人教版期末复习(二) 勾股定理
勾股定理(人教版)(含答案)
勾股定理（人教版）一、单选题(共10道，每道9分)1.一个直角三角形两直角边长分别为5和12，下列说法正确的是( )A.斜边长的平方为119B.三角形的周长为29C.斜边长为13D.三角形的面积为60答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理2.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=5，阴影部分是以AB为边的一个正方形，则此正方形的边长为( )A.16B.4C.34D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB 的长度为( )A.5B.6C.7D.25答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理4.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为( )A.6B.C. D.5答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理5.如图，∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长为( )A.4B.3.5C.2D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理6.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理7.如图，直线上有三个正方形A，B，C，若A，C的边长分别为3和4，则正方形B的面积为( )A.5B.25C.24D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图8.如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长作为第③个等腰直角三角形的腰，依此类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为( )厘米．A.1B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理9.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )A.5B.C. D.5或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是( )A.5B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图二、填空题(共1道，每道10分)11.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=____．答案：7解题思路：试题难度：知识点：勾股定理。
人教版初中数学勾股定理知识点
第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等bacbac cabcab cba HG FEDCBAa bc c baED CBA例、在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c．错解由勾股定理，得诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B为直角时，例、已知Rt△ABC中，∠B=RT∠，，c= b.错解由勾股定理，得诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．=10即第三边长为10cm．诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法设第三边长为xcm．若第三边长为斜边，由勾股定理，得=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得x=2286-=28=27(cm)因此，第三边的长度是10cm 或者27cm.例、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=12BC=23AD.又RT △ABC的周长是(6+23)cm.求AD ．错解 ∵△ABC 是直角三角形， ∴AC:AB:BC=3:4:5 ∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5．∴AC=312(6+23)=33+，AB=412(6+23)=623+，BC=512(6+23)=1553+又∵12AC AB •=12BC AD • ∴AD=AC AB BC •=33623231553++⨯+ =(33)2(33)5(33)+•++=25(3+3)(cm) 诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AM=23AD ∴MD=222(3)3AD AD -=3AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称．∴AC=AM，∴∠AMD=60°=∠C．∴∠B=30°，AC=12BC，AB=3BC∴AC+AB+BC=12BC+3BC+BC=6+23.∴BC=4．∵12BC=233AD，∴AD=12233BC=3(cm)例、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．例、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.，正确证明由读者自己完成．例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=24n-1，c=244n+(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．正解∵a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n+)2=(214n+)2=416n+22n+1由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般．。
人教版勾股定理
边为c，那么 a2 + b2 = c2 结论变形
c2=a2 + b2
cb
a
学以致用
4.在 ABC中, ∠ C=90°,若AC=6,CB=8,则ABC
面积为__2_4__,斜边为上的高为_4__.8___.
5.已知：△ABC，AB＝AC＝17，
A
BC＝16，则高AD＝＿15＿＿，
4
9
13
9 25 34
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
命题１：如果直角三角形的两直角边长分 别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
a
c
b
证法一：
激励引导
赵爽弦图的证法
S S 4S ＝ ＋ 大正方形
小正方形
直角三角形
c
b a
b a
c2＝(b－a)2＋4× 1
2
ab c
b
中黄实 (-b a)2
弦 勾
股
17.1 勾股定理
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲 学家、数学家、天文学家。
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC 对于等腰直角三角形有这样的性质：
两直边的平方和等于斜边的平方
பைடு நூலகம்
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？
B
A C
图2
C
A
B
图3
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜
边为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
人教版八年级数学下册期末复习资料《勾股定理》复习题
