2020年浙江大学自主招生真题
2020年浙江省新高考改革单独考试招生文化考试数学试题(含参考答案)
A.0
B.√2
C.2
6.直线 x = √3的倾斜角为（ ）
D. 2√2
A.0°
B.30°
C. 60°
7.角 α 的终边上有一点 P（12，-5）则 sinα =（ ）
D. 90°
A.- 5
12
5 B.
12
5 C.
13
8.双曲线 x2 − y2 = 1 与直线 x - y = 1 交点的个数为（ ）
D. - 5
A.-2
B.-1Βιβλιοθήκη C.1D.220.设直线 y = x + m 与曲线 x2 + y2 = 1（x≥0）有公共点，则实数 m 的取值范围是 （ ）
A.[-√2 ， √2]
B.[ -1 ， 1]
C.[-1 ， √2]
D.[-√2 ， 1]
二、填空题（本大题共 7 个小题，每小题 4 分，共 28 分） x2 + 1，x＜2
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
13.已知点 A（3，-4），B（7，6），则线段 AB 的中点坐标为（ ）
A.（5，1） B.（2，5）
C.（10，2）
D.（4，10）
14.若函数 y = x2 + kx +1 的图像与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围是。（ ）
A.(2，+∞)
B. (-∞，-2)
1
25. 函数( 2x2 - ) 6 展开式中第 2 项的系数为
x
26. 如右图图所示，某几何体由正四棱锥和正方体构成，正四棱锥
侧棱长为√3，正方体棱长为 1，则 PB = 2
27.
已知双曲线
x2 a2
-
浙江大学自主招生试题
第 1 个问题是，怎么看待健康。随机发言，每人都要回答。 第 2 个问题，是关于最感动的人或事。 第 3 个问题是无领导小组话题讨论 10 分钟，话题是“不为良相便为良医”。
之后，老师还提问，怎么看待看病难、有什么办法解决等。小组讨论考察团队协作精神。 1．【真题】海洋学院自主招生面试题：把鸡蛋放到深海 1000 米以下，会有什么样的变化？
改变世界”。可见，好想法的产生不是___________的。
A．随心所欲
B．轻而易举
C．一蹴而就
D．信手拈来
7．【真题】蒙田说：“初学者的无知在于未学，而学者的无知在于学后。”意思是说．第一种无知是连
字都不识，当然谈不上有学问；第二种无知却是错读了许多书，反而变得无知。“初学者”的无知
容易辨别、也容易避免；但是“读书读得越多越好”的错误观点似乎更能迷惑人，因此有必要审慎
14．【真题】“WTO”组织的英文全称为_______。
15．【真题】《第六（悲怆）交响曲》的作者为_______。
第二部分（数学与逻辑） —、填空题
1．【真题】设集合 A 2，0，1，3 ，则集合 B x x A，2 x2 A ，则集合 B 中所有元素的和为
__________________。 6.【真题】从 1，2，…，20 中任取 5 个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为______________。
二、解答题 10．【真题】如图所示的粗细均匀薄壁U 型管，左管上端封闭，右管开口且足够长，温度为 t1 27C 时，
右管内水银面比左管高 h 4cm ，左管内空气柱长度为 L 40cm ，大气压强 p0 76cmHg ，现使左 管内空气温度缓慢下降，则当左管内液面上升 h1 4cm 时，管内气体温度 t2 为多少 C ？
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(62)(有答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（62）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若a为实数，化简的结果是A. B. C. D.2.下列说法：其中，正确的个数是等边三角形有三条对称轴；在中，已知三边a，b，c，且，则不是直角三角形；等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长为17或22；一个三角形中至少有两个锐角．A. 1B. 2C. 3D. 43.如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是A. B. C. D.4.一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为A. 44千米B. 48千米C. 30千米D. 36千米5.要得到图象，只需把抛物线的图象A. 向左平移2个单位、向上平移2个单位B. 向左平移2个单位、向下平移2个单位C. 向右平移2个单位、向上平移2个单位D. 向右平移2个单位、向下平移2个单位6.一宾馆有一人间、二人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有A. 6种B. 5种C. 4种D. 3种7.如图，将沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：且；；；，正确的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆的直径，半圆过C点且与半圆相切，则图中阴影部分的面积是A.B.C.D.二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）9.某地区某中学的铅球场如图所示，已知扇形AOB的面积是72米，扇形AOB的弧长为12米，那么半径______米．10.已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为______．11.一次函数和都过点，且与y轴分别交于B、C两点，则面积______．12.为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是______．13.如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作a、b作为点A的横、纵坐标，则点在函数的图象上的概率为______．14.已知关于x的不等式组恰好有四个整数解，则实数a的取值范围是______．15.如图，在菱形ABCD中，过A作于E，P为AB上一动点，已知，，则线段PE的长度最小值为______．16.如图所示，一位同学拿了两块的三角尺、做了一个探究活动；将的直角顶点M放在的斜边AB的中点处，设．猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为______；简述证明主要思路．17.关于x的方程有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是______．18.若关于x的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）19.若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长．20.已知两个二次函数，，当时，取最小值6且，又最小值为，．求m值；求二次函数、表达式．21.已知关于x的方程恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．22.的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：原式故选：D．要解答本题需要根据二次根式的性质变形就可以求出结果了．本题考查的是二次根式的性质及二次根式的化简及其运用．2.答案：B解析：解：、因为等边三角形由三条对称轴，等腰三角形有一条对称轴，故本小题正确；、若，则此三角形也是直角三角形，故本小题错误；、若等腰三角形的一边长为4，另一边长9，则其周长只能是22，故本小题错误；、由三角形内角和为可知，一个三角形中至少由两个锐角，故本小题正确．故选：B．分别根据等腰三角形、等边三角形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的三角关系对各选项进行逐一判断即可．本题考查的是等腰三角形、等边三角形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的三角关系，熟知以上知识是解答此题的关键．3.答案：D解析：解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且有12个洞．故选：D．结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状．本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．4.答案：A解析：解：设船在静水中的速度为x千米小时，由题意得：，解得：千米小时；则可得顺流时的速度为8千米小时，逆流时的速度为4千米小时，设乙两地相距y千米，则，解得：，，即甲、丙两港间的距离为44千米．故选：A．设船在静水中的速度为x千米小时，则可得出从而得出船在静水中的速度，然后设甲乙两地相距y千米，根据来回公用12小时可得出方程，解出即可．本题考查了一元一次方程的应用，属于航行问题，根据题意求出船在静水中的速度是解答本题的关键，另外要掌握船航行时间的表示方法．5.答案：B解析：解：可化简为，可得出顶点坐标为，而可化简为，可得出顶点坐标为，把抛物线的图象向左平移2个单位，向下平移2个单位后得到图象．故选：B．根据题意易得原抛物线的顶点坐标为，向左平移2个单位，让横坐标减2，向下平移2个单位，纵坐标减2即可．本题主要考查了抛物线的平移，看顶点的平移即可，左右平移，只改变顶点的横坐标，左减右加，难度适中．6.答案：C解析：解：设宾馆有客房：一人间x间、二人间y间、三人间z间，根据题意得：，解得：，，y，z是整数，可选：0，2，4，6共4种情况．故选：C．首先设宾馆有客房：一人间x间、二人间y间、三人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由x，y，z是整数，即可求得答案．此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据x，y，z是整数求解，注意分类讨论思想的应用．7.答案：B解析：解：由题意得，，但并不能说明，不能说明EF是的中位线，故错；题中没有说，那么中线AF也就不可能是顶角的平分线，故错；易知A，F关于D，E对称．那么四边形ADFE是对角线互相垂直的四边形，那么面积等于对角线积的一半，故对；，，，故对．正确的有两个，故选B．根据对折的性质可得，，，，据此和已知条件判断图中的相等关系．翻折前后对应线段相等，对应角相等．8.答案：D解析：解：如图，由等腰直角三角形性质可知，，所以S阴，设，，，，连接，，解得，S阴．故选：D．首先作出图形，由等腰直角三角形性质可知，，所以S阴，设，，利用勾股定理求出y的值，进而求出阴影的面积．本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，此题难度不大．9.答案：12解析：解：根据题意得，，，，．故答案为：12．根据扇形的面积与弧长的关系公式：，列式进行计算即可求解．本题考查了扇形的面积以及弧长的计算，熟练掌握扇形的面积与弧长的关系是解题的关键．10.答案：12或4解析：解：当较长对角线长为时，则另一对角线长为；当较短对角线长为时，则另一对角线长为；故另一条对角线的长为12或4．故答案为：12或4．题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线，所以就分两种情况进行分析．此题主要考查菱形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，做题时注意分两种情况进行分析．11.答案：解析：解：根据题意得，，，解得，，两函数解析式是和，当时，，和，点B、C的坐标分别是，，，．故答案为：．把点A的坐标代入两函数解析式分别求出m、n的值，然后求出点B、C的值，然后求出BC的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可求解．本题考查了相交线的问题，根据点A的坐标求出两直线的解析式然后求出点B、C的坐标是解题的关键．12.答案：解析：解：根据题中的规律，设，则，所以即，所以．故答案为．仔细阅读题目中示例，找出其中规律，运用到本题中，先设，从而求出3S的值，然后用，错位相减即可求解本题．本题主要考查了学生的阅读理解能力，分析、总结、归纳能力，难度中等．解题的关键是弄清所给例子，找到解题的规律．13.答案：解析：解：列表得：a1234b1234因此，点的个数共有16个；若点A在上，则，可得．因此，点在函数图象上的概率为．故答案为：．依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．考查了一次函数图象上点的坐标特征和列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．14.答案：解析：解：解得不等式组的解集为：，不等式组只有四个整数解，所以这四个整数解为：4，5，6，7，，的最大值是7．，实数a的取值范围是：．故答案为：．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．本题难度中等，考查解不等式组及不等组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解决本题的关键．15.答案：解析：解：设，那么，四边形ABCD是菱形，，又，，，即，解得，点E到线段AB的最小距离应该是过E作AB的垂线段的长度，那么，先过E作于P，在中，．故答案是．先设，易知，利用菱形的性质可知，在中，结合以及余弦的计算可得，易求x，据图可知点E到线段AB的最小距离应该是过E作AB的垂线段的长度，再过E作于P，在中，再利用三角函数可求PE．本题考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短．解题的关键是求出BE的长，注意．16.答案：解析：解：重叠部分四边形CEMF的面积为证明如下：连CM，如图，点M为等腰直角的斜边AB的中点，，，，又为直角三角形，，，在和中，≌，，重叠部分四边形CEMF的面积．故答案为：．连CM，由点M为等腰直角的斜边AB的中点，根据等腰直角三角形和直角三角形斜边的中线的性质得到，，，利用等角的余角相等得到，根据“SAS”可得≌，则，于是重叠部分四边形CEMF的面积，然后利用三角形的面积公式计算即可．本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰直角三角形和直角三角形斜边的中线的性质．17.答案：或解析：解：由原方程，得，该函数图象为：根据图示知，实数a的取值范围是或．故答案是：或．先将原绝对值方程转化为，据此作出该方程的图象；然后根据图象填空．本题考查了含绝对值符号的一元二次方程．本题采用了“数形结合”的数学思想．18.答案：或解析：解：当时，．当时，可得，，符合题意；当时，可得，，不符合题意；当时，，，，．关于x的方程的所有根都是比1小的正实数，，解得，，解得．综上可得，实数m的取值范围是或．故答案为：或．分，两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分，两种情况讨论求解．19.答案：解：设三边长为a，b，c，其中c是斜边，则有代入得即因为所以所以b为正整数所以，2，4，8，所以，6，8，12；，8，6，5；，10，10，13，所以，三边长为6，8，10或5，12，13．解析：设三边长为a、b、c，其中c是斜边，则存在勾股定理和周长等于面积这两个等量关系，解方程组且根据a、b、c均为正整数可得a、b、c的值．本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中讨论a、b的值是解题的关键．20.答案：解：由题意设，且．．，，，解得或舍去；，此函数有最小值，解得：．，．解析：由条件可以设出的解析式，从而求出的解析式，再把，的值代入的解析式，从而求出m的值．把求得的m的值，利用顶点坐标求出a的值，就可以求出、的解析式．本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的极值的运用，运用待定系数法求字母系数的值，运用函数的关系式求函数的解析式．21.答案：解：两边同乘，得，若，，，若，由题意，知，解得，，当时，，当时，，若方程有两不等实根，则其中一个为增根，当时，，，当时，，．解析：去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即，为一元二次方程，即，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为方程有等根，满足方程恰好有一个实数解，若，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为1或0．本题考查了分式方程的解．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论．22.答案：证明：过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点P、Q，的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，，又，，，，，同理，又，，∽，，同理，，．解析：首先过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点P、根据切线的性质定理、两直线平行内错角相等的性质、对顶角相等，可证得进而得到，同理可证得，因而再根据相似三角形的性质，对应边成比例，问题得解．本题考查三角形的内切圆与内心、平行线的性质、全等三角形的性质、弦切角定理．解决本题的关键是证明，再根据相似证得最终结论．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(11)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（11）一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）用一排6盏灯的亮与不亮来表示数，已知如图分别表示了数1~5，则●〇〇●●〇表示的数是( )A ．23B ．24C ．25D ．262．（5分）用11个相同的正方体堆积如图，在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，结果左视图不变的概率是( )A ．56B ．23C ．12 D ．133．（5分）如图入口进入，沿框内问题的正确判断方问，最后到达的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．（5分）三个关于x 的方程：1(1)(2)1a x x +-=，2(1)(2)1a x x +-=，3(1)(2)1a x x +-=，已知常数1230a a a >>>，若1x 、2x 、3x 分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是( )A ．123x x x <<B ．123x x x >>C ．123x x x ==D ．不能确定1x 、2x 、3x 的大小5．（5分）如图正方形ABCD 的顶点A 在第二象限ky x=图象上，点B 、点C 分别在x 轴、y 轴负半轴上，点D 在第一象限直线y x =的图象上，若23S =阴影，则k 的值为( )A ．1-B ．43-C ．53-D ．2-二、填空题（每小题5分，共20分）6．（5分）关于x 的不等式组2551132x a x x x +>⎧⎪--⎨-⎪⎩…有且只有四个整数解，则a 的取值范围是 ．7．（5分）如图，矩形ABCD 中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF 的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是 ．8．（5分）如图，ABC ∆中，//MN BC 交AB 、AC 于M 、N ，MN 与ABC ∆内切圆相切，若ABC ∆周长为12，设BC x =，MN y =，则y 与x 的函数解析式为 （不要求写自变量x 的取值范围）．9．（5分）平面直角坐标系中，O e 交x 轴正负半轴于点A 、B ，点P 为O e 外y 轴正半轴上一点，C 为第三象限内O e 上一点，PH CB ⊥交CB 延长线于点H ，已知2BPH BPO ∠=∠，15PH =，24CH =，则tan BAC ∠的值为 ．三、简答题（每小题15分，共30分）10．（15分）x 、y 是一个函数的两个变量，若当a x b 剟时，有()a y b a b <剟，则称此函数为a x b 剟上的闭函数．如3y x =-+，当1x =时2y =；当2x =时1y =，即当12x 剟时，12y 剟，所以3y x =-+是12x 剟上的闭函数． （1）请说明30y x=是130x 剟上的闭函数； （2）已知二次函数24y x x k =++是2t x -剟上的闭函数，求k 和t 的值； （3）在（2）的情况下，设A 为抛物线顶点，B 为直线x t =上一点，C 为抛物线与y 轴的交点，若ABC ∆为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为 ．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生数学测试试卷(72)(有答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（72）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.已知当时，，那么，当时，A. B. C. D. 72.在中，，的平分线交AC于则A. sin BB. cos BC. tan BD. cot B3.四条直线，，，围成正方形现掷一个均匀且各面上标有1，2，3，4，5，6的立方体，每个面朝上的机会是均等的．连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标，则点P落在正方形面上含边界的概率是A. B. C. D.4.已知函数，当时，则函数的图象可能是下图中的A. B.C. D.5.有一堆形状大小都相同的珠子，其中只有一粒比其它都轻些，其余一样重．若利用天平不用砝码最多两次就找出了这粒较轻的珠子，则这堆珠子最多有A. 8粒B. 9粒C. 10粒D. 11粒6.在中，，，且a、b、c满足：，，，则A. 1B.C. 2D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）7.已知，化简______ ．8.若关于x的方程有四个不同的解，则k的取值范围是______ ．9.对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿上，的“分裂”中最大的数是______，若的“分裂”中最小数是21，则______．10.已知，则______．11.如图，在中，，为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交BC于D，且与AC相切．则D到AC的距离为______ ．12.在十进制的十位数中，被9整除并且各位数字都是0或5的数有______个．三、计算题（本大题共1小题，共11.0分）13.甲，乙两辆汽车同时从同一地点A出发，沿同一方向直线行驶，每辆车最多只能带240L汽油，途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km，两车都必须沿原路返回出发点，但是两车相互可借用对方的油．请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发地点A，并求出这辆车一共行驶了多少千米？四、解答题（本大题共5小题，共55.0分）14.用1，2，3三个数字组成六位数，若每个数字用两次，相邻位不允许用相同的数字．试写出四个符合上述条件的六位数；请你计算出符合上述条件的六位数共有多少个？15.已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为二次函数与x轴交于P和Q两点．在此二次函数的图象上求一点M，使得面积最大．16.如图，已知锐角的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M，若，求的大小．