河南省南阳市第一中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题
河南南阳市2018-2019学年高一下学期期末数学试卷附答案详析
河南南阳市2018-2019学年高一下学期期末数学试卷一、单选题1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样2．cos 70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为（）A ．B ．2C ．12-D ．123．函数22cos ()1xf x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知21tan1cos1sin1,22.51tan1a b c ︒︒︒︒︒+=-=-=-，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．b a c>>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a>>5．已知：平面内不再同一条直线上的四点O 、A 、B 、C 满足AB AC μ=，若1()3OA OB OC R λλ=+∈，则μ=（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-6．某公司的班车在700800：，：和830：三个时间点发车.小明在750：至830：之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．347．已知奇函数．．．()2sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值不．可能．．是（）A ．2B ．4C ．6D ．108．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()(2)0AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆的形状一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形9．已知：()sin cos f x a x b x =+，()2sin(13g x x πω=++，若函数()f x 和()g x 有完全相同的对称轴，则不等式()2g x >的解集是A ．(,)()62k k k z ππππ-+∈B ．(2,2)()62k k k z ππππ-+∈C ．(2,2)()6k k k z πππ+∈D ．(,)()6k k k z πππ+∈10．已知：1sin 53πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．19-C ．79D ．1911．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如图所示，为了得到()cos g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移6π个单位长度B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度12．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）001,732,sin150.2588,sin750.1305≈≈≈）A．12B．24C．36D．48二、填空题13．在平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，2AE ED=，若OE x AB yBC=+，则=x y+__________．14．已知函数()2sin3cosf x x x=+，若max()()f x f a=，则cos a=__________．15．函数33()sin log2f x x xππ⎛⎫=++⎪⎝⎭的零点个数为__________．16．已知：3sin cos2αβ+=，则2sin cosαβ+的取值范围是__________．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边，作两个角,αβ，它们终边分别经过点P和Q，其中21,cos2Pθ⎛⎫⎪⎝⎭,()2sin,1,Qθθ-∈R，且4sin5α=.（1）求cos2θ的值；（2）求tan()αβ+的值.18．已知3,4a b==，且a与b的夹角23θπ=.（1）求||a b+的值；（2）记a与a b+的夹角为α，求tan2α的值.19．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价x（单位：元）和销售量y（单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：销售单价x /元99.51010.511销售量y /万件1110865（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程；（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在[7,9]内，已知该产品的成本是5元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）参考数据：55211392,502.5i ii i i x yx ====∑∑参考公式：1221,ni ii nii x y n x yb a y bxx nx ==-==--∑∑20．已知向量(2cos ,sin ),(cos ,)a x x b x x ==，函数()f x a b m =⋅+ ，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为2.（1）求m 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.21．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40)的人数恰为1的概率.22．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,02πωϕ>><<A 的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个不同交点，D 是M N 、之间的最高点且横坐标为4π，点()0,1F 是线段D M 的中点.（1）求函数()f x 的解析式及7NC =（2）若5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()()21h x f x af x =-+的最小值为12，求实数a 的值.解析河南南阳市2018-2019学年高一下学期期末数学试卷一、单选题1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【答案】C【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.【考点】分层抽样．2．cos 70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为（）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】B【解析】根据诱导公式化简到角是锐角，再用正弦和差角公式求解.【详解】由已知得()()()cos 9020sin 9040cos 18020sin 40︒︒︒︒︒+--- =sin 20cos 40cos 20sin 3sin 24060︒︒︒︒︒+==故选B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和正弦和差角公式.3．函数22cos ()1xf x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的奇偶性的判断方法先判断函数的奇偶性，排除一些选项，再利用特殊点的函数值的正负可得选项.【详解】由()()f x f x -=知函数是偶函数，排除B 选项；再因为()02,f =故选C.【点睛】在进行图像辨析时，常常考虑函数的奇偶性和特殊点的正负进行排除选项，属于基础题.4．已知21tan1cos1sin1,22.51tan1a b c ︒︒︒︒︒+=-=-=-，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得.【详解】cos1sin1,414a ︒︒︒=<=-)2222.52cos 122.5451,b ︒︒=-===- 1tan1tan 461;1tan1c ︒︒+==>- 故选B.【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题.5．已知：平面内不再同一条直线上的四点O 、A 、B 、C 满足AB AC μ=，若1()3OA OB OC R λλ=+∈，则μ=（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】D【解析】根据向量的加法原理对已知表示式转化为所需向量的运算对照向量的系数求解.【详解】根据向量的加法原理得()()11113333,OA OB OC OA AB AC OA AB AC OA λλλλ=+++⎛⎫=++=+ ⎪+⎝⎭所以113λ+=，103AB AC λ+= ，解得2.3λ=且2.AB AC =- 故选D.【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.6．某公司的班车在700800：，：和830：三个时间点发车.小明在750：至830：之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．34【答案】A【解析】根据题意得小明等车时间不超过10分钟的总的时间段，再由比值求得.【详解】小明等车时间不超过10分钟，则他需在750：至800：到，或8:20至830：到，共计20分钟，所以概率201.402P ==故选A.【点睛】本题考查几何概型，关键找到满足条件的时间段，属于基础题.7．已知奇函数．．．()2sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值不．可能．．是（）A ．2B ．4C ．6D ．10【答案】B【解析】由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值.【详解】由()f x 是奇函数得,ϕπ=又因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 关于4x π=对称，所以,42k k Z ππϖππ+=+∈，解得24,,k k Z ϖ=-+∈所以当1k =时，得A 答案；当2k =时，得C 答案；当3k =时，得D 答案；故选B.【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和对称性，属于基础题.8．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()(2)0AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆的形状一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】C 【解析】由向量的加法法则和减法法则化简已知表达式，再由向量的垂直和等腰三角形的三线合一性质得解.【详解】设BC 边的中点D ，则()0BC AB AC BC AD =⋅+=⋅所以在ABC ∆中，BC 垂直于BC 的中线，所以ABC ∆是等腰三角形.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算和数量积，属于基础题.9．已知：()sin cos f x a x b x =+，()2sin(13g x x πω=++，若函数()f x 和()g x 有完全相同的对称轴，则不等式()2g x >的解集是A ．(,)()62k k k z ππππ-+∈B ．(2,2)()62k k k z ππππ-+∈C ．(2,2)()6k k k z πππ+∈D ．(,)()6k k k z πππ+∈【答案】B【解析】【详解】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ=+，所以212πωπ==因此2sin 13x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭152sin()22()32636x k x k k Z ππππππ>⇒+>⇒+<+<+∈22()62k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，选B.10．已知：1sin 53πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．19-C ．79D ．19【答案】A【解析】观察已知角与待求的角之间的特殊关系，运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.【详解】令5παθ-=，则2322,2255ππαθαπθ-=+=-，所以2217cos 212sin 1239θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以()37cos 2cos 2cos 259παπθθ⎛⎫+=-=-=- ⎪⎝⎭，故选A.【点睛】本题关键在于观察出已知角与待求的角之间的特殊关系，属于中档题.11．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如图所示，为了得到()cos g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移6π个单位长度B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度【答案】D 【解析】由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解.【详解】由图象可知1A =，又712344Tπππ-==，所以T π=，又因为2T πω=，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为771,sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-∴⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2ϕπ<，所以,3πϕ=所以()sin 2cos 2cos 2cos 2332612f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()cos 2g x x=故选D.【点睛】本题考查由图象确定函数的解析式和正弦函数和余弦函数图象之间的平移，关键在于将异名函数化为同名函数，属于中档题.12．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）001,732,sin150.2588,sin 750.1305≈≈≈）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B【解析】00011166sin 60 2.598,1212sin 303,2424sin15222n S n S n S =⇒=⨯≈=⇒=⨯==⇒=⨯3.1056≈，故选B.【点晴】本题主要考查程序框和三角运算，属于较易题型.高考中对于程序框图的考查主要有：输出结果型、完善框图型、确定循环变量取值型、实际应用型等，最常见的题型是以循环结构为主，求解程序框图问题的关键是能够应用算法思想列出并计算每一次循环结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系.二、填空题13．在平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，2AE ED =，若OE x AB yBC =+ ，则=x y +__________．【答案】23-【解析】根据向量加法的三角形法则逐步将待求的向量表示为已知向量.【详解】由向量的加法法则得：()111111232326OE OA AE CA AD CB A AD AB B B C=+=++=-=+-所以1216x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2=-3x y +故填：23-【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.14．已知函数()2sin 3cos f x x x =+，若max ()()f x f a =，则cos a =__________．【答案】13【解析】由三角函数的辅助角公式化简，关键需得出辅助角的正切值，再由函数的最大值求解.【详解】由三角函数的辅助公式得()()2sin 3cos f x x x x θ=+=+（其中3tan 2θ=），因为max ()()f x f a =所以()sin 1a θ+=，所以2,2a k k Z πθπ+=+∈，所以，2,2a k k Z πθπ=-+∈，所以cos sin 13a θ==，故填：13【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式，属于基础题.15．函数33()sin log 2f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的零点个数为__________．【答案】3【解析】运用三角函数的诱导公式先将函数化简，再在同一直角坐标系中做出两支函数的图像，观察其交点的个数即得解.【详解】由三角函数的诱导公式得3sin cos 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以令()0f x =，求零点的个数转化求方程3cos log x x π=根的个数，因此在同一直角坐标系分别做出cos y x =和3log y x π=的图象，观察两支图象的交点的个数为3个，注意在做3log y x π=的图像时当3x π=时，1y =,故得解.【点睛】本题考查三角函数的有界性和余弦函数与对数函数的交点情况，属于中档题.16．已知：3sin cos 2αβ+=，则2sin cos αβ+的取值范围是__________．【答案】5[2,]2【解析】由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.【详解】由已知得3cos sin 2βα=-，所以332sin cos 2sin sin sin 22αβααα⎛⎫+=+-=+⎪⎝⎭，又因为1cos 11sin 1βα-≤≤⎧⎨-≤≤⎩，所以31sin 121sin 1αα⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得1sin 12α≤≤，所以352sin 22α≤+≤，故填52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数的值域，属于基础题.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边，作两个角,αβ，它们终边分别经过点P 和Q ，其中21,cos 2P θ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()2sin ,1,Q θθ-∈R ，且4sin 5α=.（1）求cos 2θ的值；（2）求tan()αβ+的值.【答案】（1）13；（2）13-.【解析】(1)根据正弦的定义求得2cos θ，再运用余弦的二倍角公式求解，(2)由(1)问可得P 、Q 两点的坐标，从而再运用正切的和角公式求解.【详解】（1）由24sin 5α==得：2221cos ,sin 33θθ==所以：221cos 2cos sin 3θθθ=-=（2）由2212sin ,cos 33θθ==则121,,,1233P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故4tan ,tan 33αβ==-因此tan tan 1tan()1tan tan 3αβαβαβ++==--.【点睛】本题考查三角函数的定义和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，属于基础题.18．已知3,4a b ==，且a 与b 的夹角23θπ=.（1）求||a b +的值；（2）记a 与a b +的夹角为α，求tan 2α的值.【答案】（1；（2）6.【解析】(1)求向量的模先求向量的平方；(2)由向量的夹角公式可以求得.【详解】（1）根据题意可得：2cos 63a b a b π⋅==-222()|2|9121613a b a a b b +=+⋅+=-+=故a b +==（2）()cos 13a a b a a b α⋅+==+，则sin 13α=故sin1cos 2tan 2sin 6cos 2ααααα-===.【点睛】本题考查向量的数量积运算，求向量的模和夹角，属于基础题.19．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价x （单位：元）和销售量y （单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：销售单价x /元99.51010.511销售量y /万件1110865（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程；（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在[7,9]内，已知该产品的成本是5元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）参考数据：55211392,502.5i ii i i x yx ====∑∑参考公式：1221,ni ii nii x y n x yb a y bxxnx ==-==--∑∑【答案】（1） 3.240y x =-+；（2）8.75元.【解析】(1)根据最小二乘法求线性回归方程；(2)利用线性回归方程建立利润的函数，再求此函数的最大值.【详解】（1）10,8x y == 3.2,8(3.2)1040b a ∴=-=--⨯=y ∴关于x 的回归方程为 3.240y x =-+.（2）利润2()(5)(3.240) 3.256200,[7,9]W x x x x x x =--+=-+-∈该函数的对称轴方程是8.75x =，故销售单价定为8.75元时，企业才能获得最大利润.【点睛】本题考查线性回归方程和求利润的最值，属于基础题.20．已知向量(2cos ,sin ),(cos ,)a x x b x x ==，函数()f x a b m =⋅+ ，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为2.（1）求m 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.【答案】（1）2，,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π.【解析】(1)运用向量的数量积运算和辅助角公式化简，求解和求其单调区间；(2)根据图像的平移和函数的对称轴求解.【详解】（1）函数2()2cos cos 2sin 216f x x x x m x m π⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭min 70,,2,,()22666x x f x m ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，得2m =.