完全平方公式解
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解第一部分概念导入1 •问题：根据乘方的定义，我们知道：穿=日・a,那么(a+b) 2应该写成什么样的形式呢？ ( a+b) 2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？(1)_____________________________ (P+1)2=( p+1)( P+1) = ；( m+2)2= ；(2)(P-1)2= ( p-1) ( p-1) = _______ ；( m-2) 2= _____ ；2 •学生计算3 •得到结果：(1) (p+1) 2= (p+1) ( p+1) =p2+2p+12 2(m+2) = (m+2) (m+2) = m +4m+4(2) (p-1) 2= (p-1) (p-1) = p2-2p+12 2(m-2) = ( m-2) ( m-2=m -4m+44•分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2 • p • 1, 4m=2- m- 2，恰好是两个数乘积的二倍。
(1) ( 2)之间只差一个符号。
推广：计算(a+b) 2= ______ _______ _(a-b) 2= _________________ 【2］得到公式，分析公式(1) •结论：(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.(2 )公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和.注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号.若这两项同号，则2ab取“ + ”，若这两项异号，则2ab的符号为“―” •(3)公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式.(4 )几何解释图1 — 5图1 —5中最大正方形的面积可用两种形式表示：©( a + b) 2②a2+ 2ab+ b2,由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即( a + b) 2= a2+ 2ab + b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性.【学习方法指导］［例1 ］计算(1) (3a+ 2b) 2(2) (mn —n2) 2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候.同时应注意公式中2ab的符号.解：(1) (3a + 2b) 2=( 3a) 2+ 2 • ( 3a) • (2b) + ( 2b) 2= 9a2+ 12ab + 4b2(2) (rnn— iCT ?◎ b—〔机打)z—g(讥”)* 异+( ii)zA + *</ — 2 必+ ¥=z>? if —2 mtf ~\~ »4注意：(2)中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”.［例2 ］计算(1)(- m- n) 2(2) (- 5a—2) ( 5a+ 2)点拨：(1)可直接用完全平方公式•由于一m与一n是同号，所以公式中的2ab取“ + ” .( 2)中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“一”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算.解：(1) (- m- n) 2=(-m) 2+ 2 •( —m) (- n) + (—n) 2=m2+ 2mn+ n2(2)(- 5a- 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) 2=-(25a2+ 20a + 4)=-25a2- 20a- 4小结：由(2)可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算.［例3 ］计算(1)(x-2y) 2-( x- y) (x+ y)(2)(m-n) (m2- n2) ( m+ n)点拨：(1)可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简. (2)可先利用平方差公式将m-n与m + n相乘，再将所得结果m2- n2与中间括号里的m2- n2相乘，可利用完全平方公式.解：(1) (x- 2y) 2-( x - y) (x+ y)=(x2- 4xy+ 4护)-(x2- y2)=x2- 4xy+ 4y2- x2+ y2=-4xy+ 5y2(2) (m-n) (m2- n2) ( m+ n)=(m- n) ( m+ n) ( m^- n2)=(m^-n2) (m2-n2)=(m2) 2- 2 • m2• n2+( n2) 2=m4- 2m2n2+ n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可.［例4］计算：(x+ — ) 2-(x- y ) 22 2a 2—b 2=一、选择题1•下列运算中，正确的是() 2•下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是(点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算:(a + b ) (a — b ),将此题转化为平方差公式进行计算.解法一：(x + y ) 222 (x 2+ xy + 仝)— 42(x 2— xy + L )4 =x 2+ xy + 2 y 2—x 2 + xy — 44=2xy解法二: = ［“+和+仃-和+炉-3-子口u u(出+ tO =* y■加』［例 5］计算：(a — 2b + 1) ( a + 2b — 1)点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同•先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起， 构成(a + b ) ( a — b )的形式，利用平方差公式进行简化运算.(a -W相反-[a-(26-1) J La *^(26 -1).②寿_(2卜・关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化, 随堂练习要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变!A . 3a+2b=5abB . (a — 1) 2=a 2— 2a+1C . a 6心a 2D . (a 4) 5=a 9A . (x+y ) 2=x 2+y 2B . ( x — y ) 2=x 2 — y2C . (- x+y ) 2=x 2-2xy+y 2D . (- x -y ) 2=x 2- 2xy+y 23•下列各式计算结果为 2xy - x 2-y 2的是() A . (x - y ) 2 B . (- x -y ) 2 C .-( x+y ) 2 D .-( x -y )4•若等式(x - 4) 2=x 2 - 8x+m 2成立，则m 的值是()A . 16B . 4C . - 4D . 4 或—4二、 填空题5. (- x -2y ) 2= ______.6. 若(3x+4y ) 2= (3x - 4y ) 2+B ，贝U B= ______ .7. _______________________________ 若 a - b=3, ab=2，则 a 2+b 2= . 19 9 8 . ( --- ---- y ) 2= — x 2— xy+ ______ ; ( ____ ) 2=——a 2- 6ab+ _____ .34 16 三、 解答题 9 .利用完全平方公式计算：(1) 20082； ( 2) 782 .110 .先化简，再求值：(2x - 1) (x+2)-( x -2) 2-( x+2) 2,其中 x=-311利用公式计算：196212某正方形边长a cm ,若把这个正方形的边长减小1 1 分别求a 2+2 , (a - ) 2的值a a15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加 3米，？则它的面积就增加 39平方米，求这个正方3 cm ,则面积减少了多少?13.已知 x+y=1 , 求1 x 2+xy+丄y 2的值. 2 2114.已知 a+ =5 a形花坛的边长.-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本2 不需要用计算器，而且很快说岀了答案•你知道他是怎么做的吗?17.