孔边应力集中 由于开孔
弹性力学1圆孔的孔口应力集中
2
2
由以上应力分量式（b） ，显然是满足的，对待定系数问题 的解决没作用。
第四章 平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
（2）在原点附近，可以看成是一段小边 界。在此小边界处，有面力的作用，而面力 可以向原点简化为作用于原点的主失量为 F ，主矩为 0 的情形。按照圣维南原理来
进行处理，以点O为中心，以 为半径作圆
对于集中力垂直于边界面的情况，直接令上式中的力作用角
度 为0，可得到其应力解答式 。
2F
p
cos
,
f f 0
第四章 平面问题的极坐标解答 4.9 半平面体在边界上受集中力
2F
p
cos
,
f f 0
代入坐标变换式（4-8），可求出直角坐标系中的应力分量表达
(1
)
第四章 平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
（3）将应力函数代入极坐标中的相容方程，并求解常
微分方程（欧拉方程）得应力函数的具体形式：
f ()cos 2
代入相容方程（4-6）
cos
2υ[
d4 f d ρ4
2 ρ
d3 f d ρ3
9 ρ2
第四章 平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
将应力分量表达式（含待定常数）带入上述边界方程（第1、2式
），求得待定常数 C 和 D，并带入（b）式；
D F cos , C F sin
p
p
2F
开孔处应力集中系数的简化计算
开孔处应力集中系数的简化计算开孔处应力集中系数的简化计算1. 引言在工程设计和分析中，开孔处应力集中是一个常见的问题。
当在材料中添加孔洞或凹槽时，会导致应力场的非均匀分布，从而对材料的力学性能产生负面影响。
准确计算开孔处的应力集中系数对于工程设计和材料选择至关重要。
在本文中，我们将重点讨论开孔处应力集中系数的简化计算方法，以便工程师和研究人员能够更好地理解和应用这一概念。
2. 开孔处应力集中系数的定义开孔处应力集中系数（Stress Concentration Factor，简称SCF）是指材料在受力情况下，开孔处局部应力与远离开孔处应力的比值。
通常用K表示，其计算公式为K=σ_max/σ_nominal，其中σ_max为开孔处的最大应力，σ_nominal为远离开孔处的应力。
在工程设计中，SCF的值可以用来衡量材料在开孔处的应力集中程度，以及对其疲劳寿命和强度的影响。
3. 开孔处应力集中系数的简化计算方法在实际工程中，精确计算开孔处的应力集中系数可能非常复杂，因为需要考虑材料的几何形状、加载方式、以及材料的本构关系等多个因素。
然而，对于一些简单的几何形状和加载情况，我们可以采用一些简化的方法来估算开孔处应力集中系数。
3.1. Neuber's RuleNeuber's Rule是一种常用的简化计算方法，适用于圆形孔洞的应力集中系数估算。
根据Neuber's Rule，对于轴向受拉的材料，开孔处应力集中系数与远离开孔处应力之比可以近似为2。
这种简化计算方法在工程实践中得到了广泛的应用，尤其适用于轴向拉伸载荷作用下的材料。
3.2. Peterson's MethodPeterson's Method是另一种常用的简化计算方法，适用于不同几何形状和加载情况下的应力集中系数估算。
根据Peterson's Method，可以通过查表或计算公式来估算特定几何形状的开孔处应力集中系数。
开孔处应力集中系数的简化计算
开孔处应力集中系数的简化计算张丽;孙铁【摘要】由于各种工业和结构的要求，不可避免地要在压力容器上开孔并安装接管，开孔必然会造成器壁强度的削弱，其削弱程度的大小可通过应力集中系数的大小来体现。
通过对平板上开小圆孔边缘处的应力计算分析，得出开孔处应力集中系数的简便计算方法。
运用该方法可以准确的计算出球壳以及圆柱壳等壳体上开圆孔的应力集中系数，确定危险位置及应力的大小，为确保压力容器的安全提供必要的条件。
%Because of the requirement of various kinds of structures and industries, it’s inevitably to make holes in the pressure vessel to install nozzles, the opening will weaken the strength of vessel, and the weakened degree can be reflected by the stress concentration coefficient. Through computing and anal yzing stress of small round openings’ edge in flat, a simple computing method about the stress concentration factor was derived. Using this method can accurately calculate the stress concentration factor about lots of shells (spherical shell, cylindrical shell, etc.) to determine the dangerous position and the magnitude of stress, which may provide necessary conditions to ensure the safety of pressure vessels.