山东省青岛市西海岸新区(黄岛区)2020年高三3月模拟考试数学试题(含答案)
2020年山东省青岛市西海岸新区、黄岛区中考数学一模试卷 解析版
2020年山东省青岛市西海岸新区、黄岛区中考数学一模试卷一、选择题：（每小题3分，共计24分）1．（3分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．D．﹣2．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下面计算正确的是（）A．x3+4x3＝5x6B．22x2÷x＝4xC．（﹣2x2）3＝8x6D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y24．（3分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．新冠肺炎疫情发生后，某班学生积极参加献爱心活动，该班40名学生的捐款统计情况如表，关于捐款金额，下列说法错误的是（）金额/元10203050100人数2181082 A．平均数为32元B．众数为20元C．中位数为20元D．极差为90元5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝130°，则∠ADP的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°6．（3分）如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（）A．（a﹣2，b）B．（a+2，b）C．（﹣a﹣2，﹣b）D．（a+2，﹣b）7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若BC＝8，AB＝10，则CE的长为（）A．3B．C．D．8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝cx﹣a与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：﹣2sin45°＝．10．（3分）人体内某种细胞的形状可近似看做球体，它的直径约为0.0000032m，数字0.00000032用科学记数法表示为．11．（3分）已知反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣1的图象的一个交点的纵坐标是2，则k的值为．12．（3分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形△ABC，将绕边AB的中点O逆时针旋转60°，点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝2，AC，BD相交于点O，过点C 作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥CE交CE于点F，则OF的长度为．14．（3分）如图，有一棱长为4dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D 拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为dm．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15．（4分）已知：如图，线段a，∠α求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝∠α，AB＝a．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（1）化简：÷（﹣1）；（2）解不等式组：．17．小颖为班级联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的三个扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么就能配成紫色．小明和小亮参加这个游戏，并约定：若配成紫色，则小明贏；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．18．《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分﹣89分为良好；60分﹣79分为及格；60分以下为不及格．某校为了解学生的体质健康情况，从八年级学生中随机抽取了20%的学生进行了体质测试，并将测试数据制成如图统计图．请根据相关信息解答下面的问题：（1）扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是多少？（2）求参加本次测试学生的平均成绩；（3）若参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有96人，请你估计全校八年级“不及格”等级的学生大约有多少人．19．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端E 的仰角分别为∠α＝48°和∠β＝65°，矩形建筑物的宽度AD＝18m，高度CD＝30m，求信号发射塔顶端到地面的距离EF．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）20．在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销．某药店用3000元购进甲，乙两种不同型号的口罩共1100个进行销售，已知购进甲种口罩与乙种口罩的费用相同，购进甲种口罩单价是乙种口罩单价的1.2倍．（1）求购进的甲，乙两种口罩的单价各是多少？（2）若甲，乙两种口罩的进价不变，该药店计划用不超过7000元的资金再次购进甲，乙两种口罩共2600个，求甲种口罩最多能购进多少个？21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作∠ADC和∠ABC的平分线，分别交AC于点G，H，延长DG交AB于点E，延长BH交CD于点F．（1）求证：△ADG≌△CBH；（2）若BD平分∠CDE，则四边形DEBF是什么特殊四边形？请说明理由．22．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一种商品，其成本为每件60元，已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%．据市场调查发现，月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如表：65707580…销售单价x（元）月销售量y475450425400…（件）（1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于7700元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该商品的销售单价？23．[提出问题]正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关系？[探索发现]（1）为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣正三角形入手如图①，△ABC是正三角形，边长是a，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距离分别为h1、h2、h3，确定h1+h2+h3的值与△ABC的边及内角的关系．（2）如图②，五边形ABCDE是正五边形，边长是a，P是正五边形ABCDE内任意一点，P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照（1）的探索过程，确定h1+h2+h3+h4+h5的值与正五边形ABCDE的边及内角的关系．（3）类比上述探索过程：正六边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6＝．正八边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8＝．[问题解决]正n边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+…+h n＝．24．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10cm，CD＝4cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点C出发，沿DC方向在DC的延长线上匀速运动，速度为1cm/s；当点P到达点B时，点Q停止运动．过点P 作PE∥BD，交AD于点E．连接EQ，BQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）连接PQ，当t为何值时，PQ∥AD？（2）设四边形PBQE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使EQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2020年山东省青岛市西海岸新区、黄岛区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共计24分）1．（3分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】根据绝对值的定义，可以得到﹣的绝对值是多少．【解答】解：﹣的绝对值是，故选：B．2．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．3．（3分）下面计算正确的是（）A．x3+4x3＝5x6B．22x2÷x＝4xC．（﹣2x2）3＝8x6D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、x3+4x3＝5x3，故此选项错误；B、22x2÷x＝4x，正确；C、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项错误；D、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故此选项错误；故选：B．4．（3分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．新冠肺炎疫情发生后，某班学生积极参加献爱心活动，该班40名学生的捐款统计情况如表，关于捐款金额，下列说法错误的是（）金额/元10203050100人数2181082 A．平均数为32元B．众数为20元C．中位数为20元D．极差为90元【分析】根据加权平均数、众数、中位数、极差的定义，分别求出，就可以进行判断．【解答】解：平均数为：＝32（元），故A不符合题意；捐款数中最多的是20元，因而众数为20元，故B不符合题意；将捐款数从小到大的顺序排列，处于最中间的两个数为20元，30元，中位数为（20+30）÷2＝25（元），故C符合题意；极差为：100﹣10＝90（元），故D不符合题意．故选：C．5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝130°，则∠ADP的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】连接OD，PD与⊙O相切，可得OD⊥PD，再根据四边形ABCD为⊙O的内接四边形，可得∠DAP＝∠BCD＝130°，进而可求∠ADP的大小．【解答】解：如图，连接OD，∵PD与⊙O相切，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DAP＝∠BCD＝130°，∴∠OAD＝180°﹣130°＝50°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝50°，∴∠ADP＝∠ODP﹣∠ODA＝90°﹣50°＝40°．故选：D．6．（3分）如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（）A．（a﹣2，b）B．（a+2，b）C．（﹣a﹣2，﹣b）D．（a+2，﹣b）【分析】先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解．【解答】解：由图可知，△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，设点P′的坐标为（x，y），所以，＝﹣1，＝0，解得x＝﹣a﹣2，y＝﹣b，所以，P′（﹣a﹣2，﹣b）．故选：C．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若BC＝8，AB＝10，则CE的长为（）A．3B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CF A＝90°，∠F AD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解一：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CF A＝90°，∠F AD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠F AD，∴∠CF A＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°，∴AC＝6，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴＝，∴＝，∵FC＝FG，∴＝，解得：FC＝3，即CE的长为3．解二：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CF A＝90°，∠F AD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠F AD，∴∠CF A＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG．∵BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°，∴AC＝6．设FG＝x，则FC＝x．∵S△ABC＝S△AFC+S△AFB，∴×6x+×10x＝×6×8，∴x＝3．∴CE＝3．故选：A．8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝cx﹣a与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象所经过的象限可以判定a、b、c的符号，从而得到ab的符号，易得一次函数与反比例函数所经过的象限．【解答】解：如图，抛物线y＝ax2+bx+c开口方向向上，则a＞0．抛物线对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即ab＜0．所以反比例函数y＝的图象经过第二、四象限．又因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，所以c＜0．所以一次函数y＝cx﹣a的图象经过第二、三、四象限．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：﹣2sin45°＝．【分析】先化简二次根式、代入三角函数值，再约分、计算乘法，最后计算减法即可得．【解答】解：原式＝﹣2×＝2﹣＝，故答案为：．10．（3分）人体内某种细胞的形状可近似看做球体，它的直径约为0.0000032m，数字0.00000032用科学记数法表示为 3.2×10﹣7．【分析】绝对值小于1的正数利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000032＝3.2×10﹣7．故答案为：3.2×10﹣7．11．（3分）已知反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣1的图象的一个交点的纵坐标是2，则k的值为﹣6．【分析】把y＝2代入一次函数的解析式，即可求得交点坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值．【解答】解：在y＝﹣x﹣1中，令y＝2，得﹣x﹣1＝2解得x＝﹣3，则交点坐标是：（﹣3，2），把（﹣3，2），代入y＝得，k＝﹣6．故答案为：﹣6．12．（3分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形△ABC，将绕边AB的中点O逆时针旋转60°，点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为2π﹣．【分析】如图，连接OC，OC'，设AC于OC'交点为D，由等边三角形的性质和旋转的性质可求OC'＝OC＝2，∠COC'＝60°，由三角形内角和定理可求∠ADO＝90°，由面积的和差关系可求解．【解答】解：如图，连接OC，OC'，设AC与OC'交点为D，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝4，∵点O是AB的中点，∴AO＝AB＝2，OC⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝90°，∴OC＝BC•sin60°＝2，∵将△ABC绕边AB的中点O逆时针旋转60°，∴OC'＝OC＝2，∠COC'＝60°，∴∠AOC'＝∠AOC﹣∠COC'＝30°，∴∠ADO＝180°﹣∠AOC'﹣∠BAC＝90°，∴AD＝AO•sin30°＝1，∴S阴影＝S△AOC′+S扇形C'OC﹣S△AOC＝+×2×1﹣×2×2＝2π﹣，故答案为：2π﹣．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝2，AC，BD相交于点O，过点C 作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥CE交CE于点F，则OF的长度为．