排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法

排列组合——排列公式的推理和组合加法原理和乘法原理，是排列组合中的二条基本原理，在解决计数问题中经常运用。

掌握这两条原理，并能正确区分他们，至关重要。

加法原理若完成一件事情有3类方式，其中第一类方式有1种方法，第二类方式有3种方法，第三类有2种方法，这些方法都不相同，但任选一种方法都可以完成此事，则完成这件事情共有1+3+2=6种方法，这一原理称为加法原理。

例如:从甲地到乙地有三类方式，一是汽车，二是火车，三是飞机。

若一天中汽车有2班，火车有4班，飞机有一班，那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法。

共有2+4+1=7种。

乘法原理若完成一件事情分r个步骤，其中第一个步骤有m1种方法，第二个步骤有m2种方法……第步骤共有mr种方法，各步骤连续或同时完成，这件事才算完成，则完成这件事共有m1*m2*……*mr种方法。

例如:从甲地到丙地必须经过乙地。

从甲地到乙地有4条路线，从乙地到丙地有3条路线，问从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解：要从甲地到达丙地，必须经过两个步骤：先从甲地到乙地，有4条路线；再从乙地到丙地，有3条路线。

只有这两个步骤都完成了，才能完成这种事情，缺少哪一个步骤都不行。

因此从甲地到丙地共有4*3=12种走法。

加法原理和乘法原理的区别以上两个基本原理在排列组合问题中将会反复使用。

这两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数问题，但是又有根本区别。

加法原理针对的是“分类”问题，若完成一件事情有多类方式，每一类方式的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事情，则用加法原理；而乘法原理针对的是“分步”问题，若完成一件事情必须依次经过多个步骤，每一个步骤的各种方法相互依存，只有各种步骤都完成才算做完成这种事情，则这时用乘法原理。

排列数公式推理过程例：用1、2、3这3个数字可以组成多少个数字十位和个位不重复的两位数？解：要组成数字不重复的两位数，需要经过两个步骤：第一步确定十位上的数，数字1、2、3都可以放在十位上，共有3种方法；第二步确定个位上的数，因为要求个位数与十位数不能重复，所以个位上的数，只能从三个数字中去掉十位数后所剩的两个数字中任选一个，共有2种方法。

只有十位和个位上的数都确定了，才能组成数字不重复的两位数，这两个步骤缺少哪一个都不行。

因此，根据乘法原理，3*2=6.上例中，我们把数字1、2、3称为元素。

组成数字不重复的两位数这个问题，从3个不同的元素中任取2个，然后按顺序排成一列数，由于这样的排列与数字不重复的两位数是一一对应的，因此求数字不重复的两位数的个数等同于求这样的排列个数。

推理过程：从n个不同元素中取出m个不同元素排成一列，必须经过m 个步骤。

第一步，确定第1个位置上的元素,可以从这n个元素中任取1个放在这个位置上，共有n种方法，即n-(1-1)括号内为位置数减1；第二步，确定第2个位置上的元素，可以从剩下的n-1个元素中任取1个放在这个位置上，共有n-1种方法，即n-(2-1)；……第m步，确定第m位置上的元素，第m位置上的元素从剩下的n-(m-1)个元素中任选一个，共有n-m+1种方法。

根据乘法原理，全部确定这m个位置的元素共有n(n-1)(n-2)……*（n-m+1）种方法。

由于一种方法对应一个排列，所以所有这样排列的个数即排列数。

不可重复排列数公式.png排列是一个与次序有关的概念，如12,21这两个数字是两个不同的排列，但是在组合里，12和21是一个意思，因为12和21都是由1和2组合而成的，所以顺序并不会影响对组合的判断，因此，组合是与排列概念不同的问题。