【期刊名称】《当代化工》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】2页(P142-143)【关键词】压力容器;圆孔;应力集中系数;壳体【作者】张丽;孙铁【作者单位】辽宁石油化工大学机械工程学院，辽宁抚顺 113001;辽宁石油化工大学机械工程学院，辽宁抚顺 113001【正文语种】中文【中图分类】TQ018为了使设备能够进行正常的操作、测试和检修，在壳体和端盖上往往需要有各种开孔并连接接管。
开孔板问题
开孔板的问题（应力集中的问题）一. 引言应力集中即Stress concentration，是指受力构件由于外界因素或自身因素几何形状、外形尺寸发生突变而引起局部范围内应力显著增大的现象。
在弹性力学中，这是一类问题，应力在固体局部区域内显著增高的现象。
多出现于尖角、孔洞、缺口、沟槽以及有刚性约束处及其邻域。
应力集中会引起脆性材料断裂；使物体产生疲劳裂纹。
在应力集中区域，应力的最大值（峰值应力）与物体的几何形状和加载方式等因素有关。
局部增高的应力值随与峰值应力点的间距的增加而迅速衰减。
由于峰值应力往往超过屈服极限而造成应力的重新分配，所以，实际的峰值应力常低于按弹性力学计算出的理论峰值应力。
反映局部应力增高程度的参数称为应力集中系数k，它是峰值应力与不考虑应力集中时的应力的比值，恒大于1且与载荷大小无关。
二．产生应力集中的原因构件中产生应力集中的原因主要有：(1) 截面的急剧变化。
如：构件中的油孔、键槽、缺口、台阶等。
(2) 受集中力作用。
如：齿轮轮齿之间的接触点，火车车轮与钢轨的接触点等。
(3) 材料本身的不连续性。
如材料中的夹杂、气孔等。
(4) 构件中由于装配、焊接、冷加工、磨削等而产生的裂纹。
(5) 构件在制造或装配过程中，由于强拉伸、冷加工、热处理、焊接等而引起的残余应力。
这些残余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中。
(6) 构件在加工或运输中的意外碰伤和刮痕。
三．弹性力学中的应力集中1.工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。
弹性力学研究‘小孔口问题’，应符合(1)孔口尺寸＜＜弹性体尺寸，孔口引起的应力扰动局限于小范围内。
(2)孔边距边界较远（＞1.5倍孔口尺寸）孔口与边界不相互干扰。
当弹性体开孔时,在小孔口附近,将发生应力集中现象。
2. 孔边应力集中：孔边附近区域应力发生局部增大的现象。
特点：.（1）.孔边周围应力局部增大（应力重新分布）（2）.集中是在一定范围内，是局部现象，超过一定距离就无影响。
应力集中产生的原因及后果
应力集中产生的原因及后果《应力集中产生的原因》你知道吗？在我们的生活中，很多东西都会出现应力集中的现象。
那到底为啥会这样呢？比如说一根细细的铁丝，要是上面有个小缺口，那这个缺口的地方就容易出现应力集中。
这是因为缺口改变了铁丝原本均匀的受力状态。
就好像一群小朋友整齐地排队往前走，突然有个小朋友跑开了，队伍就乱了，受力也就不均匀啦。
再比如一块木板，要是有个钉眼儿，那钉眼儿周围就可能应力集中。
这就好比一个完整的大家庭，突然少了一个人，整个家庭的结构和平衡就被打破了。
还有啊，零件的形状突变也会导致应力集中。
像那种有尖角或者突然变细的地方，力就容易在这儿扎堆。
就像我们走在路上，遇到一个急转弯，大家都容易往那个弯挤过去。
材料内部的缺陷也是原因之一。
如果材料里面有小气泡或者小裂缝，那在受力的时候，这些地方就会特别脆弱，应力也就集中在这儿了。
这就好像一个班级里，如果有几个同学总是捣乱，那老师的注意力就会集中在他们身上。
应力集中的产生往往是因为物体的结构、形状或者内部的不完美，导致了力的分布不均匀。
《应力集中产生的原因》咱们今天来聊聊应力集中是咋产生的。
再比如说，一张纸，你把一个角折起来，然后去拉这张纸，是不是折角的地方就很容易破？这也是应力集中。
那个折角就相当于受力的薄弱点。
还有那种有很多孔的铁板，孔的边缘就是应力容易集中的地方。
就好像一群人在排队，中间空了几个位置，这几个空位置周围的人就会感觉比较挤，力也就集中在这儿了。
另外，如果材料本身质量不好，有杂质或者不均匀，也会导致应力集中。
好比一群小伙伴一起跑步，有的人身体强壮，有的人身体虚弱，那虚弱的人就容易跟不上队伍，成为问题所在。
所以啊，应力集中的产生，要么是结构上有缺陷，要么是材料本身有问题。
《应力集中产生的原因》朋友，你知道应力集中是怎么来的不？还有啊，一块钢板，如果上面有个凹槽，当受到外力时，凹槽处就会承受更多的力，就像一个班级在拔河，突然有几个同学松手了，剩下的同学就会感到压力更大。
应力集中与失效分析
应力集中与失效分析一、引言由于构造和使用等方面的需要，往往需要在构件上开孔、沟槽、缺口、台阶等，然而，在这些部位附近，因截面尺寸的急剧变化，将产生局部的高应力，其应力峰值远大于由基本公式算得的应力值。