八年级数学期末复习资料《勾股定理》期末复习题1勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c ，那____________________勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足222c b a =+，那么这个三角形是 __________1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°,若c=13，b=12，则a=________；2.已知直角三角形的两条边长分别是3和4，则此三角形的第三边长度为_____________3.直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为________．4.在直角坐标系中，点P （-2，3）到原点的距离是__________5.如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部 12米处.树折断之前有______米.6在等腰△ABC 中，AB=AC=13,BC=10,则高AD 的长为________7、命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________________________， 它是 ________（填入“真”或“假”）命题。
8.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE则CD 等于_________cm.9. 在△ABC 中，∠A=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c ，则下列结论错误的是（ ）A. a 2+b 2=c 2B.b 2+c 2=a 2C.a 2-b 2=c 2D.a 2-c 2=b 210、如果正方形ABCD 的面积为92，则对角线AC 的长度为（ ）；11．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米， 那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？12．印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识解答这个问题.《勾股定理》期末复习题21．下列各组不能构成直角三角形的是（ ）A.11 12 15B. 5 5 25C.45 143 D. 1 3 22.在△ABC 中，已知AB=12cm ，AC=9cm ，BC=15cm ，则△ABC 的面积 等于( )A 108cm 2B 90cm 2C 180cm 2D 54cm 2 3.直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为________．4. 如下图，数轴上有两个Rt △ABC 、Rt △ABC ，OA 、OC 是斜边，且OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F分别对应的数是_________。
人教版勾股定理的复习课(2)
课前热身
1、在△ABC中，∠C=90°， AB＝5，则 A B 2 + A C 2+ B C 2 =_______． 2、直角三角形的三边长为连续偶数，则这 三个数分别为__________ 3、三角形的三边长分别为6,8,10，它的最 短边上的高为( )
A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 4.8 4、已知a、b、c是三角形的三边长，a ＝ 2n2 2n ，b＝2n＋1，c＝ 2n22n1（n 为大于1的自然数）,试说明△ABC为直角 三角形
三、忽视图形的位置
例3 已知 ABC中，AB10,AC12，
BC边上的高AD=8，求BC的长。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
练习：在 ABC中，已知 A B15,A C13
，AD为BC边上的高，AD12，求BC的 长。
四、忽视全面思考 例4 已知直角三角形的两边长为 6和8，求第三边的长。
易错题讲解 一、忽视定理的表达形式
例1 在 Rt ABC中， B900 a1,b 3 ，
c求 的长。
c
练习：在 Rt ABC中，B900 a1,b 3
，求 c 的长。
二、忽视定理存在的条件
例2 在边长为整数的 ABC中， AB>AC，如果AC=4，BC=3， 求AB的长。
练习：在边长为整数的 ABC中， BC>AC，如果AC=7，AB=4，求BC的 长。
练习：已知直角三角形的两边 长为3和4，求第三边的长。
五、混淆原定理和逆理的应用
例5 在 ABC中，a5,b12,c13，
问 ABC是不是直角三角形？ 解：
因为 a 2 b 2 5 2 1 2 2 1 6 9
人教版八下数学 专题二 勾股定理的常见题型
人教版八下数学专题二勾股定理的常见题型1.如图，有一块直角三角形纸片，AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，求CD长．2.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN=2−√3，求CD的长．3.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将它沿着对角线对折，使B折到M，求：(1) 线段CE的长度；(2) 点E到直线AC的距离．4.在甲村至乙村的公路旁一块山地正在开发．现C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离为400m，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围250m范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁，请通过计算进行说明．5.如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口处宽AB 为 3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60∘角时，停止杆的端点C恰好与地面接触，此时CA=0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，则这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：√3≈1.73）6.某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的试验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点O，B，使得PO⊥l，PO=100m，∠PBO=45∘．这时，一辆轿车在公路l上由B匀速驶向A，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3s，并测得∠APO=60∘．此路段限速每小时80km，试判断此车是否超速，并说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）7.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短距离．8.在等边三角形ABC中，D是BC的中点，点E，P分别是线段AC，AD上的一个动点，已知AB=2，求PC+PE的最小值．9.如图，有三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm，3dm，2dm．点A和点B是三级台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物，求蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短距离．10.阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的位置有以下三种情形：①如果AB∥x轴，则y1=y2，AB=∣x1−x2∣；②如果AB∥y轴，则x1=x2，AB=∣y1−y2∣；③如果AB与x轴、y轴均不平行，如图，过点A作与x轴的平行线和过点B作与y轴的平行线相交于点C，则点C的坐标为(x2,y1)，由①得AC=∣x1−x2∣，由②得BC=∣y1−y2∣，根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2．(1) 若点A的坐标为(4,6)，点B的坐标为(1,2)，则AB=．(2) 若点A的坐标为(3,3)，点B的坐标为(6,6)，点P是x轴上的动点，直接写出AP+PB的最小值=．(3) 已知M=√(6−x)2+16+√(3−x)2+4，利用数形结合思想，求出M的最小值．答案1. 【答案】在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10．