17.已知实数a，b，c满足：，又，为方程的两个实根，试求的值．18.如图，已知菱形ABCD，，内一点M满足，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．答案和解析1.【答案】C【解析】解：把，代入得：，即把代入得：故选C．把代入解得，把当成一个整体代入后面式子即可解答．能够根据指数的意义发现代数式之间的关系，然后整体代值计算．2.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查角平分线的性质和三角函数的定义．根据角平分线上的任意一点到角的两边距离相等计算．【解答】解：过点D作于E．则．可证≌，．，又，，，．故选A．3.【答案】D【解析】解：连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标，共种；符合题意的有：共15个，概率是．故选：D．首先确定点P的坐标，根据这个坐标可求出点P落在正方形面上含边界的概率．本题将概率的求解设置于点P的坐标中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．4.【答案】A【解析】解：因为函数，当时，所以可判断，可知，所以可知，，则，不妨设则函数为函数即则可判断与x轴的交点坐标是，，故选A．当时，，所以可判断，可知，，所以可知，，则，不妨设进而得出解析式，找出符合要求的答案．要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a，b，c的值．从条件可判断出，可知，；所以可知，，，从而可判断后一个函数图象．5.【答案】B【解析】解：这堆珠子最多有9个．将这堆珠子平均分成3组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量；若天平平衡，那么较轻的珠子在没称的那堆珠子里；若天平不平衡，那么较轻的珠子就在较轻的那堆珠子里；然后将较轻的那堆珠子进行第二次测量，同第一次测量一样，将其中两个放在天平的两端；若天平平衡，那么没称的珠子就是所找的珠子；若天平不平衡，那么较轻的珠子就是所找的珠子．因此最多用两次即可找出较轻的珠子．故选B．已知最多两次就找出这粒较轻的珠子，那么第二次所测的珠子的个数最多为3个；即将其中的两个放在天平的两边，若天平平衡，那么不在天平中的珠子就是最轻的珠子，如果天平不平衡，很较轻的珠子就是所找的珠子．同理，在第一次测量中，最多可测出三组珠子，因此这堆珠子最多有9个．本题的解答关键是找出每次能测量出的珠子堆的最多的个堆数．6.【答案】C【解析】解：，，，，，，，，，这个三角形的形状是直角三角形，，故选：C．利用完全平方公式把这个式子写成平方几个非负数的和的形式，求得a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．再运用三角函数定义求解即可．本题考查完全平方公式和勾股定理的逆定理在实际中的运用，注意运用几个非负数的和为0，那么这几个数均为0这个知识点是解题关键．7.【答案】【解析】解：，，原式．因为，，又，所以，即．注意当时，．8.【答案】【解析】解：关于x的方程有四个不同的解，，即，解得或，而时，的值不可能等于0，所以．故填空答案：．因为关于x的方程有四个不同的解，所以，即，解得或；又因为方程中一次项中未知数带着绝对值符号，一次项的系数不能为正数，否则等式不成立．所以当时，不符合题意，故取．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，也涉及了绝对值方程的应用，同时注意通过根与系数的关系求出的k值一定要代入到原方程检验，把不符合题意的值舍去．本题最后舍去是最容易出错的地方，要求具有严谨的数学思维．9.【答案】9 5【解析】解：中，最大数是；若的“分裂”中最小数是21，则，或负数舍去．根据所给的数据，不难发现：在中所分解的最大的数是；在中，所分解的最小数是根据发现的规律，则中，最大数是；若的“分裂”中最小数是21，则，或负数舍去．此题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解．规律为：在中所分解的最大的数是；在中，所分解的最小数是．10.【答案】0【解析】解：，，即，整理得，．本题不应考虑直接求出与的值，而应根据已知等式的特点，用配方法进行求解．本题考查了完全平方公式，根据式子特点，等式两边都减去，转化为完全平方式是解题的关键．11.【答案】15【解析】解：连接OD、OE，则；，；，，；；因此OE即为所求的D到AC的距离．，，解得：．故D到AC的距离为15．设AC与的切点为E，连接OE、OD；在等腰和等腰中，可求得，由此可证得；由于AC与相切，所以，那么OE即为所求的D到AC的距离．在中，已知了斜边OA的长和的正弦值，即可求出OE的长．本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、正弦的概念等知识的综合应用能力．12.【答案】9【解析】解：只能出现0或5，因此必须有9个5，0不能出现在首位，因此共有9个．故答案为9．被9整除的数，数字和一定是9的倍数．只能出现0或5，因此必须有9个5，0不能出现在首位，因此共有9个．解决本题的关键是得到被9整除的十位数的特点．13.【答案】解：设尽可能远离A地的甲汽车共走了x千米，乙汽车共走了y千米，则，且所以x最大为4320千米．设从A到尽可能的离A的距离是m千米，其中借给对方油的那辆车走了n千米后停下，那么千米那么需要用油升，那么就是走这个最远距离一次单趟需要120升油，那么可得出的方案是：甲，乙共同走720千米，乙停下等甲，并且给甲60升汽油，甲再走1440千米后回头与乙会合，乙再给甲60升汽油后，两车同时回到A地．也可画图表示为：如右图．【解析】本题中由于两车相互借对方的油，那么他们所走的距离和，他们所走的距离差由此可得出自变量的取值范围．如果要让一辆车尽可能的远离A地并同时返回，那么就必须让一辆车行驶一段后，把油给对方要刚好留下回A地的油，让对方走掉加的这些油后开始向A地返回，两者碰头后一起回A地．那么这个离A地最远的距离就应该是车行驶一段的距离停下后给对方的油量可行驶的距离要留下回A地的油根据此关系可求出走这个最远距离所需的油量，然后进行分配即可．本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．14.【答案】解：以1开头的数有等10个数；，131232，123123，123132，121323，121332，132123，132132，123213，132312，213123，213132，312123，312132，212313，213213，312312，313212，213231，312321，231213，231312，321213，321312，231231，231321，321231，321321，232131，323121则共30个符合条件的六位数．【解析】为了让相邻位不允许用相同的数字，可以依次对1、2、3进行排列．如123123，132132等；根据要求，先确定1的位置，再依次确定2，3的位置，从而求解．解决问题的关键是读懂题意，要特别注意：相邻位不允许用相同的数字．15.【答案】解：由题意可得，代入方程得．二次函数为与x轴的交点为，，当点M的横坐标为或或时，的面积可能取最大，经比较可得时，的面积取最大，此时即点，．【解析】方程可化简为方程只有时才有增根，可推出；将代入方程得即，再根据a的值求出c并确定解析式，再根据顶点坐标公式和x的取值范围确定面积最大时M点的坐标．学会巧妙地利用分式方程的性质来解决问题，同时要明确增根问题可按如下步骤进行：确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．16.【答案】解：设，则，；，，，为等腰三角形，；，，．【解析】设，则，根据三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，得根据等腰三角形的三线合一和等边对等角的性质和三角形的内角和定理，分别表示出和，进一步计算出发现等腰三角形则ON是OB的一半，根据直角三角形的性质可以求得度．再求得的大小．综合运用了等腰三角形和直角三角形的性质．要熟练掌握三角形和圆的有关性质才能灵活解题．17.【答案】解：，，，2ab为方程的二根，，由得，或把两组值代入原方程得到的方程相同．即，．【解析】把，2ab分别看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系解答则可．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．18.【答案】证明：连接PD，DQ，由已知，，∽，∽．，．，又．，又，∽，．，，D，Q三点共线．【解析】求证：P，D，Q 三点共线就是证明平角的问题，可以求证，根据∽，∽，可以得出；进而证明∽，得出，则结论可证．本题是证明三点共线的问题，这类题目可以转化为求证平角的问题．并且本题利用相似三角形的性质，对应角相等．第11页，共11页。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(61)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（61）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．（5分）已知非零实数a ，b 满足|2a ﹣4|+|b +2|+√(a −3)b 2+4＝2a ，则a +b 等于（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．22．（5分）Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y ＝x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ） A ．h ＜1B ．h ＝1C ．1＜h ＜2D ．h ＞23．（5分）如图，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的三边分别记为a ，b ，c ，O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，则OD ：OE ：OF ＝（ ）A ．a ：b ：cB ．1a ：1b：1cC ．cos A ：cos B ：cos CD ．sin A ：sin B ：sin C4．（5分）若实数x ，y 满足条件2x 2﹣6x +y 2＝0，则x 2+y 2+2x 的最大值是（ ） A ．14B ．15C ．16D ．不能确定5．（5分）如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 上的点，DE 交AC 于M ，AF 交BD 于N ；若AF 平分∠BAC ，DE ⊥AF ；记x =BE OM ，y =BN ON ，z =CFBF，则有（ ）A ．x ＞y ＞zB ．x ＝y ＝zC ．x ＝y ＞zD ．x ＞y ＝z6．（5分）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组{ax +by =3x +2y =2只有正数解的概率为（ ）A ．112B ．29C ．518D ．1336二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 7．（5分）若ab =20，b c=10，则a+b b+c的值为 ．8．（5分）已知二次函数y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）与一次函数y 2＝kx +b （k ≠0）的图象相交于点A （﹣2，4），B （8，2），如图所示，则能使y 1＜y 2成立的x 的取值范围是 ．9．（5分）已知一次函数y ＝（a ﹣1）x +a （a 为整数且a ≠1）的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，且△OAB 的面积是正整数，则a ＝ ．10．（5分）在单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 ．11．（5分）如图，设AD 、BE 、CF 为三角形ABC 的三条高，若AB ＝6，BC ＝5，AE ﹣EC =115，则线段BE 的长为 ．12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．13．（5分）如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b 的可能值是．三、解答题（本大题共3小题，共55分）14．（18分）已知抛物线y＝3ax2+2bx+c．（1）若a＝b＝1，c＝﹣1，求抛物线与x轴公共点的坐标；（2）若a＝b＝1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围．15．（18分）如图，AB为⊙O的直径，C在⊙O上，并且OC⊥AB，P为⊙O上的一点，位于B、C之间，直线CP与AB相交于点Q，过点Q作直线与AB垂直，交直线AP于R．求证：BQ＝QR．16．（19分）如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC边、CD边上的动点，满足∠EAF＝45°．（1）求证：BE+DF＝EF；（2）若正方形边长为1，求△CEF内切圆半径的最大值．2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（61）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．【解答】解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为|b+2|+√(a−3)b2=0，于是a＝3，b＝﹣2，从而a+b＝1．故选：C．2．【解答】解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A（−√b，b），B（√b，b），C（a，a2），D（0，b）则因斜边上的高为h，故：h＝b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴得CD=√b∴√a2+(a2−b)2=√b方程两边平方得：（b﹣a2）＝（a2﹣b）2即h＝（﹣h）2因h＞0，得h＝1，是个定值．故选：B．3．【解答】解：设三角形的外接圆的半径是R．连接OB，OC．∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．∴∠BOD＝∠COD＝∠A在直角△OBD中，OD＝OB•cos∠BOD＝R•cos A．同理，OE＝R•cos B，OF＝R•cos C．∴OD：OE：OF＝cos A：cos B：cos C．故选：C．4．【解答】解：由已知得：y2＝﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x，＝﹣x2+8x，＝﹣（x﹣4）2+16，又y2＝﹣2x2+6x≥0，解得：0≤x≤3，∴当x＝3时，y＝0，所以x2+y2+2x的最大值为15．故选：B．5．【解答】解：如图，由角平分线，BNON =ABAO=√2=AC AB=CF BF，即y=z=√2，又△AME的角分线与高重合，则△AME为等腰三角形，AM＝AE，作OP∥AB，交OE于P，则OP为△DBE的中位线，△OMP∽△AME，x=BEOM=BEOP=2，所以x＞y＝z．6．【解答】解：当2a﹣b＝0时，方程组无解；当2a﹣b≠0时，由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得x=6−2b2a−b，y=2a−32a−b，∵使x、y都大于0则有6−2b2a−b ＞0，2a−32a−b＞0，解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3，而a，b都为1到6的整数，所以可知当a 为1时b 只能是4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 为1或2， 这两种情况的总出现可能有3+10＝13种；又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为1336，故选：D ．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 7．【解答】解：由题设得a+b b+c=ab+11+c b=20+11+110=21011．故答案为：21011．8．【解答】解：由图形可得，当﹣2＜x ＜8时，二次函数图象在一次函数图象下方，y 1＜y 2， 所以，使y 1＜y 2成立的x 的取值范围是﹣2＜x ＜8． 故答案为：﹣2＜x ＜8．9．【解答】解：由题意可得A 、B 两点的坐标为（−aa−1，0）、（0，a ），S △AOB =12AO •BO =12⋅|−aa−1|⋅|a|=|a 22−2a|，∵△OAB 的面积是正整数，而只有当a ＝2时，S △AOB ＝2是正整数， 故a ＝2．10．【解答】解：作图如下： 由题意知AC =12，∠BAC ＝30°， 解得BC =√36，设小圆半径为r ， sin30°=DE AD =√36−r=12，解得r =√318，∴三角形剩下部分的面积S =√34−3×π(√318)2−π(√36)2=√34−π9．11．【解答】解：设AE ＝x ，EC ＝y ，则 {36−x 2=25−y 2x −y =115， 解得x =185，则BE =√AB 2−AE 2=245． 故答案为：245．12．【解答】解：如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为y ＝kx +b ，则{2k +b =35k +b =2解得{k =−13b =113.，故所求直线l 的函数表达式为y =−13x +113． 故答案为y =−13x +113．13．【解答】解：当x ≥1时，函数y ＝x 2﹣3|x ﹣1|﹣4x ﹣3＝x 2﹣7x ，图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（72，−494），当x ＜1时，函数y ＝x 2﹣3|x ﹣1|﹣4x ﹣3＝x 2﹣x ﹣6， 顶点坐标为（12，−254）， ∴当b ＝﹣6或b =−254时，两图象恰有三个交点． 故本题答案为：﹣6，−254． 三、解答题（本大题共3小题，共55分） 14．【解答】解：∵a ＝b ＝1，c ＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y ＝3x 2+2x ﹣1， 令y ＝3x 2+2x ﹣1＝0，解得：x ＝﹣1或13，∴抛物线与x 轴的交点坐标为：（﹣1，0），（13，0）；（2）∵a ＝b ＝1， ∴解析式为y ＝3x 2+2x +c ． ∵对称轴x =−b 2a =−13，∴当﹣1＜x ＜1时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点， 则①此公共点一定是顶点，∴△＝4﹣12c ＝0，②一个交点的横坐标小于等于﹣1，另一交点的横坐标小于1而大于﹣1， ∴3﹣2+c ≤0，3+2+c ＞0， 解得﹣5＜c ≤﹣1．综上所述，c 的取值范围是：c =13或﹣5＜c ≤﹣1．15．【解答】证明：如图，连接PB 、BR ，则∠APC ＝45°，∠APB ＝90°； 故∠BPQ ＝180°﹣∠APC ﹣∠APB ＝45°； 又∵∠APB ＝90°＝∠BQR ， ∴B 、Q 、R 、P 四点共圆； 于是∠BRQ ＝∠BPQ ＝45°， 从而△BQR 为等腰直角三角形； ∴BQ ＝QR ．16．【解答】（1）证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， ∵在△GDA 和△EBA 中， {DG =BE∠GDA =∠ABE =90°AD =AB， ∴△GDA ≌△EBA ，∴AG ＝AE ，∠GAD ＝∠EAB ， 故∠GAF ＝45°， 在△GAF 和△EAF 中， ∵{AG =AE∠GAF =∠EAF AF =AF ， ∴△GAF ≌△EAF ， ∴GF ＝EF ，即GD+DF＝BE+DF＝EF；（2）解：令BE＝a，DF＝b，则EF＝a+b，r=1−a+1−b−(a+b)2=1﹣（a+b），∵（1﹣a）2+（1﹣b）2＝（a+b）2，整理得1﹣（a+b）＝ab，而ab≤14（a+b）2，14（a+b）2+（a+b）﹣1≥0，解得：a+b≥﹣2+2√2或a+b≤﹣2﹣2√2（舍去），r＝1﹣（a+b）≤1﹣（﹣2+2√2）＝3﹣2√2，当且仅当a＝b=√2−1时，等号成立．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(58)(有答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（58）一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1.已知一次函数的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点，则不等式的解集为A. B. C. D.2.方程组的解的个数为A. 1B. 2C. 3D. 43.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为A.B.C.D.4.已知二次函数的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，，，，中，其值为正的式子的个数是A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5.已知函数，并且a，b是方程的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是A. B. C. D.6.如图所示是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第12行的空心圆的个数是A. 34B. 55C. 72D. 897.如图，与的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且已知，，，则的半径是A. 3B. 4C.D.8.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有A. 36种B. 48种C. 96种D. 192种9.有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少A. 500B. 520C. 780D. 2000二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）10.如果不等式组无解，则a的取值范围是______．11.已知抛物线经过点设点，请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得的值最大，则D点的坐标为______．12.小红、小芳、小明在一起做游戏时需要确定作游戏的先后顺序，他们约定用“锤子、剪刀、布”的方式确定，请问在一个回合中三个都出“布”的概率是______ ．13.将一直径为25cm的圆形纸片如图剪成如图所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体形状的纸盒如图，则这样的纸盒体积最大为______．14.若直线为实数与函数的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是______ ．15.如图，已知点在函数的图象上．正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A、E两点，则点E的横坐标为______．16.按下列程序进行运算如图规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算进行______次才停止；若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）17.给你两张白纸一把剪刀．你的任务是：用剪刀剪出下面给定的两个图案，你可以将纸片任意折叠，但只能沿直线剪一刀，要得到下面两个图案，在不实际折叠的情况下，想象一下，该如何折叠？