【分析】由菱形的性质和勾股定理可求AB的长，由面积法可求CE的长，通过证明△OCF ∽△ACE，可得，可求CF的长，由勾股定理可求OF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝2，BO＝1，AC⊥BD，∴AB＝＝＝，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×CE，∴4＝×CE，∴CE＝，∵∠OFC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠OCF，∴△OCF∽△ACE，∴，∴CE＝2CF，∴CF＝EF＝，∴OF＝＝＝，故答案为：．14．（3分）如图，有一棱长为4dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D 拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为4dm．【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和D点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于3个棱长，利用勾股定理可求得．【解答】解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AD即为最短路线．展开后由勾股定理得：AD2＝82+122，故AD＝4dm．故答案为4．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15．（4分）已知：如图，线段a，∠α求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝∠α，AB＝a．【分析】根据基本作图方法即可作出Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝∠α，AB＝a．【解答】解：如图，所以Rt△ABC即为所求．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（1）化简：÷（﹣1）；（2）解不等式组：．【分析】（1）根据分式的减法和除法可以解答本题；（2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．【解答】解：（1）÷（﹣1）＝＝＝；（2），由不等式①，得x≥，由不等式②，得x＜3，∴原不等式组的解集是≤x＜3．17．小颖为班级联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的三个扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么就能配成紫色．小明和小亮参加这个游戏，并约定：若配成紫色，则小明贏；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【分析】分别计算出小明、小亮获胜的概率，比较大小即可得出游戏是否公平．【解答】解：列表如下：红蓝蓝红（红，红）（红，蓝）（红，蓝）黄（黄，红）（黄，蓝）（黄，蓝）蓝（蓝红）（蓝，蓝）（蓝，蓝）由表格可知，共有12种等可能结果，其中配成紫色的有3种结果，颜色相同的有3种结果．P（小明赢）＝＝，P（小亮赢）＝＝，∵，∴游戏公平．18．《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分﹣89分为良好；60分﹣79分为及格；60分以下为不及格．某校为了解学生的体质健康情况，从八年级学生中随机抽取了20%的学生进行了体质测试，并将测试数据制成如图统计图．请根据相关信息解答下面的问题：（1）扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是多少？（2）求参加本次测试学生的平均成绩；（3）若参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有96人，请你估计全校八年级“不及格”等级的学生大约有多少人．【分析】（1）计算出“不及格”等级所占百分比，然后再利用360°乘以百分比可得“不及格”等级所在扇形圆心角的度数；（2）利用加权平均数的计算方法计算即可；（3）计算出本次测试的总人数再乘以10%即可．【解答】解：（1）1﹣23%﹣25%﹣42%＝10%，10%×360°＝36°，答：“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是36°；（2）92×23%+84×25%+70×42%+45×10%＝76.06（分）答：参加本次测试学生的平均成绩为76.06分；（3）96÷（23%+25%）÷20%×10%＝100（人）答：全校八年级“不及格”等级的学生大约有100人．19．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端E 的仰角分别为∠α＝48°和∠β＝65°，矩形建筑物的宽度AD＝18m，高度CD＝30m，求信号发射塔顶端到地面的距离EF．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）【分析】过点A作AG⊥EF，垂足为G．设EF为x米，由题意可得四边形CDGF是矩形，再根据锐角三角函数即可求出信号发射塔顶端到地面的距离EF．【解答】解：如图，过点A作AG⊥EF，垂足为G．设EF为x米，由题意可知：四边形CDGF是矩形，则FG＝CD＝30m，DG＝CF，∴GE＝x﹣30．在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，∵，∴，∴，在Rt△CEF中，∠CFE＝90°，∠ECF＝65°，∵，∴，∴，∵DG＝CF，∴AG＝CF+AD，∴，∴x＝104.58≈104.6（米）．答：信号发射塔顶端到地面的距离EF为104.6米．20．在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销．某药店用3000元购进甲，乙两种不同型号的口罩共1100个进行销售，已知购进甲种口罩与乙种口罩的费用相同，购进甲种口罩单价是乙种口罩单价的1.2倍．（1）求购进的甲，乙两种口罩的单价各是多少？（2）若甲，乙两种口罩的进价不变，该药店计划用不超过7000元的资金再次购进甲，乙两种口罩共2600个，求甲种口罩最多能购进多少个？【分析】（1）设乙种口罩的单价为x元，则甲种口罩的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该药店购进甲种口罩a只，则购进乙种口罩（2600﹣a）只，根据总价＝单价×数量结合进货总价不超过7000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）3000÷2＝1500（元）．设乙种口罩的单价为x元，则甲种口罩的单价为1.2x元，依题意，得：，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：甲种口罩的单价为3元，乙种口罩的单价为2.5元．（2）设该药店购进甲种口罩a只，则购进乙种口罩（2600﹣a）只，依题意，得：3a+2.5（2600﹣a）≤7000，解得：a≤1000．答：甲种口罩最多购进1000只．21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作∠ADC和∠ABC的平分线，分别交AC于点G，H，延长DG交AB于点E，延长BH交CD于点F．（1）求证：△ADG≌△CBH；（2）若BD平分∠CDE，则四边形DEBF是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥CB，∠ADC＝∠ABC，得出∠DAG ＝∠BCH，证出∠ADG＝∠CBH，由ASAS即可得出△ADG≌△CBH；（2）证△CBF≌△ADE（ASA），得出AE＝CF，证出EB＝DF，得出四边形DEBF是平行四边形，再证ED＝EB，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∠ADC＝∠ABC，∴∠DAG＝∠BCH，∵DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，∴，∴∠ADG＝∠CBH，在△ADG和△CBH中，，∴△ADG≌△CBH（ASA）；（2）解：四边形DEBF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AB＝CD，AB∥CD，∠DAB＝∠BCD，在△CBF和△ADE中，，∴△CBF≌△ADE（ASA），∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即EB＝DF，又∵AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形，∵BD平分∠CDE，∴∠CDB＝∠BDE，又∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠DBA，∴∠BDE＝∠DBA，∴ED＝EB，∴平行四边形DEBF是菱形．22．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一种商品，其成本为每件60元，已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%．据市场调查发现，月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如表：销售单价x（元）65707580…月销售量y475450425400…（件）（1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于7700元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该商品的销售单价？【分析】（1）待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；（3）根据题意列方程求出x的值，进而得出答案．【解答】解：（1）根据表格中的数据猜想y与x的函数关系是一次函数，∴设y＝kx+b，将x＝65，y＝475；x＝70，y＝450代入y＝kx+b，得，解得，∴y＝5x+800，经验证，x＝75，y＝425；x＝80，y＝400都满足上述函数关系式，答：y与x的函数关系式为y＝﹣5x+800；（2）由题意，得w＝（x﹣60）y＝（x﹣60）（﹣5x+800）＝﹣5x2+1100x﹣48000＝﹣5x2+1100x ﹣48000，∵销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%，∴，∴60≤x≤90，∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝110，∵60≤x≤90，∴此时函数图象在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，∴x＝90时，w取得最大值，w max＝10500；答：当销售单价x为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元；（3）根据题意得，﹣5x2+1100x﹣48000﹣300＝7700解得：x1＝80，x2＝140，∵抛物线开口向下，∴当80≤x≤140时，每月利润不低于7700元又∵60≤x≤90，∴当80≤x≤90时，每月利润不低于7700元，∵要让消费者得到最大的实惠，∴x＝80，答：该商品的销售单价定为80元时，符合该网店要求且让消费者得到最大的实惠．23．[提出问题]正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关系？[探索发现]（1）为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣正三角形入手如图①，△ABC是正三角形，边长是a，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距离分别为h1、h2、h3，确定h1+h2+h3的值与△ABC的边及内角的关系．（2）如图②，五边形ABCDE是正五边形，边长是a，P是正五边形ABCDE内任意一点，P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照（1）的探索过程，确定h1+h2+h3+h4+h5的值与正五边形ABCDE的边及内角的关系．（3）类比上述探索过程：正六边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6＝3a tan60°．正八边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8＝4a tan67.5°．[问题解决]正n边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+…+h n＝a tan （90﹣）°．【分析】（1）设△ABC的面积为S，显然，设△ABC的中心（正多边形各边垂直平分线的交点，又称正多边形的中心）为O，连接OA、OB、OC，它们将△ABC分成三个全等的等腰三角形，过点O作OM⊥AB，垂足为M，根据锐角三角函数和面积公式即可得结论；（2）设正五边形ABCDE的面积为S，显然，设正五边形ABCDE的中心为O，连接OA、OB、OC、OD、OE，它们将正五边形ABCDE分成五个全等的等腰三角形，过点O作OF⊥AB，根据锐角三角函数和面积公式即可得结论；（3）结合（1）（2）的证明过程，同理可证：正六边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6＝3a tan60°．正八边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8＝4a tan67.5°．正n边形（边长为a）内任意一点P 到各边距离之和h1+h2+…+h n＝a tan（90﹣）°．【解答】解：（1）设△ABC的面积为S，显然，设△ABC的中心（正多边形各边垂直平分线的交点，又称正多边形的中心）为O，连接OA、OB、OC，它们将△ABC分成三个全等的等腰三角形，过点O作OM⊥AB，垂足为M，易知，所以，那么，所以；（2）解：设正五边形ABCDE的面积为S，显然，设正五边形ABCDE的中心为O，连接OA、OB、OC、OD、OE，它们将正五边形ABCDE分成五个全等的等腰三角形，过点O作OF⊥AB，垂足为F，易知OF＝AF tan∠OAB＝AB tan BAE＝a tan54°，所以，那么，所以．（3）同理可证：正六边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6＝3a tan60°．正八边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8＝4a tan67.5°．[问题解决]正n边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+…+h n＝a tan（90﹣）°．故答案为：3a tan60°，4a tan67.5°，．24．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10cm，CD＝4cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点C出发，沿DC方向在DC的延长线上匀速运动，速度为1cm/s；当点P到达点B时，点Q停止运动．过点P 作PE∥BD，交AD于点E．连接EQ，BQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）连接PQ，当t为何值时，PQ∥AD？（2）设四边形PBQE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使EQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的对边相等列出方程，解方程得到答案；（2）作DF⊥AB，EM⊥AB，根据S四边形PBQE＝S梯形ABQD﹣S△AEP﹣S△QED，列出函数解析式；（3）根据（2）的结论、结合图形列出方程，解方程求出t；（4）根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到DE＝DQ，列式计算即可．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，∵DC∥AB，∴四边形APQD是平行四边形，∴AP＝DQ，即2t＝4+t，解得，t＝4，∴当t为4s时，PQ∥AD；（2）过点D作DF⊥AB于F，过点E作EM⊥AB于M，延长ME交CD的延长线于点N，∴∠DF A＝∠DFB＝90°，∠EMA＝∠EMB＝90°，∵AB∥CD，∴∠CDF＝90°，∠CNM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形DFBC、NMFD是矩形，∴BF＝DC＝4，∴AF＝6，∴DF＝＝8，∴MN＝BC＝DF＝8，∵PE∥BD，∴，∵AB＝AD，∴AE＝AP＝2t，∵∠A＝∠A，∠EMA＝∠DF A，∴△AEM∽△ADF，∴，即，∴，∴，∴y＝S四边形PBQE＝S梯形ABQD﹣S△AEP﹣S△QED＝（4+t+10）×8﹣×2t×t﹣（4+t）（8﹣t）＝﹣t2+t+40，∴y与t的函数关系式为：y═﹣t2+t+40（0＜t＜5）；（3）假设存在某一时刻t，四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的，则﹣t2+t+40＝××（4+t+10）×8，解得，t1＝4，t2＝﹣（不合题意，舍去），答：当t＝4时，四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的；（4）若存在某一时刻t，使EQ⊥BD，垂足为O，∴∠DOE＝∠DOQ＝90°，∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠DBA，∵AB＝AD，∴∠BDA＝∠DBA，∴∠BDC＝∠BDA，∴DE＝DQ，∴4+t＝10﹣2t，∴t＝2，∴当t为2s时，EQ⊥BD．。
山东省2020年高三3月全省第3次联合考试 数学试题(附答案+全解全析)
