(信息学奥赛辅导)排列和组合基础知识
排列与组合的基本概念知识点总结
排列与组合的基本概念知识点总结在数学中，排列与组合是一种常见且重要的概念，用于解决计数问题。
它们在组合数学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。
本文将对排列与组合的基本概念进行总结。
一、排列排列是指从给定的对象中选取一部分对象，按照一定的顺序进行排列的过程。
常用的符号表示为P。
排列根据是否考虑顺序的不同又可分为两类：有重复排列和无重复排列。
1. 无重复排列无重复排列是指从不同的对象中选取一部分对象，按照一定的顺序进行排列的过程。
对于n个不同的对象，如果要选取r个对象进行排列，则无重复排列数记为P(n, r)。
其计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1。
2. 有重复排列有重复排列是指从给定的对象中选取一部分对象，重复选取某些对象，并按照一定的顺序进行排列的过程。
对于n个对象中，其中p1个对象相同，p2个对象相同，……，pk个对象相同，选取r个对象进行排列的过程，有重复排列数记为P(n; p1, p2, ..., pk)，其计算公式为：P(n; p1, p2, ..., pk) = n! / (p1! × p2! × ... × pk!)二、组合组合是指从给定的对象中选取一部分对象，不考虑顺序进行组合的过程。
常用的符号表示为C。
组合根据是否考虑选取对象的不同又可分为两类：有重复组合和无重复组合。
1. 无重复组合无重复组合是指从n个不同的对象中选取r个对象进行组合的过程。
无重复组合数记为C(n, r)。
其计算公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)2. 有重复组合有重复组合是指从给定的对象中选取一部分对象，重复选取某些对象，不考虑顺序进行组合的过程。
其中p1个对象相同，p2个对象相同，……，pk个对象相同，选取r个对象进行组合的过程，有重复组合数记为C(n + r -1; p1, p2, ..., pk)，其计算公式为：C(n + r -1; p1, p2, ..., pk) = (n + r -1)! / (r! × p1! × p2! × ... × pk!)三、排列与组合的应用排列与组合在实际生活中有着广泛的应用。
排列与组合知识讲解
排列与组合知识讲解排列与组合是概率论中的一个重要概念，用于描述集合中元素的不同排列方式和组合方式。
在数学中，排列和组合是两种基本的计数方法，它们在解决概率和组合问题时起着至关重要的作用。
首先，让我们来了解一下排列和组合的概念。
排列是指从给定的元素集合中取出一部分元素，按照一定的顺序排列的方式。
而组合是指从给定的元素集合中取出一部分元素，不考虑元素的排列顺序。
简而言之，排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
接下来，让我们分别来看一下排列和组合的计算公式。
排列的计算公式为P(n, k) = n! / (n-k)!，其中n表示元素的总数，k表示取出的元素的个数。
组合的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中n和k的含义同排列的计算公式。
举个例子来说明排列和组合的计算方法。
假设有5个不同的球，要从中选出3个球排成一列，这就是一个排列问题。
根据排列的计算公式，我们可以得到排列的结果为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 60。
也就是说，有60种不同的排列方式。
如果是组合问题，要从5个不同的球中选出3个球，不考虑排列顺序，这就是一个组合问题。
根据组合的计算公式，我们可以得到组合的结果为C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10。
也就是说，有10种不同的组合方式。
排列和组合的应用非常广泛，特别是在概率论和组合数学中。
在解决排列和组合问题时，需要根据具体情况选择合适的计算方法，正确应用排列和组合的计算公式。
排列和组合的概念和计算方法，不仅在数学中有重要的意义，也在实际生活中有着广泛的应用，是我们理解和解决各种概率和组合问题的基础。
排列与组合知识点资料
排列与组合知识点资料一、排列的重点名词术语1、什么是排列？排列就是从指定数量的元素中取出确定个数的元素进行有序的排列。
2、什么是全排列？它的定义是，把n个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做n个不同元素的全排列。
它的计算公式是:pⅴn]=n(n-1)(n-2)…3.2.1注意:右边是前个n个自然数的连乘积，用符号n！表示，读作n 的阶乘。
公式(P)可以写成Pⅴn]=n！例如计算:Pv5解:Pv5]=1ⅹ2x3x4ⅹ5=120由此我们总结出阶乘的定义:自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用符号n！表示。
3、什么叫做选排列？它的定义是:从m个不同的元素中，每次取出n(n<m)个不同的元素，按着一定的顺序排成一列叫做从m个不同的元素中每次取n个不同元素的选排列。
注意:所有不同的选排列的种数用符号Avm.n表示例如Av3.6]=6，注意它的操作法则mn都是正整数，且m>n它的计算公式:Aⅴm.n]=m(m-1)(m-2)…(m-n+1)应用阶乘符号:公式A可以写成:Aⅴm.n]=m！/(m-n)！计算Av7.4]=7x6ⅹ5ⅹ4=840二、组合的重点名词述语1、什么是组合？组合是从给定的数量中取出确定个数的元素进行组合，但是不用考虑它的排序。
它的计算公式Avm.n]=(Cvm.n)(pvn)计算组合种数的公式:Cvm.n]=m！/n！(m-n)！计算组合数:Cv15.2]=15x14/1x2)=1052、重点提示操作法则(1)、按公式当n=m时Cvm.m]=m！/m！0！因为Cvm.m]=1，为了使公式当n=m时也成立，所以我们规定:0！=1。
(2)、当n=0时，按公式Cm.0]=m！/0！m！]=1因此规定:Cvm.0]=1三、几个重点名词述语1、排列组合是研究什么问题的？排列组合的中心问题，是研究给定要求的排列与组合，可能出现的总数。
另外排列组合与古典概率有密切的关系。
2、排列组合的定理加法原理，乘法原理，这两个原理，如果是贯穿始终的法则与序无关是组合。
数学中的排列与组合知识点总结
数学中的排列与组合知识点总结在数学中，排列和组合是两个重要的概念。
