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信息安全数学基础习题答案

第一章整数的可除性

1．证明1：因为2|n 所以n=2k , k1Z

5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k11Z

7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k21Z

所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k21Z

因此70|n

证明2：n是2、5、7的公倍数，所以[2,5,7]|n，又知2、5、7互素，所以[2,5,7]=2*5*7=70,即70|n。

2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)

当a=3k，k22(mod)

a b p

≡Z 3|a 则3|a3-a

当a=3k-1，k p a b

-Z 3|a+1 则3|a3-a

当a=3k+1，k p a b

+Z 3|a-1 则3|a3-a

所以a3-a能被3整除。

3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1， k022(mod)

≡Z

a b p

（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1

由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k

所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。

4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a

由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)

又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)

又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。

5．证明：构造下列k个连续正整数列：

(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k p a b

-Z

对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)

所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数

所以此k个连续正整数都是合数。

6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13

经验算都不能整除191 所以191为素数。

因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23

经验算都不能整除547 所以547为素数。

由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。

8．解：存在。eg：a=6,b=2,c=9

9.证明：反证，设n/p是合数，n/p= k1k2, k1>p, k2>p,则n=p k1k2> n3，所以p< n1/3，矛盾。

10．证明：p1 p2 p3|n，则n= p1 p2 p3k，k p a b

+N+

又p1≤ p2≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥p13 即p13≤n1/3

p1为素数则p1≥2，又p1≤ p2≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥2 p2 p3≥2p22

即p2≤(n/2)1/2得证。

11．解：小于等于5001/2的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，依次删除这些素数的倍数可得所求素数：

12．证明：反证法

假设3k+1没有相同形式的素因数，则它一定只能表示成若干形如3k-1的素数相乘。 (3 k1+1)(3 k2+1)=[( 3 k1+1) k2+ k1]*3+1 显然若干个3k+1的素数相乘，得到的还是3k+1的形式，不能得出3k-1的数，因此假设不成立，结论得证。

同理可证其他。

13．证明：反证法

假设形如4k+3的素数只有有限个，记为p1, p2,…, p n

因为4k+3=4k`-1=4k-1 构造N=4*p1*p2*…*p n-1≥3*p1*p2*…*p n

所以N＞p i (i=1,2,…,n)

N为4k-1形式的素数，即为4k+3的形式，所以假设不成立。

原结论正确，形如4k+3的素数有无穷多个。

21.证：令此合数为S ，根据此合数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数。 （1）

k-1k 00

k-10111

1

1++++

+

M=2357k 2234

n,

p n n n 2,M M M MS=M+

+++++

23

n n

M M 357M=235723p n 2

MS S k S p n M M M p

p =⋅⋅⋅≤=⋅⋅⋅⋅⋅=∴令取这里是使最大的整数，

是不大于的最大奇数。则在1,2,3，，中必存在一个所以由知

，，，必为整数，显然不是整数。

不是整数，从而不是整数。

28．（1）解：85=1*55+30 55=1*30+25 30=1*25+5 25=5*5 所以(55,85)=5

（2）解：282=1*202+80 202=2*80+42 80=1*42+38 42=1*38+4 38=9*4+2 4=2*2

所以（202,282）=2 29．（1）解：2t+1=1*(2t-1)+2 2t-1=(t-1)*2+1 2=2*1

所以（2t+1,2t-1）=1 （2）解：2(n+1)=1*2n+2 2n=n*2

所以（2n,2(n+1)）=2 32．（1）解：1=3-1*2 =3-1*(38-12*3) =-38+13*(41-1*38) =13*41-14*(161-3*41) =-14*161+55*(363-2*161) =55*363+(-124)*(1613-4*363) =(-124)*1613+551*(3589-2*1613) =551*3589+(-1226)*1613

j sj-1 sj tj-1 tj qj rj rj+1 1 0 3589 1613 1 1 0 0 1 2 1613 363 2 0 1 1 -2 4 363 161 3 1 -4 -2 9 2 161 41 4 -4 9 9 -20 3 41 38 5 9 -31 -20 69 1 38 3 6 -31 40 69 -89 12 3 2 7 40 -511 -89 1137 1 2 1 8

-511

551

1137

-1226

2

1