即()2sin 236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由题意得222262k x k πππππ-≤+≤+，得,36k x k k Zππππ-≤≤+∈所以，函数()f x 的单调增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意，()2sin 432sin 431266g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又()4g x =，得1sin 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得：4266x k πππ-=+或542,66x k k Z πππ-=+∈即212k x ππ=+或,24k x k Z =+∈ππ0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12x π∴=或4x π=故所有根之和为1243πππ+=.【点睛】本题考查正弦型函数的值域、单调性和对称性，属于基础题.21．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40)的人数恰为1的概率.【答案】（1）30；（2）54,55；（3）815.【解析】(1)识别频率直方图，注意其纵轴的意义；(2)在频率直方图中平均数是每组数据的组中值乘以频率，中位数是排在最中间的数;(3)求出古典概型中的基本事情总数和具体事件数，利用比值求解.【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在[40,70)的频率为(0.0200.0300.025)100.750++⨯=所以，40名读书者年龄分布在[40,70)的人数为400.75030⨯=人.（2）40名读书者年龄的平均数为：250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=设中位数为x ，0.050.10.2(50)0.030.5x +++-⨯=解之得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55岁.（3）年龄在[20,30)的读书者有2人，记为a ，b ；年龄在[30,40)的读数者有4人，记为A ，B ，C ，D 从上述6人中选出2人，共有如下基本事件：()()()(),,,,,,,,a b A B A C A D ()()()(),,,,,,,,B C B D C D a A ()()()(),,,,,,,,a B a C a D b A ()()(),,,,,b B b C b D ,共有基本事件数为15个,记选取的两名读者中恰好有一人年龄在[30,40)中为事件A ，则事件A 包含的基本事件数为8个:(),,a A ()()()(),,,,,,,,a B a C a D b A ()()(),,,,,b B b C b D 故8()15P A =.【点睛】本题考查识别频率直方图和样本的数字特征，属于基础题.22．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,02πωϕ>><<A 的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个不同交点，D 是M N 、之间的最高点且横坐标为4π，点()0,1F 是线段D M 的中点.（1）求函数()f x 的解析式及NC =（2）若5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()()21h x f x af x =-+的最小值为12，求实数a 的值.【答案】（1）5()2sin(),[,2]44f x x πππ=+（2）32【解析】（1）由点()0,1F 是线段DM 的中点，可得D 和M 的坐标，从而得最值和周期，可得A 和ω，再代入顶点坐标可得ϕ，再利用整体换元可求单调区间；（2）令()[]t 1,2f x =∈得到()()2h x g t 1t at ==-+，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系求最值即可.【详解】（1）因为为中点，()0,1F ，所以，，则，，又因为，则所以，由又因为，则所以令又因为则单调递增区间为.（2）因为所以令，则对称轴为①当时，即时，；②当时，即时，（舍）③当时，即时，（舍）综上可得：.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式及二次函数轴动区间定的最值问题，考查了学生的分类讨论思想及计算能力，属于中档题.。
河南省南阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 含解析
河南省南阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：1.某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是( )A. 1000名学生是总体B. 每名学生是个体C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本D. 样本的容量是100【答案】D【解析】【分析】根据有关的概念可得：此题的总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，再结合题中选项即可得到答案．【详解】根据有关的概念并且集合题意可得：此题的总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，根据答案可得：而选项（A）（B）表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、B都错误．（C）每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体．D：样本的容量是100正确．故选：D．【点睛】本题主要考查总体、个体与样本的概念，解决成立问题的关键是明确考查的对象，根据有关的概念可得总体、个体与样本的考查对象是相同的，此题属于基础题．2.下列事件中是随机事件的个数有①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩；⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾。
A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】根据随机事件就是在指定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断，得到答案. 【详解】由题意，随机事件就是在指定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点可能发生，也可能不发生，所以是随机事件，②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定发生的事件，不是随机事件；③某人买彩票中奖，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾，此事一定不发生，不是随机事件.故选C.【点睛】本题主要考查了随机事件，必然事件、不可能事件的概念及判断，其中熟记随机事件的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的女学生人数为A. 24B. 16C. 12D. 8【答案】D【解析】【分析】根据题意现算出二年级女生的人数，得到三年级女生的人数，再利用分层抽样的方法抽取，即可得到答案.【详解】由题意，抽到二年级女生的概率是0.19，所以二年级的女生人数为人，所以三年级女生的人数为人，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，在三年级抽取的女学生人数为人，【点睛】本题主要考查了简单的随机抽样与分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4. 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 标准差【答案】D【解析】试题分析：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A 样本方差=[（82-86）2+2×（84-86）2+3×（86-86）2+4×（88-86）2]=4，标准差S=2，B 样本方差=[（84-88）2+2×（86-88）2+3×（88-88）2+4×（90-88）2]=4，标准差S=2，D 正确考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数此处有视频，请去附件查看】5.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.根据上表提供的数据，用最小二乘法求出的y关于x的线性回归方程为，则表中的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出数据的平均数，利用线性回归方程恒过样本中点点，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据表中的数据，可得，即样本中心为，代入回归直线的方程，即，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线的方程恒过样本中心点是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6. 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE 内部的概率等于A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．点评：本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．7.已知[x]表示不超过x的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2.4，则输出z的值为( )A. 1.2B. 0.6C. 0.4D. －0.4【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，即可得到答案.【详解】由题意，输入，执行循环体，满足循环体的判断条件，；执行循环体，满足循环体的判断条件，；执行循环体，不满足循环体的判断条件，则输出，故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分。
河南省南阳市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
按学段分层抽样 D. 系统抽样【答案】C 【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.考点：分层抽样．【此处有视频，请去附件查看】的值为（ ）cos 70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒- B. C. D. 323212-12【答案】BA. B.C. D.【答案】C 【解析】分析】根据函数的奇偶性的判断方法先判断函数的奇偶性，排除一些选项，再利用特殊点的函数值的正负可得选项.【详解】由知函数是偶函数，排除B 选项；()()f x f x -=再因为()02,f =【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题.已知：平面内不再同一条直线上的四点、、、满足，若O A B C AB AC μ= ，则（ ）1()3OB OC R λλ=+∈μ=B. 2C. D. 1-2-【答案】D 【解析】【分析】根据向量的加法原理对已知表示式转化为所需向量的运算对照向量的系数求解.【详解】根据向量的加法原理得【详解】小明等车时间不超过分钟，则他需在至到，或至到，10750：800：8:20830：分钟，所以概率20201.402P ==A.【点睛】本题考查几何概型，关键找到满足条件的时间段，属于基础题.已知奇函数满足，则的取值不()2sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ω可能是（ ） B. 4C. 6D. 10【答案】B 【解析】【分析】形状一定是（ ）等边三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的加法法则和减法法则化简已知表达式，再由向量的垂直和等腰三角形的三线合一性质得解【详解】设边的中点，则BC D ()0BC AB AC BC AD =⋅+=⋅ 所以在中，垂直于的中线，ABC ∆BC BC 是等腰三角形.ABC ∆C.【点睛】本题考查向量的线性运算和数量积，属于基础题.已知：，则（ ）1sin 53πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭B. C. D. 7919-7919【答案】A 【解析】【分析】观察已知角与待求的角之间的特殊关系，运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.【详解】令，则，5παθ-=2322,2255ππαθαπθ-=+=-，2217cos 212sin 1239θθ⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解【详解】由图象可知，又，所以，1A =712344T πππ-==T π=又因为，所以，所以，2T πω=2ω=()()sin 2f x x ϕ=+又因为，又，所以 771,sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-∴⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭||2ϕπ<,3πϕ=()sin 2cos 2cos 2cos 2332612f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B. C. D. 12243648【答案】B 【解析】00011166sin 60 2.598,1212sin 303,2424sin15222S n S n S ⇒=⨯≈=⇒=⨯==⇒=⨯，故选B.3.1056【点晴】本题主要考查程序框和三角运算，属于较易题型.高考中对于程序框图的考查主要有：输出结果型、完善框图型、确定循环变量取值型、实际应用型等，最常见的题型是以循环结构为主，求解程序框图问题的关键是能够应用算法思想列出并计算每一次循环结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系.【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.已知函数，若，则__________．()2sin 3cos f x x x =+max ()()f x f a =cos a =【答案】31313【解析】【分析】由三角函数的辅助角公式化简，关键需得出辅助角的正切值，再由函数的最大值求解.【详解】由三角函数的辅助公式得（其中），())2sin 3cos 13sin x x x θ=+=+3tan 2θ=所以，max ()()f x f a =()sin 1a θ+=因此在同一直角坐标系分别做出和的图象，观察两支图象的交点的个数为cos y x =3log y xπ=3注意在做的图像时当时，,3log y xπ=3x π=1y =故得解.【点睛】本题考查三角函数的有界性和余弦函数与对数函数的交点情况，属于中档题.3sin cos αβ+=【点睛】本题考查三角函数的值域，属于基础题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤在平面直角坐标系中，以轴为始边，作两个角，它们终边分别经过点和，其中xOy Ox ,αβP Q ,，且.21,cos 2θ⎫⎪⎭()2sin ,1,Q θθ-∈R 4sin 5α=）求的值；cos 2θ）求的值.tan()αβ+【答案】（1）；（2）.1313-4tan ,tan 33αβ==-.tan tan 1tan()1tan tan 3αβαβαβ++==--【点睛】本题考查三角函数的定义和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，属于基础题.已知，且与的夹角.3,4a b == a b 23θπ=）求的值；||a b + ）记与的夹角为，求的值.a a b + αtan 2α133936-x某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价（单位：元）和销售量（单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：x99.51010.511销售单价/元y1110865销售量/万件y x）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；[7,9]）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在内，已知该产品的成本元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本））利润该函数的对称轴方程是，8.75x =故销售单价定为元时，企业才能获得最大利润.8.75【点睛】本题考查线性回归方程和求利润的最值，属于基础题.已知向量，函数，且当，时，(2cos ,sin ),(cos ,23cos )a x x b x x == ()f x a b m =⋅+ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为.2）求的值，并求的单调递增区间；m ()f x ）先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向()y f x =12π[0,]π,36x k k Zππππ-≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦）由题意，，)2sin 432sin 431266x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得()4x =1sin 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得：或4266x k πππ-=+542,66x k k Z πππ-=+∈或212k ππ=+,24k x k Z =+∈ππ）估计在这名读书者中年龄分布在的人数；40[40,70)）求这名读书者年龄的平均数和中位数；40）若从年龄在的读书者中任取名，求这两名读书者年龄在的人数恰为的概率[20,40)2[30,40)1【答案】（1）；（2）；（3）.3054,55815【解析】【分析】,共有基本事件数为个,15记选取的两名读者中恰好有一人年龄在中为事件，[30,40)A 则事件包含的基本事件数为个:A 8),A ()()()(),,,,,,,,aB aC aD b A ()()(),,,,,b B b C b D .8()15A =【点睛】本题考查识别频率直方图和样本的数字特征，属于基础题.如图是函数的部分图像，是它与轴的两()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)2πωϕ>><<A M N 、x π()0,1F【分析】）由点是线段的中点，可得和的坐标，从而得最值和周期，可得和，再代()0,1F DM D M A ω入顶点坐标可得，再利用整体换元可求单调区间；ϕ）令得到，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系求()[]t 1,2f x =∈()()2h x g t 1t at ==-+最值即可.【详解】（1）因为为中点，，所以，，则，()0,1F ，又因为，则所以，由又因为，则所以令又因为则单调递增区间为.（2）因为所以令，则对称轴为①当时，即时，；②当时，即时，（舍）③当时，即时，（舍）综上可得：.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式及二次函数轴动区间定的最值问题，考查了学生的分类讨论思想及计算能力，属于中档题.。
河南省南阳市2018-2019学年高一下期中数学测试卷-附答案