这种受力构件由于外界因素或自身因素几何形状、外形尺寸发生突变而引起局部范围内应力显著增大的现象称为应力集中，引起应力集中的孔、沟槽、缺口、台阶等几何体称为应力集中因素。
应力集中削弱了构件的强度，降低了构件的承载能力。
从而，应力集中处往往是构件破坏的起始点，是引起构件破坏的主要因素。
该现象普遍存在于各种构件中，大部分构件的破坏事故都是由应力集中引起的。
因此，为了确保构件的安全使用，提高产品的质量和经济效益，必须科学地处理构件的应力集中问题。
二、产生应力集中的原因构件中产生应力集中的原因主要有：(1) 截面尺寸的急剧变化。
如：构件中的油孔、键槽、缺口、台阶等。
(2) 构件受到集中力作用。
如：齿轮轮齿之间的接触点，火车车轮与钢轨的接触点等。
(3) 材料本身的不连续性。
如材料中的夹杂、气孔等。
(4) 构件中由于装配、焊接、冷加工、磨削等而产生的裂纹。
(5) 构件在制造或装配过程中，由于强拉伸、冷加工、热处理、焊接等而引起的残余应力。
这些残余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中。
(6) 构件在加工或运输中的意外碰伤和刮痕。
三、应力集中的物理解释如图，在构件的中间开孔拉杆，故在外力作用下，部件中尺寸发生突然变化的截面上的应力并不是均匀分布的，在圆孔边缘的应力明显大于截面上的平均应力。
应力集中的程度可以用理论应力集中系数表示：式中，为截面上的最大局部应力；为名义应力，即认为应力在截面上均匀分布而求得的力。
设图中的板宽为b，圆孔直径为d，厚度为，则可以由弹性理论或试验等方法确定。
试验结果表明，截面尺寸改变的越急剧，角越尖，孔越小，应力集中的程度越严重。
四、应力集中对构件强度的影响在静荷载作用下，各种材料对应力集中的敏感程度是不同的。
圆孔的孔边应力集中
由上二式，可看出：
f (r ) cos 2
（c）
(B)检查是否满足（4-6），并求待定函数： 将（c）代入（4-6），得：
d 4 f (r ) 2 d 3 f (r ) 9 d 2 f (r ) 9 df (r ) 2 3 cos 2 0 4 3 2 r dr r dr r dr dr
问题可转化为两组问题 q
a
q
a
q
0
q
x
q+
0
q
q
y q
Aq
y
r r
x
q
q （a）
q （b）
（a）为均匀应力场中由小圆孔引起的应力集中问题。 在远离孔的边界上受到x和y方向的均匀拉伸作用。 应力强度为q。
（b）为在远离孔的边界上受到x方向的均匀拉伸、 y方向均匀压缩。
为研究孔边问题。采用极坐标 将薄板直边变换为圆边（采用极坐标方便） 取b>>a,以b为半径作一大圆。取包括圆孔在内的圆环研究 （a）情况下，在半径为b的圆周上，各点受力状态 都是两向等拉状态，即x=q， y=q，xy=0，由坐标 变换式（4-7）
q x
o y
（4-17）
a b
（b）情况下， x=q， y=-q，xy=0，由坐标变换式（4-7）
r x cos2 y sin 2 2 xy sin cos 2 2 sin cos 2 xy sin cos x y ( ) sin cos (cos2 sin 2 ) y x xy r
o y
qcos2 x
0 4c 6 D r |r b cos 2 2 B 2 4 q 2 b b 2 2c 6 D r |r b 0 sin 2 6 Ab 2 2b 2 4 0 q 2 b b 2
压力容器设计开孔及补强设计
（一）开孔应力集中 最大应力在孔边，是应力集中最严重的地方。 孔边应力集中有局部性，衰减较快。
（二）开孔并带有接管时的应力集中
（三）应力集中系数的计算
rm Rm rm
Rm T
RmT
二、开孔补强设计的要求
第三章 压力容器的整体设计问题
（一）允许不另行补强的最大开孔直径
第三章 压力容器的整体设计问题
补强区宽度 B=2d B=d+2Tn+2tn
补强区外侧高度
两者中取大值
h1 dtn h1=接管实际外伸长度 补强区内侧高度
两者中取小值
h2 dtn
两者中取小值
h2=接管实际内伸长度
注意：
第三章 压力容器的整体设计问题
补强材料一般需与壳体材料相同，若补强 材料许用应力小于壳体材料许用应力，则补 强面积应按壳体材料与补强材料许用应力之 比而增加。若补强材料许用应力大于壳体材 料许用应力，则所需补强面积不得减少。
（四）补强圈和焊接的基本要求
第三章 压力容器的整体设计问题
M检1查0的孔螺纹孔
补强圈与接管及与壳体的焊接是填角焊及搭焊，视 容器操作条件及设计要求决定是否全焊透。焊缝的成形 应圆滑过渡或打磨至圆滑过渡。
（五）开孔补强的设计准则
第三章 压力容器的整体设计问题
开孔补强设计： 指采取适当增加壳体或接管厚度的方法将 应力集中系数减小到某一允许数值。
补强圈补强
局部补强12..高补强强度圈钢的（厚厚σ度b壁＞超5过4接0被M管补Pa强）补件和壁强铬厚钼的钢1制.5造倍的或容超器过；tmax
（碳钢tmax＝32mm；16MnR tmax＝30mm）；
3.设计压力大整于锻等于件4M补Pa；强
锅炉压力容器的开孔应符合哪些规定？
锅炉压力容器的开孔应符合哪些规定？
为了便于对锅炉、压力容器定期进行内部检验和清理，在锅炉、压力容器上应开设必要的人孔、手孔和检查孔。