山东省2020年高三3月全省第3次联合考试数 学（满分：150分 考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =I A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-2．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x =B ．1y =C ．0x =D ．0y =3．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cmB ．172.75cmC ．173.75cmD ．175cm4．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a bA B ． C ．D 5．函数52sin ()([,0)(0,])33xxx xf x x -+=∈-ππ-U 的大致图象为6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足1[]22(1)n n a n -=-，则数列{}n a 的前60项的和为A ．1830B ．1830-C ．3660D ．3660-7．长方体ABCD A'B'C'D'-中，,AB a AD b ==，AA'a b =+，则三个角,,AA'B BA'D DA'A ∠∠∠的和为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为A ．1B ．2CD 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 是实数，则下列结论正确的是 A ．“22a b >”是“a b >”的充分条件 B ．“22a b >”是“a b >”的必要条件C ．“22ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“||||a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件10．若函数21()ln ||+1f x x x =-，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在定义域上是单调增函数C ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．不等式(1)(2)f x f x ->的解集为1(1,0)(0,)3-U11．将函数2()cos f x x x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．则下列说法正确的是A ．函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称B ．函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点C．函数()g x 在区间ππ[,]24--D ．函数()g x 在区间π(0,)12上单调递增12．在如图所示的平面多边形中，四边形ABCD 4个三角形均为正三角形．若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则AB ．此四棱锥的外接球的表面积为3πC ．此四棱锥的外接球的体积为43πD ．此四棱锥的高为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为___________.14．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为___________. 15．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．16．某中学某天有6节课，其中上午4节，下午2节，若要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理这6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同的排法种数是_________，数学排第一节课的概率是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足112(2)n n n n a a n a a +-+=≥，且12a a ≠，315a =，125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和为n S ，+1n n n nb a a S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若cos ABD ∠BD ，BC ； （2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠. 19．（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ； （2）求二面角C MN D --的余弦值. 20．（本小题满分12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望()E X .附参考公式及临界值表：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积. 22．（本小题满分12分）已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<； （2）讨论()f x 的单调性.答案与全解全析（满分：150分 考试时间：120分钟）1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．C 【解析】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．4．B 【解析】2222112(1)33111y t t t t =-+=++-≥=-++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时取等号，y 取得最小值为1-.此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则cos ,||||⋅===⋅a b a b a b 故选B ． 5．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ， 又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．6．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．7．D 【解析】如图，连接BD ，因为,AB a AD b==，AA'a b =+，所以222()A'B a a b =++，222()A'D b a b =++，222BD a b =+，结合余弦定理得222222222cos 2A'B A'D BD BA'D A'B A'D +-∠===⋅=cos cos BA'A DA'A ∠⋅∠．又因为tan tan 1a b BA'A DA'A a b a b∠+∠=+==++sin sin cos cos BA'A DA'ABA'A DA'A∠∠+∠∠，所以sin()cos cos cos BA'A DA'A BA'A DA'A BA'D ∠+∠=∠⋅∠=∠，所以BA'D ∠+90DA'A BA'A ∠+∠=︒，故选D ．8．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +故选C ．9．CD 【解析】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．10．AD 【解析】首先，函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，因为21()ln ||()()1f x x f x x -=--=-+，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；当0x >时，21()ln +1f x x x =-，由复合函数的单调性可知，函数()f x 单调递增，由偶函数的图象关于y 轴对称，可知当0x <时，函数()f x 单调递减，故B 错误，C错误；由函数()f x 是偶函数及其单调性，得(1)(2)f x f x ->等价于|1||2|x x ->，即22(1)(2)x x ->，结合定义域解得110,03x x -<<<<或，故D 正确．故选AD ．11．BCD 【解析】21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数π())6g x x +的图象．对于选项A ，π4ππ())336g =+=()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，A 错误；对于选项B ，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点，B 正确；对于选项C ，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤所以函数()g x 的最大值为，最小值为，C 正确；对于选项D ，由242262k x k k πππ-+π≤+≤+π,∈Z ，解得,62122k k x k ππππ-+≤≤+∈Z ，取0k =，得612x ππ-≤≤，故函数()g x 在π(0,)12上单调递增，D 正确．故选BCD ．12．CD 【解析】如图所示，连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD ．设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上．连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==．因为正方形ABCD1CH =，SC 1SH =，所以,H O 重合，即四棱锥的高1SH =，四棱锥的外接球的半径1R =，直径为2，所以四棱锥的外接球的表面积24π4πS R ==，体积34433V R =π=π．故选CD ．13．11- 【解析】35(2)()x y x y +-的展开式中含35x y 的项为303232223233535C (2)C ()C (2)C ()x y x y x y x y -+-+1244030505353535C (2)C ()C (2)C ()11x y x y x y x y x y -+-=-，所以35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为11-． 14．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 22θ≤≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2． 15．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 16．408，517【解析】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可任意排在其余5节课，故有55A种排法；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理中的任何一门，有14C 种排法，数学应该排在上午第二节、第三节或第四节，有13C 种排法，余下的四门课程可任意排列，有44A 种排法，故上午第一节课不排数学共有114434C C A ⋅⋅种排法，综上，有51145434A 4C C A 08⋅+=⋅种不同的排法．数学排第一节课的概率55A 540817P ==．故答案为408，517．17．（本小题满分10分）【解析】（1）因为112(2)n n n n a an a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n n a a a +-+=， 所以数列1{}n a 是等差数列，设数列1{}na 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠，（2分） 因为125,,a a a 成等比数列，所以2152a a a =，所以2152111a a a ⋅=，所以2333111(2)(2)()d d d a a a -+=-， 因为315a =，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-，（4分） 解得0d =（舍去）或2d =，所以311(3)21n n d n a a =+-=-，所以121n a n =-．（5分） （2）由（1）知121n a n =-，2(121)2n n n S n +-==， 所以2+1111111()(21)(21)44(21)(21)482121n n n n n b a a S n n n n n n ===+=+--+-+-+， 所以21111111111(1)(1)483352121482142n n nT n n n n n n +=+⨯-+-++-=+⨯-=-+++L ．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠， 所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得222222cos 3423425BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-，所以BC =.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得sin x =sin CBD ∠=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,BC CN ==，得BN =2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中,可得MN =由4BM =，BN MN ==222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||3θ⋅===n m n m ，由图可知二面角C MN D --的余弦值为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）补充完整的22⨯列联表如下：（3分）则2K 的观测值22()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（6分） （2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.（7分） 根据题意得2~(3,)5X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.（10分） 所以X 的分布列为（11分）所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l l π2sin 3c =1c =，（2分）由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b ==， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分） 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分） 因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=， 所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分） 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分） 设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分） 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<.（6分） （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分）。
数学-2020年3月高三第三次在线大联考(山东卷)(全解全析)
合定义域解得 −1 x 0,或0 x 1 ，故 D 正确．故选 AD． 3
11．BCD 【解析】 f (x) = 6 sin x cos x + 2 cos2 x − 2 = 6 sin 2x + 2 1 + cos 2x − 2 = 2 sin(2x + π) ，将
22
2
2
6
函数 f (x) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 ，纵坐标不变，得函数 g(x) = 2 sin(4x + π) 的图象．对
=
(t 2
+ 1)
+
1 t2 +1
−
3
2
(t 2
+ 1)
t2
1 +
1
−
3
=
−1
，当且仅当
t2
+1
=
t2
1 +1
，即
t
=
0
时取等号，y 取得最小值为 −1 .此时，a = (−1,0),b = (2, −1) ，则 cos a,b = a b = −2 = − 2 5 .故选 B． | a | | b | 1 5 5
7．D【解析】如图，连接 BD ，因为 AB = a, AD = b ，AA' = a + b ，所以 A'B2 = a2 + (a + b)2 ，A'D2 = b2 + (a + b)2 ，
BD2 = a2 + b2 ，结合余弦定理得 cos BA'D = A'B2 + A'D2 − BD2 = a2 + (a + b)2 + b2 + (a + b)2 − (a2 + b2 ) =
山东青岛2024-2025学年高三上学期期初调研检测数学试题(解析版)
