最优化方法第四章B-孙文瑜
最优化方法第四章(2)
1. 算法的构成 内部罚函数法的初始点必须是容许点，迭代点在容许 集的内部移动。基本想法是，对越接近容许集边界的（容 许）点施加越大的惩罚，对边界上的点干脆施加无穷大的 惩罚。这好比在容许集的边界上筑就了一道高墙，阻碍迭 代点穿越边界，把迭代点封闭在容许集内。根据这个想法， 内部罚函数法就仅适用于具有不等式约束的问题，
1. 算法的构成 首先讨论一个例子。求解
min x x ;
2 1 2 2
如图所示。此问题的容许集 D 是直线 x1 x2 2 。用 * T 图解法或Lagrange乘子法不难求出它的极小点是 x [1,1] 根据前面提出的惩罚策略，即 对容许点不予“惩罚”，而对非容 许点则给予正无穷大的“惩罚”， 设法将约束问题（4.68）转化为无约 束问题。 x2 x2 , x x 2 0
证 必要性是显然的。因为极小点是容许点。 充分性 设 x D ，这里的 D 是约束问题（4.67）
f ( x ) F ( x , ) [因 ( x ) 0] F ( x , ) [因x 是F的极小点] f ( x ). [因 ( x ) 0] 所以 x 也是约束问题（4.67）的极小点。 该定理说明,若由无约束问题(4.79)解出的极小点 x 属于（4.67）的容许集 D，则它就是约束问题（4.67）的 极小点。这时只需求解一次无约束问题。但实际上，这种 有利的情况很少发生，即 x 一般不属于 D。而若 x D ， 则 x就一定不是约束问题（4.67）的极小点。这时，应该 增大 ，再重新求解无约束问题（4.79），新的极小点 将 向容许集进一步靠近，即向（4.67）的极小点进一步靠近。 把 在实际的算法中， 取为一个趋于正无穷大的正数 序列 k ，并对 k 0,1, 2, 依次求解无约束问题
最优化方法课
The course considers to solve nonlinear unconstrained and constrained optimization problems. Because of the wide use of optimization in science, engineering, economics, and industry, it is essential for students to develop an understanding of optimization algorithms.
五、非线性最小二乘问题
解决小剩余问题与大剩余问题的基本方法, 其中包括GN方法、LM方法等.
六、约束优化问题的最优性条件。
约束问题的基本概念和一、二阶最优性条件。
七、约束规划问题及其方法
内、外罚函数方法，乘子罚函数方法，二次规划问题的等式约束问题的解法及解一般二次规划起作用集方法，SQP方法。
课堂讲授
最优化方法课程详细信息
课程号
00130630
学分
3
英文名称
Optimization Methods
先修课程
数学分析、数值代数
中文简介
学习解决光滑非线性优化的无约束问题和有约束问题的基本方法、方法的基本性质等。希望通过本课程的学习， 使学生掌握基本优化方法，培养学生对算法进行理论分析的初步能力, 培养学生通过计算机用优化方法解决问题的能力。
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
最优化方法,孙文瑜, 徐成贤，朱德通,高等教育出版社,2004,Numerical Optimization,J. Nocedal and S. J. Wright,Springer,1999,
[数学]最优化方法刘第四章
![[数学]最优化方法刘第四章](https://img.taocdn.com/s3/m/b93fcd4ef01dc281e43af003.png)
0 x1 1 , f x1 0 1 0 1 第二次迭代： g1 0 , G1 1 2 2 1 而：d1 G1 g1 1 2 2 T 使 g1 d1 2 0, 故令 d1 1 1 沿d1 进行线搜索， 得出1 0.3479422, 0.6958844 于是: x2 1.3479422 f x2 0.5824451 7 0.73 10 此时: g 2 0
T 显然当 cos 1 时， g k d k 取极小值． 因此： d k g k
结论： 负梯度方向使 f x 下降最快， 亦即最速 下降方向．
最速下降法算法
Step1: 给出 x0 R ,0 1, k : 0 Step2: 计算f xk , 如果 f xk , 停．
小结
(1) 最速下降法是基本算法之一，而非有效 的实用算法． 最速下降法的本质是用线性函数来近似 目标函数， 要想得到快速算法，需要考 虑对目标函数的高阶逼近．
§ 4.2 牛顿法
基本思想
利用目标函数 f x 在点 xk 处的二阶Taylor 展开式去近似目标函数， 用二次函数的极小点 去逼近目标函数的极小点．
9 k xk , k 1, 2, k 0.8 1 xk 1 x* xk 1 lim 0.8 分析： (1) lim * k k xk xk x
因此： 最速下降法是整体收敛的， 且是线性收敛的． (2) 两个相邻的搜索方向是正交的．
T k
Step6: 若 g k 1 2 , 停； Step7: 令 k k 1, 转Step1； Step8: 令d k g k , 转Step5； Step9: 令 d k d k , 转Step5.
