线性代数 向量组的线性相关性
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定理4若向量组 线性相关,而向量组 线性无关,则向量 可由 线性表示且表示法唯一.
定理5设有两向量组
向量组B能由向量组A线性表示,若 ,则向量组B线性相关.
推论5向量组B能由向量组A线性表示,若向量组B线性无关,则
推论6设向量组A与B可以相互线性表示,若A与B都是线性无关的,则
例题选讲
例1设有3个向量(列向量):
第三节 向量组的线性相关性
分布图示
★线性相关与线性无关★例1★例2
★证明线性无关的一种方法
线性相关性的判定
★定理1★定理2
★例3★例4★例5★例6
★定理3★定理4
★定理5★例7
★内容小结★课堂练习
★习题3-3
内容要点
一、线性相关性概念
定义1给定向量组 如果存在不全为零的数 使
(1)
则称向量组 线性相关,否则称为线性无关.
例4(E02)已知 ,试讨论向量组 及 的线性相关性.
解对矩阵 施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵 及 的秩，利用定理2即可得出结论.
易见， 故向量组 线性相关.向量组 线性无关.
例5判断下列向量组是否线性相关:
解对矩阵 施以初等行变换化为阶梯形矩阵:
秩 所以向量组 线性相关.
例6证明：若向量组 线性无关,则向量组 亦线性无关.
证设有一组数 使
（1）
成立，整理得
由 线性无关，故
（2）
因为 故方程组（2）仅有零解.即只有 时（1）式才成立.
因而向量组 线性无关.
例7(E03)设向量组 线性相关,向量组 线性无关,证明
(1) 能由 线性表示;
(2) 不能由 线性表示.
证明（1）因 线性无关，故 线性无关，而 线性相关，从而 能由 线性表示；
推论2 个 维列向量组 线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵 的行列式不等于（等于）零.
注:上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.
推论3当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,此向量组必线性相关.
定理3如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.
推论4线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.
（2）用反证法.假设 能由 线性表示，而由（1）知 能由 线性表示，因此 能由 表示，这与 线性无关矛盾.证毕.
课堂练习
1.试证明:
(1)一个向量 线性相关的充要条件是 ;
(2)一个向量 线性无关的充分条件是 ;
(3)两个向量 线性相关的充要条件是 或者 （两式不一定同时成立）。
2.判断向量组
是否线性相关.
3.判断向量组
是否线性相关.
⑤两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线,三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.
二、线性相关性的判定
定理1向量组 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.
定理2设有列向量组 则向量组 线性相关的充要条件是:是矩阵 的秩小于向量的个数 .
推论1 个 维列向量组 线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵 的秩等于（小于）向量的个数 .
不难验证 因此 是3个线性相关的3维向量.
例2设有二个2维向量: 如果他们线性相关,那么存在不全为零的数 使
也就是
即
于是 这同 不全为零的假定是矛盾的.因此 , 是线性无关的二个向量.
例Biblioteka Baidu(E01) 维向量组
称为 维单位坐标向量组,讨论其线性相关性.
解 维单位坐标向量组构成的矩阵
是 阶单位矩阵.
由 知 即 等于向量组中向量的个数,故由推论2知此向量是线性无关的.
注:①当且仅当 时，(1)式成立,向量组 线性无关;
②包含零向量的任何向量组是线性相关的;
③向量组只含有一个向量 时，则
（1） 的充分必要条件是 是线性无关的；
（2） 的充分必要条件是 是线性相关的；
④仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例.
定理5设有两向量组
向量组B能由向量组A线性表示,若 ,则向量组B线性相关.
推论5向量组B能由向量组A线性表示,若向量组B线性无关,则
推论6设向量组A与B可以相互线性表示,若A与B都是线性无关的,则
例题选讲
例1设有3个向量(列向量):
第三节 向量组的线性相关性
分布图示
★线性相关与线性无关★例1★例2
★证明线性无关的一种方法
线性相关性的判定
★定理1★定理2
★例3★例4★例5★例6
★定理3★定理4
★定理5★例7
★内容小结★课堂练习
★习题3-3
内容要点
一、线性相关性概念
定义1给定向量组 如果存在不全为零的数 使
(1)
则称向量组 线性相关,否则称为线性无关.
例4(E02)已知 ,试讨论向量组 及 的线性相关性.
解对矩阵 施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵 及 的秩，利用定理2即可得出结论.
易见， 故向量组 线性相关.向量组 线性无关.
例5判断下列向量组是否线性相关:
解对矩阵 施以初等行变换化为阶梯形矩阵:
秩 所以向量组 线性相关.
例6证明：若向量组 线性无关,则向量组 亦线性无关.
证设有一组数 使
（1）
成立，整理得
由 线性无关，故
（2）
因为 故方程组（2）仅有零解.即只有 时（1）式才成立.
因而向量组 线性无关.
例7(E03)设向量组 线性相关,向量组 线性无关,证明
(1) 能由 线性表示;
(2) 不能由 线性表示.
证明（1）因 线性无关，故 线性无关，而 线性相关，从而 能由 线性表示；
推论2 个 维列向量组 线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵 的行列式不等于（等于）零.
注:上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.
推论3当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,此向量组必线性相关.
定理3如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.
推论4线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.
（2）用反证法.假设 能由 线性表示，而由（1）知 能由 线性表示，因此 能由 表示，这与 线性无关矛盾.证毕.
课堂练习
1.试证明:
(1)一个向量 线性相关的充要条件是 ;
(2)一个向量 线性无关的充分条件是 ;
(3)两个向量 线性相关的充要条件是 或者 （两式不一定同时成立）。
2.判断向量组
是否线性相关.
3.判断向量组
是否线性相关.
⑤两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线,三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.
二、线性相关性的判定
定理1向量组 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.
定理2设有列向量组 则向量组 线性相关的充要条件是:是矩阵 的秩小于向量的个数 .
推论1 个 维列向量组 线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵 的秩等于（小于）向量的个数 .
不难验证 因此 是3个线性相关的3维向量.
例2设有二个2维向量: 如果他们线性相关,那么存在不全为零的数 使
也就是
即
于是 这同 不全为零的假定是矛盾的.因此 , 是线性无关的二个向量.
例Biblioteka Baidu(E01) 维向量组
称为 维单位坐标向量组,讨论其线性相关性.
解 维单位坐标向量组构成的矩阵
是 阶单位矩阵.
由 知 即 等于向量组中向量的个数,故由推论2知此向量是线性无关的.
注:①当且仅当 时，(1)式成立,向量组 线性无关;
②包含零向量的任何向量组是线性相关的;
③向量组只含有一个向量 时，则
（1） 的充分必要条件是 是线性无关的；
（2） 的充分必要条件是 是线性相关的；
④仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例.