矩阵与行列式基础知识讲解

aij bij , i 1,..., m; j 1,..., n
记为A=B.
特殊矩阵 零矩阵: 如
0 0
0
O22


0
0
,
O21


0
.
行矩阵、列矩阵：
6
（1
0
1
2）,

4

3
行矩阵、列矩阵也称为向量
对角矩阵：
a11
A
矩阵与行列式基础知识 介绍
我们常常会碰到一些求解方程的问题：
5xx11

2x2 3x2

4x3

3x4 7 x4

1来自百度文库0
x1 6x2
8x4 3
能否如一元一次方程一样求解?
ax b xb
a
矩阵概念的引入
5xx11

2x2 3x2

4x3

3x4 7 x4
a22






diag(a11,
a22
,...,
ann
)
ann
aii 称为对角元.
如
A


2 0
0 1

diag(2,
1)
单位矩阵：
1
I
1



diag(1,1,...,1)
1
方程组的矩阵和向量表示形式
a11x1 a12 x2 a1n xn b1

1
20 11 (1)1 22 11 (1)5 20 11 (1)(1)

30 01 21
32 01 25
30 01 2(1)



0 2
0 16
2
2

矩阵乘法的运算规律：
(AB)C = A(BC) k (AB) = (kA)B = A(kB) A(B+C) = AB + AC (B + C)A = BA +CA
•
m个方程n个未知量的线性方程组：
a21x1

a22
x2

a2n
xn
b2
am1x1 am2 x2 amnxn bm
• 向量形式
• 矩阵形式
a11 a12 a1n x1 b1

a21
a22

a2n


x2



b2
X


x2


x3 x4

1
b


0

3
AX b
类比
ax b
xb
a
怎样求解矩阵方程？
AX b ？
因此，有必要了解和学习矩阵和行列 式的相关知识，以便方便的求解矩阵方程。
矩阵的相关概念
相等矩阵
A (aij )与B (bij )同型，且

矩阵A也记作 Amn
m=n时，称A为n阶矩阵（n阶方阵）.
矩阵概念的引入
5xx11

2x2 3x2

4x3

3x4 7 x4

1 0
x1 6x2
8x4 3
1 2 0 3
引入矩阵形式： A 5 3 4
7

1 6 0 8
x1
即Ax



am1
am2

amn


xn

bm

a11 a12 a1n x1 0
• 若右端向量 0
则
a
21
a22

a2n


x2


0即Ax

0为齐次线性方程组.

A B AB O
3. 矩阵的数乘
设有一个矩阵 A (aij ) ， 是一个数，那么矩阵
a11


a21

am1
a12 a22
am 2
a1n
a2 n


amn
称为矩阵A 与数 的乘积（简称矩阵的数乘），记作A ．
矩阵的线性运算律：加法、数乘.
am1
am2

amn


xn

0
矩阵的运算
1. 矩阵的加法运算
加法定义：有 。
矩阵
mn
Cij
C=
a11 b11 记作：C=A+aB21 b21
: am1 bm2
a12 b12 a22 b22
: am2 bm2
， 那么 矩阵 为A和B的和
① AB B A ③ AO A
② (A B) C A (B C) ④ A ( A) O
⑤ 1A A
4. 矩阵的乘法
我们把矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记作 C AB．
1. 乘法的定义：A (aij )ms 和 B (bij )sn ，如果 AB C

1 0
x1 6x2
8x4 3
把方程组系数抽取出来，形成一个数字方块，取名为系数矩阵，记为A
1 2 0 3
A 5 3 4
7

1 6 0 8
在系数矩阵最后一列添加方程右端的常数列，称之为增广矩阵，记为B
1 2 0 3 1 B 5 3 4 7 0
注：矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，
AB BA
4. 矩阵的转置
1. 定义（转置）
a11
设
A


a21

am1
a11
称
AT


a12
则矩阵C中每个元素都是A的行，B的列对应元素之积的和。
即
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
0 2 0
C

AB

2

3
1 0
1
2


1 1
1 5
1
1 6 0 8 3
矩阵的概念
一. 矩阵的定义：由 m n个数排成的m行n列数表， 称为m行n列矩阵。aij 表示矩阵A的第i行第j列的元 素。矩阵表示如下：
a11 a12 ... a1n
A=

a21
a 22
...
a2n

: : : :

am1
am2
...
amn
A (aij ) 和 B (bij )
... a1n b1n
...
a2n

b2n

... :
...
amn

bmn

注意： (1) 同型矩阵才能相加、减； (2) 相加、减结果为同型矩阵;
2. 减法运算
负矩阵：
A (aij )
A (A) O 减法：
A B A (B) (对应元素相减)