2024年高三年级期初调研检测数学试题2024.09本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){}ln 4Ax y x ==−，{}1,2,3,4,5B =，则A B = （ ）A. {5}B. {1,2,3}C. {1,2,3,4}D. {1,2,3,4,5}【答案】B 【解析】【分析】根据对数中真数大于0解出集合A ，再利用交集含义即可得到答案. 【详解】(){}{}ln 44A x y x x x ==−=<，则{1,2,3}A B ∩=. 故选：B.2. 已知复数z 满足()12i 43i z +=+，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1−C. iD. i −【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法的计算公式得2i z =−，再根据共轭复数和复数虚部的概念即可. 【详解】()()()()43i 12i 43i105i2i 12i12i 12i 5z +−+−====−++−， 则2i z =+，则其虚部为1.故选：A.3. 已知命题p ：R α∀∈，sin cos 44ππαα −=+，则p ¬为（ ） A. R α∀∈，sin cos 44ππαα−≠+B. R α∃∈，sin cos 44ππαα−≠+C. R α∀∉，sin cos 44ππαα−=+D. R α∃∉，sin cos 44ππαα −=+【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称即可.【详解】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称,则p ¬为“R α∃∈，sin cos 44ππαα−≠+”. 故选：B.4. 等差数列{aa nn }的首项为1−，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{aa nn }的前6项和为（ ）A. 1−B. 3C. 24−D. 24【答案】D 【解析】2=d ，后根据等差数列求和公式计算即可.【详解】236,,a a a 成等比数列,则2326a a a =⋅，即21112()(5)()a d a d a d +=+⋅+， 11a =−代入.得到212)1)15)(((d d d −+−+−+⋅=，0d ≠，解得2=d .则{}n a 的前6项和6656(1)2242S ×=×−+×=. 故选：D.5. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1cos 3α=−，则()cos αβ−=（ ）A.19B. 79−C. 1D.79【答案】B 【解析】【分析】运用角的终边对称性，得到正弦余弦值之间的关系，再用两角差的余弦值计算即可. 【详解】角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称. 则1cos cos 3αβ==−，sin sin αβ=−，且228sin 1cos 9αα=−=，28sin sin sin 9αβα⋅=−=−， 故()187cos cos cos sin sin 999αβαβαβ−=⋅+⋅=−=−. 故选：B6. 两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(1,2)A S = ，(4,3)B S =．粒子B 相对粒子A 的位移为S ，则S 在A S上的投影向量为（ ）A.B.C. (1,2)D. (2,1)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得(3,1)B A S S S=-=，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式，准确计算，即可求解.【详解】由向量(1,2)A S =，(4,3)B S = ，可得粒子B 相对粒子A 的位移为(3,1)B A S S S =-=， 可得13215A S S =××=⋅+， 所以S在A S上的投影向量为(1,2)(1,2)A A AAS S S S S ⋅⋅== .故选：C.7. 设()()2,01,0x a x f x x a x x +≤= ++>，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A. []1,0− B. []1,2−C. []2,1−−D. []2,0−【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式,二次不等式求解.【详解】由于()()2,01,0x a x f x x a x x +≤ = ++>，则当0x =，()20f a =.由于()0f 是()f x 的最小值，则(,0]−∞为减区间，即有0a ≤.则21,0a x a x x≤++>恒成立.由12x x +≥=，当且仅当1x =取最值.则 22a a ≤+，解得12a −≤≤。
2020年山东省青岛市黄岛区第二中学高三数学文模拟试卷含解析
2020年山东省青岛市黄岛区第二中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，向量，则的最大值和最小值分别为（）A．B．C．D．参考答案：B略2. （5分）（2015?庆阳模拟）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（?U A）=（）A． {5} B． {1，2，5} C． {1，2，3，4，5} D．?参考答案：B【考点】：补集及其运算；并集及其运算．【专题】：计算题．【分析】：先求出?U A，再由集合的并运算求出B∪（?U A）．解：∵C U A={1，5}∴B∪（?U A）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．故选B．【点评】：本题考查集合的运算，解题时要结合题设条件，仔细分析，耐心求解．3. 、是平面内不共线的两向量，已知，，，若三点共线，则的值是（）A． B． C．D．参考答案：B4. 已知集合A={x | y=log2x}，B={x | －2 ≤ x≤ 2}，则A∩B=（）A．[1,2] B．(0,2] C．[－2,2] D．(－∞,2]参考答案：B,所以,选B.5. 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6参考答案：B6. 设O(0，0)，A(1，0),B(0，1)，点P是线段AB上的一个动点，，若，则实数的取值范围是（）A． B. C． D．参考答案：C略7. 在△ABC中，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】取，可得不成立；当时，两边平方，可得，可得成立，可得答案.【详解】解：在中，，取,可得，可得不成立；在中，当，两边平方可得，可得，可得，即成立，可得在中，是的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要必要条件、充分条件及充要条件的判断，及三角函数的相关知识，属于中档题型.8. 假设有两个分类变量和的列联表为:[对同一样本,以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为( )A. B. C. D.参考答案：A由题意可得，当与相差越大，X与Y有关系的可能性最大，分析四组选项，A中的a,c的值最符合题意，故选A.9. “”是“直线与圆相交”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A要使直线与圆相交，则有圆心到直线的距离。
山东省青岛市黄岛区2020届高三数学上学期期中试题及答案
（2）求 BC 的长度．
19．（14 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，AB // CD ，AB BC ，AB 2 ， PA PD CD BC 1，面 PAD 面 ABCD ， E 为 AD 的中点．
（1）求证： PA BD ； （2）在线段 AB 上是否存在一点 G ，使得 BC // 面 PEG ？若存在，请证明你的结论；
D． 7 9
A． 内有一条直线与 垂直
B． 内有一条直线与 内两条直线垂直
C． 与 均与同一平面垂直
D． 与 均与同一直线垂直
9．若函数 f (x) sin 2x sin 2cos2 x cos cos(0 ) 的一个极大值点为 ， 6
则 （ ）
A． 0
B．
6
C．
4
D．
3
10 ． 英 国 数 学 家 泰 勒 发 现 了 如 下 公 式 ：
PA PB PC 2 ，则三棱锥 P ABC 的外接球与内切球的半径比为
．
四、解答题：共 82 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（12 分）
在 ABC 中， E, F 分别为线段 BC, AC 上的点， EF // AB ， AB 3 ， EF 2 ，
AE 2 3 ， BAC ． 3
2019-2020 学年度第一学期期中学业水平检测
高三数学 2019.11
本试卷 4 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。
1 ． 已 知 全 集 为 R ， 集 合 A {x R|x2 2x 0} ， 集 合 B {x | ln x 1 0} ， 则
2020年青岛黄岛区高三下学期高考模拟数学试卷
A.
B. 平面
平面
C. 二面角
的余弦值为
D. 点 在平面
上的投影是
的外心
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设 是定义在 上的奇函数，且满足
，则
．
14. 已知
的展开式中 的系数为 ，则
．
15. 双曲线 支分别交于 ， 两点，若
的左焦点为 ，过点 . 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数
到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数
下列结论正确的是（ ）．
A. 是 的一个周期
B. 在
上有 个零点
C. 的最大值为
D. 在
上是增函数
，我们听 ，则
11. 在平面直角坐标系 中，如图放置的边长为 的正方形
， ．若从 ， ， ， ， ， 这 个数字中任意取出 个数字构成一个三位数 ，则
的结果恰好是剩下 个数字构成的一个三位数的概率为（ ）．
A.
B.
C.
D.
8. 如图所示的三棱柱 积最大时，三棱柱
，其中
，若
外接球的体积为（ ）．
，当四棱锥
体
A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
沿 轴滚动（无滑动滚动），点
恰好经过坐标原点．设顶点
的轨迹方程是
，则对函数
的判断正确的是
y
x
O
3
A. 函数
是奇函数
B. 对任意的
，都有
）
C. 函数
的值域为
D. 函数
在区间 上单调递增
12. 如图，正方形
【精准解析】山东省青岛市2020届高三第三次模拟数学试题
青岛市2020年高三自主检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.若复数321iz i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的四则运算得到1z i =-+，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项. 【详解】()()321221111(1)i i i iz i i i i i +====-++--+， 复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，该点在第二象限， 故复数z 在复平面上对应的点所在的象限为第二象限， 故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义，注意复数的除法是分子分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{}20M x R x x =∈-≤，集合{}cos ,N y R y x x R =∈=∈，则()UM N ⋂=（ ）A. [)1,0-B. ()0,1C. (),0-∞D. ∅【答案】A 【解析】 【分析】化简集合M ，N ，根据集合的交集、补集运算求解即可. 【详解】{}20[0,1]M x R x x =∈-≤=,{}cos ,[1,1]N y R y x x R =∈=∈=-,(,0)(1,)U M ∴=-∞+∞,()[)1,0U M N =-∴⋂,故选：A【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，考查了一元二次不等式，余弦函数，属于容易题.3.如图是一个22⨯列联表，则表中a 、b 处的值分别为（ ）A. 96，94B. 60，52C. 52，54D. 50，52【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据可先求出d 、c 的值，再结合总数为106可分别求得a 和b 的值.【详解】由表格中的数据可得33258c =-=，212546d =+=，1064660a ∴=-=，60852b =-=.故选：B.【点睛】本题考查列联表的完善，考查计算能力，属于基础题.4.若直线21:320l a x y -+=，2:250l ax y a +-=．:0p a =，1:q l 与2l 平行，则下列选项中正确的（ ）A. p 是q 的必要非充分条件B. q 是p 的充分非必要条件C. p 是q 的充分非必要条件D. q 是p 的非充分也非必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据1l 与2l 平行，得到0a =或65a =-，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解. 【详解】因为1l 与2l 平行，所以25(3)20,0a a a ⨯--⨯=∴=或65a =-.经检验，当0a =或65a =-时，两直线平行.设{|0}A a a ==，{|0B a a ==或6}5a =-，因为A B ,所以p 是q 的充分非必要条件. 故选：C.【点睛】本题主要考查两直线平行的应用，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.在ABC 中，如果()cos 2cos 0B C C ++>，那么ABC 的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】结合A B C π++=以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为2cos cos 0B A ->，即cos cos 0B A <，又A ，(0,)B π∈，所以cos B 与cos A 一正一负，故而得解.【详解】解：A B C π++=，cos(2)cos B C C ∴++()cos cos[()]B B C B A π=+++-+ cos[()]cos[()]B A B A ππ=+-+-+ cos[()]cos[()]B A B A ππ=+-+-+ cos()cos()B A B A =---+cos cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B A =---+ 2cos cos 0B A =->，cos cos 0B A ∴<，即cos B 与cos A 异号，又A ，(0,)B π∈， cos B ∴与cos A 一正一负，ABC ∴为钝角三角形．故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A. 50种 B. 60种C. 80种D. 90种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.【详解】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种， 此时有21020⨯=种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种， 此时有231060⨯⨯=种不同的选法； 则一共有206080+=种选法. 故选：C .【点睛】本题考查分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于基础题.7.在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O 的表面上，且球O 的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为（ ） A. 63 B. 33 C. 32D. 3【答案】B 【解析】 【分析】设三棱柱的上、下底面中心分别为1O 、2O ，则12O O 的中点为O ，设球O 的半径为R ，则OA R =，设AB BC AC ==a =，1AA h =，在Rt △2OO A 中，根据勾股定理和基本不等式求出2R 的最小值为3ah ，结合已知可得3ah =，从而可得侧面积. 【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为1O 、2O ，则12O O 的中点为O ，设球O 的半径为R ，则OA R =，设AB BC AC ==a =，1AA h =， 则212OO h =，22333O A AB ==， 则Rt △2OO A 中，222222221143R OA OO O A h a ==+=+1322h ≥⨯3=， 当且仅当33h a =时，等号成立， 所以23443S R ππ=≥⨯球，所以33ah π=4π，所以3ah =，所以该三棱柱的侧面积为3ah =故选：B.【点睛】本题考查了球的表面积公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的侧面积，属于基础题.8.已知函数()()26,75(2),5x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有13个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A. 11,86⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1111,,6886⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 1111,,6886⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，设()|||1|h x k x =+，且()h x 恒过定点()1,0-，转化为函数()y f x =与函数()|||1|h x k x =+的图象有13个交点，画出函数()y g x =与函数()|||1|h x k x =+的图象，利用数形结合法，即可求出k 的取值范围.