层次分析法(AHP)法建模

层次分析法建模层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。

吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。

传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。

基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法（2）AHP建模方法基本步骤（3）AHP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。

参考书：1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社一、问题举例：A．大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。

就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉-Reputation）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。

问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？工作选择贡献收入发展声誉工作环境生活环境可供选择的单位P1’P2 ‘----- P nＢ.假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。

例如：1P ：苏州杭州，2P 北戴河，3P 桂林，到底到哪个地方去旅游最好？要作出决策和选择。

为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。

目标层准则层方案层C ．资源开发的综合判断7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。

二、问题分析：例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行： （S1）将决策解分解为三个层次，即：目标层：（选择旅游地） 准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则）方案层：（有1P ，2P ，3P 三个选择地点）并用直线连接各层次。

（S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。

这些权限重在人的思维过程中常是定性的。

例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。

而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。

（S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。

（S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。

以上步骤和方法即是AHP 的决策分析方法。

三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy 等人提出：一致矩阵法．．．．． 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。

因素比较方法 —— 成对比较矩阵法：目的是，要比较某一层n 个因素n C C C , ,,21 对上一层因素O 的影响（例如：旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。

採用的方法是：每次取两个因素i C 和j C 比较其对目标因素O 的影响，并用ij a 表示，全部比较的结果用成对比较矩阵表示，即：)1( 1,0 ,)(=⋅=>=ij ij ijji ij nxn ij a a a a a a A 或 （1） 由于上述成对比较矩阵有特点： jiij ij ij a a a a A 1 ,0 , )(=>= 故可称A 为正互反矩阵：显然，由 jiij a a 1=，即：1=⋅ji ij a a ，故有：1=ji a 例如：在旅游决策问题中：2112=a =（费用）（景色）21C C 表示：⎩⎨⎧2O 1O 21的重要性为（费用）对目标的重要性为景色）对目标（C C故：），费用重要性为即景色重要性为21(2112=a14413==a = （居住条件）（景色）31C C 表示：⎩⎨⎧1O C 4O (31的重要性为（居住条件）对目标的重要性为景色）对目标C即：景色为4，居住为1。

17723==a =（居住条件）（费用）32C C 表示：⎩⎨⎧1O C 7O (32的重要性为（居住条件）对目标的重要性为费用）对目标C即：费用重要性为7，居住重要性为1。

因此有成对比较矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1135131112513131211714155337412121A ？？问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题： ① 即存在有各元素的不一致性，例如：既然：41114a ;22113313113212112==⇒===⇒==a a C C a C C a 所以应该有：188412131231213223======C C C C a a C C a而不应为矩阵A 中的1723=a②成对比较矩阵比较的次数要求太 ，因：n 个元素比较次数为：!2)1(2-=n n C n 次， 因此，问题是：如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素n C C , ,1 对上层因素O 的权重？对此Saoty 提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素n C C , ,1 对因素（上层因素）O 的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。

为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性四：一致性矩阵Def ：设有正互反成对比较矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=============== 1 a , , 1 , , 1 1nn 221122222212211121121111n n n n n n j iij n n nn W W W W a W W a W W a W W a W W a W W a W W a W W a W W a A(4) 除满足：（i ）正互反性：即)1 ( 10=⋅=>ji ij jiij ij a a a a a 或而且还满足：（ii ）一致性：即n 2, 1,j i, ==⋅==ha ha a k a a a a j i kj i j i ij 则称满足上述条件的正互反对称矩阵A 为一致性矩阵，简称一致阵。

一致性矩阵（一致阵）性质：性质1：A 的秩 Rank(A)=1A 的唯一非0的特征根为n性质2：A 的任一列（行）向量都是对应特征根n 的特征向量：即有(特征向量、特征值)：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n W W W W W W W W W W WW W W W W W W A212221212111，则向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321W W W W 满足：W n nW nW nW W W W W W W W W W W W W W W W W A n n n nn n n=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212112111即： 0)(=-nI A启发与思考：既然一致矩阵有以上性质，即n 个元素W 1, W 2, W 3 , …W n 构成的向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n W W W W21 是一致矩阵A 的特征向量，则可以把向量W 归一化后的向量ω，看成是诸元素W 1, W 2,W 3 , …W n目标的权向量，因此，可以用求A 的特征根和特征向量的办法，求出元素W 1, W 2, W 3 , …W n 相对于目标O 的劝向量。

解释：一致矩阵即：n 件物体n M M M , , ,21 ，它们重量分别为n W W W , , ,21 ，将他们两两比较重量，其比值构成一致矩阵，若用重量向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n W W W W21右乘A ，则 ：()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∑⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛称特征根法，求权向量的方法量权向量，此种用特征向为即对上层因素O的权重，，C ，，C C ，就表示诸因素＝W＝则归一化后的特征向量，＝：重量向量　为特征根的特征向量为以的特征根为n 21 1W W W W ,121 i n W W W n n A 分析：若重量向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n W W W W 21未知时，则可由决策者对物体n M M M , , ,21 之间两两相比关系，主观作出比值的判断，或用Delphi （调查法）来确定这些比值，使A 矩阵（不一定有一致性）为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵A ，并且此A （不一致）在不一致的容许范围内，再依据：A 的特征根或和特征向量W 连续地依赖于矩阵的元素ij a ，即当ij a 离一致性的要求不太远时，A 的特征根i 和特征值（向量）W 与一致矩阵A 的特征根λ和特征向量W 也相差不大的道理：由特征向量W 求权向量W 的方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。

问题：Remark以上讨论的用求特征根来求权向量W 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质1是说：一致阵的最大特征根为n （即必要条件），但用特征根来求特征向量时，应回答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩阵A 的最大特征根n =max λ时，A 是否为一致阵？2． 用主观判断矩阵A 的特征根λ和特征向量W 连续逼近一致阵A 的特征根λ和特征向量W时，即： 由λλ=→k kk lim得到：W W k k =∞→lim即： A A k k =∞→lim是否在理论上有依据。

3．一般情况下，主观判断矩阵A 在逼近于一致阵A 的过程中，用与A 接近的*A 来代替A ，即有A A ≈*，这种近似的替代一致性矩阵A 的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致性检验问题，即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要 两两比较构造主观判断矩阵。