函数的定义域和值域学案
函数的概念与性质教案
函数的概念与性质教案一、概念介绍函数是数学中一种非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在数学中，函数描述了两个数集之间的对应关系，其中一个数集中的每个元素都与另一个数集中唯一确定的元素相对应。
函数通常用符号f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为函数输出的值，也称为因变量或函数值。
二、函数的定义函数的定义包括定义域、值域和对应关系三个要素。
1. 定义域：函数的定义域指的是自变量的取值范围。
函数的定义域决定了函数可以接受的输入值。
2. 值域：函数的值域指的是函数输出值的范围。
函数的值域决定了函数可以输出的结果。
3. 对应关系：函数的对应关系就是自变量与函数值之间的一一对应关系。
通过对应关系，我们可以得到输入值与输出值之间的对应关系表达式。
三、函数的性质1. 单调性：函数的单调性表明函数值的增减规律。
函数可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
2. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数关于原点（坐标轴的交点）的对称性。
如果函数满足f(-x) = -f(x)，则为奇函数；如果函数满足f(-x)= f(x)，则为偶函数。
3. 周期性：函数的周期性表示函数的性质在一定范围内反复出现。
函数的周期是指函数在某一特定域内，以一定规律重复出现的最小长度。
4. 连续性：函数的连续性代表函数在定义域内没有跳跃或间断。
连续函数可以用一条连续的曲线来表示。
5. 极值：函数的极值是函数在一定范围内的最大值或最小值。
极大值对应函数的局部最大值，极小值对应函数的局部最小值。
四、教学活动设计1. 简介与讲解：首先，向学生介绍函数的概念与性质。
通过实际生活中的例子，比如温度与时间的关系、速度与时间的关系等，帮助学生理解函数的概念。
2. 案例分析：让学生分别观察和分析一些函数的特征，比如单调性、奇偶性等。
引导学生发现函数的性质，并讨论函数图像的特点。
3. 问题练习：设计一些与函数相关的问题，让学生运用所学的函数概念和性质进行解答。
可以包括函数的定义域、值域、单调性等方面的问题。
2.2 函数的定义域和值域学案(高考一轮复习)
2014年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第2节 函数的定义域与值域一．学习目标：1. 了解定义域、值域是构成函数的要素； 2．会求一些简单函数的定义域和值域． 二．学习重、难点：1．学习重点：会求定义域、值域是构成函数的要素； 2．学习难点：会求一些简单函数的定义域和值域． 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习：1．常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母___________． (2)偶次根式函数被开方式____________. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为__________． (6)y ＝tan x 的定义域为________________________． (7)函数f (x )＝x 0的定义域为_____________．(8)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是___.(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为________________；当a <0时，值域为_______________．(3)y ＝kx(k ≠0)的值域是___________．(4)y＝a x(a>0且a≠1)的值域是___________．(5)y＝log a x(a>0且a≠1)的值域是____.(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是_________．(7)y＝tan x的值域是_____.五．复习前测：1．函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是() A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)2．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)3．已知全集U＝R，设函数y＝lg(x＋1)的定义域为集合A，函数y＝x2＋2x＋5的值域为集合B，则A∩(∁U B)＝()A．(－1,2] B．[－1,2]C．(－1,2) D．[－1,2)4．函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域为__________．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <11x ，x >1的值域是__________．要点点拨：1．函数定义域的求法第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义．2．求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．六．复习过程：题型一：求函数的定义域 [例1](1)求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x －4)0的定义域；(2)已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，求g (x )＝f (x 2)1＋lg (x ＋1)的定义域．[思路点拨](1)列不等式组→解不等式组→写出定义域(2)0≤x≤2→0≤x2≤2→g(x)的定义域[规律总结]若给出函数的具体解析式，则函数的定义域就是使函数有意义的取值集合；若给定的是抽象函数，例如已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域，须抓住两点：①定义域是指x的取值集合；②“f”后面整体的取值范围相同．变式训练1(1)已知f(x＋1)＝ln x，则函数f(log12x)的定义域为__________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是() A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)题型二：求函数的值域[例2]求函数y＝1x2＋2的值域；(2)求函数y＝4x－5＋2x－3的值域；(3)求函数y＝3xx2＋4的值域；(4)求函数y＝1－x2x＋5的值域．[规律总结]函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．常用的求解方法有(1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；(3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出；(4)换元法，用换元法时一定要注意新变量的范围；(5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；(6)导数法．求下列函数的值域，并指出函数有无最值． (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋4x .题型三：函数定义域、值域的有关参数问题[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx .若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值．[规律总结] 已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．(1)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为__________．(2)(2011·湖南高考)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)创新探究——函数的性质在解题中的应用 [例题] (1)(2012·江西)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx(2)(2012·湖南)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba的最小值为( )A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434[思路点拨] 当函数以解析式形式给出时，求其定义域的实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．链接高考：1．(2012·山东)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]2．(2011·湖南卷)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.223．