开孔后，不仅降低了部件的承载能力，而且还因为开孔造成结构不连续，在开孔边会产生应力集中。
因此，在进行部件结构设计时，对锅炉、压力容器开孔的数量和尺寸作了严格的规定。
对锅炉、压力容器上开设人孔、手孔的数量规定如下：
（1）锅筒内径大于或等于800mm的水管锅炉和锅筒内径大于1000mm的锅壳式锅炉，都应在筒体或封头（管板）上开设人孔；锅筒内径为800～1000mm的锅壳式锅炉，至少应在锅筒或封头（管板）上开设一个头孔。
（2）压力容器内径≥1000mm的，应至少开设一个人孔；内径＜1000mm～≥500mm的，应开设一个人孔或两个手孔。
内径＜500～≥300mm的，至少应开设两个手孔。
锅炉受压元件上开孔的尺寸应符合下列规定：
（1）锅炉受压元件上，椭圆人孔不得小于280×380mm。
人孔圈最小的密封面宽度为18mm。
人孔门凸肩与人孔圈之间总间隙不应超过3mm（沿圆周各点上不超过1.5mm），并且凹槽的深度应达到能完整地容纳密封垫片。
（2）锅炉受压元件上，椭圆头孔不得小于220 X 320mm,颈部或孔圈高度不应超过100mm。
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弹性力学-第四章-2
可以假设应力函数为：
( , ) f ( ) cos 2
满足相容方程求f(）
( , ) f ( ) cos2
代Φ入相 容方程
1 1 2 2 2 0
2 2 2 2 2
2 1 1 2 d 2 f ( ) 1 df ( ) 4 f ( ) 2 2 ( 2 2 )cos 2 0 2 d d
r2
2
), q(1
r2
2
), 0
对 比
q q 1 2 令： q 2
代 入
基 本 解 答 一
q1 q2 r2 (1 2 ), 2
q1 q2 r2 (1 2 ), 2
0
r2 r2 σ ρ q cos 2φ(1 2 )(1 3 2 ) ρ ρ r4 σ φ q cos 2φ(1 3 4 ) ρ τ ρφ r2 r2 q sin 2φ(1 2 )(1 3 2 ) ρ ρ
e 因为，
t
D f ( ρ) Aρ Bρ C 2 ρ
4 2
2Φ 1 Φ 1 2Φ σρ 2 2 , 2 y 0 ρ ρ ρ 2Φ 2Φ σ 2 2 , x 0 ρ τ ρ
max 4q
3r , 90
1.04q
max K 4
(4-18)
应力集中系数
二、基本解答的应用
解决方法：利用 叠加原理，将荷 载分解为两部分 (1)双 向受拉
＝
＋
(2)一对 边受拉， 另一对 边受压
应力集中与失效分析
应力集中与失效分析1 引言由于某种用途，在构件上需要开孔、沟槽、缺口、台阶等，在这些部位附近，因截面的急剧变化，将产生局部的高应力，其应力峰值远大于由根本公式算得的应力值。
这种现象称为应力集中，引起应力集中的孔、沟槽、缺口、台阶等几何体称为应力集中因素[1]。
因孔、沟槽、缺口、台阶等附近存在应力集中，从而，削弱了构件的强度，降低了构件的承载能力。
应力集中处往往是构件破坏的起始点，应力集中是引起构件破坏的主要因素[2-9]。
应力集中现象普遍存在于各种构件中，大局部构件的破坏事故是由应力集中引起的。
因此，为了确保构件的平安使用，提高产品的质量和经济效益，必须科学地处理构件的应力集中问题。
2 产生应力集中的原因[1]构件中产生应力集中的原因主要有：(1) 截面的急剧变化。
如：构件中的油孔、键槽、缺口、台阶等。
(2) 受集中力作用。
如：齿轮轮齿之间的接触点，火车车轮与钢轨的接触点等。
(3) 材料本身的不连续性。
如材料中的夹杂、气孔等。
(4) 构件中由于装配、焊接、冷加工、磨削等而产生的裂纹。
(5) 构件在制造或装配过程中，由于强拉伸、冷加工、热处理、焊接等而引起的剩余应力。
这些剩余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中。
(6) 构件在加工或运输中的意外碰伤和刮痕。
3 应力集中的物理解释[1]对于受拉构件，当其中无裂Array纹时，构件中的应力流线是均匀分布的，如图1a所示；当其中有一圆孔时，构件中的应力流线在圆孔附近高度密集，产生应力集中，但这种应力集中是局部的，在离开圆孔稍远处，应力流线又趋于均匀，如图1b 所示。
4 应力集中的弹性力学理论根据弹性力学理论，可以求得圆孔、裂纹尖端以及集中力附近的应力分布情况，分别如下：4.1 圆孔边缘附近的应力[10]圆孔附近A 点〔图2〕的应力为 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθστθθσσθθσσ4sin 322sin 24cos 322cos 3224cos 322cos 2442222442222442222r a r a r a r a r a r a r a r a r a xy y x(1)式中a 为圆孔的半径。
使用SW6―2011计算压力容器开孔补强的几个问题-2019年文档
使用SW6―2011计算压力容器开孔补强的几个问题0 引言为满足工艺或结构需要，在压力容器设计中开孔是必不可少的。
容器开孔接管后会引起开孔或接管部位的应力集中，再加上接管上会有各种外载荷所产生的应力及热应力，以及容器材料和制造缺陷等各种因素的综合作用，使得开孔和接管附近就成为压力容器的薄弱部位。