△ADE是由△ACD翻折所得，∴AC=AE=6，EB=AB−AE=10−6=4．设CD=DE=x，在Rt△DEB中，∵DE2+EB2=DB2，∴x2+42=(8−x)2，∴x=3，即CD=3．2. 【答案】设CD=x，则BF=AB=x，BM=12BC=12x，在Rt△BFM中，MF=√BF2−BM2=√32x，又因为MN=AB=x，FN=2−√3，所以2−√3+√32x=x，解得x=2，即CD=2．3. 【答案】(1) ∵AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，由折叠的性质可知，∠ACE=∠ACB，∴∠EAC=∠ACE，∴EA=EC．在Rt△EDC中，DE2+CD2=CE2，即(8−EC)2+62=CE2，解得CE=254．(2) 设点E到直线AC的距离为ℎ，AC=√AB2+BC2=10，由三角形的面积公式可知，12×AE×CD=12×AC×ℎ，则ℎ=254×610=154，即点E到直线AC的距离为154．4. 【答案】如图，过C作CD⊥AB，垂足为点D．∵BC=400m，AC=300m，∠ACB=90∘，根据勾股定理得AB=500m．∵12AB⋅CD=12BC⋅AC，∴CD=240m．∵240m<250m，故有危险，AB段公路需要暂时封锁．5. 【答案】不能通过．理由如下：如图，在AB之间找一点F，使BF=2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，∵AB=3.3m，CA=0.7m，BF=2.5m，∴CF=AB−BF+CA=1.5m．∵∠ECA=60∘，∴∠CGF=30∘，∴CG=2CF=3m，∴GF=√CG2−CF2=√32−1.52=32√3≈2.6(m)，∵2.6<3，∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口通过．6. 【答案】此车超速．理由如下：∵∠POB=90∘，∠PBO=45∘，∴△POB是等腰直角三角形，∴OB=OP=100m．∵∠APO=60∘，∴OA=√3OP=100√3≈173(m)，∴AB=OA−OB≈73m，∴733≈24(m/s)，24m/s≈86km/h>80km/h，∴此车超速．7. 【答案】将长方体表面展开，连接AB，分以下三种情形：（1）如图①，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得AB=√AD2+BD2=√202+152=√625=25．（2）如图②，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√302+52=√925=5√37．（3）如图③，BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB=√BD2+AD2=√252+102=√725=5√29．由于25<5√29<5√37，因此爬行的最短距离为25．8. 【答案】如图，过B作BE⊥AC，垂足为E，与AD交于点P，此时PE+PC最小．∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE即BE就是PE+PC的最小值．∵△ABC是一个边长为2的正三角形，BE⊥AC，AC=1，∴∠BEC=90∘，CE=12∴BE=√22−12=√3，∴PE+PC的最小值是√3．9. 【答案】如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为(2+3)×3dm，则蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程为x dm，由勾股定理得：x2=82+[(2+3)×3]2=172，解得x=17．∴蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短距离是17dm．10. 【答案】(1) 5(2) 3√10(3) M=√(6−x)2+16+√(3−x)2+4，当M取最小值时，M表示点(x,0)到点(6,4)的距离与点(x,0)到点(3,2)的距离之和（或M表示点(x,0)到点(6,−4)的距离与点(x,0)到点(3,−2)的距离之和），=√(6−3)2+(4+2)2=3√5．此时M最小值【解析】(1) AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√(4−1)2+(6−2)2=5．(2) 如图，∵点A的坐标为(3,3)，∴点A关于x轴对称的点Aʹ的坐标是(3,−3)，此时AP+PB=AʹB=√(6−3)2+(6+3)2=3√10．。
八年级数学人教版下册勾股定理勾股定理2
数学来源于 生活，勾股定理 的应用在生活中 无处不在……
D
C
A
B
1m
2m
人教版八年级数学 下册
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
学习目标
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问 题。
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模 型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长。
B3
解：由题意知有三种展开
方法，如图.由勾股定理得
B1
高三数学复习中的几个注意点
AB12 =102 +（6+8）2 =296，
4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B AB = 8 +（10+6） =320， 29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
D
C
B
A
课 结堂
总
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业 1.整理本节知识点 2.选做题： 同步检测题
一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。
由题意可知：AC=6千米，BC=8千米
距离及路径最短问题
检测目标
1．若等腰三角形中相等的两边长为 10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的
高为 ( D)
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
检测目标
2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成
由飞题机意 在可空知中：水平AC飞=6行千，米某，一B时C=刻8刚千好米飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，C飞机距离这个男？孩头顶5千米.
八年级数学下册期末复习2勾股定理作业课件新版新人教版
【思路点拨】(1)由 AB＝ 26 ＝ 12＋52 ，AD＝ 17 ＝ 12＋42 ，结合网格与勾股定理可确定点 A；(2)求出 BC2，
CD2，BD2，再利用勾股定理逆定理即可判断；(3)设点 C 到 BD 的距离为 d，根据 S△BCD＝BC·CD＝BD·d 求解可得．
【解答】(1)如图，四边形 ABCD 即为所求，其面积为 5×5 －12 ×5×1－12 ×2×4－12 ×1×4－12 ×(1＋3)×1＝1312 ； (2)是，∵BC2＝22＋42＝20，CD2＝12＋22＝5，BD2＝3 BCD＝90°； (3)2.
CD2＋BD2 ＝ 242＋72 ＝25，∴PA＋PB 的最小值＝PB＋ PC＝BC＝25 千米．
解此类题的关键在于运用几何知识正确找到符合条件的 P 点的位置，会构造 Rt△BCD，勾股定理把三角形中有一个 直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数 形结合运用的一个典范． A
3．如图，在笔直的高速公路旁边有 A，B 两个村庄，A 村庄 到公路的距离 AC＝8 km，B 村庄到公路的距离 BD＝14 km， 测得 C，D 两点的距离为 20 km，现要在 CD 之间建一个服 务区 E，使得 A，B 两村庄到 E 服务区的距离相等，求 CE 的长．
解：设 CE＝x，则 DE＝20－x，由勾股定理得：在 Rt△ACE 中，AE2＝AC2＋CE2＝82＋x2，在 Rt△BDE 中，BE2＝BD2 ＋DE2＝142＋(20－x)2，由题意可知：AE＝BE，所以：82＋ x2＝142＋(20－x)2，解得：x＝13.3.所以，E 应建在距 C 点 13.3 km 的位置，即 CE＝13.3 km.