2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期中数学测试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是（）A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D．将总体分成几层，分层进行抽取6如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）A． B．C．D．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取学生数为（）A．10 B．15 C．20 D．304．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过2，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号A．07 B．04 C．02 D．016．甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．7．10名同学参加投篮比赛，每人投20球，投中的次数用茎叶图表示（如图），设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．要从已编号（1～360）的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本，若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最大的编号为（）A．355 B．356 C．357 D．3589．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜910．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=11．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为12，16，0，则输出a和i的值分别为（）A．4，3 B．4，4 C．4，5 D．3，412．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．下列程序执行后输出的结果为．14．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3000人，根据统计图计算该校共捐款元．15．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出M尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出m尾鱼，查看其中有记号的鱼有n尾．由此可以估计水库内鱼的尾数为．16．一组数据x1，x2，…，x5的平均数为5，x，x，…，x的平均数为33，则数据x1，x2，…，x5的方差为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．观察如图所示的算法框图（1）说明该算法框图所表示的函数；（2）用基本语句描述该算法框图．18．某校100名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次100名学生数学成绩的平均数及中位数．19．设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2个球．（1）求这两只球都是白球的概率．（2）求这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率．20．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多有10个，那么机器的运转速度应控制在设么范围内？参考公式：=﹣，==．21．设关于x的一元二次方程为x2+2ax+b2=0．（1）若a是从﹣2，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[﹣3，0]中任取的一个数，b是从区间[﹣2，0]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．22．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期中数学测试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是（）A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D．将总体分成几层，分层进行抽取【考点】分层抽样方法．【分析】要求分析三种抽样的共同点，这三种抽样只有简单随机抽样是从总体中逐个抽取，只有系统抽样是事先按照一定规则分成几部分，只有分层抽样是将总体分成几层，再抽取．【解答】解：三种抽样方法有共同点也有不同点，它们的共同点就是抽样过程中每个个体被抽取的机会相同．故选C．6如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）A． B．C．D．【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．【解答】解：根据所给的三对数据，得到=3，=5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5=3b+，∴b=，故选B．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取学生数为（）A．10 B．15 C．20 D．30【考点】分层抽样方法．【分析】根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取×50=15．故选：B．4．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过2，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由已知得A与B能同时，B与C不能同时发生，但能同时不发生，由此利用对立事件、互斥事件的定义能求出结果．【解答】解：一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，则事件A包含的基本事件有：1，3，5，事件B表示向上的一面出现的点数不超过2，则事件B包含的基本事件有：1，2，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则事件C包含的基本人：4，5，6，∴A与B能同时发生，故A与B不是互斥事件，故A和B错误；B与C不能同时发生，但能同时不发生，故B与C是互斥而非对立事件，故C正确，D错误．故选：C．5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号A．07 B．04 C．02 D．01【考点】收集数据的方法．【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，04，其中第二个和第⑤个都是02，重复．可知对应的数值为．08，02，14，07，01，04则第6个个体的编号为04．故选：B．6．甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出2张卡片上的数字之积为奇数包含的基本事件个数，由此能求出2张卡片上的数字之积为奇数的概率．【解答】解：甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，基本事件总数n==8，2张卡片上的数字之积为奇数包含的基本事件个数m==2，∴2张卡片上的数字之积为奇数的概率为p==．故选：C．7．10名同学参加投篮比赛，每人投20球，投中的次数用茎叶图表示（如图），设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数、中位数与众数的定义，分别求出即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得：该组数据的平均数为a=×（9+9+12+15+16+17+17+17+18+20）=15，中位数为b==16.5，众数为c=17，所以a＜b＜c．故选：D．8．要从已编号（1～360）的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本，若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最大的编号为（）A．355 B．356 C．357 D．358【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义先求出样本间隔，然后进行求解．【解答】解：样本间隔为360÷30=12，若在抽出的样本中有一个编号为105，则105÷12=8+9，则第一个编号为9，则在抽出的样本中最大的编号为9+12×29=357，故选：C9．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】由题目要求可知：该程序的作用是统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm））的学生人数，由图1可知应该从第四组数据累加到第七组数据，故i值应小于8．【解答】解：现要统计的是身高在160﹣180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，当i＜8时就会返回进行叠加运算，当i≥8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，故i＜8．故答案为：i＜8．10．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【考点】程序框图．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．11．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为12，16，0，则输出a和i的值分别为（）A．4，3 B．4，4 C．4，5 D．3，4【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=12，b=16，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=16﹣12=4，i=2满足a＞b，a=12﹣4=8，i=3满足a＞b，a=8﹣4=4，i=4不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为4，i的值为4．故选：B．12．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，若△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=，设AD=y，AB=x，则DE=x，PE=DE=x，则PC=x+x=x，则PB2=AB2时，PC2+BC2=PB2=AB2，即（x）2+y2=x2，即x2+y2=x2，则y2=x2，则y=x，即=，即=，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．下列程序执行后输出的结果为5050．【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，得出该程序的作用是累加并输出S的值，由此求出结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，知该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+…+100的值．且S=1+2+3+…+100==5050．故答案为：505014．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3000人，根据统计图计算该校共捐款37770元．【考点】频率分布直方图．【分析】根据统计图计算出高一、高二、高三的学生数，再求出捐款数．【解答】解：根据统计图，得；高一人数为3000×32%=960，捐款数是960×15=14400元；高二人数为3000×33%=990，捐款数是990×13=12870元；高三人数为3000×35%=1050，捐款数是1050×10=10500元；所以该校学生共捐款为14400+12870+10500=37770元．故答案为：37770．15．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出M尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出m尾鱼，查看其中有记号的鱼有n尾．由此可以估计水库内鱼的尾数为．【考点】收集数据的方法．【分析】由题意得出有记号的鱼所占的比例数，再设水库内鱼的尾数是x，由比例数相等列出方程，即可求出x的值．【解答】解：由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为，设水库内鱼的尾数是x，则有=，解得x=．故答案为：．16．一组数据x1，x2，…，x5的平均数为5，x，x，…，x的平均数为33，则数据x1，x2，…，x5的方差为8．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据平均数以及方差的定义代入计算即可．【解答】解：∵x1+x2，…+x5=25，x+x，…+x=5×33，∴[++…+]=[x+x，…+x﹣10（x1+x2，…+x5）+5×25]=（5×33﹣10×25+5×25）=8，即数据x1，x2，…，x5的方差为8，故答案为：8．三、解答题（共6小题，满分70分）17．观察如图所示的算法框图（1）说明该算法框图所表示的函数；（2）用基本语句描述该算法框图．【考点】程序框图．【分析】（1）分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序和判断框的功能，可得该算法程序的功能是计算并输出分段函数的函数值．（2）对照流程图写成语句即可．【解答】解：（1）分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的值．故该算法框图所表示的函数为：y=．（2）程序语句如下：INPUT xIf x＜﹣2 Theny=1﹣2*xElseIf x＜=2 Theny=5Elsey=2*x+1End IfEnd IfPRINT yEND18．某校100名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次100名学生数学成绩的平均数及中位数．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率和为1，列出方程求出a的值；（2）根据频率分布直方图计算出平均数与中位数的值．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：2a+0.04+0.03+0.02=0.1，所以a=0.005；（2）根据频率分布直方图，估计平均数为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）．估计中位数为：70+×10=（分）．19．设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2个球．（1）求这两只球都是白球的概率．（2）求这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）用a，b，c，d表示4个白球，用E，F表示2个黑球，利用列举法能求出这两只球都是白球的概率．（2）设取出的两球中一只是白球另一只是黑球为事件B，利用列举法能求出这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率．【解答】解：（1）用a，b，c，d表示4个白球，用E，F表示2个黑球，取2个球的所有可能情况有：ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF共15种不同的结果．设取出的两球都是白球为事件A，则事件A包含其中的6种结果，所以P（A）==．（2）设取出的两球中一只是白球另一只是黑球为事件B，由（1）可知事件B包含其中的8种结果，所以P（B）=．20．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多有10个，那么机器的运转速度应控制在设么范围内？参考公式：=﹣，==．【考点】线性回归方程．【分析】（1）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a，写出线性回归方程．（2）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．【解答】解：（1）=12，=8，40+70+96+126+176﹣5×12×8=28，64+100+144+196+256﹣5×144=40，∴b=0.7，a=8﹣0.7×12=﹣0.4∴回归直线方程为：y=0.7x﹣0.4；（3）由上一问可知0.7x﹣0.4≤10，解得x≤14.85．21．设关于x的一元二次方程为x2+2ax+b2=0．（1）若a是从﹣2，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[﹣3，0]中任取的一个数，b是从区间[﹣2，0]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据古典概型的概率公式，利用列举法进行求解即可．（2）作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：设事件A为“方程为有实数根”，事件A发生时a，b满足△=4a2﹣4b2≥0，就|a|≥|b|，（1）基本事件共有12个：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示a，第二个数表示b的取值．事件A包含11个基本事件，故事件A发生的概率P（A）=．（2）实验的全部结果构成的区域为{（a，b）|}，其面积为6构成事件A的区域为{（a，b）|}，其面积为4故事件A发生的概率P（A）=．22．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．【考点】古典概型及其概率计算公式；程序框图．【分析】（I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．【解答】解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=；∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；。
精选河南省南阳市2018-2019学年高一下期末数学试卷(有答案)
..2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题 5 分） 1．学校为了解高二年级 1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 40的 样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔 k 为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 2．cos1050°的值为（ ）A． B．﹣C． D．﹣3．如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中 m 为 数字 0﹣9 中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为 ，，则一定有（ ）A． ＞ C． =B． ＜ D． ， 的大小不确定4．若 sin（π﹣α）﹣cos（π+α）= ，则 sin（ ﹣α）cos（ +α）等于（ ）A． B．﹣C． D．﹣5．已知单位向量 ， 满足|3 ﹣2 |= ，则|3 + |=（ ） A．1 B．4 C．2 D． 6．若某公司从 5 位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人，这 5 人被录用的机会均等， 则甲、乙同时被录用的概率为（ ）....A． B． C． D．7．下列说法中，正确的个数为（ ） （1） （2）已知向量 =（6，2）与 =（﹣3，k）的夹角是钝角，则 k 的取值范围是 k＜0（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底（4）若 ，则 在 上的投影为 ． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数 f （x）的图象的是（ ）A．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 2 倍，然后再向左平移 个单位 B．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 2 倍，然后再向右平移 个单位 C．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，然后再向右平移 个单位 D．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，然后再向左平移 个单位 9．运行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（ ）....A． B． C． D．10．△ ABC中，若 cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ ABC中一定是（ ）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形11．已知函数 f（x）=cosωx（sinωx+ cosωx）（ω＞0），如果存在实数 x ，使得对任意的实 0数 x，都有 f（x ）≤f（x）≤f（x +2016π）成立，则 ω 的最小值为（）00A．B．C．D．12．已知△ ABC内一点 O 满足 率为（ ）= ，若△ ABC内任意投一个点，则该点△ OAC内的概A． B． C． D．二、填空题（每题 5 分）13．从某小区抽取 100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50至 350度之间，频率分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间[150，250）内的户数为．....14．如图所示，在半径为 7，圆心角为 的扇形铁皮 ADE 上截去一个半径为 3 的小扇形 ABC，则剩下扇环的面积为．15．在等腰直角三角形 ABC 中，已知 AB=AC=1，E，F 分别是边 AB，AC 上的点，且 =m ，=n ，其中 m，n∈（0，1）且 m+2n=1，若 EF，BC 的中点分别为 M，N，则| |的最小值是．16．已知定义域为 R 的奇函数 f（x）满足：当 x＞0 时，f（x）=lnx，则函数 g（x）=f（x）﹣sin4x 的零点的个数为．三、解答题17．已知向量 =（3，﹣4）， =（6，﹣3）， =（5﹣x，﹣3﹣y）， =（4，1）（1）若四边形 ABCD 是平行四边形，求 x，y 的值；（2）若△ ABC 为等腰直角三角形，且∠B 为直角，求 x，y 的值．18．某地区 2009 年至 2015 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表：2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015年份代号 t 1234567....人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2009 年至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况，并预测该地区 2019 年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．参考数据：（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3× 1.6=14．19．已知向量 =（cosx，sinx）， =（ sinx，sinx），x∈R 设函数 f（x）= ﹣（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）求函数 f（x）在[0， ]上的最大值和最小值．20．某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米 ）如表所示： 2 D1.691.731.751.791.82体重指标 19.225.118.523.320.9（Ⅰ）从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．21．在△ ABC 中，已知 tanA，tanB 是关于 x 的方程 x +（x+1）p+1=0 的两个实根． 2（1）求角 C；（2）求实数 p 的取值集合．....22．函数 y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在 x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当 x=π 时，y 有最大值 3，当 x=6π 时，y 有最小值﹣3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数 m，满足不等式 Asin（）＞Asin（）？若存在，求出 m 值（或范围），若不存在，请说明理由．....2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析一、选择题（每题 5 分） 1．学校为了解高二年级 1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 40的 样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔 k 为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 【考点】系统抽样方法． 【分析】由题意知了解 1201名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 40 的样本，1201除以 40不是整数，先随机的去掉 1 个人，再除以 40，得到每一段有 30个人， 在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等． 