已知：a + b=- 5，ab = - 6，求a2+ b2.18利用公式计算：992- 119.计算(1) (ab 1)( ab 1) ; (2) ( 2x 3)( 2x 3);(3) 1022; (4) 992.(5)(a b1)(a b 1) ； (6) (m 2n p)2.20. 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加239cm ,这个正方形的边长是多少？21.当a1,b 1时,求(3a 2b)(3a22b) (a 2b)2的值16.小明在计算2200920082 2 20092007 2009200922.求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差2 2(2n 1) (2n 1)是8的倍数23. 观察下列等式:2 2 2 .2 2 2 2 21 0 1 ,2 1 3,3 2 5 ,4 3 7,请用含自然数n的等式表示这种规律为：____________________ .2 224. 已知4x Mxy 9y是一个完全平方式，求M的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过2005 2天的后一天是星期几？答案1. B2. C 点拨：(x+y) 2=x2+2xy+y2，所以 A 不正确；(x—y2=x2- 2xy+y2,所以 B 不正确；(—x+y) 2= (-x) 2+2 (-x) y+y2=x2—2xy+y2，所以C正确；(—x —y) 2= (x+y) 2=x2+2xy+y2,所以 D 也不正确，故选C.3. D4. D 点拨：因为(x-4) 2=2—8x+16，所以若(x-4) 2=x2-8x+m2成立，则m2=16，从而得m=±4，故选D.__ 、5. x2+4xy+4y2点拨：(—x —2y) 2=[ —(x+2y) ] 2= (x+2y ) 2=x2+4xy+4y2.6. 48xy 点拨：B= (3x+4y) 2—( 3x —4y) 2=9x2+24xy+16y2—( 9x2—24xy+16y2) ?=?9x2+?24xy+16y 2—92 +24xy—16y2=48xy .7. 13 点拨：因为a—b=3，ab=2,所以a F+b2= (a—b) 2+2ab=32+2X2=9+4=13.3 1 2 3 28. —x; — y ; —a—4b;16b22 9 4三、9. 解：(1) 20082= (2000+8) 2 =20002+2 X2000 >8+8 2=4000000+32000+64=4032064;(2)782= ( 80—2) 2=802—2X80X2+22=6400 —320+4=6084.10. 解：(2x—1) (x+2 ) — ( x—2) 2—( x+2) 2=2x2+4x —x —2—( x2—4x+4 ) — ( x2+4x+4 )=2x 2+3x —2 —x2+4x —4 —x2—4x —4=3x —10 .1 1当x=—时，原式=3X(—-) —10=—1—10=—11.3 311思路：196接近整数200,故196= 200 —4,则此题可化为(200 —4 ) 2，利用完全平方公式计算.解：1962①(200— 4) 22002-2X 200 X 4 + 42 =40000 — 1600+ 16 = 38416说明：1 .可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算. 12. 思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积=边长X 边长” ，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即可得出所求.计算的关键在完全平方式的展开.解：原正方形面积：a 2 现正方形面积：(a — 3) 2面积减少了 a 2—( a — 3) 2 = a 2—( a 2 — 6a + 9)= a 2— a 2 + 6a — 9=( 6a — 9) (cm 2) 答：面积减少了( 6a — 9) cm 2. 13. 解：因为 x+y=1，所以(x+y ) 2=1,即 x 2+2xy+y 2=1.11 1 1 1 所以一 x 2+xy+— y 2= — (x 2+2xy+y 2) =— X =— .22 222点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值.1 1 1 所以(a —) 2=a 2+ 2 — 2a- =23 — 2=21.aaa点拨：注意公式的一些变形形式，例如： a F +b 2= (a+b ) 2 — 2ab, a 2+b 2= ( a — b )2+2ab ， (a+b )2=( a — b ) 2+4ab ， ( a — b ) 2=(a+b ) 2 — 4ab 等等.15. 解：设这个正方形花坛的边长为 x 米，依题意列方程得，(x+3 ) 2 — x 2=39, ?即 x 2+6x+9 — x 2=39， 6x=30， x=5. 答：这个正方形花坛的边长为 5米.点拨：适当引进未知数，？根据题中的相等关系得到方程，解方程即可. 16. 解：知道，做法如下：______ 200920082 ______ _________ 200920082 ___________ 200920072200920092 2 (20092008 1)2(20092008 1)2 22_____________________ 20092008 200920082 2 200920081 200920082 ____________2 20092008 1 2200920082 12 20092008^ 2点拨：由 200920072= (20092008 — 1) 2，200920092= ( 20092008+1) 2，运用完全平方公式化简即可.17. 点拨：同时存在a + b ，ab, a 2+ b 2的公式为完全平方公式(a + b ) 2 = a 2 +2ab + b 2,将题目中所给条件分别看作整体，代入公 式即可.注意：1.不要分别求出 a 和b ,运算繁琐.n.若已知a +b (或a — b), ab , a 2+ b 2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.解：a 2+ b 2 =( a + b ) 2 — 2ab14. 因为 a+^=5，所以 a 2+4 =a1 1(a+ ) 2 — 2 a •=52 —2=23,aa当 a + b = — 5, ab =— 6 时原式=(—5) 2 —2 X(— 6)= 25 + 12 = 37.18. 点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案. 19. 【点拨】(1)符合平方差公式的特征，只要将 ab 看成是a , 1看成是b 来计算.( 2)利用加法交换律将原式变形为 ( 32x)( 3 2x) , 然后运用平方差公式计算 .22(3) 可将 1022改写为 (1002) ,利用两数和的平方公式进行简便运算 .22(4) 可将 99 改写为 (100 1) ，利用两数差的平方公式进行简便运算 . 解：(1) (ab 1)(ab 1) =(ab)2 1 a 2b 21；(2)( 2x 3)(2x 3)= ( 3 2x)( 3 2x) =( 3)2(2x)2 9 4x 2；(3)1022 = (100 2) 2 =100 2 2 100 2 2210000 400 4 10404 ； (4)992 =(100 1) 2=10022 100 1 1 10000 200 1 9801.【点拨】(5,6)两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式 计算，本题可将 (a b) 看作是一项 .先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算解：(5) (a b 1)(a b 1) =[(a b) 1][( a b) 1] (a b)2 1 a 2 2ab b 21;( 6) (m 2np)2=[(m 2n) p]2 (m 2n)2 2(m2n) p2p 22=m4mn 224n 2mp 4np p .【点评 】 1. 在运用平方差公式时 , 应分清两个因式中是不是有一项完全相同, 有一项互为相反数 , 这样才可以用平方差公式， 否则不能用; 2. 完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方2 2 2 2 2 2和，加上或减去这两个数乘积的 2倍，在计算时不要发生：(a b) a b 或(a b) a b 这样的错误; 3.当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组,看成是两项，用平方差公式或完全平方公式. 20.