(2011·北京)设A (0,0)，B (4,0)，C (t ＋4,4)，D (t,4)(t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N (t )的值域为( )A ．{9,10,11}B ．{9,10,12}C ．{9,11,12}D ．{10,11,12}七．反馈练习：1．函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)2．函数y ＝x (x －1)－lg 1x 的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x <0}D ．{x |0<x ≤1}3．(2013·南通模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( )A ．[－5，－1]B ．[－2,0]C ．[－6，－2]D ．[1,3]4．(2013·长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞))C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N )D ．y ＝1|x ＋1|5．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪(12，2]B ．(－∞，2]C ．(－∞，12)∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)6．已知定义域为D 的函数f (x )，若对任意x ∈D ，存在正数M ，都有|f (x )|≤M 成立，则称函数f (x )是定义域D 上的“有界函数”，已知下列函数：①f (x )＝sin x ·cos x ＋1；②f (x )＝1－x 2；③f (x )＝1－2x ；④f (x )＝lg 1－x1＋x，其中“有界函数”的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．y ＝133x －9－|x |－2的定义域为__________．9．函数y＝|x＋2|＋(x－3)2的值域为__________．10．(15分)求下列关于x的函数的定义域和值域：(1)y＝1－x－x；(2)y＝log2(－x2＋2x)；(3)11． (2013·宝鸡模拟)已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．12．定义在正整数集上的函数f (x )对任意m ，n ∈N *，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )＋4(m ＋n )－2，且f (1)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若m 2－tm －1≤f (x )对于任意的m ∈[－1,1]，x ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．八．思维总结：九．自我评价：1．你对本章的复习的自我评价如何？A．很好B．一般C．不太好2．你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞？。
2.2 函数的定义域与值域教案
2．2 函数的定义域与值域【知识网络】构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)值域：(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
【典型例题】 例1．（1）函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（ ）A ．（∞-，31-） B ．(31-，31） C ．(31-，1） D ．(31-，∞+） 提示：由10310x x ->⎧⎨+>⎩解得113x -<<．答案为C ．（2）已知()f x =11+x ，则函数(())f f x 的定义域是( ). A ．{|1}x x ≠-B ．{|2}x x ≠-C ．{|12}x x x ≠-≠-且D ．{|12}x x x ≠-≠-或提示：11(())1()111f f x f x x =+++＝，∴ 11101x x ≠-⎧⎪⎨+≠⎪+⎩，解得12x x ≠-≠-且，答案为C ． （3）函数＝268y kx x k =-++的定义域为R ，则k 的取值范围是（ ）A.09k k ≥≤-或B.1k ≥C.91k -≤≤D. 01k <≤ 提示：∵2680kx x k -++≥恒成立， 0k ≤显然不符，∴ 0364(8)0k k k >⎧⎨∆+≤⎩＝－， 解得：1k ≥，选B ．（4）下列函数中,最小值是2的是__ _(正确的序号都填上). ③①(12)y x x x =+>；②2232x y x +=+；③914x y x =+-；④x x y cot tan +=． （5）若的最大值是则y x y x 43,122-=+_________提示：设cos ,sin x y θθ==，则343cos 4sin 5sin x y θθθϕ-=-=（＋），其最大值为5．例2．（1）求下列函数的定义域：xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域．（2）已知函数()f x 的定义域是(,)a b ，求函数()(31)(31)F x f x f x =-++的定义域．),3[]2,1()1,0(+∞ ．(2）由113133311133a b x a x b a x b a b x ++⎧<<⎪<-<⎧⎪⇔⎨⎨<+<--⎩⎪<<⎪⎩ ．∵ 函数的定义域不可能为空集，∴ 必有1133a b +-<，即2b a ->此时，1133a b x +-<<，函数的定义域为（3131-+b a ，）；例3．求下列函数的值域：（1）2432y x x =-+-； （2）12y x x =+-；（3）221223x x y x x -+=-+； （4）35y x x =-+-；解：（1）24(1)4y x =---+，∵ 20(1)44x ≤--+≤， ∴ 20(1)42x ≤--+≤ ∴224(1)44x ≤---+≤∴所给函数的值域为[2，4]（2）令12x t -=(0t ≥)，则x=212t -．∴ 212t y t -=+21(1)12t =--+，当1t =时，max 1y = ∴所给函数的值域为(－∞,1].（3）由已知得：2(21)(21)(31)0y x y x y ---+-=…………（*） ①当210y -=时，12y =，代入（*）式，不成立，∴12y ≠． ②当210y -≠时，则：211312231102(21)4(21)(31)0102y y y y y y y ⎧⎧≠⎪≠⎪⎪⇒⇒≤<⎨⎨⎪⎪≤≤∆=----≥⎩⎪⎩ ∴ 所给函数的值域为31[,)102．（4）530503≤≤⎩⎨⎧≥-≥-x x x 得由 ∴函数定义域为[3,5]2222(3)(5)221(4)y x x x =+--=+-- 又当4x =时，2max 4y =，当35x =或时，2min 2y = ∴ 224y ≤≤ 0y > ∴22y ≤≤∴ 所给[2,2]函数的值域为例4．已知函数2()3y f x x ax ==++在区间[-1，1]上的最小值为-3，求实数a 的值．解：43)2()(22a a x x f y -++==（1）min 12(1)432aa y f a -<->=-=-=-当，即时，，解得：7a = （2）当112a -≤-≤，即22a -≤≤时，2min ()3324a a y f =-=-=-，解得26a =±（舍去） （3）当12a->，即2a <-时，min (1)43y f a ==+=-，解得：7a =-．综合（1）（2）（3）可得：a=±7．【课内练习】1．函数23)(x x x f -=的定义域为（ ）A ．[0，32 ] B ．[0，3] C ．[-3，0] D ．（0，3） 提示：由230x x -≥得：03x ≤≤，答案为B ． 2．函数251xy x =+的值域为（ ） A 5{|}2y y ≠ B ．{|0}y y ≠ C ．{|25}y y y ≠≠且 D ．2{|}5y y ≠ 提示：y ＝)15(5252+-x , ∵)15(52+x ≠0, ∴ y ≠52答案为D ． 3．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是（ ）A ．[,]a bB ．[,]b a --C ．[,]b b -D ．[,]a a -提示：由(0)a x b b a a x b <<⎧>->⎨<-<⎩得：(0)a x bb a b x a <<⎧>->⎨-<<-⎩即a x a -<<，答案为D ． 4．函数2211x y x -=+的值域为（ ）A ．[1,1]-B ．(1,1]-C ．[1,1)-D ．(,1][1,)-∞-+∞提示：由2211x y x-=+得：2101y x y -=≥+，解得：11y -<≤．5．函数31--+=x x y 的值域是________________.提示：作出函数的图象，得值域为[4,4]-．6．函数248136(1)x x y x ++=+ (1x >-)的值域是[2,)+∞提示：24(1)923(1)26(1)32(1)x y x x x ++==++≥++， 当且仅当123(1)32(1)x x x >-⎧⎪⎨+=⎪+⎩即12x =时取等号．又函数无最大值，故函数值域为[2,)+∞．7．