【解答】解：了解1201名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样 本， ∵1201除以 40不是整数， ∴先随机的去掉 1 个人，再除以 40，得到每一段有 30个人， 则分段的间隔 k 为 30． 故选：C．2．cos1050°的值为（ ）A． B．﹣C． D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值． 【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．....【解答】解：cos1050°=cos（﹣3×360°+1050°）=cos（﹣30°）=cos30°= ， 故选：A．3．如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中 m 为 数字 0﹣9 中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为 ，，则一定有（ ）A． ＞B． ＜C． =D． ， 的大小不确定【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，分别求出 ， ，由此能示出结果．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，= （81+85+85+84+85）=84，= （84+84+86+84+87）=85． ∴＜ ． 故选：B．4．若 sin（π﹣α）﹣cos（π+α）= ，则 sin（ ﹣α）cos（ +α）等于（ ）A． B．﹣C． D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．....【分析】利用诱导公式求得 sinα+cosα= ，平方可得 sinα cosα 的值，再利用诱导公式化简 要求的式子为 sinα cosα，从而得出结论． 【解答】解：∵sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=sinα+cosα= ，∴平方可得 sinα cosα=﹣ ， 则 sin（ ﹣α）cos（ +α）=﹣cosα•（﹣sinα）=sinα cosα=﹣ ， 故选：B．5．已知单位向量 ， 满足|3 ﹣2 |= ，则|3 + |=（ ） A．1 B．4 C．2 D． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据 ， 是单位向量得出| |=| |=1，再根据|3 ﹣2 |= 求出 • 的值，从而求出 |3 + |的值． 【解答】解：∵ ， 是单位向量，∴| |=| |=1， 又|3 ﹣2 |= ， ∴9 ﹣12 • +4 =7， 即 9﹣12 • +4=7， ∴•= ；∴=9 +6 • + =9+6× +1=13，∴|3 + |= ． 故选：D．6．若某公司从 5 位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人，这 5 人被录用的机会均等， 则甲、乙同时被录用的概率为（ ）....A． B． C． D． 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】先求出从甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人的种数，再求出甲、乙同时被录用的种数， 根据概率公式计算即可． 【解答】解：从甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人，共有 C =10 种方法，53其中甲、乙同时被录用，则剩余的一人从丙、丁、戊选，共有 3 种方法， 故甲、乙同时被录用的概率为 ， 故选：A．7．下列说法中，正确的个数为（ ） （1） （2）已知向量 =（6，2）与 =（﹣3，k）的夹角是钝角，则 k 的取值范围是 k＜0（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底（4）若 ，则 在 上的投影为 ．A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【考点】命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量．【分析】（1）利用向量的加法运算进行化简．（2）利用向量的数量积判断．（3）判断两个向量是否共线．（4）利用向量投影的定义判断．【解答】解：（1）根据向量的加法运算法则可得，，所以（1）正确．（2）当 k=﹣1 时，，此时向量共线且方向相反，此时向量夹角为 180°，但不是钝角，所以（2）错误．..（3）因为，所以向量..共线，所以向量不能作为平面内所有向量的一组基底，所以（3）错误． （4）当 方向相同时， 在 上的投影为 ．当．所以（4）错误． 故正确是（1）． 故选 A．方向相反时， 在 上的投影为﹣8．函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数 f （x）的图象的是（ ）A．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 2 倍，然后再向左平移 个单位 B．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 2 倍，然后再向右平移 个单位 C．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，然后再向右平移 个单位 D．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，然后再向左平移 个单位 【考点】函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ω，由五点法作图求出 φ 的值，可得函 数的解析式，再利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：根据函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，可得 A=1， • = ﹣ ，∴ω=2．....再根据五点法作图可得 2× +φ= ，∴φ= ，∴f（x）=sin（2x+ ）． 将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，可得 y=sin2x 的图象； 然后把所的图象上的点的横坐标再向左平移 个单位，可得 y=sin2（x+ ）=sin（2x+ ） 的图象， 故选：D．9．运行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（ ）A． B． C． D． 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用 是利用循环计算 S=cos cos cos cos 的值并输出，利用三角函数倍角公式即可得到答案． 【解答】解：模拟执行程序，可得： 该程序的作用是利用循环计算 S=cos cos cos cos 的值并输出， 由于：S=cos cos cos cos....=×（cos cos cos cos ）=×（cos cos cos ）=×（cos cos ）=×cos==． 故选：C．10．△ ABC中，若 cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ ABC中一定是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【考点】三角形的形状判断． 【分析】条件即 cos（B+B+C）+2sinAsinB=0，利用两角和的余弦公式、诱导公式化简可得cos （A+B）=0，故 A+B= ，C= ， 从而得到△ ABC形状一定是直角三角形． 【解答】解：∵cos（2B+C）+2sinAsinB=0，即 cos（B+B+C）+2sinAsinB=0． ∴cosBcos（B+C）﹣sinBsin（B+C）+2sinAsinB=0， 即 cosBcos（π﹣A）﹣sinBsin（π﹣A）+2sinAsinB=0．....∴﹣cosBcosA﹣sinBsinA+2sinAsinB=0，即﹣cosBcosA+sinBsinA=0． 即﹣cos（A+B）=0，cos（A+B）=0． ∴A+B= ，∴C= ，故△ ABC形状一定是直角三角形． 故选 C．11．已知函数 f（x）=cosωx（sinωx+ cosωx）（ω＞0），如果存在实数 x ，使得对任意的实 0数 x，都有 f（x ）≤f（x）≤f（x +2016π）成立，则 ω 的最小值为（）00A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由题意可得区间[x，x +2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角00和的正弦公式求得 f（x）=sin（2ωx+ ）+ ，再根据 2016π≥ • ，求得 ω 的最小值．【解答】解：由题意可得，f（x ）是函数 f（x）的最小值，f（x +2016π）是函数 f（x）的最00大值．显然要使结论成立，只需保证区间[x，x +2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即00可．又 f（x）=cosωx（sinωx+ cosωx）= sin2ωx+=sin（2ωx+ ）+ ，故 2016π≥ • ，求得 ω≥，故则 ω 的最小值为 ， 故选：D．..12．已知△ ABC 内一点 O 满足 率为（ ）..= ，若△ ABC 内任意投一个点，则该点△ OAC 内的概A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】要求该概率即求S△AOC：S△=的比值．由ABC= ，变形为，3 = ，得到 O到 AC 的距离是 E 到 AC 距离的一半，B 到 AC 的距离是 O 到 AC 距离的 3 倍，两三角形同底，面积之比转化为概率．【解答】解：以 ， 为邻边作平行四边形 OBDC，则 + =∵=，∴3 = ，作 AB 的两个三等分点 E，F，则 = = ，∴O 到 AC 的距离是 E 到 AC 距离的一半，B 到 AC 的距离是 O 到 AC 距离的 3 倍，如图∴S △=AOCS△ ． ABC故△ ABC 内任意投一个点，则该点△ OAC 内的概率为 ，故选：C．二、填空题（每题 5 分）....13．从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率 分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间[150，250）内的户数为 52 ．【考点】频率分布直方图． 【分析】先求出用电量落在区间[150，250）内频率，由此能求出用电量落在区间[150，250） 内的户数． 【解答】解：由用电量落在区间[150，250）内频率为： 1﹣（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）×50=0.52， ∴用电量落在区间[150，250）内的户数为： 100×0.52=52． 故答案为：52．14．如图所示，在半径为 7，圆心角为 的扇形铁皮 ADE 上截去一个半径为 3 的小扇形 ABC， 则剩下扇环的面积为 5π ．【考点】扇形面积公式．....【分析】观察图形得出留下部分的面积等于扇形 ADE减去扇形 ABC的面积，然后根据扇形面积 的公式得出结果．【解答】解：S =S ﹣S = ×7 ×2 ﹣ ×3 × 2 =5π．留下 ADEABC故答案为：5π．15．在等腰直角三角形 ABC中，已知 AB=AC=1，E，F 分别是边 AB，AC上的点，且 =m ，=n ，其中 m，n∈（0，1）且 m+2n=1，若 EF，BC的中点分别为 M，N，则| |的最小值是．【考点】向量的模． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．由 =m ， =n ，其中 m，n∈（0，1），可得 =（m，0）， =（0，n）．利用 =，=．可得==．再利用向量数量积运算性质、二次函数的性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． B（1，0），C（0，1）． ∵ =m ， =n ，其中 m，n∈（0，1）， ∴ =m（1，0）=（m，0）， =（0，n）．∴==．==．∴==．又 m，n∈（0，1），m+2n=1．∴n∈．..∴=..==取等号．故答案为： ．≥ ，当且仅当 n= ，m= 时16．已知定义域为 R 的奇函数 f（x）满足：当 x＞0 时，f（x）=lnx，则函数 g（x）=f（x） ﹣sin4x 的零点的个数为 7 ． 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】将函数 g（x）=f（x）﹣sin4x 的零点的个数转化为 f（x）的图象与 sin4x 的图象的 交点个数，由数形结合可以得知答案．【解答】解：函数 f（x）=sin4x 是奇函数，且它的周期为 = ，∵g（x）=f（x）﹣sin4x=0， ∴函数 g（x）=f（x）﹣sin4x 的零点的个数为 相当于 f（x）=sin4x 的零点个数， 即 f（x）与 sin4x 的交点个数， ∴画出二者图象，由数形结合， 可知，在（﹣∞，0）有 3 个交点，0 处有一个交点，（0，+∞）有 3 个交点， 故共有 7 个交点． ∴函数 g（x）=f（x）﹣sin4x 的零点的个数为 7 个，....故答案为：7．三、解答题 17．已知向量 =（3，﹣4）， =（6，﹣3）， =（5﹣x，﹣3﹣y）， =（4，1） （1）若四边形 ABCD 是平行四边形，求 x，y 的值； （2）若△ ABC 为等腰直角三角形，且∠B 为直角，求 x，y 的值． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】（1）分别求出 ， ，根据向量相等，求出 x，y 的值即可；（2）根据△ ABC 为等腰 直角三角形，得到关于 x，y 的方程组，解出即可． 【解答】解：（1）∵ =（3，﹣4）， =（6，﹣3）， =（5﹣x，﹣3﹣y）， ∴ =（1，5）， =（﹣1﹣x，﹣y），由 = ， 得 x=﹣2，y=﹣5； （2）∵ =（3，1）， =（﹣x﹣1，﹣y）， ∵∠B 为直角，则 ⊥ ， ∴3（﹣x﹣1）﹣y=0， 又| |=| |，∴（x+1）2+y =10，再由 y=3（﹣x﹣1），2....解得：或．18．某地区 2009 年至 2015 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表： 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2009 年至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况，并预测该地区 2019 年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．参考数据：（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3× 1.6=14． 【考点】线性回归方程． 【分析】（1）先求出年份代号 t 和人均纯收入 y 的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用 最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出 a 的值，写出线性回归方程； （2）由（1）知，b=0.5＞0，2009 年至 2015 年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每 年增加 0.5 千元，求得 2019 年的年份代号 t=9 代入（1）的回归方程，得 y 的值． 【解答】解：（1）由所给数据计算得==4，==4.4，..（t﹣）=9+4+1+0+1+4+9=28，2i（t﹣）（y﹣）=（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2 ii×0.9+3×1.6=14．，…4分= =0.5，=4.3﹣0.5×4=2.3，所求回归方程为y=0.5t+2.3…8分（2）由（1）知，b=0.5＞0，故2009年至2015年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2019年的年份代号t=9代入（1）的回归方程，得y=6.8，故预测该地区2019年该地区居民家庭人均纯收入约为6.8千元．…12分．19．已知向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R设函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期；﹣（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，求出函数f（x）=sin（2x﹣），从而得到f（x）的最小正周期；（2）由x的范围求得相应的范围，再由正弦曲线y=sinx在[得f（x）在[0，]上的最大值和最小值．，]上的图象进一步求【解答】解：（1）由向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R，得f（x）=﹣==．∴函数f（x）的最小正周期T=（2）当x∈[0，]时，；，由正弦曲线y=sinx在[，]上的图象可知当当即时f（x）取最大值1．即x=0时f（x）取最小值．函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值分别为1，．20．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米）如表所示：2D1.69 19.21.7325.11.7518.51.7923.31.8220.9体重指标以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．21．在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x+（x+1）p+1=0的两个实根．2（1）求角C；（2）求实数p的取值集合．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（1）先由根系关系得出tanA与tanB和与积，由正切的和角公式代入求值，结合A，B的范围即可计算得解A+B的值，利用三角形内角和定理即可求C的值．（2）由（1）可求A，B的取值范围，进而得方程两根的取值范围，构造函数f（x）=x+px+p+1，2则函数的两个零点均在区间（0，1）内，利用二次函数的性质构造关于p的不等式组可以求出满足条件的p的范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据题意，则有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=p+1，而，又A，B是△ABC的内角，所以，则．…（2）在△ABC中由（1）知，则，即tanA，tanB∈（0，1），…则关于x的方程x+（p+1）x+1=x+px+p+1=0在区间（0，1）上有两个实根，…22设f（x）=x+px+p+1，则函数f（x）与x轴有两个交点，且交点在（0，1）内；2又函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=﹣，故其图象满足：，…解之得：．…所以实数p的取值集合为．…22．函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．）＞Asin（）？【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．【分析】（1）根据题意，函数的最值可以确定A，根据在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3，可以确定函数的周期，从而求出ω的值和φ的值，从而求得函数的解析式；（2）令2kπ﹣≤ x+ ≤2kπ+ ，解此不等式，即可求得函数的单调递增区间；（3）根据（1）所求得的ω和φ的值，分析和的范围，确定函数在该区间上的单调性，即可求得结果．【解答】解：（1）∵当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．∴A= [3﹣（﹣3）]=3，=5π，∴T=10π= ∴ω= ，= ，∵当x=π时，y有最大值3，∴π+ϕ= ，∴ϕ= ，∴y=3sin（x+ ），（2）令2kπ﹣≤ x+ ≤2kπ+ 得10kπ﹣4π≤x≤10kπ+π，k∈Z ∴函数的单调递增区间为：{x|10kπ﹣4π≤x≤10kπ+πk∈Z}；（3）∵ω=，ϕ=，∴ω+ϕ=+∈（0，），ω+ϕ=+∈（0，），而y=sint在（0，）上是增函数∴∴+＞+，＞∴∴，解得：．∴m的取值范围是．。
数学-高一-河南省南阳一中高一(下)开学数学试卷
