1x y a a =>),极限lim (1)xx a a ®+¥=+¥>(极限不存在)(注意:x ®+¥)(10)函数(1x y a a =>)极限lim 0 (1)xx a a ®-¥=>;(注意:x ®-¥)(11)函数 (01)x y a a =<<,极限lim 0 (01)xx a a ®+¥=<< (注意:x ®+¥)(12)函数 (01)x y a a =<<,极限lim (01)xx a a ®-¥=+¥<< 极限不存在(注意:x ®-¥)(x ®+¥(注意:x ®-¥)xx70或综上(13)(14)(17)函数tan y x =,极限lim tan x x ®¥趋势不定,极限不存在(注意:x ®¥即x ®±¥)yx71(18)函数cot y x =,极限lim cot x x ®¥趋势不定,极限不存在(注意:x ®¥即x ®±¥)x72(一)当0x x ®,0x x -®,0x x +®时的函数极限 1、幂函数部分(23) 函数y C =,极限0lim x x C C ®= (C 为常数); (24)函数1y x=,极限01lim x x ®=¥m mx O××x ® ××73(30)3lim 0x x ®=m (31)13lim 0x x ®=m(34)函数 x y e =,极限0lim 1xx e +®= 3、对数部分(35)函数log (1)a y x a =>,极限0lim log (1)a x x a +®=-¥>极限不存在; (36)函数log (1)a y x a =>,极限1lim log 0(1)a x x a ®=>mxox×x x ®(0,1)×(0,1)×1×174(37)函数log (0<1)a y x a =<,极限0lim log (0<1)a x x a +®=+¥<极限不存在; (38)函数x 图35(1,0)×x (1,0)y yO×(1,0)×1(1,0)y =××1x75(40)函数sin y x =,极限 ()2lim sin 1x x p ®=m; 一般(2)2lim sin 1x k x pp ®+=m(0,1,2,3k =L )1ggO gg或综上(41)(42)(43)函数tan y x =,极限0lim tan 0x x ®=m; 一般()lim tan 0x k x p ®=m (0,1,2,3k =L );(44)函数一般 (2lim x k p®+图44图46或综上(43)(44)o2p 32p )2p -×5、反三角函数部分 函数arcsin y x =(47)极限0lim arcsin 0x x ®=m , (48)1lim arcsin 2x x p®=my ×××+函数arccos y x =(50) 0lim arccos 2x x p ®=m ; (51) 1lim arccos 0x x ®=mx p ×2p ××(53)函数y arctanx =,极限0lim 0x arctanx ®=m ; (54)函数arccot y x =,极限 0lim arc cot 2x x p®=m(3) lim0, , x x x x®¥=®¥时是一个无穷小量 2(4) lim cos 0, , cos . 2x x x x p p®=®时是一个无穷小量(5) lim 00, =即在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量. 注:熟悉以上极限结果对计算更多的极限是非常重要的,希望同学通过图像理解后尽可能记住p -2×。
函数极限的概念(1)
第二节 函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
第一章
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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定义1.6 如果自变量 x 无限增大时,函数f ( x)无限趋近 于一个常数A,则称常数A为函数f ( x)当x 时的极限,
记为 : lim f ( x ) A.
x
2.5
2.1
2.01
2.001
2.0001
2.00001
…… …… ……
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y=x2
6.25
4.41
4.04
4.004 0.004
4.0004 0.0004
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4.00004
y 4
2.25
0.41
0.04
0.00004
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从任何一方面看,当 x→2时,函数y=x2的 极限是4.记 作:
x4
定义2
f ( x)在 ,b 有定义,当自变量x无限减少时 x , 函数f ( x)无限趋近于一个常数A;
x
lim f ( x) A或 f ( x) A ( 当x )
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lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f (x ) A
x x x
1 例1 当x 时, 讨论f ( x) 1 的极限 x 1 当x 时,1+ 1; 解:(右图) x
1 当x 时,1+ 1; x
y
初等函数及数列极限的概念
一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有 无穷多个界(上界, 下界).