用虚线画出折痕，用实线画出剪的这一刀分别在旁边的白纸上画出来18.如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(42)(有答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（42）一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.图是一个长为2m，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线对称轴剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是A. 2mnB.C.D.2.若关于x的分式方程无解，则m的值为A. B. 1 C. 或2 D. 或3.如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点B，以AB 为边作，其中C、D在x轴上，则为A. 2B. 3C. 4D. 54.如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果，那么的度数为A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）5.若实数a，b，c满足，且，则一次函数的图象不可能经过第______ 象限．6.在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为______．7.如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使的面积为1的概率是______．8.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，，则图中阴影部分的面积是______．9.如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对共有______个．10.如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，，分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点已知，，则______ ．11.如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将绕顶点A旋转，在旋转过程中，当时，的大小可以是______．12.请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“”，使得下列算式成立：，，，你规定的新运算______用a，b的一个代数式表示．三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）13.在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分掷中一次记一个点现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：小华：77分小芳75分小明：______分求掷中A区、B区一次各得多少分？依此方法计算小明的得分为多少分？14.已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线上，设点M的坐标为，求二次函数的最值．15.如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点运动时间为t秒．当点B与点D重合时，求t的值；设的面积为S，当t为何值时，？连接MB，当时，如果抛物线的顶点在内部不包括边，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】分析先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积正方形的面积四个长方形的面积即可得出答案．此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．详解解：由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为，又四个长方形的面积为4mn，中间空的部分的面积．故选C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型，分式方程无解，则分母为分式方程无解即是分母为0，由此可得：原分式方程中的分母为0：或，然后把分式方程化为整式方程，最后把或代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：，方程两边都乘以，得：，整理，得：，原分式方程无解，或或，解得：或，故选D．3.【答案】D【解析】【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是关键．【解答】解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．把代入得，，则，即A的横坐标是，同理可得：B的横坐标是：．则．则．故选：D．4.【答案】B【解析】解：连接DE，过D、A、C三点的圆的圆心为E，，过B、E、F三点的圆的圆心为D，，，，，，解得：．．故选：B．首先连接DE，由过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，根据圆的内接四边形的性质可得：，继而可求得，又由三角形内角和定理，即可求得答案．此题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用．5.【答案】三【解析】解：实数a、b、c满足，且，，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，不可能经过第三象限．故答案为：三．根据实数a、b、c满足，且，确定a、c的取值范围，然后确定答案．本题考查了一次函数图象与系数的关系．由于与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．6.【答案】18【解析】解：抛物线的对称轴为，且轴，，等边的周长．故答案为：18．根据抛物线解析式求出对称轴为，再根据抛物线的对称性求出AB的长度，然后根据等边三角形三条边都相等列式求解即可．本题考查了二次函数的性质，等边三角形的周长计算，熟练掌握抛物线的对称轴与两个对称点之间的关系是解题的关键．7.【答案】【解析】解：在的网格中共有36个格点，而使得三角形面积为1的格点有8个，故使得三角形面积为1的概率为，故答案为：．在的网格中共有36个格点，找到能使得三角形ABC的面积为1的格点即可利用概率公式求解．本题考查了概率的公式，将所有情况都列举出来是解决此题的关键．8.【答案】【解析】解：如图，设BF与CE相交于点H，，∽，，即，解得，，，、GF之间的距离，阴影部分的面积．故答案为：．设BF与CE相交于点H，利用和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CH，再求出DH，然后求出AB、GF之间的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，观察图形把阴影部分的面积分成等底的两个三角形求解是解题的关键．9.【答案】6【解析】解：，由得：，由得：，不等式组的解集为：，整数解仅有1，2，，，，解得：，，，2，3，，5，整数a，b组成的有序数对共有，，，，，即6个，故答案为：6．首先解不等式组，不等式组的解集即可利用a，b表示，根据不等式组的整数解仅为1，2即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解．此题主要考查了不等式组的整数解，根据不等式组整数解的值确定a，b的取值范围是解决问题的关键．10.【答案】【解析】解：连接PB、PE．分别与OA、BC相切于点E、B，，，，、P、E在一条直线上，，，，，，，．故答案为：．先连接PB、PE，根据分别与OA、BC相切，得出，，再根据A、B点的坐标，得出AE和BE的值，从而求出，最后根据，即可得出答案．此题考查了切线的性质，用到的知识点是切线的性质、解直角三角形、圆周角定理，解题的关键是做出辅助线，构建直角三角形．11.【答案】或【解析】解：当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当时，，≌，，，，；当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当时，，，，≌，，，，故答案为：或．利用正方形的性质和等边三角形的性质证明≌，即可得解应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小．12.【答案】【解析】解：根据题意可得：，，，则．故答案为：．由题中的新定义，将已知的等式结果变形后，总结出一般性的规律，即可用a与b表示出新运算．此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型，其中弄清题意，找出一般性的规律是解本题得关键．13.【答案】设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，依题意得：，解得：，答：掷中A区、B区一次各得10，9分．由可知：，答：依此方法计算小明的得分为76分．【解析】首先设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，根据图示可得等量关系：掷到A区5个的得分掷到B区3个的得分分；掷到A区3个的得分掷到B 区5个的得分分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可得到掷中A区、B区一次各得多少分；由图示可得求的是掷到A区4个的得分掷到B区4个的得分，根据中解出的数代入计算即可．此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．14.【答案】解：、N两点关于y轴对称，点M的坐标为，点坐标为，点M在双曲线上，，，点N在直线上，，，二次函数解析式为，当时，函数有最大值，．【解析】可先求得N点坐标，再把M和N的坐标分别代入所满足的函数解析式，整理可求得ab和的值，代入可求得二次函数解析式，可求得其最值．本题主要考查二次函数的最值，根据点的对称及点的坐标与函数解析式的关系求得ab 和的值是解题的关键．15.【答案】解：，，．∽．．．．由∽可知：，．当时，．．当时，．，为负数，舍去．当或时，．过M作轴于N，则．当时，，．抛物线的顶点坐标为．它的顶点在直线上移动．直线交MB于点，交AB于点．．．【解析】由于，易证得∽；当B、D重合时，BE 的长已知即OC长，根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值．求的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；∽，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：在线段DE上，在ED的延长线上．首先将抛物线的解析式进行配方，可得到抛物线的顶点坐标，将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中，可得到抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标，根据这两个坐标即可判定出a的取值范围．考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，前两问的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．最后一问中，先得到抛物线的顶点坐标是简化解题的关键．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(57)-教师用卷
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（57）一、选择题（本大题共9小题，共36.0分） 1. 若0<x <1，则x 2，x ，√x ，1x 这四个数中( )A. 1x 最大，x 2最小 B. x 最大，1x 最小 C. x 2最大，√x 最小D. x 最大，x 2最小【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用特殊值比较一些式子的大小是有效的方法．可根据条件，在范围内运用取特殊值的方法比较大小． 【解答】解：∵0<x <1，∴取x =12，即x 2=14，x =12，√x =√22，1x =2．∵2最大，14最小， ∴1x 最大，x 2最小． 故选A ．2. 小明和小亮的口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从自己口袋里摸出一张福娃纪念卡，则摸出的福娃都是贝贝的概率是( )A. 125B. 25C. 15D. 18【答案】A【解析】解：共有25种情况，摸出的福娃都是贝贝的情况有1种，概率为125．列举出所有情况，让摸出的福娃都是贝贝的情况数除以总情况数即为所求的概率． 用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3. 方程(x 2+x −1)x+3=1的所有整数解的个数是( )A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【答案】B【解析】解：(1)当x+3=0，x2+x−1≠0时，解得x=−3；(2)当x2+x−1=1时，解得x=−2或1．(3)当x2+x−1=−1，x+3为偶数时，解得x=−1因而原方程所有整数解是−3，−2，1，−1共4个．故选：B．方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为−1，指数为偶数．本题考查了：a0=1(a是不为0的任意数)以及1的任何次方都等于1.本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选C，需特别注意．4.顶点为A(6,6)，B(−4,3)，C(−1,−7)，D(9,−4)的正方形在第一象限的面积是()A. 25B. 36C. 49D. 30【答案】B【解析】解：连接OA，过A、D两点的直线方程是y−6−4−6=x−69−6，即y=−103x+16，解得它与x轴的交点E的横坐标是x=7.8，同理求得过A、B两点的直线方程是y=−310x+4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y=4.2，∴S△AOE=12×7.8×6=23.4，S△AFO=12×4.2×6=12.6，∴S△AOE+S△AFO=23.4+12.6=36，即顶点为A(6,6)，B(−4,3)，C(−1,−7)，D(9,−4)的正方形在第一象限的面积是36．根据正方形的顶点坐标，求出直线AD的方程，由方程式知AD与x轴的交点E的坐标，同理求得AB与y轴的交点F的坐标，连接OA，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E、F在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．5.使方程2x2−5mx+2m2=5的一根为整数的整数m的值共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】解：∵方程有一个整数根，∴△=25m2−8(2m2−5)=9m2+40>0，设△=p2(p为正整数)，∴(3m−p)(3m+p)=−40，∵3m−p≤3m+p且同奇偶，∴3m−p=−4，−10，−2，−20，3m+p=10，4，20，2，∴m=±3，±1，经检验，均有一根为整数，∴符合条件的整数m的值有4个，故选：D．设△=p2=9m2+40>0，则(3m−p)(3m+p)=−40，由3m−p≤3m+p且同奇偶，则可求m=±3，±1．本题考查二元一次方程根的判别式；由△入手，利用△=p2建立等式求m的值是解题的关键．6.函数y=a|x|与y=x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是()A. a>1B. −1<a<1C. a≥1或a≤−1D. a>1或a<−1【答案】D【解析】解：根据题意，y=a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；分两种情况讨论，①a>0时，过第一、二象限，y=x+a斜率为1，a>0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有a>1；②a<0时，y=a|x|过第三、四象限；而y=x+a过第二、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有a<−1；故选：D．画图象用数形结合解题，y=a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；a>0时，y=x+a斜率为1，与y=a|x|交于第一、二象限，a<0时，y=x+a斜率为1，与y= a|x|交于第三、四象限，分析图象可得答案．本题要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论．7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC中，∠PBC=10°，∠PCB=30°，则∠PAB的度数为()A. 50°B. 60°C. 70°D. 65°【答案】C【解析】解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC∴AD=AB=AC，∠DAC=∠BAC−∠BAD=20°，∴∠ACD=∠ADC=80°，∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠ABC=∠ACB=50°，∴∠CDB=140°=∠BPC，又∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，∴△BDC≌△BPC，∴PC=DC，又∠PCD=60°，∴△DPC是等边三角形，∴△APD≌△APC，∴∠DAP=∠CAP=12∠DAC=12×20°=10°，∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°．或由△BDC≌△BPC，∴BP=BD=BA∴∠BAP=∠BPA又∵∠ABP=∠ABC−∠PBC=40°∴∠BAP=(180°−40°)÷2=70°故选：C．在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC，根据等边三角形的性质得到AD=AB=AC，求出∠DAC、∠ACD、∠ADC的度数，根据三角形的内角和定理求出∠ABC=∠ACB=50°，即∠CDB=140°=∠BPC，再证△BDC≌△BPC，得到PC=DC，进一步得到等边△DPC，推出△APD≌△APC，根据全等三角形的性质得到∠DAP=∠CAP=10°，即可求出答案．本题主要考查对等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，作辅助线得到全等三角形是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一点难度．8.二次函数y=−x2+2x+8的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是()A. 3<AD≤9B. 3≤AD≤9C. 4<AD≤10D. 3≤AD≤8【答案】A【解析】解：设B(m,0)，C(n,0)；则有：m+n=2，mn=−8；故BC=√(m+n)2−4mn=√42+32=6；设抛物线顶点为P，则P(1,9)；∴12BC<AD≤DP，即3<AD≤9；故选：A．首先设出B、C的坐标，用韦达定理求出BC的长，若以BC为直径作圆，根据圆周角定理易得出当点A在x轴上方时，∠BAC为锐角，那么AD的长就应该在12BC和DP之间(设P为抛物线顶点坐标)，且AD不等于12BC．此题考查了二次函数与一元二次方程的关系、根与系数的关系、圆周角定理等知识，能够正确的根据圆周角定理判断出∠BAC是锐角时A点的位置是解答此题的关键．9.一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能值有()A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】C【解析】解：如图①所示，当∠BAC=48°时，那么它的最大内角是90°当∠ACB=48°时，有以下4种情况，所以共5种情况，故选：C ．当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图①所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况．此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题涉及等知识点并不多，但是要分4种情况解答，因此，属于难题．二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）10. 甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原来有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有______块糖． 【答案】40【解析】解：设甲、乙二人原来分别有糖块x 、y 块糖，乙从丙处取来z 块糖． 则根据题意知，甲、乙、丙分别有糖块2x +z −32、y −x +z 、2×(32−z)． 乙处糖的转换过程得知，y −x =z ， 由三处糖块一样多可得，{z =y −x(1)3x −y =32(2)2x +3z =96(3)，把(1)代入(3)，得3y −x =96 (4)， 由(4)×3+(2)得，y =40． 故乙原来有40块糖块．该题是三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组，解答即可．解方程组时，用代入消元法和加减消元法，通过“消元”使其转化为二元一次方程组来解．11. 设a −b =2+√3，b −c =2−√3，则a 2+b 2+c 2−ab −ac −bc =______． 【答案】15【解析】【分析】此题考查了对完全平方公式及整体代入的掌握情况，有一定的综合性． 将a −b =2+√3和b −c =2−√3相加，得到a −c =4，再将a 2+b 2+c 2−ab −ac −bc 转化成关于a −b ，b −c ，a −c 的完全平方的形式，再将a −b =2+√3，b −c =2−√3和a −c =4整体代入即可． 【解答】解：∵a −b =2+√3，b −c =2−√3，两式相加得，a −c =4， 原式=a 2+b 2+c 2−ab −bc −ac=2a 2+2b 2+2c 2−2ab −2bc −2ca2=(a 2−2ab +b 2)+(b 2−2bc +c 2)+(c 2−2ca +a 2)2 =(a −b)2+(b −c)2+(a −c)22 =(2+√3)2+(2−√3)2+422 =4+3+4√3+4+3−4√3+162=15．12.已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P(点P与点A，C不重合)，过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是______．【答案】3或2【解析】解：如图1：过点P作PE//AB的平行线，或者作PD//BC的平行线，都可使截得的三角形与原三角形相似；过点P可作直线交边AC于点F，使得∠PFC=∠A，可得△CFP∽△CAB，∴有3条；如图2：只有2条．∴这样的直线l可作的条数是3条或2条．故答案为：3或2．根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而可得到该直线的条数．此题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．13.如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，若AB=6cm，AC=4cm，∠A=60°，则AD的长为______cm．