常见曲线曲面方程与图形
常用的二次曲面方程及其图形
这些交线都是椭圆。
3） 再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4） 如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2） 当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4） 当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义 图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
第七节常见曲面的方程及图形
第七节常见曲⾯的⽅程及图形第七节常见曲⾯的⽅程及图形Equation and Graph of Surface教学⽬的: 了解常见的空间曲线的标准⽅程并知道它们的图像.课题: 曲⾯及其⽅程;常见的曲⾯⽅程及其图形.教学重点: 空间曲⾯的图形及其⽅程教学难点: 常见空间曲线的图形及⽅程教学⽅法: 精讲常见曲⾯的⽅程及图形教学内容:⼀、曲⾯及其⽅程空间任⼀曲⾯都可以看作点的集合.在空间直⾓坐标系中,如果曲⾯S 上的任⼀点(,,)M x y z 的坐标满⾜三元⽅程(,,)0F x y z =,不在曲⾯上的点的坐标都不满⾜该⽅程,那么就称该⽅程是曲⾯S 的⽅程,⽽曲⾯S 是该⽅程的图形或轨迹.【例1】⼀平⾯垂直平分两点(1,2,3)A 和(2,1,4)B -间的线段,求该平⾯的⽅程.解显然所求平⾯是与A 及B 等距离的点的轨迹.在平⾯上任取⼀点(,,)M x y z ,则有MA MB =,⽽MA MB ==两边平⽅,化简,即得所求平⾯的⽅程 26270x y z -+-=⼆、常见的曲⾯⽅程及其图形1.球⾯⽅程空间动点到⼀定点的距离等于常数,此动点的轨迹即为球⾯.定点叫做球⼼,常数叫做球的半径.设球⼼在点(,,)C a b c ,半径为r ,在球⾯上任取⼀点(,,)M x y z ,有MC r =,即r =两边平⽅得2222()()()x a y b z c r -+-+-= (1)此⽅程即为所求的球⾯⽅程.当(1)式中0a b c ===,即球⼼在原点,半径为r 时,(1)式可化为2222x y z r ++=【例2】下列⽅程表⽰什么曲⾯?(1)2222440x y z x y ++---=(2)2222450x y z x y ++--+= (3)2222460x y z x y ++--+=解将⽅程左端配⽅(1) 222(1)(2)9x y z -+-+=,表⽰以点(1,2,0)C 为球⼼,半径3r =的球⾯;(2) 222(1)(2)0x y z -+-+=,由于此⽅程只有唯⼀的⼀组解:1,2,0x y z ===,即它表⽰⼀点(1,2,0);(3) 222(1)(2)1x y z -+-+=-,这时,空间任⼀点坐标都不满⾜⽅程,即没有⼏何图像,称之为虚球⾯.2.母线平⾏于坐标轴的柱⾯⽅程设⽅程中不含某⼀坐标,如不含竖坐标z ,即(,)0F x y = (2)它在xOy 坐标⾯上的图形是⼀条曲线L ,由于⽅程中不含z ,故在空间中⼀切与L 上的点(,,0)P x y 有相同纵坐标的点(,,)M x y z 均满⾜⽅程,也就是说,经过L 上的任⼀点P ⽽平⾏于z 轴的直线上的⼀切点的坐标均满⾜⽅程.反之,如果''''(,,)M x y z 与曲线L 上的任何点不具有相同的横、纵坐标,则点'M 的坐标必不满⾜⽅程(2).满⾜⽅程(2)的点的全体构成⼀曲⾯,它是由平⾏与z 轴的直线沿xOy 平⾯上的曲线L 移动⽽形成的,这种曲⾯叫做柱⾯.曲⾯L 叫做准线,形成柱⾯的直线叫做柱⾯的母线.因此⽅程(2)在空间的图像是母线平⾏于z 轴的柱⾯.同样地,⽅程(,)0F y z =的图像是母线平⾏于x 轴的柱⾯;⽅程(,)0F x z =的图像是母线平⾏于y 轴的柱⾯.(1) ⽅程 22221x y a b+= (3) 表⽰柱⾯,它的准线为xOy ⾯上的椭圆,母线平⾏于z 轴,称之为椭圆抛物⾯.在⽅程(3)中,当a b r ==,即222x y r +=时,它表⽰圆柱⾯.(2) ⽅程22221x y a b-=表⽰准线为xOy ⾯上的双曲线,母线平⾏于z 轴的柱⾯,称之为双曲圆柱⾯.(3) ⽅程22y Px =表⽰准线为xOy ⾯上的抛物线,母线平⾏于z 轴的柱⾯,称之为抛物柱⾯.3.