人教版期末复习(二) 勾股定理

将两个全等的直角三角形按图 1 所示摆放，其中∠DAB＝90°，求 证：a2＋b2＝c2．
证明：连接 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF，则 DF＝EC＝b－a． ∴S 四边形 ADCB＝S△ACD＋S△ABC ＝21b2＋12ab． 又∵S 四边形 ADCB＝S△ADB＋S△DCB
＝21c2＋12a(b－a)， ∴21b2＋12ab＝12c2＋12a(b－a)． ∴a2＋b2＝c2．
＝21ab＋12c2＋12a(b－a)， ∴21ab＋12b2＋12ab＝21ab＋12c2＋12a(b－a)． ∴a2＋b2＝c2．
勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的 方式表示同一个图形的面积．
1．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别 是 a，b，斜边长为 c)和一个边长为 c 的正方形，请你将它们拼成一个 能证明勾股定理的图形．
20．(12 分)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于 一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
解：由题意，得 AF＝AD＝10 cm，在 Rt△ABF 中，根据勾股定 理，有 AB2＋BF2＝AF2，
∴BF＝ AF2－AB2＝ 102－82＝ 36＝6(cm)． ∴CF＝10－6＝4(cm)． 设 EC＝x cm，则 DE＝EF＝(8－x)cm， 在 Rt△CEF 中，根据勾股定理，得 CE2＋CF2＝EF2，即 x2＋42＝(8－x)2，解得 x＝3． ∴EC 的长为 3 cm．
数学 期末复习(二) 勾股定理
01 知识结构图
02 重难点突破
重难点 1 勾股定理的证明 【例 1】 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同， 其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角 三角形如图 1 或图 2 摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪 利用图 1 证明勾股定理的过程：
(1)画出拼成图形的示意图；
(2)证明勾股定理． 解：(1)如图． (2)证明：c2＝(b－a)2＋4×12ab＝b2＋a2．
重难点 2 勾股定理及其逆定理 【例 2】 如图，每个小正方形的边长均为 1． (1)求四边形 ABCD 的周长； (2)求证：∠BCD＝90°．
【思路点拨】 (1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出△ BCD 的三边长，利用勾股定理的逆定理证明．
角形，能构成直角三角形的有( D )
A．②
B．①②
C．①③
D．②③
3．下列各命题的逆命题成立的是(C ) A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是 45°，那么这两个角相等
4．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( D )
解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°． ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B＝60°．∴△EDC 是等边三角形． ∴DE＝DC＝2． 在 Rt△DEF 中，∵∠DEF＝90°，∠EDF＝60°，DE＝2， ∴DF＝2DE＝4． ∴EF＝ DF2－DE2＝ 42－22＝2 3．
19．(10 分)如图，折叠矩形的一边 AD 使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB＝8 cm，BC＝10 cm，求 EC 的长．
方程思想常在勾股定理与折叠问题中出现，利用折叠的性质，得 到边、角相等，进而把条件转化到一个直角三角形中，利用勾股定理 构建方程求线段长度．
4．如图，在矩形 ABCD 中，BC＝6，CD＝3，将△BCD 沿对角
线 BD 翻折，点 C 落在点 C′处，BC′交 AD 于点 E，则线段 DE 的长为
15．如图 1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给 出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图 2，其中四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△ DAE 是四个全等的直角三角形．若 EF＝2，DE＝8，则 AB 的长为 10 ．
16．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙 之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知 AB＝20 cm，
A．S1＋S3＝2S2 B．S1＋S3＝4S2 C．S1＝S3＝S2 D．S2＝13(S1＋S3)
二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．如果三角形的三边分别为 2， 6，2，那么这个三角形的最大 角的度数为 90° ． 12．小红同学先朝正东方向行进了 4 km，再朝正北方向行进了 8 km，此时小红离出发点的距离是 4 5 km ．
2．如图，在正方形 ABCD 纸片上有一点 P，PA＝1，PD＝2，PC ＝3．现将△PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置(C 与 A 重合，P 与 G 重合，D 与 D 重合)．求：
(1)线wenku.baidu.com PG 的长； (2)∠APD 的度数．
解：(1)根据题意，可得△AGD≌△CPD， ∴∠GDA＝∠PDC． 又∵∠ADC＝90°， ∴∠GDP＝90°． 又∵GD＝PD＝2， ∴PG＝2 2．
3．如图，某地方政府决定在相距 50 km 的 A，B 两站之间的公路 旁 E 点，修建一个土特产加工基地，且使 C，D 两村到 E 点的距离相 等，已知 DA⊥AB 于点 A，CB⊥AB 于点 B，DA＝30 km，CB＝20 km， 那么基地 E 应建在离 A 站多少千米的地方？
解：设基地 E 应建在离 A 站 x km 的地方，则 BE＝(50－x)km． 在 Rt△ADE 中，根据勾股定理，得 AD2＋AE2＝DE2，∴302＋x2 ＝DE2． 在 Rt△CBE 中，根据勾股定理，得 CB2＋BE2＝CE2，∴202＋(50 －x)2＝CE2．
5．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为 1，则△ABC
是( A )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不对
6．如图，数轴上点 A，B 分别对应 1，2，过点 B 作 PQ⊥AB，以
点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 PQ 于点 C，以原点 O 为圆心，