【答案】12√35【解析】解：过B作BM//AC，交AD的延长线于点N，作BE⊥AN交AN于点E．∵BM//AC，∴∠MBA=∠BAC=60°，而∠BAD=12∠BAC=30°，∠MBA=∠BAD+∠N，∴∠BAD=∠N，∴BN=AB=6cm．在直角△ABE中，AE=AB⋅cos∠BAD=6×√32=3√3，∴AN=2AE=6√3．∵BM//AC，∴△BND∽△CAD∴ADDN =ACBN=46=23设AD=2x，则DN=3x．而AD+DN=AN，∴2x+3x=6√3．解得：x=6√35．∴AD=12√35．过B作BM//AC，交AD的延长线于点N，作BE⊥AN交AN于点E.易证△ABN是等腰三角形，根据三角函数即可求得底边AN，再根据BM//AC，证得△BND∽△CAD，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．本题求线段的长的问题可以转化为三角形相似的问题解决，正确作出辅助线是解题关键．14.已知a是整数，一次函数y=10x+a的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于______．【答案】5【解析】解：∵一次函数的解析式为y=10x+a；∴图象与两坐标轴的交点为(0,a)；(−a10,0)．∴图象与两坐标轴所围成的三角形的面积可表示为：S=12×|a|×|−a10|=a220；∵一次函数y=10x+a的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数；∴a=10；∴一次函数y=10x+a的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为5．故填5．先根据一次函数的解析式y=10x+a求出与两坐标轴的交点坐标，然后根据质数的特点确定所围成的三角形的面积．一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数是大于0或是小于0.此题中，不管a>0还是a<0一次函数y=10x+a的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积都一样．15.如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y=4x(x>0)的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是______ ．【答案】(4√2,0)【解析】解：作P1B⊥y轴，P1A⊥x轴，∵△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，∴AP1=BP1，A1D=DA2=DP2，则OA⋅OB=4，∴OA=OB=AA1=2，OA1=4，设A1D=x，则有(4+x)x=4，解得x=−2+2√2，或x=−2−2√2(舍去)，则OA2=4+2x=4−4+4√2=4√2，A2坐标为(4√2,0)．故答案为：(4√2,0)．作P1B⊥y轴，P1A⊥x轴，根据等腰直角三角形的性质解答即可．本题考查等腰三角形的性质与反比例函数的性质的综合，一定经过某点的函数应符合这个点的横纵坐标．16.小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是______分钟．【答案】4【解析】解：设车的速度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车．二辆车之间的距离是：at车从背后超过是一个追及问题，人与车之间的距离也是：at那么：at=6(a−b)①车从前面来是相遇问题，那么：at=3(a+b)②①−②，得：a=3b所以：at=4at=4即车是每隔4分钟发一班．根据路程=速度×时间，则此题中需要用到三个未知量：设车的速度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车．然后根据追及问题和相遇问题分别得到关于a，b，t的方程，联立解方程组，利用约分的方法即可求得t．注意：此题中涉及了路程问题中的追及问题和相遇问题．考查了对方程的应用，解方程组的时候注意技巧．17.如图，以半圆中的一条弦BC(非直径)为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若ADBD =23，且AB=10，则CB的长为______．【答案】4√5【解析】解：如图，∵ADBD =23，且AB=10，∴AD=4，BD=6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB=A′B，∴AC=A′C，AD=A′D′=4，A′B=AB=10．而A′C⋅A′A=A′D′⋅A′B，即A′C⋅2A′C=4×10=40．则A′C2=20，又∵A′C2=A′B2−CB2，∴20=100−CB2，∴CB=4√5．故答案是：4√5．作AB关于直线CB的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后作出解答．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）18. 解关于x 的不等式：x 2+3<4|x|．【答案】解：法一：原不等式化为①{x ≥0x 2−4x +3<0或②{x <0x 2+4x +3<0，(6分)∵x 2−4x +3=(x −1)(x −3)，x 2+4x +3=(x +1)(x +3)，∴解①得，1<x <3，解②得，−3<x <−1，(10分) 所以，原不等式的解为：1<x <3或−3<x <−1；(12分)法二：原不等式化为：|x|2+3<4|x|， 即(|x|−1)(|x|−3)<0， ∴1<|x|<3，∴原不等式的解为−3<x <−1或1<x <3．【解析】法一：根据绝对值的性质，分x ≥0和x <0两种情况去掉绝对值号，然后分别对x 2−4x +3和x 2+4x +3分解因式，根据同号得正、异号得负求解． 法二：或者先分解因式求出|x|的解集，然后再解不等式组的解集．本题分解因式后利用两数相乘，同号得正、异号得负求解；也可以先求出|x|的范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，从而得到不等式的解集，这对初中生要求比较高，但只要平时学习的扎实，相信也是不难解决的．19. 如图(1)，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得到S △ABC =12bcsinA …①即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半 如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，∠ACD =α，∠DCB =β∵S △ABC =S △ACD +S △BCD ，由公式①得到12AC ⋅BC ⋅sin(α+β)=12AC ⋅CD ⋅sinα+12BC ⋅CD ⋅sinβ即AC ⋅BC ⋅sin(α+β)=AC ⋅CD ⋅sinα+BC ⋅CD ⋅sinβ…②你能利用直角三角形关系及等式基本性质，消去②中的AC 、BC 、CD 吗？若不能，说明理由；若能，写出解决过程．并利用结论求出sin75°的值．【答案】解：①能消去②中的AC 、BC 、CD ．将AC ⋅BC ⋅sin(α+β)=AC ⋅CD ⋅sinα+BC ⋅CD ⋅sinβ，两边同除以AC ⋅BC 得： sin(α+β)=CDBC ⋅sinα+CDAC ⋅sinβ③， 又∵cosβ=CDBC 、cosα=CDAC ，代入③可得：sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ．②由sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ得：sin75°=sin(30°+45°)=sin30°⋅cos45°+cos30°⋅sin45°=12×√22+√32×√22=√2+√64．【解析】将等式的两边同时除以AC和BC，然后将cosβ=CDBC 、cosα=CDAC代入，整理即可消去②中的AC、BC、CD，分别令α=30°，β=45°代入消去后的式子可得出sin75°的值．本题考查了解直角三角形的知识，题目比较长，突破口在于熟练掌握直角三角形中三角函数的表示形式，例如题中的cosβ=CDBC 、cosα=CDAC，另外在解答这样阅读型题目时，一定要有耐心，仔细分析题意，切忌看见比较长的题目就无从下手．20.如图，过△ABC内一点M做各边的平行线与各边分别交于D，E，F，G，L，N各点．求证：DEBC +FGAC+LNAB=2．【答案】证明：根据题意，DE//BC，∴△ADE∽△ABC∴DEBC =ADAB；∵△BFG∽△BAC∴FGAC =BFAB；(3分)∵AFML是平行四边形，∴LM=AF；同理，MN=BD；则LNAB =LM+MNAB，∴DEBC+FGAC+LNAB=AD+BF+LM+MNAB=2ABAB=2．【解析】若将所求的等式左边进行通分，解起来会非常麻烦，所以要通过相似三角形得出的对应成比例相等来求证；根据△ADE∽△ABC、△BFG∽△BAC得出的对应成比例线段，用分母为AB的式子替换掉DEBC 、FGAC，然后再通过这些线段和AB的关系来证明所求的结论．此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质．21.已知二次函数y1=ax2+4ax+4a−1的图象是M．(1)求M关于点R(1,0)中心对称的图象N的解析式y2；(2)当2≤x≤5时，y2的最大值为√5，求a的值．【答案】解：(1)依题得，a≠0，且y1=ax2+4ax+4a−1=a(x+2)2−1，故图象M的顶点为A(−2,−1)，由对称性可知，图象N的顶点为B(4,1)，且其开口方向与M的相反，∴y2=−a(x−4)2+1，即y2=−ax2+8ax−16a+1．(2)当a<0时，抛物线N的开口向上，对称轴为x=4，若2≤x≤5，则当x=2时，y2取得最大值1−4a，由1−4a=√5得，a=1−√54．【解析】(1)先求出y1=ax2+4ax+4a−1的顶点坐标，由中心对称得出y2的顶点坐标，又由于y1和y2的开口方向相反，且开口大小相同，故a值相同，因此可确定解析式y2．(2)由于y2的开口向下，且对称轴位于2≤x≤5内，故顶点纵坐标为√5，则a的值便可求出．本题考查了二次函数图象关于定点中心对称时抛物线的解析式的求法．22.证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍．【答案】证明：如图，在△ABC中，设∠A=2∠B，且三边长分别为a，b，c．延长CA到点D，使AD=AB=c，则CD=b+c，由∠A=2∠B，知∠ABC=∠D．从而，△ABC∽△BDC，故BCDC =ACBC，即ab+c=ba于是，a2=b(b+c)①当a>c>b时，设a=n+1，c=n，b=n−1，代入①式，解得，n=5．此时，a=6，b=5，c=4；当c>a>b时，设c=n+1，a=n，b=n−1，解得，n=2．此时，a=2，b=1，c=3，不能构成三角形；同理，当a>b>c时，可得，n2−3n−1=0，n不是整数，舍去．综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4，5，6．【解析】首先保证该三角形的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍，构造相似三角形，得到a，b，c之间的一个关系式，再根据边长为三个连续的正整数，进行分析求解．此题综合运用了相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系．第11页，共11页。
2020年浙江省“三位一体”自主招生数学测试试卷（74）（有答案解析）
2020年浙江省“三位一体”自主招生数学测试试卷（74）（有答案解析）2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（74）一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1.“割圆术”是求圆周率的一种算法．公元263年左右，我国一位著名的数学家发现当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”请问上述著名数学家为A. 刘徽B. 祖冲之C. 杨辉D. 秦九昭2.某校食堂有4元、5元、6元三种价格的饭菜供学生们选择每人限购一份三月份销售该三种价格饭菜的学生比例分别为、、，则该校三月份学生每餐购买饭菜的平均费用是A. 元B. 元C. 5元D. 元3.在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，它们的图象与任意一条直线是任意实数交点的个数为A. 必有一个B. 一个或两个C. 至少一个D. 至多一个4.同时掷两个骰子，其中向上的点数之和是5的概率是A. B. C. D.5.给你一列数：1，l，2，6，24，请你仔细观察这列数的排列规则，然后从四个供选择单选项中选出一个你认为最合理的一项，来填补其中的空缺项，使之符合原数列的排列规律．A. 48B. 96C. 120D. 1446.已知．二次函数是实数，当自变量任取，时，分别与之对应的函数值，满足，则，应满足的关系式是A. B.C. D.7.在8个银元中混进了一个大小形状颜色完全一样的假银元，已知7个真银元的重量完全相同，而假银元比真银元稍轻点儿，你用一台天平最少次就能找出这枚假银元．A. lB. 2C. 3D. 48.如图，P是圆D的直径AB的延长线上的一点，PC与圆D相切于点C，的平分线交AC于点Q，则A.B.C.D.9.十进制12345678二进制110111001011101111000观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是A. 61B. 62C. 63D. 64二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）10.某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为______．11.如图，在平行四边形ABCD中，于E，于F，，且，则平行四边形ABCD的周长是______ ．12.在一个木制的棱长为3的正方体的表面涂上颜色，将它的棱三等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为l的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入口袋，从这个口袋中任意取出一个小正方体，则这个小正方体的表面恰好涂有两面颜色的概率是______．13.已知关于x的一元二次方程与有一个公共实数根，则______．14.一个样本为1、3、2、2、a，b，已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为______．15.如图，在梯形ABCD中，，，，，则该梯形的面积______．16.某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的A类软件和B类软件，根据需要A类软件至少买3片，B类软件至少买2片，则不同的选购方式共有______种．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.已知，求的值．四、解答题（本大题共5小题，共53.0分）18.在凸四边形ABCD中，，且四个内角中有一个角为，求其余各角的度数．19.某商店若将进价为100元的某种商品按120元出售，一天就能卖出300个．若该商品在120元的基础上每涨价l元，一天就要少卖出10个，而每减价l完，一天赢可多卖出30个．问：为使一天内获得最大利润，商店应将该商品定价为多少？20.如图，，是等边三角形，点，在函数的图象上，点，在x轴的正半轴上，分别求，的面积．21.如图，在中，O是内心，点E，F都在大边BC上，已知，．求证：O是的外心；若，，求的大小．22.如图，正三角形ABC的边长为l，点M，N，P分别在边BC，AB上，设，，，且．试用x，y，z表示的面积求面积的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：上述著名数学家是刘徽．故选：A．根据数学史的了解进行选择．此题考查了数学常识的知识，要多读书，了解一些有关数学的故事等．2.【答案】B【解析】解：平均费用为元．故选：B．用加权平均数的计算方法计算即可．此题考查了加权平均数的知识，属于简单题目．把所有数据相加后再除以数据的个数即得平均数．3.【答案】D【解析】解：任意一条直线是任意实数是平行于y轴的一条直线，在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，只有反比例函数与时，没有交点，其他只有一个交点．它们的图象与任意一条直线交点的个数至多有一个．故选：D．根据直线是任意实数的性质，得出一次函数、反比例函数和二次函数等函数中与它的关系，直接得出答案．此题主要考查了函数图象与直线是任意实数的性质，根据已知得出任意一条直线是任意实数是平行于y轴的一条直线是解决问题的关键．4.【答案】C【解析】解：列表得：共有种等可能的结果，向上的点数之和是5的情况有4种，两个骰子向上的一面的点数和为5的概率为．故选：C．列举出所有情况，看点数之和为5的情况占总情况的多少即可．此题考查了树状图法与列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．5.【答案】C 【解析】解：观察所给数字可知，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，故可知第六个数．故选：C．观察所给数字可知，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，故可知第六个数，继而即可得出答案．本题考查规律型中的数字变化问题，仔细观察题中所给数字，可知第n个数第个数．6.【答案】D【解析】解：，抛物线对称轴为，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，又，满足，可得，故选：D．在利用二次函数的增减性解题时，对称轴是非常重要的．根据、、，与对称轴的大小关系，判断、、的大小关系．本题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，难度一般，解答本题的关键是正确寻找出对称轴，这是解答本题的突破口．7.【答案】B【解析】解：8个银元分成4组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的一组没有假银元，天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组，再一次把较轻的一组分开放在天平的两边进行第二次测量，则较轻的是假银元，所以用一台天平最少2次就能找出这枚假银元．故选：B．可以把8个银元分成4组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的一组没有假银元，天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组；再把这组分开用天平测，可找出假银元．此题考查的知识点是推理与论证，关键是首先分成4组，先找出较轻的一组，再测即得．8.【答案】B【解析】解：连接BC交PQ于E，与圆D相切于点C，，为直径，，平分，，，，．故选：B．首先连接BC交PQ于E，由PC与圆D相切于点C，根据弦切角定理，即可得，又由AB为直径，即可得，然后由PQ平分与三角形外角的性质，即可证得，则可求得的度数．此题考查了圆的切线的性质，圆周角的性质，弦切角定理，等腰直角三角形的性质，以及三角形外角的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．9.【答案】C【解析】解：表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是111111，能表示十进制是：．故选：C．根据表可以得到二进制的数转化十进制的数，，，，；表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是111111，根据规律即可求得十进制表示的数．本题考查了有理数的计算，关键是正确观察图表，理解二进制的数写成十进制的数的方法．10.【答案】【解析】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，今年的投资金额为：；明年的投资金额为：；所以根据题意可得出的方程：．故答案为：．本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程．增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．11.【答案】8【解析】【分析】要求平行四边形的周长就要先求出AB、AD的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出．解题关键是利用平行四边形的性质结合等角对等边、勾股定理来解决有关的计算和证明．【解答】解：，，，则，，设，则，在中，根据勾股定理可得，同理可得则平行四边形ABCD的周长是故答案为8．12.【答案】【解析】解：在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个．由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是选出的是恰好涂有两面颜色的正方体，有12种结果，故概率为．故答案为．本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是选出的是表面恰好涂有两面颜色的正方体，有12种结果，根据等可能事件的概率得到结果．本题考查等可能事件的概率，考查计数原理，考查正方体的结构特征，是一个综合题目，在解题时注意分割后的小正方体一定要数清楚，本题是一个易错题．13.【答案】【解析】解：与有一个公共实数根，有一个实数根，，把代入得：．故答案为：．本题需先根据与有一个公共实数根，求出x的值，再把x的值代入原方程即可求出m的值．本题主要考查了一元二次方程的解的概念，在解题时要能够灵活应用解的概念求出结果是本题的关键．14.【答案】【解析】解：因为众数为3，可设，，c未知平均数，解得根据方差公式故填．因为众数为3，表示3的个数最多，因为2出现的次数为二，所以3的个数最少为三个，则可设a，b，c中有两个数值为另一个未知利用平均数定义求得，从而根据方差公式求方差．本题考查了众数、平均数和方差的定义．15.【答案】18【解析】解：取CD的中点E，连接BE，，是菱形，，，，，，，．四边形ABCD的面积是18．故答案为18．取CD的中点E，连接BE，从而得到进而判定四边形ABED是菱形，得到，从而得到然后得到：．本题考查了梯形的性质，解题的关键是正确地作出辅助线，熟记梯形中常用辅助线的作法对解决此类题目有很大的帮助．16.【答案】7【解析】解：设购买A、B类软件分别为x，y片，根据题意得：，，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，舍去，当，时，，当，时，舍去，当，时，舍去，当，时，，当，时，舍去，当，时，舍去，不同的选购方式共有7种．故答案为：7．首先设购买A、B类软件分别为x，y片，根据题意即可得不等式组：，解此不等式组，然后根据分类讨论的思想求解即可求得答案．此题考查了不等数组的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是注意理解题意，根据题意求得方程组，然后根据其性质解题，注意分类讨论思想的应用．17.【答案】解：，，原式．【解析】先化简，再代入求值即可．本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．18.【答案】解：设，则，，，，．1、时，，，，；2、时，，，，，．3、时，，，，，4、，，，，，．【解析】可设，根据四边形内角和等于，分四种情况进行讨论，从而求解．本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和等于，由于四个内角中有一个角为，不确定，故应该分类讨论．19.【答案】解：按120元出售，一天就能卖出300个，可获得利润：元；设涨价为x元，则可卖出个，设利润为y元，则；若设降价x元，则可以卖出个，设利润为y元，则：；，所以当售价定为115元获得最大为6750元．综上所述，当定价为115元时，商店可获得最大利润6750元．【解析】分别以120元为基础，当涨价时，大于120元，当降价时，小于120元，利用每个商品的利润卖出数量总利润分别写出函数关系式；利用配方法求得两个函数解析式的最大值，比较得出答案．此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用，根据利润售价进价卖的件数，列出函数解析式，求最值是解题关键．20.【答案】解：分别过、作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，设，．，是等边三角形，，，，，的坐标为，的坐标为，又点在函数的图象上，，解得舍去，，．点在函数的图象上，，解得，舍去，，，的面积，的面积．【解析】分别过、作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设，根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到，，，得到的坐标为，的坐标为，然后先把的坐标代入反比例解析式求得m的值，再把的坐标代入反比例解析式得到n的值，这样就确定两等边三角形的边长，然后根据等边三角形的面积等于其边长的平方的倍计算即可．本题考查了点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等边三角形的性质．21.【答案】解：证明：连接OA、OB、OC、OE、OF，是的内心，，在和中≌，，同理，，是的外心．是的外心，，在等腰三角形，，同理，，答：的度数是．【解析】连接OA、OB、OC、OE、OF，证≌，推出，即可；根据三角形的内角和定理求出，，再根据三角形的内角和定理求出即可．本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．22.【答案】解：正三角形ABC的边长为l，，，，，，，，；，，，当时，等号成立，．【解析】由正三角形ABC的边长为l，，，，即可求得MC，NA，PB的值，又由与，即可求得的面积；由与，即可求得的最大值，继而求得面积的最大值．此题考查了三角形的面积问题，几何不等式的应用问题，以及正三角形的性质．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意几何不等式的应用．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(11)-教师用卷
