函数的定义、定义域、值域

函数的概念
教学目的：
1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性
教学重点：理解函数的概念； 教学难点：函数的概念
授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
函数是数学的重要的基础概念之一论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，其他学科如物理学等学科也是以丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中
函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容数列可
以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n ，a n )都分布在直线y ＝kx+b 的图象上，等差数列的前n 项和公式也可以看作关于n(n ∈N)的二次函数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数与函数内容有关
本节的函数是用初中代数中“对应”来描述的函数概念，高一学生的数学知识较少，接受能力有限，用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的 教学过程：
一、复习引入：
初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等
问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？
问题2：x y =与x
x y 2
=是同一函数吗？
观察对应：
求平方
B B
二、讲解新课：
（一）函数的有关概念
设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称
B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作
)(x f y =， x ∈A
其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.
函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:
这里 A, B 为非空的数集.
（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中
{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ，
x ∈A ， y ∈B
（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域
1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函x
k
x f =
)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R
值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-≤a b ac y y 44|2
（三）函数的值：关于函数值 )(a f
例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=2
2+3×2+1=11
注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样
2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”
3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数
三、例题讲解
例1 求下列函数的定义域：
① 21)(-=
x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x
x x f -++=21
1)(. 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定)(x f y =，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有
意义的实数x 的集合
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2
1
-x 无意义， 而2≠x 时，分式
21
-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32
时，根式23+x 无意义，
而023≥+x ，即3
2
-≥x 时，根式23+x 才有意义，
∴这个函数的定义域是{x |3
2
-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式
1+x 和分式
x
-21
同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨
⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥2
1
x x
∴这个函数的定义域是： {x |1-≥x 且2≠x }
强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域. 例2 已知函数)(x f =32
x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).
解：f(3)=3×2
3-5×3+2=14；
f(-2)=3×(-2)2
-5×(-2)+2=8+52； f(a+1)=3(a+1) 2
-5(a+1)+2=3a 2
+a.
例3下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？
⑴()2
x y =
；⑵33x y =；⑶2
x y =
解：⑴()2
x y =＝x （0≥x ）,0≥y ，定义域不同且值域不同，不是；
⑵33x y =＝x （R x ∈）,R y ∈，定义域值域都相同，是同一个函数； ⑶2x y =
＝|x |=⎩⎨
⎧-x x ,0
<≥x x ,0≥y ；值域不同，不是同一个函数
例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①3
)
5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y （定义域不同）
②111-+=
x x y )1)(1(2-+=x x y （定义域不同）
③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （定义域、值域都不同） 四、课堂练习：课本第51页练习1，2，3，4 五、小结 本节课学习了以下内容：
函数是一种特殊的对应f ：A →B ，其中集合A ，B 必须是非空的数集；
)(x f y =表示y 是x 的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义
域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(a f 表示)(x f 在x=a 时的函数值，是常量；而)(x f 是x 的函数，通常是变量
六、课后作业：课本第51－52习题2.1：1，2，3，4，5 七、板书设计（略） 八、课后记：。