数列{xn } 的所有上界中的最小者, 称为数列的上确界, 记为 sup xn.
数列{xn}的所有 下界中的最大者, 称为数列的下确界, 记为 inf xn.
现在来讨论如何定义数列的无界性:
首先看有界性定义的关键所在
对所有的
并称该支反函数为反双曲余弦的主支。
通常所说的反双曲余弦函数即指此主支。
类似于上面的作法, 可以得到 arth x , arcth x , arsech x , arcsch x 的表达式.
第二章 极限
本章学习要求:
了解数列极限的概念, 会用《 N》语言描述数列的 极限。正确理解 和 N 的含义。
(2) 反双曲余弦函数 双曲余弦函数 y chx 是(, ) 到 [1, )
上的映射, 但不是一一对应。
由 y chx ex ex 解得 2
x ln y y2 1 ,
y [1, )。
这里有两支, 单独来看, 这两支分别都可作为 双曲余弦的反函数。
0, 1, 0, 1 , 0, 1,, 1 (1)n ,
23
n
x2n1
x2n
x4
•••••
•••••
0
1
1
x1 x3
n
2
M
x2 x
1
1
(1)n n
不单调,
但有界 (可取
M
1).
(4)
n
n
1
:
1 , 2 , 3, , n , 2 3 4 n1
但有个别分段函数例外,例如
x, x0 y x , x 0 因为它可以改写为初等函数 y x2 的形式.
求极限技巧2
解极限题时使用的基本技巧:采用级数展开法求极限当x→0时,常用初等函数的级数展开式为:下面给出5个当x→0时求极限的例题:在上面求极限的过程中,级数展开中的高阶无穷小被略去。
略去高阶无穷小也是求极限的一种常用方法。
下面简介一下。
将x²与x比较可知,当x→0时,x²与x的比值也趋于0,即x²是x的高阶无穷小。
因此相对于x而言,x²可被忽略。
同理若n>m>0,则x^n是x^m的高阶无穷小。
例如:x^(3/2)是x^(4/3)的高阶无穷小。
下面给出两个当x→0时求极限的例题:由于x²是x的高阶无穷小,可将分母分子中的x²略去,即此题的极限为:上题中的最低阶的无穷小是√x,x²和x相对于√x都是高阶无穷小,故都可略去。
因此题2的极限是:类似于无穷小,当x→∞时,也可略去x低阶无穷大的项求极限。
当x→∞时,x²和x³都趋于无穷大,但x²和x³的比值是x²/x³=1/x。
因此当x→∞时,x²与x³的比值趋于0,这是因为x³比x²趋于无穷快,即x²是x³的低阶无穷大,在求极限时可略去。
同理,若m<n,则x^m是x^n的低阶无穷大。
另外,请记住ln(x)是x的低阶无穷大。
如n>0, ln(x)也是x^n的低阶无穷大。
当x→∞时,低阶无穷大的项可以被略去。
下面给出两个当x→∞时求极限的例题:其它求极限的技能带根号的题在例10中, [√(1+x)-√x]是两个根号的差。
由于当x→∞时,√(1+x)→√x,所以[√(1+x)-√x]→0。
又由于x→∞时,√x也趋于无穷大,这个极限是一个(∞)(0)型,其极限值不是一目了然。
可是,如果若将这两个根号的差乘以这两个根号的和然后再除以这两个根号的和,这两个根号的差放在分子上并被打开,化简为一个常数,而分母中是这两个根号的和。
高数极限的知识点笔记总结
高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。
1.1.2、数列是数学中的一个重要概念,它是指有序的一串数的集合。
比如,1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列,其中每一个数都有一个位置,称之为该数在数列中的项。
这个位置通常用自然数n表示,称为项数。
1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后,无论距离这一项多近,都能无限地接近某一个确定的常数A,则称常数A为数列{an}的极限。
极限通过记号lim(an)=A来表示。
1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时,数列中的项an的极限值。