它们在各个领域都有广泛的应用，特别是在概率论、统计学和组合数学中。
本文将对排列和组合的概念、性质和应用进行总结。
一、排列的概念与性质排列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素，则从中选取m个元素进行排列的方式记为P(n, m)。
排列的计算公式为：P(n, m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
排列的性质如下：1. 排列数P(n, m)满足如下关系：P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有P(n, n) = n!，即n个元素的全排列数为n 的阶乘。
3. 当m>n时，P(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行排列。
4. 当m=0时，P(n, m) = 1，即不取任何元素进行排列时，排列数为1。
二、组合的概念与性质组合是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，而不考虑元素的顺序。
设有n个元素，则从中选取m个元素进行组合的方式记为C(n, m)。
组合的计算公式为：C(n, m) = n!/(m!(n-m)! )组合的性质如下：1. 组合数C(n, m)满足如下关系：C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有C(n, 0) = C(n, n) = 1，即不取任何元素或者取出全部元素的组合数为1。
3. 当m>n时，C(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行组合。
4. 组合数C(n, m)与排列数P(n, m)之间存在以下关系：C(n, m) = P(n, m)/m!三、排列与组合的应用1. 概率计算：排列和组合在概率计算中有广泛的应用。
排列与组合
解 (1)方法一 (元素分析法) 先排甲有 6 种，其余有 A88种， 故共有 6·A88＝241 920(种)排法． 方法二 (位置分析法) 中间和两端有 A38种排法，包括甲在内的其余 6 人有 A66种排法， 故共有 A83·A66＝336×720＝241 920(种)排法． 方法三 (等机会法) 9 个人的全排列数有 A99种，甲排在每一个位置的机会都是 均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是 A99×69＝ 241 920(种)．
[6 分]
(4)有序均匀分组问题．在(3)的基础上再分配给 3 个人，
共有分配方式C26AC2433C22·A33＝C26C42C22＝90(种)．
[8 分]
(5)无序部分均匀分组问题．共有C46AC2122C11＝15(种)． [10 分]
(6)有序部分均匀分组问题． 在(5)的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式C46CA1222C11·A33＝
排列与组合旳综合应用
例 3 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ (3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？
把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空． 解 (1)为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取 出去一个，问题转化为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放 入球，共有几种放法？”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组，然后 再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒 子内，由分步计数原理，共有 C41C24C31×A22＝144(种)．
排列问题
例 1 有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，问下列情形各 有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间．
排列组合基础知识点
排列组合基础知识点排列组合是组合数学的重要组成部分，它研究的是如何根据特定的规则从一个集合中选择或排列对象。
它不仅在数学中有广泛的应用，在计算机科学、统计学、金融学等领域也扮演着重要角色。
本篇文章将详细介绍排列组合的基础知识，包括其定义、性质，以及相关的公式和应用示例。
一、排列的概念排列是指从n个不同元素中，按照一定的顺序取出r个元素，所形成的不同序列。
排列强调顺序，因此a和b的排列与b和a是不同的。
排列的公式为：[ A(n, r) = ]其中，n!（n的阶乘）表示从1到n所有整数的乘积。
1. 阶乘的定义阶乘是一个自然数n的连续乘积，记作n!，其定义为：n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1，当n ≥ 1;0! = 1。
2. 排列示例设有5种不同颜色的球（红、蓝、绿、黄、白），要从中选取3种颜色并进行排列。
根据排列公式，计算方法如下：[ A(5, 3) = = = = 60 ]此时，我们可以得出60种不同的颜色排列方式，例如（红、蓝、绿）、（蓝、绿、黄）等。
二、组合的概念组合是从n个不同元素中，选择r个元素而不考虑顺序的方法。
组合只关注所选元素，不关心它们的排列顺序。
例如，从a、b、c三种元素中选出两种元素，组合为(ab, ac, bc)。
组合的公式为：[ C(n, r) = ]1. 组合示例继续使用上面的例子，即有5种颜色的球，从中选择3种颜色组合。
根据组合公式进行计算：[ C(5, 3) = = = = 10 ]此时，可以得出10种颜色组合方式，如（红、蓝、绿）、（红、蓝、黄）等。
三、排列与组合之间的联系与区别虽然排列和组合都是从一个集合中选择元素，但它们有本质上的区别。
顺序：排列关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为两种不同情况。
组合不关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为相同情况。
