高等代数第四章矩阵练习题参考答案().doc
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第四章 矩阵习题参考答案
一、 判断题
1. 对于任意 n 阶矩阵 A ， B ，有 A B A B .
错.
2. 如果 A2 0,则 A 0 .
错.如 A
11 , A2
11
0,但 A 0 .
3. 如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵 .
正确. A A2 EA(E
A) E，因此 A 可逆，且 A1 A E.
8．以下结论正确的是（ C ） (A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0, 则 A 0； (B) 如果矩阵 A 满足 A2 0，则 A 0； (C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；
(D) 对任意方阵 A,B，有 (A B)(A B)
A2 B2
9．设 1, 2, 3, 4 是非零的四维列向量， A ( 1, 2 , 3, 4), A* 为 A 的伴随矩阵，已知
( A ) AB 的第 j 行 元 素 全 等 于 零 ；
( B ) AB 的 第 j 列 元 素 全 等 于 零 ；
( C) ． BA 的 第 j 行 元 素 全 等 于 零 ； ( D) BA 的 第 j 为 n 阶方 列元素全等于零；
阵， E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（ A, B
错.如 A
1 1 ,B 11
2 1 ,C 21
3 2 ，有 AB
32
AC,但 B C.
6 ． A 为 m n 矩 阵 ， 若 r ( A) s, 则 存 在 m 阶 可 逆 矩 阵 P 及 n 阶 可逆 矩 阵 Q ，使
PAQ
Is
0 .
00
正确 . 右边为矩阵 A 的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形 .
3．以下结论不正确的是（ C ）.
(A) 如果 A 是上三角矩阵，则 A2 也是上三角矩阵；
(B) 如果 A 是对称矩阵，则 A2 也是对称矩阵；
Biblioteka Baidu
(C) 如果 A 是反对称矩阵，则 A2 也是反对称矩阵；
(D) 如果 A 是对角阵，则 A2 也是对角阵 . 4．A 是 m k 矩阵 , B 是 k t 矩阵 , 若 B 的第 j 列元素全为零， 则下列结论正确的是 （ B ）
Ax 0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A * x 0的基础解系为（ C ） .
（A）
.
1, 2 , 3
（B） 1 2 , 2
3, 3
,.
（C） 2, 3 4
（ D） 1
,
,
2
2
33
1
0
由 Ax 0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T 可得 ( 1 , 2 , 3 ,4)0,
7. A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则（ B ） . (A) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 ；
(B) 当 m n 时，必有行列式 AB 0
(C) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 ；
(D) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 .
AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以 AB 0 .
(B) 若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA (C) 若 A 0，则从 AB AC 可推出 B C
(D) 若 B C，则必有 AB AC 13． A, B,C 均是 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 ABC E ，则有（ C ）
(A) ACB E （ B） BAC E （C） BCA E (D) CBA E
( AB)( B * A*) A( BB*) A* A|B|EA* |B|AA* |A||B|E .
因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) . 由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得 AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆
可得 (AB)* B* A* .
二、 选择题
1．设 A 是 n 阶对称矩阵， B 是 n 阶反对称矩阵 (BT B) , 则下列矩阵中为反对称矩阵的
2
0
.
1
,.
44 1
1230.
因此（ A），（ B）中向量组均为线性相关的，而（ D）显然为线性相关的，因此答案为
（C）. 由
可得 1 , 2 , 3 , 4 均为 A* x 0 的解 . 10. 设 A 是 n 阶矩阵， A 适合下列条件（ C ）时， I n A 必是可逆矩阵
(A) An A
(B)
5设
D）
(A)
(A B) 2 A2 2 AB B2 (B)
A2 B2 ( A B)( A B)
(C) ( AB) 2 A2 B2 (D)
A2 E 2 ( A E)( A E)
6．下列命题正确的是（ B ） .
(A) 若 AB AC，则 B C
(B) 若 AB AC，且 A 0，则 B C
(C) 若 AB AC ，且 A 0 ，则 B C (D) 若 AB AC ，且 B 0, C 0 ，则 B C
A 是可逆矩阵 (C)
An 0
(B) A 主对角线上的元素全为零 11 ． n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）
(A)A 1(B)A 0(C) A AT(D) 12 ． A, B,C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（
A0 A）
(A) 若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA
4. 设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB 0 ，则 A, B 的秩一个等于 n ，一个小于 n .
错.由 AB 0可得 r ( A) r ( B) n . 若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两 个都是非零矩阵矛盾 . 只可能两个秩都小于 n .
5． A, B,C 为 n 阶方阵，若 AB AC, 则 B C.
是（B ）.
(A) AB BA (B) AB BA (C) ( AB) 2 (D)
BAB
(A)(D) 为对称矩阵，（B）为反对称矩阵，（ C）当 A, B 可交换时为对称矩阵 .
2. 设 A 是任意一个 n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵 .
(A) AT A (B)
A AT (C)
A2 (D)
AT A
7． n 阶矩阵 A 可逆，则 A * 也可逆 .
正确.由 A 可逆可得 | A | 0 ，又 AA* A * A |A|E . 因此 A * 也可逆，且 ( A*) 1 1 A .
|A|
8．设 A, B 为 n 阶可逆矩阵，则 ( AB)* B* A*.