若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为2y x =、值域为{1,4}的“同族函数”共有 9 个.提示：设函数2y x =的定义域为D ，其值域为{1,4}，D 的所有情形的个数，即是同族函数的个数，D 的所有情形为：{1,2},{1,2},{1,2},{1,2},{1,1,2},{1,1,2},-------{1,2,2},{1,2,1}---， {1,1,2,2}--共9个，答案为9．8．求下列函数的定义域：（1）2311x x y x -=--； （2）12log (2)xy x =- ．解：（1）由 ⎩⎨⎧≠--≥-01|1|032x x x , 得⎩⎨⎧≠≠≤≤2030x x x 且, 即：0223x x <<<≤或 ∴ 函数的定义域是(0, 2)∪(2, 3] ．（2）由12log (2)0x ->，得：021x <-< ，即：12x <<，∴ 函数的定义域为(1,2)．9．求下列函数的值域：（1）242(14)y x x x =-+-≤≤；（2）xx y sin 2sin 2+-=；（3）22436x x y x x ++=+-．解：（1）2(2)2y x =--+∵ 14x ≤≤，∴ 当2x =时，max 2y =，当4x =时，min 2y =- ∴ 所给函数的值域为[2,2]-．（2）由xxy sin 2sin 2+-=解得：22sin 1y x y -=+，由|sin |1x ≤得22||11y y -≤+ 两边平方后整理，得：231030y y -+≤，解得：133x ≤≤，故所给函数的值域为1[,3]3．（3）由已知得2(1)(4)(63)0y x y x y -+--+= (*) ① 若1y =，代入（*）式390x --=，∴3x =-，此时原函数分母26x x +-的值为0，∴y ≠1；② 若y ≠1，则2(4)4(1)(63)01y y y y ⎧∆=-+-+≥⎨≠⎩2(52)01y y ⎧-≥⇒⎨≠⎩1y ⇒≠ 但当25y =时，代入(*)得：3x =-，∴25y ≠∴函数的值域为：2{|,1}5y y R y y ∈≠≠且．评注：本题中需要检验的原因是：函数22436x x y x x ++=+-可化简为1(3)2x y x x +=≠--．10．已知函数12)(2++=ax x x f 在区间[1,2]-上的最大值为4，求a 的值．解：22()()1y f x x a a ==++-（1）当12a -≤，即12a ≥-时，在2x =时函数有最大值，(2)544f a =+=，解得14a =-，适合；（2）当12a ->，即12a <-时，在1x =-时函数有最大值，(1)224f a -=-=，解得1a =-，适合．综上所述：14a =-或1a =-．A 组 1．设I ＝R ，已知2()lg(32)f x x x =-+的定义域为F ，函数()lg(1)lg(2)g x x x =-+-的定义域为G ，那么GU I C F 等于（ ）A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(1，＋ ∞)D ．(1，2)U(2，＋∞)2．已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2x f x f y ++=的定义域为（ ） A ．[2,1]-- B ．[1,2] C ．[2,1]- D ．[1,2]-3．若a ＞1, 则 11-+a a 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．32 D ．124．函数232y x x =--的值域为_________________.5．函数|1||2|y x x =++-的值域为______________.6．求函数222231x x y x x -+=-+的值域7．求函数x x y cos lg 252--=的定义域． 8．已知函数2()23f x x x =-+在[0,]a (0)a >上的最大值为3，最小值为2，求实数a 的取值范围．B 组1．若函数()f x 的定义域为[－2，2]，则函数()f x 的定义域是（ ） A ．[－4，4] B ．[－2，2] C ． [0，2] D ． [0，4] 2．已知函数1()lg1xf x x+=-的定义域为A ，函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ，则下述关于A 、B 的关系中，不正确的为（ ）A ．A ⊇B B ．A ∪B=BC ．A ∩B=BD ．B ⊂≠A 3．下列结论中正确的是（ ）A ．当2x ≥时，1x x+的最小值为2 B ．02x ≤≤时，22x x --无最大值C ．当0x ≠时，12x x+≥ D ．当1x >时，1lg 2lg x x +≥4．函数(63)(02)y x x x =⋅-<<的值域是_________.5．已知函数22(1)1xy ax a x -=-+-的定义域是R , 则实数a 的范围是______________.6．已知函数22()lg[(1)(1)1],f x a x a x =-+++若()f x 的值域为(,)-∞+∞，求实数a 的取值范围。
函数的定义域、值域、单调性、奇偶性教案大全
第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）一、知识结构重点：函数及其表示方法；函数的单调性、奇偶性，几类特殊函数的性质及应用； 难点：运用函数解决问题：建立数学模型。
第一课时 函数的概念和图象（1）学习要求1．理解函数概念；2．了解构成函数的三个要素；3．会求一些简单函数的定义域与值域；4．培养理解抽象概念的能力．自学评价1． 函数的定义：设,A B 是两个非空数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为(),y f x x A =∈．其中输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，所有输出值y 的取值集合叫做函数()y f x =的值域。
【精典范例】例1：判断下列对应是否为函数： （1）;,,Z y R x x y y x ∈∈→的最大整数，为不大于其中（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈； （3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，；听课随笔（4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤， {|03}y y y ∈≤≤．【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A 中的x 即可． 【解】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是。
点评:判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：“非空”、“每一个”、“惟一”。
例2：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f （2）131-+--x x ；（3）1()2f x x=-．【解】（1）),2()2,4(+∞--- ；（2）]1,3[-；（3）[1,2)(2,)-+∞。
点评: 求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况： ①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。
函数的定义域与值域,单调性,奇偶性 教案
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法精讲3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
例1. 已知2211()x x xfx x+++=，试求()f x。
2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
《2.2函数的定义域和值域》 学案
