(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)

不定方程

在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。有三个未知数，就需要有三个方程。当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。这种情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数

⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==1

5,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解

【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……

x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，

x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，

x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解

所以方程有两组整数解为：16,31

x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足33

17311=+B A ，求B A +的值。 【解析】33

1733113=+B

A 3A+11B=17，因为A 、

B 为正整数，所以A=2，B=1，A+B=3

【例3】★★（北大附中入学考试真题）14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。问：大、中、小号钢珠各多少个

?

【解析】设大、中号钢珠分别有x ，y 个，则小号钢珠有(14-x-y)个。由题意可得12x+8y+5(14-x-y)=100，化简得7x+3y=30。可求出正整数解x=3，y =3，14-x-y =8。

【小试牛刀】庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。问：庙里至少有多少个和尚?

【解析】设有7x 个大和尚，29y 个小和尚，则共吃(41x+lly)个馒头。由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程

7x+29y=41x+1ly ．

化简为9x=17y 。当x=9，y=17时和尚最少，有

7×9+29×17=556(个)。

【例4】★★长方形长，宽为整数，周长数值和面积数值相等，求其长和宽.

【解析】设长方形长为x ，宽为y ，则2x+2y=xy ，两边同时除以2xy ， 得2

111=+x y ，因为x 、y 均为整数，所以x=1，x=2时，y 不存在

所以⎩⎨⎧==63y x ，⎩⎨⎧==44y x ，⎩⎨⎧==36y x

【例5】★★ 已知2A ，3B ，4

C 是三个最简真分数，如果每个分数的分子加上A ，分母不变，所得三个新分数的和为6

13，求C 等于多少? 【解析】因为2

A 是真分数，所以A=1，

6134131211=+++++C B ，化简得4B+3C=7，因为3B ，4

C 均为真分数， 所以B=1，C=1

【例6】★★甲班有42名学生，乙班有48名学生。某次考试后各班学生成绩的总和相等，平均分均为整数，且平均成绩均高于80分，那么甲班成绩比乙班成绩高多少分？

【解析】甲班成绩为x ，乙班成绩为y

⎪⎩

⎪⎨⎧>>=8080

4842y x y x ，由方程①8y=7x. 因为x 、y 均为整数，x>80，y>80， 所以x=96，y=84. x-y=12

【小试牛刀】小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？

【解析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声．设在这15天内早晨见面x 次，晚上见面y 次．根据题意有：3561x y +=(15x ≤，15y ≤)．

可以凑出，当2x =时，11y =；当7x =时，8y =；当12x =时，5y =．

因为小花狗共叫了()2x y + 声，那么()

x y +越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以当12x =，5y =时波斯猫叫得最少，共叫了1123527⨯+⨯=(声)．

【例7】★★袋子里有三种颜色不同的球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从袋中取出10个球，数字和21，问红，黄，蓝颜色的各有多少个？

【解析】设红球x 个，黄球y 个，蓝球（10-x-y ）个

则x+2y+3（10-x-y ）=21，化简2x+y=9

因为y 为奇数，所以y=1,3,5,7,9，所以x=4,3,2,1,0，10-x-y=5,4,3,2,1，共五种情况

【小试牛刀】袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是

43。问：小明最多摸出几个标有数字2的球?

【解析】设摸出标有数字2，3和5的球分别为x,y ，z 个，于是有 x+y+z=12 ①

2x+3y+5z=43 ②

5×①-②，得 3z+2y=17 ③

由于x ，y 都是正整数，因此在③中，y 取1时．x 取最大值5。

【例8】★★★ 小刚说：“从我家门牌号中抽取两个数字，共可组成6个不同的两位数，这些数的和的一半刚好是我家的门牌号”，问小刚家门牌号多少?

【解析】设小刚家门牌号为xyz （即100x+10y+z ）

则10x+y+10x+z+10y+x+10y+z+10z+x+10z+y=2(100x+10y+z ）

化简得y+10z=89x ，因为x 、y 、z 均为一位整数，所以x=1，y=9，z=8. xyz =198.

【例9】★★ 袋中有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们数字和为

43。问小明最多摸出几个标有数字2的球？

【解析】设数字2摸出x 个，数字3摸出y 个，数字5摸出（12-x-y ）个

2x+3y+5（12-x-y ）=43，化简得3x+2y=17，要使x 最多，所以x=5

【小试牛刀】某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有13

的成人各带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？ 【解析】设参加的男宾有x 人，女宾有y 人，则由题意得方程：()11301006021603

x y x y +++⨯=，即1501202160x y +=，化简得5472x y +=．这个方程有四组解：413x y =⎧⎨=⎩，88x y =⎧⎨=⎩，123x y =⎧⎨=⎩和018x y =⎧⎨=⎩， 但是由于有13

的成人带着孩子，所以x y +能被3整除，检验可知只有后两组满足．

所以，这个活动共有()1123123203++⨯+=人或11818243

+⨯=人参加．