人教版高一数学下册数列知识点
数列知识点总结
数列知识点总结定义：数列是按照一定顺序排列的一列数，每个数称为该数列的项。
数列中的数按一定“次序”排列，不强调有“规律”。
如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列。
在数列中同一个数可以重复出现。
表示方法：数列可以看作一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
数列的一般形式可以写成{aₙ}，其中aₙ表示数列的第n项。
分类：有穷数列和无穷数列：项数有限的数列为“有穷数列”，项数无限的数列为“无穷数列”。
递增数列、递减数列和摆动数列：对于正项数列，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列；如果任意相邻两项之商为一个常数，那么该数列为等比数列。
此外，还有摆动数列，即数列中的项有时大于前一项，有时小于前一项。
周期数列：各项呈周期性变化的数列称为周期数列。
常数数列：各项相等的数列称为常数数列。
通项公式：数列的第n项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式aₙ=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
通过通项公式，可以求出数列中任意一项的值。
等差数列和等比数列有特定的通项公式。
数列求和：数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。
除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要有一定的技巧。
常见的求和方法包括公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法等。
应用：数列在日常生活和各种领域中有着广泛的应用，如经济学中的金融市场分析和预测趋势、自然科学中的现象和事件研究、计算机科学中的算法设计、工程学中的流体控制和材料科学等。
总之，数列是数学中的一个重要概念，其知识点涵盖了定义、表示方法、分类、通项公式、求和以及应用等方面。
掌握数列的基本知识点对于理解高级数学概念和解决实际问题都具有重要意义。
高中数学数列知识点总结(精华版)
..一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即af(n)n.3.递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项），且任何一项a n与它的前一项a（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2)，n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中，a11,a n2a n1，其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a；②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、已知n*a2(nN)nn156，则在数列{}a的最大项为__（答：n125）；2、数列{}a的通项为nana n，其中a,b均为正数，则a n与a n1的大小关系为___（答：bn1aa n1）；n23、已知数列{a}中，a是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；ann，且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a(0,1)，由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN)，则该函数的图象是（）（答：A）neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
高一数列知识点归纳总结
高一数列知识点归纳总结数列是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域和学科。
在高中数学中，数列是一个重要的学习内容，掌握数列的性质和运算法则对于进一步深入学习数学至关重要。
本文将对高一数列的知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握相关概念。
一、数列的定义和基本性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
通常用字母表示数列的一般项，如a₁，a₂，a₃，…，aₙ。
常见的数列有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
等差数列是指数列中各项之间的差值保持一致的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则其通项公式为an=a₁+(n-1)d，其中n为项数。
等比数列是指数列中各项之间的比值保持一致的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则其通项公式为an=a₁*q^(n-1)，其中n为项数。
斐波那契数列的定义是从第3项开始，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34等。
二、数列的运算法则1. 数列的加法：两个数列相加，对应项相加即可。
如数列{1，3，5，7，9}与数列{2，4，6，8，10}相加，得到数列{3，7，11，15，19}。
2. 数列的减法：两个数列相减，对应项相减即可。
如数列{1，3，5，7，9}与数列{2，4，6，8，10}相减，得到数列{-1，-1，-1，-1，-1}。
3. 数列的数乘：一个数列的每一项都乘以同一个数k，所得的数列称为原数列的数乘。
如数列{1，3，5，7，9}乘以2，得到数列{2，6，10，14，18}。
4. 数列的除法：一个数列的每一项都除以同一个非零数k，所得的数列称为原数列的除法。
如数列{2，4，6，8，10}除以2，得到数列{1，2，3，4，5}。
三、数列的前n项和数列的前n项和是指数列前n个数项之和。
对于等差数列和等比数列，有一般公式来计算前n项和。
1. 等差数列的前n项和公式为Sn=(a₁+an)*n/2，其中a₁为首项，an为第n项，n为项数。