学习过程一、复习预习1、函数的概念及三要素2、函数的表示方法二、知识讲解考点1 常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．考点2 基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≤4ac －b 24a .(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}．(5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．(7)y ＝tan x 的值域是R .考点3 分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间的关系分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集三、例题精析【例题1】【题干】(1)(2012·江苏高考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．(2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．【答案】(0， 6 ]【解析】(1)由1－2log6x≥0解得log6x≤12⇒0＜x≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．(2)∵f(x)的定义域是[－2,4]，∴－2≤x2－3x≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x≤1或2≤x≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4]【例题2】【题干】求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]；(2)y＝x2－xx2－x＋1；(3)y＝log3x＋log x3－1.【解析】(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵0≤x ≤3，∴1≤x ＋1≤4.∴1≤(x ＋1)2≤16.∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.(3)y ＝log 3x ＋1log 3x －1，令log 3x ＝t ，则y ＝t ＋1t －1(t ≠0)，当x >1时，t >0，y ≥2 t ·1t－1＝1， 当且仅当t ＝1t 即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立；当0<x <1时，t <0，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－t )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t －1≤－2－1＝－3. 当且仅当－t ＝－1t 即log 3x ＝－1，x ＝13时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).【例题3】【题干】若函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则a＋b＝________.【答案】6【解析】∵由题意知x－1>0，又x∈[a，b]，∴a>1.则f(x)＝1x－1在[a，b]上为减函数，则f(a)＝1a－1＝1且f(b)＝1b－1＝13，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.【例题4】【题干】若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，5C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103【答案】 C【解析】令t ＝f (x )，则12≤t ≤3.易知函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数． 又因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103.可知函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.四、课堂运用【基础】1．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是() A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋12．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()3．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()A．[－2,2] B．[1,2] C．[0,2] D．[－2， 2 ]【巩固】4．函数y＝16－x－x2的定义域是________．5．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________．【拔高】6．下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是()A．f(x)＝ln x B．f(x)＝1 xC．f(x)＝|x| D．f(x)＝e x7．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．课程小结1、求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2、妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.。
函数的定义域和值域教案
函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。
三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。
（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。
比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。
2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。
- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。
（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。
- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。
（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。
- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。
3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。
请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。
（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。
必修第一册函数的定义域和值域学案
函数的定义域和值域（一）求函数定义域的一般原则：（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. （4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义. （二）：抽象函数的定义域求法：①函数f (x )的定义域是指x 的取值范围所组成的集合。
②函数[])(x f ϕ的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x ϕ的取值范围。
③已知f(x)的定义域为A ，求[])(x f ϕ的定义域:其实质是（求法）：已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x f ϕ的定义域。
④已知[])(x f ϕ的定义域为B ，求f(x)的定义域:其实质是（求法）：已知[])(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的取值范围；解得的)(x ϕ的取值范围即是f(x)的定义域。
⑤同在对应法则f 下的范围相同：即[][])(,)(),(x h f x f t f ϕ三个函数中)(),(,x h x t ϕ的范围相同。
（三）：复合函数的定义域及其求法：（1）定义：如果函数)(t f y =的定义域为A,函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数[])(x g f y =为)(x f 与)(x g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，)(x g t =叫做内层函数，)(t f y =叫做外层函数。
(2）复合函数定义域求法：①函数[])(x g f 的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围。
②已知f(x)的定义域为A ，求[])(x g f 的定义域:其实质是（求法）：已知)(x g 的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x g f 的定义域。
学案2函数的定义域与值域2
1(t≥0),
2
2
2
∴y∈
-
,
1 2
.
解法二：∵1-2x≥0,∴x≤ , 1
2
∴定义域为-,1 2.∵函数y=x,y=-
12x 在
-
,
1 2
上均为单调递增,
∴y≤
1 1 2 1 1,∴y∈
2
22
-
,
12.
(3)解法一:当x>0时,y=x+ 4≥2
x
取等号;
x 4 =4,当且仅当x=2时,
∴t∈［0,4］, t∈［0,2］,
从而,当x=1时,ymin=2;
当x=-1或x=3时,ymax=4.
故值域为［2,4］.
(2)∵ y 2x 1 2(x - 3) 7 2 7 , 其中 7 ≠0,
x-3 x-3
x-3
x-3
∴y= 2x 1 的值域是(-∞,2)∪(2,+∞).
x-3
(3)将函数变形为
1.当函数是由解析式给出时,其定义域是使解析式有 意义的自变量的取值集合.