旋转曲⾯旋转曲⾯是由⼀条平⾯曲线绕其平⾯上的⼀条直线旋转⼀周⽽成的.这条直线叫做该旋转曲⾯的旋转轴,这条平⾯曲线叫做旋转曲⾯的母线.设在yOz 平⾯上的曲线C 的⽅程为(,)0F y z =,把曲线C 绕z 轴旋转⼀周,就得到⼀个以z 轴为轴的旋转曲⾯.它的⽅程可以这样求得:设1111(,,)M x y z 为曲线C 上任⼀点,则有11(,)0F y z =,当曲线C 旋转时,点1M 转到点(,,)M x y z ,这时1z z =,点M 和1M 到z 轴的距离相等,即1y =把11,z z y ==代⼊11(,)0F y z =得()0F z =这就是所求的旋转曲⾯的⽅程.同理,xOy 平⾯上的曲线(,)0F x y =绕y 轴旋转⼀周,所得旋转曲⾯⽅程为()0F y =xOz 平⾯上的曲线(,)0F x z =绕x 轴旋转⼀周,所得旋转曲⾯⽅程为(,0F x =⽅程22z x y =+是yOz 平⾯上的抛物线2z y =绕z 轴旋转⼀周⽽成的旋转曲⾯,称为旋转抛物⾯.4.常见的⼆次曲⾯及其⽅程(1) 椭球⾯⽅程2222221x y z a b c ++=所表⽰的曲⾯叫做椭球⾯.(2) 单叶双曲⾯⽅程2222221x y z a b c +-=所表⽰的曲⾯叫做单叶双曲⾯.(3) 双叶双曲⾯⽅程2222221x y z a b c-+=-所表⽰的曲⾯叫做双叶双曲⾯.特别的,2220x y z -+=所表⽰的曲⾯叫做圆锥⾯.(4) 抛物⾯(a) 椭圆抛物⾯⽅程22(,0)22x y z p q p q =+>所表⽰的曲⾯叫做椭圆抛物⾯.(b) 双曲抛物⾯⽅程22(,0)22x y z p q p q=-+>所表⽰的曲⾯叫做双曲抛物⾯,也叫马鞍⾯.课堂练习:1. 指出下列各⽅程表⽰什么曲⾯.(1)2221x y z ++=(2)21x = (3)22z x y =+ (4)222231x y z ++=⼩结:学习了常见曲⾯的⽅程及其图形,包括球⾯、柱⾯、旋转曲⾯、⼆次曲⾯等.要求了解常见空间曲线的标准⽅程并指导它们的图像。
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
常见曲面方程总结(一)
常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。
本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。
正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。
它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。
•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。
二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。
•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。
三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。
•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。
•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。
四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。
•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。
第三节 曲面及其方程学习资料
M (x,y,z)的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,
沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点
的坐标都满足此方程
19
此曲面称为圆柱面.
z
M•
在空间, x2y2R2就是圆柱面方程.
•
C
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线, x
OM1
• •
• •
y
•
母线平行于z轴的柱面.
