圆锥曲线三种弦长问题

圆锥曲线三种弦长问题的探究

一、一般弦长计算问题：

例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y

l a b

-=被椭圆C 截得的弦长为

且3

e =

，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.

思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.

解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为22

8a b +=，………①

又e =，即2223

c a =，所以22

3a b =………………………….②

联立①②得2

2

6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22

162

x y +=.

⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2

51860x x -+= 由韦达定理知，1212186

,55

x x x x +==

从而125

x x -=

=

，

由弦长公式，得12AB x =-==，

即弦AB 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数2

2

,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。 二、中点弦长问题：

例2、过点()4,1P 作抛物线2

8y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦

AB 的长度。

思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦

的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，

则有22

11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-

又12128,2x x y y +=+= 则21

21

4y y k x x -=

=-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=.

解法2：设AB 所在的直线方程为()41y k x =-+

由()2418y k x y x

⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，整理得2

83280ky y k --+=.

设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128

y y k

+=， 又∵P 是AB 的中点，∴

1212y y +=，∴8

24k k

=⇒= 所以所求直线AB 的方程为4150x y --=.

由241508x y y x

--=⎧⎨=⎩ 整理得，2

2300y y --=，则12122,30y y y y +==-

有弦长公式得，

122

AB y =-=. 点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是

利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵） 另解：⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l

的方程为： )2y x =-，

代入椭圆

C 的方程)

22216

2y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简得，2

51860x x -+=

由韦达定理知，1212186,55

x x x x +=

= 由2l 过右焦点，有焦半径公式的弦长为(

)122AB a e x x =-+=

即弦

AB 点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点

弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.