最优化方法孙文瑜课后答案
最优化方法孙文瑜课后答案【篇一：81010218《最优化算法》教学大纲】xt>课程编号: 81010218课程名称：最优化算法英文名称：optimization algorithm 总学时：32 学分：2适用对象: 信息与计算科学本科专业先修课程：数学分析（1-3），高等代数（1-2），运筹学一、课程性质、目的和任务《最优化算法》课程是信息与计算科学专业的一门主要专业选修课。
本课程的目的是使学生理解最优化理论与方法的基本概念，掌握最优化的基本理论和常见的优化算法，为学习后继课程和解决实际问题打下扎实的基础，培养学生用数学知识解决实际问题的兴趣、意识，以及分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容、方法及基本要求1．非线性规划基本概念教学内容：多元函数极值理论。
基本要求：理解非线性规划问题概念，一般形式，最优解的情况。
理解梯度、海赛矩阵等概念，掌握极值点的必要条件，充分条件。
理解凸函数概念，掌握凸函数的判定条件和方法。
理解凸规划概念。
2. 一维搜索教学内容：一维搜索。
基本要求：掌握求解非线性规划问题搜索法的基本思想。
掌握一维搜索的斐波那契方法和0.618法。
3．求解无约束非线性规划问题的解析法教学内容：梯度法，广义牛顿法，共轭梯度法，变度量法。
基本要求：理解梯度法，广义牛顿法，共轭梯度法，变度量法的基本思想，掌握四种方法的迭代步骤，了解四种方法的收敛定理。
4. 求解无约束非线性规划问题的直接法教学内容：步长加速法，方向加速法，单纯形法。
基本要求：理解步长加速法，方向加速法，单纯形法的基本思想，掌握三种方法的迭代步骤，了解三种方法的收敛准则。
了解解析法与直接法的优缺点。
5. 求解约束非线性规划问题的逐步线性逼近法教学内容：逐步线性逼近法。
基本要求：理解约束非线性规划问题一般模型。
理解逐步线性逼近法基本思想，掌握逐步线性逼近法的求解步骤。
6. 求解约束非线性规划问题的拉格朗日乘子法教学内容：拉格朗日乘子法。
最优化方法 第二版 孙文瑜 部分课后答案
T = {x|f (x) α}
为函数 f (x) 关于实数 α 的水平集. 证明对任意实数 α，集合 T 是凸集. 证: 对于 ∀x1, x2 ∈ T ，根据 T 的定义则有 f (x1) α, f (x2) α. 由于 D 是凸集，则对于 ∀λ ∈ [0, 1]，必 有
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ D 又由于 f (x) 是 D 上的凸函数，则有
11 − ,−
T
是否是可行点? 如果是可行点，是内点还是边界点? 是哪个约束的边界点?
22
解: 画出可行域 F，图如下
T
和
x2
1 x2 x1 0
x1 x12 x22 1
则 x(1) 是可行点，是 1 − x2 + x1 0 的边界点； x(2) 不是可行点；
x(3) 是可行点，是 x21 + x22 1 和 1 − x2 + x1 x(4) 是可行点，是 x1 0 的边界点； x(5) 是可行点，也是内点.
Ax 0, x 0, bTx > 0; ATy = b, y 0.