从n个不同的元素中，每次取出m个（m=n）不同元素，不考虑顺序组成一组，叫做从n个元素中每次取出m个元素的组合。

这样得出的组合个数称为组合数，记作C (n,m)求从n个不同元素中取出m个元素的排列数A(n,m)，可以按以下两个步骤进行：第一步，求出这n个不同元素中取出m个元素的组合数C (n,m),第二步，求出每一个组合中m个元素的全排列数A(m,m)，根据乘法原理得出，A(n,m)=C (n,m)*A(m,m),不可重复组合公式:C (n,m)=A(n,m)-A(m,m)=n!-m!(n-m)!,可重复组合公式：C (n,m)=(m+n-1)!-(m!(n-1)!)对于实际问题，必须正确判别是排列问题还是组合问题，其区别的关键在于要不要将所取出的元素进行排队。

若要排队，则是排列问题，若不要排队，则是组合问题。

以下为组合数计算器python代码。

#!-usr-bin-env python3# -- coding: utf-8 -*-import mathfrom tkinter import *class Window:def __init__(self, title='组合数计算器', width=300, height=120, staFunc=bool, stoFunc=bool):self.w = widthself.h = heightself.stat = Trueself.staFunc = staFuncself.stoFunc = stoFuncself.staIco = Noneself.stoIco = Noneself.root = Tk(className=title)def drawCenter(self):ws = self.root.winfo_screenwidth()#用户屏幕宽度hs = self.root.winfo_screenheight()#用户屏幕高度x = int( (ws-2) - (self.w-2) )#距屏幕左边框的像素点数y = int( (hs-2) - (self.h-2) )#距屏幕上边框的像素点数self.root.geometry('{}x{}+{}+{}'.format(self.w, self.h, x, y))def createWidgets(self):Label(self.root, text="所有元素数n：").grid(row=0,sticky=E) Label(self.root, text="取出的元素数m：").grid(row=1,sticky=E)Label(self.root, text="不可重复组合数：").grid(row=2,sticky=E)Label(self.root, text="可重复组合数：").grid(row=3,sticky=E) self.e1 = Entry(self.root)self.m = StringVar()self.e2 = Entry(self.root,textvariable=self.m)self.a1 = StringVar()self.e3 = Entry(self.root,textvariable=self.a1)self.a2 = StringVar()self.e4 = Entry(self.root,textvariable=self.a2)self.e1.grid(row=0, column=1)self.e2.grid(row=1, column=1)self.e3.grid(row=2, column=1)self.e4.grid(row=3, column=1)self.btnSer = Button(self.root, command=self.click, width=3, height=1,text='运行')self.btnSer.grid(row=4,column=1,sticky=E)btnQuit = Button(self.root, text='关闭窗口', command=self.root.quit, width=8, height=1)btnQuit.grid(row=4,column=2)def click(self):n=int(self.e1.get())m =int(self.e2.get())a1=math.factorial(n)-math.factorial(m)-math.factorial(n-m) self.a1.set(int(a1))#不可重复组合数a2=math.factorial(n+m-1)-(math.factorial(m)*math.factorial(n-1) )self.a2.set(int(a2))def loop(self):self.root.resizable(False, False) #禁止修改窗口大小self.createWidgets()self.drawCenter() #窗口居中self.root.mainloop()if __name__ == '__main__':w = Window(width=350, height=150)w.loop()有5个数字，取两个数字进行组合的计算结果。

组合数计算器.png來源：简书for (int num = 0, seat = i + 1; seat k; num++)if(b[i]==1b[i+1]==0) {echo '耗时'.round($t2-$t1,3).'秒br';IDCMinterface().getassetsrecordpagelist(i)int p = dg( x - 1 , y - 1 ) * x - y;全排列的非递归算法也不唯一，我写一个最常用的按字典序非递归算法if (!exists) { -- 排列结果不存在该项，才可选择题目一、hdu1027 给出n，m，求n个数的按字典序排列的第m个序列 long result = factorial(num);void Permutation(int data[], int begin, int end, int count)。