计算方法：排列使用的是A(n, r)公式。
最不枯燥的排列组合学习!（信息学奥赛基础）
最不枯燥的排列组合学习!（信息学奥赛基础）组合数学>最不枯燥的排列组合学习！尽管我在认真，刷题速度和学习进度还是要被大佬们甩好几条街……忙着刷题后期肯定没办法写总结，就只好一边学习一边填坑啦啦啦。
^上面的都是废话^—————————————————————————————一、什么是组合数学（完全没用，建议跳）对于很多计数类问题，由于方案数过于巨大，我们无法用搜索的方式来解决问题因此我们需要对计数类问题进行一些优化这些优化就是组合数学研究的内容：（没错就是研究计数类问题）————————————————————二、基本原理加法原理：如果完成一件事有两类方法，第一类方法有m1种方案，第二类方法有m2种方案，那么完成这件事有m1+m2种方案将方案分类，类类相加，并且要不重不漏乘法原理：如果完成一件事有两步，第一步有m1种方案，第二步方法有m2种方案，那么完成这件事有m1*m2种方案将方案分步，步步相乘。
（这两种原理都好说，稍加理解立即明白，以下的知识几乎都要基于这两种原理咕～）三、排列与组合：（弱小的主角）排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个数中取出m个数进行排列的方案数用符号A(nm)表示公式：A(nm)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)=n!/(n-m)!（自己理解：第一个数字有n种选择，第二个数字有（n-1）中选择，以此类推，然后相乘）组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数从n个数中取出m个数的方案数用符号C(nm)表示公式：C(nm)=A(nm)/A(mm)=n!/(m!(n-m)!)（自己理解：每一种组合有A（m，m）种排列，所以每一种组合被这A（m，m）中排列算重了A（m，m）次，除掉就好啦）四、定理一箩筐（这东西才是组合数学（死亡）的真谛啊）欧几里得算法：这东西好说。
组合和排列知识点总结
组合和排列知识点总结1. 组合和排列的定义组合和排列是两种基本的组合数学概念，它们都与集合相关。
在数学中，集合是由一些互不相同的对象组成的整体，而排列和组合则是从一个给定的集合中选取一定数量的对象并按照一定的规则进行排列或组合。
排列是指从一个集合中取出一定数量的对象，并按照一定的顺序进行排列，即排列是有序的。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，符合条件的排列个数称为排列数。
通常用P(n, m)表示排列数。
组合是指从一个集合中取出一定数量的对象，但不考虑其排列顺序，即组合是无序的。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，符合条件的组合个数称为组合数。
通常用C(n, m)表示组合数。
2. 排列的性质排列具有一些基本的性质，这些性质在排列的计算中具有重要的意义。
（1）排列的计算公式在排列中，通过一个简单的计算公式可以求出排列数。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，则排列数可以用以下公式计算：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
（2）排列的性质排列具有如下的性质：- P(n, m) = n × (n-1) × … × (n-m+1)- P(n, n) = n!3. 组合的性质组合也具有一些基本的性质，这些性质在组合的计算中同样具有重要的意义。
（1）组合的计算公式在组合中，同样可以通过一个简单的计算公式求出组合数。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，组合数可以用以下公式计算：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]（2）组合的性质组合具有如下的性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, 1) = n- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4. 组合和排列的应用组合和排列在实际中有着广泛的应用，它们在数学、计算机科学、统计学等领域都有着重要的作用。
组合与排列的基本概念与计算方法
组合与排列的基本概念与计算方法组合与排列是数学中常见的概念和计算方法，广泛应用于各个领域，如概率统计、组合数学、计算机信息处理等。
在本文中，我们将介绍组合与排列的基本概念，并详细讲解它们的计算方法。
一、基本概念1. 组合组合是从给定的n个元素中取r个元素，不考虑其顺序的方式。
通常用C(n,r)表示，其中n为元素总数，r为需要取出的元素个数。
组合的计算公式为：C(n,r) = n!/[(n-r)!r!]2. 排列排列是从给定的n个元素中取r个元素，并考虑其顺序的方式。
通常用P(n,r)表示，其中n为元素总数，r为需要取出的元素个数。
排列的计算公式为：P(n,r) = n!/(n-r)!二、组合的计算方法组合是不考虑元素顺序的取法，我们可以用以下两种方法来计算组合数：1. 公式计算法根据组合的计算公式，我们可以直接计算出组合数。
例如，计算C(6,3) = 6!/[3!(6-3)!]，即6*5*4/(3*2*1)，最终结果为20。
2. 杨辉三角形法杨辉三角形是由1开始逐行构造的一种特殊的数字三角形。
对于组合数的计算，我们可以利用杨辉三角形来简化计算。
例如，当我们需要计算C(6,3)时，可以在杨辉三角形的第6行第3个数上找到结果，即20。
三、排列的计算方法排列是考虑元素顺序的取法，我们可以用以下两种方法来计算排列数：1. 公式计算法根据排列的计算公式，我们可以直接计算出排列数。
例如，计算P(6,3) = 6!/(6-3)!，即6*5*4，最终结果为120。
2. 递归计算法排列数还可以通过递归的方式来计算。
例如，需要计算n个元素的全排列，可以将问题分解为每次将第一个数字与剩余的n-1个元素进行排列，然后将第二个数字与剩余的n-2个元素进行排列，依次类推，直到最后一个数字与剩余的1个元素进行排列。
通过递归计算，我们可以得到全排列的结果。
综上所述，组合与排列是数学中常见的概念与计算方法。
组合是从给定元素中取出一定数量元素并不考虑其顺序，而排列是考虑元素顺序的取法。
排列与组合知识讲解
排列与组合是数学中的基本概念，尤其在概率论、统计学和离散数学等领域中有着重要的应用。