证: 先给这个系统标号：
Ax 0, x 0, bTx > 0; (1) ATy = b, y 0; (2)
要证 (1)(2) 中有且仅有一组解，即证 (1) 有解 ⇐⇒ (2) 无解。 先证充分性：若 (1) 有解，则说明 ∃x¯ 0 使得 Ax¯ 0, bTx¯ > 0. 用反证法证明 (2) 无解，若在 (1) 的条 件下，(2) 有解，则 ∃y¯ 0 使得 ATy¯ = b，即 y¯TA = bT，两边同时右乘 x¯，则有
λx1 + (1 − λ)y1 − λx2 − (1 − λ)y2 = λ(x1 − x2) + (1 − λ)(y1 − y2) 0
最优化方法 尹秋响课件第四章
二次插值多项式近似法（抛物线法） （二）二次插值多项式近似法（抛物线法）的基本原理 在三点x 上的函数值分别为f 设目标函数 f(x)在三点 1 < x2 <x3 上的函数值分别为 1 , f2 , f3 在三点 相应的二次插值多项式为 P2(x)=a0＋a1x + a2x2 令P2(x) 和f(x)在三点上的函数值相等 在三点上的函数值相等 f(x) P2(x1)=a0+a1x1 + a2x12 ＝f1 P2(x2)=a0+a1x2 + a2x22＝f2 P2(x3)=a0+a1x3 + a2x32＝f3 a0, a1, a2 a * ’(x)＝a +2a x =0 的解 x = − 1 P2(x)的平稳点是 P2 ＝ 1 的平稳点是 2 2a 所以只需求出a 所以只需求出 1, a2, 最后得
f(x) f(x) f(x) f(x)
a
b
x
a
a b
x
a
b
b
x
x
连续单峰函数
不连续单峰函数
非单峰函数离散单峰函数
单峰函数具有一个重要的消去性质 定理： 是区间[a,b]上的一个单峰函数，x*∈[a,b]是其极小 上的一个单峰函数， 定理：设f(x)是区间 是区间 上的一个单峰函数 是其极小 上的任意两点， 点， x1 和x2是[a, b]上的任意两点，且a<x1 <x2<b，那么比较 1) 上的任意两点 ，那么比较f(x 的值后， 与f(x2)的值后，可得出如下结论： 的值后 可得出如下结论： （I） 若f(x1)≥f(x2)，x*∈[x1,b] ） ，
x1 x3 x2 P2(x) 三个待定系数
2
பைடு நூலகம்
最优化方法
一、 课程介绍 1.课程描述：
最优化方法是近几十年发展和形成的一门新兴的应用学科。它利用数学、计算机 科学以及其它科学的新成果研究各种系统和实际问题的优化设计，控制和管理的途径 以及策略，为决策者和管理者提供科学决策的理论依据和实际操作手段与方法，是集 理论性与应用性为一体的学科，在生产管理和工程技术等许多领域中有广泛的应用前 景。本课程为运筹学课程的后续进阶课程，针对高年级数学类专业学生开设，侧重非 线性最优化问题的理论和方法，包括最优化方法的若干基本内容：无约束最优化方法 （最速下降法和 Newton 类方法）、共轭梯度方法、非线性最小二乘问题及数值解法、 约束最优化问题的数值解法等。通过课程学习，要求学生掌握最优化的基本理论和方 法，能够利用这些理论方法并借助计算机软件对实际问题进行建模、分析和求解，进 而提升对应用数学的理解，培养应用数学知识解决实际问题的能力。 2.设计思路：
学基础等 并行课程：泛函分析；微分方程数值解法等 后置课程：《计算复杂性理论》、《时间序列分析》、《现代数值方法选讲》等。 二、课程目标
本课程目标是为数学类专业高年级学生提供最优化理论和算法的基本知识框架和 主流成果，使学生了解学科发展的历程和前沿研究动态，同时引导并培养学生用数学 语言和数学思维来描述和解决实际问题的能力，增强沟通能力和团队合作意识。课程 结束时，学生应能： （1）理解和掌握最优化方法的基本理论，常用算法的构造思想和途径，并能针对简单 问题给出这些算法的计算步骤和结果。 （2）提高数学理论分析能力，理解并掌握本课程中较常采用的数学思想和技巧，并且
中国海洋大学本科生课程大纲
课程名称
最优化方法 Optimization Methods
课程属性 专业知识
课程代码 075103301333
最优化方法
最优化方法
任课教师：赵俊锋
联系方式：zhaojf@
办公地点：勇字楼506
教材及主要参考书目
●实用最优化方法(第三版)，唐焕文，秦学志
●应用最优化方法及MATLAB实现，刘兴高，胡云卿●最优化理论与方法，袁亚湘，孙文瑜
●非线性规划(第2版)，宋士吉等译
●最优化计算方法，陈开周编
答疑安排
考核方式
学科总成绩
平时成绩
（30％）
课堂考勤（40％）平时作业
（30％）
课堂表现
（30％）
期末成绩
（70％）
课堂讨论
编程计算
闭卷考试
具体内容
●第一章绪论
●第二章无约束最优化方法●第三章约束最优化方法●第四章人工智能优化算法●第五章多目标优化算法
一
绪论最优化问题模型及分类最优化问题举例
课程简介二三四最优化问题数学基础。
最优化方法第四章B-孙文瑜
当Gk 可逆时，x
k 1
x Gk g k 。
k
1
step3. 由方程组∇q(x) = gk + Gk (x - xk ) = 0 解出xk+1
(4.1.13)
其中1 和 2 分别是矩阵G的最大和最小特征值, 1 / 2 是矩阵G的条件数.
15
在非二次情形, 如果f (x)在x*附近二次连续可微, f ( x * ) 0, 2 f ( x * ) 0 正定, 则(4.1.12)也成立.