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（11）一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.用一排6盏灯的亮与不亮来表示数，已知如图分别表示了数1～5，则●〇〇●●〇表示的数是()A. 23B. 24C. 25D. 26【答案】C【解析】解：由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，则1=1×20，2=1×21+0×20，3=1×21+1×21，4=1×22+0×21+0×20，5=1×22+0×21+1×20，∵●〇〇●●〇用数字表示为“011001”，∴●〇〇●●〇表示的数为0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=25，故选：C．由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，将各亮灯情况表示为二进制的数字，再进一步转换为十进制即可得．本题主要考查图形和数字的变化规律，解题的关键是将亮灯情况转化为二进制的数字及二进制与十进制数字的转换方法．2.用11个相同的正方体堆积如图，在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，结果左视图不变的概率是()A. 56B. 23C. 12D. 13【答案】A【解析】解：在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，有6种情况：①②；①③；①④；②③；②④；③④；其中左视图不变的情况有5种：①②；①③；①④；②④；③④；∴左视图不变的概率是5，6故选：A．在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，有6种情况：①②；①③；①④；②③；②④；③④；其中结果左视图不变的情况有5种：①②；①③；①④；②④；③④；即可得出左视图不变的概率．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．3.如图入口进入，沿框内问题的正确判断方问，最后到达的是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】解：有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等是假命题，因为如果这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不全等；一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，是假命题；，综合以上到达的是丁，故选：D．分别判断三个命题的真假后即可确定到达的位置．考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的判断三个命题，难度不大．4.三个关于x的方程：a1(x+1)(x−2)=1，a2(x+1)(x−2)=1，a3(x+1)(x−2)=1，已知常数a1>a2>a3>0，若x1、x2、x3分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是()A. x1<x2<x3B. x1>x2>x3C. x1=x2=x3D. 不能确定x1、x2、x3的大小【答案】A【解析】解：∵a1>a2>a3>0，∴二次函数y1=a1(x+1)(x−2)，y2=a2(x+1)(x−2)，y3=a3(x+1)(x−2)开口大小为：y1>y2>y3．∴其函数图象大致为：．∴x1<x2<x3．故选：A．由y =a(x +1)(x −2)=a(x −12)2−74a 得到顶点坐标是(12,−74a)，抛物线与x 轴的交点坐标是(−1,2)，据此作出函数图象，结合函数图象作出判断．考查了抛物线与x 轴的交点，解题的技巧性在于根据题意作出函数图象，由函数图象直接得到答案，“数形结合”的数学思想的使问题变得直观化．5. 如图正方形ABCD 的顶点A 在第二象限y =k x 图象上，点B 、点C 分别在x 轴、y 轴负半轴上，点D 在第一象限直线y =x 的图象上，若S 阴影=23，则k 的值为( ) A. −1B. −43C. −53D. −2【答案】B【解析】解：如图，过点A 作AG ⊥x 轴，过点D 作DE ⊥x 轴，作DF ⊥AG 交y 轴于H ，∴四边形DHOE 是矩形∵∠ADC =∠HDE =90°∴∠ADC −∠FDC =∠HDE −∠FDC∴∠ADF =∠CDE ，∵点D 在第一象限直线y =x 的图象上，∴DH =DE ，且∠ADF =∠CDE ，∠DHM =∠DEN∴△DHM≌△DEN(ASA)∴S △DHM =S △DNE ，∴S 阴影=23=S 四边形DHOE =DH ×DE ∴DH =DE =√63同理可证：△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC∴AF =HD =BG =OC ，AG =DF =BO =HC ∴OC =HD =√63=AF =BG∴CH =2√63 ∴AG =2√63=BO ∴GO =√63 ∴点A 坐标(−√63,2√63) ∴k =−√63×2√63=−43故选：B ．过点A 作AG ⊥x 轴，过点D 作DE ⊥x 轴，作DF ⊥AG 交y 轴于H ，由“ASA ”可证△DHM≌△DEN ，可得S △DHM =S △DNE ，可求DH =DE =√63，由△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC ，可得AF =HD =BG =OC ，AG =DF =BO =HC ，可求点A 坐标，即可求k 的值．本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质求点A 坐标是本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）6. 关于x 的不等式组{2x +a >5x x−53≤x−12−1有且只有四个整数解，则a 的取值范围是______．【答案】6<a ≤9【解析】解：解不等式2x +a >5x ，得：x <a 3，解不等式x−53≤x−12−1，得：x ≥−1，∵不等式组有四个整数解，∴6<a ≤9，故答案为：6<a ≤9．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7. 如图，矩形ABCD 中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF 的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是______．【答案】①③【解析】解：设①②③三个等腰直角三角形的边长分别为a ，b ，c ，∴①②③三个等腰直角三角形的周长分别为：(2+√2)a ，(2+√2)b ，(2+√2)c ， ∴每两个等腰直角三角形的周长之差分别为：(2+√2)(a −c)，(2+√2)(a −b)，(2+√2)(b −c)∵EF =BE −BF =√2a −b ，∴不能求①②两个等腰直角三角形之差，∵∠BFC=90°，∠GFC=45°∴∠EFG=45°∴EF=√2DG=a−c∴能求①③两个等腰直角三角形之差，∵b=√2c，∴b−c=√2c−c与EF无关，故答案为：①③由等腰直角三角形的性质可求①②③三个等腰直角三角形的周长分别为：(2+√2)a，(2+√2)b，(2+√2)c，分别求出两个等腰直角三角形的周长之差，即可求解．本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用等腰直角三角形的性质是本题的关键．8.如图，△ABC中，MN//BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC=x，MN=y，则y与x的函数解析式为______(不要求写自变量x的取值范围)．【答案】y=12x−2x212【解析】解：如图，设切点分别为E点，H点，F点，G点，∵BC，AB，AC，MN都与△ABC内切圆相切，∴BE=BG，GC=CF，ME=MH，NF=HN，∴BE+CF=BG+GC=BC=x，ME+NF=MH+NH=MN=y∵△ABC周长为12∴AB+AC+BC=12∴AE+AF=12−2x，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+MH+AN+NF=AE+AF=12−2x，∵MN//BC∴△AMN∽△ABC∴△AMN的周长△ABC的周长=MNBC∴12−2x12=yx∴y=12x−2x212故答案为：y=12x−2x212由切线长性质可得BE=BG，GC=CF，ME=MH，NF=HN，可得△AMN的周长= 12−2x，由相似三角形的性质可得y与x的函数解析式．本题考查了三角形的内切圆和内心，切线长定理，相似三角形的判定和性质，求出△AMN的周长是本题的关键．9.平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内⊙O上一点，PH⊥CB交CB延长线于点H，已知∠BPH=2∠BPO，PH=15，CH=24，则tan∠BAC的值为______．【答案】211【解析】解：设PB交⊙O于点N，连接PA，延长PB、AC交于点M，∵AB是直径，PH⊥CB∴∠ANP=90°=∠ACB=∠H，∴MC//PH，由圆的对称性可得，PA=PA，∠BPO=∠APO=12∠APB，∵∠BPH=2∠BPO，∴∠BPH=∠APB，∴△PHB≌△PNA(AAS)，∴PN=PH=15，由MC//PH得，∠HPB=∠M=∠APM，∴AM=AP=PB，∵AN⊥PM，∴PM=2PN=30，由△PHB∽△MBC，∴MCPH =BCHB=MBPB，设MC=a，BC=b，MB=c，则HB=24−b，PB=30−C，∴a15=b24−b=c30−c，∴bc =45=sinM=sin∠HPB，在Rt△PHB中，PH=15，∴PB=PHsin∠HPB=25，HB=sin∠HPB⋅PH=20，∴BC=24−20=4，MB=30−25=5，则MC=√52−42=3，在Rt△ABC中，BC=4，AC=AM−MC=25−3=22，∴tan∠BAC=BCAC =422=211，故答案为：211．要求tan∠BAC的值，可以先求AC、BC即可，通过作辅助线，利用圆的对称性、相似三角形、全等三角形的性质求出相应的边长即可．考查圆、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质以及直角三角形的边角关系等知识，综合应用知识能力是本题的鲜明特点．三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）10.x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b(a<b)，则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y=−x+3，当x=1时y=2；当x=2时y=1，即当1≤x≤2时，1≤y≤2，所以y=−x+3是1≤x≤2上的闭函数．(1)请说明y=30x是1≤x≤30上的闭函数；(2)已知二次函数y=x2+4x+k是t≤x≤−2上的闭函数，求k和t的值；(3)在(2)的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x=t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为______．【答案】√10【解析】解：(1)∵k=30，∴当1≤x≤30时，y随x的增大而减小．∴当x=1时，y=30；当x=30时，y=1．∴1≤y≤30．∴反比例函数y=30x是1≤x≤30上的闭函数；(2)∵x=−b2a=−2，a=1>0，∴二次函数y =x 2+4x +k 在闭区间[t,−2]上y 随x 的增大而减小．∵二次函数y =x 2+4x +k 是闭区间[t,−2]上的“闭函数”，∴当x =−2时，y =k −4；当x =t 时，y =t 2+4t +k ．{k −4=t t 2+4t +k =−2， 解得{k 1=1t 1=−3，{k 2=2t 2=−2． ∵t <−2，∴{k 2=2t 2=−2，舍去， ∴k =1，t =−3．(3)由(2)知，抛物线解析式为：y =x 2+4x +1，或y =(x +2)2−3由二次函数的图象交y 轴于C 点，A 为此二次函数图象的顶点，得A(−2,−3)，C(0,1)．设B(−3,a)，由勾股定理，得AC 2=22+(−3−1)2=20，AB 2=(−2+3)2+(−3−a)2=10+6a +a 2，BC 2=32+(1−a)2=10−2a +a 2①当∠ABC =90°时，AC 2=AB 2+BC 2，即20=10+6a +a 2+10−2a +a 2，则a =0． 此时AB 2=BC 2=10，故AB =BC =√10；②当∠ACB =90°时，AB 2=AC 2+BC 2，此时a =52，而AC ≠BC ，不满足条件，舍去． ③同理，当∠BAC =90°时也不满足条件．综上所述，△ABC 的腰长为√10．故答案是：√10．(1)由k >0可知反比例函数y =30x 在闭区间[1,30]上y 随x 的增大而减小，然后将x =1，x =30别代入反比例解析式的解析式，从而可求得y 的范围，于是可做出判断；(2)先求得二次函数的对称轴为x =−2，a =1>0，根据二次函数的性质可知y =x 2+4x +k 在闭区间[t,−2]上y 随x 的增大而减小，然后将x =2，y =k −4，x =t ，y =t 2+4t +k 分别代入二次函数的解析式，从而可求得k 的值；(3)根据勾股定理的逆定理，可得方程，根据解方程，可得答案．本题考察了二次函数综合题，解(1)的关键是利用闭函数的定义，解(2)的关键是利用闭函数的定义得出方程组，解(3)的关键是利用勾股定理的逆定理得出方程，要分类讨论，以防遗漏．11.如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∠OPA=45°．(1)求证：PO平分∠APB；(2)作OH⊥PA交弦PA于H．①若AH=2，OH+PB=8，求BP的长；②若BP=m，OH=n，把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB(如图2)，求AP′的长．【答案】证明：(1)如图1，连接AB，∵∠AOB=90°∴AB是直径，∴∠APB=90°∵∠OPA=45°∴∠OPB=∠APB−∠OPA=90°−45°=45°∴∠OPA=∠OPB∴PO平分∠APB；(2)①∵∠OAB=∠OPB=45°，∠OBA=∠OPA=45°∴∠OBA=∠OAB∴OA=OB如图2，将△AOH绕点O逆时针旋转90°，得到△BOC，∴AH=BC=2，∠AHO=∠C=90°，∠OAH=∠OBC∵四边形APBO是圆内接四边形∴∠OAH+∠PBO=180°∴∠OBC+∠PBO=180°∴点C，点B，点P共线∵∠AHO=∠C=90°=∠APB∴四边形OCPH是矩形∴CP=OH，∴AH=OH−BP=2，且BP+OH=8∴BP=3，OH=5②BP=m，OH=n，如图3，将△AOP′绕点O逆时针旋转90°得到△BOQ，连接BQ，P′Q，∵OH⊥AP，∠OPA=45°，∴∠POH=∠OPA=45°，∴PH=OH=n，OP=√2n，∵OA=OB，∴OB⏜=OA⏜，∴∠BPO=∠OPA=45°，∵把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB∴OP=OP′=√2n，BP=BP′=m，∠BPO=BP′O=45°，∵将△AOP′绕点O逆时针旋转90°得到△BOQ，∴OQ=OP′=√2n，∠QOP′=90°，∴P′Q=2n，∠QP′O=45°，∴∠QP′B=90°，∴BQ=√P′B2+P′Q2=√4n2+m2，∴AP′=√4n2+m2．【解析】(1)连接AB，由圆周角定理可得AB是直径，可得∠APB=90°，即可得结论；(2)由题意可得OA=OB，将△AOH绕点O逆时针旋转90°，得到△BOC，由旋转的性质AH=BC=2，∠AHO=∠C=90°，∠OAH=∠OBC，可得AH=OH−BP=2，且BP+ OH=8，解方程组可求BP的长；(3)将△AOH绕点O逆时针旋转90°，得到△BOC，通过证明△PBE∽△OAH，可得BPOA=BE AH =PEOH，可求BE，PE的长，由勾股定理可求AP′的长．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解本题的关键．第11页，共11页。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(72)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（72）一、选择题（每小题4分，共24分.以下每小题均给出了代号A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确的代号填入括号里，不填、多填或错填得0分）1．（4分）已知535y ax bx cx =++-．当3x =-时，7y =，那么，当3x =时，(y = )A ．3-B ．7-C ．17-D ．72．（4分）在ABC ∆中，90C ∠=︒，B ∠的平分线交AC 于D ．则(AB BC AD -= )A ．sinB B ．cos BC ．tan BD ．cot B3．（4分）四条直线6y x =--，6y x =-+，6y x =-，6y x =+围成正方形ABCD ．现掷一个均匀且各面上标有1，2，3，4，5，6的立方体，每个面朝上的机会是均等的．连掷两次，以面朝上的数为点P 的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点P 落在正方形面上（含边界）的概率是( )A ．12B ．34C ．79D ．5124．（4分）已知函数2y ax bx c =++，当0y >时，1123x -<<．则函数2y cx bx a =-+的图象可能是下图中的( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）有一堆形状大小都相同的珠子， 其中只有一粒比其它都轻些， 其余一样重 ． 若利用天平 （不 用砝码） 最多两次就找出了这粒较轻的珠子， 则这堆珠子最多有( )A ． 8 粒B ． 9 粒C ． 10 粒D ． 11 粒6．（4分）在ABC ∆中，BC a =，AB c =，CA b =．且a 、b 、c 满足：2823a b -=-，21034b c -=-，267c a -=，则2sin sin (A B += )A ．1B ．75C ．2D ．125二、填空题（每小题5分，共30分）7．（5分）已知01a <<，化简1122a a a a++-+-= ． 8．（5分）若关于x 的方程2||40x k x -+=有四个不同的解，则k 的取值范围是 ．9．（5分）对于大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：仿上，25的“分裂”中最大的数是 ，若3m 的“分裂”中最小数是21，则m = ．10．（5分）已知22(2008)(2007)1a a -+-=，则(2008)(2007)a a --=g ．11．（5分）如图，在ABC ∆中，40AB AC ==，3sin 5A =．O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆交BC 于D ，且O e 与AC 相切．则D 到AC 的距离为 ．12．（5分）在十进制的十位数中，被9整除并且各位数字都是0或5的数有 个．三、解答题（每小题11分，共66分）13．（11分）用1，2，3三个数字组成六位数，若每个数字用两次，相邻位不允许用相同的数字．（1）试写出四个符合上述条件的六位数；（2）请你计算出符合上述条件的六位数共有多少个？14．（11分）已知关于x 的方程：2102x a a x +--=-有一个增根为b ，另一根为c ．二次函数2337()22y ax bx c x =+++-剟与x 轴交于P 和Q 两点．在此二次函数的图象上求一点M ，使得PQM ∆面积最大．15．（11分）如图，已知锐角ABC ∆的外心为O ，线段OA 和BC 的中点分别为点M ，N ．若4ABC OMN ∠=∠，6ACB OMN ∠=∠．求OMN ∠的大小．16．（11分）甲，乙两辆汽车同时从同一地点A 出发，沿同一方向直线行驶，每辆车最多只能带240L 汽油，途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km ，两车都必须沿原路返回出发点，但是两车相互可借用对方的油．请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发地点A ，并求出这辆车一共行驶了多少千米？17．（11分）已知实数a ，b ，c 满足：22221a b c ab +++=，2221()8ab a b c ++=．又α，β为方程2()(2)()0a b x a c x a b +-+-+=的两个实根，试求33αβαβ++的值． 18．（11分）如图，已知菱形ABCD ，60B ∠=︒，ADC ∆内一点M 满足120AMC ∠=︒，若直线BA 与CM 交于点P ，直线BC 与AM 交于点Q ，求证：P ，D ，Q 三点共线．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(77)(含答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（77）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.在我们的周围，有很多美丽的图案，下面是一些汽车的标志，请欣赏下面标志，并注意分析其中是中心对称图形的是A. B.C. D.2.