高一数学必修5：数列(知识点梳理)
第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
数列知识点归纳
数列知识点归纳数列是数学中非常重要的概念，它是由一系列按一定规律排列的数所构成的。
在数学和其他科学中，数列常常被用来描述和分析各种变化的现象和问题。
本文将对数列的基本概念、性质以及常见的数列类型进行归纳总结。
一、基本概念1. 数列的定义：数列是由一系列具有固定顺序的数所构成的集合。
通常用字母表示数列，如a1,a2,a3,…,an，其中a1表示数列的第一项，an表示数列的第n项。
2. 数列的项数和项的通项公式：项数指数列中的项的个数，通项公式是指能够根据项的位置n来确定该位置上的数的公式。
3. 数列的和与差：数列的和是指将数列中的所有项相加所得到的结果，数列的差是指相邻两项之间的差值。
4. 数列的递增和递减：如果数列中的每一项都比它前面的项大，则称这个数列为递增数列；如果数列中的每一项都比它前面的项小，则称这个数列为递减数列。
二、性质与定理1. 数列的有界性：一个数列可能是有界的，也可能是无界的。
如果一个数列的所有项都在某一范围内，则称它是有界数列；如果一个数列存在项无限大或无穷小的情况，则称它是无界数列。
2. 数列的极限：数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列中的数趋于的值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无穷大或无穷小。
3. 数列的收敛与发散：如果一个数列存在极限，并且极限是有限的，则称这个数列是收敛数列；如果一个数列不存在极限，或者极限是无限大或无穷小，则称这个数列是发散数列。
4. 数列的递推公式和通项公式：递推公式是指通过前一项或前几项计算出后一项的公式；通项公式是指能够根据项的位置n来确定该位置上的数的公式。
三、常见数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d 是公差。
2. 等比数列：等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r 是公比。
高中数学数列知识点总结(精华版)
高中数学数列知识点总结一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
高中数学数列知识点总结
高中数学数列知识点总结数列是高中数学中的一个重要概念，涉及到很多的知识点。
下面总结了高中数学数列的常见知识点，以帮助大家更好地理解和掌握数列的相关知识。
一、基本概念和性质1. 数列的定义：数列由若干个依次排列的数按照一定规律组成的有序集合。
2. 通项公式：数列中的每一项都可以表示为一个表达式，这个表达式称为通项公式。
3. 前n项和：数列前n项的和称为前n项和，通常记作Sn。
4. 递推关系式：数列中的各项之间存在递推关系，即通过前一项可以推导出后一项的关系。
5. 有限数列和无限数列：数列中的项数的前者为有限数列，后者为无限数列。
6. 等差数列：数列中的任意两个相邻项之间的差值相等，这个差值称为公差，称这个数列为等差数列。
7. 等差数列的通项公式和前n项和公式。
8. 等差数列的性质，如对称性、删除公共项等。
二、等差数列的应用1. 等差数列的求和公式推导和应用。
2. 算术平均数和等差数列之间的关系。
3. 等差数列在日常生活中的应用，如等差序列的排队等。
三、等比数列1. 等比数列的定义和通项公式。
2. 等比数列的前n项和公式。
3. 等比数列的性质，如比例不为零、删除公共项等。
4. 等比数列和判断常比、范围、含义等的应用。
四、数列的表示方法1. 列举法：将数列的各项按照从前到后的顺序写出来。
2. 通项公式法：通过找到数列中相邻项之间的关系，写出数列的通项公式。
3. 递推关系式法：通过数列中前一项和后一项之间的关系，写出递推关系式。
五、特殊数列1. 等差数列的和数列：等差数列的各项之和组成的数列，称为等差数列的和数列。
2. 平方数列和立方数列：等差数列中的每一项都是平方数或者立方数的数列。
六、应用题和解题方法1. 利用数列的性质和公式解决数列相关的应用题。
2. 利用数列的递推关系解决数列相关的应用题。
3. 利用数列的前n项和求解数列相关的应用题。
综上所述，高中数学数列的知识点包括了数列的基本概念和性质、等差数列的应用、等比数列的性质和应用、数列的表示方法、特殊数列、以及解决数列应用题的方法等。
人教版高一数学必修5--第二章数列总结
人教版高一数学必修5--第二章数列总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： a n ＝⎩⎨⎧S 1n ＝1S n －S n －1n ≥2.(2)等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d . A ＝a ＋b2(等差中项)． （3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m .S n ＝⎩⎨⎧na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q ＝a 11－qn 1－qq ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一 数列的通项公式的求法1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…；2．定义法等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a25.求数列{a n}的通项公式．3．前n项和法(1)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n＋1，求通项a n；(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2，求通项a n.4．累加法已知{a n}中，a1＝1，且a n＋1－a n＝3n(n∈N*)，求通项a n.5．累乘法已知数列{a n}，a1＝13，前n项和S n与a n的关系是S n＝n(2n－1)a n，求通项a n.6．辅助数列法已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)．求数列{a n}的通项公式．