以下是关于排列与组合知识的详细讲解：一、基本概念排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列的个数用符号Pₙₙ或P(n,m)表示。
例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行排列，可能的排列有：12、13、21、23、31、32，共6种。
因此，P₃₂= 6。
组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合的个数用符号Cₙₙ或C(n,m)表示。
例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行组合，可能的组合有：12、13、21、23、31、32，但由于组合不考虑顺序，所以这6种排列被视为同一种组合。
因此，C₃₂= 1。
二、计算公式排列的计算公式：Pₙₙ= n! / (n-m)!，其中“!”表示阶乘，即n! = n ×(n-1) ×(n-2) × ... ×3 ×2 ×1。
例如，P₄₂= 4! / (4-2)! = (4×3×2×1) / (2×1) = 12。
组合的计算公式：Cₙₙ= n! / [m!(n-m)!]。
这个公式也可以理解为从n个不同元素中取出m个元素的排列数除以m个元素的排列数。
例如，C₄₂= 4! / [2!(4-2)!] = (4×3×2×1) / (2×1) / (2×1) = 6。
三、排列与组合的关系排列和组合之间存在密切的关系。
对于从n个不同元素中取出m个元素的情况，排列数Pₙₙ和组合数Cₙₙ之间的关系为：Pₙₙ= m ×Cₙₙ。
这意味着从n个不同元素中取出m个元素的排列数等于从n个不同元素中取出m个元素的组合数乘以m。
排列与组合知识点
排列与组合一、两个基本计数原理：（排列与组合的基础）1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.二、排列与组合（1）排列定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；排列数用符号mn A 表示对排列定义的理解：1、定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。
因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列”2、相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。
若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。
比如abc 与acb 是两个不同的排列 描述排列的基本方法：树状图 排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-⋅⋅⋅--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n n ，并规定1!0=。
全排列数公式可写成!n A n n =.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅--=（主要用于化简、证明等） 排列应用题的主要解题方法有：直接法、间接法（排除法）、优先法、捆绑法、插空法、定序问题除法处理1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算2、间接法（排除法）：先不考虑题目中的限制条件，求出所有的排列数，然后从中减去不符合条件的排列数，从而得到所求的排列数。
排列与组合问题的常用方法
排列与组合问题的常用方法排列与组合是组合数学中的两个重要概念。
它们在概率论、统计学、计算机科学、组合优化等领域中有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本概念、常用方法和应用。
一、排列排列是指从一组元素中按照一定的顺序选择若干元素的方式。
假设有n个元素，要求从中选择m个元素，且要按照一定的顺序排列。
则这样的选择方式叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用P(n, m)表示。
1.全排列全排列是指对n个元素进行排列，将它们按照不同的顺序排列的方法总数。
全排列的个数为n!（n的阶乘）。
2.有重复元素的排列当n个元素中有重复元素时，全排列的个数存在重复。
此时，需要除以重复元素的个数来去除重复的排列。
3.部分元素排列有时候，从n个元素中选择r个元素进行排列，即P(n, r)，其中r小于n。
这时，排列的个数为n*(n-1)*...*(n-r+1)，即n的降序排列的前r项的乘积。
二、组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，不考虑其顺序。
假设有n个元素，要求从中选择m个元素，但不考虑它们的顺序。
则这样的选择方式叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C(n, m)表示。
1.递推公式组合数满足以下递推公式：C(n,m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)，其中C(n, 0) = C(n, n) = 1。
2.全组合全组合是指从n个元素中选择0个、1个、2个......直到n个元素进行组合的方法总数。
全组合的个数为2^n。
3.有重复元素的组合当n个元素中有k个重复元素时，组合的个数存在重复现象。
此时，可以引入多重组合数的概念，表示从n个元素中选择m个元素的组合个数，但是允许每个元素选择的次数有上限。
多重组合数的计算可以通过动态规划等方法进行。
三、常用方法1.迭代法排列与组合问题可以通过迭代的方法求解。
可以使用递归或循环的方式进行迭代，根据问题的要求和具体情况选择合适的方法。
2.数学公式有时候，排列与组合问题可以通过数学公式进行求解。
第一讲 排列与组合