正确 . (AB )( AB)* |AB|E |A||B|E.又
一、 判断题
1. 对于任意 n 阶矩阵 A ， B ，有 A B A B .
错.
2. 如果 A2 0,则 A 0 .
错.如 A
11 , A2
11
0,但 A 0 .
3. 如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵 .
正确. A A2 EA(E
A) E，因此 A 可逆，且 A1 A E.
8．以下结论正确的是（ C ） (A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0, 则 A 0； (B) 如果矩阵 A 满足 A2 0，则 A 0； (C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；
(D) 对任意方阵 A,B，有 (A B)(A B)
A2 B2
9．设 1, 2, 3, 4 是非零的四维列向量， A ( 1, 2 , 3, 4), A* 为 A 的伴随矩阵，已知
( A ) AB 的第 j 行 元 素 全 等 于 零 ；
( B ) AB 的 第 j 列 元 素 全 等 于 零 ；
( C) ． BA 的 第 j 行 元 素 全 等 于 零 ； ( D) BA 的 第 j 为 n 阶方 列元素全等于零；
阵， E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（ A, B
错.如 A
1 1 ,B 11
2 1 ,C 21
3 2 ，有 AB
32
AC,但 B C.
6 ． A 为 m n 矩 阵 ， 若 r ( A) s, 则 存 在 m 阶 可 逆 矩 阵 P 及 n 阶 可逆 矩 阵 Q ，使
PAQ
Is
0 .
00
正确 . 右边为矩阵 A 的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形 .
3．以下结论不正确的是（ C ）.
(A) 如果 A 是上三角矩阵，则 A2 也是上三角矩阵；
(B) 如果 A 是对称矩阵，则 A2 也是对称矩阵；
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(C) 如果 A 是反对称矩阵，则 A2 也是反对称矩阵；
(D) 如果 A 是对角阵，则 A2 也是对角阵 . 4．A 是 m k 矩阵 , B 是 k t 矩阵 , 若 B 的第 j 列元素全为零， 则下列结论正确的是 （ B ）
Ax 0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A * x 0的基础解系为（ C ） .
（A）
.
1, 2 , 3
（B） 1 2 , 2
3, 3
,.
（C） 2, 3 4
（ D） 1
,
,
2
2
33
1
0
由 Ax 0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T 可得 ( 1 , 2 , 3 ,4)0,
7. A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则（ B ） . (A) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 ；
(B) 当 m n 时，必有行列式 AB 0
(C) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 ；
(D) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 .
AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以 AB 0 .
(B) 若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA (C) 若 A 0，则从 AB AC 可推出 B C
(D) 若 B C，则必有 AB AC 13． A, B,C 均是 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 ABC E ，则有（ C ）
(A) ACB E （ B） BAC E （C） BCA E (D) CBA E
( AB)( B * A*) A( BB*) A* A|B|EA* |B|AA* |A||B|E .
因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) . 由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得 AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆
可得 (AB)* B* A* .
二、 选择题
1．设 A 是 n 阶对称矩阵， B 是 n 阶反对称矩阵 (BT B) , 则下列矩阵中为反对称矩阵的
2
0
.
1
,.
44 1
1230.
因此（ A），（ B）中向量组均为线性相关的，而（ D）显然为线性相关的，因此答案为
（C）. 由
可得 1 , 2 , 3 , 4 均为 A* x 0 的解 . 10. 设 A 是 n 阶矩阵， A 适合下列条件（ C ）时， I n A 必是可逆矩阵
(A) An A
(B)
5设
D）
(A)
(A B) 2 A2 2 AB B2 (B)
A2 B2 ( A B)( A B)
(C) ( AB) 2 A2 B2 (D)
A2 E 2 ( A E)( A E)
6．下列命题正确的是（ B ） .
(A) 若 AB AC，则 B C
(B) 若 AB AC，且 A 0，则 B C
(C) 若 AB AC ，且 A 0 ，则 B C (D) 若 AB AC ，且 B 0, C 0 ，则 B C
A 是可逆矩阵 (C)
An 0
(B) A 主对角线上的元素全为零 11 ． n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）
(A)A 1(B)A 0(C) A AT(D) 12 ． A, B,C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（
A0 A）
(A) 若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA
4. 设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB 0 ，则 A, B 的秩一个等于 n ，一个小于 n .
错.由 AB 0可得 r ( A) r ( B) n . 若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两 个都是非零矩阵矛盾 . 只可能两个秩都小于 n .
5． A, B,C 为 n 阶方阵，若 AB AC, 则 B C.
是（B ）.
(A) AB BA (B) AB BA (C) ( AB) 2 (D)
BAB
(A)(D) 为对称矩阵，（B）为反对称矩阵，（ C）当 A, B 可交换时为对称矩阵 .
2. 设 A 是任意一个 n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵 .
(A) AT A (B)
A AT (C)
A2 (D)
AT A
7． n 阶矩阵 A 可逆，则 A * 也可逆 .
正确.由 A 可逆可得 | A | 0 ，又 AA* A * A |A|E . 因此 A * 也可逆，且 ( A*) 1 1 A .
|A|
8．设 A, B 为 n 阶可逆矩阵，则 ( AB)* B* A*.
正确 . (AB )( AB)* |AB|E |A||B|E.又