7．倒数法已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a na n＋1(n∈N*)．求通项a n.专题二数列的前n项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．求和：S n＝112＋214＋318＋…＋(n＋12n)．2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n＋k＝1k·(1n－1n＋k)；(2)若{a n}为等差数列，公差为d，则1a n·a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)；(3)1n＋1＋n＝n＋1－n等．3．错位相减法若数列{a n}为等差数列，数列{b n}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以等比数列{b n}的公比q，然后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n}中，a1＝3，点(a n，a n＋1)在直线y＝x＋2上．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n·3n，求数列{b n}的前n项和T n.4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n.附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.（2）等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义1．1．公式2．2．性质1．，称为与的等差中项2．若（、、、），则3．，，成等差数列4.1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
关于数列的知识点总结归纳
关于数列的知识点总结归纳【关于数列的知识点总结归纳】一、数列的定义和基本概念数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的序列。
其中，每个数字称为数列的项，项的位置称为项数。
二、数列的分类1.等差数列等差数列是指数列中各项之间的差值相等的数列。
其中，差值称为公差。
常用符号表示为an=a1+(n-1)d。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2.等比数列等比数列是指数列中各项之间的比值相等的数列。
其中，比值称为公比。
常用符号表示为an=a1*r^(n-1)。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和的数列。
其中，首项和次项为1，即F1=F2=1，第n项的值为Fn=Fn-1+Fn-2。
4.等差减数列等差减数列是指数列中各项之间的差值递减的数列。
例如，1，2，4，7，11就是一个等差减数列。
5.等差倍数数列等差倍数数列是指数列中各项之间的差值递增的数列，并且差值是递增的倍数关系。
例如，1，2，6，15，31就是一个等差倍数数列。
三、数列的性质和定理1.递推公式递推公式是指通过前面几个项计算后面项的公式。
根据不同数列的特点，可以得到相应的递推公式。
2.通项公式通项公式是指通过项数n直接计算出第n项的公式。
根据不同数列的特点，可以得到相应的通项公式。
3.前n项和公式前n项和公式是指数列前n项的和的公式。
通过该公式，可以快速计算数列前n项的和。
例如等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2。
4.数列的求和法则根据数列的性质，可以得到各类数列的求和法则。
例如，等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2，等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
5.数列的性质和规律数列中的项之间存在着一定的性质和规律，比如等差数列的项与项之差相等，等比数列的项与项之比相等等。
人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)
人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)Lesson6 数列知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1) d .3．等差中项a ＋b如果 A ＝2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *) ．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *) ，则 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为.(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *) 是公差为的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式n (a 1＋a n )n (n －1)设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n 或S n ＝na 1＋22.6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系d d 2⎛S n 2＋ a 1－2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数) ．⎝⎭7．等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d 0，则S n 存在最小值．[难点正本疑点清源] 1．等差数列的判定(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2) ； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1) a n .n(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝2. 