第一讲 排列与组合【基础知识】1）排列：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序(或不同的位置)排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．注意：排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素（不重复取）”；二是“选出的元素与顺序有关”2）从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数． 3) 排列数公式： 4) 全排列5）一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．6）排列与组合的共同点与不同点共同点:都要“从n 个不同元素中任取m 个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．排列与元素的顺序有关，而 7）组合数公式8）组合数的性质【典型例题】一、两个基本原理例1．由数字1,2,3,4（1） 可以组成多少个3位数；（2） 可组成多少个没有重复数字的三位数；（3） 可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字。
例2.用5种不同的颜色给途中A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？),(,*N n m n m A m n ∈≤、记为：)!(!)1()2)(1(n m n m m n n n n A m -=+---= 12)1(n ⋅-= n n A n m n n m n C C -=11-++=m nm n m n C C C 10=n C变式训练1：1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方式的种数为多少？五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），获得冠军的可能性有多少种？2. 将3种作物种植在如右图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方式有多少种？3. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方式有多少种？4. 如图，一个环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为多少种？5. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144二．排列与组合例3.甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排列种数.(1) 甲不排在头、乙不在排尾；(2) 甲不在第一位，乙不在第二位，丙不在第三位，丁不在第四位；(3) 甲一定在乙的右端（可以不邻）.例4. 由数字0,1,2,3,4,5可组成（各位上的数字不允许重复）（1）多少个6位数；（2）多少个6位偶数；（3）多少个被5整除的五位数.变式训练2：1. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览。
(信息学奥赛辅导)排列和组合基础知识
排列与组合基础知识有关排列与组合的基本理论和公式：加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类中办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同方法。
那么完成这件事共有N＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法，这一原理叫做加法原理。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n种不同的方法，这一原理叫做乘法原理。
公式：阶乘公式!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅，规定0！＝1；全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =---+=-、m m m n n m P C P = 圆排列：n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列，则排列数为：!(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()!m mn n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-、规定01n C = m n m n n C C -=、11m m m n n n C C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++=）提示：（1）全排列问题和选排列问题，都可根据乘法原理推导出来。
（2）书写方式：r n P 记为P （n,r ）；rn C 记为C （n,r ）。
加法原理例题：图1中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4＋2＋3＝9）乘法原理例题：图2中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4×6＝24）加法原理与乘法原理综合：图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法？（答案：28、42） A B 图1 A B图2A B 图3 A B图4注意：在信息学奥赛中，有许多只需计数而不需具体方案的问题，都可以通过思维转换或方法转换，最后变为两类问题：一类是转变为排列组合问题，另一类是转变为递推公式问题。
NOIP数学--排列组合
因此：不可能出现i<j<k,aJ<ak<ai的情况
栈模型算法
算法先产生1-n共n个数的全排列，对于每种排列， 若符合前面所讲的出栈规则，那么这个排列便是一个 可能的出栈序列。计数器加1，当n个全排列列举结束 时，得到问题的解。
递归算法
令f（m,n）表示m个人手持50的钞票。N个人手持 100的钞票时总共的方案数。
i个位置的数。 函数done(i)执行时，首先判断j是否在该排列以前
的几个位置上出现过，若出现则说明j不可能出现在当 前位置上，此时j值增1重复以上判断，j=n时回溯；若 j没有在该排列以前的位置上出现，则该位置上的值就 是j，后判断递归的层数i与r的值是否相等。若i=r，输 出一个新的排列并回溯。若i<r,则继续进行递归。
解题思路： 左→右 4步 下→上 3步 无论怎么选择均为右4+上3。 0—向右走1—向上走 所以可以走法可以看作由01组 成的字符串 即所求方案数为4个0和3个1组成的 7位字符串的个数。 C(7,4)=?