【详解】解：由题可知，函数()()|(1)|g x f x k x =-+有13个零点， 令()0g x =，有()|||1|f x k x =+，设()|||1|h x k x =+，可知()h x 恒过定点()1,0-， 画出函数()f x ，()h x 的图象，如图所示：则函数()y f x =与函数()|||1|h x k x =+的图象有13个交点，由图象可得：()()()517171h h h ⎧<⎪>⎨⎪-<⎩，则·(51)1·(71)1·711k k k ⎧+<⎪+>⎨⎪-+<⎩，即11||86k <<， 解得：1(6k ∈-，11)(88-，1)6. 故选：D.【点睛】本题考查将函数零点的个数转化为函数图象交点问题，从而求参数的范围，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多页符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数ω可能的取值为（ ） A.23 B. 1C.56D. 2【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象平移求得函数()y g x =的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得w 的取值范围，即可求解.【详解】由题意，将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度，得到函数()sin()12w y g x wx π==-的图象， 若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则满足1222122w w w πππππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得605w <≤，所以实数w 的可能的取值为25,1,36. 故选：ABC【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10.在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈10=尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n an b =，对于数列{}n a 、{}n b ，下列选项中正确的为（ ）A. 1058b b =B. {}n b 是等比数列C. 130105a b =D.357246209193a a a a a a ++=++【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，求出数列{}n a 的公差，可得出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的定义判断出数列{}n b 是等比数列，然后利用数列{}n a 的通项公式即可判断出各选项的正误.【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，15a =， 由题意可得130********d a ⨯+=，解得1629d =，()116129129n n a a n d +∴=+-=，2na nb =，1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+∴===（非零常数），则数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；16805532929d =⨯=≠，()553105222d d b b ==≠，1058b b ∴≠，A 选项错误； 3012951621a a d =+=+=，2113052105a b ∴=⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=，51162094542929a a d =+=+⨯=， 所以，357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题. 11.已知曲线()32213f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ） A.196B. 3C.103D.92【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，得出()f x 的导数，可令切点的横坐标为m ，求得切线的斜率，由题意可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根，考虑判别式大于0，且两根之和大于0，两根之积大于0，计算可得a 的范围，即可得答案. 【详解】解：由题可知，322()13f x x x ax =-+-， 则2()22f x x x a '=-+，可令切点的横坐标为m ，且0m >， 可得切线斜率2223k m m a =-+=，由题意，可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根， 且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨>⎩，即48(3)0302a a -->⎧⎪⎨->⎪⎩，解得：732a <<， a ∴的取值可能为196，103.故选：AC.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及根据一元二次方程根的分布求参数范围，考查转化思想和运算能力.12.在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，则下列命题中正确的（ ）A. 若点P 总满足1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线B. 若点P 到点A 2，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C. 若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D. 若点P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.根据1BD ⊥平面1AB C ，判断点P 的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为1PB PC +=，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点P 的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.【详解】A.在正方体1A C 中，1,AC BD BB ⊥⊥平面ABCD ，所以11,BB AC BB BD B ⊥=，所以AC ⊥平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥，同理111,AB BD AB AC A ⊥=，所以1BD ⊥平面1AB C ，而点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，且1PA BD ⊥， 所以点P 的轨迹就是直线1B C ，故A 正确；B.点P 的轨迹是以A 2的球面与平面11BCC B 的交线， 即点P 的轨迹为小圆，设小圆的半径为r ， 球心A 到平面11BCC B 的距离为1，则()2211r =-=，所以小圆周长22l r ππ==，故B 正确；C. 点P 到直线AB 的距离就是点P 到点B 的距离， 即平面11BCC B 内的点P 满足1PB PC BC +==，即满足条件的点P 的轨迹就是线段BC ，不是椭圆，故C 不正确； D.如图，过P 分别做PM BC ⊥于点M ，1PE CC ⊥于点E ，则PM ⊥平面ABCD ，所以PM AD ⊥，过M 做MN AD ⊥，连结PN ，PM MN M ⋂=，所以AD ⊥平面PMN ，所以PNAD ，如图建立平面直角坐标系，设(),P x y ，PM y =，则221PN y =+，()221PE x =-，即()2211y x +=-，整理为：()2211x y --=， 则动点P 的轨迹是双曲线，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13.若方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________．【答案】1(0,)2【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数m 的取值范围.【详解】解：由题可知，方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，可得10m m ->>，解得：102m <<， 所以实数m 的取值范围为：1(0,)2. 故答案为：1(0,)2.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题.14.已知定义在(),-∞+∞的偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()112f -=-，若()1212f x -≥-，则x 的取值范围________．【答案】01x ≤≤ 【解析】 【分析】由题意结合偶函数的性质可得()()1112f f =-=-，再由函数的单调性即可得1211-≤-≤x ，即可得解.【详解】因为()f x 为偶函数，()112f -=-，所以()()1112f f =-=-， 又()f x 在[)0,+∞单调递减，()1212f x -≥-， 所以1211-≤-≤x ，解得01x ≤≤. 所以x 的取值范围为01x ≤≤. 故答案为：01x ≤≤.【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.15.若()()()()()1721617012161721111x a a x a x a x a x -=+++++++++，则（1）01216a a a a ++++=________； （2）123162316a a a a ++++=________．【答案】 (1). 1721+ (2). ()161712⋅-【解析】 【分析】（1）化简二项式为()7171[3)]2(1x x =-+-，利用通项，求得171a =-，再令11x +=，求得0121611772a a a a a +++=++，即可求解；（2）令()()()()()21617012167171(21111)a a x a x a x x x a g x =+++++++++=-，求得()()()161217162117117(2)g a a x a x x x '=-⋅+++-=++，根据()0g '和（1）中171a =-，即可求解.【详解】（1）由题意，可化为()7171[3)]2(1x x =-+-，由1717171717[(1)](1)T C x x =-+=-+，可得171a =-，令11x +=，即0x =时，可得0121611772a a a a a +++=++，所以10121771167221a a a a a =-+=++++.（2）令()()()()()21617012167171(21111)a a x a x a x x x a g x =+++++++++=-，则()()()()1516121617161217(216111)7g a a x x a x a x x '==++++⋅+-+-+，则()12161617216177012a a a g a =++++'=-⋅，由（1）可得171717a =-， 所以161612316123721717()1126a a a a ++++=-⋅+=⋅-.【点睛】本题主要考查了二项展开式的应用，以及导数四则运算的应用，其中解答中准确赋值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.已知1e ，2e 是平面上不共线的两个向量，向量b 与1e ，2e 共面，若11e =，22e =，1e 与2e 的夹角为3π，且11b e ⋅=，22b e ⋅=，则b =________．【解析】 【分析】设12b xe ye =+，由已知11b e ⋅=，22b e ⋅=可得1x y +=，42x y +=，从而可求出21,33x y ==，则212213b e e ⎛⎫=+ ⎪⎝，即可求出模长. 【详解】解：设12b xe ye =+，因为1e 与2e 的夹角为3π， 所以1212cos 13e e e e π⋅== ，则()122111121b e e x e ye e x e ye y x ⋅=⋅=++⋅=+=，()2222112242b e e y xe e x y x y e e e ⋅=⋅=+⋅=++=，解得21,33x y ==，则222121212214144442333999999b e e e e e e ⎛⎫=+=++⋅=++= ⎪⎝⎭， 故答案为:23. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理，考查了向量模的求解.本题的难点是用已知12,e e 表示b .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在直角梯形12AO O C 中，12//AO CO ，112AO O O ⊥，124O O =，22CO =，14AO =，点B 是线段12O O 的中点，将1ABO △，2BCO △分别沿AB ，BC向上折起，使1O ，2O 重合于点O ，得到三棱锥O ABC -．试在三棱锥O ABC -中，（1）证明：平面AOB ⊥平面BOC ；（2）求直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，得出AO OC ⊥，而AO OB ⊥，根据线面垂直的判定定理证出AO ⊥平面BOC ，最后利用面面垂直的判定定理，即可证明平面AOB ⊥平面BOC ； （2）以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，根据空间坐标的运算可得出()2,0,0OC →=和平面ABC 的法向量，利用空间向量法求夹角的公式，即可求出直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值． 【详解】解：（1）由题知：在直角梯形12AO O C 中，()222121220AC AO CO O O =-+=，所以在三棱锥O ABC -中，222AC AO OC =+， 所以AO OC ⊥， 又因为AO OB ⊥，COOB O =，所以AO ⊥平面BOC ， 又因为AO ⊂平面AOB ， 所以，平面AOB ⊥平面BOC .（2）由（1）知：AO OC ⊥，AO OB ⊥，又BO OC ⊥，以O 为坐标原点，以,,OC OB OA 的方向分别作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系O xyz -，所以()0,0,4A ，()0,2,0B ，()2,0,0C ，()2,0,0OC →=， 设(),,n x y z =为平面ABC 的法向量，()0,2,4AB →=-，()2,2,0BC →=-，由00n AB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得240220y z x y -=⎧⎨-=⎩，令2x =得：()2,2,1n =，设直线OC 与平面ABC 所成角为θ，所以2sin 3C OC O nnθ→→→→==⋅⋅， 所以直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值为23.【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的判定定理，考查利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值，考查推理证明能力和运算求解能力.18.已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在下表的同一列．第一列 第二列 第三列 第一行第二行 4 6 9第三行 12 8 7请从①12a =，②11a =，③ 13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足()121n n nb a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）32n a n =-；（2）2293,2,22932,21,22n n n n k k N T n n n k k N **⎧-+=∈⎪⎪∴=⎨⎪--=-∈⎪⎩．【解析】 【分析】(1)分别代入①12a =，②11a =，③ 13a =，结合已知条件可判断11a =，24a =，37a =，求出数列的公差，即可求出通项公式. (2)由(1)知()()12132n n b n +=--，当n 为偶数时，结合数列的求和的定义求出22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()1233n a a a a =-+++，由等差数列的求和公式即可求解；当n 为奇数时，1n n n T T b -=+即可求解.