16
二次型
n个变量的二次齐次多项式 f ( x1 , x2 ,, xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
T T 可知, 当且仅当dk=-gk时, d k g k最小, d k g k最大, 从而gk 是最速下降方向. 以-gk为下降方向的方法叫最速下降法
5
如何选择下降最快的方向？
f ( x k ) 函数值增加最快的方向
xk
函数值下降的方向
f ( x k ) 函数值下降最快的方向
6
事实上, 最速下降方向也可以这样来考虑. 因为目标函数f 沿方向d 的变化率是g(xk)Td, 故最速下 降的单位方向d是问题 T min g (4.1.4) d kd (4.1.5) d 1 s..t 的解 这时 d T g k d g k cos k
23
如果对于任意一组实数 c1 , c2 ,, cn ，都有 f (c1 , c2 ,, cn ) 0 ，就称 f ( x1 , x2 ,, xn ) 是半负定的. 如果 f ( x1 , x2 ,, xn ) 即不是半正定的，也不是半负定 的，就称它是不定的.
最优化方法_chapter1 绪论
三 最终结果
差
差
中
中
差
好
好
好
好
中
中
好
用这种方法娶到最差老婆的概率是1/6,娶到最好老 婆的概率是1/2!由此我们可以得到一个经典的结论:
初恋是靠不住的!
1.2 最优化问题的数学模型及其分类
最优化问题的数学模型包含三要素：
✓目标函数/评价函数 ✓决策变量 ✓约束条件
1.2 最优化问题的数学模型及其分类
第一种最优化问题表示形式为
min
[ x1，x2，L ，xn ]T
f
(x1，x2，...，xn )
s.
t.
gi hj
( (
x1，x2，...，xn x1，x2，...，xn
) )
0 0
i 1，2，...，l j 1，2，...，m (m n)
第二种最优化问题表示形式为
问题的严格全局最优解，称 f (x*)为严格全局最 优值.
y
D
x
x*
x
定义2 如果有x* D 及 0 ，使得当 x D N (x*) 时恒有 f (x) f (x*)，则称 x*为最优化问题的局部 最优解，称 f (x*)为局部最优值.其中：
N (x*) {x | x x * }
题目的规则是这样的:从现在开始甲可以选择和其中 任意一位女士交往一个月,一个月之后如果甲觉得满意就 与之结婚并且之后不能再离婚去选择剩下两位女士了;如 果甲觉得不满意可以从剩下的两个女士中再选择一位女 士交往一个月.第二个月之后如果甲满意那么就与这个女 士结婚,如果不满意就必须娶剩下的一位女士结婚(需要 注意的是与其中任何一个女士交往的过程中都不能和其 他女士同时交往,只能串行不能并行!).
最优化方法讲稿-4
} 是有穷点列时，其最后一个点是 f 的稳定点； } 是无穷点列时，它必有极限点，其任一极限点都是 f 的稳定点；
(k )
(k )
（3）当 f 是凸函数时， {x 证明 （1）如果 {x
(k ) (k )
} 的任一极限点都是(UCOP)的全局最优解。
} 是有穷点列，设为 {x ( 0) , x (1) , L , x ( k ) } ，则 x ( k ) 必已达到终止
即 α k 是方程 ∇f ( x 当 f ( x) =
(k )
+ αp ( k ) ) T p ( k ) = 0 的解。
1 T x Ax + b T x + c 时，有 ∇f ( x) = Ax + b ，从而 2
∇f ( x ( k ) + αp ( k ) ) = A( x ( k ) + αp ( k ) ) + b = Ax ( k ) + b + αAp ( k ) = ∇f ( x ( k ) ) + αAp ( k ) .
* * * * *
f ( x * + α * p * ) < f ( x * ).
另一方面，有
（1.1）
f ( x ( ki +1) ) = min f ( x ( ki ) + αp ( ki ) )
α ≥0
≤ f ( x ( ki ) + α * p ( ki ) ) = f ( x ( ki ) − α *∇f ( x ( ki ) )),
(1)
) = 0 ，故 x (1) 是问题的全局最优解。
设 f 连续可微，水平集
定理 1.2
D( f ( x ( 0 ) )) = {x ∈ R n | f ( x) ≤ f ( x ( 0 ) )}
最优化第四部分
无,且xk+1=xk,则缩短步长,仍从xk出发进行下一次轴向移动;若
无,且xk+1xk,则仍从xk出发用步长k进行下一次轴向移动.
最优化理论与方法 第四部分 直接搜索的数值解法
从xk+1出发的模式移动是指以1为步长沿加速方向:dk=xk+1–xk
移动一步,得到新的参考点y=xk+1+dk=2xk+1–xk , 然后 , 从新的参 考点y出发 , 仍以k为步长进行轴向移动.