2.当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不 仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面 积必须大于零、人数必须为自然数等）.
3.要记住各种基本函数的值域；要记住具有什么结 构特点的函数用什么样的方法求值域.
求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠 在学习过程中不断积累，掌握规律，所以要记住各种 基本函数的值域；要记住什么结构特点的函数用什么 样的方法求值域，即熟悉求函数值域的几种常用方法 ，但在解决求值域问题时要注意选择最优解法.
1 2
,
1
D.（0,+∞) +lg(1+x)的定义
函数的定义域、值域、单调性、奇偶性教案大全
第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）一、知识结构重点：函数及其表示方法；函数的单调性、奇偶性，几类特殊函数的性质及应用； 难点：运用函数解决问题：建立数学模型。
第一课时 函数的概念和图象（1）学习要求1．理解函数概念；2．了解构成函数的三个要素；3．会求一些简单函数的定义域与值域；4．培养理解抽象概念的能力．自学评价1． 函数的定义：设,A B 是两个非空数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为(),y f x x A =∈．其中输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，所有输出值y 的取值集合叫做函数()y f x =的值域。
【精典范例】例1：判断下列对应是否为函数： （1）;,,Z y R x x y y x ∈∈→的最大整数，为不大于其中（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈； （3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，；听课随笔（4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤， {|03}y y y ∈≤≤．【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A 中的x 即可． 【解】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是。
点评:判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：“非空”、“每一个”、“惟一”。
例2：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f （2）131-+--x x ；（3）1()2f x x=-．【解】（1）),2()2,4(+∞--- ；（2）]1,3[-；（3）[1,2)(2,)-+∞ 。
点评: 求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况： ①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。
必修第一册函数的定义域和值域学案
函数的定义域和值域（一）求函数定义域的一般原则：（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.（二）：抽象函数的定义域求法：①函数f (x )的定义域是指x 的取值范围所组成的集合。
②函数[])(x f ϕ的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x ϕ的取值范围。
③已知f(x)的定义域为A ，求[])(x f ϕ的定义域:其实质是（求法）：已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x f ϕ的定义域。
④已知[])(x f ϕ的定义域为B ，求f(x)的定义域:其实质是（求法）：已知[])(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的取值范围；解得的)(x ϕ的取值范围即是f(x)的定义域。
⑤同在对应法则f 下的范围相同：即[][])(,)(),(x h f x f t f ϕ三个函数中)(),(,x h x t ϕ的范围相同。
（三）：复合函数的定义域及其求法：（1）定义：如果函数)(t f y =的定义域为A,函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数[])(x g f y =为)(x f 与)(x g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，)(x g t =叫做内层函数，)(t f y =叫做外层函数。
(2）复合函数定义域求法：①函数[])(x g f 的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围。
②已知f(x)的定义域为A ，求[])(x g f 的定义域:其实质是（求法）：已知)(x g 的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x g f 的定义域。
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案
一. 教学内容：求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 学习目标1、进一步理解函数的定义域与值域的概念；2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式；3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值；4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用；5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题；6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。
三. 知识要点（一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B 的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；（四）求函数的最值1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（x o）＝M，则称当x＝x o时f （x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。
学案2 函数的定义域与值域-函数与导数 2012高考一轮数学精品课件
此式可以看作点(2,0)和(cosx,-sinx)连线的斜率,而点 (cosx,-sinx)的轨迹方程
为x2+y2=1,如图所示 , 在
坐标系中作出圆x2+y2=1 和点(2,0).
返回目录
由图可看出,当过(2,0)的直线与圆相切时,斜率分别取
得最大值和最小值,由直线与圆的位置关系,可设直线方程
为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,
2 可求得x= 时,ymin= 3
13 .
显然无最大值,故值域为［ 13 ,+∞). 返回目录
考点三
关于定义域、值域及参数问题
函数f(x)= (1 - a 2 )x 2 3(1 - a)x 6 . (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的定义域为［-2,1］,求实数a 的值.
＊对应演练＊
若函数f(2x)的定义域是［-1,1］，求函数f(log2x)的定 义域.
∵y=f(2x)的定义域是［-1,1］,
1 ∴ ≤2x≤2. 2 ∴y=f(x)的定义域是 1 ,2 . 2 1 由 ≤log2x≤2得 ≤x≤4. 2 2 ∴y=f(log2x）的定义域是［ 2,4］.
【分析】 (1)定义域为R,即不等式(1-a2)x2+3(1a)x+6≥0恒成立.