【详解】解：（1）若选择条件①，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,6,7a a a ===不是等差数列，1232,9,8a a a ===不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,4,7a a a ===不是等差数列，1232,9,12a a a ===不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,4,8a a a ===不是等差数列，1232,6,12a a a ===不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在，若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知11a =，24a =，37a =， 则公差213d a a =-=，所以()1132n a a n d n =+-=-，*n N ∈， 若选择条件③，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1233,6,7a a a ===不是等差数列，1233,9,8a a a ===不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1233,4,7a a a ===不是等差数列，1233,9,12a a a ===不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有， 1233,4,8a a a ===不是等差数列，1233,6,12a a a ===不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在， 综上可知：32n a n =-，*n N ∈. （2）由（1）知，()()12132n n b n +=--，所以当n 为偶数时，22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()()()()()()1212343441n n n n a a a a a a a a a a a a --=+-+-++++-()()21231329333222n n n a a a a n n +-=-+++=-⨯=-+，当n 为奇数时，()()()22219393113222222n n n T T b n n n n n -=+=--+-+-=-- ， 2293,2,22932,21,22n n n n k k N T n n n k k N **⎧-+=∈⎪⎪∴=⎨⎪--=-∈⎪⎩ 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求解，考查了等差数列的求和公式，考查了数列求和.本题的难点是第二问求和时，分情况讨论.19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+ （1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC的面积S = （2）若3a =，求ABC 周长L 的取值范围． 【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）(]6,9． 【解析】 【分析】（1）首先条件变形，利用两角差的正弦公式变形，求得3A π=，再判断①②不能同时成立，最后根据③④判断能同时成立的第三个条件；（2）首先利用正弦定理边角互化，表示b B =，23c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数恒等变形表示周长L 6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，最后根据角B 的范围求周长的取值范围. 【详解】解：因为sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+ 所以sin cos sin cos cos sin cos sin A B A C A B A C +=+ 即sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=- 所以()()sin sin A B C A -=- 因为A ，B ，()0,C π∈，所以A B C A -=-，即2A B C =+，所以3A π=（1）ABC 还同时满足条件①③④ 理由如下：若ABC 同时满足条件①②则由正弦定理得sin sin 1b B a A ==>，这不可能 所以ABC 不能同时满足条件①②， 所以ABC 同时满足条件③④所以ABC 的面积11822sin 2A b S bc ==⨯⨯=⨯所以5b =与②矛盾所以ABC 还同时满足条件①③④（2）在ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin b c aB C A===因为23C B π=-，所以b B =，23c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭所以2s sin 3in 3a b B L c B π⎤⎛⎫=++=+-+⎪⎥⎝⎭⎦co 13s 62B B ⎫=++⎪⎪⎝⎭6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 所以ABC 周长L 的取值范围为(]6,9.【点睛】本题考查三角恒等变形，正余弦定理解三角形，重点考查转化与化归的思想，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题型.20.某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：（1）求一户居民年用气费y （元）关于年用气量x （立方米）的函数关系式；（2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k 户年用气量不超过228立方米的概率为()P k ，求()P k 取最大值时的值．【答案】（1）(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩；（2）分布列见解析，数学期望为910；（3）6．【解析】 【分析】（1）由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费y （元）关于年用气量x （立方米）的函数关系式；（2）由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，得到随机变量ξ可取0,1,2,3，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望；（3）由()10103255k kk P k C -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，列出不等式组由10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求得k 的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，当(]0,228x ∈时， 3.25y x =； 当(]228,348x ∈时， 3.83132.24y x =-； 当()348,x ∈+∞时， 4.7435x y -=，所以年用气费y 关于年用气量x 的函数关系式为(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩.（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户， 设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3，则()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===， ()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===，故随机变量ξ分布列为：所以()721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由题意知()()1010320,1,2,3,1055kkkP k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得283355k ≤≤，*k N ∈， 所以当6k =时，概率()P k 最大，所以6k =.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21.已知函数()ln xf x ae x =，（其中 2.71828e =是自然对数的底数），()2ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）在定义域()0,∞+上单调递增；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】 【分析】（1）先求得()()l 1,n 0,x x f x ae x x ⎛⎫'=+∈+∞ ⎪⎝⎭，利用导数可得1ln 1x x +≥恒成立，故可得()f x 的单调区间.（2）()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立等价于()l n n l x xae ae xx >对任意()0,1x ∈恒成立，就1x ae ≥和1x ae <结合()ln H x xx=的单调性分类讨论可得x ae x >对任意()0,1x ∈恒成立，参变分离后再次利用导数可求a 的取值范围.【详解】解：（1）因为()ln xf x ae x =，所以()()l 1,n 0,x x f x ae x x ⎛⎫'=+∈+∞ ⎪⎝⎭. 令()ln 1k x x x=+，则()21x k x x -'=，当()0,1x ∈时，()0k x '<，函数()k x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，函数()k x 单调递增． 所以()()110k x k ≥=>，又因为0a >，0x e >， 所以()0f x '>，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增.（2）由()0h x >得()()0g x f x ->，即2ln ln x ae x x x a <+，所以()ln ln ln xx xaex x ae x a ae +<=，即()l n n l xxae ae xx >对任意()0,1x ∈恒成立，设()ln H x x x =，则()21ln xH x x-'= 所以，当()0,1x ∈时，()0H x '>，函数()H x 单调递增， 且当()1,x ∈+∞时，()0H x >，当()0,1x ∈时，()0H x <， 若1x ae x ≥>，则()()0xH aeH x ≥>，若01x ae <<，因为()()xH aeH x >，且()H x 在()0,1上单调递增，所以xaex >，综上可知，x ae x >对任意()0,1x ∈恒成立，即x xa e>对任意()0,1x ∈恒成立. 设()xxG x e=，()0,1x ∈，则()10x x G x e -'=>，所以()G x 在()0,1单调递增， 所以()()11a G x G e <=≤，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论，后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数来讨论，本题为较难题.22.已知直线1l 过坐标原点O 且与圆224x y +=相交于点A ，B ，圆M 过点A ，B 且与直线20y +=相切．（1）求圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若圆心在x 轴正半轴上面积等于2π的圆W 与曲线C 有且仅有1个公共点． （ⅰ）求出圆W 标准方程；（ⅱ）已知斜率等于1-的直线2l ，交曲线C 于E ，F 两点，交圆W 于P ，Q 两点，求EF PQ的最小值及此时直线2l 的方程．【答案】（1）24x y =；（2）（ⅰ）()2232x y -+=；（ⅱ）EF PQ时直线2l 的方程为1y x =-+． 【解析】 【分析】（1）设(),M x y ，由题意结合圆的性质可得222MO OA MA +=、2r y MA =+=，代入化简即可得解；（2）（ⅰ）设圆W 与曲线C 的公共点为()2,04t T t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，圆W 的标准方程()()2220x a y a -+=>，由题意可得曲线C 在T 的切线l 与圆W 相切即lWT ⊥，由直线垂直的性质及点T 在圆W 上即可得解；（ⅱ）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线2:l y x m =-+，联立方程组结合弦长公式可得EF ，由垂径定理可得PQ ，确定m 的取值范围后，通过换元、基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2，直线1l 过坐标原点O ，所以坐标原点O 为AB 的中点，2AO =，所以MO AO ⊥，设(),M x y ，所以222MO OA MA +=，又因为圆M 与直线20y +=相切，所以圆M 的半径2r y MA =+=， 所以()22242x y y ++=+，化简得M 的轨迹C 的方程为24x y =；（2）（ⅰ）由（1）知曲线C24x y =，设()24x f x =，则()2x f x '=， 设圆W 与曲线C 的公共点为()2,04t T t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则曲线C 在T 的切线l 的斜率()2t k f t '==， 由题意，直线l 与圆W 相切于T 点，设圆W 的标准方程为()()2220x a y a -+=>，则圆W 的的圆心为(),0a ，则直线WT 的斜率()2244WTt t kt a t a ==--， 因为l WT ⊥，所以()2124t t t a ⋅=--，即()380t t a +-= ， 又因为()22224t t a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以2232284t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6441280t t +-= 令2t λ=，则3241280λλ+-=，所以()()322481280λλλ-+-=即()()248320λλλ-++=，所以4λ=，所以2t =，3a =，从而圆W 的标准方程为()2232x y -+=； （ⅱ）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线2:l y x m =-+，由24y x mx y=-+⎧⎨=⎩得2440x x m +-=，所以124x x +=-，124x x m =-，所以EF ==又因为圆W 的圆心()3,0到直线PQ，所以PQ ==所以EF PQ ==， 由于2l与曲线C 、圆W 均有两个不同的交点，∴16160m ∆=+>⎧<，解得15m <<，令()12,6m u +=∈，则1m u =-，则EF PQ ==≥=当且仅当12u u=，即u =1m =-时取等号， ∴当1m =时，EF PQ此时直线2l 的方程为1y x =-+.【点睛】本题考查了动点轨迹的求解与圆的方程的确定，考查了与圆、抛物线相关的公切线、弦长问题，考查了运算求解能力，属于难题.。
山东省青岛市西海岸新区(黄岛区)2020届高三数学月模拟考试试题(PDF)答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.B 2.A 3.D 4.C
5. A 6.C 7. C 8.A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选
cosA
3 5
，，再根据正弦定理和面积公式
S
ABC
45 sin C cos C 45 sin 2C .
4
4
【详解】解:若选择条件①，则答案为:
(1)在 ABC 中，由正弦定理得 3sinAsinC 4sinCcosA ，
因为 sin C 0 ，所以 3sinA 4cosA,9sin2A 16cos 2A ，
………………………………………………1 分
又 BE BF =2 ，所以 EF // SD . ……………………………………2 分 ES FD
因为 EF 平面 ACE ， SD 平面 ACE ，所以直线 SD // 平面 ACE .
……………………………………4 分
（2）平面 SCD 平面 ABCD ，平面 SCD 平面 ABCD CD ， BC 平面 ABCD ，
错的得 0 分。ຫໍສະໝຸດ 9.ABD10.BC
11.BC
12.ABD
三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 6 , 135
14. 9 15. 3
16. 114 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。
17.【分析】
山东省青岛市西海岸新区(黄岛区)2019-2020学年高三3月模拟考试数学试题(含解析)
(1)求椭圆 E的方程；
(2) 证明： SBOM SBCN 为定值．
22.已知函数
쳌
ᖸ쳌
,其中 O<a<e.
（1）求函数 f(x)的单调区冋；
（2）讨论函数 f(x)零点的个数；
（3）若 f(x)存在两个不同的零点 x1,x2,求证：x1x2<e2.
高三数学模拟试题答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选
份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次 就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对 这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次.假设在接受检验 的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是 阳性结果的概率为 p(0<p<1). (1)假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求 恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
21.