正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求 出．勾股定理的逆定理是证明一个角等于 90°的一种思路．
勾股定理知识点总结人教版
勾股定理知识点总结人教版一、勾股定理的定义勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
换句话说，设有一个直角三角形，其三个边长分别为a、b、c，且c为斜边，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。
其中a和b为直角两边的边长，c为斜边的边长。
勾股定理可以帮助我们快速判断一个三角形是否是直角三角形，也可以用来求解直角三角形的边长和角度等问题。
因此，勾股定理在数学中具有非常重要的地位。
二、勾股定理的证明1. 几何证明：勾股定理最早是通过几何方法来证明的。
我们可以通过绘制一个正方形，然后在正方形的对角线上分别画出边长为 a 和 b 的正方形，最后发现这两个正方形的面积之和等于边长为 c 的正方形的面积，从而证明了勾股定理。
2. 代数证明：后来，人们通过代数方法也证明了勾股定理。
通过对勾股定理进行平方运算，然后进行因式分解和运算，最终也可以得到a² + b² = c²的结论。
这种方法一般需要借助一些高等数学知识来进行证明。
三、勾股定理的应用1. 在几何学中，勾股定理可以帮助我们判断一个三角形是否是直角三角形，同时可以求解直角三角形的边长和角度等问题。
2. 在物理学中，勾股定理被广泛运用于力学、光学等领域，例如可以用来解决物体受力后的位移和速度问题。
3. 在工程学中，勾股定理也有着重要的应用，例如在建筑设计和工程测量中，可以用来计算建筑物的高度和长度。
总结：勾股定理是数学中的一个重要定理，通过勾股定理我们可以解决许多与直角三角形相关的问题。
勾股定理的证明方法有几何法和代数法，应用领域广泛，包括几何学、物理学、工程学等。
因此，我们在学习和工作中都需要掌握勾股定理的理论知识和应用技巧，这对于我们的学习和工作都是非常有益的。
希望本文的介绍和总结对勾股定理有所帮助，也希望大家能够在日常学习和工作中多加练习，提高自己的数学能力和应用能力。
人教版八年级下册数学《勾股定理》说课复习(第2课时勾股定理的应用)
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
10km
藏宝点B的距离是________．
课程讲授
构造直角三角形解决实际问题
例4
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要
开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该
工厂的厂门?说明理由.
解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由
C
A
O
勾股定理，得
CD＝ OC 2 OD 2 1 0.82 0.6(米).
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
D
B
2.3米
2
答：卡车能通过厂门．
M
2米
H
N
课程讲授
2
构造直角三角形解决实际问题
练一练：
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( B )
A．8米
B．10米
C．12米
练一练：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB
一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,
人教版八年级下册数学辅导第2次(勾股定理)
勾股定理复习专题专题一 勾股定理的应用1、利用勾股定理求边长 例1 在△ABC 中，已知斜边长c=40,a:b=3:4，求两条直角边的长。
练习：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝30°，DA ⊥AB 于点A ，若BC ＝6cm ，求AB 的长。
2、利用勾股定理求面积例1、如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，∠A ＝60°，∠ADC ＝150°，∠ABC ＝90°，求四边形ABCD 的面积。
练习：（1）、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD ＝1，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，求四边形ABCD 的面积。
（2）、根据图中所示各边长度求四边形ABCD 的面积。
（单位：厘米）3、勾股定理的实际应用 最短路径问题 例4、有一立方体礼盒如图所示，在底部A 处有一壁虎，C ＇处有一只蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥。
（1）试确定壁虎所走的最短路线； （2）若立方体礼盒的棱长为20cm ，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎每分钟至少爬行多少？（结果保留整数）练习： 如图，圆柱的高为12cm ，底面周长为18厘米，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少厘米？A BC D A BCD AB C D3 4 12 13 A B DC D C ＇B ＇ A ＇ D ＇ A BC 蚂蚁AC 蜂蜜图形折叠问题例5 如图，矩形ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，抓痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为练习：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ， AD=8，AB=4，则DE 的长为方向角问题例6 如图，在一次实践活动中，小兵从A 地出发，沿北偏东的45°方向行进了53千米到达B 地，然后再沿北偏西45°方向行进了5千米到达目的地C 。
人教版八年级数学下册课件勾股定理复习课(课2)
c
（1）如果∠A和∠B是邻补角，那么∠A+∠B=180〫.
重难点3：勾股定理逆定理的应用
Ca B
知识梳理
3. 勾股定理逆定理的应用
② 实质：由“数”到“形”的转化； ③ 应用：判定一个三角形是否为直角三角形.
知识梳理
4. 勾股数
勾股数
正整数
判断一组数是不是勾股数的步骤： 看、找、算、判.
重点解析
反走私艇 B 离走私艇 C 12 海里，若走私艇 C
从边的方面判断：如果已知条件与边有关系，则可以通过勾股定理的逆定理进行判断.
两个角都是40〫
重点解析
1.有些命题在不容易确定题设和结论的情况下，可 以先改写成“如果……那么……”的形式，然后确 定题设和结论. 2.判断一个命题是假命题只需要举出一个反例即可.
