五方阵的行列式

五、方阵的 行列式
1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵A的行列式， 记作 |A| 或 detA 。
2、运算律
1). AT A ;
2). A n A;
3). AB A B
我们仅证明3），设A = (aij), B = (bij)。 记 2n 阶行列式
AC D
E 0
其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj , 故 C = AB。
再对 D 的行作 rj ↔ rn+j （j = 1, 2, … , n ），有
D (1)n E
0 ,
AC
从而有
D = ( －1 )n|－E||C| = ( －1 )n( －1 )n| C | = | C | = | AB |。
A
1 1
2 1
,
B
a 3
b 2
.
若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 。
解 由于 AB = BA ，即
1 2 a b a b1 2
1
1 3
2
3
2
1
1
即
a a
6 3
b 4 ab
b
2
5
2a b
4
a 6
亦即
b
a
4 3
b 2
故a=8,b=6。
ab 2a b
a11 L a1n
M
M
0
D = an1 L ann
1
b11 L b1n
O
M
M
1 bn1 L bnn
AO
E B
显然，D = |A||B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ，… ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （j=1,2,…,n) , 有
a11 a12 L a1n a11b11 a12b21 L a1nbn1 L a21 a22 L a2n a21b11 a22b21 L a2nbn1 L L L L L LLLLLLLLLL L
例11 设有多项式 f (λ) = λ2－ 3λ + 2和矩阵
1 1 2
A
0 1
1 2
11
求矩阵多项式 f (A) 。
解 因为
1 1 2 1 1 2
A2
0
1
1
0
1
1
1 2 1 1 2 1
3 2 5
1 2
1 3
2 1
3 3 6
3
A
0 3
3 6
33
则 f (A) = A2－ 3A + 2E
D=
an1 1
an2 0
L L
ann an1b11 an2b21 L annbn1 L 0
0 1 L 0 0
LLLL
0 0 L 1
a11b1n a12b2n L a1nbnn a21b1n a22b2n L a2nbnn LLLLLLLLLL an1b1n an2b2n L annbnn
表示aij 的共轭复数，记
A (aij ).
则 A 称为A的共轭矩阵。
2.运算律
设 A 、B 为复矩阵，λ 为复数.
1) A B A B;
2) A A
3) AB A B.
七、 可换矩阵及方阵多项式
1、可换矩阵 设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的。
例9 设
1 3
2 3
1 2
1
3 2
1 3
2
3
1
An = ( αβT )n = αβTαβTαβT … αβT = 3n-1A
| An | = | 3n-1A | = (3n-1)n| A |
11 1 23
(3n1)n 2
1
2 3
3
3 2
1
=0
六、共轭矩阵
1、定义
定义7 设A= (aij )为复矩阵，aij
于是
x1 x2 x3 x1 2x2 3x3
2
y1
2 y2
2
y3
y1
2 y2
3
y3
3z1 3z2 3z3 z1 2z2 3z3
从而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 ,
2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 ,
3z1 = z1 , 3z2 = 2z2 ,
即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 , 所以，与可交换的任一矩阵是
于是
| AB | = | A | | B |
例6：设A , B 均为 n 阶方阵 且 AAT E, BT B E, A 1,
B
则 A B 0. 证 A B＝ ABT B AAT B A(BT AT )B
A (A B)T B B2 AB
AB
故 A B 0.
例7 设 A 是 n 阶反对称矩阵， B 是 n 阶对称矩阵，则 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵。
5 4
例10 设
1 0 0
A
0 0
2 0
0 3
求与 A 可交换的所有矩阵。
解设
x1 x2 x3
X
Fra Baidu bibliotek
y1
y2
y3
z1 z2 z3
与 A 可交换，即有
1 0 0 x1 x2 x3 x1 x2 x3 1 0 0
0
2
0
y1
y2
y3
y1
y2
y3
0
2
0
0 0 3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 0 0 3
a 0 0
0 0
b 0
0 c
其中 a ，b，c 为任意实数。
2、方阵多项式
设有 n 阶矩阵 A 和多项式 f ( λ ) = amλm + am-1λm-1 + … + a1λ + a0
规定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + … + a1A + a0
称 f ( A ) 为方阵 A 的矩阵多项式。
3 2 5 3 3 6 2 0 0
1 2
1 3
12
0 3
3 6
33
0 0
2 0
0 2
2 5 1
1 1
2 3
1 0
.
练习：
1.计算下列矩阵的乘积.
3 2
(1) 1
2
3
2
; (2)
1 1
2;
(3) x1
x2
a11
x3 a21
a12 a22
a13 x1 a23 x2 .
1 3
a31 a32 a33 x3
2.
设
P1 AP
, 其中P
1 1
4 1
,
1 0
0
2
,
求A.
证 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T = BTAT + ATBT = －BA－AB = －（ AB + BA ）
所以， AB + BA 为 n 阶反对称矩阵。
例8 设
1
1
2
,
1 2
3
1 3
令 A = αβT, 求 An 及| An|。
解
1
2 3
1,
1, 2
1