【点拨】如果设原正方形的边长为 xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解 . 解：设原正方形的边长为xcm,则 (x 3)2 x 239即 x 2 6x 9 x 2 39，解得 X=5.答:这个正方形的边长是 5cm . 21.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将 a 、b 的值代入计算出结果.2 2 2 2 2解： (3a 2b)(3a 2b) (a 2b)2 9a 2 4b 2 (a 2 4ab 4b 2)=9a 24b 2 a 24ab4b 2 8a 24ab 8b 2；当a 1,b 1时，(3a 2b)(3a 2b) (a 2b)28a 22 24ab 8b =8(-1)4( 1) 18=-4【点拨】运用完全平方公式将 (2n1)2(2n 21)化简，看所得的结果是否是8整数倍.2证明：(2n 1)(2n 1)2=4n 24n 21 (4n 4n 1)= 4n24n 1 4n 24n 1 8n ，又T n 为整数，二8n 也为整数且是8的倍数.23. 【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律 .同学们相互研讨交流一下.答案为：n2(n 1)2 2n 1(n 1且n 为整数).24. 【点拨】已知条件是一个二次三项式，且是一个完全平方式， x 2 与 y 2项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2(2x 3y),由完全平方公式就可以求出 M .2 2 2解：根据(2x 3y) =4x 12xy 9y 得： M 12.二M 12答：M 的值是土 12.2 225. 【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005天的后一天是星期几，可以想办法先求出 2005是7的多少倍数还余几天.解: 20052 = (7 286 3)2 (7 286)22 (7 286)3 9=(7 286)2(6 286) 7 7 2.2显然2005年12月1日是星期四，再过2005 天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日。
完全平方公式
完全平方公式x = (-b ±√(b^2-4ac))/2a其中，a、b、c是一元二次方程ax^2+bx+c=0中的系数。
通过使用完全平方公式，我们可以通过计算确定二次方程的根。
设一元二次方程为：ax^2+bx+c=0（其中a≠0，a，b，c是常数），将一元二次方程变形为平方的形式可以得到：ax^2 + bx +c = a(x^2 + (b/a)x) + c=a(x^2+(b/a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2)+c=a(x+b/2a)^2-a(b/2a)^2+c= a(x + b/2a)^2 - ab^2/4a^2 + c= a(x + b/2a)^2 - (ab^2 - 4ac)/4a^2= a(x + b/2a)^2 - (b^2 - 4ac)/4a再整理上述方程，可以得到：a(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a - c令4ac = b^2 - 4ac，上式可化简为：a(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a - 4ac/4a= (b^2 - 4ac - 4ac)/4a= (b^2 - 8ac)/4a将等式两边同时开方，可得：√(a(x + b/2a)^2) = √((b^2 - 8ac)/4a)即：x + b/2a，= √(b^2 - 8ac)/2√a将式子中的绝对值去掉，得到：x + b/2a = ±√(b^2-4ac)/2ax = (-b ±√(b^2-4ac))/2a完全平方公式的意义是，我们可以通过计算二次方程的系数a、b、c，找到方程的根x。
如果判别式b^2-4ac大于零，则方程有两个不相等的实根；如果判别式等于零，则方程有两个相等的实根；如果判别式小于零，则方程没有实根，只有两个共轭复根。
这种通过完全平方公式求解方程的方法，可以广泛应用于数学、物理等领域的问题中。
举个例子来说明完全平方公式的应用。
假设有一个一元二次方程x^2-5x+6=0，我们可以将其系数代入完全平方公式中计算根的值：a=1，b=-5，c=6代入完全平方公式得：x=(-(-5)±√((-5)^2-4*1*6))/(2*1)=(5±√(25-24))/2=(5±√1)/2=(5±1)/2=3,2因此，该一元二次方程的根为x=3，x=2总结来说，完全平方公式是解决一元二次方程的重要工具，它可以帮助我们确定二次方程的根以及计算顶点的坐标。
完全平方公式详解
完全平方公式详解考虑一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b 和 c 是已知系数，x 是未知变量。
首先，为了方便计算，我们将二次项系数a除以2，得到x^2+(b/2a)x+c/a=0。
接下来，我们将表达式的前两项平方，即(x+b/2a)^2展开这个平方，得到(x+b/2a)^2=x^2+(b/2a)x+(b/2a)^2将这个平方形式代入原二次方程，得到(x+b/2a)^2+(b/2a)^2+c/a=0。
右侧的和式可以化简为[(b/2a)^2+c/a]，这是一个常数项。
现在，可以将公式用来解二次方程了。
我们只需要求出常数项[(b/2a)^2+c/a]，然后通过对其取负号平方根，得到两个解。
举例说明：考虑二次方程3x^2+4x+1=0。
首先，将其转化为标准形式，得到x^2+(4/3)x+1/3=0。
然后，我们计算常数项[(4/3)/2]^2+1/3=1/4+1/3=7/12接下来，我们取负号平方根，得到两个解：(4/3+√(7/12))和(4/3-√(7/12))。
除了解二次方程外，完全平方公式还常用于因式分解和简化表达式。
例如，考虑一个二次三项式x^2-8x+16这个三项式可以因式分解为完全平方的形式(x-4)^2通过使用完全平方公式，我们可以直接得到x-4=0，因此x=4是原方程的解。
此外，考虑另一个二次三项式x^2-2x+1这个三项式是一个完全平方的形式(x-1)^2通过使用完全平方公式，我们可以直接得到x-1=0，因此x=1是原方程的解。
总结：完全平方公式是解二次方程的一种常用方法，它通过变量的平方构造一个完全平方的二次多项式。
它的应用不仅限于解二次方程，还可以用于因式分解和简化表达式。
完全平方公式的推导过程相对简单，只需要将二次项平方并展开，然后代入原方程，化简即可求解。
完全平方公式分解因式
完全平方公式分解因式在代数学中，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将一个二次三项式分解为两个二次项的乘积。
它由以下公式给出：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2其中a和b是任意实数。
在这篇文章中，我们将详细介绍完全平方公式的应用和证明，并提供一些例子来帮助读者理解。
首先，让我们来看看为什么这个公式成立。
我们将用代数的方法来证明它。
首先，考虑一个二次三项式(a+b)^2、根据乘法法则，我们可以将其展开为：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2我们可以看到，展开后得到的结果是一个完全平方公式。
因此，我们证明了完全平方公式的正确性。
现在，让我们用完全平方公式来分解一些二次三项式。
考虑以下的二次三项式：x^2+6x+9我们注意到，这个三项式是一个完全平方公式。
具体来说，它可以分解为：x^2+6x+9=(x+3)^2通过使用完全平方公式，我们可以将一个二次三项式化简为一个更简单的二次项表达式。
这在解决数学问题和方程时非常有用。
接下来，我们将提供一些例子，以帮助读者更好地理解完全平方公式的应用。
例子1：将二次三项式x^2+10x+25分解为两个二次项的乘积。
根据完全平方公式，我们可以将其分解为：x^2+10x+25=(x+5)^2因此，x^2+10x+25可以写成(x+5)^2的形式。
例子2：将二次三项式4x^2-12x+9分解为两个二次项的乘积。
首先，我们要注意到这个三项式不是一个完全平方公式。
因此，我们需要找到适当的因式分解方法。
我们可以使用因式分解法将其分解为两个一次项的乘积：4x^2-12x+9=(2x-3)(2x-3)通过展开右边的表达式，我们可以验证等式的正确性。
因此，4x^2-12x+9可以写成(2x-3)^2的形式。
总结起来，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将二次三项式分解为两个二次项的乘积。