2015-2016学年河南省南阳一中高一（下）开学数学试卷一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）A．组距 B．频率 C．组数 D．频数2．下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．若直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0和直线（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0相互垂直，则a值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣14．一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽取的热水器的台数是（）A．9，5 B．8，6 C．10，4 D．7，75．的值为（）A．B．C．D．6．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A． B．C．D．7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．8．已知f（x）是偶函数，它在2，3﹣1，10，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）【考点】函数单调性的性质；偶函数．【分析】利用偶函数的性质，f（1）=f（﹣1），在0，+∞）上是减函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，由f（lgx）＞f（1），f（1）=f（﹣1）得：﹣1＜lgx＜1，∴＜x＜10，故答案选C．9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB1⊥BC1，则下列关于直线A1C和AB1，BC1的关系的判断正确的为（）A．A1C和AB1，BC1都垂直B．A1C和AB1垂直，和BC1不垂直C．A1C和AB1，BC1都不垂直D．A1C和AB1不垂直，和BC1垂直【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】设D为BC的中点，连结AD、B1D，设E为AB的中点，连结CE、A1E，由射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理能推导出A1C和AB1，BC1都垂直．【解答】解：设D为BC的中点，连结AD、B1D，设E为AB的中点，连结CE、A1E，∵△ABC是正三角形，∴AD⊥BC，由正三棱柱的性质可知，平面ABC⊥平面BB1C1C，又平面ABC∩平面BB1C1C=BC，∴AD⊥平面BB1C1C，∴B1D是AB1在平面BB1C1C上的射影，同理，A1E是A1C在平面AA1B1B上的射影，∵AB1⊥BC1，由三垂线逆定理可知，B1D⊥BC1，∵长方形AA1B1B≌长方形BB1C1，∴A1E⊥AB1，由三垂线定理可知，AB1⊥A1C；取AC中点F，连结BF、C1F，∵△ABC是等边三角形，∴BF⊥AC，∵AA1⊥平面ABC，∴BF⊥AA1，∵AA1∩AC=A，∴BF⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BF⊥A1C，∵长方形AA1B1B≌长方形BB1C1≌长方形AA1C1C，∴A1C⊥C1F，由三垂线定理可知，BC1⊥A1C．∴A1C和AB1，BC1都垂直．故选：A．二、填空题（每题5分，满分15分，将答案填在答题纸上）10．（log 3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（log 3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=﹣4+1+4=．故答案为：．11．如图所示，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是2．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式方程．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b），由解得，故光线所经过的路程|P′P″|=2．故答案为2．12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）=2x﹣1，f2（x）=x3，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最前面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为③④⑤（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据指数型函数，幂函数，一次函数以及对数型函数的增长速度便可判断每个结论的正误，从而可写出正确结论的序号．【解答】解：路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为：，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1）；它们相应的函数模型分别是指数型函数，幂函数，一次函数，和对数型函数模型；①当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=8，∴该结论不正确；②∵指数型的增长速度大于幂函数的增长速度，∴x＞1时，甲总会超过乙的，∴该结论不正确；③根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，∴该结论正确；④结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴该结论正确；⑤指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴该结论正确；∴正确结论的序号为：③④⑤．故答案为：③④⑤．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13．向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线．【考点】平行向量与共线向量．【分析】由条件和向量的坐标运算求出、的坐标，再代入向量共线的坐标条件求出k 的值．【解答】解：由题意得，=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），∵A、B、C三点共线，∴，∴（4﹣k）（k﹣5）+42=0，即k2﹣9k﹣22=0，解得k=﹣2或k=11．综上知，当k=﹣2或k=11时，A、B、C三点共线14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向由平移个单位，再向上平移个单位，所得函数g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调递减区间和对称中心．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】（1）由周期求得ω，由函数g（x）为奇函数求得φ和b的值，从而得到函数f（x）的解析式．（2）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的减区间，令2x+=kπ，k∈z，求得x，即可解得函数的对称中心．【解答】解：（1）∵=2×，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）﹣b．又g（x）=sin﹣b+为奇函数，且0＜φ＜π，则φ=，b=，故f（x）=sin（2x+）﹣．（2）令2x+=kπ，k∈z，求得：x=﹣，k∈Z，故函数的对称中心为：（﹣，﹣），k∈Z，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得： +kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），故函数的减区间为hslx3y3h+kπ， +kπ2，3﹣1，12，3，22，3﹣1，1，2，2，2．（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0可化为：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则，或∴k＞0．2016年10月10日。
河南省南阳市第一中学2024年招生全国统一考试·数学试题
河南省南阳市第一中学2024年招生全国统一考试·数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ） A ．22-B ．1C ．0D ．2-2．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<3．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）4．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.95446．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -7．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A．2728倍 B ．4735倍 C．4835倍 D ．75倍8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A．()B ．()C ．()D ．()9．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ） A ．4B ．72-C ．52-D ．12-10．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（ ） A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28B ．14C ．7D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省南阳市2018-2019学年高一下期末数学试卷含答案解析
2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分）1．学校为了解高二年级1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．10 B．20 C．30 D．402．cos1050°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为，，则一定有（）A．＞B．＜C．=D．，的大小不确定4．若sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=，则sin（﹣α）cos（+α）等于（）A．B．﹣C．D．﹣5．已知单位向量，满足|3﹣2|=，则|3+|=（）A．1 B．4 C．2D．6．若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确的个数为（）（1）（2）已知向量=（6，2）与=（﹣3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k＜0（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底（4）若，则在上的投影为．A．1个B．2个C．3个D．4个8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数f （x）的图象的是（）A．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位B．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向右平移个单位C．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向右平移个单位D．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位9．运行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．10．△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC中一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形11．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2019π）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．12．已知△ABC内一点O满足=，若△ABC内任意投一个点，则该点△OAC 内的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分）13．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间[150，250）内的户数为．14．如图所示，在半径为7，圆心角为的扇形铁皮ADE上截去一个半径为3的小扇形ABC，则剩下扇环的面积为．15．在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC=1，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）且m+2n=1，若EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值是．16．已知定义域为R的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为．三、解答题17．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣x，﹣3﹣y），=（4，1）（1）若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2009年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．参考数据：（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．19．已知向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R设函数f（x）=﹣（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值．20．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：2（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．21．在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+（x+1）p+1=0的两个实根．（1）求角C；（2）求实数p的取值集合．22．函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（）＞Asin（）？若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．学校为了解高二年级1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】系统抽样方法．【分析】由题意知了解1201名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，1201除以40不是整数，先随机的去掉1个人，再除以40，得到每一段有30个人，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等．【解答】解：了解1201名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，∵1201除以40不是整数，∴先随机的去掉1个人，再除以40，得到每一段有30个人，则分段的间隔k为30．故选：C．2．cos1050°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：cos1050°=cos（﹣3×360°+1050°）=cos（﹣30°）=cos30°=，故选：A．3．如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为，，则一定有（）A．＞B．＜C．=D．，的大小不确定【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，分别求出，，由此能示出结果．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，=（81+85+85+84+85）=84，=（84+84+86+84+87）=85．∴＜．故选：B ．4．若sin （π﹣α）﹣cos （π+α）=，则sin （﹣α）cos （+α）等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式求得sin α+cos α=，平方可得sin α cos α 的值，再利用诱导公式化简要求的式子为sin α cos α，从而得出结论．【解答】解：∵sin （π﹣α）﹣cos （π+α）=sin α+cos α=，∴平方可得sin α cos α=﹣，则sin （﹣α）cos （+α）=﹣cos α•（﹣sin α）=sin α cos α=﹣，故选：B ．5．已知单位向量，满足|3﹣2|=，则|3+|=（ ）A ．1B ．4C ．2D ． 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据，是单位向量得出||=||=1，再根据|3﹣2|=求出•的值，从而求出|3+|的值．【解答】解：∵，是单位向量，∴||=||=1，又|3﹣2|=，∴9﹣12•+4=7，即9﹣12•+4=7，∴•=；∴=9+6•+=9+6×+1=13，∴|3+|=． 故选：D ．6．若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先求出从甲、乙、丙、丁、戊中录用3人的种数，再求出甲、乙同时被录用的种数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，共有C53=10种方法，其中甲、乙同时被录用，则剩余的一人从丙、丁、戊选，共有3种方法，故甲、乙同时被录用的概率为，故选：A．7．下列说法中，正确的个数为（）（1）（2）已知向量=（6，2）与=（﹣3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k＜0（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底（4）若，则在上的投影为．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量．【分析】（1）利用向量的加法运算进行化简．（2）利用向量的数量积判断．（3）判断两个向量是否共线．（4）利用向量投影的定义判断．【解答】解：（1）根据向量的加法运算法则可得，，所以（1）正确．（2）当k=﹣1时，，此时向量共线且方向相反，此时向量夹角为180°，但不是钝角，所以（2）错误．（3）因为，所以向量共线，所以向量不能作为平面内所有向量的一组基底，所以（3）错误．（4）当方向相同时，在上的投影为．当方向相反时，在上的投影为﹣．所以（4）错误．故正确是（1）．故选A．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数f （x）的图象的是（）A．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位B．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向右平移个单位C．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向右平移个单位D．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，可得A=1，•=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，可得y=sin2x的图象；然后把所的图象上的点的横坐标再向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故选：D．9．运行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S=cos cos cos cos的值并输出，利用三角函数倍角公式即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得：该程序的作用是利用循环计算S=cos cos cos cos的值并输出，由于：S=cos cos cos cos=×（cos cos cos cos）=×（cos cos cos）=×（cos cos）=×cos==．故选：C．10．△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC中一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】条件即cos（B+B+C）+2sinAsinB=0，利用两角和的余弦公式、诱导公式化简可得cos（A+B）=0，故A+B=，C=，从而得到△ABC形状一定是直角三角形．【解答】解：∵cos（2B+C）+2sinAsinB=0，即cos（B+B+C）+2sinAsinB=0．∴cosBcos（B+C）﹣sinBsin（B+C）+2sinAsinB=0，即cosBcos（π﹣A）﹣sinBsin（π﹣A）+2sinAsinB=0．∴﹣cosBcosA﹣sinBsinA+2sinAsinB=0，即﹣cosBcosA+sinBsinA=0．即﹣cos（A+B）=0，cos（A+B）=0．∴A +B=，∴C=，故△ABC 形状一定是直角三角形．故选 C ．11．已知函数f （x ）=cos ωx （sin ωx +cos ωx ）（ω＞0），如果存在实数x 0，使得对任意的实数x ，都有f （x 0）≤f （x ）≤f （x 0+2019π）成立，则ω的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由题意可得区间[x 0，x 0+2019π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f （x ）=sin （2ωx +）+，再根据2019π≥•，求得ω的最小值．【解答】解：由题意可得，f （x 0）是函数f （x ）的最小值，f （x 0+2019π）是函数f （x ）的最大值．显然要使结论成立，只需保证区间[x 0，x 0+2019π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．又f （x ）=cos ωx （sin ωx +cos ωx ）=sin2ωx +=sin （2ωx +）+，故2019π≥•，求得ω≥，故则ω的最小值为，故选：D ．12．已知△ABC 内一点O 满足=，若△ABC 内任意投一个点，则该点△OAC内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】要求该概率即求S △AOC ：S △ABC =的比值．由=，变形为，3=，得到O 到AC 的距离是E 到AC 距离的一半，B 到AC 的距离是O 到AC 距离的3倍，两三角形同底，面积之比转化为概率．【解答】解：以，为邻边作平行四边形OBDC ，则+=∵=，∴3=，作AB 的两个三等分点E ，F ，则==，∴O 到AC 的距离是E 到AC 距离的一半，B 到AC 的距离是O 到AC 距离的3倍，如图∴S △AOC =S △ABC ．故△ABC 内任意投一个点，则该点△OAC 内的概率为， 故选：C ．二、填空题（每题5分）13．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间[150，250）内的户数为52．【考点】频率分布直方图．【分析】先求出用电量落在区间[150，250）内频率，由此能求出用电量落在区间[150，250）内的户数．【解答】解：由用电量落在区间[150，250）内频率为：1﹣（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）×50=0.52，∴用电量落在区间[150，250）内的户数为：100×0.52=52．故答案为：52．14．如图所示，在半径为7，圆心角为的扇形铁皮ADE上截去一个半径为3的小扇形ABC，则剩下扇环的面积为5π．【考点】扇形面积公式．【分析】观察图形得出留下部分的面积等于扇形ADE减去扇形ABC的面积，然后根据扇形面积的公式得出结果．=S ADE﹣S ABC=×72×﹣×32×=5π．【解答】解：S留下故答案为：5π．15．在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC=1，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）且m+2n=1，若EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值是．【考点】向量的模．【分析】如图所示，建立直角坐标系．由=m，=n，其中m，n∈（0，1），可得=（m，0），=（0，n）．利用=，=．可得==．再利用向量数量积运算性质、二次函数的性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（1，0），C（0，1）．∵=m，=n，其中m，n∈（0，1），∴=m（1，0）=（m，0），=（0，n）．∴==．==．∴==．又m，n∈（0，1），m+2n=1．∴n∈．∴===≥，当且仅当n=，m=时取等号．故答案为：．16．