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项) ．31例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝5a n ＝2－(n ≥2，a n －11n ∈N *) ，数列{b n }满足b n ＝(n ∈N *) ．a n －1(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．11(1)证明∵a n ＝2－(n ≥2，n ∈N *) ，b n ＝.a n －1a n －111∴n ≥2时，b n －b n －1＝a n －1a n －1－111＝1a n －1－1⎛2a －1⎝n －1⎭a n －11－＝1. a n －1－1a n －1－15∴数列{b n }是以－2为首项，1为公差的等差数列．712(2)解由(1)知，b n ＝n －2，则a n ＝1＋b 1＋2n －7n2设函数f (x ) ＝1＋2x －77⎛7⎛⎫易知f (x ) 在区间－∞，2和 2，＋∞⎪内为减函数．⎝⎭⎝⎭∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{an }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．－15解 (1)由题意知S 6＝S 3，a 6＝S 6－S 5＝－8.5⎧5a 1＋10d ＝5，所以⎨⎩a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0，2即2a 21＋9da 1＋10d ＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d 2－8(10d 2＋1) ＝d 2－8≥0，解得d ≤－22或d ≥2. 方法二∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d ) 2＝d 2－8. 所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2.例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．解方法一∵a 1＝20，S 10＝S 15，10×915×145∴10×20＋2d ＝15×20＋2d ，∴d ＝－3.565⎛5∴a n ＝20＋(n －1) × －3＝－3＋3⎝⎭∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n12×11⎛5⎫∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×202× －3⎪⎝⎭＝130.5方法二同方法一求得d ＝－3n (n －1)⎛52523 125521255－n －∴S n ＝20n 2·3＝－6n ＋6＝－6＋242⎝⎭⎝⎭∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1) －25，∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．⎧a n ＝4n －2511由①得nn (n －1)⎧21n ＋⎪2×(－4) (n ≤6)T n ＝⎨(n －6)(n －7)66＋3(n －6)＋×4 (n ≥7)⎪⎩22⎧－2n ＋23n (n ≤6)，＝⎨2 ⎩2n －23n ＋132 (n ≥7).例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3例5等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为{S n },{T n }，且S n a =, 则使得n 为正T n n -3b n整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握. 一般有三常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n+1=pa n+q ”这种形式通常转化为an +1+λ=p (an +λ), 由待定系数法求出, 再化为等比数列； (3)逐差累加或累乘法.2S n例6 已知数列{a n }中，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足a n =，则数列{a n }a 1=，n 的通项公式为2⎧(n =1)⎪a n =⎨3(n ≥2)⎪⎩1-4n 2S n -S n -122S n =2S n -1⇒S n -1-S n =2S n S n -1⇒11-=2(n ≥2) S n S n -1⇒S n =. 2n +1a a a aa n =n ⋅n -1⋅⋅3⋅2⋅a 1, n ≥2.n -1n -2212+ln n例7在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +ln(1+) ，则a n =n知识点2：等比数列及其n 项和 1．等比数列的定义 2．等比数列的通项公式 3．等比中项若G 2＝a ·b (ab ≠0) ，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a n q n－m，(n，m ∈N *) ．(2)若{an }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k，l ，m ，n ∈N *) ，则a k ·al ＝a m ·a n . (3)若{an }，{bn }(项数相同) 是等比数列，则{λan }(λ≠0) ，⎧1⎫⎧a n ⎫2⎨，{an }，{an ·b n }，⎨b 仍是等比数列．⎩a n ⎭⎩n ⎭5．等比数列的前n 项和公式等比数列{an }的公比为q(q≠0) ，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；a 1(1－q n )a 1－a n q当q ≠1时，S n ＝＝.1－q 1－q6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{an }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q .n7. 