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中a，b和c是已知常数，而x是未知数。
完全平方公式的形式为 x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a。
让我们详细解释一下完全平方公式的推导过程。
首先，我们要将二次方程写成平方的形式。
我们可以通过配方来完成这一步骤。
将二次方程移项，我们得到 ax^2 + bx = -c。
接下来，我们需要创建一个完全平方。
我们可以通过将b的一半平方加入方程的两边来实现这一点。
这意味着我们需要将b/2平方并加入方程两边。
形式上写为(b/2)^2通过这样做，我们可以将方程转变为一个完全平方的形式。
现在方程变为 (ax^2 + bx + (b/2)^2) = (b/2)^2 - c。
简化方程，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。
将方程再次移项，我们得到 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。
注意到，左边的式子是两个平方的差。
这是一个重要的公式，称为平方差公式。
平方差公式是 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2、应用这个公式，我们可以将方程进一步简化为 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。
通过移项，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。
然后，我们可以开始解方程。
首先，我们要对两边的式子开根号，可以得到ax + b/2 = ±√((b^2/4) - c)。
接下来，我们继续化简。
我们将b/2移项，得到 ax = -b/2 ±√((b^2/4) - c)。
最后，我们将x与a相除，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
这就是完全平方公式的最终形式。
需要注意的是，完全平方公式只适用于二次方程。
对于高次方程，我们需要采用其他方法来求解。
总结起来，完全平方公式是一个用于求解二次方程的重要公式。
完全平方公式20题
完全平方公式20题完全平方公式又称二次方程式，是一类非常重要的数学公式，在各大学生的考试中也占有很大的比重。
以下是完全平方公式20题，我们可以用它来提高我们的数学水平。
1.算：x - 2x - 15 = 0解：首先，我们将方程式化为完全平方公式：x - 2x + 1 - 16 = 0令一元二次方程式的左边a、b、c的值如下：a = 1b = -2c = -16根据完全平方公式，我们可以带入结果：x = (frac{2 sqrt{4 + 64}}{2})= (frac{2 8}{2})= 1 4因此，x = 1 x = -5。
2.算：2x - 25 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果：x = (frac{5 sqrt{25 - 0}}{2})= (frac{5 5}{2})= 2.5 2.5因此，x = 2.5 x = -2.5。
3.算：3x + 4x - 9 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{-4 sqrt{16 + 108}}{6})= (frac{-4 10}{6})= -2 5因此，x = -7 x = 3。
4.算：x - 2x - 6 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{2 sqrt{4 + 24}}{2})= (frac{2 8}{2})= 1 4因此，x = 1 x = -5。
5.算：2x + 4x - 9 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{-4 sqrt{16 - 36}}{4})= (frac{-4 4}{4})= -2 2因此，x = -1 x = 3。
6.算：5x + 7x + 3 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{-7 sqrt{49 - 60}}{10})= (frac{-7 sqrt{-11}}{10})因为有负数在平方根内，因此没有实数根。
完全平方公式2
完全平方公式的使用： 完全平方公式的使用： 在做题过程中一定要注意符号问题和正确 认识a 表示的意义，它们可以是数、 认识a，b表示的意义，它们可以是数、也 可以是单项式还可以是多项式， 可以是单项式还可以是多项式，所以要记 得添括号。 得添括号。 解题技巧： 解题技巧： 在解题之前应注意观察思考， 在解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择。 方法会有不同的效果，要学会优化选择。
(a 解: (a+b+3) (a+b−3) −3 (a (a =[ (a+b) +3 ][ (a+b)− 3 ] =( a+b )2−( 3 )2 =a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 温馨提示： (a+b)看作一个 整体， 整体，解题中渗透了整体的 思想
合并同类项 平方差公式 单项式乘多项式.
观察 & 思考
解: (1) 方法一
完全平方公式
(x+3)2-x2 =x2＋6x+9-x2 6x+9=6x+9
(x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3=(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)·3=6x+9
学一学
三项能看成两项吗? ☾ 三项能看成b+3)(a-b-3) (1)(a-b+3)(a(2) (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (x-2)(x+2)-(x+1)(x(3) (ab+1)2-(ab-1)2 (ab(4) (2x-y)2-4(x-y)(x+2y) (2x- 4(x-
完全平方公式解法
完全平方公式解法完全平方公式是解决一元二次方程的一种方法，它可以帮助我们求解方程的根。
所谓一元二次方程，就是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，x是未知数。
完全平方公式的表达式是x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中±表示两个解，√表示开平方，b^2-4ac是判别式。
下面我们来详细介绍一下完全平方公式的使用方法。
我们需要确定方程中的a、b、c的值。
这些值可以由题目中直接给出，或者通过观察方程得到。
接下来，我们计算判别式b^2-4ac的值。
判别式的值可以判断方程的解的情况：如果判别式大于0，说明有两个不相等的实数解；如果判别式等于0，说明有一个实数解；如果判别式小于0，说明没有实数解，只有复数解。
然后，我们根据判别式的值来求解方程的根。
如果判别式大于0，我们可以使用完全平方公式的正负两个根来求解；如果判别式等于0，我们只需要使用完全平方公式的一个根来求解；如果判别式小于0，我们需要使用复数来表示方程的根。
我们将求解出来的根带入原方程，验证我们的答案是否正确。
下面我们通过一个例子来演示一下完全平方公式的使用方法。
例子：解方程x^2-6x+8=0。
我们可以看出a=1，b=-6，c=8。
接下来，计算判别式b^2-4ac的值，即(-6)^2-4*1*8=36-32=4。
由于判别式大于0，我们可以使用完全平方公式来求解。
根据完全平方公式，我们有x=(-(-6)±√4)/(2*1)。
化简得到x=(6±2)/2，即x=4或x=2。
我们将求解出来的根带入原方程验证一下。
将x=4带入方程得到4^2-6*4+8=0，等式成立；将x=2带入方程得到2^2-6*2+8=0，等式成立。
因此，我们得出结论，方程x^2-6x+8=0的解是x=4和x=2。
通过以上例子，我们可以看到完全平方公式简化了一元二次方程的求解过程，提高了求解的效率。
掌握了完全平方公式，我们可以更轻松地解决一元二次方程的问题。
完全平方公式
1 1 2 已知 x 3，求x 2 的值 . x x 1 2 1 1 2 解 : x 2 ( x ) 2( x ) x x x 1 2 (x ) 2 x
3 2 7
2
2ab
填一填：
1、如果 x²+ax+16 是一个完全平 +8 方式， 则a=___ 2、如果 25a²-30ab+m 是一个完全 平方式，则 m=___ 2 9m 3,16x²+（ +40xy)+25y²=（ 4x+5y ）²
注意
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.