已知定义域为R的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为7．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】将函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数转化为f（x）的图象与sin4x的图象的交点个数，由数形结合可以得知答案．【解答】解：函数f（x）=sin4x是奇函数，且它的周期为=，∵g（x）=f（x）﹣sin4x=0，∴函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为相当于f（x）=sin4x的零点个数，即f（x）与sin4x的交点个数，∴画出二者图象，由数形结合，可知，在（﹣∞，0）有3个交点，0处有一个交点，（0，+∞）有3个交点，故共有7个交点．∴函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为7个，故答案为：7．三、解答题17．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣x，﹣3﹣y），=（4，1）（1）若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）分别求出，，根据向量相等，求出x，y的值即可；（2）根据△ABC为等腰直角三角形，得到关于x，y的方程组，解出即可．【解答】解：（1）∵=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣x，﹣3﹣y），∴=（1，5），=（﹣1﹣x，﹣y），由=，得x=﹣2，y=﹣5；（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），∵∠B为直角，则⊥，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又||=||，∴（x+1）2+y2=10，再由y=3（﹣x﹣1），解得：或．（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2009年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．参考数据：（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．【考点】线性回归方程．【分析】（1）先求出年份代号t和人均纯收入y的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程；（2）由（1）知，b=0.5＞0，2009年至2019年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，求得2019年的年份代号t=9代入（1）的回归方程，得y的值．【解答】解：（1）由所给数据计算得==4，==4.4，（t i﹣）2=9+4+1+0+1+4+9=28，（t i﹣）（y i﹣）=（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．，…4分==0.5，=4.3﹣0.5×4=2.3，所求回归方程为y=0.5t+2.3…8分（2）由（1）知，b=0.5＞0，故2009年至2019年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2019年的年份代号t=9代入（1）的回归方程，得y=6.8，故预测该地区2019年该地区居民家庭人均纯收入约为6.8千元．…12分．19．已知向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R设函数f（x）=﹣（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，求出函数f（x）=sin（2x﹣），从而得到f（x）的最小正周期；（2）由x的范围求得相应的范围，再由正弦曲线y=sinx在[，]上的图象进一步求得f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R，得f（x）=﹣==．∴函数f（x）的最小正周期T=；（2）当x∈[0，]时，，由正弦曲线y=sinx在[，]上的图象可知当即时f（x）取最大值1．当即x=0时f（x）取最小值．函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值分别为1，．20．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：2（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．21．在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+（x+1）p+1=0的两个实根．（1）求角C；（2）求实数p的取值集合．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（1）先由根系关系得出tanA与tanB和与积，由正切的和角公式代入求值，结合A，B的范围即可计算得解A+B的值，利用三角形内角和定理即可求C的值．（2）由（1）可求A，B的取值范围，进而得方程两根的取值范围，构造函数f（x）=x2+px+p+1，则函数的两个零点均在区间（0，1）内，利用二次函数的性质构造关于p的不等式组可以求出满足条件的p的范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据题意，则有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=p+1，而，又A，B是△ABC的内角，所以，则．…（2）在△ABC中由（1）知，则，即tanA，tanB∈（0，1），…则关于x的方程x2+（p+1）x+1=x2+px+p+1=0在区间（0，1）上有两个实根，…设f（x）=x2+px+p+1，则函数f（x）与x轴有两个交点，且交点在（0，1）内；又函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=﹣，故其图象满足：，…解之得：．…所以实数p的取值集合为．…22．函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（）＞Asin（）？若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．【分析】（1）根据题意，函数的最值可以确定A，根据在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3，可以确定函数的周期，从而求出ω的值和φ的值，从而求得函数的解析式；（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，解此不等式，即可求得函数的单调递增区间；（3）根据（1）所求得的ω和φ的值，分析和的范围，确定函数在该区间上的单调性，即可求得结果．【解答】解：（1）∵当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．∴A= [3﹣（﹣3）]=3，=5π，∴T=10π=，∴ω==，∵当x=π时，y有最大值3，∴π+ϕ=，∴ϕ=，∴y=3sin（x+），（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+得10kπ﹣4π≤x≤10kπ+π，k∈Z∴函数的单调递增区间为：{x|10kπ﹣4π≤x≤10kπ+πk∈Z}；（3）∵ω=，ϕ=，∴ω+ϕ=+∈（0，），ω+ϕ=+∈（0，），而y=sint在（0，）上是增函数∴+＞+，∴＞∴，∴解得：．∴m的取值范围是．2019年8月3日。
河南省南阳市2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
河南省南阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：1.某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是( )A. 1000名学生是总体B. 每名学生是个体C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本D. 样本的容量是100【答案】D【解析】【分析】根据有关的概念可得：此题的总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，再结合题中选项即可得到答案．【详解】根据有关的概念并且集合题意可得：此题的总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，根据答案可得：而选项（A）（B）表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、B都错误．（C）每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体．D：样本的容量是100正确．故选：D．【点睛】本题主要考查总体、个体与样本的概念，解决成立问题的关键是明确考查的对象，根据有关的概念可得总体、个体与样本的考查对象是相同的，此题属于基础题．2.下列事件中是随机事件的个数有①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩；⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾。
A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据随机事件就是在指定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断，得到答案.【详解】由题意，随机事件就是在指定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点可能发生，也可能不发生，所以是随机事件，②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定发生的事件，不是随机事件；③某人买彩票中奖，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾，此事一定不发生，不是随机事件.故选C.【点睛】本题主要考查了随机事件，必然事件、不可能事件的概念及判断，其中熟记随机事件的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的女学生人数为A. 24B. 16C. 12D. 8【答案】D【解析】【分析】根据题意现算出二年级女生的人数，得到三年级女生的人数，再利用分层抽样的方法抽取，即可得到答案.【详解】由题意，抽到二年级女生的概率是0.19，所以二年级的女生人数为人，所以三年级女生的人数为人，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，在三年级抽取的女学生人数为人，故选D.【点睛】本题主要考查了简单的随机抽样与分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4. 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差【答案】D【解析】试题分析：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差=[（82-86）2+2×（84-86）2+3×（86-86）2+4×（88-86）2]=4，标准差S=2，B样本方差=[（84-88）2+2×（86-88）2+3×（88-88）2+4×（90-88）2]=4，标准差S=2，D正确考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数此处有视频，请去附件查看】5.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.根据上表提供的数据，用最小二乘法求出的y关于x的线性回归方程为，则表中的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出数据的平均数，利用线性回归方程恒过样本中点点，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据表中的数据，可得，即样本中心为，代入回归直线的方程，即，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线的方程恒过样本中心点是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6. 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．点评：本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．7.已知[x]表示不超过x的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2.4，则输出z的值为( )A. 1.2B. 0.6C. 0.4D. －0.4 【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，即可得到答案.【详解】由题意，输入，执行循环体，满足循环体的判断条件，；执行循环体，满足循环体的判断条件，；执行循环体，不满足循环体的判断条件，则输出，故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分。
2018-2019学年河南省南阳市高一下学期期中考试数学试题(解析版)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．
解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P= ．
【详解】
从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有 种，而相克的有5种情况，
则抽取的两种物质相克的概率是 ，故抽取两种物质不相克的概率是 ，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，以及相互对立事件的应用，其中解答正确理解题意，合理利用对立事件的概率求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2018-2019学年河南省南阳市高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是()
A．1000名学生是总体B．每名学生是个体
C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本D．样本的容量是100
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；
③某人买彩票中奖；
④已经有一个女儿，那么第二次生男孩；
⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾。
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】根据随机事件就是在指定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断，得到答案.
【详解】
由题意，随机事件就是在指定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了简单的随机抽样与分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
河南省南阳一中2018学年高一下学期开学数学试卷 含解析
2018-2018学年河南省南阳一中高一（下）开学数学试卷一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）A．组距 B．频率 C．组数 D．频数2．下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．若直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0和直线（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0相互垂直，则a值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣14．一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽取的热水器的台数是（）A．9，5 B．8，6 C．10，4 D．7，75．的值为（）A．B．C．D．6．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A． B．C．D．7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．8．已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB1⊥BC1，则下列关于直线A1C和AB1，BC1的关系的判断正确的为（）A．A1C和AB1，BC1都垂直B．A1C和AB1垂直，和BC1不垂直C．A1C和AB1，BC1都不垂直D．A1C和AB1不垂直，和BC1垂直二、填空题（每题5分，满分15分，将答案填在答题纸上）10．（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=．11．如图所示，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是2．12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）=2x﹣1，f2（x）=x3，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最前面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为③④⑤（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13．向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线．14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向由平移个单位，再向上平移个单位，所得函数g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调递减区间和对称中心．15．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD交于点G，M为棱BB1上一点．（1）证明：EF∥平面A1C1D；（2）当B1M：MB的值为多少时，D1M⊥平面EFB1，证明之；（3）求点D到平面EFB1的距离．16．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点．（1）求圆M和圆N的方程；（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．17．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2018-2018学年河南省南阳一中高一（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ） A ．组距 B ．频率 C ．组数 D ．频数 【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图的做法，可得正确答案【解答】解：小长方形的长为组距，高为，所以小长方形的面积为：组距×=频率故选B2．下列命题中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A 、由向量相等的定义判断出A 不正确； B 、根据向量不能比较大小推断出B 不正确； C 、由向量相等的定义判断出C 正确；D 、举特例，时，不正确【解答】解：A 、由，得到大小相等，方向相同或相反，故A 不正确；B 、向量不能比较大小，B 不正确；C 、若，则大小相等且方向相同，则，C 正确；D 、时，不正确． 故答案为 C3．若直线（3a +2）x +（1﹣4a ）y +8=0和直线（5a ﹣2）x +（a +4）y ﹣7=0相互垂直，则a 值为（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．0或﹣1【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】分别求出两条直线的斜率，因为两直线垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于a 的方程，求出a 的值即可．【解答】解：因为直线（3a +2）x +（1﹣4a ）y +8=0和直线（5a ﹣2）x +（a +4）y ﹣7=0相互垂直，所以k 1•k 2=﹣1即（﹣）•（﹣）=﹣1，化简得：（3a +2）（5a ﹣2）=（4a ﹣1）（a +4）即a 2﹣a=0解得a=0或a=1故选C4．一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽取的热水器的台数是（）A．9，5 B．8，6 C．10，4 D．7，7【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：根据分层抽样的定义可知，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲厂抽取的热水器的台数是，乙厂抽取的热水器的台数是14﹣8=6，故选：B5．的值为（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结果．【解答】解：=﹣cos•tan（﹣）=﹣•（﹣1）=，故选：C．6．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=π，得到f（π）＜0，排除C．【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，当x=π时，f（π）=（π﹣）cosπ=﹣π＜0，故排除C，故选：D．7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，根据条件确定棱锥的高和边长，利用棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥其中以俯视图对应的直角梯形为底，高PE⊥面ABCD，四棱锥的高PE=1，底面直角梯形的上底为1，下底为2，梯形的高为1，∴四棱锥的体积为：，故选：B8．已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）【考点】函数单调性的性质；偶函数．【分析】利用偶函数的性质，f（1）=f（﹣1），在[0，+∞）上是减函数，在（﹣∞，0）上单调递增，列出不等式，解出x的取值范围．【解答】解：∵f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，由f（lgx）＞f（1），f（1）=f（﹣1）得：﹣1＜lgx＜1，∴＜x＜10，故答案选C．