1.2.3、形式化定义:对于数列{an},若对于任意给定的正数ε>0,存在正整数N,使得当n>N时,|an-A|<ε,则称A是数列{an}的极限。
1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足:对于任何实数M,存在正整数N,使得当n>N时,有|an|>M,则称数列{an}为无穷大数列。
1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。
1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性:数列的极限若存在,则唯一。
1.4.2、有界性:如果数列有极限,则这个数列一定是有界的。
1.4.3、保号性:如果数列{an}有极限A, 且A>0(或A<0),则存在正整数N1,当n>N1时,有an>0(或an<0)。
二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n),若当n趋于无穷大时,f(n)的极限存在,则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。
2.1.2、形式化定义:对于函数f(x),若对于任意给定的正数ε>0,存在正数δ>0,使得当0<|x-a|<δ时,有|f(x)-A|<ε,则称A是f(x)当x趋于a时的极限。
《医用高等数学》考点归纳
《医用高等数学》主要知识点概要第1章函数与极限§1.1函数基本初等函数的图像和性质(教材第5页) §1.2极限 1、极限的定义:1)两种基本形式lim/(x) = A 和lim f(x) = A2)左极限和右极限的概念3)极限的四则运算【重点】lim[/(x)±^(x)] = lim/(x)±limg(x)limkf(x) = k lim f (x)/(x)_lim/(x) Illi g(x) limg(x)重点例题:教材第13页例8例12 hm[f(x)g(x)] = lim/(x)・ limg(x)重点例题:教材第16页,例16T73、无穷大与无穷小量【重点】1)无穷大与无穷小的定义2)无穷小的基本性质①有限个无穷大的乘积或代数和也是无穷大②非零常数与无穷大乘积也是无穷大③常数或有界函数与无穷大的代数和也是无穷大3)无穷小的基本性质①有限个无穷小的代数和或乘积也是无穷小②有界函数或常数与无穷小的乘积是无穷小③在求X f0的极限时,一些等价无穷小可以直接互相替换,但须注意替换时只能替换乘 除因子中的无穷小,不能替换加减因子中的无穷小。
主要的代换有:x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x 〜arctan x 〜ln(l + x) ~ 一 1 以及:l-cosx - lx :2、两种重要极限【重点】 1) 基本形式= 重点例题: .1° X 教材第15页13-152) lim(l + O)R=e 型,两种基本形式: lim 1 + -2重要例题:教材17页,例18-19,教材第20页,练习1-2,第2题第⑴、(5) - (7)§1.3函数的连续性1、函数连续的定义2、判定函数在七连续的方法:1)Hm Ay = Hm [/(x0 + A.v)-/(x0)] = 02)lim/(x) = /(A0)基本初等函数以及由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合构成的初等函数在其定义域内均是连续的。
求极限小知识点总结
求极限小知识点总结极限是微积分最基本的概念之一,它是描述函数在某一点附近的行为的重要工具。
在数学的发展历程中,极限的概念扮演了重要的角色,它不仅在微积分中有着重要的地位,而且在数学的许多领域中都有着广泛的应用。
一、极限的概念极限是函数在自变量趋于某个值时的稳定值,也就是当自变量趋于某一值时,函数值趋于的值。
它是对函数在某一点附近的行为进行描述的工具。
在数学上用极限的概念可以严格地刻画出函数在某一点附近的性质,例如函数的连续性、导数、积分等。
因此,极限是微积分中最基本的概念之一,也是研究函数的性质的重要工具。