如图，宽为的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为A. B. C. D.3.在直角坐标系中，的圆心在原点，半径为3，的圆心A的坐标为，半径为1，那么与的位置关系是A. 内含B. 内切C. 相交D. 外切4.如图，要判断的面积是的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是A. 3次以上B. 3次C. 2次D. 1次5.若，则的值是A. 8B. 7C.D.6.若对上的一切实数x，不等式恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.7.如图：四边形ABMN，BCPQ是四角都是直角的全等四边形，点R在线段AC上移动，则满足的点R的个数是A. 1个B. 2个C. 1个或2个D. 无数多个8.二次函数的图象如图所示，它与x轴交于点，则化简二次根式的结果是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形阴影部分的面积，验证了一个等式是______．10.已知整数对序列，，，，，，，，则第30对数为______．11.在中国古代诗词中，有很多诗句体现了数学的某些意境，如“明月松间照，清泉石上流”体现了对称的意境；“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”体现了极限或无限的意境，请你再举出一例并说明其蕴涵的数学意义：______．12.如果定义，那么______．13.如图甲，圆的一条弦将圆分成2部分；如图乙，圆的两条弦最多可将圆分成4部分；如图丙，圆的三条弦最多可将圆分成7部分．由此推测，圆的n条弦最多可将圆分成______．14.如图，等腰梯形ABCD中，，，，点E，F分别在AD，BC上，且，，设四边形DEFC的面积为y，则y关于x 的函数关系式是______不必写自变量的取值范围．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）15.如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁．一艘客轮以9海里时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东方向．问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）16.若方程组与方程组有相同的解，求a，b的值．17.已知正比例函数和反比例函数的图象如图，请你画出函数的大致图象，并用文字说明所画图象的特征．18.求函数当时的最小值．19.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度u行走，另一半时间以速度v行走；乙有一半路以速度u行走，另一半路以速度v行走．如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点？并说明理由．20.如图，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，O为坐标原点，A点的坐标为，若P为y轴点除外上的一点，过P作轴交直线AB于C，设线段PC的长为l，点P的坐标为．如果点P在线段点除外上移动，求l与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；如果点P在射线、O两点除外上移动，求当m为何值时，．21.如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，，于M，求证：．22.设，且，抛物线被x轴截得的线段长为l，求l的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合选项即可得出答案．此题考查了中心对称的知识，解答本题一定要熟练中心对称的定义，关键是寻找中心对称点，要注意和轴对称区分开来．2.【答案】A【解析】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，由图形可知，解得：．所以一个小长方形的面积为．故选：A．根据矩形的两组对边分别相等，可知题中有两个等量关系：小长方形的长小长方形的宽，小长方形的长小长方形的长小长方形的宽，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．此题考查了二元一次方程的应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小正方形的长与宽的关系．3.【答案】B【解析】解：根据题意得点A到点O的距离是，即两圆的圆心距是2，所以半径与圆心距的关系是，根据圆心距与半径之间的数量关系可知与的位置关系是内切．故选B．首先求得点A到点O的距离是，再根据圆心距与半径之间的数量关系判断与的位置关系．本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且，圆心距为P，则：外离；外切；相交；内切；内含．4.【答案】D【解析】解：连接AD并延长交BC于M，作交AP于点F．一次测量即可得AD，AM长，即可算出DM长，由，即可求出的面积是的面积的几倍．所以只量一次．故选D．根据同底三角形的面积比等于高之比，即可得到答案．此题考查了同底三角形的面积的度量．5.【答案】B【解析】解：由，得，由题知，x不等于0，两边同除x得：，又知将代入得，原式．故选：B．将原方程转化为，利用完全平方公式将转化为完全平方式，再将代入所得完全平方式即可求解．本题主要考查了利用完全平方公式将代数式化为完全平方式并求代数式的值，利用整体思想是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：变形得，当，，即，对上的一切实数x，不等式恒成立，，m取最小值，，即；当时，恒成立，当时，，即，时，m取最大值，，即，实数m的取值范围是．故选：B．先变形得到，讨论：当，，即；当时，恒成立；当时，，即，而对上的一切实数x，不等式恒成立，当，m取最小值，时，m取最大值5，然后综合得到m的范围．本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质先去括号或去分母，再把含未知数的项移到不等式的左边，常数项移到右边，合并同类项后，然后把未知数的系数化为1即可．7.【答案】C【解析】解：设两个矩形的长是a，宽是连接PN，延长PQ交AN于H，连接BN，BP，在中，根据勾股定理可得：，过PN的中点E作于点F．则EF是梯形ANPC的中位线，则；以PN为直径的圆，半经为的圆，又，而只有是等号才成立，由，可得圆与直线AC相交或相切，则直角顶点R的位置有两个或一个．故选：C．首先设两个矩形的长是a，宽是连接PN，延长PQ交AN于H，连接BN，BP，利用勾股定理可求得PN的值，然后求得梯形ANPC的中位线的中位线长，利用几何不等式，可得圆与直线AC相交或相切，则可求得答案．此题考查了圆周角定理，梯形的中位线的性质、矩形的性质以及几何不等式的应用．此题难度较大，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．8.【答案】D【解析】解：图象开口向下，，，，图象和y轴的交点在正半轴上，，当时，，，，当时，，，原式，故选D．由于图象开口向下，那么；易知，可得；而图象和y轴的交点在正半轴上，则有，当时，以求，即，于是，，据图可知当时，，即，据此可化简所给式子，根据二次根式的性质计算即可．本题考查了二次函数图象和系数的关系，解题的关键是能根据图象找出图象特点，并能代入一些x的特殊值如：时y取值情况．9.【答案】【解析】解：左边图形中，阴影部分的面积，右边图形中，阴影部分的面积，两个图形中的阴影部分的面积相等，．故答案为：．分别表示出两个图形中的阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解．本题考查了平方差公式的几何解释，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键．10.【答案】【解析】解：，两数的和为2，共1个，，，两数的和为3，共2个，，，，两数的和为4，共3个，，，，第30对数是两个数的和为9的8个数对中的第二对数，即．故答案为：．根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律，然后找出第30对数的两个数的和的值以及是这个和值的第几组，然后写出即可．本题是对数字变化规律的考查，规律比较隐蔽，观察出括号内的两个数的和的变化情况是解题的关键．11.【答案】“满园春色关不住，一支红杏出墙来”；体现了微积分教学中的无界变量，无界变量是说，无论你设置怎样大的正数M，变量总要超出你的范围，即有一个变量的绝对值会超过于是，M可以比喻成无论怎样大的园子，变量相当于红杏，结果是总有一支红杏越出园子的范围．诗的比喻如此恰切，其意境把枯燥的数学语言形象化了．【解析】解：如：“满园春色关不住，一支红杏出墙来”；体现了微积分教学中的无界变量，无界变量是说，无论你设置怎样大的正数M，变量总要超出你的范围，即有一个变量的绝对值会超过于是，M可以比喻成无论怎样大的园子，变量相当于红杏，结果是总有一支红杏越出园子的范围．诗的比喻如此恰切，其意境把枯燥的数学语言形象化了．故答案为：根据题目举例结合生活实际举例并说明其蕴涵的数学意义．此题考查的知识点是数学常识，也考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，在平时注重理论联系实际，学以致用．12.【答案】【解析】解：．故答案为：．根据新定义得到，再约分计算即可求解．考查了规律型：数字的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．13.【答案】【解析】解：一条弦最多可将圆分成部分，二条弦最多可将圆分成部分，三条弦最多可将圆分成部分，四条弦最多可将圆分成部分，n条弦最多可将圆分成部分．故答案为：．根据每增加一条弦，增加了多少个部分，由易到难，寻找变化规律．考查了计数方法，本题是规律探讨性题型，解题的关键是由基本图形，逐步寻找一般规律．14.【答案】【解析】解：过E作EG垂直AB于G，过F作FH垂直AB于H，，EG垂直AB，，FH垂直AB，，过E作EG垂直AB于G，过F作FH垂直AB于H，根据等式梯形ABCD的面积，分别求得各部分的面积从而可得到函数关系式．此题主要考查学生对等腰梯形的性质及三角形的面积公式的综合运用．15.【答案】解：过P作于C点，据题意知：，，，，，在中：，即：，，客轮不改变方向继续前进无触礁危险．【解析】要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点P的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险．此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．16.【答案】解：方程组与方程组有相同的解，方程组的解也是它们的解，解之得：，代入其他两个方程得，解之得：，【解析】将方程和组成二元一次方程组后求得其解，然后代入剩余两个方程组成的方程组即可求得a、b的值．此题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，解题时首先正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组即可求解．x 1 2 3y 0 0描点、连线：所画图象有两个分支，两个分支关于原点对称且都不与y轴相交．【解析】根据函数图象的画法，列表、描点、连线即可．本题考查了函数图象的画法，要知道，画函数图象要列表、描点、连线，同时要能根据函数图象得到函数的性质．18.【答案】解：对称轴，，即时，范围内，y随x的增大而增大，当时，y最小，最小值，，即时，当时有最小值，最小值，，即时，范围内，y随x的增大而减小，当时，y最小，最小值，综上所述，时，最小值为1，时，最小值为，时，最小值为．【解析】先求出抛物线对称轴，然后分，，三种情况，根据二次函数的增减性解答．本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求解．19.【答案】解：设从出发点到指定地点的路是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，，依题意有：，，，，．．故甲先到达指定地点．【解析】不等式的应用与作差法比较大小，由题意知，可分别根据两人的运动情况表示出两人走完全程所用的时间，再对两人所胡的时间用作差法比较大小即可得出谁先到达．此题主要考查了应用类问题中一个不等式的实际应用题，根据实际情况建立起函数模型，再利用不等式的性质比较大小，熟练掌握比较大小的方法作差法，及根据题设情况建立起正确的模型是解题的关键20.【答案】解：在直线上，，解得，轴交直线AB于C，，；当点P在线段BO上时，，，，即，解得或4，当P点在y轴的负半轴时，，，则，解得舍去，，或4或．【解析】将代入直线中，可求得，将P点纵坐标m代入直线中，得C点横坐标为，由此可表示PC的长，即求l与m的函数关系式；分P点在线段BO上，P点在y轴的负半轴，两种情况分别表示的面积，再求m的值．本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据一次函数点的坐标表示线段的长和三角形面积．21.【答案】证明：在MA上截取，连接BE，，，，，，，而，，又，，，，≌，，．【解析】首先在MA上截取，连接BE，由，根据垂直平分线的性质，即可得到，得到；再由，得到，而，则，根据圆内接四边形的性质得，易得，从而可证出≌，得到，即有．此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．22.【答案】解：，，，，被x轴截得的线段的长为l，令，则，设，，，把代入上式，得，，，，，，，，，，，，，，，．【解析】利用已知条件得到b和a，c的关系，令解方程求出抛物线和x轴交点的横坐标，求出l的表达式，利用一元二次方程的判别式，求出l的取值，再由，推出，可得，推出，由此即可解决问题．本题考查了二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(47)(有答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（47）一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.设，则代数式的值为A. 6B. 4C.D.2.在直线上依次取5个点，它们的横坐标分别为1，2，3，4，5，在这5个点中随意取2个点，则两点在同一反比例函数的图象上的概率是A. B. C. D.3.某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为A. B.C. D.4.在中，，AB边的长为10，AC边的长度可以在5，7，10，11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是A. 4B. 5C. 6D. 75.如图，点C在线段BD上，BC：：2，与为等边三角形，AD与BE交于点F，连结FC，给出下列两个结论：则下列说法正确的是平分；：：2．A. 只有成立B. 只有成立C. 都成立D. 都不成立二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）6.实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么1，，，这四个数据的中位数是______．7.学校进行了一次智力测试，共25题．规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不得分也不扣分．小刚同学共得了34分，且已知他有奇数道题目未答，则他有______道题未答．8.用四根长度为1，4，4，5的线段为边作梯形，则梯形面积所有可能的值是______．9.如图，中，，，，点D，E分别在BC，AB上，，若DE把的面积平分，则______．三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）10.定义：函数其中为关于x的两个一次函数与的生成函数．请你解答下列问题：给定两个一次函数：，．求它们的生成函数在时的函数值；判断这两个函数图象的交点是否在它们的生成函数的图象上，请说明理由；设两个一次函数与的图象的交点为P，判断点P是否在它们的生成函数的图象上，并说明理由．11.如图，已知抛物线经过原点O，它的对称轴为直线动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒．连结OP并延长交抛物线于点B，连结AO、AB．求抛物线的函数解析式；当A，O，B三点构成以OB为斜边的直角三角形时，求t的值；请你探究：当时，在点P运动过程中，的外接圆圆心M所经过的路线长度是______请在横线上直接写出答案即可．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，即，．故选：A．先利用已知条件得，两边平方后得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．2.答案：B解析：解：在直线上依次取5个点A、B、C、D、E，它们的横坐标分别为1，2，3，4，5，则A表示；B表示；C表示；D表示；E表示．在这5个点中随意取2个点，树状图如图所示：由图可知，共有20种情况，两点在同一反比例函数图象上的情况数有4种，所以所求的概率为，故选：B．设这5个点分别为A、B、C、D、E，先求出它们的坐标，再列举出所有情况，看两点的横纵坐标的积相等的情况数占总情况数的多少即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，列表法与树状图法，概率的求法；画出树状图得到所求的情况数是解决本题的关键．3.答案：D解析：解：全班有x名同学，每名同学要送出张；又是互送照片，总共送的张数应该是．故选：D．如果全班有x名同学，那么每名同学要送出张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．4.答案：B解析：解：过A作于E，，，，即AE是A到直线BC的最短距离，当时，此时三角形有1个；当此时三角形有2个；当时，此时三角形有1个；当时，此时三角形有1个；即存在三角形个，故选：B．根据角所对的直角边等于斜边的一半以及垂线段最短的性质求出AC边的最短值，然后选择即可得解．本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，求出AC边的最小值是解题的关键．5.答案：C解析：解：作于M，于H，和均是等边三角形，，，，，即，在和中，，≌，，，，，，即FC平分；故正确；平分，，：：2，：：2．故正确．故选：C．作于M，于H，证明≌，可得，，则得出，可知正确，由可得出BF：：2．本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，角平分线的判定定理和性质定理等知识，熟练掌握各性质与判定方法是解题的关键．6.答案：解析：解：根据实数a、b在数轴上的位置可得：，把这些数从小到大排列为：1，，，，则中位数；故答案为：．根据实数a、b在数轴上的位置先判断出这四个数据的大小，再根据中位数的定义进行解答即可．此题考查了中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7.答案：5解析：解：设小刚答对了x道题，y道题未答，则答错了道题，依题意，得：，．又为正整数，y为正奇数，且，当时，．故答案为：5．设小刚答对了x道题，y道题未答，则答错了道题，根据总分答对题目数答错题目数，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合“x为正整数，y为正奇数，且”，即可求出结论．本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．8.答案：、10解析：解：梯形的上底为1，下底为5时，如图，两腰长均为4的等腰梯形，作，于点E、F，则得矩形AEFD，所以，所以，所以高AE为：，所以；梯形的上底为1，下底为4时，两腰长分别为5和4的直角梯形，所以；若用长为1的线段作梯形的腰时，没有符合条件的梯形．故答案为：、10．梯形的上下两底一定不能相等，因而用长为为1，4，4，5的线段为边作梯形，有梯形的上底为1，下底为5；梯形的上底为1，下底为4；又若用长为1的线段作梯形的腰，共3种情况；分3种情况进行讨论求解即可．本题考查了梯形，正确对梯形的边长进行讨论是解决本题的关键．9.答案：解析：解：，，，，，，过D作于F，把的面积平分，，，，，，∽，，，，．故答案为：．根据三角函数的定义得到，由已知条件得到，过D作于F，由DE 把的面积平分，得到，求得，通过∽，根据相似三角形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．10.答案：解：和的生成函数为又当时，；方程组的解为这两个函数图象的交点坐标为．当时，交点在在它们的生成函数的图象上；设点为两图象的交点则，生成函数为当时，点P在它们的生成函数的图象上，解析：根据生成函数的定义写出和的生成函数，由和得出y的值即可；解方程组得这两个函数图象的交点坐标，结合的结论即可判断这两个函数图象的交点是否在它们的生成函数的图象上，设点为两图象的交点，先代入两个一次函数，再代入其生成函数，得出当时，，即可得到答案．本题考查了两个一次函数的图象是否有交点的问题，读懂题中定义并正确地代入计算是解题的关键．11.答案：解析：解：抛物线经过原点O，且对称轴是直线，，，则、，抛物线解析式为；设点，，点，为斜边，则，解得舍或，，则直线OB解析式为，当时，，即，；当点P运动时，的外接圆圆心M在线段OA的垂直平分线上运动，点M所经过的路线是一条线段，当时，点P运动到，此时点M是OA的垂直平分线和直线的交点，点，点直线AO解析式为：，的垂直平分线的解析式为，当，，点，当时，点P运动到，，点，点，，，，，直线的解析式为：，联立方程组或点，此时的外接圆的圆心是的中点，点，故答案为．由抛物线经过原点O且对称轴是直线，知，，求得b的值即可得出答案；设点，由知，利用勾股定理和两点距离公式可求a的值，即可求t的值；当点P运动时，的外接圆圆心M在线段OA的垂直平分线上运动，则点M所经过的路线是一条线段，分别求出和时，圆心M的坐标，即可求解．本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、勾股定理、直角三角形外接圆的性质等知识点．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(23)-教师用卷