所以第三次轴向移动结束,令 x3 y (3, 2)T .由于 f ( x3 ) f ( x2 ) ,
2 1 0.1 , 且 x3 x2 ,
因此，令 x3 x2 (2 , 1)T , 3 2 ,
取参考点 y x3 (2,1)T .
最优化理论与方法 第四部分 直接搜索的数值解法
二、Powell 法
本节介绍由Powell提出的一种求解无约束最优化问题
(4.1.1)的直接法. 它本质上是以正定二次函数为背景，以共 轭方向为基础的一种方法. 本节分别介绍原始Powell法和Powell法. 补充：共轭方向 设H为一正定对称矩阵，若有一组非零向量S1，S2，……，Sn
满足 量（方向）。 当H为单位矩阵时，有
由梯度法的分析知，此时点X1的梯度必与方向S0垂直，即有
f X S
1 T
0
0
（4-21）
和
f X 1 HX1 B
（4-22）
最优化理论与方法 第四部分 直接搜索的数值解法
从点X1开始沿另一下降方向S1作一维搜索，得 （4-23） X 2 X 1 S1
1
若欲使X2成为极小点，根据极值的必要条件，应有
最优化方法课件
Custom
20
12
400
6
2. 数学模型 （定量优化计算：不增加投入而 增加产出的手段） 第一，无约束极值问题（例1.3）
min f x, y x 2 y 1
2
2
图解法的步骤： 2 2 ①令 f x, y x 2 y 1 c ，显然 ③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
c0 ；
②取 c 0,1, 4,9,并画出相应的曲线（称之为等值线）.
。由此
min f x s.t. h x 0
（2）
以向量为变量的实向量值函数最优化问题的一般形式
min f x1 , x2 ,, xn s.t. hi x1 , x2 ,, xn 0, i 1, 2,, l (l n) s j x1 , x2 , , xn 0, j 1, 2,, m
1
,
arccos
向量的夹角 ， , 向量的正交 , 1.可微
,
0 ,
2
, 0 （正交性）
设 .如果存在 n 维向量 l , 对于可任意小的 n 维非零向量 p ，总有
f : D R R , x0 D
Example Suppose that a manufacturer of kitchen cabinets is trying to maximize the weekly revenue of a factory. Various orders have come in that the company could accept. They include bookcases with open shelves(开架书橱), cabinets with doors（带门橱柜）, cabinets with drawers（带抽屉橱柜） , and custom-designed ( 定 制 的 ) cabinets. The following Table indicates the quantities of materials （ 原 材 料 ） and labor required to assemble the four types of cabinets, as well as the revenue earned. Suppose that 5000 units of wood and 1500 units of labor are available.
最优化方法第四章(1)
以下几个概念是讨论的基础。
v
v
某 称个为不是定等关义式 于4.1约容对束许于有点约sxv%i束(的xv%问)起题作0（，用4则约.7该）束不，；v等设否式则x%约，束D若。ssi若i((xv%xv%x)%)使0得0，
则该不等式约束称为是关于容许点 x%的不起作用约束。
例如，
不等式约束关于容许集的任意内点都是不起作用约束。
) 时，对于所有的 。根据定义4.3，即
i
，
记
G(
v G(x%)
{ pv
v
v
x%) C(x%)
si
。
(
v x%)T
pv 0,
i I} ，则依引理4.3可知，
v
是方s两i (不 向部xv)起向分由作量，这0用。，梯个约 换变度引束 句成理， 话起看si则 说作(到xv%)，用一pv总约约个是束束事s指曲，实i (向面x且v%，)包若s就i含(sxv是ix%()容仅xv%点)许使0集x把v%0v某的整个，的那个约而一一空束其个侧间，它容。分例约许成如束
由点 xv 的所有下降方向向量构成的集合称为点 xv 的
下降方向锥。 定理4.4 设
f
: Rn
R1 在点
xv 处可微，则点
xv 的
下降方向向量 pv 必满足
f (xv)T pv 0
记 既是点
xvS(
xv) {pv f (xv)T pv 0}
的下降方向锥。显然
，则定理4.4表明， S ( xv)
在第2章和第1章中，已经分别讨论过线性规划问题和 无约束问题的最优性条件。定理2.9是线性规划问题的最 优性充分条件。定理1.15、定理1.17和定理1.18以及推论 1.16分别是无约束问题的最优性必要条件、充分条件以及 充分且必要条件。本节主要讨论一般约束问题的最优性条 件。我们将先从仅含等式约束或不等式约束的问题入手， 然后自然过渡到一般约束问题。
章4 最优化方法