虽然标准和规范对设计和计算都作了较为详细的规定，但在使用SW6-2011过程设备强度计算软件计算开孔补强时需要注意对标准规范中有关定义的理解和把握，灵活运用软件，必要时对有关数据进行调整，才能得到正确的结论，保证设备的安全可靠性。
1 补强方法及适用范围1.1 计算时应注意的问题在使用SW6-2011计算开孔补强之前要先判断接管的直径和壁厚是否满足GB150.3-2011中6.1.3不另行补强的最大开孔直径[1]的要求，满足要求的可以不进行计算，没有进行判断直接输入数据的，生成计算书会显示满足不另行补强的最大开孔直径的要求，不予进行计算。
还需要注意的是单个孔开孔补强计算合格，然而该孔的有效补强区B=2d范围内还有其他开孔，形成孔桥的，则应按孔桥处理。
在计算两相邻开孔中心的间距或者任意两孔中心的间距时对曲面间距应按弧长计算，按照弦长或中心线垂直距离计算是不正确的。
1.2 补强计算方法及适用范围的理解SW6-2011补强计算方法给出四种：等面积补强法、另一补强方法、分析方法和压力面积法。
计算软件中的等面积补强法是指单个开孔的等面积法，联合补强法是指多个开孔的等面积法。
等面积法是开孔补强计算方法中最广泛应用的计算方法，该法是以补偿开孔局部截面的一次拉伸强度作为补强准则的，是以无限大平板上开有小圆孔时孔边的应力集中作为理论基础的，即仅考虑容器壳体中存在的拉伸薄膜应力，对开孔边缘的二次应力的安定性问题是通过限制开孔形状，长短径之比和开孔范围（开孔率）间接考虑的[2]，使用该法应考虑开孔是否满足GB150.3-2011中6.1.1的规定。
弹性力学14-圆孔的孔口应力集中
q r2 r2 (3 2 1) 2. 在 x 轴上（ f=0 ），环向正应力为 2 2
1 r2 3 r4 ) 1. 在 y 轴上（f= p/2），环向正应力为 q(1 2 4 2 2
2 1 1 2 2 2 2
2
f ( )
1 4 f ( ) 2 f ( ) 3 [ 4 2 2 f ( )] 0
解此4阶常系数齐次线性微分方程，得：
f ( ) A cos B sin (C cos D sin )
r2 r2 σ ρ q cos 2υ(1 2 )(1 3 2 ) ρ ρ 4 r σ υ q cos 2υ(1 3 4 ) ρ r2 r2 τ ρυ q sin 2υ(1 2 )(1 3 2 ) ρ ρ
A 0, B , C q r 2 , D r 4 2 2
分四种情况讨论圆孔口的一些解答 （1）双向均布拉力
（2）均布拉力和压力 （相等和不相等两种情况）
（3）只有x向的均布拉力。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
1. 距圆孔较远处的应力场为双向均布拉力
由于主要考虑圆孔附近的应力，故采用极坐 标系求解。
以坐标原点为圆心，以远大于 r 的长度 R 为半径作大圆，由应力集中的局部性可知， 在大圆周上各点的应力情况与无孔时相同， 即
第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
小孔口应力集中特点小结及本节内容的推广应用
1.小孔口的应力集中现象（圆孔、非圆孔）共同的特点：
第4章 第8讲 - 圆孔的孔口应力集中
第四章平面问题的极坐标解答第8讲圆孔的孔口应力集中1在许多工程结构中，常常根据需要设置一些孔口，譬如桥梁、水坝等的泄水孔。
由于开孔，孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力。
这种现象称为孔口应力集中。
本讲我们来研究“小圆孔”的孔口应力集中问题，所谓“小”，即圆孔的直径远小于弹性体的尺寸，并且孔边距弹性体的边界比较远。
2设有矩形薄板，在离开边界较远处有半径为r 的小圆孔。
坐标原点取在圆孔的中心，直角坐标轴平行于板边。
我们首先来求解两种基本荷载形式下薄板内的应力分布。
3O xyr第一种基本荷载形式：矩形薄板四边受集度为q 的均布拉力。
就薄板的边界条件而论，宜用直角坐标；就圆孔的边界条件而论，宜用极坐标。
因为我们主要考察圆孔附近的应力，所以用极坐标求解，从而需要首先将薄板的直边界“改造”为圆边界。
4O x yrq qqq5为此，我们以坐标原点为圆心，以远大于r 的某一长度R 为半径，做一个大圆。
那么在大圆周上，其应力情况当与无孔时相同，即, 0, x y xy q q 代入第3 讲得到的应力分量由直角坐标向极坐标的变换式2222cos sin sin ()sin (co 2cos cos sin )s x yxy y x xyOx yrRq qqqq6, 0q 得大圆周上的极坐标应力分量为从而原来的问题成为这样一个新问题：内半径为r 而外半径为R 的圆环，内边界自由，而外边界上受均布拉力q 。
为得到该问题的解，只需在第6 讲圆环受均布压力的拉梅解答中令120, q q qOx yrRq qqq8第二种基本荷载形式。
矩形薄板在左右两边受均布拉力q ，在上下两边受均布压力q 。