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（23）一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.正数4−2√3的算术平方根是()A. 1+√3B. −1+√3C. 2+√3D. −2+√3【答案】B【解析】解：∵4−2√3=(√3)2−2√3+1=(√3−1)2∴正数4−2√3的算术平方根是√3−1∵−1+√3=√3−1∴B正确．故选：B．先将正数4−2√3写成完全平方的形式，再根据算术平方根的定义得解即可．本题考查了算术平方根的意义及配方法在无理式中的应用，正确运用配方法是解答本题的关键．2.已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简|b2−a+a2+b−2aba−b|的结果是()A. a−b−1B. a+b−1C. −a+b+1D. −a−b+1【答案】C【解析】解：原式=|(a−b)2−(a−b)a−b|=|(a−b)(a−b−1)a−b|=|a−b−1|，由数轴可得，a−b<0，原式=−(a−b−1)=−a+b+1．故选：C．直接利用完全平方公式以及分式的性质化简，再利用绝对值的性质得出答案．此题主要考查了约分以及数轴，正确化简分式是解题关键．3.如图是5个小正方形纸片拼成的图形，现将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有()A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对【答案】B【解析】解：如图所示：在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有1对， 故选：B ．将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，进而得出结论． 本题主要考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．4. 关于x 的代数式(x +a)(x +b)(x +c)的化简结果为x 3+mx +2，其中a ，b ，c ，m都是整数，则m 的值为( ) A. −3 B. −2 C. −1 D. 不确定 【答案】A【解析】解：∵(x +a)(x +b)(x +c)， =[x 2+(a +b)x +ab](x +c)，=x 3+(a +b)x 2+abx +cx 2+(a +b)cx +abc ， =x 3+(a +b +c)x 2+(ab +ac +bc)x +abc ， =x 3+mx +2，∴x 3+(a +b +c)x 2+(ab +ac +bc)x +abc 不合x 2的项， ∴{a +b +c =0ab +ac +bc =m abc =2， ∴c =−a −b ，∴ab(−a −b)=2， ∴{ab =1−a −b =2或{ab =2−a −b =1或{ab =−1−a −b =−2或{ab =−2−a −b =−1，∵a 、b 、c 、m 都是整数， ∴a =−1，b =−1，c =2， ∴m =1−2−2=−3， 故选：A ．直接利用多项式乘以多项式分析得出答案．此题主要考查了多项式乘以多项式，正确分类讨论是解题关键．5. 如图，在▱ABCD 中，点E 在CD 边上，AD =DE =EC ，BD 交AE 于点F ，点O 在线段AB 上，以OA 为半径的⊙O 与BD 恰好相切于点F ，并交AB 于点G ，交AD于点H ，则DHBG 的值为( )A. 49B. 12C. √33D. 35【答案】B【解析】解：如图：连接OF，FG，HF∵AD=DE=EC ∴AB=2AD，∠DAE=∠DEA∵四边形ABCD是平行四边形∴DC//AB，DC=AB∴∠DEA=∠FAO=∠DAE，∵BD是切线∴OF⊥BD即∠OFB=90°∵OA=OF∴∠OAF=∠OFA∴∠OFA=∠DAE∴DA//OF∴∠ADB=∠OFB=90°∵sin∠DBA=ADAB=AD2AD=12∴∠ABD=30°∴∠DAB=60°且∠DAE=∠FAO∴∠DAE=∠FAO=30°∴∠FAO=∠DBA=30°∴AF=BF∵AB是直径∴∠AFG=90°∴∠AGF=60°∴∠GFB=∠GBF=30°∴BG=FG∵AGFH是圆内接四边形∴∠DHF=∠AGF=60°∴∠AHF=∠FGB且∠DAE=∠FGB，AF=BF∴△AHF≌△BFG∴BG=HF∵cos∠DHF=DH FH=12∴DH BG=12故选：B．如图：连接OF，FG，HF，由AD=DE=EC，可得CD=AB=2AD，∠DAE=∠DEA，由BD是切线可证AD⊥BD，由sin∠DBA=ADAB =AD2AD=12可得∠ABD=30°，可证△FGB≌△AHF，可得GB=HF，根据三角函数可求DHBG的值本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，切线的性质，根据三角函数求出∠ADB=30°是本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）6.有两个相同的布袋，第一个布袋里装有3个红球1个白球，第二个布袋里装有1个红球1个白球，这6个球除颜色外都相同，现从这两个布袋中分别摸出1个球，摸出的2个球都是红球的概率为______．【答案】38【解析】解：根据题意，画树状图为：所有等可能的结果有8个：(红1，红4)、(红1，白)(红2，红4)、(红2，白2)、(红3，红4)、(红3，白2)、(白1，红4)、(白1，白2)．摸出的2个球都是红球的有3个，所以摸出的2个球都是红球的概率为38．故答案为：38．根据题意画出树状图即可求得摸出的2个球都是红球的概率．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．7.如图，在正方形ABCD中，E是AB延长线上一点，BE=12AB，连接EC，ED，则tan∠CED的值为______．【答案】47【解析】解：过D作DF⊥EC交EC的延长线于F，∵在正方形ABCD中，∠BCD=∠ABC=90°，∴∠CBE=∠F=90°，∴∠FDC+∠DCF=∠DCF+∠BCE=90°，∴∠FDC=∠BCE，∴△CDF∽△ECB，∴CDCE =DFBC=CFBE，设CD=BC=AD=AB=a，∴BE=12AB=12a，∴CE=√BC2+BE2=√a2+(12a)2=√52a，∴√52a=DFa=CF12a，∴DF=2√55a，CF=√55a，∴EF=CE+CF=7√510a，∴tan∠CED=DFEF =2√557√510=47，故答案为：47过D作DF⊥EC交EC的延长线于F，根据余角的性质得到∠FDC=∠BCE，根据相似三角形的性质得到CDCE =DFBC=CFBE，设CD=BC=AD=AB=a，根据勾股定理得到CE=√BC2+BE2=√a2+(12a)2=√52a，求得EF=CE+CF=7√510a，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．8.关于x的不等式组{2x−5<0x−a>0无整数解，则a的取值范围为______．【答案】2≤a<52【解析】解：不等式组整理得：{x<52 x>a不等式组的解集是：a<x<52∵不等式组无整数解∴2≤a<5 2先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据“无整数解”这个条件分析答案即可．此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．9.如图，直线y=ax+b与反比例函数y=cx(c<0)的图象交于A，B两点，在反比例函数y=dx(d>0)图象的第一象限分支上取一点C，若△ABC是以原点O为重心的等边三角形，则cdab4的值为______．【答案】12【解析】解：连接OC延长与AB交于点D，直线y=ax+b与x轴、y轴分别交于点E、F，连接AO，BO，∵O是等边三角形△ABC的重心，∴CD⊥AB，CO=2DO，D是AB的中点，∴∠OAE=∠OBF=30°，直线y=ax+b与反比例函数y=cx(c<0)的图象交于A，B两点，作AM⊥y轴，BN⊥x轴，连接OA、OB、AN、BM，∴S△AOM=12|c|=S△BON，∴S△AOM=S△AMN，S△BON=S△BMN，∴S△AMN=S△BMN，∴MN//AB，∴四边形MNBF，AMNE是平行四边形，∴MN=AE=BF，∴AE=BF，∴△AEO≌△BOF(SAS)，∴EO=OF，∴△EOF是等腰直角三角形，∴a=−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由A，B是y=−x+b与反比例函数y=cx(c<0)的图象交点，{y=−x+b y=cx，∴x2−bx+c=0，∴x1+x2=b，∴y1+y2=b，∵D是AB的中点，∴D(b2,b2 )，∵CO=2DO，∴C(−b,−b)，将C(−b,−b)代入y=dx，得到b2=d，在Rt△BCD中，CD=−3√22b，BD=CDtan30°=−√62b，∵OF=−b，∴DF=−√22b，∴BF=√2−√62b，∴B(1−√32b,1+√32b)，将B(1−√32b,1+√32b)代入y=cx，得到c=−12b2，∴cdab4=−12b2⋅b2(−1)b4=12；故答案为12．连接OC延长与AB交于点D，直线y=ax+b与x轴、y轴分别交于点E、F，连接AO，BO；证明△AEO≌△BOF(SAS)，得到a=−1；y=−x+b与反比例函数y=cx联立方程组后得到x1+x2=b，y1+y2=b，可以确定D(b2,b2)，C(−b,−b)，将C点坐标代入y=dx，得到b2=d，在Rt△BCD中，CD=−3√22b，BD=CDtan30°=−√62b，BF=√2−√62b，进而求出B(1−√32b,1+√32b)，将B点坐标代入y=cx，得到c=−12b2，所以cdab4=12；本题考查一次函数和反比例函数的图象及性质，三角形的重心性质，三角形全等，直角三角形函数值；熟练掌握函数交点的求法是解题的关键．三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）10.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)，B(5,0)两点，直线y=−x+m过点B，与抛物线交于另一点C，点D在线段BC上，∠CAD=45°．(1)求AC的长；(2)求点D的坐标；(3)求△CAD外接圆的面积．【答案】解：(1)函数表达式为：y=−(x−1)(x−5)=−x2+6x−5…①，将点B坐标代入y=−x+m并解得：m=5，即直线的表达式为：y=−x+5…②，联立①②并解得：m=2或5，故点C(2,3)，则AC=√(1−2)2+(0−3)2=√10，同理BC=3√2；(2)∵直线的表达式为：y=−x+5，则∠ABD=45°=∠CAD，∠ACB=∠ACB，∴△CAD∽△CBA，∴ACBC =CDCA，即：√103√2=3√2−BD√10，解得：BD=√18，则点D(113,43 )；(3)设圆的圆心坐标为P(x,y)，半径为R 则PA=PC=PD，即：(x −1)2+y 2=(x −2)2+(y −3)2=(x −73)2+(y −43)2=R 2， 解得：x =12，y =116，R 2=6518， △CAD 外接圆的面积=πR 2=65π18．【解析】(1)由2个函数表达式联立求出点C(2,3)，即可求解； (2)△CAD∽△CBA ，ACBC =CDCA ，即：√103√2=3√2−BD√10，解得：BD =8√18，即可求解；(3)由则PA =PC =PD ，求得：x =12，y =116，R 2=6518，即可求解． 本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、圆的基本知识、三角形相似等，其中(2)，利用三角形相似求解数据，是本题的难点．11. 在▱ABCD 中，AB 边的长为a ，对角线AC 的长为b ，以点A 为顶点的∠θ绕点A 旋转，且在旋转过程中始终保持∠θ的两边分别与BC ，DC 的延长线相交，设交点分别为E ，F ．(1)如图，当四边形ABCD 为正方形，且∠θ=45°时， ①求证：△ACF∽△ECA ．②试用a 或b 的代表式表示△CEF 的面积．(2)当四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ≠90°时，记S △ECF =S 1；当四边形ABCD 为矩形，且b ≠√2a 时，记S △ECF =S 2.请找出一个合适的∠θ，使得当∠θ转动时，在S 1和S 2中存在始终不变的值，并用关于a ，b 的代数式表示此时cos∠θ和S △ECFS 四边形ABCD的值．【答案】(1)①证明：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD =∠BCA =45°，∠DCB =∠DCE =∠BCF =90°，∵∠EAF =∠FAC +∠CAE =45°，∠ACB =∠AEC +∠CAE =45°， ∴∠FAC =∠AEC ，∵∠ACF =∠ACE =90°+45°=135°， ∴△ACF∽△ECA ．②解：∵△ACF∽△ECA ， ∴ACEC =CFAC ， ∴AC 2=EC ⋅CF ，∴S △ECF =12⋅EC ⋅CF =12⋅b 2．(2)存在．S1是定值．当θ=12∠BAD时，S1是定值．理由：连接BD，作BP⊥DF于P，FQ⊥BC于Q．∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA=∠CAD=∠BCA=∠ACD，∴∠ACE=∠ACF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠EAF=∠ACD，∴∠FAC+∠EAC=∠FAC+∠AFC，∴∠CAE=∠AFC，∴△ACE∽△FCA，∴ACFC =ECAC，∴EC⋅CF=AC2，∴S△ECFS四边形ABCD =12⋅EC⋅CF⋅sin∠FCQCD⋅BC⋅sin∠BCP=12⋅b2a2=b22a2，∵cosθ=cos∠BAO=OAAB =12ba=b2a．【解析】(1)①证明∠CAF=∠AFC，∠ACE=∠ACF即可解决问题．②利用相似三角形的性质求解即可．(2)存在．S1是定值．当θ=12∠BAD时，S1是定值．证明△ACE∽FCA，利用相似三角形的性质即可解决问题．本题考查了正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
浙江省2020年“三位一体”自主招生综合测试试卷（3）（含答案）
浙江省2020年“三位⼀体”⾃主招⽣综合测试试卷（3）（含答案）2020年浙江省“三位⼀体”⾃主招⽣综合测试试卷（3）⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，每⼩题4分，共36分）1. 若0x这四个数中（）A. 1x 最⼤，x2最⼩ B. x最⼤，1x最⼩ C. x2最⼤，√x最⼩ D. x最⼤，x2最⼩2. ⼩明和⼩亮的⼝袋⾥⾯都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从⾃⼰⼝袋⾥摸出⼀张福娃纪念卡，则摸出的福娃都是贝贝的概率是（）A. 125B. 25C. 15D. 183. ⽅程(x2+x?1)x+3＝1的所有整数解的个数是（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个4. 顶点为A(6,?6)，B(?4,?3)，C(?1,??7)，D(9,??4)的正⽅形在第⼀象限的⾯积是（）A. 25B. 36C. 49D. 305. 使⽅程2x2?5mx+2m2＝5的⼀根为整数的整数m的值共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 函数y＝a|x|与y＝x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A. a>1B. ?1C. a≥1或a≤?1D. a>1或a7. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P在△ABC中，∠PBC＝10°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 65°8. ⼆次函数y＝?x2+2x+8的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐⾓，则AD的取值范围是（）A. 3B. 3≤AD≤9C. 4D. 3≤AD≤89. ⼀个三⾓形有⼀内⾓为48°，如果经过其⼀个顶点作直线能把其分成两个等腰三⾓形，那么它的最⼤内⾓可能值有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题4分，共32分）10. 甲、⼄、丙三⼈各有糖若⼲块，甲从⼄处取来⼀些糖，使原来有糖的块数增加⼀倍，⼄从丙处取来⼀些糖，使留下的块数增加⼀倍，丙再从甲处取来⼀些糖，也使留下的块数增加⼀倍．这时三⼈的糖块⼀样多．开始时，丙有32块糖，则⼄原来有________块糖．11. 设a?b＝2+√3，b?c＝2?√3，则a2+b2+c2?ab?ac?bc＝________．12. 已知△ABC为钝⾓三⾓形，其最⼤边AC上有⼀点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三⾓形与原三⾓形相似，这样的直线l可作的条数是________．13. 如图，△________中，∠________的平分线交________于________，若________＝6________，________＝4________，∠________＝60°，则________的长为________．14. 已知a是整数，⼀次函数y＝10x+a的图象与两坐标轴所围成的三⾓形的⾯积数为质数，则这个质数等于________．15. 如图，△________．16. ⼩王沿街匀速⾏⾛，发现每隔6分钟从背后驶过⼀辆18路公交车，每隔3分钟从迎⾯驶来⼀辆18路公交车．假设每辆18路公交车⾏驶速度相同，⽽且18路公交车总站每隔固定时间发⼀辆车，那么发车间隔的时间是________分钟．17. 如图，以半圆中的⼀条弦BC（⾮直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD BD =23，且AB＝10，则CB的长为________．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共52分，解答应写出⽂字说明、证明过程或步骤）18. 解关于x的不等式：x2+3<4|x|．19. 如图(1)，由直⾓三⾓形边⾓关系，可将三⾓形⾯积公式变形得到S△ABC=12bcsinA?①即三⾓形的⾯积等于两边之长与夹⾓正弦值之积的⼀半如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD＝α，∠DCB＝β∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD，由公式①得到12AC?BC?sin(α+β)=12AC?CD?sinα+12BC?CD?sinβ即AC?BC?sin(α+β)＝AC?CD?sinα+BC?CD?sinβ…②你能利⽤直⾓三⾓形关系及等式基本性质，消去②中的AC、BC、CD吗？若不能，说明理由；若能，写出解决过程．并利⽤结论求出sin75°的值．20. 如图，过△ABC内⼀点M做各边的平⾏线与各边分别交于D，E，F，G，L，N各点．求证：DEBC +FGAC+LNAB=2．21. 已知⼆次函数y1＝ax2+4ax+4a?1的图象是M．（1）求M关于点R(1,?0)中⼼对称的图象N的解析式y2；（2）当2≤x≤5时，y2的最⼤值为√5，求a的值．22. 证明：只存在唯⼀⼀个三⾓形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内⾓中有⼀个内⾓为另⼀个内⾓的2倍．参考答案1. A2. 共有25种情况，摸出的福娃都是贝贝的情况有1种，概率为1253. B4. 连接OA，过A、D两点的直线⽅程是y?646=x69?6，即y=?103x+16，解得它与x轴的交点E的横坐标是x＝7.8，同理求得过A、B两点的直线⽅程是y=?310x+4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y＝4.2，∴ S△AOE=12×7.8×6=23.4，S△AFO=12×4.2×6=12.6，∴ S△AOE+S△AFO＝23.4+12.6＝36，即顶点为A（6，6），B（﹣4，3），C （﹣1，﹣7），D（9，﹣4）的正⽅形在第⼀象限的⾯积是365. D6. D7. C8. A9. C10. 4011. 1512. 3或213. ABC,A,BC,D,AB,cm,AC,cm,A,AD,12√35cm14. 515. P1OA1，△P2A1A2是等腰直⾓三⾓形，点P1，P2在函数y=4x(x>0)的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是(4√2,?0)16. 417. 4√518. 法⼀：原不等式化为①{x ≥0x 2?4x +3<0 或②{x <0x 2+4x +3<0，∵ x 2?4x +3＝(x ?1)(x ?3)，x 2+4x +3＝(x +1)(x +3)，∴解①得，1所以，原不等式的解为：1法⼆：原不等式化为：|x|2+3<4|x|，即(|x|?1)(|x|?3)<0，∴ 1<|x|<3，∴原不等式的解为?319. ①能消去②中的AC 、BC 、CD ．将AC ?BC ?sin(α+β)＝AC ?CD ?sinα+BC ?CD ?sin β，两边同除以AC ?BC 得： sin (α+β)=CD BC ?sin α+CD AC ?sin β③，⼜∵ cos β=CD BC 、cos α=CD AC ，代⼊③可得：sin (α+β)＝sin α?cos β+cos α?sin β．②由sin (α+β)＝sin α?cos β+cos α?sin β得：sin 75°＝sin (30°+45°)＝sin 30°?cos 45°+cos 30°?sin 45°=12×√22+√32×√22=√2+√64． 20. 证明：根据题意，DE?//?BC ，∴△ADE ∽△ABC∴ DE BC =AD AB ；∵△BFG ∽△BAC∴ FG AC =BF AB ；∵ AFML 是平⾏四边形，∴ LM ＝AF ；同理，MN ＝BD ；则LN AB =LM+MN AB ，∴ DE BC +FG AC +LN AB =AD+BF+LM+MN AB =2AB AB =2．21. 依题得，a ≠0，且y 1＝ax 2+4ax +4a ?1＝a(x +2)2?1，故图象M 的顶点为A(?2,??1)，由对称性可知，图象N 的顶点为B(4,?1)，且其开⼝⽅向与M的相反，∴y2＝?a(x?4)2+1，即y2＝?ax2+8ax?16a+1．当a<0时，抛物线N的开⼝向上，对称轴为x＝4，若2≤x≤5，则当x＝2时，y2取得最⼤值1?4a，由1?4a=√5得，a=1?√54．22. 证明：如图，在△ABC中，设∠A＝2∠B，且三边长分别为a，b，c．延长CA到点D，使AD＝AB＝c，则CD＝b+c，由∠A＝2∠B，知∠ABC＝∠D．从⽽，△ABC∽△BDC，故BCDC =ACBC，即ab+c=ba于是，a2＝b(b+c)①当a>c>b时，设a＝n+1，c＝n，b＝n?1，代⼊①式，解得，n＝5．此时，a＝6，b＝5，c＝4；当c>a>b时，设c＝n+1，a＝n，b＝n?1，解得，n＝2．此时，a＝2，b＝1，c＝3，不能构成三⾓形；同理，当a>b>c时，可得，n2?3n?1＝0，n不是整数，舍去．综上所述，满⾜条件的三⾓形只有⼀个，其三边长为4，5，6．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(76)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（76）一、选择题（每小题6分，共30分）1．（6分）将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）．如果:3:2DM MC =，则::(DE DM EM = )A ．7:24:25B ．3:4:5C ．5:12:13D ．8:15:172．（6分）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为( ) A ．8分钟B ．7分钟C ．6分钟D ．5分钟3．（6分）已知：二次函数22(y x x a a =++为大于0的常数），当x m =时的函数值10y <；则当2x m =+时的函数值2y 与0的大小关系为( ) A ．20y > B ．20y < C ．2y O =D ．不能确定4．（6分）记200720072007200811112212221S =+++⋯+++-，则S 所在的范围为( )A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S <<5．（6分）如图，点A 是函数1y x=的图象上的点，点B ，C 的坐标分别为(2B -，2)-，(2C 2)．试利用性质：“函数1y x=的图象上任意一点A 都满足||2AB AC -=下面问题：作BAC ∠的角平分线AE ，过B 作AE 的垂线交AE 于F ，已知当点A 在函数1y x=的图象上运动时，点F 总在一条曲线上运动，则这条曲线为( )A．直线B．抛物线C．圆D．反比例函数的曲线二、填空题（每小题6分，共36分）6．（6分）已知关于x的不等式(2)2a b x a b->-的解是52x>，则关于x的不等式0ax b+<的解为．7．（6分）已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，在小方格的顶点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使ABC∆的面积为3个平方单位．则这样的点C共有个．8．（6分）直角坐标系中，点(0,0)A，(2,0)B，(0C，23)，若有一三角形与ABC∆全等，且有一条边与BC重合，那么这个三角形的另一个顶点坐标是．9．（6分）n个单位小立方体叠放在桌面上，所得几何体的主视图和俯视图均如图所示．那么n的最大值与最小值的和是．10．