另外, 运用规则5时是将一最坏的值赋予给超出允许范围的 顶点而强行使之回到正常范围，并且舍弃次最坏点。若次最 坏点的反射点处系统的响应更差，则有可能使单纯形移不到 最优区域，此时，单纯形被迫停止。然后，需将步长变小而 在边界处重新开始。 §4.2.2 改良单纯形(变步长)法[1-9] 1965年，Nelder和Mead[1]针对上述基本单纯形法的不 足提出改良单纯形或变步长单纯形法。在改良单纯形中引 入两个新概念，即扩展和压缩，它们可使单纯形在响应曲 面的陡峭处改变自己移动的步长。另外，在基本单纯形中， 有时反射点系统的响应改进并不大(尚不知是否由于噪声所 致)，则也要构成一新的单纯形。而在改良单纯形中，则沿 着反射点R的方向进行扩展以试探系统响应的好坏，由此， 扩展可以增强单纯形的抗噪声能力。
图4.8 对于改良单纯形压缩(靠近R) 失败时的改进
图4.9对于改良单纯形压缩(靠近W)失 败时的改进
规则11：若在CW处系统的响应尚不比在W处好，则 舍弃单纯形BCWN中的顶点N，并由N反射到R。 规则10和规则11均是当压缩失败时，针对大幅度缩 小单纯形而采取的措施。 2. 关于边界问题
最优位置接近于一个或几个约束条件的情况会经常遇
规则10：若在CR 处系统的响应不比 反射顶点好，此时 不作大幅度压缩， 而是舍弃单纯形 BCRN中次最坏点N 作反射R。
图4.7 改变单纯形算法流程图 图 中 大 写 字 母 表 示 顶 点 ， 小 写 字 母 表 示 响 应 ； “ N” 表示否定，“Y”表示肯定。
以图4.8来说明由规则10如何得到反射点Rَ 与此相类似， 。 当靠近最坏点W压缩得到CW失败时，则运用规则11(见图 4.9)。
(4.7)
此处Vj为反射顶点的第j个变量，Y为反射因子，如图4.5，反 射点的类型不同，Y的取值办法不同： 顶点R：Y=2 顶点E：Y=3 顶点CR：Y=1.5 顶点CW：Y=0.5
最优化方法 4第四章
（2）若有 (t 2 ) (t1 )，则[t 2 , b] 是 (t ) 的单谷区间．
18
a
.
. t2
t*
.
t1
.
.
b
证明略．
定理 4.1 说明，经过函数值的比较可以把单谷区间缩短为一个较 小的单谷区间．换句话说利用这个定理可以把搜索区间无限缩小， 从而求到极小点．以下介绍的几种一维搜索方法都是利用这个定 理通过不断地缩短搜索区间的长度，来求得一维最优化问题的近
c=(a+b)/2
(c) 0
N
a=c
Y
N
(c) 0
Y
T*=c
b=c
t*=(a+b)/2
Y
(c) 0
N
输出t* 结束
图4.6
24
4.3 Newton切线法
一、Newton切线法基本原理 设 : R1 R1在已获得的搜索区间 [a, b] 内具有连 续二阶导数，求 min (t ) ． a t b 因为 (t ) 在 [a, b] 上可微，故 (t ) 在 [a, b] 上有最 小值，令 (t ) 0 ． 下面不妨设在区间 [a, b] 中经过 k 次迭代已求得方 程 (t ) 0的一个近似根 t k．过(t k , (t k )) 作曲线 y (t ) 的切线,其方程是 y (t k ) (t k )(t t k ) （4.4）
6
下面解释迭代点 X k 1 X k t k Pk 的空间位置．容 易证明，若从X k出发，沿 Pk 方向进步一维搜索得 极小点 X k 1 X k t k P ，则该点 处的梯度方 X k k 1 P 向 f ( X k 与搜索方向 之间应满足 k 1)
最优化理论与方法（袁亚湘孙文瑜）笔记（一）
最优化理论与⽅法（袁亚湘孙⽂瑜）笔记（⼀）
⼀、概述
在1947年，Dantzig提出求解⼀般线性规划问题的单纯形法之后。
现在，解线性规划、⾮线性规划以及随机规划、⾮光滑规划、多⽬标规划、⼏何规划、整数规划等各种最优化问题的理论的研究发展迅速。
最优化问题的⼀般形式为：
X属于R n为约束集或可⾏域，f(x)是⽬标函数，x属于R n是决策变量。
特别地，约束集X=R n ,则最优化问题成为⽆约束最优化问题：
对于约束最优化问题通常写为
这⾥，E和I分别是等式约束的指标集合不等式约束的指标集，c i是约束函数。
当⽬标函数和约束函数均为线性函数时。
问题称为线性规划。
当⽬标函数和约束函数中⾄少有⼀个是变量x的⾮线性函数时，问题称为⾮线性规划。
除此之外，根据决策变量、⽬标函数和要求的不同，最优化还分成整数规划、动态规划、⽹络规划、⾮光滑规划、随机规划、⼏何规划、多⽬标规划等若⼲分⽀。
本⽂主要研究求解⽆约束最优化问题和约束最优化问题。
⼆、半范数和范数定义
半范数：
范数：
三、向量范数和矩阵范数
（1）向量范数
（2）矩阵向量
（i） 类似于向量范数的定义，可以定义矩阵范数。
设A为R n×n,其诱导矩阵范数定义为：
诱导矩阵范数的两个性质：
（ii）Frobenius范数及其它。
新疆大学《最优化方法》课程教学大纲
新疆大学《最优化方法》课程教学大纲课程英文名称：Optimization Methods课程编号：C 052829(汉本);C 052828(民本) 课程类型：专业核心课总学时：48+18学时(授课：48，上机：18) 学分：3.5适用对象：信息与计算专业汉（民）本科生先修课程：数学分析、高等代数、Matlab 编程语言使用教材及参考书：教材：施光燕等编著，面向21 世纪教材《最优化方法》，高等教育出版社， 1999年第一版参考书：张可村编著、《工程最优化方法》，西安交大出版社薛嘉庆著、《最优化原理与方法》（修订本），冶金工业出版社袁亚湘，孙文瑜著，《最优化理论与方法》，北京科学出版社一、课程性质、目的和任务《最优化方法》是数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的一门专业必修课。