等比数列的单调性【难点】1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．na (1－q )a 1－a n q 1n －1(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q 及前n 项和公式S n ＝＝(q ≠1)1－q 1－q共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知三求二，体现了方程的思想的应用．(3)在使用等比数列的前n 项和公式时，如果不确定q 与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q ＝1和q ≠1两种情况．例1：(1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8； (2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项． (1)设数列{a n }的公比为q ，由通项公式a n ＝a 1q n －1及已知条件得：32⎧a 6－a 4＝a 1q (q －1)＝24，①⎨a 5＝(a 1q 3)2＝64. ②⎩a 3·由②得a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，无解将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2. ，故舍去．当q ＝2时，a ＝1，∴S a 1(1－q 8)181－q 255；当q ＝－2时，a ，∴S a 1(1－q 8)1＝－181－q 85.(2)若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾．⎧①∴q ≠1，∴⎨⎪a 1(1－q n )1－q ＝40，⎪⎩a 1(1－q 2n )1－q ＝3 280，②②①1＋q n ＝82，∴q n＝81，③ 将③代入①得q ＝1＋2a 1. ④又∵q >0，∴q >1，∴a 1>0，{a n }为递增数列．∴a n ＝a 1q n －1＝27，⑤ 由③、④、⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.例2 已知数列{an }的前n 项和为S n ，数列{bn }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n≥2) ，且a n ＋S n ＝n.(1)设c n ＝a n －1，求证：{cn }是等比数列； (2)求数列{bn }的通项公式． 1) 证明∵a n ＋S n ＝n ，∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(an ＋1－1) ＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{an －1}是等比数列．∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1111＝2，∴c 12q ＝2又c n ＝a n －1，∴{c是以－11n }2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)可知c n ＝⎛ 1⎛1⎝－2⎭ n －1⎝⎭＝－⎛ 12⎝2n ⎭，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎛ 1⎝2n ⎭. ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎛ 1n ⎡⎛1⎝2⎭－⎢⎣1－⎝2n －1⎤⎭⎥⎦＝⎛ 1⎝2⎫⎪n －1⎭－⎛1⎝2⎫⎪n ⎭＝⎛ 1⎫n ⎝2⎪⎭. 又b 11＝a 1＝⎛12∴b n ＝ 2n ⎝⎭.① ②1例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－2，求a n ； (2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．a 1解 (1)设公比为q ，则a q 3，即q 3＝－8，21⎛1－－∴q ＝－2，∴a n ＝a 5·q n 5＝－2n 4.⎝⎭2(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 4，∴a 34＝8，a 4＝2.5∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝2＝32.a n ＋a n ＋1例4已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．规范解答(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1， [1分]a n －1＋a n当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝2－a n11＝－2(a n －a n －1) ＝－2b n －1， [5分]1∴{b n }是首项为1，公比为－2 [6分]⎛1⎫(2)解由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝－2⎪n －1， [8分]⎝⎭当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1) ＋(a 3－a 2) ＋…＋(a n －a n －1) [10分]⎛1n －1 －21－⎝⎭⎛1⎛1n －2＝1＋1＋－2＋…＋－2＝1＋⎝⎭⎝⎭⎛1⎫1－－2⎪⎝⎭2⎡521⎛1⎤521＝1＋3⎢1－－2n －1⎥＝33－2n －1当n ＝1时，33－21－1＝1＝a 1，⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎝⎭521∴a n 33－2n －1 (n ∈N *) ． [14分]⎝⎭例4 （07 重庆11）设是1-a 和1+a 的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .（三角函数）2233例5 若数列1, 2cosθ, 2cos θ,2cos θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为（）, 的三内角成等差数列例26 , 三边成等比数列, 则三角形的形状为__等边三角形k π△±k ∈Z __________.【综合应用】例7. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；c 1c 2c n(2)设数列{c n }对n ∈N 均有b b b a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.12n解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，∴(1＋4d ) 2＝(1＋d )(1＋13d ) ．解得d ＝2 (∵d >0). ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.c c c 2) 由b b …＋b a n ＋1得12nc n －1c c 当n ≥2时，b b …＋＝a .b n －1n 12c 两式相减得：n ≥2时，b a n ＋1－a n ＝2.nn －1∴c n ＝2b n ＝2·3 (n ≥2) ．c 1又当n ＝1时，b ＝a 2，∴c 1＝3.1⎧3 (n ＝1)∴c n ＝⎨n －1.3 (n ≥2)⎩2·∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 0136－2×32 013＝3＋＝3＋(－3＋32 013) ＝32 013.1－3知识点3：数列的基本知识*1，a n 与S n 的关系：a n =S 1(n =1) 或S n -S n -1例1：设{a n }数列的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法①对形如a 1=a ; a n +1=pa n +q 的递推公式(p . q 为常数且p ≠1)，可令整理得λ=a n +1+λ=p (a n +λ)，列②对形如a n +1=⎧1⎫求出⎨⎬即可⎩a n ⎭q, a n +1+λ=p (a n +λ)，所以是{a n +λ}等比数p -1 a n 1q的递推公式，两边取倒数后换元转化为再=p +，a n +1a n pa n +q例2：已知数列{a n }满足a 1=33, a n +1-a n =2n ，则 a n的最小值为 10.5 n。
数列详细知识点归纳总结
数列详细知识点归纳总结数列是数学中常见的概念，也是数学与实际问题相联系的桥梁。
在数学的学习过程中，掌握数列的相关知识点是非常重要的。
本文将对数列的定义、性质、分类和常用公式进行详细的归纳总结。
一、数列的定义和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
通常用{a₁，a₂，a₃，...}或{aₙ}表示，其中a₁，a₂，a₃等表示数列的各项。
数列的性质主要包括有穷性、无穷性和有界性。
1. 有穷数列：数列中项的个数是有限的，即存在某个正整数N，使得当n>N时，aₙ为常数，此时数列也被称为等差数列。
2. 无穷数列：数列中的项的个数是无穷的，此时数列也被称为等比数列。
3. 有界数列：数列中的项有一个上界或者下界限制，即存在某个正整数M，使得当n>M时，aₙ≤M（或者aₙ≥M）。
二、数列的分类1. 级数数列：级数数列是由级数的部分和组成的数列，级数数列的通项公式通常为公差公式或者公比公式。
2. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数的数列，常用的关系式为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
3. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数的数列，常用的关系式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比。
三、数列的常用公式1. 等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)，其中Sn为前n项和，a₁为首项，aₙ为前n项的最后一项。
2. 等差数列的通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中aₙ为第n项，a₁为首项，d为公差。
3. 等比数列的前n项和公式：Sn = a₁(1-rⁿ)/(1-r)，其中Sn为前n项和，a₁为首项，r为公比。
4. 等比数列的通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)，其中aₙ为第n项，a₁为首项，r为公比。
四、数列的应用数列作为数学的一个重要概念，在实际问题的建模和解决中有着广泛的应用。
数列知识点总结
数列知识点总结数列是数学中的一个重要概念，在许多领域都有广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解数列的相关知识点。
一、数列的定义数列是按照一定顺序排列的一列数。
例如，1，3，5，7，9 就是一个数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第 1 个数称为首项，第 n 个数称为第 n 项。
二、数列的分类1、按照项数的多少，数列可分为有限数列和无限数列。
有限数列的项数是有限的，而无限数列的项数是无限的。
2、按照项与项之间的大小关系，数列可分为递增数列、递减数列和常数列。
递增数列中，后一项始终大于前一项；递减数列中，后一项始终小于前一项；常数列中，所有项都相等。
三、数列的表示方法1、通项公式法如果数列的第 n 项与项数 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
例如，数列 2，4，6，8，······的通项公式为 an ＝ 2n。
2、递推公式法如果已知数列的第一项（或前几项），并且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
比如斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，······，其递推公式为 an ＝ an 1 ＋ an 2（n ≥ 3）。
3、列表法将数列的各项依次列在一张表格中，这种表示数列的方法叫做列表法。