经过与前述相同的处理和分析，可知在大圆周处，应力情况当与无孔时相同，也就是,, 0.x yxy q q Ox yrRq qqq同样，代入第3 讲得到的应力分量由直角坐标向极坐标的变换式2222cos sin sin ()sin (co 2cos cos sin )s x yxy y x xy922co sin co s s 2Rq q qcos sin 2in 2s R q q可知此时大圆周上的极坐标应力分量为Ox yrR于是，原问题成为一个具有如下边界条件的圆环问题：0,0;r rcos 2,sin 2.RR q q 由于圆环外边界的应力边界条件与极角 有关，所以这不再是轴对称应力问题，无法引用第5 讲轴对称应力的一般性解答。
钢板开孔后应力集中现象
钢板开孔后应力集中现象引言：钢板是一种常用的结构材料，广泛应用于建筑、船舶、桥梁等领域。
然而，在钢板中开孔后，会出现应力集中现象，这是由于开孔破坏了钢板的完整性，导致应力分布不均匀。
本文将从应力集中的原因、影响以及解决方法等方面进行探讨。
一、应力集中的原因：1. 孔洞形状：孔洞形状对应力集中有很大影响。
通常情况下，边缘尖锐的孔洞会导致应力集中更为严重。
例如，圆形孔洞的应力集中程度较小，而方形或尖锐边缘的孔洞则容易导致应力集中。
2. 孔洞尺寸：孔洞尺寸对应力集中的大小有直接影响。
孔洞尺寸越大，应力集中越严重。
因此，在设计中需要合理控制孔洞的尺寸，避免过大的孔洞导致应力集中问题。
3. 材料性能：材料的硬度、韧性等性能也会影响应力集中。
一般来说，硬度较高的材料更容易出现应力集中现象。
二、应力集中对钢板的影响：1. 强度下降：应力集中会导致材料的应力集中系数增大，从而使钢板的强度下降。
当应力集中达到一定程度时，可能引发材料的破坏甚至断裂。
2. 疲劳寿命降低：应力集中会导致局部应力增大，从而降低钢板的疲劳寿命。
在受到循环载荷作用时，应力集中区域容易发生疲劳破坏。
3. 影响结构稳定性：应力集中会导致结构的稳定性下降。
当钢板受到应力集中作用时，可能引发结构的变形或失稳，影响整个结构的安全性。
三、应对应力集中的方法：1. 减小孔洞尺寸：合理控制孔洞的尺寸可以减小应力集中的程度。
在设计中，可以通过增加孔洞的数量或采用更小的孔径来达到减小应力集中的效果。
2. 改变孔洞形状：选择合适的孔洞形状也可以减小应力集中。
圆形孔洞的应力集中程度较小，可以考虑将方形孔洞改为圆形孔洞，从而降低应力集中问题。
3. 增加钢板厚度：增加钢板的厚度可以增加其抗弯刚度，减小应力集中的程度。
但需注意，在设计中需要综合考虑材料成本和结构重量等因素。
4. 引入应力分散结构：通过在孔洞周围引入应力分散结构，如加强筋、加强板等，可以减小应力集中的影响，提高钢板的抗应力集中能力。
钢板开孔后应力集中现象
钢板开孔后应力集中现象引言：钢板开孔是工程中常见的一种加工方式，通过在钢板上钻孔、切割或冲压等方法，来满足特定的设计要求。
然而，在钢板开孔后，我们需要注意到一个重要的问题，即应力集中现象。
本文将对钢板开孔后应力集中现象进行探讨，以及其对结构强度和稳定性的影响。
一、应力集中的原因钢板开孔后，周围的材料会发生应力重分布。
在开孔边缘附近，由于材料的完整性被破坏，导致应力集中。
应力集中的原因主要包括以下几个方面：1. 几何因素：开孔的形状和尺寸会对应力集中程度产生影响。
一般来说，孔径越大、孔边角越尖锐，应力集中效应越明显。
2. 材料性质：不同的材料具有不同的应力集中特性。
硬度大、韧性差的材料在开孔后应力集中现象更为明显。
3. 载荷作用：外界的载荷作用也会影响应力集中。
在开孔处施加不均匀的载荷，会导致应力集中的程度加剧。
二、应力集中的影响应力集中现象会对结构的强度和稳定性产生不利影响，具体体现在以下几个方面：1. 强度下降：应力集中会导致局部应力超过材料的屈服强度，造成局部形变甚至破裂。
这将降低结构的整体强度，影响其承载能力。
2. 疲劳寿命减少：应力集中还会加速材料的疲劳破坏过程。
在开孔处，应力集中会导致应力集中因子增大，从而加速疲劳裂纹的形成和扩展，降低结构的疲劳寿命。
3. 塑性变形：在应力集中区域，材料容易出现塑性变形。
这将导致结构的变形不均匀，进而影响其稳定性和工作性能。
三、应对应力集中的方法为了减轻钢板开孔后的应力集中现象，可以采取以下几种方法：1. 增加开孔的半径：通过增加开孔的半径，可以减小应力集中的程度。
这样可以提高结构的强度和稳定性。
2. 使用圆形孔：相对于其他形状的孔，圆形孔的应力集中效应较小。
因此，在设计中尽可能选择圆形孔，以减轻应力集中现象。
3. 使用合适的材料：选择合适的材料也可以减轻应力集中现象。
一般来说，具有良好韧性和高强度的材料对应力集中的抵抗能力更强。
4. 优化结构：通过优化结构设计，可以减少应力集中的发生。
第四章 圆孔的孔边应力集中
E,
接触条件
1. 非完全接触（光滑接触）
R R
R
0
R
u R u R
复习-压力隧洞
2.完全接触：
接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为:
应力：
R R R R
σφ
q(1
r2 ρ2
)
q cos 2φ(1
3
r4 ρ4
),
τ
ρφ
q
sin
2φ(1
r2 ρ2
)(1
3
r2 ρ2
)。
孔边只有环向正应力 σφ 2q 4q cos 2φ
p2
sin
2 1
r2
2
1 3
r2
2
4－8 圆孔的孔口应力集中
特例：单向受拉板（长柱体）令q1=q, q2= 0
σρ
q 2
(1
r2 ρ2
)
q 2
cos 2 (1
r2 ρ2
)(1 3