排列组合生成算法
R-排列生成算法： 采用回溯法生成从n中选r个元素的所有排列情况： n个元素用1，2，…，n来表示 函数done递归的层数i表示当前正在生成排列中第
f(1,2)0 f(2,1)2 f(1,2) 0 f(2,1)2
我们发现f（3，2）等节点有重复计算，课件递归算法产生大量的数据冗余， 这些冗余数据是限制递归算法的主要因素，从而导致了模型3虽进行了数学抽象， 但是算法实现起来的效率并不高。如何解决呢？计算中保留数值---采用递推法保 证同一个数据只计算一次。
错位排列生成算法
排列与组合的初步认识
排列与组合的初步认识排列与组合是数学中的重要概念，它们在很多领域都有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本概念、性质以及它们的实际应用。
一、排列的概念排列是指将一组元素按照一定的顺序排列的方式。
假设有n个元素，从中选取r个元素进行排列，所得到的排列数表示为P(n,r)。
排列的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)! ，其中n!表示n的阶乘。
二、组合的概念组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑其顺序的方式。
假设有n个元素，从中选取r个元素进行组合，所得到的组合数表示为C(n,r)。
组合的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) 。
三、排列与组合的性质1. 如果n和r满足n≥r≥0，则有P(n,r) ≥ C(n,r)。
2. 当r=0时，排列数和组合数都为1。
3. 当r=n时，排列数和组合数相等，即P(n,n) = C(n,n) = 1。
4. 当r=1时，排列数和组合数相等，即P(n,1) = C(n,1) = n。
四、排列与组合的应用排列与组合在实际问题中有很多应用，例如：1. 抽奖活动中的中奖概率计算，可以利用组合的概念来求解。
2. 在密码学中，排列与组合用于计算密码的破解概率。
3. 在计算机科学中，排列与组合的知识被广泛应用于算法设计和优化。
4. 在经济学中，排列与组合用于市场营销的目标客户定位和推荐算法的设计。
总结：排列与组合是数学中的基础概念，通过对元素的排列或组合，可以解决很多实际问题。
排列与组合的计算公式和性质是理解和应用相关问题的基础。
在不同领域中，排列与组合的应用几乎无所不在，展现了其重要性和广泛性。
本文对排列与组合的初步认识进行了介绍，希望读者能更好地理解和应用这些概念，进一步挖掘它们在不同领域中的应用价值。
通过深入学习排列与组合的知识，我们可以更好地解决实际问题，提高数学思维和解决实际问题的能力。
组合与排列 知识介绍
组合与排列有什么分别？我们在使用 "组合" 这个词时，通常都不会讲究物件的次序。
换句话说："我的水果沙拉是苹果、葡萄和香蕉的组合" 我们并不理会水果的次序，我们可以说："香蕉、葡萄和苹果" 或 "葡萄、苹果和香蕉"。
都是同样的水果沙拉。
"保险箱的密码是 472"。
这个数字组合的次序就重要了。
"724" 打不开保险箱。
"247" 也不行。
一定要是 4-7-2。
因此，在数学中我们用精确的语言：如果次序不重要，就叫组合。
如果次序重要就叫排列。
比较精确的名字应该是 "排列锁"！换句话说：排列是有序的组合。
记住：要 "排" 列就需要次序，不然堆成一 "组" 就可以了……排列有两种基本排列：可重复：像暗码锁的暗码。
暗码可以是 "333"。
不可重复：例如赛跑的首三名。
一个人不能同时是第一名和第二名。
一、重复排列这是最容易计算的。
当一个东西有 n个不同类型时 …… 我们每次就有 n 个选择！例如：选 3个，排列是：n × n × n（n 自乘 3次）一般来说：从有 n个不同类型的东西里选 r个的排列是：n × n × ...（r次）（换句话说，选第一个时有 n个可能，然后选第二个时也有 n个可能，依此类推，每次乘以 n。
）用 r 的指数来写比较简单：n × n × …… （r次） = n r例子：暗码锁的暗码有三个数字，每个数字可以是（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）里的其中一个：10 × 10 × … （3次） = 103 = 1,000个排列公式就是：n r其中 n 是被选择的东西的个数，而我们要选 r次（可以重复，次序重要）二、不重复排列在这个情况下，每选一个后我们就要把选择的可能减少一个。
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排列与组合基础知识有关排列与组合的基本理论和公式：加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类中办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同方法。
那么完成这件事共有N＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法，这一原理叫做加法原理。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n种不同的方法，这一原理叫做乘法原理。