做题时要边念边写： 2x −3 解：(1) (2x−3)2 = ( 2x )2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 第一数 的平方, = 4x2 − 12x + 9 ; 加上 第二数 的平方.
1.运用乘法公式计算: (1) (a + 2b – 1 ) 2 ; (2) (2x +y +z ) (2x – y – z ). 2.如图，一块直径为a+b的圆 形钢板，从中挖去直径分别为 a与b的两个圆，求剩下的钢板 的面积.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
4、 填空 : 1 a 6a _______ (a ______) 9 3
2 2
a 2 a 3 3
2
2
2 x
2 4 x 2 3 a
2
2
2 2x 5 5
2
5 2 20x ______ (2 x ______) 25 2
因式分解—完全平方公式
因式分解—完全平方公式因式分解是一种数学运算，用于将一个多项式表示为它的因式的乘积。
因式分解是数学中一个基本的操作，它在解决方程、简化代数表达式等问题中起着重要的作用。
其中，完全平方公式是一种特殊的因式分解方法，用于将一个二次多项式表示为两个完全平方的乘积。
在解决因式分解问题时，首先需要了解完全平方公式。
完全平方公式指出，一个二次多项式可以表示为两个完全平方的和或差。
具体地说，如果一个二次多项式为x²+2ax+a²，则它可以分解为(x+a)²，即平方的和。
而如果一个二次多项式为x²-2ax+a²，则它可以分解为(x-a)²，即平方的差。
运用完全平方公式分解一个二次多项式的步骤如下：1.检查二次多项式的形式，确保它符合完全平方公式的形式。
2.提取二次项和线性项的系数。
3.根据完全平方公式的形式，将二次项和线性项的系数带入公式中。
4.计算和、差的平方，并展开得到简化的形式。
下面我们通过几个实例来具体说明如何运用完全平方公式进行因式分解。
例1：将多项式x²+6x+9进行因式分解。
解：首先我们检查多项式的形式，发现它符合完全平方公式的形式x²+2ax+a²。
然后我们提取二次项和线性项的系数，得到a=3、接下来，我们带入完全平方公式中，得到(x+3)²。
因此，多项式x²+6x+9可以分解为(x+3)²。
例2：将多项式x²-10x+25进行因式分解。
解：同样地，我们检查多项式的形式，发现它符合完全平方公式的形式x²-2ax+a²。
我们提取二次项和线性项的系数，得到a=5、然后，我们带入完全平方公式中，得到(x-5)²。
因此，多项式x²-10x+25可以分解为(x-5)²。
通过上述两个例子可以看出，使用完全平方公式进行因式分解可以简化计算，使我们能够更快地找到多项式的因式。
八上完全平方公式
八上完全平方公式完全平方公式是在数学中非常有用的公式之一，主要用于求解几个数的平方和。
下面将详细介绍完全平方公式的概念、应用和示例。
一、完全平方公式的基本概念完全平方公式是指：如果有一个数x，那么(a ± b)² = a²± 2ab + b²其中，a和b是两个数，表示它们之间的差或和。
这个公式可以用来求解a、b的平方和。
二、完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有很多应用，比如求多项式的平方和、解方程组等等。
其中最常见的是求解一元二次方程的根。
例如，对于方程x² + 2x + 3 = 0，可以通过求二次项系数a²和常数项b²的和的平方减去4倍的二次项系数a²来求解这个方程。
三、完全平方公式的示例以下是一些完全平方公式的示例：1. 求两个数的平方和：(3 + 4)² = 3² + 4² + 2 × 3 ×4 = 53 2. 求三个数的平方和：(1 - 2)² + (2 - 3)² + (4 -5)² = 2 - 2 × (2 × 2 +3 × 4 + 5 × 5) = -14以上这些示例说明完全平方公式不仅在求解两个数的平方和非常有用，而且也可以解决三个数的平方和的问题。
当然，当数字超过三个时，可以考虑其他数学方法。
四、总结通过上述介绍，我们了解了完全平方公式的基本概念、应用以及一些示例。
完全平方公式是数学中的一个重要工具，它能够解决许多数学问题，特别是求几个数的平方和的问题。
通过灵活运用完全平方公式，可以提高解题效率和准确性。
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a首先，我们假设二次方程为(x+p)^2=q，其中p和q是待定常数。
将 (x + p)^2 展开得到 x^2 + 2px + p^2 = q。
比较二次方程的标准形式 ax^2 + bx + c = 0 和展开后的完全平方形式，可以得到以下等式：2p=bp^2=q然后，解出p和q的值。
由第一个等式得到p=b/2，以此代入第二个等式得到q=(b/2)^2=b^2/4现在我们将二次方程转化为一个完全平方的形式：(x+b/2)^2=b^2/4-c。
将完全平方形式与推导得出的等式进行比较，可以得到以下等式：(x+b/2)^2=b^2/4-c根据完全平方公式，我们可以继续解题。
如果b^2/4-c>0，那么存在两个相异实根。
反之，如果b^2/4-c=0，那么存在一个相等的实根。
如果b^2/4-c<0，那么不存在实根，方程有两个共轭复根。
综上所述，完全平方公式可以用来解决二次方程。
当我们将二次方程转化为完全平方的形式后，我们可以利用完全平方公式求解方程的根。
举个例子来说明：解方程x^2+6x+9=0。
首先，我们将它转化成完全平方的形式：(x+3)^2=0^2根据完全平方公式，我们知道(x+3)=±0。
解方程得到x=-3因此，方程x^2+6x+9=0的解为x=-3总结一下，完全平方公式是解决二次方程的一种常用方法。
通过将二次方程转化为一个完全平方的形式，我们可以使用完全平方公式求解方程的根。
这个公式在数学和工程领域中有着广泛的应用。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是高中数学中最重要的公式之一，它能够帮助学生解决复杂的问题，因而被广泛使用。
完全平方公式的基本内容是一个多项式，它的一般形式如下：ax2 + bx + c = 0。
完全平方公式的原理很简单，它是分解多项式的系统方法，即先将多项式分解为完全平方公式的形式，然后从中求出解。
完全平方公式的分解如下：a(x + b/2a)2 = ax2 + bx + c，其中a为多项式中的系数，b为多项式中的系数，c为多项式中的常数。
现在我们来看看如何使用完全平方公式来求解多项式。
假设有一个如下形式的多项式：x2 + 6x + 9 = 0，即ax2 + bx + c = 0，其中a=1，b=6，c=9。
首先，将多项式分解为完全平方公式：(x + 3)2 = x2 + 6x + 9，即a(x + b/2a)2 = ax2 + bx + c，其中a=1，b=6，c=9。
继而，从多项式一般形式中求出解：x = -3，即x + 3 = 0，所以x = -3。
完全平方公式的应用广泛，它可以用于求解一元二次方程、求取多次方程的解等。
然而，使用完全平方公式需要注意一些重要问题，例如是否能够简化为完全平方公式形式，这得根据实际情况而定。
此外，完全平方公式也可以用于计算各种数学结果，例如计算角的正弦值、余弦值、正切值等。
一般而言，利用完全平方公式就可以快速求出解，从而节省计算时间。
最后，当我们碰到一些复杂的数学问题时，完全平方公式可以提供非常有用的帮助。
它可以帮助我们提高解决数学问题的速度，同时避免出现错误，从而减少计算错误的机会。
综上所述，完全平方公式是高中数学中最重要的公式之一，它能够帮助我们快速准确地解决复杂的数学问题，节省计算时间，减少出错的机会。
完全平方公式详解