9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB1⊥BC1，则下列关于直线A1C和AB1，BC1的关系的判断正确的为（）A．A1C和AB1，BC1都垂直B．A1C和AB1垂直，和BC1不垂直C．A1C和AB1，BC1都不垂直D．A1C和AB1不垂直，和BC1垂直【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】设D为BC的中点，连结AD、B1D，设E为AB的中点，连结CE、A1E，由射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理能推导出A1C和AB1，BC1都垂直．【解答】解：设D为BC的中点，连结AD、B1D，设E为AB的中点，连结CE、A1E，∵△ABC是正三角形，∴AD⊥BC，由正三棱柱的性质可知，平面ABC⊥平面BB1C1C，又平面ABC∩平面BB1C1C=BC，∴AD⊥平面BB1C1C，∴B1D是AB1在平面BB1C1C上的射影，同理，A1E是A1C在平面AA1B1B上的射影，∵AB1⊥BC1，由三垂线逆定理可知，B1D⊥BC1，∵长方形AA1B1B≌长方形BB1C1，∴A1E⊥AB1，由三垂线定理可知，AB1⊥A1C；取AC中点F，连结BF、C1F，∵△ABC是等边三角形，∴BF⊥AC，∵AA1⊥平面ABC，∴BF⊥AA1，∵AA1∩AC=A，∴BF⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BF⊥A1C，∵长方形AA1B1B≌长方形BB1C1≌长方形AA1C1C，∴A1C⊥C1F，由三垂线定理可知，BC1⊥A1C．∴A1C和AB1，BC1都垂直．故选：A．二、填空题（每题5分，满分15分，将答案填在答题纸上）10．（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=﹣4+1+4=．故答案为：．11．如图所示，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是2．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式方程．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b），由解得，故光线所经过的路程|P′P″|=2．故答案为2．12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）=2x﹣1，f2（x）=x3，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最前面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为③④⑤（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据指数型函数，幂函数，一次函数以及对数型函数的增长速度便可判断每个结论的正误，从而可写出正确结论的序号．【解答】解：路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为：，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1）；它们相应的函数模型分别是指数型函数，幂函数，一次函数，和对数型函数模型；①当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=8，∴该结论不正确；②∵指数型的增长速度大于幂函数的增长速度，∴x＞1时，甲总会超过乙的，∴该结论不正确；③根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面，∴该结论正确；④结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴该结论正确；⑤指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴该结论正确； ∴正确结论的序号为：③④⑤． 故答案为：③④⑤．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13．向量=（k ，12），=（4，5），=（10，k ），当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．【考点】平行向量与共线向量．【分析】由条件和向量的坐标运算求出、的坐标，再代入向量共线的坐标条件求出k 的值．【解答】解：由题意得， =（4﹣k ，﹣7），=（6，k ﹣5），∵A 、B 、C 三点共线，∴， ∴（4﹣k ）（k ﹣5）+42=0，即k 2﹣9k ﹣22=0， 解得k=﹣2或k=11．综上知，当k=﹣2或k=11时，A 、B 、C 三点共线14．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）﹣b （ω＞0，0＜φ＜π）的图象两对称轴之间的距离是，若将f （x ）的图象先向由平移个单位，再向上平移个单位，所得函数g （x ）为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）求f （x ）的单调递减区间和对称中心．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换；正弦函数的图象． 【分析】（1）由周期求得ω，由函数g （x ）为奇函数求得φ和b 的值，从而得到函数f （x ）的解析式．（2）令2k π+≤2x +≤2k π+，k ∈z ，求得x 的范围，即可得到函数的减区间，令2x +=k π，k ∈z ，求得x ，即可解得函数的对称中心．【解答】解：（1）∵=2×，∴ω=2，∴f （x ）=sin （2x +φ）﹣b ．又g （x ）=sin [2（x ﹣）+φ]﹣b +为奇函数，且0＜φ＜π，则φ=，b=，故f （x ）=sin （2x +）﹣．（2）令2x +=k π，k ∈z ，求得：x=﹣，k ∈Z ，故函数的对称中心为：（﹣，﹣），k∈Z，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得： +kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），故函数的减区间为[+kπ， +kπ]（k∈Z）．15．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD交于点G，M为棱BB1上一点．（1）证明：EF∥平面A1C1D；（2）当B1M：MB的值为多少时，D1M⊥平面EFB1，证明之；（3）求点D到平面EFB1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据EF∥AC、AC∥A1C1证得EF∥A1C1，再利用直线和平面平行的判定定理证得平面EF∥A1C1D．（2）当B1M：MB的值为1时，D1M⊥平面EFB1 ．先证明B1E⊥D1M，再证明EF⊥D1M，再结合EF∩B1E=E，从而证得D1M⊥平面EFB1 ．（3）设点D到平面EFB1的距离为d，根据，求得d的值．【解答】解：（Ⅰ）∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，又AC∥A1C1，∴EF∥A1C1，而AC⊂平面A1C1D，EF⊄平面A1C1D，∴EF∥平面AC1D1．（II）当B1M：MB=1时，D1M⊥平面EFB1，证明如下：∵B1M：MB=1，∴A1M⊥B1E．又A1D1⊥平面AA1BB1，∴A1D1⊥B1E，∴B1E⊥平面A1MD，∴B1E⊥D1M ①．又EF⊥平面DD1B1B，∴EF⊥D1M ②，又EF∩B1E=E ③，∴由①②③可得D1M⊥平面EFB1 ．（III）设点D到平面EFB1的距离d，∵，∴，即•（•EF•B1G ）=•a•（•EF•DG），即dB1G=a•DG，∴d=•a=a．16．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点．（1）求圆M和圆N的方程；（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）圆M的圆心已知，且其与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，故半径易知，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点，由相似性易得其圆心坐标与半径，依定义写出两圆的方程即可．（2）本题研究的是直线与圆相交的问题，由于B点位置不特殊，故可以由对称性转化为求过A点且与线MN平行的线被圆截得弦的长度，下易解．【解答】解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，∵M的坐标为（，1），∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为，设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA，NC，由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即得r=3，则OC=，则⊙N的方程为；（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙N截得的弦的长度，此弦的方程是，即：x﹣﹣=0，圆心N到该直线的距离d=，则弦长=2．17．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为2x+﹣2≥k•2x，故有k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最小值，从而求得k的取值范围．（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0⇒|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得．（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为2x+﹣2≥k•2x，可化为1+（）2﹣2•≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上恒成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）min=h（1）=0，所以k的取值范围是（﹣∞，0]．（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0可化为：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则，或∴k＞0．2018年10月10日。
河南省南阳市第一中学2018-2019学年高一数学文模拟试卷含解析
河南省南阳市第一中学2018-2019学年高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. △ABC中，已知60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围A． B． C． D．参考答案：C略2. 若α、β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是()A．－π<2α－β<0B．－π<2α－β<πC．－<2α－β<D．0<2α－β<π参考答案：C解析：选C.由－<α<β<，得－π<α－β<0，又－<α<，所以－π<α＋(α－β)<，即－π<2α－β<.3. 已知函数，若实数是方程的解，且，则的值（）等于不大于恒为正值恒为负值参考答案：C4. 已知等差数列中,则的值是（）A．21 B．22 C．23D. 24参考答案：C略5. （4分）要得到的图象，需要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位参考答案：D考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到的路线，进行平移变换，推出结果．解答：将函数y=sin2x向右平移个单位，即可得到的图象，就是的图象；故选D．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意x 的系数．6. 直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于（）A．20πB．10πC．5πD．5π参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：如图底面三角形ABC的外心是O′，O′A=O′B=O′C=r，在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得BC==2，由正弦定理可得△ABC外接圆半径r==2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径R=，故此球的表面积为4πR2=20π故选A．【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法．7. 的值为（）A . B. C. D.参考答案：A略8. 将函数（）的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的倍，（纵坐标不变），再将所得到的图像向左平移个单位，可以得到一个奇函数的图像，则的值为( )A． B． C．D．参考答案：A9. 函数上的最大值和最小值之差为,则值为（）A．2或B．2或4 C．或4 D．2参考答案：A10. 函数是奇函数，则等于（）A．B． C. D．参考答案：D根据题意，若函数为奇函数，则有即故故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标，则以下结论中：①abc＞0；②a＋b＋c＜0；③a＋c＜b；④3b＞2c；⑤3a＋c＞0。
河南省南阳市2018-2019学年高一下学期期中质量评估数学试题Word版含答案
河南省南阳市2018-2019 学年下学期期中质量评估高一数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效 .2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚 .4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效 .5．保持卷面清洁，不折叠、不破损 .第Ⅰ卷选择题一、选择题．1 ．下列赋值语句正确的是A ．S＝a＋1B ．a＋1＝SC ．S－1＝aD ．S－a＝12 ．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生 2000 名，抽取了一个容量为 200 的样本，样本中男生 103 人，则该中学共有女生A ． 1030 人B ．97人C ．950 人D ．970人3 ．甲，乙两名运动员练习每人练习10 组，每组罚球 40 每组命中个数的茎叶图如图，乙两人命中个数的中位数分别甲乙8 0 93 2 1 1 34 876 54 2 0 2 0 0 1 137 3A ． 22,20B ．24,18C 23,19D ． 23,204．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”5．某校高三年级有 1000 名学生，随机编号为 0001,0002 ，．．．， 1000，现按系统抽样方法，从中抽出 200人，若 0122 号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A ．0927 B．0834 C． 0726 D．01166．已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如下：且回归方程是y? 0.95x 2.6，则t=（）A ．2.5 B．3.5 C． 4.5 D7．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子子总数为n ，落在正方形内的豆子数为m ，则圆周率p 的估算值是（）数目，若豆5.5C ．0.5D ．0.410．将一枚均匀的硬币投掷 5 次，则正面出现的次数比反面 数多的概率是（ ）第Ⅱ卷 非选择题二、填空题．13．总体由编号为 01，02，⋯， 19，20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 6 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5列和第 6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体 的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204923449358200362348696938748114．已知如下算法语句输入 t ;If t <5 Theny=t 2+1; Else If t <8 Theny =2t － 1;2n3nD ．A ．B ．C ．m m m8 ．在样本容量为 160 的频率分布直方图中，一共有形，若其中某一个小矩形的面积等于其余 n －1 个小矩形1 4，则该组的频数是（A ． 32B ．C ．40D ．9 ． 如图所示是一个算法程序框图，在集合 A x| 10 x 10,x R 中随机抽取一个数值作为 则输出的 y 值落在区间（ -5 ，3）内的概率为（ ） 2m20 25 x 输入，出现的次11． B ． 1516 32117．1D ．17232执行如下图的程序框图，输出 S 的值是（．1 2如图所示的茎叶图表示甲、 乙两D ． －1 5 次综合测评中的 中一个数字被污损， 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为12．A ．25 B ． 7109 10成绩，其n 个小矩 面积和的End if输出 y若输入 t =8, 则下列程序执行后输出的结果是 .15 ．如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 3，BC ＝1，以 A 为圆心， 1 为半 之一个圆弧 DE ，在圆弧 DE 上任取一点 P ，则直线 AP 与线段 BC 有公共点16．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人”，根据连续 7 天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是 _ .三、解答题．17．（ 10分）根据下面的要求，求 1+3+5+⋯ 99 的值． （ 1）请将该程序框图补充完整； （ 2）请用 for 语句写出该算法．18 ．（ 12 分）某城市 100 户居民的月平均用电 度 ） ， 以 [160,180） ， [180,200） ， [200,220） ， [220,240） ， [240,260） ，[260,280） ， [280,300] 率分布直方图如图．（ 1）求直方图中 x 的值； （2）求月Elsey = 8t 1;End If ①平均数 x 3； ②标准差 S 2 ；③平均数 x 3且标准差 S 2 ；④平均数 x 3 且极差小于或等于 2； ⑤众数等于 1 且极差小于或等于 4。
河南省南阳市2018-2019学年高一下期中数学测试卷-附标准答案
2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期中数学测试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是（）A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D．将总体分成几层，分层进行抽取2．已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）A． B．C．D．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取学生数为（）A．10 B．15 C．20 D．304．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过2，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）A．07 B．04 C．02 D．016．甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．7．10名同学参加投篮比赛，每人投20球，投中的次数用茎叶图表示（如图），设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．要从已编号（1～360）的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本，若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最大的编号为（）A．355 B．356 C．357 D．3589．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜910．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=11．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为12，16，0，则输出a和i的值分别为（）A．4，3 B．4，4 C．4，5 D．3，412．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．下列程序执行后输出的结果为．14．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3000人，根据统计图计算该校共捐款元．15．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出M尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出m尾鱼，查看其中有记号的鱼有n尾．由此可以估计水库内鱼的尾数为．16．一组数据x1，x2，…，x5的平均数为5，x，x，…，x的平均数为33，则数据x1，x2，…，x5的方差为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．观察如图所示的算法框图（1）说明该算法框图所表示的函数；（2）用基本语句描述该算法框图．18．某校100名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次100名学生数学成绩的平均数及中位数．19．设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2个球．（1）求这两只球都是白球的概率．（2）求这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率．20．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多有10个，那么机器的运转速度应控制在设么范围内？参考公式：=﹣，==．21．设关于x的一元二次方程为x2+2ax+b2=0．（1）若a是从﹣2，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[﹣3，0]中任取的一个数，b是从区间[﹣2，0]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．22．