OC 长为半径画弧，交数轴于点 M，则点 M 对应的数是(B )
请参照上述证法，利用图 2 完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图 2 所示摆放，其中∠DAB＝90°，求 证：a2＋b2＝c2．
【解答】 证明：连接 BD，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF＝ b－a，
∴S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE ＝21ab＋12b2＋12ab． 又∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE
【解答】 根据折叠可得 BE＝EB′，AB′＝AB＝3， 设 BE＝EB′＝x，则 EC＝4－x． ∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC＝ AB2＋BC2＝5． ∴B′C＝5－3＝2． 在 Rt△B′EC 中，由勾股定理，得 x2＋22＝(4－x)2． 解得 x＝1．5，即 EB′的长为 1．5．
解：根据已知，可得∠ACB＝90°． 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得 AB＝ AC2＋BC2＝ 8002＋1 5002＝1 700(米)． 1 700÷50＝34(分钟)． 答：大约 34 分钟后，欢欢才能到达山顶．
18．(10 分)如图，在等边△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上．若 CD＝2，过点 D 作 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延 长线于点 F，求 EF 的长．
【思路点拨】 运用“两点之间，线段最短”先确定出 P 点在 A1B1 上的位置，再利用勾股定理求出 AP＋BP 的长．
【解答】 作点 B 关于 MN 的对称点 B′，连接 AB′交 A1B1 于点 P， 则 AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知 P 点即为到 A，B 距离之和最短的 点．
过点 A 作 AE⊥BB′于点 E，则 AE＝A1B1＝8，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6．
由勾股定理，得 AB′＝ AE2＋EB′2＝ 82＋62＝10， 即 AP＋BP＝AB′＝10． 故出口 P 到 A，B 两村庄的距离之和最短是 10 km．
解这类题关键在于运用几何知识正确找到适合条件的 P 点的位置， 会构造直角三角形，勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征， 转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．
13．如图，在△ABC 中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CD 是 AB 边上的中线，则 CD＝ 5 ．
14．(2019·荆州)如图 1，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4 cm，E，F，G 分别是 AB，AA1，AD 的中点，截面 EFG 将这个正方 体切去一个角后得到一个新的几何体(如图 2)，则图 2 中阴影部分的面 积为 2 3 cm2．
(2)∵AG＝3，AP＝1，PG＝2 2，(2 2)2＋12＝32， ∴△APG 为直角三角形，∠APG＝90°． 又∵∠GPD＝45°， ∴∠APD＝135°．
重难点 3 勾股定理在实际生活中的应用 【例 3】 如图，高速公路的同侧有 A，B 两个村庄，它们到高速 公路所在直线 MN 的距离分别为 AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km．现要在高速公路上 A1B1 之间设一个出口 P，使 A，B 两个村庄到 P 的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？
10
小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)为 13 26 cm．
三、解答题(共 42 分) 17．(10 分)如图，已知某山的高度 AC 为 800 米，在山上 A 处与 山下 B 处各建一个索道口，且 BC＝1 500 米，欢欢从山下索道口坐缆 车到山顶，已知缆车每分钟走 50 米，那么大约多少分钟后，欢欢才能 到达山顶？
∵C，D 两村到 E 点的距离相等， ∴DE＝CE．∴DE2＝CE2． ∴302＋x2＝202＋(50－x)2．解得 x＝20． ∴基地 E 应建在离 A 站 20 km 的地方．
思想方法 方程思想 【例 4】 如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， 将△ABC 折叠，使点 B 恰好落在边 AC 上，与点 B′重合，AE 为折痕， 求 EB′的长．
C．2．5
D．3
9．如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点 A 与点 B 的距离是
(D )
A． 113
B．8
C．9
D．10
10．如图，已知在 Rt△ABC 中，E，F 分别是边 AB，AC 上的点， AE＝31AB，AF＝31AC，分别以 BE，EF，FC 为直径作半圆，面积分别 为 S1，S2，S3，则 S1，S2，S3 之间的关系是(B )
A．3
(B )
B．145
C．5
D．125
03 复习自测
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分)
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝5，则 BC 的长是(B )
A．3
B． 39
C．7
D． 89
2．小新将铁丝剪成九段，分成三个组：①2 cm，3 cm，4 cm；②
3 cm，4 cm，5 cm；③9 cm，40 cm，41 cm．分别以每组铁丝围成三
A． 3
B． 5
C． 6
D． 7
7．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝17，BD＝15，DC ＝6，则 AC 的长为(B )
A．11 B．10 C．9 D．8
8．设 a，b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为 6，
斜边长为 2．5，则 ab 的值是( D )
A．1．5
B．2
【解答】 (1)根据勾股定理可知 AB＝3 2，BC＝ 34，CD＝ 34， AD＝5 2，
∴四边形 ABCD 的周长为 8 2＋2 34．
(2)证明：连接 BD，∵BC＝ 34，CD＝ 34，BD＝ 68，∴BC2 ＋CD2＝BD2．
∴△BCD 是直角三角形，且∠BCD＝90°．
正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出．勾股 定理的逆定理是证明一个角等于 90°的一种思路．本题的第(2)问还可以 通过两个三角形全等来证明．