完全平方公式详解首先，我们从一个二次方程ax^2 + bx + c = 0（其中a≠0）开始推导完全平方公式：1. 将二次方程移到等号的右边，得到ax^2 + bx = -c。
2. 将二次方程左边的项进行配方，即将x^2和x项分别平方，得到(a/2*x + b/2)^2 = b^2/4 - ac。
现在我们求解完全平方公式的步骤如下：1.检查二次方程是否为完全平方。
即检查a、b和c的值是否满足公式。
若满足，则进一步求解；否则，无实数解。
2. 根据完全平方公式，我们可以得到两个根的表达式：x1 = (-b +√(b^2-4ac))/(2a)和x2 = (-b - √(b^2-4ac))/(2a)。
3. 计算√(b^2-4ac)的值。
a. 首先，计算判别式D = b^2-4ac。
b.如果D>0，即判别式大于零，说明二次方程有两个不相等的实数根。
c.如果D=0，即判别式等于零，说明二次方程有两个相等的实数根。
d.如果D<0，即判别式小于零，说明二次方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
接下来，我们举例说明完全平方公式的使用。
例1：求解二次方程2x^2-5x+3=0的根。
首先，将方程的系数代入完全平方公式中：a=2,b=-5,c=3根据公式 x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)，我们可以得到：x1=(-(-5)+√((-5)^2-4*2*3))/(2*2)=(5+√(25-24))/4=(5+√1)/4=(5+1)/4=6/4=3/2x2=(-(-5)-√((-5)^2-4*2*3))/(2*2)=(5-√(25-24))/4=(5-√1)/4=(5-1)/4=4/4=1因此，二次方程2x^2-5x+3=0的根为x1=3/2和x2=1例2：求解二次方程x^2+4x+4=0的根。
首先，将方程的系数代入完全平方公式中：a=1,b=4,c=4根据公式 x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)，我们可以得到：x1=(-4+√(4^2-4*1*4))/(2*1)=(-4+√(16-16))/2=(-4+0)/2=-4/2=-2x2=(-4-√(4^2-4*1*4))/(2*1)=(-4-√(16-16))/2=(-4-0)/2=-4/2=-2因此，二次方程x^2+4x+4=0的根为x1=-2和x2=-2通过以上的例子，我们可以看出，完全平方公式可以用于求解二次方程的根。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种常见的数学公式，可以用来解决方程和多项式中的完全平方的技巧，是学习数学的必备技能之一。
完全平方公式的知识包括本质上的概念和方法以及它的计算方法与应用。
本文将详细讲解完全平方公式的定义、公式的计算方法和应用，以便读者能够更加全面的了解这一概念和方法。
完全平方公式的本质概念是指任何一个多项式的平方，可以表示为一个乘积公式，其中一个项称为完全平方项（Perfect Square），完全平方公式中，其它项也可以化简表示，这就是完全平方公式的本质概念。
完全平方公式的计算方法和应用主要有三种：（1）完全平方的求解：完全平方公式可以用来求解任何一个多项式的完全平方，首先要将多项式化简为一元二次方程，然后用完全平方公式对多项式求完全平方，最后将该完全平方进行拆解，得到完全平方根，从而解决问题。
（2）将含平方项的多项式化简：完全平方公式也可以用来将多项式中有平方项的含有x的项整理成完全平方，以便更容易求解多项式，进而求解多项式方程的解。
（3）求多项式的最小完全平方根：可以通过分解多项式的完全平方，来求出所求多项式的最小完全平方根，这样就可以求出多项式问题的最终解。
完全平方公式在数学上有很多应用，以上讲解的三种应用方法只是其中常见的应用。
完全平方公式也可以应用到复数、矩阵、非线性方程等情况，以求解更复杂的数学问题，比如求解复数的线性方程组和求解非线性方程组等。
此外，完全平方公式也可以用来求解更大的数学问题，如求解椭圆的矩阵、求解多项式的极值问题等。
完全平方公式是学习数学的必备技能，数学学习者只要能够理解完全平方公式的概念和方法，就可以通过完全平方公式求解多项式、矩阵、复数、非线性方程组等数学问题。
完全平方公式是一种具有广泛应用的数学工具，只要学习者掌握了完全平方公式，就能更好地解决数学问题。
完全平方公式几何解释
完全平方公式几何解释
嘿，你知道完全平方公式吗？那可是数学里超级重要的东西呢！就
好像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门。
咱就说那个（a+b）²吧，它展开就是 a²+2ab+b²。
这咋理解呢？咱可
以想象一下哈，有一个边长为 a 的正方形，还有一个边长为 b 的正方形，它们俩紧挨在一起，那它们组成的大图形的面积不就是（a+b）²嘛！而这个大图形又可以分成三部分，一个边长为 a 的正方形面积是 a²，
一个边长为 b 的正方形面积是 b²，还有两个长为 a 宽为 b 的长方形，
面积就是 2ab 呀，这不就和完全平方公式对上了嘛！
再看看（a-b）²=a²-2ab+b²，也能找到类似的解释呀！就好像是从那
个大正方形里去掉一个小正方形，剩下的部分的面积就是（a-b）²嘛。
你想想，这完全平方公式是不是很有意思？就像我们生活中的好多
事情一样，看似复杂，其实只要找到了合适的角度去理解，就变得简
单明了啦！数学可不就是这样嘛，到处都藏着惊喜等着我们去发现呢！
我觉得完全平方公式的几何解释真的太妙了，它让抽象的公式变得
具体可视，让我们能更直观地理解和掌握它。
这就像是给我们打开了
一扇窗，让我们能看到数学不一样的风景，难道不是吗？。
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完全平方公式讲解第一部分概念导入1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______；2．学生计算3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1（m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1（m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+44．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。
（1）（2）之间只差一个符号。
推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】得到公式，分析公式（1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”．（3）公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式．（4）几何解释图1－5图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．【学习方法指导】［例1］计算（1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2注意：（2）中n 2的指数2与公式中b 2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”． ［例2］计算（1）（－m －n ）2 （2）（－5a －2）（5a ＋2）点拨：（1）可直接用完全平方公式．由于－m 与－n 是同号，所以公式中的2ab 取“＋”．