重点解析
重难点2：勾股定理的逆定理
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是， 请指出哪个角是直角. （1）在△ABC中，∠A=25〫、∠B=65〫； 解：（1）在△ABC中，因为∠A=25〫、∠B=65〫，所以 ∠C=180〫-∠A-∠B=90〫，所以这个三角形是直角三角形. ∠C是直角.
重点解析
重难点4：勾股数
判断下列各组数是不是勾股数：
深化练习
1.在△ABC中，∠A、 ∠B 、 ∠C的对边分别是a、b、c，下列判断 错误的是（ B ）.
A.如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形.
深化练习
A.如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形. 解析：因为∠C- ∠B=∠A，所以 ∠C=∠B+∠A. 因为∠C+∠B+∠A=180〫，所以 ∠C+∠C=180〫. 解得：∠C=90〫，所以△ABC是直角三角形.
人教版初二数学下册 勾股定理与折叠问题 复习专题
《勾股定理与折叠问题》复习专题一、知识回顾勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2即22b c a=-=-，22c a b=+，22a c b知道直角三角形三边中的两边，就能求出第三边；如果只知道直角三角形三边中的一边，能求出另外两条边吗？例1、在平静的湖面上，有一枝荷花，高出水面1米．一阵风吹过来，荷花被吹到一边，花朵齐及水面．已知荷花移动的水平距离为2米，问这里的水深多少米？例2、若一个直角三角形的一条直角边长是5cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）cm．A．10B．11C．12D．131、一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长是（）A、8B、10C、12D、142、直角三角形有一条直角边为6，另两条边长为连续的偶数，则该三角形的周长为（）A、20B、22C、24D、263、升旗仪式的时候，小明突发奇想，想知道学校旗杆的高度。
放学后，他观察到旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与地面接触，则旗杆的高度为（）A、11米B、12米C、13米D、14米4、小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，求河水的深度是多少？5、小东拿一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？二、折叠问题解题心得：1、看见“折叠”、“翻折”就要想全等，把题目的数据标在图上2、设折叠的一条边为x（不要设折痕）3、根据勾股定理列方程，然后解答例1、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=12cm，BC=16cm，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则DE的长度为_________例2、已知，矩形ABCD中，E在AB上，把△BEC沿CE对折。
人教版八年级数学下册第二章勾股定理
）
A 、 2n
B、 n+1
C、 n2－ 1
（ 3） 在 Rt△ ABC 中， a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（
A. a 2 b 2 c 2
B. a 2 c 2 b2
D、 n2 1
）
C. c2 b 2 a 2
D.以上都有可能
（ 4） 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（
八年级（下册） 第二章：三角形勾股定理
考点一：勾股定理
（ 1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为
a、 b，斜边为 c，那么一定有 a 2 b 2 c 2
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （ 2）结论： ①有一个角是 30°的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②有一个角是 45°的直角三角形是等腰直角三角形。 ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
2 ，高为 2， AB， CD分别是两底面的直径， AD， BC 是母线，若一只小虫从
A 点出发，从侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是
（ 2）如图 2，有一个长、宽、高为 3 米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点
最短距离为
。
。（结果保留根式） A 要爬到顶点 B ，那么这只昆虫爬行的
A
）
A 、 24 cm2
B 、36 cm2
C、 48 cm 2
D 、60 cm2
（ 3） 已知 x 、 y 为正数，且│ x2-4│ +（ y2-3）2=0，如果以 x 、 y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三
角形的斜边为边长的正方形的面积为（
）
A、5
B、 25
人教版数学八年级下册_名校课堂：期末复习(二)__勾股定理
期末复习（二） 勾股定理知识结构图重难点1 勾股定理的证明【例1】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中90DAB ︒∠=，求证：222a b c +=.证明：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-.21122ACD ABC ADCB S S Sb ab ∴=+=+四边形. 又211()22ADB DCB ADCB S S Sc a b a ∆∴=+=+-四边形， 222221111().2222b ab c a b a a b c ∴+=+-∴+=.请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中90DAB ∠=，求证：222a b c +=.【解答】勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积.变式训练1.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是,a b ，斜边长为c ）和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.（1）画出拼成图形的示意图（2）证明勾股定理.重难点2 勾股定理及其逆定理【例2】如图，每个小正方形的边长为1.（1）求四边形ABCD 的周长；（2）求证：90BCD ︒∠=.【思路点拨】（1）利用勾股定理求出四边形的各边长；（2）求出△BCD 的三边长，利用勾股定理的逆定理证明.【解答】正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是证明一个角等于90的一种思路.本题的第（2）问还可以通过两个三角形全等来证明.变式训练2.如图，在正方形ABCD 纸片上有一点,1,2,3P PA PD PC ===.现将△PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置（C 与A 重合，P 与G 重合，D 与D 重合）.求：（1）线段PG 的长；（2）APD ∠的度数.重难点3 勾股定理在实际生活中的应用【例3】如图，高速公路的同侧有,A B 两个村庄，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为11112km,4km,8km AA BB A B ===.现要在高速公路上11A B 之间设一个出口P ，使,A B 两个村庄到P 的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？ 思路点拨】运用“两点之间，线段最短”先确定出P 点在11A B 上的位置，再利用勾股定理求出AP BP +的长.【解答】方法指导解这类题关键在于运用几何知识正确找到适合条件的P 点的位置，会构造Rt △AB E '，勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范.变式训练3.如图，某地方政府决定在相距50km 的,A B 两站之间的公路旁E 点，修建一个土特产加工基地，且使,C D 两村到E 点的距离相等，已知DA AB ⊥于点,A CB AB ⊥于点,30km,20km B DA CB ==，那么基地E 应建在离A 站多少千米的地方？思想方法 方程思想【例4】如图，在Rt △ABC 中，90,3,4B AB BC ︒∠===，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，求EB '的长.