公式：阶乘公式!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅，规定0！＝1；全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =---+=-、m m m n n m P C P = 圆排列：n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列，则排列数为：!(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()!m mn n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-、规定01n C = m n m n n C C -=、11m m m n n n C C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++=）提示：（1）全排列问题和选排列问题，都可根据乘法原理推导出来。
（2）书写方式：r n P 记为P （n,r ）；rn C 记为C （n,r ）。
加法原理例题：图1中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4＋2＋3＝9）乘法原理例题：图2中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4×6＝24）加法原理与乘法原理综合：图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法？（答案：28、42） A B 图1 A B图2A B 图3 A B图4注意：在信息学奥赛中，有许多只需计数而不需具体方案的问题，都可以通过思维转换或方法转换，最后变为两类问题：一类是转变为排列组合问题，另一类是转变为递推公式问题。
因此对于加法原理、乘法原理、排列、组合等知识，需要非常熟练，以达到简化问题的目的。
加法原理、乘法原理、排列、组合例题：1. （1）用数字0、1、2、3能组成多少个三位数？（2）要求数字不能重复，又能组成多少个三位数？（提示：（1）先确定百位数，只能是1、2、3之间的数字；再确定十位数，可以为0、1、2、3任何一个；最后确定个位数，可以为0、1、2、3任何一个。
根据乘法原理，共有3×4×4＝48个。
（2）同理，先确定百位数、再确定十位数、最后确定个位数，根据乘法原理，共有3×3×2个）2. 国际会议洽谈贸易，有5家英国公司，6家日本公司，8家中国公司，彼此都希望与异国的每个公司单独洽谈一次，问需要安排多少个会谈场次？（提示：共分为中英、中日、英日会谈三类，对于中英会谈，先选定中方公司有8种选法，在选定英方公司有5种选法，故根据乘法原理有5×8：同理中日8×6；英日5×6；总的会谈：118）3. 有编号为1、2、3、4、5的五本书需要摆放在书架上，问有多少种不同的摆放方案数。
（提示：此题为全排列，故摆放方案总数为P(5,5)=5!=120种。
也可以按乘法原理思考，即摆放第一本书有5种选择，摆放第二本数有4种选择，……，最后结果为5×4×3×2×1即5！）4. 有编号为1、2、3、4、5的五本书需要任选3本书摆放在书架上，问有多少种不同方案。
（提示：可根据选排列公式计算，总数为P(5,3)。
也可以根据乘法原理计算，答案为5×4×3＝60）5. 有编号为1、2、3、4、5的五本书需要任选3本书，问有多少种方法。
（提示：此题为组合问题，答案为355433!C ⨯⨯=＝10） 6. 五种不同颜色的珠子串成一圈项链，问有多少种不同的方法。
（提示：此题属于圆排列问题，答案为（5－1）！＝24）7. 把两个红色球、两个蓝色球、三个黄色球摆放在球架上，问有多少种方案。
（提示：此题为排列问题。
摆放方案总数为（2＋2＋3）！种，但是两个红球一样，所以要除以2！，同理两个蓝球，除以2！，三个黄球，除以3！，即摆放方案总数为(223)!2102!2!3!++=⨯⨯） 8. 有男女各5人，其中3对是夫妻，他们坐成一排，若每对夫妻必须相邻而坐，问有多少种方法？（提示：因为3对夫妻必须相邻而坐，因此可以将每对夫妻看为一个整体进行排列，这样排列总数为（7!）种方法，又因为每对夫妻可以可以左右调换位置，因此总的方案为（7！×2×2×2））9. （1）把3个相同的球放到4个不同颜色的盒子中去，问有多少种方法？（2）把4个相同的球放到3个不同颜色的盒子中去，问有多少种方法？（3）推广开来，把R 个相同的球放到N 个不同颜色的盒子中去，问有多少种方法？（提示：这是允许重复组合的典型模型。
）（解答（1）：3个球放入4个不同颜色盒子的分法共有3、0、0、0；1、2、0、0；1、1、1、0三类；对于第一类3、0、0、0的方法，共有44P 种方法，但是有3个0是一样的，所以应该除以33P ，即第一类分法的方法数为4343/P P 种，同理，第二种分法的方法数为4242/P P ，第三种分法的方法数为4343/P P ，所以总共的方法数为（4343/P P ＋4242/P P ＋4343/P P ）种。