（2）中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“－”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算．解：（1）（－m －n ）2＝（－m ）2＋2·（－m ）（－n ）＋（－n ）2＝m 2＋2mn ＋n 2（2）（－5a －2）（5a ＋2）＝－（5a ＋2）（5a ＋2）＝－（5a ＋2）2＝－（25a 2＋20a ＋4）＝－25a 2－20a －4小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算．［例3］计算（1）（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）（2）（m －n ）（m 2－n 2）（m ＋n ）点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简．（2）可先利用平方差公式将m －n 与m ＋n 相乘，再将所得结果m 2－n 2与中间括号里的m 2－n 2相乘，可利用完全平方公式．解：（1）（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）＝（x 2－4xy ＋4y 2）－（x 2－y 2）＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋y 2＝－4xy ＋5y 2（2）（m －n ）（m 2－n 2）（m ＋n ）＝（m －n ）（m ＋n ）（m 2－n 2）＝（m 2－n 2）（m 2－n 2）＝（m 2）2－2·m 2·n 2＋（n 2）2＝m 4－2m 2n 2＋n 4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可．［例4］计算：（x ＋2y ）2－（x －2y ）2点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ），将此题转化为平方差公式进行计算．解法一：（x ＋2y ）2－（x －2y ）2＝（x 2＋xy ＋42y ）－（x 2－xy ＋42y ）＝x 2＋xy ＋42y －x 2＋xy －42y＝2xy解法二：［例5］计算：（a －2b ＋1）（a ＋2b －1）点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同．先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（a ＋b ）（a －b ）的形式，利用平方差公式进行简化运算．关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！ 随堂练习一、选择题1．下列运算中，正确的是（ ）A ．3a+2b=5abB ．（a －1）2=a 2－2a+1C ．a 6÷a 3=a 2D ．（a 4）5=a 92．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ）A ．（x+y ）2=x 2+y 2B ．（x －y ）2=x 2－y 2C．（－x+y）2=x2－2xy+y2D．（－x－y）2=x2－2xy+y23．下列各式计算结果为2xy－x2－y2的是（）A．（x－y）2B．（－x－y）2C．－（x+y）2D．－（x－y）2 4．若等式（x－4）2=x2－8x+m2成立，则m的值是（）A．16 B．4 C．－4 D．4或－4 二、填空题5．（－x－2y）2=_____．6．若（3x+4y）2=（3x－4y）2+B，则B=_____．7．若a－b=3，ab=2，则a2+b2=______．8．（_____－13y）2=94x2－xy+______；（_____）2=916a2－6ab+_____．三、解答题9．利用完全平方公式计算：（1）20082；（2）782．10．先化简，再求值：（2x－1）（x+2）－（x－2）2－（x+2）2，其中x=－1 3．11.利用公式计算：196212.某正方形边长a cm，若把这个正方形的边长减小3 cm，则面积减少了多少？13.已知x+y=1，求12x2+xy+12y2的值．14.已知a+1a=5，分别求a2+21a，（a－1a）2的值15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加3米，•则它的面积就增加39平方米，求这个正方形花坛的边长．16.小明在计算2222009200820092007200920092+-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不需要用计算器，而且很快说出了答案．你知道他是怎么做的吗？17．已知：a ＋b ＝－5，ab ＝－6，求a 2＋b 2．18.利用公式计算：992－119.计算 （1）)1)(1(+-ab ab ； （2）)32)(32(---x x ；（3）1022； （4）992.（5）)1)(1(-+++b a b a ；（6）2)2(p n m +-.20.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加392cm ,这个正方形的边长是多少?21.当2)2()23)(23(1,1b a b a b a b a---+=-=时，求的值22.求证：当n 为整数时，两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数23.观察下列等式：10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，……请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.24.已知2294y Mxy x+-是一个完全平方式,求M 的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几?答案一、1．B2．C 点拨：（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，所以A 不正确；（x －y 2=x 2－2xy+y 2，所以B 不正确；（－x+y ）2=（－x ）2+2（－x ）·y+y 2=x 2－2xy+y 2，所以C 正确；（－x －y ）2=（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，所以D 也不正确，故选C ．3．D4．D 点拨：因为（x －4）2=2－8x+16，所以若（x －4）2=x 2－8x+m 2成立，则m 2=16，从而得m=±4，故选D ．二、5．x 2+4xy+4y 2 点拨：（－x －2y ）2=[－（x+2y ）] 2=（x+2y ）2=x 2+4xy+4y 2．6．48xy 点拨：B=（3x+4y ）2－（3x －4y ）2=9x 2+24xy+16y 2－（9x 2－24xy+16y 2）•=•9x 2+•24xy+16y 2－92+24xy －16y 2=48xy ．7．13 点拨：因为a －b=3，ab=2，所以a 2+b 2=（a －b ）2+2ab=32+2×2=9+4=13．8．32x ；19y 2；34a －4b ；16b 2三、9．解：（1）20082=（2000+8）2=20002+2×2000×8+82=4000000+32000+64=4032064；（2）782=（80－2）2=802－2×80×2+22=6400－320+4=6084．10．解：（2x －1）（x+2）－（x －2）2－（x+2）2=2x 2+4x －x －2－（x 2－4x+4）－（x 2+4x+4）=2x 2+3x －2－x 2+4x －4－x 2－4x －4=3x －10．