(2)定义域为［-2,1］,即(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的
解集为［-2,1］. 返回目录
【解析】 (1)①若1-a2=0,即a=〒1. (ⅰ)当a=1时,f(x)= 6 ,定义域为R,符合; (ⅱ)当a=-1时,f(x)= 6 x 6,定义域不为R,不合题意. ②若1-a2≠0,则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数, ∵f(x)的定义域为R,∴g(x)≥0对x∈R恒成立, ∴
[精品]新高中数学第一轮复习第二课时函数的定义域和值域导学案
![[精品]新高中数学第一轮复习第二课时函数的定义域和值域导学案](https://img.taocdn.com/s3/m/0e877b3014791711cc7917be.png)
函数的定义域与值域【学习目标】1.掌握求常规函数的定义域与值域的方法。
2.了解特殊情形下的函数的定义域与值域的求法。
3.以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。
【学习重点】基本初等函数的定义域与值域的求法。
【学习难点】复合函数的定义域与值域的求法。
[自主学习]一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式的集合.2．常见的三种题型确定定义域：①已知函数的解析式，就是 .②复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f (x)的域.③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y＝f (x)中，与自变量x的值的集合.2．常见函数的值域求法，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法例如：① 形如y ＝221x +，可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －x-1，可采用 法；⑤ y ＝x －21x -，可采用 法；⑥ y ＝xxcos 2sin -可采用 法等.[典型例析]（A ）例1. 求下列函数的定义域： （1）y=xx x -+||)1(0; (2)y=232531x x -+-; (3)y=1·1-+x x变式训练1：求下列函数的定义域： （1）y=212)2lg(x x x -+-+(x-1); (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0;(3)y=225x -+lgcosx;( B)例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x1);(3)y=f()31()31-++x f x ; (4)y=f(x+a)+f(x-a).小结：(B)例3. 求下列函数的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x21-; (3)y=1e 1e +-x x. （4）y=521+-x x; (5)y=|x|21x -.小结：（C）例4已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R).（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.[当堂检测]1.若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域__________。
高考数学一轮复习 2.2 函数的定义域及值域精品教学案(学生版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案 2.2 函数的定义域及值域（新课标人教版，学生版）【考纲解读】1.了解函数的定义域、值域是构成函数的要素；2.会求一些简单函数的定义域和值域，掌握一些基本的求定义域和值域的方法；3.体会定义域、值域在函数中的作用.【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.函数的最大值与最小值是历年来高考必考内容之一,选择填空题、解答题中都可能出现,解答题一般以中、高档题的形式考查,常常与不等式等知识相联系，以考查函数知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数的最值求解,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.函数的定义域是自变量x 的取值集合，函数的值域是因变量y 的取值集合.2.已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0;(2)偶次根式函数,被开方数非负数;(3)一次函数、二次函数的这定义域为R ；（4）0x 中的底数不等于0；（5）指数函数xy a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >；（7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x=的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（9）cot y x =的定义域均为{}|,x x k k z π≠∈. 3.求抽象函数的定义域:（1）由()y f x =的定义域为D ，求[()]y f g x =的定义域，须解()f x D ∈;（2）由[()]y f g x =的定义域D ，求()y f x =的定义域，只须解()g x 在D 上的值域就是函数()y f x =的定义域;（3）由[()]y f g x =的定义域D ，求[()]y f h x =的定义域.4.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义.5.函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.(3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax bcx d++ 或2ax bx e y cx d ++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b cx d =+±+型,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域.【例题精析】考点一 函数的定义域函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例1. (2012年高考山东卷文科3)函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为( )(A)[2,0)(0,2]-U (B)(1,0)(0,2]-U (C)[2,2]- (D)(1,2]- 【变式训练】3)若，则()f x 的定义域为1. (2011年高考江西卷文理科( )A. (,)1-02B. (,]1-02 C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞ 考点二 函数的值域例2.（2010年高考山东卷文科3）函数()()2log 31x f x =+的值域为（ ） A. ()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣ 【变式训练】2.（2010年高考重庆卷文科4）函数164x y =-的值域是（ ） （A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 【易错专区】问题：对定义域理解不全而导致错误例.已知函数(1)f x +的定义域是[-1,1],求函数(2)xf 的定义域.【课时作业】1.(广东省肇庆市中小学教学质量评估2012届高中毕业班第一次模拟)已知函数()lg f x x =的定义域为M ，函数2,231,1x x y x x ⎧>=⎨-+<⎩的定义域为N ，则M N =I ( ) A. (0,1) B. (2,)+∞ C. (0,)+∞ D. (0,1)(2,)+∞U 2．(广东省六校2012年2月高三第三次联考文科)函数1lg(1)y x x =--+的定义域为( )A ．{|1}x x ≥B ．{|11}x x -<<C ．{|1}x x >-D ．{|11}x x -<≤ 3.(2011年高考安徽卷文科13)函数216y x x=--的定义域是 .4. (北京市西城区2012年1月高三期末考试) 函数21()log f x x=的定义域是______． 5．(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)已知函数3()1+2+(0)f x x x x=>在x =a 时取到最小值，则a =________．6．（辽宁省大连市2012年4月高三双基测试文科）若函数2()(2)xf x x x e =-的最小值是00(),f x x 则值为 ．【考题回放】1.(2011年高考广东卷文科4)函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞U D ．(,)-∞+∞ 2．（2010年高考湖北卷文科5）函数0.5log (43)y x =-的定义域为（ ）A.(34,1) B(34,∞)C （1，+∞）D. (34,1)∪（1，+∞） 3．（2010年高考天津卷文科10）设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（ ）（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦4．（2010年高考广东卷文科2）函数)1lg()(-=x x f 的定义域是（ ） A.),2(+∞ B. ),1(+∞ C. ),1[+∞ D. ),2[+∞5.(2012年高考广东卷文科11)函数yx=的定义域为__________.6.(2012年高考四川卷文科13)函数()f x=____________.（用区间表示）7.（2012年高考新课标全国卷文科16）设函数f(x)=(x+1)2+sin xx2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m=____。
人B函数学案2 函数的定义域、值域
【分析】要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围， 可考虑列不等式或不等式组. 【解析】（1） 令
x≥0,
1 7x ≥0,
即
x≥0，
1 x≤ , 7
∴0≤x≤17.
∴函数的定义域为 x { |0≤x≤
1 }. 7
返回
（2）
令
x+1≠0, |x|-x>0,
即
x≠-1， x<0，
∴x<0,且x≠-1.
7.因为x=0,1,2,3,4.
所以f(0)=-3,f(1)=-1,f(2)=5,f(3)=15,f(4)=29.
故f(x)的值域为{-3,-1,5,15,29}.