L
20
z
第三节 曲面及其方程
z
一、曲面方程的概念
F(x, y,z) 0
S
曲面方程的定义
O
y
如果曲面S与三元方程 F (x ,y ,z) x0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
那么, 方 F (x 程 ,y ,z ) 0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
13
圆锥面方程 zx2y2cot
即 z 2 a 2 (x 2 y 2 )( a co ) t
a1时, cot1
4
即 圆锥面方程 z2x2y2
(用得较多)
14
yOz面上直线方程为 yzcot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
y x2z2cot
即 y 2 c2 o (x 2 t z2 )
绕 y轴 旋 转 ay22x2c2z21
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转 x2a2y2cz22 1
球 面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
17
三、柱面 (cylindrical surface )
曲面方程ppt课件
例如 :
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三、旋转面
定义3. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转面. 该定直线称为旋转 轴，曲线成为旋转面的母线
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 . 解:在 xoy 面上，
表示圆C,
在圆C上任取一点
过此点作
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z ,
的坐标也满足方程
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
表示圆柱面
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定义2. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
方 程 H ( z, x) 0 表 示 柱面,
母线 平行于 y 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C:
若点
则有
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 则有
故旋转曲面方程为
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1. 椭球面
曲面和曲线
5.2 曲线分析
1）曲线上的活动坐标架
设曲线为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]，则：
切矢量：P’(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。 法矢量：
过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。 主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢 称为主法矢，记为N。 副法矢（记为B）B=T×N
左旋右旋螺旋线示例
当导圆柱轴线直立时，右旋螺旋线的可 见部分自左向右升高（图a）；左旋螺旋线 则自右向左升高（图b）。
5.4 曲线的插值、逼近与拟合
插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造 一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数 据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的 数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造 的曲线称为逼近曲线。 拟合：插值与逼近统称为拟合。
4）Bezier曲线的递推算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但 使用de Casteljau（德 卡斯特里奥）提出的递推算法 则要简单得多，递推公式：
上式中：Pi0=Pi是定义Bezier曲线的控制点，P0n即 为曲线P(t)上具有参数t的点，(i+k)=n 。 几何递推：给定参数t∈[0,1]，就把定义域分成长 度为t:(1-t)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行 同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间 顶点Pi1(i=0,1,...,n-1)，对这些中间顶点构成的控制多边 形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点 Pi2(i=0,1,...,n-2)。重复进行下去，直到n级递推得到一 个中间顶点P0n即为所求曲线上的点P(t)。
2）Betnstein基函数的性质 ：
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
常见曲线曲面方程与图形
旋转双叶双曲面：
x2 a2
y2 z2 c2
1
x
z Oy
旋转单叶双曲面：
x2 y2 a2
z2 c2
1
z
xO y
结束
抛物柱面： •
z
O
x
y
椭圆柱面：
z
•
x2 a2
y2 b2
1
O
y
x
结束
圆柱面：
x2 y2 R2
z
O
y x
结束
椭球面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
在该点的切线斜率为±1
B
O
Ax
• 顶 点:
• 双纽面积:
结束
三叶玫瑰线
aLeabharlann OxaOx
结束
圆锥面:
z2 x2 y2
z
O
y
x
椭圆锥面:
x2 y2 z2 a2 b2
z
O
y
x
结束
单叶双曲面:
x2 y2 z2
a2
b2
c2
1
z
xO y
双叶双曲面: x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
Oy x
即 r a(1 cos )
y
O
a
• 尖点: (0, 0)
x
• 面积:
3 2
π
a
2
• 弧长: 8a
结束
阿基米德螺线 r a
a0
a0
• 物理意义: 动点 M 以常速 v 沿一射线运动, 该射线又
以定速 绕极点转动时, 点M 的轨迹即为
阿基米德螺线
几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
空间中的曲面和曲线及二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例3. z = xy. 0 1/2 0 解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 0 0 0
x y , z
1 2 1 2 0 先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 , 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 , 0 0 0 0 0 0
x = acost y = asint z = vt z
(tR
aO x
y
O x
a y
15
a
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
2. 维维安尼曲线 x = a (1+cost) 2 x 2 + y 2 + z2 = a 2 y = a sint (xa/2)2 + y2 = a2/4 2 t z = asin 2
第六章
§6.2
二次型与二次曲面
空间中的曲面和曲线
§6.3
二次曲面
2011. 12. 22
1
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
§6.2 空间中的曲面和曲线 曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)
b
y
x 2 z2 y = 0, 2 + 2 = 1 a c x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 1 a b
当a, b, c中有两个相等时——旋转面 当a = b = c = R时——半径为R的球面
23
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
空间解析几何常见的曲面
O x
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b 时
截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
②当 h b 时
x
截线为双曲线
z
o
y
用平行于坐标面的平面截割
3 图形的范围
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
由方程 x2 y2 1 知，即曲面存在于椭圆柱面
a2 b2
x2 a2
y2 b2
1
之外，从而曲面与z轴无交点，
并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.