r2 ρ2
),
σ
q (1 2
r2 ρ2
)
q 2
cos
0
d
做Euler变换： 设 et或t ln
f f et
df df dt 1 df
d dt d dt
d2 f
d 2
1
2
d2 f
...
4－8 圆孔的孔口应力集中
d4 f dt 4
4
d3 dt
f et C1e4t C2e2t C3 C4e2t
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孔边应力集中由于开孔，孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力圣维南如果把物体的一小部分便捷上的面力变换成分布不同，但静力等效，那么近处的应力分布将有显著变化，但远处所受影响可以忽略不计。
可以简化局部边界上的应力边界条件小挠度薄板弯曲问题的三个基本假设1垂直于中面方向的线应变，即可以不计2应力分量和z相关的3个、、，远小于其余三个应力分量，因而是次要的，他们所引起的形变可以不计3薄板中面内的各店都没有平行于中面的位移弹性常数无关？具有相同的应理解常体力/在单连体的应力边界问题中，两个弹性体具有相同的边界条件，受同样分布的外力。
极小势能原理在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，如果考虑二阶变分总是大于或等于0.即（）就可以证明：对于稳定平衡状态，这个极值是极小值平面应变物体截面形状、面力、体力、约束、沿z 方向均不变，只有平面应变分量（）仅为xy函数的弹性力学问题对称如果弹性体的几何形状、约束情况、以及所受的力都是对称于某一轴，则所有应力、应变、位移、也都对称于这一轴。
平面应力只有平面应力分量（）存在，仅为xy函数的弹性力学问题、深梁平板坝的平板支墩逆解法先设定各种形式、满足相容方程的应力函数、并求得应力分量，然后再根据应力边界条件和弹性体边界形状看这些应力分量对应边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决问题。
半逆解法针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式，得出应力函数形式。
带入相容方程求解应力函数，求解应力分量，看是否满足应力边界条件，是即可，不是另作假设。
孔边应力集中由于开孔，孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力圣维南如果把物体的一小部分便捷上的面力变换成分布不同，但静力等效，那么近处的应力分布将有显著变化，但远处所受影响可以忽略不计。
可以简化局部边界上的应力边界条件小挠度薄板弯曲问题的三个基本假设1垂直于中面方向的线应变，即可以不计2应力分量和z相关的3个、、，远小于其余三个应力分量，因而是次要的，他们所引起的形变可以不计3薄板中面内的各店都没有平行于中面的位移弹性常数无关？具有相同的应理解常体力/在单连体的应力边界问题中，两个弹性体具有相同的边界条件，受同样分布的外力。
极小势能原理在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，如果考虑二阶变分总是大于或等于0.即（）就可以证明：对于稳定平衡状态，这个极值是极小值平面应变物体截面形状、面力、体力、约束、沿z 方向均不变，只有平面应变分量（）仅为xy函数的弹性力学问题对称如果弹性体的几何形状、约束情况、以及所受的力都是对称于某一轴，则所有应力、应变、位移、也都对称于这一轴。
平面应力只有平面应力分量（）存在，仅为xy函数的弹性力学问题、深梁平板坝的平板支墩逆解法先设定各种形式、满足相容方程的应力函数、并求得应力分量，然后再根据应力边界条件和弹性体边界形状看这些应力分量对应边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决问题。
半逆解法针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式，得出应力函数形式。
带入相容方程求解应力函数，求解应力分量，看是否满足应力边界条件，是即可，不是另作假设。
孔边应力集中由于开孔，孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力圣维南如果把物体的一小部分便捷上的面力变换成分布不同，但静力等效，那么近处的应力分布将有显著变化，但远处所受影响可以忽略不计。
可以简化局部边界上的应力边界条件小挠度薄板弯曲问题的三个基本假设1垂直于中面方向的线应变，即可以不计2应力分量和z相关的3个、、，远小于其余三个应力分量，因而是次要的，他们所引起的形变可以不计3薄板中面内的各店都没有平行于中面的位移弹性常数无关？具有相同的应理解常体力/在单连体的应力边界问题中，两个弹性体具有相同的边界条件，受同样分布的外力。
极小势能原理在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，如果考虑二阶变分总是大于或等于0.即（）就可以证明：对于稳定平衡状态，这个极值是极小值平面应变物体截面形状、面力、体力、约束、沿z 方向均不变，只有平面应变分量（）仅为xy函数的弹性力学问题对称如果弹性体的几何形状、约束情况、以及所受的力都是对称于某一轴，则所有应力、应变、位移、也都对称于这一轴。