【解答】方法指导方程思想常在勾股定理与折叠问题中出现，利用折叠的性质，得到边、角相等，进而把条件转化到一个直角三角形中，利用勾股定理构建方程求线段长度. 变式训练4.如图，在长方形ABCD 中，6,3BC CD ==，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C落在点C '处，BC '交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）A.3B.154C.5D.152复习自测一、选择题（每小题3分，共30分）1.在Rt △ABC 中，90,8,5C AB AC ︒∠===，则BC 的长是（ ）A.3B.C.7 2.小新将铁丝剪成九段，分成三个组：①2cm ，3cm4cm ；②3cm ，4cm ，5cm ；③9cm ，40cm ，41cm.分别以每组铁丝围成三角形，能构成直角三角形的有（ ）A.②B.①②C.①③D.②③3.下列各命题的逆命题成立的是（ ）A.全等三角形的对应角相等B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C.两直线平行，同位角相等D.如果两个角都是45，那么这两个角相等4.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）A. B. C. D.5.如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对6.如图，数轴上点,A B 分别对应1,2，过点B 作PQ AB ⊥，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以原点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 对应的数是（ ）B.7.如图，在△ABC 中，AD BC ⊥于点,17,15,6D AB BD DC ===，则AC 的长为（ ）A.11B.10C.9D.88.设,a b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab 的值是（ ）A.1.5B.2C.2.5D.39.如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点A 与点B 的距离是（ ）B.8C.9D.1010.如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当4,2AC BC ==时，则阴影部分的面积为（ ）A.4B.4πC.8πD.8二、填空题（每小题3分，共18分）11.2，那么这个三角形的最大角的度数为_____.12.小红同学先朝正东方向行进了4km ，再朝正北方向行进了8km ，此时小红离出发点的距离是____________.13.如图，在△ABC 中，5,12,13,AC BC AB CD ===是AB 边上的中线，则CD =__________.14.（2019·荆州）如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4cm,,,E F G 分别是1,,AB AA AD 的中点，截面EFG 将这个正方体切去个角后得到一个新的几何体（如图2），则图2中阴影部分的面积为__________2cm .15.如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是正方形，△ABF ，△BCG ，△CDH ，△DAE 是四个全等的直角三角形.若2EF =，8DE =，则AB 的长为______________.16.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），90,ACB AC BC ︒∠==，从三角板的刻度可知20cm AB =，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为_____________cm.三、解答题（共52分）17.（8分）如图，已知某山的高度AC 为800米，在山上A 处与山下B 处各建一个索道口，且1500BC =米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能达到山顶？18.（10分）在等边△ABC 中，点,D E 分别在边,BC AC 上，若2CD =，过点D 作//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，求EF 的长.19.（10分）一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中A ∠和DBC ∠都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示.（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？（2）求这个零件的面积.20.（12分）如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知8cm,10cm AB BC ==，求EC 的长.21.（12分）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60得到△DBE ，连接,,AD DC CE ，已知30DCB ︒∠=.①求证：△BCE 是等边三角形；②求证：222DC BC AC +=，即四边形ABCD 是勾股四边形.11 / 12参考答案【例1】证明：连接BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF b a =-， 2111222ACB ABE ADE ACBED S S S S ab b ab ∆∆∴=++=++五边形，又 2111()222ACB ABD BDE ACBED S S S S ab c a b a ∆∆∆=++=++-五边形， 22222111111().222222ab b ab ab c a b a a b c ∴++=++-∴+=. 【例2】（1）四边形ABCD的周长为（2）证明：连接BD ，22234,BC CD DB BC CD BD ===∴+=.∴△BCD 是直角三角形，即90BCD ︒∠=.【例3】出口P 到,A B 两村庄的距离之和最短是10km.【例4】EB '的长为1.5.变式训练1.解：（1）图略.（2）证明：22221()42c b a ab b a =-+⨯=+. 2.解：（1）PG =（2）135APD ∠=.3.解：基地E 应建在离A 站20km 的地方4.B复习自测1.B2.D3.C4.D5.A6.B7.B8.D 9.D 10.A11.9012. 13.6.514. 15.1017.解：大约34分钟后，欢欢才能达到山顶. 18.解：EF =19.解：（1）这个零件符合要求.2222223425,525AB AD BD +=+===，222,90AB AD BD A ︒∴+=∴∠=.又222222512169,13169BD BC DC +=+===，222.90BD BC DC DBC ∴∠+=∴=.（2）由（1）知90,90,A DBC ︒︒∠=∠=∴这个零件的面积为11345123622⨯⨯+⨯⨯=. 20.解：EC 的长为3cm.12 / 12 21.解：（1）正方形、矩形.（2）①证明：∵△ABC ≌△DBE ，.60BC BE CBE ︒∴=∠=，∴△BCE 是等边三角形.②证明：∵△ABC ≌△DBE ，AC ED ∴=.又∵△BCE 为等边三角形，,60.30,90BC CE BCE DCB DCE ︒︒︒∴=∠=∠=∴∠=.在Rt △DCE 中，222222,.DC CE DE DC BC AC +=∴+=∴四边形ABCD 是勾股四边形.。
人教版勾股定理(2)
SA+SB=SC
每块砖都是等腰直角三角形哦
7
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
8
我们可以发现：以等腰直 角三角形两直角边为边长的小 正方形面积之和，等于以斜边 为边长的大正方形的面积。
SA+SB=SC
等腰直角三角形的三边之间 有一种特殊的关系：斜边的平方 和等于两直角边的平方和。
需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现。
24
谢谢
25
a
b
a
a2 + b2 = c2
17
现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上， 经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以命题1在 我国叫做勾股定理。
勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜 边长为c，那么a2+b2=c2．
a
c
b
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
18
勾股世界
斜边长为c，那么a2+b2=c2.