o
y
x
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
x2
a
2
y2 b2
4.主截线：
平行截割用法坐：标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察
其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面 的全貌。
截口是曲面与平面的交线
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与三个坐标面的交线
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与三个坐标面的交线
x2
xOy面
:
a
2
y2 b2
1
z 0
x2
xOz面
:
a2
z2 c2
1
y 0
曲面及其方程 柱面、锥面、旋转曲面
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二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
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考察方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
(不含z)
z
0 2
过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为 v {a cos , b sin , c }
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过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：
x0 y0 z0 t a cos b sin c
即
x (a cos )t y (b sin )t z ct
y
x G ( y , z ) 0 准线 是 yoz 面上的曲线 z x 0 方程 H ( z , x ) 0 表示 柱面， l3 母线 平行于 y 轴; H ( z, x) 0 x 准线是 xoz 面上的曲线 y 0
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y
椭圆柱面
第六节
第七章
曲面及其方程
一、基本概念 二、柱面、锥面、旋转曲面 三、二次曲面
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一、基本内容
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的 方程，而曲面 S 就叫做方程的图形.
第三节 曲面空间曲线的方程
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？ 例4 方程
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
2 2 2
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2 特殊地：球心在原点时方程为 x y z R
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
例 3 已知 A(1,2,3) ，B( 2,1,4) ，求线段AB 的 垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
f y,
x 2 z 2 0.
例 5 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴， 半顶角为 的圆锥面方程． z
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
以下给出几例常见的曲面.
R 例 1 建立球心在点M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 的球面方程.
几种常见的曲面及其方程(精)
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
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结束
伯努利双纽线
或 • 结点(同拐点) : 在该点的切线斜率为±1 •顶 点:
B
y O
A x
• 双纽面积:
结束
三叶玫瑰线
a
O
a x
O
x
结束
圆锥面:
椭圆锥面:
2 2
z x y
2
z
x y 2 2 z 2 a b
z
2
2
O
y
O
x
x
y
结束
单叶双曲面:
双叶双曲面:
x y z 2 2 1 2 a b c
结束
心形线的另一种形式
x2 y2 a x a x2 y2
即 r a(1 cos )
y
O
a
• 尖点: (0, 0)
x
• 面积:
2 3 πa 2
• 弧长: 8a
结束
阿基米德螺线
r a
a0
a0
• 物理意义: 动点 M 以常速 v 沿一射线运动, 该射线又 以定速 绕极点转动时, 点M 的轨迹即为 阿基米德螺线 v r
定点 M 的轨迹即为摆线 .
• 一拱长:
• 一拱面积: S 3 π a 2
结束
心形线
y
x y ax a x y 或 r a(1 cos )
2
2
2
2
O
x
• 轨迹: 外摆线的一种
动圆直径 = 定圆直径 = a • 尖点: (0, 0) • 面积:
2 3 π a 2
• 弧长: 8a
三次抛物线
y
半立方抛物线
y
O
x
O
x
• 拐点: (0, 0) • 关于原点对称
• 尖点: (0, 0) • 在尖点处与 x 轴相切 • 关于 x 轴对称
结束
x a( sin ) y a(1 cos )摆线
y
• 轨迹:
M
O
a
x
8a
半径为 a 的圆周沿直线 无滑动地滚动时 , 其上
y
x
结束
圆柱面：
z
2 2
x y R
2
O
y
x
结束
椭球面：
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
O
结束
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
z
R
R 2
x
O
y
结束
结束
两个曲面的交线：
z 1 x2 y2 1 2 1 2 2 ( x ) y ( ) 2 2
结束
所围立体：
也说
和
所围立体.
结束
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
z
h
x
O
y
结束
两个球
( R > 0 )的公共部分.
2
2
2
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
z
z
O
xOyy源自x结束旋转双叶双曲面：
z
x2 y2 z 2 1 2 2 a c
x
O
y
旋转单叶双曲面：
z
x2 y2 z 2 2 1 2 a c
x
O
y
结束
z
抛物柱面：
O
x
椭圆柱面：
y
z
O
x2 a
2
y2 b
2
1