平面应力只有平面应力分量（）存在，仅为xy函数的弹性力学问题、深梁平板坝的平板支墩逆解法先设定各种形式、满足相容方程的应力函数、并求得应力分量，然后再根据应力边界条件和弹性体边界形状看这些应力分量对应边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决问题。
半逆解法针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式，得出应力函数形式。
带入相容方程求解应力函数，求解应力分量，看是否满足应力边界条件，是即可，不是另作假设。
孔边应力集中由于开孔，孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力圣维南如果把物体的一小部分便捷上的面力变换成分布不同，但静力等效，那么近处的应力分布将有显著变化，但远处所受影响可以忽略不计。
可以简化局部边界上的应力边界条件小挠度薄板弯曲问题的三个基本假设1垂直于中面方向的线应变，即可以不计2应力分量和z相关的3个、、，远小于其余三个应力分量，因而是次要的，他们所引起的形变可以不计3薄板中面内的各店都没有平行于中面的位移弹性常数无关？具有相同的应理解常体力/在单连体的应力边界问题中，两个弹性体具有相同的边界条件，受同样分布的外力。
极小势能原理在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，如果考虑二阶变分总是大于或等于0.即（）就可以证明：对于稳定平衡状态，这个极值是极小值平面应变物体截面形状、面力、体力、约束、沿z方向均不变，只有平面应变分量（）仅为xy函数的弹性力学问题对称如果弹性体的几何形状、约束情况、以及所受的力都是对称于某一轴，则所有应力、应变、位移、也都对称于这一轴。
平面应力只有平面应力分量（）存在，仅为xy函数的弹性力学问题、深梁平板坝的平板支墩逆解法先设定各种形式、满足相容方程的应力函数、并求得应力分量，然后再根据应力边界条件和弹性体边界形状看这些应力分量对应边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决问题。
半逆解法针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式，得出应力函数形式。
带入相容方程求解应力函数，求解应力分量，看是否满足应力边界条件，是即可，不是另作假设。
孔边应力集中由于开孔，孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力圣维南如果把物体的一小部分便捷上的面力变换成分布不同，但静力等效，那么近处的应力分布将有显著变化，但远处所受影响可以忽略不计。
可以简化局部边界上的应力边界条件小挠度薄板弯曲问题的三个基本假设1垂直于中面方向的线应变，即可以不计2应力分量和z相关的3个、、，远小于其余三个应力分量，因而是次要的，他们所引起的形变可以不计3薄板中面内的各店都没有平行于中面的位移弹性常数无关？具有相同的应理解常体力/在单连体的应力边界问题中，两个弹性体具有相同的边界条件，受同样分布的外力。
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可以简化局部边界上的应力边界条件小挠度薄板弯曲问题的三个基本假设1垂直于中面方向的线应变，即可以不计2应力分量和z相关的3个、、，远小于其余三个应力分量，因而是次要的，他们所引起的形变可以不计3薄板中面内的各店都没有平行于中面的位移弹性常数无关？具有相同的应理解常体力/在单连体的应力边界问题中，两个弹性体具有相同的边界条件，受同样分布的外力。
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平面应力只有平面应力分量（）存在，仅为xy函数的弹性力学问题、深梁平板坝的平板支墩逆解法先设定各种形式、满足相容方程的应力函数、并求得应力分量，然后再根据应力边界条件和弹性体边界形状看这些应力分量对应边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决问题。
半逆解法针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式，得出应力函数形式。
带入相容方程求解应力函数，求解应力分量，看是否满足应力边界条件，是即可，不是另作假设。
孔边应力集中由于开孔，孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力圣维南如果把物体的一小部分便捷上的面力变换成分布不同，但静力等效，那么近处的应力分布将有显著变化，但远处所受影响可以忽略不计。
可以简化局部边界上的应力边界条件小挠度薄板弯曲问题的三个基本假设1垂直于中面方向的线应变，即可以不计2应力分量和z相关的3个、、，远小于其余三个应力分量，因而是次要的，他们所引起的形变可以不计3薄板中面内的各店都没有平行于中面的位移弹性常数无关？具有相同的应理解常体力/在单连体的应力边界问题中，两个弹性体具有相同的边界条件，受同样分布的外力。