c a
b
12
是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？ 光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。
这就需要我们对一般的直角三角形进行证明。 下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵 爽是怎样证明这个命题的。
13
赵爽拼图证明法：
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把
4
自古以来，人类就不断发出这样的疑问，特别是近年 来不断出现的UFO事件，更让人们相信有外星人的说法，如 果真的有，那我们怎么和他们交流呢？
我国著名数学家华罗庚在多年前曾提出这样的设想：向 太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类 所认识，如果他们是“文明人”，也必定认识这种图形。
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由勾股定理，得 AB′＝ AE2＋EB′2＝ 82＋62＝10， 即 AP＋BP＝AB′＝10． 故出口 P 到 A，B 两村庄的距离之和最短是 10 km．
解这类题关键在于运用几何知识正确找到适合条件的 P 点的位置， 会构造直角三角形，勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征， 转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．
＝21ab＋12c2＋12a(b－a)， ∴21ab＋12b2＋12ab＝21ab＋12c2＋12a(b－a)． ∴a2＋b2＝c2．
勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的 方式表示同一个图形的面积．
1．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别 是 a，b，斜边长为 c)和一个边长为 c 的正方形，请你将它们拼成一个 能证明勾股定理的图形．
解：根据已知，可得∠ACB＝90°． 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得 AB＝ AC2＋BC2＝ 8002＋1 5002＝1 700(米)． 1 700÷50＝34(分钟)． 答：大约 34 分钟后，欢欢才能到达山顶．
18．(10 分)如图，在等边△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上．若 CD＝2，过点 D 作 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延 长线于点 F，求 EF 的长．
请参照上述证法，利用图 2 完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图 2 所示摆放，其中∠DAB＝90°，求 证：a2＋b2＝c2．
【解答】 证明：连接 BD，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF＝ b－a，
∴S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE ＝21ab＋12b2＋12ab． 又∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE
15．如图 1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给 出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图 2，其中四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△ DAE 是四个全等的直角三角形．若 EF＝2，DE＝8，则 AB 的长为 10 ．
16．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙 之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知 AB＝20 cm，
【思路点拨】 运用“两点之间，线段最短”先确定出 P 点在 A1B1 上的位置，再利用勾股定理求出 AP＋BP 的长．
【解答】 作点 B 关于 MN 的对称点 B′，连接 AB′交 A1B1 于点 P， 则 AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知 P 点即为到 A，B 距离之和最短的 点．
过点 A 作 AE⊥BB′于点 E，则 AE＝A1B1＝8，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6．
∵C，D 两村到 E 点的距离相等， ∴DE＝CE．∴DE2＝CE2． ∴302＋x2＝202＋(50－x)2．解得 x＝20． ∴基地 E 应建在离 A 站 20 km 的地方．
思想方法 方程思想 【例 4】 如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， 将△ABC 折叠，使点 B 恰好落在边 AC 上，与点 B′重合，AE 为折痕， 求 EB′的长．
3．如图，某地方政府决定在相距 50 km 的 A，B 两站之间的公路 旁 E 点，修建一个土特产加工基地，且使 C，D 两村到 E 点的距离相 等，已知 DA⊥AB 于点 A，CB⊥AB 于点 B，DA＝30 km，CB＝20 km， 那么基地 E 应建在离 A 站多少千米的地方？
解：设基地 E 应建在离 A 站 x km 的地方，则 BE＝(50－x)km． 在 Rt△ADE 中，根据勾股定理，得 AD2＋AE2＝DE2，∴302＋x2 ＝DE2． 在 Rt△CBE 中，根据勾股定理，得 CB2＋BE2＝CE2，∴202＋(50 －x)2＝CE2．
20．(12 分)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于 一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