返回
返回
返回
返回
x 3 . 2 5 x 0
解得-5≤x≤5且x≠±3.
故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3}.
返回
学点二
抽象函数的定义域
（1）已知函数f(x)的定义域是［0,4］，求函数f(x+5)的定 义域； （2）已知函数f(x-2)的定义域是［1,+∞)，求函数 义域.
x f( ) 的定 2
（6）由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实 际意义确定.
（7）定义域一般应该用集合或区间表示.后面我们还 要学到一些基本的初等函数,它们对定义域有特殊的要 求,由它们参与的复合函数的定义域又被赋予新的含义, 如对数函数等.
返回
3.求函数的值域的方法有哪些? 求函数的值域是一个比较复杂的问题,虽然给定了函数 的定义域及其对应法则以后,值域就应该完全确定了,但 求值域特别要注意方法,常用的方法有 (1)观察法.通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的 基本函数的值域,或利用函数图象的“最高点”和“最 低点”,观察求得函数的值域,这就是观察法. (2)配方法.对二次函数型的解析式可先进行配方,在充 分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的 值域的方法求函数的值域,这就是配方法. (3)判别式法.将函数视为关于自变量的二次方程,利用 判别式求函数值的范围,常用于求一些“分式”函数、 无理函数等的值域,使用此法要特别注意自变量的取值 范围.
教案2函数的定义域与值域
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型 如： f ( x) ax2 bx c, x (m, n) 的形式； ③分式转化法（或改为“分离常数法” ） ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来 求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： y x
4 ; x
x 2 1 (2 x) 2 4
教
后
记
教研组长意见：
第 5 页 共 5 页
x 2 1 (2 x) 2 4 .
解： ⑴由 3+2x-x2≥0 得函数定义域为 ［－1,3］ t=3+2x－x2=4－(x－1)2. ,又 ∴t∈[0,4］ t ∈[0,2］ ， ，从而，当 x=1 时，ymin=2. 当 x=－1 或 x=3 时，ymax=4.故值域为[2,4].
教学重点 教学难点 课 教 型 法
教
教 学 教学过程预设
具 讲练结合 过 程
多媒体、三角板、
一、知识回顾： 1．函数定义域的方法：解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义 域，函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围（如：分 式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的 真数为正数，等等） ； ②限制型：指命题的条件或人为对自变量 x 的限制，这是函数学习 中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量 x 的实际意义。 2．求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法 求一些简单函数的值域问题。求函数的值域主要从以下几个方法入手： ①配方法（将函数转化为二次函数） ； ②判别式法（将函数转化为二次方程） ； ③不等式法（运用不等式的各种性质） ； ④函数法 （运用基本函数性质， 或抓住函数的单调性、 函数图象等） 。 ⑤观察法、单调性法、不等式法、部分分式法、换元法、有界性法、 数形结合法， 其中最为重要的是：观察法、判别式法、单调性法、不等式法、有 界性法、数形结合法. 二、例题点评： 例 1（1）求函数 f(x)=
函数的定义域和值域教案
龙文教育个性化辅导教案提纲学生:日期: 年月日第次时段:教学课题函数的定义域和值域----导学案教学目标考点分析1.掌握基本初等函数定义域和值域的求法，会求一些简单函数的定义域和值域.2.本节是函数部分的基础，以考查函数的定义域、值域为主，求函数定义域是高考的热点，而求函数值域是高考的难点．3.本部分在高考试题中的题型以选择、填空题为主，属于中、低档题目.教学重点掌握基本初等函数定义域和值域的求法，会求一些简单函数的定义域和值域. 教学难点掌握求函数值域的常用方法的技巧，弄清函数的值域和函数最值的关系教学方法观察法、图象探究法、分析法、讲练结合法，启发式教学法教学过程：一、常见基本初等函数的定义域1．分式函数中分母．2．偶次根式函数被开方式.3．一次函数、二次函数的定义域均为.4．y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为.5．y＝log ax(a＞0且a≠1)的定义域为．6．y＝tan x的定义域为．7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．二、函数的值域1．在函数概念的三要素中，值域是由和所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为;当a＜0时，值域为;(3)y＝kx(k≠0)的值域是．(4)y＝a x(a>0且a≠1)的值域为．(5)y＝log a x(a>0且a≠1)的值域是.(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是．(7)y＝tan x的值域是.三、课堂基础练习1．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )A ．{－1,0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}2．(2011·广东高考)函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)3．函数y ＝1x 2＋2的值域为 ( ) A ．RB ．{y |y ≥12}C ．{y |y ≤12}D ．{y |0<y ≤12} 4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________． 5．(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________．四、走近高考[例1] (2011·江西高考)若f (x )＝1 12log (2x ＋1)，则f (x )的定义域( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 若本例中的函数变为f (x )＝2x －1 12log (2x ＋1)，试求f (x )的定义域． [例2] 求下列函数的值域，并指出函数有无最值．(1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋4x(x <0)；(3)f(x)＝x－1－2x.[例3](2011·湖南高考)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2)C．[1,3]D．(1,3)五、高考模拟题1．(2011·台州一模)函数f(x)＝x22－x－lg(x－1)的定义域是()A．(0,2)B．(1,2)C．(2，＋∞) D．(－∞，1)2．(2012·烟台调研)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．3．(2012·青田质检)若函数y＝f(x)的定义域为[－3,5]，则函数g(x)＝f(x＋1)＋f(x－2)的定义域是( )A．[－2,3] B．[－1,3]C．[－1,4] D．[－3,5]4．(2012·青岛模拟)函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞) B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)5．(2012·杭州模拟)若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是( )A．[－5，－1] B．[－2,0]C．[－6，－2] D．[1,3]6．(2012·宁波模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________．7．(2012·嘉兴模拟)已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．8．(2012·合肥模拟)若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．