最优化是从所有可能方案中选择最合理的方案以达到最优目标的学科，是随着计算机的普遍应用而发展起来的，它已广泛应用于各个领域。
本门课程旨在讲授最优化的基本理论和方法,通过本课程的学习,要求学生能较深刻地理解定量优化的思想和方法，掌握线形规划、非线形规划和多目标规划的基本而常用的优化算法，并能运用优化的观点和方法利用计算机解决实践中遇到的优化问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。
鼓励学有余力的学生在掌握数学规划基本解法的同时，提高自己在建立模型和算法分析方面的水平和能力。
二、教学基本要求牢固地掌握最优化的基本理论，常用算法的构造途径，并能在计算机上实现。
通过各教学环节，本课程应达到下列要求：⑴掌握线性规划问题的基本理论和单纯形方法。
⑵理解非线性规划问题解的概念，掌握凸规划及其性质，掌握无约束优化问题与约束优化问题的最优性条件及其求解方法。
⑶理解多目标规划问题的最优化原理，认识求解整数线性规划问题的困难性，掌握Gomory割平面法和分枝定界法。
⑷掌握几种典型离散优化模型的特征及其相应的求解方法三、教学内容及要求第一章优化模型的分类及MATLAB优化工具箱介绍。
最优化方法课程设计.doc
最优化方法课程设计报告2016 年6 月14 日摘要最优化理论和方法日益受到重视，已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各个领域，而最优化模型与方法广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各个部门及各个领域。
伴随着计算机技术的高速发展，最优化理论与方法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。
其中，MATLAB^件已经成为最优化领域应用最广的软件之一。
有了MATLA这个强大的计算平台，既可以利用MATLA优化工具箱(OptimizationToolbox )中的函数，又可以通过算法变成实现相应的最优化计算。
关键词：优化、线性规划，黄金分割法、最速下降法、MATLA、B 算法AbstractOptimization theory and methods and more attention, have penetrated into the production, management, business, military, decision-making and other fields, and optimization models and methods widely used in industry, agriculture, transportation, commerce, defense, construction, students, government various departments and agencies and other fields. With the rapid development of computer technology, optimization theory and methods for the rapid progress of the optimization problem to solve practical software is also developing rapidly. Which, MATLAB software has become the most optimization software is one of the most widely used. With this powerful computing platform MATLAB,either using MATLAB optimization toolbox (OptimizationToolbox) in the function, but also can achieve the appropriate algorithm to optimize into the calculation.Key words: Optimization、Golden section method、steepest descent method、MATLAB、algorithm第一章单纯形算法的基本思想与原理1.1单纯形算法的基本思路单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。
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g
i 0
2
k
gk 0 . f ( x k ) , 或lim 两边取极限, 于是, 或者 lim k k 11 从而定理成立
最速下降法优缺点
优点：程序设计简单，计算工作量小，存储量小， 对初始点无要求 缺点：最速下降方向仅是局部性质，对整体而言， 下降速度慢，锯齿现象
T d k 0 , 则是下降方向, 它使得 显然, 若 d k 满足 g k
f ( xk d k ) f ( xk )
4
T T g d k 的值越大, 函 当 取定后, k d k的值越小, 即 g k 数f(x)在xk处下降量越大.