【解答】 根据折叠可得 BE＝EB′，AB′＝AB＝3， 设 BE＝EB′＝x，则 EC＝4－x． ∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC＝ AB2＋BC2＝5． ∴B′C＝5－3＝2． 在 Rt△B′EC 中，由勾股定理，得 x2＋22＝(4－x)2． 解得 x＝1．5，即 EB′的长为 1．5．
【解答】 (1)根据勾股定理可知 AB＝3 2，BC＝ 34，CD＝ 34， AD＝5 2，
∴四边形 ABCD 的周长为 8 2＋2 34．
(2)证明：连接 BD，∵BC＝ 34，CD＝ 34，BD＝ 68，∴BC2 ＋CD2＝BD2．
∴△BCD 是直角三角形，且∠BCD＝90°．
正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出．勾股 定理的逆定理是证明一个角等于 90°的一种思路．本题的第(2)问还可以 通过两个三角形全等来证明．
(1)画出拼成图形的示意图；
(2)证明勾股定理． 解：(1)如图． (2)证明：c2＝(b－a)2＋4×12ab＝b2＋a2．
重难点 2 勾股定理及其逆定理 【例 2】 如图，每个小正方形的边长均为 1． (1)求四边形 ABCD 的周长； (2)求证：∠BCD＝90°．
【思路点拨】 (1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出△ BCD 的三边长，利用勾股定理的逆定理证明．
解：由题意，得 AF＝AD＝10 cm，在 Rt△ABF 中，根据勾股定 理，有 AB2＋BF2＝AF2，
∴BF＝ AF2－AB2＝ 102－82＝ 36＝6(cm)． ∴CF＝10－6＝4(cm)． 设 EC＝x cm，则 DE＝EF＝(8－x)cm， 在 Rt△CEF 中，根据勾股定理，得 CE2＋CF2＝EF2，即 x2＋42＝(8－x)2，解得 x＝3． ∴EC 的长为 3 cm．
数学 期末复习(二) 勾股定理
01 知识结构图
02 重难点突破
重难点 1 勾股定理的证明 【例 1】 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同， 其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角 三角形如图 1 或图 2 摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪 利用图 1 证明勾股定理的过程：
方程思想常在勾股定理与折叠问题中出现，利用折叠的性质，得 到边、角相等，进而把条件转化到一个直角三角形中，利用勾股定理 构建方程求线段长度．
4．如图，在矩形 ABCD 中，BC＝6，CD＝3，将△BCD 沿对角
线 BD 翻折，点 C 落在点 C′处，BC′交 AD 于点 E，则线段 DE 的长为
5．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为 1，则△ABC
是( A )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不对
6．如图，数轴上点 A，B 分别对应 1，2，过点 B 作 PQ⊥AB，以
点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 PQ 于点 C，以原点 O 为圆心，
OC 长为半径画弧，交数轴于点 M，则点 M 对应的数是(B )
A．S1＋S3＝2S2 B．S1＋S3＝4S2 C．S1＝S3＝S2 D．S2＝13(S1＋S3)
二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．如果三角形的三边分别为 2， 6，2，那么这个三角形的最大 角的度数为 90° ． 12．小红同学先朝正东方向行进了 4 km，再朝正北方向行进了 8 km，此时小红离出发点的距离是 4 5 km ．
13．如图，在△ABC 中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CD 是 AB 边上的中线，则 CD＝ 5 ．
14．(2019·荆州)如图 1，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4 cm，E，F，G 分别是 AB，AA1，AD 的中点，截面 EFG 将这个正方 体切去一个角后得到一个新的几何体(如图 2)，则图 2 中阴影部分的面 积为 2 3 cm2．
A． 3
B． 5
C． 6
D． 7
7．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝17，BD＝15，DC ＝6，则 AC 的长为(B )
A．11 B．10 C．9 D．8
8．设 a，b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为 6，
斜边长为 2．5，则 ab 的值是( D )
A．1．5
B．2
(2)∵AG＝3，AP＝1，PG＝2 2，(2 2)2＋12＝32， ∴△APG 为直角三角形，∠APG＝90°． 又∵∠GPD＝45°， ∴∠APD＝135°．
重难点 3 勾股定理在实际生活中的应用 【例 3】 如图，高速公路的同侧有 A，B 两个村庄，它们到高速 公路所在直线 MN 的距离分别为 AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km．现要在高速公路上 A1B1 之间设一个出口 P，使 A，B 两个村庄到 P 的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？
A．3
(B )
B．145
C．5
D．125
03 复习自测
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分)
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝5，则 BC 的长是(B )
A．3
B． 39
C．7
D． 89
2．小新将铁丝剪成九段，分成三个组：①2 cm，3 cm，4 cm；②
3 cm，4 cm，5 cm；③9 cm，40 cm，41 cm．分别以每组铁丝围成三
10
小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)为 13 26 cm．
三、解答题(共 42 分) 17．(10 分)如图，已知某山的高度 AC 为 800 米，在山上 A 处与 山下 B 处各建一个索道口，且 BC＝1 500 米，欢欢从山下索道口坐缆 车到山顶，已知缆车每分钟走 50 米，那么大约多少分钟后，欢欢才能 到达山顶？