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期中数学测试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是（）A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D．将总体分成几层，分层进行抽取【考点】分层抽样方法．【分析】要求分析三种抽样的共同点，这三种抽样只有简单随机抽样是从总体中逐个抽取，只有系统抽样是事先按照一定规则分成几部分，只有分层抽样是将总体分成几层，再抽取．【解答】解：三种抽样方法有共同点也有不同点，它们的共同点就是抽样过程中每个个体被抽取的机会相同．故选C．2．已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）A． B．C．D．【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．【解答】解：根据所给的三对数据，得到=3，=5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5=3b+，∴b=，故选B．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取学生数为（）A．10 B．15 C．20 D．30【考点】分层抽样方法．【分析】根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取×50=15．故选：B．4．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过2，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由已知得A与B能同时，B与C不能同时发生，但能同时不发生，由此利用对立事件、互斥事件的定义能求出结果．【解答】解：一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，则事件A包含的基本事件有：1，3，5，事件B表示向上的一面出现的点数不超过2，则事件B包含的基本事件有：1，2，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则事件C包含的基本人：4，5，6，∴A与B能同时发生，故A与B不是互斥事件，故A和B错误；B与C不能同时发生，但能同时不发生，故B与C是互斥而非对立事件，故C正确，D错误．故选：C．5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）（）A．07 B．04 C．02 D．01【考点】收集数据的方法．【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，04，其中第二个和第⑤个都是02，重复．可知对应的数值为．08，02，14，07，01，04则第6个个体的编号为04．故选：B．6．甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出2张卡片上的数字之积为奇数包含的基本事件个数，由此能求出2张卡片上的数字之积为奇数的概率．【解答】解：甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，基本事件总数n==8，2张卡片上的数字之积为奇数包含的基本事件个数m==2，∴2张卡片上的数字之积为奇数的概率为p==．故选：C．7．10名同学参加投篮比赛，每人投20球，投中的次数用茎叶图表示（如图），设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数、中位数与众数的定义，分别求出即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得：该组数据的平均数为a=×（9+9+12+15+16+17+17+17+18+20）=15，中位数为b==16.5，众数为c=17，所以a＜b＜c．故选：D．8．要从已编号（1～360）的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本，若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最大的编号为（）A．355 B．356 C．357 D．358【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义先求出样本间隔，然后进行求解．【解答】解：样本间隔为360÷30=12，若在抽出的样本中有一个编号为105，则105÷12=8+9，则第一个编号为9，则在抽出的样本中最大的编号为9+12×29=357，故选：C9．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】由题目要求可知：该程序的作用是统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm））的学生人数，由图1可知应该从第四组数据累加到第七组数据，故i值应小于8．【解答】解：现要统计的是身高在160﹣180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，当i＜8时就会返回进行叠加运算，当i≥8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，故i＜8．故答案为：i＜8．10．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【考点】程序框图．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．11．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为12，16，0，则输出a和i的值分别为（）A．4，3 B．4，4 C．4，5 D．3，4【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=12，b=16，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=16﹣12=4，i=2满足a＞b，a=12﹣4=8，i=3满足a＞b，a=8﹣4=4，i=4不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为4，i的值为4．故选：B．12．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，若△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=，设AD=y，AB=x，则DE=x，PE=DE=x，则PC=x+x=x，则PB2=AB2时，PC2+BC2=PB2=AB2，即（x）2+y2=x2，即x2+y2=x2，则y2=x2，则y=x，即=，即=，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．下列程序执行后输出的结果为5050．【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，得出该程序的作用是累加并输出S的值，由此求出结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，知该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+…+100的值．且S=1+2+3+…+100==5050．故答案为：505014．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3000人，根据统计图计算该校共捐款37770元．【考点】频率分布直方图．【分析】根据统计图计算出高一、高二、高三的学生数，再求出捐款数．【解答】解：根据统计图，得；高一人数为3000×32%=960，捐款数是960×15=14400元；高二人数为3000×33%=990，捐款数是990×13=12870元；高三人数为3000×35%=1050，捐款数是1050×10=10500元；所以该校学生共捐款为14400+12870+10500=37770元．故答案为：37770．15．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出M尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出m尾鱼，查看其中有记号的鱼有n尾．由此可以估计水库内鱼的尾数为．【考点】收集数据的方法．【分析】由题意得出有记号的鱼所占的比例数，再设水库内鱼的尾数是x，由比例数相等列出方程，即可求出x的值．【解答】解：由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为，设水库内鱼的尾数是x，则有=，解得x=．故答案为：．16．一组数据x1，x2，…，x5的平均数为5，x，x，…，x的平均数为33，则数据x1，x2，…，x5的方差为8．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据平均数以及方差的定义代入计算即可．【解答】解：∵x1+x2，…+x5=25，x+x，…+x=5×33，∴[++…+]=[x+x，…+x﹣10（x1+x2，…+x5）+5×25]=（5×33﹣10×25+5×25）=8，即数据x1，x2，…，x5的方差为8，故答案为：8．三、解答题（共6小题，满分70分）17．观察如图所示的算法框图（1）说明该算法框图所表示的函数；（2）用基本语句描述该算法框图．【考点】程序框图．【分析】（1）分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序和判断框的功能，可得该算法程序的功能是计算并输出分段函数的函数值．（2）对照流程图写成语句即可．【解答】解：（1）分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的值．故该算法框图所表示的函数为：y=．（2）程序语句如下：INPUT xIf x＜﹣2 Theny=1﹣2*xElseIf x＜=2 Theny=5Elsey=2*x+1End IfEnd IfPRINT yEND18．某校100名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次100名学生数学成绩的平均数及中位数．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率和为1，列出方程求出a的值；（2）根据频率分布直方图计算出平均数与中位数的值．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：2a+0.04+0.03+0.02=0.1，所以a=0.005；（2）根据频率分布直方图，估计平均数为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）．估计中位数为：70+×10=（分）．19．设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2个球．（1）求这两只球都是白球的概率．（2）求这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）用a，b，c，d表示4个白球，用E，F表示2个黑球，利用列举法能求出这两只球都是白球的概率．（2）设取出的两球中一只是白球另一只是黑球为事件B，利用列举法能求出这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率．【解答】解：（1）用a，b，c，d表示4个白球，用E，F表示2个黑球，取2个球的所有可能情况有：ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF共15种不同的结果．设取出的两球都是白球为事件A，则事件A包含其中的6种结果，所以P（A）==．（2）设取出的两球中一只是白球另一只是黑球为事件B，由（1）可知事件B包含其中的8种结果，所以P（B）=．20．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多有10个，那么机器的运转速度应控制在设么范围内？参考公式：=﹣，==．【考点】线性回归方程．【分析】（1）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a，写出线性回归方程．（2）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．【解答】解：（1）=12，=8，40+70+96+126+176﹣5×12×8=28，64+100+144+196+256﹣5×144=40，∴b=0.7，a=8﹣0.7×12=﹣0.4∴回归直线方程为：y=0.7x﹣0.4；（3）由上一问可知0.7x﹣0.4≤10，解得x≤14.85．21．设关于x的一元二次方程为x2+2ax+b2=0．（1）若a是从﹣2，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[﹣3，0]中任取的一个数，b是从区间[﹣2，0]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据古典概型的概率公式，利用列举法进行求解即可．（2）作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：设事件A为“方程为有实数根”，事件A发生时a，b满足△=4a2﹣4b2≥0，就|a|≥|b|，（1）基本事件共有12个：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示a，第二个数表示b的取值．事件A包含11个基本事件，故事件A发生的概率P（A）=．（2）实验的全部结果构成的区域为{（a，b）|}，其面积为6构成事件A的区域为{（a，b）|}，其面积为4故事件A发生的概率P（A）=．22．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．【考点】古典概型及其概率计算公式；程序框图．【分析】（I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．【解答】解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=；∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下：。
【全国百强校首发】河南省南阳市第一中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题(pdf版)
3 又得到一个新的实数 a3 ，当 a3 a1 时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为 ， 4
则 a1 的取值范围是
三．解答题（共 6 小题，满分 70 分,解题过程要写出必要的文字说明或演算步骤）. 17.(本小题满分 10 分）某校 100 名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如下所示， 其中成绩分布区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. (1)求图中 a 的值； (2)根据频率分布直方图，估计这次 100 名学生数学成绩的平均数及中位数. 18．(本小题满分 12 分）设袋中有 4 只白球和 2 只黑球，现从袋中无放回地摸出 2 个球. (1)求这两只球都是白球的概率. 17 题图 (2) 求这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率. 19．(本小题满分 12 分）一台机器按不同的转速生产 出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺 点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线 性相关关系，下表为抽样试验的结果：
10.如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损， 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ A．
2 5
） B．
7 10
C．
4 5
D．
9 10
11.现有 1 名女教师和 2 名男教师参加说题比赛，共有 2 道备选题目，若每位选手从中有 放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ）
后再加上 12， 这样就可得到一个新的实数 a2 ， 对实数 a2 仍按上述方法进行一次操作，
回答正 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [18，28） [28，38） [38，48） [48，58） [58，68） 确的人 数 5 18 27 x 3
南阳市第一中学2018-2019学年高一数学下学期第四次月考试题(含解析)
A。 若 ,则 、 的长度相等且方向相同或相反
B。 若向量 、 满足 ，且 与 同向，则
C. 若 ，则 与 可能是共线向量
D。 若非零向量 与 平行，则 、 、 、 四点共线
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量长度 、方向、共线等知识，对四个选项注意分析排除，由此得出正确选项.
【详解】解：（1）由 得
所以函数 的单调递增区间是 。
综上所述，结论是单调递增区间是 。
由 得
所以函数 的单调递减区间是
。
因为 ，
所以 ，
，
因为 ，
所以 ，
，
所以在 和 上函数值重合在 ，
所以当 时, 恰有两个不同的实数根，则 .
综上所述，结论是：
（2）
当 时，
当 时，
函数的值域为
【点睛】本小题主要考查三角函数单调性，考查三角函数值域，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题。
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦函数的对称轴，求得题目所求函数的对称轴。
【详解】依题意 ，即 ，当 时， ，故选B。
【点睛】本小题主要考查正弦函数的对称轴，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题。
3。已知 且 ,则下列不等式一定成立的是( )
A. B。
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角 所在象限和 为正数，确定 所在象限，由此判断出正确选项。
【详解】由于 且 ,故 为第二象限角，故 ，故D选项 一定成立,故本小题选D.
【点睛】本小题主要考查三角函数在各个象限的正负，考查分析问题的能力，属于基础题。
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2018-2019学年河南省南阳一中高一（下）开学数学试卷（2
月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）
A. B. C. D.
2.若a=ln2，，，则有（）
A. B. C. D.
3.三条直线l1：ax+by-1=0，l2：2x+（a+2）y+1=0，l3：bx-2y+1=0，若l1，l2都和l3垂直，
则a+b等于（）
A. B. 6 C. 或6 D. 0或4
4.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方
面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（）
A. 30人，30人，30人
B. 30人，45人，15人
C. 20人，30人，10人
D. 30人，
50人，10人
5.已知定义域为R的偶函数f（x）在（-∞，0]上是减函数，且=2，则不等式f（log4x）
＞2的解集为（）
A. B. C. D.
6.已知圆C：x2+y2+2x=0与过点A（1，0）的直线l有公共点，则直线l斜率k的取值范围
是（）
A. B. C. D.
7.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000，并根据所得数据画了样本的频率
分布直方图．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应
抽出人数为（）
A. 20
B. 25
C. 35
D. 45
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
8.甲、乙两名运动员在某个赛季一些场次中得分的茎叶图如图所示，
则水平发挥较好的运动员是______．
9.在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x-y=0与x+3y=0的距
离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为______．
10.已知符号函数sgn（x）=，＞
，
，＜
，则函数f（x）=sgn（x）-2x的所有零点构成的集
合为______．
11.如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD最终，O为底面
正方形的重心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列
结论：
①PC∥平面OMN；
②平面PCD∥平面OMN；
③OM⊥PA；
④直线PD与直线MN所成角的大小为90°．
其中正确结论的序号是______．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
12.如图，甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
（1）求甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差；
（2）请从平均数和方差相结合看，分析谁的射击水平好．
13.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数
据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是
多少？
（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明．
14.已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式为f（x）=-（b∈R）
（Ⅰ）求b的值，并求出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最值．
15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中
点．
（1）求证：PA∥平面BMD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离．
16.已知直线l经过两点A（2，1），B（6，3）
（1）求直线l的方程；
（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于点（2，0），求圆C的方程；
（3）若过B点向（2）中圆C引切线，BS、BT，S、T分别是切点，求ST直线的方程．
已知圆M（M为圆心）的方程为x2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．。