由Cauchy-Schwartz(柯西-施瓦)不等式 T dk gk dk gk (4.1.3)
g k cos k 其中, k 是gk与d之间的夹角 当 k 0时取极值
(4.1.6)
7
这时
gk d gk
最速下降法的迭代格式为 其中步长因子 k 由线性搜索策略确定.
(4.1.7)
xk 1 xk k g k
(4.1.8)
8
算法4.1.1 (最速下降法)
*
1 T min f ( x) x Gx 最速下降 2
1 k 1
2 2
(4.1.12)
x k 1 x * xk x
*
1 1 n 1 n k 1 n 1
12
锯齿现象
数值试验表明, 当目标函数的等值线接近于一个圆 (球)时, 最速下降法下降较快; 而当目标函数的等值线是一个扁长的椭球时, 最速 下降法开始几步下降较快, 后来就出现锯齿现象, 下降十分缓慢
T 事实上, 由于精确线性搜索满足g k 1 d k 0 则 T T (4.1.11) gk g d 1 k k 1d k 0
定理4.1.2 设 f ( x) 在水平集L={x∈Rn|f(x)≤f(x0)}上存 在且一致连续, 则最速下降法产生的序列满足或者对 某个k 有gk=0, 或者f(xk)→-∞, gk→0. 证明：利用定理3.4.3立得.
10
最速下降法的总体收敛性定理
定理4.1.3 设函数f(x)二次连续可微, 且 2 f ( x ) M , 其中M是某个正常数.对任何给定的初始点x0, 最速下 gk 0 f ( x k ) , 或 lim 降算法4.1.1或有限终止, 或 lim k k 证明:考虑无限迭代下去的情形, 由定理3.4.2, 有 1 2 f ( x k ) f ( x k 1 ) gk (4.1.9) 2M k 1 于是 f ( x0 ) f ( xk ) [ f ( xi ) f ( xi 1 )] i 0 (4.1.10) k 1
(4.1.13)
其中1 和 2 分别是矩阵G的最大和最小特征值, 1 / 2 是矩阵G的条件数.
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在非二次情形, 如果f (x)在x*附近二次连续可微, f ( x * ) 0, 2 f ( x * ) 0 正定, 则(4.1.12)也成立.
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二次型
n个变量的二次齐次多项式 f ( x1 , x2 ,, xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
步1. 给出 x0 R n ,0 1, k : 0 步2. 计算dk=-gk; 如果 g k , 停止. 步3. 由线性搜索求步长因子 k . 步4. 计算 xk 1 xk k d k 步5. k:=k+1, 转步2 .
9
最速下降法的收敛性
对于最速下降法,θk=0, 因而, 利用定理3.4.3立即可知 最速下降法是总体收敛的.
这表明最速下降法中相邻两次的搜索方向是相互直 交的, 这就产生了锯齿形状.越接近极小点, 步长越 小, 前进越慢. 13
最速下降法的锯齿现象
x2 x3
x*
x1
14
最速下降法的收敛速度
精确线性搜索的最速下降法的收敛速度是线性的
对于极小化正定二次函数, 法产生的序列满足
f ( x k 1 ) f ( x ) 1 n * f ( xk ) f ( x ) 1 n
3
设目标函数f(x)在xk附近连续可微, 且g k f ( x k ) 0 . 将f(x)在xk处Taylor展开 T f ( x) f ( xk ) g k ( x xk ) o( x xk ) (4.1.1) 记 x xk d k ，则上式可写为 T f ( x) f ( xk ) g k d k o( x xk ) (4.1.2)
第4章无约束最优化方法
1
主要内容
4.1 最速下降法 4.2 牛顿法 4.3 共轭梯度法 4.4 拟牛顿法Biblioteka 24.1 最速下降法
最速下降法是以负梯度方向作为下降方 向的极小化算法, 又称梯度法, 是1874 年 法国科学家Cauchy(柯西)提出的. 最速下降法是无约束最优化中最简单的 方法
T T 可知, 当且仅当dk=-gk时, d k g k最小, d k g k最大, 从而gk 是最速下降方向. 以-gk为下降方向的方法叫最速下降法
5
如何选择下降最快的方向？
f ( x k ) 函数值增加最快的方向
xk
函数值下降的方向
f ( x k ) 函数值下降最快的方向
6
事实上, 最速下降方向也可以这样来考虑. 因为目标函数f 沿方向d 的变化率是g(xk)Td, 故最速下 降的单位方向d是问题 T min g (4.1.4) d kd (4.1.5) d 1 s..t 的解 这时 d T g k d g k cos k
2 2 a22 x2 2a 2 n x2 xn ann xn