解答（2）自行求解。
解答（3）：这一类问题，我们称为重复组合问题，其求解公式为C （n+r-1,r ）。
请记住该公式即可。
） 排列组合练习习题：1. 有5本日文书、7本英文书、10本中文书。
问（1）从中任取2本书有多少种方案？（2）从中取2本相同文字的书有多少种方案？（3）从中取2本不同文字的书有多少种方案？（提示：此题为组合问题。
答案分别为：25710C ++、2225710C C C ++、222257105710()C C C C ++-++）2. 把八个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃（即在任何一行、任何一列都只有一个“车”），那么称八个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态？（提示：乘法原理。
先在第一行放置一个“车”，有8种选法，再在第二行放置一个“车”，还有7种选法，同理……，总共有8×7×…×2×1，即8！种不同的安全状态。
）3. 从1～300之间任取3个不同的数，使得这3个数的和正好被3除尽，问有多少种方案？（提示：1～300之间的数被3除的余数共有三类，分别是余数为0、余数为1、余数为2，每类各100个数。
任取3个数且这3个数相加的和正好被3除尽的情况只能是以下四种情况之一：余数为0＋1＋2；0＋0＋0；1＋1＋1；2＋2＋2。
再根据乘法原理和加法原理即可求解。
答案为：100×100×100＋100×99×98＋100×99×98＋100×99×98）4. 5对夫妇围绕圆桌坐下吃饭，共有多少种方案？如果要求夫妇必须坐在一起，又有多少种方案？（提示：此题为圆排列问题。
第一问的答案为（10－1）！。
对于第二问，因为夫妇必须坐在一起，因此可以将每对夫妇看为一个整体先行进行圆排列，排列方案为（5－1）！，又因为每对夫妇可以左右交换位置，因此总的排列方案为（5－1）！×2×2×2×2×2。
）5. N 个男同学和N 个女同学围绕圆桌坐下，要求男女必须交替就座，问共有多少种就座方法？（提示：先经这N 个男同学进行圆排列，方案为（N －1）！，然后每个女同学依次坐入到两个男同学中间，第一个女同学有N 个位置可以选，第二个女同学有N －1个位置可以选，依此类推。
根据乘法原理，所有的就座方案为（N －1）！×N ！）6. 8人站成一排排队，如果其中的甲和乙两人要求一定站在一起，问有多少种排队方法？如果甲和乙两人要求一定不站在一起，又有多少种方法？（提示：第一问中，甲和乙一定站在一起，因此可以先将此二人看为一个整体，则排队方法为7！，又因为甲和乙可以交换位置，因此总的方案为7！×2。
对于第二问，则用8个人的总排队方案数减去甲和乙站在一起的方案数即可，答案为8！－7！×2。
）7. 有N 个男同学和M 个女同学站成一排，其中这M 个女同学要求站在一起，问共有多少种排队方法？（提示：排列问题＋乘法原理。
分两步：第一，先将这M 个女同学看成一个整体排列；第二，再将这M 个女同学再排列。
然后根据乘法原理即可求得。
答案为：（N ＋1）！×M ！）8. 一个长度为N ＋M 个字符的01字符串，问其中有N 个1的字符串有多少个？（提示：组合问题。
现有N ＋M 个字符，如果把1看作取字符，把0看作不取字符，那么其中有N个1的字符串即相当于从N ＋M 个字符中，任取N 个字符的组合。
答案为：C （N ＋M ，N ））9. 一个N*M （N 表示行，M 表示列）的网格，从左上角（1，1）点开始走到右下角（N ，M ）点，每次只能向右或者向下走，问有多少种不同的路径。
（方法一：从（1，1）点走到（N，M）点，无论如何走一共都要走（N－1）＋（M－1）步，其中N－1步向右走，M－1步向下Array走，因为只有两种走法，不妨用二进制表示走路方式，1表示向右走，0表示向下走。
则可用一个长度为（N＋M－2）的二进制串来表示走路方法，其中如果出现了N－1个1，则表示找到了一种路径。
从而把题目转化为求长度为N＋M－2的2进制串中有N－1个1的个数，即求组合数学公式C（N＋M－2，N－1）的值。
方法二：对本题稍加分析就能发现，要到达棋盘上的某个点，只能从该点的上边过来，或者从该点的左边过来，根据加法原理，要到达该点的路径数目，就等于到达该点上点的路径与该点左点的路径数目之和，因此我们可以按照逐行递推的方法求出从起点到终点的路径数目。
初始化，左上角第一个元素值为1，其它点的值为上点与左点的和。
）对于如右图的网格，用方法一的答案为C（4＋3，3）＝35；用方法二逐行递推的方法得到网格上的数字，最后答案也为35。
比较两种方法，当数据较小时，采用公式一比较直接，但如果数据较大时，公式一的乘法运算量较大，这时可考虑用方法二逐行递推求得答案。
10.在上题中，若规定N<M，行走方向仍然只能是向右或者向下行走，并且要求所经过的每一个点的坐标(a,b)恒满足a<b的关系（a为行坐标，b为列坐标），问有多少条路径？（测试数据：N＝4，M＝5；答案：）11.在上上题中，如果其中有X个点设置有障碍而无法通过，问有多少条路径？其中X的值以及这X个点的坐标由键盘输入。