极限的概念最早可以追溯到17世纪的牛顿和莱布尼兹等人的工作,而在当代数学中,极限是微积分和实变函数论中非常基本的概念。
例如,在微积分中,导数和积分等概念都可以通过极限的概念来定义和理解;在实变函数论中,函数的极限是研究函数连续性和收敛性等问题的重要工具。
二、极限的性质极限具有一些重要的性质,这些性质对于研究函数的性质和计算极限都是非常重要的。
下面我们来介绍一些关于极限性质的基本知识。
1. 唯一性:如果一个函数在某点存在极限,则此极限是唯一的。
也就是说,当自变量趋于某一点时,函数值的稳定值是唯一确定的。
这个性质可以从极限的定义和数学分析的角度来证明。
2. 有界性:如果一个函数在某点存在极限,则该函数在该点附近一定有界。
有界性是极限的重要性质之一,它可以帮助我们研究函数的性质,例如函数的连续性和收敛性等。
3. 保号性:如果一个函数在某点的左右极限均存在且相等,并且极限值为正(或负),则该函数在该点附近一定保持正(或负)号。
这个性质对于研究函数的性质以及计算极限都是非常重要的。
4. 夹逼性:如果一个函数在某点的左右极限存在且小于(或大于)某个值,同时该点附近的另一个函数的值恒大于(或小于)这个值,那么该函数在该点的极限也是小于(或大于)这个值。
夹逼性是计算极限和研究函数性质的常用技巧,它可以帮助我们确定函数在某一点的极限值。
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x
-¥ ¬ x
O x ® +¥
图7
y
f (x) = 3 x
-¥ ¬ x
x
O x ® +¥
图8
68
2、指数函数部分
常见函数极限
(9)函数 y = ax (a > 1),极限 lim ax = +¥ (a > 1) (极限不存在)(注意: x ® +¥ ) x®+¥
(10)函数 y = ax (a > 1)极限 lim ax = 0 (a > 1) ;(注意: x ® -¥ ) x®-¥
(11)函数 y = ax (0 < a < 1) ,极限 lim ax = 0 (0 < a < 1) (注意: x ® +¥ ) x®+¥
(12)函数 y = ax (0 < a < 1) ,极限 lim ax = +¥ (0 < a < 1) 极限不存在(注意: x ® -¥ ) x®-¥
y
y = ax
x®±¥
x®+¥
y
y
x = +¥ (极限不存在)
y = x2
o
-¥ ¬ x
x
x ® +¥
图5
(7)函数
y = x3 ,极限 lim x3 = ±¥ (极 x®±¥
1
1
在);(8)函数 y = x3 ,极限 lim x3 = ±¥ ,(极限不存在)
x®±¥
y= x
o
x
x ® +¥
图6
限不存
y f (x) = x3
(-1)n 2n
=
ì-2, -6, -10,L(, n为奇数)
í î
4,
8,
12,L,
。通项:
(n为偶数)
yn = (-1)n 2n
极限
yn
=
(-1)n 2n
=
ì -¥(n ® ¥) íî+¥(n ® ¥)
(n为奇数) (n为偶数)
yn
=
(-1)n 2n
(n
®
¥)
趋势不定(发散)
(如图 8)
yn
12 10 8 6 4 2
(1) 函数 y = C ,极限 lim C = C ( C 为常数);(2)函数 y = x ,极限 lim x = ±¥ (极限不存在)
x®±¥
x®±¥
y
C -¥ ¬ x
O
y =C
x ® +¥ x
y
y=x
-¥ ¬ x
o
x
x ® +¥
图1 图2
67
(3)函数 y = -x ,极限 lim(- x)= m¥ ; x®±¥
,L,
n + (-1)n-1 n
,L
。通项
yn
=
n + (-1)n-1 n
,极限
yn
=
n + (-1)n-1 n
®1
(n ® ¥) (收
敛)即 lim n + (-1)n-1 = 1
n®¥
n
(如图 4)
yn
2
×1 ×
× × × × × yn
=
n
+
(-1)n-1 n
n®¥
× × × × × × O 1 2 3 4 5 6
y n = ( - 1) n+1 n®¥
n
g g g O
12
34
5
6
-1
图6