四、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
2、通项公式等差数列的通项公式为 an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 a1 为首项，d 为公差。
3、等差中项如果 a，b，c 成等差数列，那么 b 叫做 a，c 的等差中项，且 b ＝（a ＋ c) ／ 2 。
4、前 n 项和公式等差数列的前 n 项和公式为 Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 或 Sn ＝ na1 ＋n(n 1)d ／ 2 。
高一数学数列知识点总结
高一数学数列知识点总结在高一数学课程中，数列是一个重要的概念。
数列是一种按照一定规律排列的一系列数，通过研究数列的规律和特性，我们可以掌握很多解题技巧和方法。
本文将对高一数学数列相关的知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。
常用的表示方式为a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，d为公差。
以下是等差数列的一些重要性质和公式：1. 第n项公式：an = a1 + (n-1)d，其中n为项数；2. 前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an) =n(a1 + an)/2，其中Sn为前n项和；3. 通项求和：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d) = (n/2)(a1 + an) ，其中Sn为前n项和；4. 等差数列的性质：任意三个连续项中，第二项是这三个数的中值；5. 若m项等于n项差相等，则m至n项也是等差数列。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻的数之比都相等的数列。
常用的表示方式为a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，q为公比。
以下是等比数列的一些重要性质和公式：1. 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中n为项数；2. 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和；3. 通项求和：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和；4. 等比数列的性质：任意三个连续项中，第二项是这三个数的几何平均数；5. 如果q的绝对值小于1，那么等比数列的前n项和存在极限，即Sn = a1 / (1 - q)。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
通常用F(n)表示第n项，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
斐波那契数列的性质有：1. F(n) = F(n-1) + F(n-2)；2. 斐波那契数列的前n项和可以通过递推公式进行求解。
高中数学数列知识点总结8篇
高中数学数列知识点总结8篇篇1一、数列的基本概念数列是一组按照一定顺序排列的数字的集合。
其中每一个数字称为项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列的通项公式是用来表示数列中每一项的公式，如果存在的话。
此外，数列还有和的概念，即数列所有项的和。
二、等差数列等差数列是一种特殊的数列，任意两项的差都等于常数，这个常数被称为公差。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an)，其中S表示数列的和，n表示项数。
三、等比数列等比数列是一种每一项与它的前一项的比值都等于常数的数列。
这个常数被称为公比。
等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。
等比数列的求和公式较为复杂，需要根据公比q的值分别讨论。
四、数列的极限数列的极限是指当项数趋近于无穷大时，数列的项趋近于某一常数。
了解数列极限的概念对于理解数列的性质非常重要。
此外，还需要掌握一些与极限有关的性质，如夹逼准则等。
五、数列的应用数列在实际生活中有着广泛的应用。
例如，金融中的复利计算、物理学中的衰变问题等都可以转化为数列问题来解决。
在解决这些问题时，需要灵活运用数列的知识和方法。
此外，数列还与高等数学中的许多概念有着紧密的联系，如微积分、级数等。
因此，掌握数列的知识对于后续的学习和研究也有着重要的意义。
六、数列的题型与解题方法高中数学中，数列是一个重要的知识点，常常作为考试的重点内容。
在考试中，数列的题型多种多样，如填空题、选择题、解答题等。
常见的解题方法包括：利用通项公式求解、利用求和公式求解、利用等差或等比数列的性质求解、利用夹逼准则求解极限等。
在解题过程中，需要熟练掌握这些方法和技巧，并能够灵活运用。
七、总结与展望本文对高中数学中的数列知识点进行了全面的总结，包括基本概念、等差数列、等比数列、数列的极限以及应用等方面。
高中数学教材——数列篇
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 2．数列的分类 (1)按照项数有限和无限分：有 无限 限数 数列 列： ：项 项数 数有 无限限个个；；
递增数列：an＋1>an，
(2)按单调性来分： 递减数列：an＋1<an， 常数列：an＋1＝an＝C(常数)， 摆动数列.
(2)
在
数
列
{an}
中
，
a1
＝
1
，
an
＝
n－1 n
an
－
1(n≥2)
，
则
数
列
{an}
的
通
项
公
式
为
________________．
(3)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________________．
[解析] (1)累加法
由题意得 a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n(n≥2)，
所以 an＝2n2－1(n≥2)．
又由题设可得 a1＝2，满足上式，
从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1.