已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率
e
满足 2e2
3
2e 2 0 ，右顶点
为 A，上顶点为 B，点 C(0，－2)，过点 C 作一条与 y 轴不重合的直线 l，直线 l 交椭圆 E 于 P，Q 两点，直线 BP，BQ 分别交 x 轴于点 M，N；当直线 l 经过点
A 时，l 的斜率为 2 ．
D.直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若二项式 (3x 1 )n 展开式中各项系数和为 64 ，则 n
山东省青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准
青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
B C A D C B A B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．AC 10．BCD 11．ABD 12．CD三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．22m -≤≤；14．25-；15．10x y -+=；16．（1）28y x =；（2）2．四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）解：（1）方案一：选条件①．因为数列1{}n S a +为等比数列所以2211131()()()S a S a S a +=++，即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =所以22(2)2(2)q q q +=++，解得2q =或0q =（舍）所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）由（1）得12n n a -=*(N )n ∈所以212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++===-⋅++所以1111111111[(1(()()()]232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 13113111()()42122122n n n n ==--++-+++32342(1)(2)n n n +=-++方案二：（1）选条件②．因为点1(,)n n S a +在直线1y x =+上所以11n n a S +=+*(N )n ∈，所以11n n a S -=+(2)n ≥两式相减得1n n n a a a +-=，+1=2n n a a (2)n ≥因为11a =，211112a S a =+=+=，21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）同方案一的（2）方案三：（1）选条件③．当2n ≥时，因为1121222n n n n a a a na -++++= *(N )n ∈ （ⅰ）所以12121222(1)n n n na a a n a ---+++=- 所以121212222(1)n n n n a a a n a --+++=- （ⅱ）（ⅰ）-（ⅱ）得122(1)n n n a na n a +=--，即+1=2n n a a (2)n ≥当1n =时，122a a =，21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）同方案一的（2）18．（本小题满分12分）解：（1）因为cos 2cos sin a C a C c A =-，所以由正弦定理可得：sin cos 2sin cos sin sin A C A C C A=-因为(0,)A π∈，sin 0A ≠所以cos 2cos sin C C C=-所以22cos sin cos sin C C C C -=-，即(cos sin )(cos sin 1)0C C C C -+-=所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=①若cos sin C C =，则4C π=②若cos sin 10C C +-=，则2sin(42C π+=因为5444C πππ<+<，所以344C ππ+=，即2C π=综上，4C π=或2C π=(2)因为ABC ∆为锐角三角形，所以4C π=因为222221442cos 2(24c a b ab a b ab π==+-=+-≥-=-即72(2ab ≤=+（当且仅当a b =等号成立）所以1122sin sin 72(236(1)22444S ab C ab π===≤⨯+=即ABC ∆面积S 的最大值是1)+19．（本小题满分12分）解：（1） 底面ABCD 和侧面11B BCC 都是矩形，∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥∵C CC CD =1 ，∴⊥BC 平面11D DCC ∵1D E ⊂平面11D DCC ，∴1BC D E ⊥，∵1D E CD ⊥，BC CD C = ，∴1D E ⊥底面ABCD1D E ⊂平面11CC D D ，∴平面11CC D D ⊥底面ABCD ．（2）取AB 的中点FE 是CD 的中点，底面ABCD 是矩形，EF CD∴⊥以E 为原点，以1EF EC ED 、、所在直线分别为x y z ,,轴，建立空间直角坐标系E xyz -如图所示.设1(0)ED a a =>，则(0,0,0)E ，(1,1,0)B ，1(0,0,)D a ，(0,1,0)C ，1(0,2,)C a 设平面1BED 的法向量1111(,,)n x y z = ，(1,1,0)EB = ，1(0,0,)ED a =.由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得：11100x y az +=⎧⎨=⎩，令11x =可得111,0y z =-=，∴1(1,1,0)n =- 设平面11BCC B 的法向量2222(,,)n x y z = ，(1,0,0)CB = ，1(0,1,)CC a = .由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得，22200x y az =⎧⎨+=⎩，令21z =可得2y a =-，∴2(0,,1)n a =- 由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π，所以121212|cos ,|cos 3||||n n n n n n π⋅<>===⋅ 解得1a =．∴平面11BCC B 的法向量2(0,1,1)n =- ，由于(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)D ，所以111(1,2,0)(0,1,1)(1,1,1)CA CA AA CA DD =+=+=-+=- ，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，则12126sin ||3||||CA n CA n θ⋅===⋅ A B C D 1A 1B 1C 1DE x y z F20．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图的性质可得：0.050.351a b c ++++=，即0.6a b c ++= ,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，所以0.2b =又23c b =，解之得：0.3,0.1c a ==所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次（2）由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为100(0.350.20.05)60⨯++=件，不超过9万次的件数为1006040-=件，由乙地试验结果的分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=，不超过9万次的零件数为25件，所以22⨯列联表为质量不优秀质量优秀总计甲地4060100乙地2575100总计65135200（说明：填对5个数据得1分，用去尾法）所以2200(40752560)200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关（3）在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p =则ξ的取值可能为0,1,2,3,4所以04043181(0)((44256P C ξ===131********(1)(()4425664P C ξ====2224315427(2)()()44256128P C ξ====313431123(3)()()4425664P C ξ====4044311(4)()()44256P C ξ===所以ξ的分布列为ξ01234P 812562764271283641256ξ的数学期望8110854121()012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=21．（本小题满分12分）解：（1） 椭圆E 的离心率为12，12c e a ∴== 四边形1122A B A B的面积为1222a b ∴⨯⨯=又222a b c =+解之得：2,1a b c ===∴椭圆E 的方程为：22143x y +=（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1F MN ∆的周长48a ==，1111(||||||)42F MN S F M F N MN r r ∆=++=，即114F MN r S ∆=当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，||3MN =1121113||||4424F MN r S MN F F ∆==⨯⨯=当l 与x 轴不垂直时，设:(1)l y k x =-(0)k ≠由22222(1)(43)690143y k x k y ky k x y =-⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩212122269,4343k k y y y y k k ∴+=-=-++112121221211221111||||||||||||222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y ∆∆∆=+=⋅+⋅=⋅-1211||222F F =⨯⨯=114F MNr S ∆==令243k t +=，则3t >，r ===3t > ，1103t ∴<<，304r ∴<<综上可知：304r <≤22．（本小题满分12分）解：（1）由题()xf x e ax '=-因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x 所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根12,x x 设()()xg x f x e ax '==-，则()xg x e a '=-①当0a ≤时，()0xg x e a '=->，所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意②0a >时，由()0x g x e a '=-=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增.所以min ()(ln )ln 0g x g a a a a ==-<，即a e >，令()2ln a a a ϕ=-(0)a >，则22()1a a a a ϕ-'=-=，当(0,2)a ∈时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数；当(2,)a ∈+∞时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数；∴min ()(2)22ln 22(1ln 2)0a ϕϕ==-=->()0a ϕ∴>，即2ln a a >，从而ln 2a a a <<，2a e a >∴2()0a g a e a =->，又因为(0)10g =>，所以()g x 在区间(0,ln )a 和(ln ,)a a 上各有一个零点，符合题意，综上，实数a 的取值范围为(,)e +∞.（2）不妨设12x x <，则1(,ln )x a ∈-∞，2(ln ,)x a ∈+∞，所以12ln x a x <<设()()(2ln )p x g x g a x =--2ln [(2ln )]x a x e ax e a a x -=----22x x e a e ax -=--+则2()2x xp x e a e a -'=+-2220a a a ≥-=-=（当且仅当2x x e a e -=，即ln x a =时，等号成立）.所以函数()p x 在R 上单调递增.由2ln x a >，可得2()(ln )0p x p a >=，即22()(2ln )0g x g a x -->，又因为12,x x 为函数()g x 的两个零点，所以12()()g x g x =，所以12()(2ln )g x g a x >-，又2ln x a >，所以22ln ln a x a -<，又函数()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<.。
山东省青岛市2020-2021学年高三3月统一质量检测数学试卷(解析版)