9.(2012·温州模拟)函数f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4的定义域为R，值域为(－∞，0]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，－2)C．{－2} D．[－2,2]知识总结：1.函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．2.函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．常用的求解方法有(1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；(3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出；(4)换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围；(5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；3. 求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．课后作业：一、选择题1．(2012·潍坊模拟)函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)2．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()3．(2012·茂名模拟)函数y＝x(x－1)－lg 1x的定义域为()A．{x|x>0} B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x＜0} D．{x|0＜x≤1} 4．(2012·长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是()A．y＝x2－2x＋1 B．y＝x＋2x＋1(x∈(0，＋∞))C．y＝1x2＋2x＋1(x∈N) D．y＝1|x＋1|5．函数y＝2x－1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是()A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) 二、填空题6．(2012·忻州模拟)函数y ＝log a (3x －2)(0<a <1)的定义域是________．7．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．三、解答题8．求下列关于x 的函数的定义域和值域：(1)y ＝1－x －x ；(2)y ＝log 2(－x 2＋2x )；(3)x 0 1 2 3 4 5 y 2 3 4 5 6 79．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值．10．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．学生对于本次课评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 教师评定： 1、上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化2、上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化教师签字：教务主任签字： ___________龙文教育教务处。
函数的定义域教学设计
函数的定义域教学设计函数的定义域教学设计一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。
三. 教学重点：函数性质的运用．四. 教学难点：函数性质的理解。
［学习过程］一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。
（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。
2. 求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的'值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《函数的定义域和值域》(学案)
班别： 姓名： 学号：
【学习目标】：
知识目标：熟练掌握函数定义域的求法，会求函数的值域或最值。
能力目标：提高对函数定义域、值域及相关问题的解题能力和运算能力，同时培养学生准确而快速地求出函数定义域和值域（最值）的能力。
【学习重、难点】：熟练求解函数的定义域和值域（最值）。
【学习过程】：
一、前置作业：
1、选择题：
(2008年) 函数3log (10)y x -的定义域是（ ）
Ａ (,10)-∞ Ｂ 1(,10)2 Ｃ 1[,10)2 Ｄ 1[,)2+∞
(2009年) 已知函数2()3f x x bx =++（b 为实数）的图像以x=1为对称轴，则()f x 的最小值为（ ）
Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ 4
(2010年) 函数
y =的定义域是（ ） Ａ (,2)-∞ Ｂ (2,)+∞ Ｃ (,1)
(1,)-∞--+∞ Ｄ(,2)(2,)-∞+∞ (2010年) 函数2()81f x x x
=++在区间(0,)+∞内的最小值是（ ） Ａ 5 Ｂ 7 Ｃ 9 Ｄ 11
(2011年) 函数
y = ） Ａ [1,1]- Ｂ (1,1)- Ｃ (,1)-∞ Ｄ(1,)-+∞
2、基本函数的定义域和值域（最值）：
①一次函数(0)y kx b k =+≠的定义域_____________，值域_______________. ②反比例函数(0)k y k x
=≠的定义域_____________，值域_______________. ③二次函数2
()(0)y a x m n a =-+>的定义域_____________，值域_______________. 二次函数2(0)y ax bx c a =++<的定义域_____________，值域_______________.
④指数函数(01)x
y a a a =>≠且的定义域_____________，值域_______________.
⑤对数函数log (01)a y x a a =>≠且的定义域_____________，值域_______________.
⑥三角函数sin y x =的定义域______，值域____________.cos y x =的定义域__________，值域__________.tan y x =的定义域______________________，值域________.
⑦函数sin()y A x k ϖφ=++的最大值__________________,最小值________________。
⑧函数sin cos y a x b x =+的最大值__________________,最小值________________。
二、课后作业
A 组：
1
、若函数()f x = ）
.A [1,1]-
.B (,1)-∞- .C (,1][1,)-∞-+∞ .D [1,)+∞ 2
、函数0()(1)f x x =-的定义域是( ) .A [1,2] .B [1,,3] .C [2,3] .D (3,)+∞
3、若0x ≥，则函数235y x x =+-的值域是（ ）
.A (,)-∞+∞ .B [0,)+∞ .C [7,)-+∞ .D [5,)-+∞
4、已知2x >，则函数42
y x x =+-的最小值是（ ） .A -2 .B 2 .C 4 .D 6
5、已知函数()3sin(2)24
f x x π=-++，则函数()f x 的最大值、最小值分别是（ ） .A 1，-1 .B 5，-3 .C 2，-1 .D 5，-1
6、已知函数()5sin 12cos f x x x =-，则函数()f x 的最大值、最小值分别是（ ）
.A 13，-13 .B 12，5 .C 5，-7 .D 17，-7 B 组：
1
、函数31()log (3)
f x x =-的定义域是( ) .A [1,2](2,3)- .B [1,2)(2,3)- .C [1,3)- .D [1,2)-
2
、函数()f x = ）
.A (0,)+∞ .B (1,)+∞ .C 1(
,1)10 .D 1(,)10+∞ 3、函数2()42f x x x =-+-在区间[0,3]上的值域是（ ） .A (2,1)- .B [1,2] .C [2,1]- .D [2,2)-
4、已知54x >，则函数14245
y x x =-+-的最小值是（ ） .A 1 .B 3 .C 4 .D 5
5、求函数2
2(sin 2)1y x =-+的值域。