答案：2n2－1
考点二 由递推关系式求数列的通项公式
[典例] (1)设数列{an}满足 a1＝1，且 an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为
________________．
通项公式 递推公式
通项公式和递推公式的异同点
不同点
相同点
可根据某项的序号 n 的值，直接代入求出 an 都可确定一个数列，也都可求 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多 出数列的任意一项
高一下册数学知识点人教版
高一下册数学知识点人教版高一下册数学知识点回顾一、数列与数列的通项公式数列是由一系列按一定规则排列的数所组成的，其中最常见的有等差数列和等比数列。
1.等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
常用的表示方法是a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
例如，数列1，4，7，10，13就是一个等差数列，而其首项为1，公差为3。
要求第n项的值时，可以使用an=a1+(n-1)d来求解。
2.等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
常用的表示方法是a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)。
例如，数列2，6，18，54，162就是一个等比数列，而其首项为2，公比为3。
要求第n项的值时，可以使用an=a1*r^(n-1)来求解。
二、直线方程与一次函数直线是平面上的一种基本几何图形，而直线方程则是描述直线位置与性质的一种工具。
一次函数是一种特殊的直线方程，其函数表达式为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。
1.斜率斜率是描述直线倾斜程度的一个重要指标，可以理解为直线上的任意两点之间的垂直距离与水平距离的比值。
注：斜率在直线方程中用字母k表示。
2.截距截距是描述直线与坐标轴交点位置的参数，分为x轴截距和y轴截距。
表示直线与x轴交点的坐标为(x，0)，表示直线与y轴交点的坐标为(0，y)。
注：x轴截距在直线方程中用字母a表示，y轴截距在直线方程中用字母b表示。
三、平面向量平面向量是描述平面上带有大小和方向的量，通常表示为有向线段。
平面向量具有加法、减法、数乘等运算法则。
1.向量的表示向量通常用有向线段来表示，其起点和终点分别表示向量的始点和终点。
通常用向量的首字母加上箭头（→）表示，例如向量a用表示为→a。
2.向量的运算向量的运算包括加法、减法和数乘。
高一年级数学数列知识点
高一年级数学数列知识点数学是一门既让人望而却步又充满挑战的学科。
而在高一的数学课程中，数列是一个非常重要的知识点。
所以，我们有必要系统地学习和理解数列的相关概念和应用。
本文将介绍高一年级数学中与数列相关的知识点。
一、数列的定义与分类数列是由一列按顺序排列的数字组成的列表。
它为我们研究和描述数字之间的规律提供了一个有效的工具。
根据构成数列的数字的特点，数列可以分为等差数列和等比数列。
等差数列是一个常见的数列类型。
它的特点是每个相邻的数字之间的差是相同的。
我们用公式an = a1 + (n-1)d来表示等差数列的通项公式，其中an表示第n个数字，a1表示第一个数字，d表示公差。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
相比之下，等比数列的特点是每个相邻的数字之间的比值是常数。
我们用公式an = a1 * r^(n-1)来表示等比数列的通项公式，其中an表示第n个数字，a1表示第一个数字，r表示公比。
例如，1，4，16，64，256就是一个公比为4的等比数列。
二、数列的求和公式在数列的研究中，我们经常需要求出数列的前n个数字的和。
根据数列的类型不同，我们可以使用不同的求和公式。
对于等差数列，求和公式是Sn = n/2(2a1 + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和。
而对于等比数列，求和公式是Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)。
在应用求和公式时，我们需要注意数列的边界条件。
特别是在使用等差数列求和公式时，我们必须确认数列的首项、公差和终项。
三、数列的应用数列作为一种有序的数字排列方式，可以在各种实际问题中发挥重要的作用。
首先，数列可以用于描述一些规律或模式。
通过观察和推理数列的数字，我们可以发现其中的规律，并利用这些规律解决问题。
例如，一个数列的通项公式可以帮助我们预测和计算数列中的任意一个数字。
其次，数列可以应用于计算和统计。
例如，我们可以使用数列的求和公式计算某个连续数列的总和。
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人教版高一数学下册数列知识点
1．数列的定义
按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.
(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.
(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….
(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.
(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，
3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.
2．数列的分类
(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.
(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.
3．数列的通项公式
数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，
这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，
由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通
项公式，没有通用的方法可循.
再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.
(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.
(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.
如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.
(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：
(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.
4．数列的图象
对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：
序号：1 2 3 4 5 6 7
项： 4 5 6 7 8 9 10
这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.
由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.
数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.
数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.
把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.
5．递推数列
一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①
数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1 练习题：
1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( )
A.12 B．1 C．2 D．3
解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.
答案：C
2．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－
an(n∈N*)，则a2 011等于( )
A．1 B．－4 C．4 D．5
解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…
故{an}是以6为周期的数列，
∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.
答案：A
3．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( )
A．d＜0 B．a7＝0
C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.
又S7＞S8，∴a8＜0.
假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.
∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.∴C错误.
答案：C
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