山东省青岛市2021届高三第一次模拟考试数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}4,log 2>==x x y y A ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21x y R x B ，则B AC R )（=（ ） A.(]2,∞- B.[)+∞,2 C.[]2,0 D.()2,02.若βα，表示两个两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则（ ） A.“m ∥β”是“α∥β”的充分不必要条件 B.“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件 C.“β⊥m ”是“βα⊥”的必要不充分条件 D.“β⊥m ”是“βα⊥”的充要条件3.已知双曲线12222=-b x a y 的一条渐近线的倾斜角为3π，则该双曲线的离心率为（ ）A.21 B.23C.332D.24.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，|z |=|OZ |,也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数z 0=a+2i 1+i（i 是虚数单位，R a ∈）是纯虚数，其对应的点为0Z ,Z为曲线|z |=1上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为（ ） A.21 B.1 C.23D.2 5.若⎩⎨⎧<≥+=0,20),1(log )(3x x x x f x ，则不等式21)(>x f 的解集为（ ）A.()()+∞--,130,1B.()()∞+∞，，13-1- C.()()1-300,1-， D.()()∞+∞，，1-31--6.已知角θ终边上有一点P （)617sin(2,34tan ππ-），则θcos 的值为（ ） A.21 B.21- C.23- D.237.已知)(x f y =为奇函数，)1(+=x f y 为偶函数，若当[]1,0∈x ，)(log )(2a x x f +=，则=)2021(fA.-1B.0C.1D.2 8.在抛物线y x 212=第一象限内一点),n n y a （处的切线与x 轴交点的横坐标记为1-n a ，其中*∈N n ,已知n S a ,322=为{}n a 的前n 项和，若n S m ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）A.16B.32C.64D.128二、多项选择题:本题共4小题，每小题分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.关于圆C ：01412222=+-++-+k k y kx y x ，下列说法正确的是（ ） A. k 的取值范围是0>kB.若4=k ，过M （3,4）的直线与圆C 相交所得弦长为32，其方程为016512=--y xC.若4=k ，圆C 与圆122=+y x 相交D.若4=k ，0,0>>n m ，直线01=--ny mx 恒过圆C 的圆心，则821≥+nm 恒成立。
山东省青岛市西海岸新区(黄岛区)2019-2020学年高三3月模拟考试化学试题
青岛西海岸新区高中3月模拟试题化学1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上。
2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不折叠、不破损。
可能用到的相对原子质量：H_1 C_12 O_16 Na_23 P_31 K_39 Mn_55 Fe_56 Ga_70 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．面对突如其来的新型冠状病毒，越来越多人意识到口罩和医用酒精的重要作用，医用口罩由三层无纺布制成，无纺布的主要原料是聚丙烯树脂。
下列说法错误的是．．A．医用口罩能有效预防新型冠状病毒传染B．聚丙烯树脂属于合成有机高分子材料C．医用酒精中乙醇的体积分数为95%D．抗病毒疫苗冷藏存放的目的是避免蛋白质变性2.下列表示物质结构的化学用语或模型图正确的是（）A. H2O2的电子式：B. CO2的比例模型:C. 丙烷分子的比例模型示意图：D. 硅酸盐Ca2Mg5Si8O22(OH)2可用氧化物形式表示为：2CaO•5MgO·8SiO2•H2O3.实验测得Al与氯元素形成化合物的实际组成为Al2Cl6，其球棍模型如图所示。
已知Al2Cl6在加热时易升华，与过量的NaOH溶液反应可生成Na[Al(OH)4]。
下列说法不正确的是A.Al2Cl6属于分子晶体B.Al2Cl6中Al原子为sp3杂化C.Na[Al(OH)4]中存在的化学键有极性共价键、配位键D.Na[Al(OH)4]属于配合物4.下列命名不正确的是A.CH2=CH—CH=CH2 1,3—丁二烯B.苯乙烯C.CH3—CH（OH）—CH2—CH3 丁醇D.CH3—CH=CH—CH(CH3)—CH3 4—甲基—2—戊烯5．短周期主族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增加。
山东省青岛市西海岸新区化学试题(黄岛区)2020届高三3月模拟考试
山东省青岛市西海岸新区（黄岛区）2020届高三3月模拟考试可能用到的相对原子质量：H_1 C_12 O_16 Na_23 P_31 K_39 Mn_55 Fe_56 Ga_70一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．面对突如其来的新型冠状病毒，越来越多人意识到口罩和医用酒精的重要作用，医用口罩由三层无纺布制成，无纺布的主要原料是聚丙烯树脂。
下列说法错误．．的是（）A．医用口罩能有效预防新型冠状病毒传染B．聚丙烯树脂属于合成有机高分子材料C．医用酒精中乙醇的体积分数为95%D．抗病毒疫苗冷藏存放的目的是避免蛋白质变性2.下列表示物质结构的化学用语或模型图正确的是（）A. H2O2的电子式：B. CO2的比例模型:C. 丙烷分子的比例模型示意图：D. 硅酸盐Ca2Mg5Si8O22(OH)2可用氧化物形式表示为：2CaO•5MgO·8SiO2•H2O3.实验测得Al与氯元素形成化合物的实际组成为Al2Cl6，其球棍模型如图所示。
已知Al2Cl6在加热时易升华，与过量的NaOH溶液反应可生成Na[Al(OH)4]。
下列说法不正确的是（）A.Al2Cl6属于分子晶体B.Al2Cl6中Al原子为sp3杂化C.Na[Al(OH)4]中存在的化学键有极性共价键、配位键D.Na[Al(OH)4]属于配合物4.下列命名不正确的是（）A.CH2=CH—CH=CH2 1,3—丁二烯B.苯乙烯C.CH3—CH（OH）—CH2—CH3 丁醇D.CH3—CH=CH—CH(CH3)—CH3 4—甲基—2—戊烯5．短周期主族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增加。
K、L、M均是由这些元素组成的二元化合物，甲、乙分别是元素X、Y的单质，甲是常见的固体，乙是常见的气体。
K是无色气体，是主要的大气污染物之一．常温下0.05mol/L丙溶液的pH为1，上述物质的转化关系如图所示。
下列说法正确的是（）A．由W、Y组成的某种化合物可与K直接反应制得丙B．K、L、M中沸点最高的是MC．原子半径：W<X<YD．元素的非金属性：Z>Y>X6.设N A为阿伏加德罗常数的值。
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8．已知点 A 为曲线 y x 4 x 0 上的动点，B 为圆 x 22 y2 1上的动点，则 AB
x
的最小值是（ ）
A．3
B．4
C． 3 2
D． 4 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选
所以二面角 S AC E 的余弦值为 1 . ……………………………………12 分 3
19.【分析】
（1）结合正弦定理，条件选择① 3a sin C 4c cos A ，则 3sinAsinC 4sinCcosA ，再利
用公式 sin2 A cos2 A 1 求 sin A ；
若选择条件②，由正弦定理和诱导公式可得 2sinBcos A 5sinAsinB ，再根据二倍角公 2
(2)现取其中 i ∈ 且
份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要
检验的总次数为 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为
(i)试运用概率统计的知识，若
，试求 P 关于 k 的函数关系式 p= f(k);
(ii) 若
，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望
值比逐份检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值. 参考数据: ln2≈0.6931，ln3≈1.0986， 1n4≈1.3863，ln5≈ 1.6094， 1n6≈1.7918
…………………9 分
设平面 EAC 的一个法向量为 n (x, y, z) ，则
nnCCEA
0 0
，即
x
yz y 2z
0
0
,
不妨令 z 1，得 x 1 ， y 1，于是 m (1, 1,1) . …………………11 分
设二面角 S AC E 的平面角的大小为 ，则 cos mn 1 . mn 3
以 C 为坐标原点，CD,CB 所在的方向分别为 y 轴、 z 轴的正方向，与 CD,CB 均垂直
的方向作为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz . ……6 分
则 C(0, 0, 0) ， S (1,1, 0) ， A(0, 2, 2) ， E( 2 , 2 , 4) ，
4a1 +
4 4 1
d 2
4a1
6d
10
①......... 1 分
又因为 a1, a2 , a4 成等比数列，
所以 a22 a1 a4 ，
a1 d 2 a1 a1 3d ，
d 2 a1d ， 又因为 d 0 ， 所以 a1 d . ②.........2 分
由①②得 a1 1, d 1，....3 分
(1)求椭圆 E的方程；
(2) 证明： SBOM SBCN 为定值．
22.已知函数
쳌
ᖸ쳌
,其中 O<a<e.
（1）求函数 f(x)的单调区冋；
（2）讨论函数 f(x)零点的个数；
（3）若 f(x)存在两个不同的零点 x1,x2,求证：x1x2<e2.
高三数学模拟试题答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选
D.直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若二项式 (3x 1 )n 展开式中各项系数和为 64 ，则 n
x
，常数项为 .
14.已知圆 x 22 y 12 2 关于直线 ax by 1a 0,b 0 对称，则 2 1 的最小
所以 an n ，....4 分
b1 a1 1， b2 a2 2
， q b2 2 ，....5 分 b1
bn 2n1 .....6 分
(2)因为 cn
2n1
1
n n 1
2n1
1 n
1 n 1
，....7
分
所以
Sn
20
21
...
2n11 Fra bibliotek1 2
1 2
1 3
1 n
1 n 1
1 2n 1 1 12 n1
D.过焦点 F2 做直线 l 与椭圆交于 A, B 两点，则 ABF1 的周长为 16 12.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在线段 B1C 上运动，则 A.直线 BD1 丄平面 A1C1D
B.三棱锥 P-A1C1D 的体积为定值 C.异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是[45°,90°]
2n 1 n 1
所以数列cn 的前
n
项和
Sn
2n
1 n 1.
....10 分
18.分析：
解：（1）连接 BD 交 AC 于点 F ,连接 EF .
因为 AD // BC ，所以 AFD 与 BCF 相似.
所以 BF BC 2 . FD AD
………………………………………………1 分
又 BE BF =2 ，所以 EF // SD . ……………………………………2 分 ES FD
21.
已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率
e
满足 2e2
3
2e 2 0 ，右顶点
为 A，上顶点为 B，点 C(0，－2)，过点 C 作一条与 y 轴不重合的直线 l，直线 l 交椭圆 E 于 P，Q 两点，直线 BP，BQ 分别交 x 轴于点 M，N；当直线 l 经过点
A 时，l 的斜率为 2 ．
19.在① 3asinC
4ccosA;② 2bsin
B
C 2
5asinB 这两个条件中任选-一个，补充
在下面问题中，然后解答补充完整的题.
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知
，a3 2 .
(1)求 sinA ;
(2)如图， M
为边
AC
上一点， MC
MB, ABM
2
B. 480
C. 504
D. 624
7．设 F1 和 F2 为双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的两个焦点，若点 P 0, 2b ， F1, F2 是等
腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． y 3x
B． y 21 x 7
C． y 3 x 3
D． y 21 x 3
.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤。
17.已知各项均不相等的等差数列{an}的前 4 项和为10 ，且 a1, a2 , a4 是等比数列
bn 的前 3 项.
(1)求 an ,bn ;
(2)设 cn
bn
an
1
an
1
，求cn 的前 n 项和
Sn
.
18.如图，在四棱锥 S-ABCD 中，ABCD 为直角梯形，AD∥BC,BC⊥CD，平面 SCD 丄 平 面 ABCD. Δ SCD 是 以 CD 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， BC=2AD=2CD=4,E 为 BS 上一点，且 BE=2ES. （1）证明：直线 SD∥平面 ACE； （2）求二面角 S-AC-E 的余弦值。
） D． c b a
4.已知随机变量 服从正态分布 N 1, 2 ，若 P( 4) 0.9 ，则 P(2 1)
（）
A. 0.2
B. 0.3
C. 0.4
D. 0.6
5.函数 f(x)＝lnx＋a(a∈R)在区间[e－2，＋∞)上有两个零点，则 a 的取值范围是 x
()
2 ，1 A. e2 e
错的得 0 分。
9.已知向
量
a
(1,2),
b
(2,1),
c
(1,
m)
，若
c
//(2a
b)
，则下列结论正确的是
（）
A． m 3 4
B．
a
b
C．
a
b
10
D．cos a, c 2 5 5
10.已知函数 f (x) 2 cos2 x cos(2x ) 1，则（ ） 2
A. f (x) 的图像可由 y
1
，集合
B
x
|
log
x 1
2 ，，
2
则 (ðU A) B =( )
A． 0,1 3, 4 B． ,1 3, 4 C． 0,13, 4 D． ,1 3, 4
3.设
a
(
1 2
)
3
4，b
(
3 4
)
1 2
,
c
log
3
,
则
a,
b,
c
的大小关系为（
A． a b c
B． c a b
C． b c a
份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次 就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对 这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次.假设在接受检验 的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是 阳性结果的概率为 p(0<p<1). (1)假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求 恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
12.ABD
三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 6 , 135
14. 9 15. 3