当x=－13时，原式=3×（－13）－10=－1－10=－11． 11.思路：196接近整数200，故196＝200－4，则此题可化为（200－4）2，利用完全平方公式计算． 解：1962① ＝（200－4）2 ②＝2002－2×200×4＋42＝40000－1600＋16＝38416说明：Ⅰ．可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算．12.思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积＝边长×边长”，表示出两个正方形的面积，用“大－小”即可得出所求．计算的关键在完全平方式的展开．解：原正方形面积：a 2现正方形面积：（a －3）2面积减少了a 2－（a －3）2＝a 2－（a 2－6a ＋9）＝a 2－a 2＋6a －9＝（6a －9）（cm 2）答：面积减少了（6a －9） cm 2．13.解：因为x+y=1，所以（x+y ）2=1，即x 2+2xy+y 2=1． 所以12x 2+xy+12y 2=12（x 2+2xy+y 2）=12×1=12． 点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值．14.因为a+1a =5，所以a 2+21a =（a+1a ）2－2·a·1a =52－2=23，所以（a －1a ）2=a 2+21a －2·a·1a =23－2=21．点拨：注意公式的一些变形形式，例如：a 2+b 2=（a+b ）2－2ab ，a 2+b 2=（a －b ）2+2ab ，（a+b ）2=（a －b ）2+4ab ，（a －b ）2=（a+b ）2－4ab 等等．15.解：设这个正方形花坛的边长为x 米，依题意列方程得，（x+3）2－x 2=39，•即x 2+6x+9－x 2=39，6x=30，x=5．答：这个正方形花坛的边长为5米．点拨：适当引进未知数，•根据题中的相等关系得到方程，解方程即可．16．解：知道，做法如下：2222009200820092007200920092+-=22220092008(200920081)(200920081)2-++- =222200920082009200822009200812009200822009200812-⨯+++⨯+- =2220092008220092008⨯=12．点拨：由200920072=（20092008－1）2，200920092=（20092008+1）2，运用完全平方公式化简即可．17.点拨：同时存在a ＋b ，ab ，a 2＋b 2的公式为完全平方公式（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可．注意：Ⅰ．不要分别求出a 和b ，运算繁琐．Ⅱ．若已知a ＋b （或a －b ），ab ，a 2＋b 2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者．解：a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab当a ＋b ＝－5，ab ＝－6时原式＝（－5）2－2×（－6）＝25＋12＝37．18.点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案．19.【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab 看成是a ，1看成是b 来计算.（2）利用加法交换律将原式变形为)23)(23(x x --+-,然后运用平方差公式计算.（3）可将1022改写为2)2100(+,利用两数和的平方公式进行简便运算. （4）可将992改写为2)1100(-，利用两数差的平方公式进行简便运算.解：（1）)1)(1(+-ab ab =11)(222-=-b a ab ； （2）)32)(32(---x x= )23)(23(x x --+-=22249)2()3(x x -=--； （3）1022= 2)2100(+=1040444001000022100210022=++=+⨯⨯+； （4）992=2)1100(-=98011200100001110021002=+-=+⨯⨯-.【点拨】（5,6）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将)(b a +看作是一项.先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.解：（5）)1)(1(-+++b a b a =121)(]1)][(1)[(222-++=-+=-+++b ab a b a b a b a ；（6）2)2(p n m +-=222)2(2)2(])2[(p p n m n m p n m +⋅-⋅+-=+- =2224244p np mp n mn m +-++-.【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：222)(b a b a +=+或222)(b a b a -=-这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.20. 【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解.解：设原正方形的边长为xcm,则39)3(22+=+x x即399622+=++x x x ，解得 x=5.答:这个正方形的边长是5cm .21. 【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a 、b 的值代入计算出结果. 解：)44(49)2()23)(23(22222b ab a b a b a b a b a +---=---+ =2222228484449b ab a b ab a b a-+=-+--； 当时，1,1=-=b a 222848)2()23)(23(b ab a b a b a b a -+=---+=8（-1）81)1(42-⨯-+=-4.22.【点拨】运用完全平方公式将22)12()12(--+n n 化简，看所得的结果是否是8整数倍. 证明:22)12()12(--+n n =)144(14422+--++n n n n =n n n n n 814414422=-+-++，又∵n 为整数,∴8n 也为整数且是8的倍数.23.【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为:n n n n n 且1(12)1(22≥-=--为整数).24.【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,22y x 与项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2)32(y x ±,由完全平方公式就可以求出M.解：根据2)32(y x±=229124y xy x +±得: 12±=-M . ∴12±=M答:M 的值是±12. 25.【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过20052天的后一天是星期几，可以想办法先求出20052是7的多少倍数还余几天.解：20052=93)2867(2)2867()32867(22+⨯⨯⨯+⨯=+⨯ =277)2866()2867(2++⨯⨯+⨯.显然2005年12月1日是星期四，再过20052天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.。