66
常见函数极限
(7) 1, 2,3,L, n,L 。通项 yn = n ,极限 yn = n ® ¥ (n ® ¥) (发散)(如图 7)
yn
。
×3
2
× × yn = n
1×
n®¥
O 12 34 5 6
n
图7
(8)
yn
=
n®¥ n
yn
× × × × × × × O
×
×
yn
×
=1 n
×
×
12 34 5
×
6
×
n
®
¥
n
图2
(3)
1 2
,2 3
,3 4
,L,
n ,L n +1
。通项 yn
=
n
n +
1
,极限
yn
=
n ® 0 (n ® ¥) (收敛)即 lim n = 0
n +1
n®¥ n +1
(4) 2
,
1 2
,
4 3
,
3 4
n
图4
(5) 2, 4,8,L, 2n ,L。通项 yn = 2n ,极限: yn = 2n ® ¥ (n ® ¥) (发散)
(6)1, -1,1,L, (-1)n+1,L 。通项: yn = (-1)n+1 ;极限: yn = (-1)n+1 (n ® ¥) 趋势不定(发散)
(如图 6)
yn
× × × × × × × × 1 ×
lim
x®+¥
log a
x
=
+¥
(a
> 1)
极限不存在
(注意: x ® +¥ );
(14)函数
y
=
log a
x
=
-¥
(0<a
< 1)
,极限
lim
x®+¥
log
a
x
=
-¥
(0<a
< 1)
极限不存在.
(注意: x ® -¥ )
y
y=loga x
y
y=loga x
a >1
× O
x +¥ x
(1, 0)
× O
1
o g - 6- 5 -4 - 3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 -10 -12
×
g
g
yn = (-1)n2n
n®¥
n
23 4 56
g
g
图8
二、常见基本初等函数极限存在情况
(一)当 x ® ¥, x ® -¥, x ® +¥ 时的极限(为直观起见在图中将 x ® -¥ 记为 -¥ ¬ x 以下均同)
常见函数极限 一、常见数列极限的存在情况:
(1)1,1,1,1,L1,L 。通项 yn = 1,极限 yn = 1 ® 1 (n ® ¥) (收敛)
即 lim1 = 1 n®¥
(2)1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,L,
1 n
,L
。通项 yn
=
1 ,极限 n
yn
=
1 n
® 0 (n ® ¥) (收敛)
即 lim 1 = 0 (如图 2)
y y=ax
a >1
(0,1)
g
x
-¥ x O x +¥
图9
0< a <1
(0,1)
g
x
-¥ x O x +¥
图 10
或综上(9)-(12)得图 11
y y = ax
0< a <1
a >1
(0,1)
g -¥ ¬ x O x ® +¥
x
图 11
3、对数函数部分
(13)函数
y
=
log a
x
(a
>
1)
,极限
-¥ x
-p - 3p
2
yy 1
-p 2
O
p 2
-1
y = sin x
- 3p 2
图 15
x
p
+¥ x
x
(16)函数 y = cos x ,极限 lim cos x 趋势不定,极限不存在 (注意: x ® ¥ 即 x ® ±¥ ) x®¥
y y =-x
-¥ ¬ x O
x
x ® +¥
常见函数极限
(4)函数 y = 1 ,极限 lim 1 = 0
x
x x®±¥
y
-¥ ¬ x
y = x-1 = 1 x
o x ® +¥ x
图3
图4
1
(5)函数 y = x2 ,极限 lim x2 = +¥ ( 极限不存在);(6)函数 y = x 2 ,极限 lim
x +¥ x
(1, 0)
0<a<1
图 12
图 13 69
或综上(13)(14)
常见函数极限
y
y = loga x
a >1
×x
O
x ® +¥
(1, 0)
0<a<1
图 14
3、三角函数部分(原书没有)
(15)函数 y = sin x ,极限 lim sin x 趋势不定,极限不存在(注意: x ® ¥ 即 x ® ±¥ ) x®¥