（6分）对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”，仿此，36的“分裂”中最大的数是 ．11．（6分）甲，乙，丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每-局的输方去当下-局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么，整个比赛的第10局的输方一定是 ． A ．甲B ．乙C ．丙三、解答题（每小题16分，共64分）12．（16分）ABC ∆和DEF ∆是两个等腰直角三角形，90A D ∠=∠=︒，DEF ∆的顶点E 位于边BC 的中点上．（1）如图1，设DE 与AB 交于点M ，EF 与AC 交于点N ，求证：BEM CNE ∆∆∽； （2）如图2，将DEF ∆绕点E 旋转，使得DE 与BA 的延长线交于点M ，EF 与AC 交于点N ，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．13．（16分）已知函数2(1)(y x b x c b =+-+，c 为常数） ，这个函数的图象与x 轴交于两个不同的点1(A x ，0)和2(B x ，0)． 若1x ，2x 满足211x x ->； （1） 求证：22(2)b b c >+；（2） 若1t x <，试比较2t bt c ++与1x 的大小， 并加以证明 ．14．（16分）有A 、B 、C 、D 、E 5 位同学依次站在某圆周上， 每人手上分别拿有小旗 16 、 8 、 12 、 4 、 15 面， 现要使每人手中的小旗数相等 ． 要求相邻的同学之间相互调整 （不 相邻的不作相互调整） ，设A 给B 有1x 面1(0x >时即为A 给B 有1x 面；1x O <时即为B 给A 有1x 面 ． 以下同） ，B 给C 有2x 面：C 给D 有3x 面，D 给E 有4x 面，E 给A 有5x 面，问1x 、2x 、3x 、4x 、5x 分别为多少时才能使调动的小旗总数12345||||||||||x x x x x ++++最小？15．（16分）如图：已知a 为常数，21(20F a -+，0)，22(20F a +，0)，过2F 作直线l ，点A ，B 在直线l 上，且满足12122AF AF BF BF a -=-=，M ，N 分别为△12AF F ，△12BF F 的内切圆的圆心．（1）设M e 与12F F 相切于点1P ，N e 与12F F 切于点2P ，试判断1P 与2P 的位置关系，并加以证明；（2）已知218sin 9BF F ∠=，且92MN =，试求a 的值．2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（76）参考答案与试题解析一、选择题（每小题6分，共30分）1．（6分）将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）．如果:3:2DM MC =，则::(DE DM EM = )A ．7:24:25B ．3:4:5C ．5:12:13D ．8:15:17【解答】解：由折叠知，EM EA =， 设5CD AD a ==，5DE a EM ∴=-，3DM a =，2MC a =， 在Rt EDM ∆中，222EM DE DM =+， 即222(5)(3)ME a ME a =-+， 解得175ME a =85ED a ∴=817:::3:8:15:1755DE DM EM a a a ∴==．故选：D ．2．（6分）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为( ) A ．8分钟B ．7分钟C ．6分钟D ．5分钟【解答】解：第一分钟通知到1个学生； 第二分钟最多可通知到123+=个学生； 第三分钟最多可通知到347+=个学生；第四分钟最多可通知到7815+=个学生； 第五分钟最多可通知到151631+=个学生； 第六分钟最多可通知到313263+=个学生； 答：至少用6分钟． 故选：C ．3．（6分）已知：二次函数22(y x x a a =++为大于0的常数），当x m =时的函数值10y <；则当2x m =+时的函数值2y 与0的大小关系为( ) A ．20y >B ．20y <C ．2y O =D ．不能确定【解答】解：Q 抛物线与x 轴有两个交点∴△2240a =->，即1a <又0a >，对称轴为1x =- 据题意画草图可知当20x -<<时，0y < 而当x m =时的函数值10y < 故20m -<<则当2x m =+时，函数值2y 与0的大小关系为20y >．故选A ．4．（6分）记200720072007200811112212221S =+++⋯+++-，则S 所在的范围为( )A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S <<【解答】解：200720072007200811112212221S =+++⋯+++-，根据题意每个数都大于2008121-，每个数都小于200712，总共有20072个数，故20072007200820071102.2.212s <<<-，故01S <<．故选：A ．5．（6分）如图，点A是函数1yx=的图象上的点，点B，C的坐标分别为(2B-，2)-，(2C，2)．试利用性质：“函数1yx=的图象上任意一点A都满足||22AB AC-=”求解下面问题：作BAC∠的角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知当点A在函数1yx=的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则这条曲线为()A．直线B．抛物线C．圆D．反比例函数的曲线【解答】解：如图：延长AC交BF的延长线于G，连接OF．AF BG⊥Q，90AFB AFG∴∠=∠=︒，90BAF ABF∴∠+∠=︒，90G GAF∠+∠=︒，AEQ为BAG∠的平分线，BAF FAG∴∠=∠，ABF G∴∠=∠，AB AG∴=，AF BG⊥Q，BF FG ∴=，(B Q ，，C ，OB OC ∴=，12OF CG ∴=，AC AG CG =-Q ，AB AG =， AB AC CG ∴-=，||AB AC -=Q ，CG ∴=OF ∴=∴点F 在以O 为半径的圆上运动．故选：C ．二、填空题（每小题6分，共36分）6．（6分）已知关于x 的不等式(2)2a b x a b ->-的解是52x >，则关于x 的不等式0ax b +<的解为 8x >- ．【解答】解：Q 关于x 的不等式(2)2a b x a b ->-的解是52x >， 20a b ∴->，22a bx a b->- 2a b ∴>，2522a b a b -=- 24105a b a b ∴-=- 8a b ∴= 28a a ∴> 0a ∴< 0ax b +<Q ax b ∴<-b x a∴>-8a b =Q 8x ∴>-故答案为：8x >-．7．（6分）已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，在小方格的顶点上确定一点C ，连接AB ，AC ，BC ，使ABC ∆的面积为3个平方单位．则这样的点C 共有 6 个．【解答】解：如图，符合条件的点有6个．8．（6分）直角坐标系中， 点(0,0)A ，(2,0)B ，(0C ，3)，若有一三角形与ABC ∆全等， 且有一条边与BC 重合， 那么这个三角形的另一个顶点坐标是 (2，23)或3)或(3)- ．【解答】解：(0,0)A Q ，(2,0)B ，(0C ，3)，60ABC ∴∠=︒分三种情况进行讨论：（1） 当另一是点D ，当ABC ∆≅△2D BC 时， 点A 与点D 关于BC 对称， 过点D 作DE AB ⊥于点E ，1BE ∴=，123AE =+=，22sin603D E =⨯︒=，2D ∴的坐标是3)；（2） 当ABC ∆≅△1D CB 时， 当1D 在直线BC 的上面时， 则四边形ABDC 是矩形， 因而D 的坐标是(2，3)；（3） 当ABC DCB ∆≅∆时， 当3D 在直线BC 的下面时， 过D 作3D F x ⊥轴， 则1AF =，3DF =，D ∴的坐标是(1,3)-．∴这个三角形的另一个顶点坐标是(2，23)或(3,3)或(1,3)-9．（6分）n 个单位小立方体叠放在桌面上，所得几何体的主视图和俯视图均如图所示．那么n 的最大值与最小值的和是 23 ．【解答】解：综合主视图和俯视图，底面有3216++=个，第二层最多有5个，最少有2个，第三层最多有3个，最少有1个，那么n 的最大和最小值的和是66523123+++++=． 故答案为：23．10．（6分）对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如图方式的“分裂”，仿此，36的“分裂”中最大的数是 41 ．【解答】解：设最大的奇数为n ，则36216(2)(4)(6)(8)(10)n n n n n n ==+-+-+-+-+- 解得41n =， 所以最大的数为41．11．（6分）甲，乙，丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每-局的输方去当下-局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么，整个比赛的第10局的输方一定是 ． A ．甲B ．乙C ．丙【解答】解：根据题意，知丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛， 又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局， 三个人之间总共打了(8413)25++=局，考查甲，总共打了12局，当了13次裁判，所以他输了12次．所以当n 是偶数时，第n 局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲． 三、解答题（每小题16分，共64分）12．（16分）ABC ∆和DEF ∆是两个等腰直角三角形，90A D ∠=∠=︒，DEF ∆的顶点E 位于边BC 的中点上．（1）如图1，设DE 与AB 交于点M ，EF 与AC 交于点N ，求证：BEM CNE ∆∆∽； （2）如图2，将DEF ∆绕点E 旋转，使得DE 与BA 的延长线交于点M ，EF 与AC 交于点N ，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．【解答】证明：（1）ABC ∆Q 是等腰直角三角形， 45MBE ∴∠=︒，135BME MEB ∴∠+∠=︒又DEF ∆Q 是等腰直角三角形，45DEF ∴∠=︒ 135NEC MEB ∴∠+∠=︒BME NEC ∴∠=∠，（4分） 而45B C ∠=∠=︒， BEM CNE ∴∆∆∽．（6分）（2）与（1）同理BEM CNE ∆∆∽，∴BE EMCN NE=．（8分） 又BE EC =Q ，∴EC EMCN NE=，（10分） 则ECN ∆与MEN ∆中有EC MECN EN=， 又45ECN MEN ∠=∠=︒， ECN MEN ∴∆∆∽．（12分）13．（16分）已知函数2(1)(y x b x c b =+-+，c 为常数） ，这个函数的图象与x 轴交于两个不同的点1(A x ，0)和2(B x ，0)． 若1x ，2x 满足211x x ->； （1） 求证：22(2)b b c >+；（2） 若1t x <，试比较2t bt c ++与1x 的大小， 并加以证明 ． 【解答】证明： （1）Q 令2(1)y x b x c =+-+中0y =， 得到2(1)0x b x c +-+=，2(1)(1)4b b cx --±--∴=，又211x x ->， ∴2(1)41b c -->，22141b b c ∴-+->，22(2)b b c ∴>+；（2） 由已知212(1)()()x b x c x x x x +-+=--，212()()x bx c x x x x x ∴++=--+， 212()()t bt c t x t x t ∴++=--+，2112112()()()(1)t bt c x t x t x t x t x t x ++-=--+-=--+，1t x <Q ， 10t x ∴-<， 211x x ->Q ， 121t x x ∴<<-， 210t x ∴-+<， 12()(1)0t x t x ∴--+>，即21t bt c x ++>．14．（16分）有A 、B 、C 、D 、E 5 位同学依次站在某圆周上， 每人手上分别拿有小旗 16 、 8 、 12 、 4 、 15 面， 现要使每人手中的小旗数相等 ． 要求相邻的同学之间相互调整 （不 相邻的不作相互调整） ，设A 给B 有1x 面1(0x >时即为A 给B 有1x 面；1x O <时即为B 给A 有1x 面 ． 以下同） ，B 给C 有2x 面：C 给D 有3x 面，D 给E 有4x 面，E 给A 有5x 面，问1x 、2x 、3x 、4x 、5x 分别为多少时才能使调动的小旗总数12345||||||||||x x x x x ++++最小？【解答】解： 由于共有小旗面数为1681241555++++=面， 要使每人手中的小旗面数相等， 每人均为 11 面 ．由题意：1223344581112114111511x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎪⎨+-=⎪⎪+-=⎩，变形得：123242523162x x x x x x x x =+⎧⎪=+⎪⎨=-⎪⎪=-⎩，123452222222222|||||||||||3||||1||6||2||3||1||||2||6|x x x x x x x x x x x x x x x ∴++++=+++++-+-=+++++-+-，设实数2x 在数轴上的对应点为P ，实数3-，1-， 0 ， 2 ， 6 在数轴上的对应点分别为1P ，2P ，3P ，4P ，5P ，1234512345|||||||||||||||||||x x x x x PP PP PP PP PP ∴++++=++++，当且仅当P 在线段15P P 上时15||||PP PP +有最小值 9 ， 当且仅当P 在线段24P P 上时24||||PP PP +有最小值 3 ， 当且仅当P 与点3P 重合时3||PP 有最小值 0 ， 即当且仅当P 与点3P 重合2(0)x =时，1234512345||||||||||x x x x x PP PP PP PP PP ++++=++++有最小值 12 ．当13x =，20x =，31x =，46x =-，52x =-时12345||||||||||x x x x x ++++有最小值 12 ．15．（16分）如图：已知a 为常数，21(20F a -+0)，22(20F a +0)，过2F 作直线l ，点A ，B 在直线l 上，且满足12122AF AF BF BF a -=-=，M ，N 分别为△12AF F ，△12BF F 的内切圆的圆心．（1）设M e 与12F F 相切于点1P ，N e 与12F F 切于点2P ，试判断1P 与2P 的位置关系，并加以证明；（2）已知218sin 9BF F ∠=，且92MN =，试求a 的值．【解答】解：（1）1P 与2P 重合． 证明：由题意得AC AD =， 122AF AF a -=Q ， 122CF DF a ∴-=；又111221FC F PF D F P ==Q ， 11122PF PF a ∴-=，同理21222P F P F a -=， 1P ∴与2P 重合．（2）由（1）知：112MP F F ⊥，212NP F F ⊥，1P，2P 重合． M ∴，1P ，N 共线，且12MN F F ⊥，连接MN ，NE ，MD ，则90NED MDE ∠=∠=︒ 过N 作NH MD ⊥，H 为垂足；12290MPF MDF ∠=∠=︒Q ，21HMN BF F ∠=∠，218sin sin 9HMN BF F ∴∠=∠=， 又92MN =， sin 4NH MN HMN ∴=∠=，4ED ∴=；而2212DF F P F E ==， 212F P ∴=，又由（1）11122PF PF a -=， 1122PF a ∴=+，2111222220PF PF a a ∴+=++=+解得4a ．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(56)(有答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（56）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若，则A. 1B.C.D. 1或2.若是关于x的方程的根，则的值为A. B. 8 C. D.3.方程实数根的情况是A. 仅有三个不同实根B. 仅有两个不同实根C. 仅有一个不同实根D. 无实根4.如图，点C，D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，，点E，F分别是线段CD，AB上的动点，设，，则能表示y与x的函数关系的图象是A. B.C. D.5.已知方程有两个相等实根，则的值为A. B. C. D.6.一个容器盛满酒精，第一次倒出10升后，用水加满，第二次倒出6升后，再用水加满，这时容器内的酒精与水的体积之比为7：13，则这个容器的容积为A. 18升B. 20升C. 24升D. 30升7.如图所示，在中，M是边AB的中点，N是边AC上的点，且，CM与BN相交于点K，若的面积等于1，则的面积等于A. 3B.C. 4D.8.用三种不同的颜色，将如图所示的四个区域涂色，每种颜色至少用1次，则相邻的区域不涂同一种颜色的概率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.如图，等腰中，，，则______．10.在半径为1的中，P是上的一点，若，则弦AB的长为______．11.如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则的长是______．12.已知不等式组的整数解仅有1，则实数a的取值范围是______．13.如图，在直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形、、、则第个三角形直角顶点的坐标为______．14.关于只有一个实数根，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）15.如图，正方形ABCD的中心为O，P为正方形内一点，且．求证：；若正方形的边长为，，求OP的长．16.已知关于x的方程恰好有两个不同实根，求t的值和相应的实根．17.如图，四边形ABCD内接于，，且AB是的直径，交CD的延长线于点E，若，．求的直径；若翻折使点B与E重合的直线折痕交于P，Q两点，求的面积．18.设有一列数，，，，，简记为若数列满足：为正整数，可以把看作n的一次函数；数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最大值．若，，求；若，，求满足的m的值；是否存在k和b，使得为正然数？如果存在，求k和b的取值范围；如果不存在，请说明理由，19.已知：过点，的直线与抛物线C：交于P，Q两点，若为坐标原点的面积为．求a的值；若M为抛物线C上的点，设直线AM，BM与抛物线C的另一个交点为，求证：当点M在C上变动时，直线恒过一定点，并求出定点坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，，当时，，当时，．故选：A．首先根据求出x的值，然后把x的值代入即可．本题主要考查代数式求值的知识点，此题难度一般，注意此题中的整体代入思想．2.答案：D解析：解：是关于x的方程的根方程两边同时除以n得：故选：D．先根据是关于x的方程的根，得到关于m和n的一个方程，再根据，得出m和n的数量关系，然后将所给的整式利用因式分解和配方法进行变形，最后将m与n的数量关系代入，即可求得答案．本题考查了由一元二次方程的解得出相关字母的数量关系，再结合因式分解及配方法将所给的等式变形，从而求得代数式的值，本题需要对整式的相关运算公式熟练运用，难度中等．3.答案：C解析：解：原方程整理得，，，方程，其，无解，，，即．故选C．原方程有意义，则，把方程去分母、整理可得，，分解因式得，讨论其根的情况，即可解答．本题考查了二次函数、反比例函数的性质，主要应用了一元二次方程的根与判别式的关系．4.答案：C解析：解：如右图所示，延长CE交AB于设，；和都是直角三角形由勾股定理得：，，，即，这个函数是一个二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为，与x轴的两个交点坐标分别是，，顶点为，自变量．所以C选项中的函数图象与之对应．故选：C．延长CE交AB于G，和都是直角三角形，运用勾股定理列出y与x的函数关系式即可判断出函数图象．本题为几何与函数相结合的题型，同学们应注意运用勾股定理的重要性，它就是解决此题的关键．5.答案：B解析：解：，或，方程有两个相等的实数根，，，，，故选：B．将方程因式分解解得或，再由两个根式相等的，则有，化简即可求解．本题考查一元二次方程的根；能够将已知方程因式分解，求出两个根式解题的关键．6.答案：B解析：解：设这个容器的容积为x升，由题意得：，整理得：，解得：，或舍去，，经检验，是原分式方程的解；即这个容器的容积为20升；故选：B．设这个容器的容积为x升，由题意列出分式方程为，解分式方程，再检验即可．本题考查了分式方程的应用；关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出分式方程．7.答案：C解析：解：连接AK，知，于是三角形AKC的面积为1．又因，于是三角形AKB的面积为2．故三角形ABC的面积为．故选：C．连接AK，分别求出三角形AKC的面积、三角形AKB的面积与的三角形BKC的面积的比值，求出各自的面积，再求三角形ABC的面积．考查了三角形面积的应用．关键掌握同底的三角形面积之比等于对应的高之比．8.答案：B解析：解：根据题意，可以设第一格为1，可列举所有可能：1123，1132，1312，1321，1322，1323，1332，1213，1223，1231，1232，1233．此时所有可能的结果又12种，符合条件的有6种，其余同理，所以四个格的所有可能的结果共有36种，符合条件的结果共有18种，所以相邻的区域不涂同一种颜色的概率为：．故选：B．根据题意，可以设第一格为1，可列举所有可能：1123，1132，1312，1321，1322，1323，1332，1213，1223，1231，1232，此时所有可能的结果又12种，符合条件的有6种，其余同理，最后所有可能的结果共有36种，符合条件的结果共有18种，进而求出概率．本题考查了列举法求概率问题，解决本题的关键是不重不漏列举出所有符合条件的可能结果．9.答案：25解析：解：如图，过点C作的延长线于点D，，，，，，．故答案为：25．过点C作的延长线于点D，根据等腰三角形的两底角相等求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．10.答案：解析：解：如图，在优弧AB上取一点E，连接AE，作于N．，，，，，，，，，，，，故答案为．如图，在优弧AB上取一点E，连接AE，作于证明，求出AN，利用垂径定理即可解决问题．本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．11.答案：解析：解：过点O作于H，将绕点O按逆时针方向旋转至，，，，，，，，，故答案为：．过点O作于H，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由锐角三角函数可求OH，由勾股定理可求，即可求解．本题考查了旋转的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用这些性质是本题的关键．12.答案：解析：解：，，整数解仅有1，，，，故答案为．由已知可得，因为不等式组的整数解只有一个，则有，，解得a即可．本题考查一元一次不等式组；能够根据题意列出满足a的不等式是解题的关键．13.答案：解析：解：，，，由原图到图，相当于向右平移了12个单位长度，三角形的直角顶点的坐标为，这样旋转6次直角顶点是，再旋转一次到三角形，直角顶点仍然是，则三角形的直角顶点的坐标为．则第个三角形直角顶点的坐标为．故答案为：观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，第7个直角三角形的直角顶点与第6个直角三角形的直角顶点重合，然后求出一个循环组旋转过的距离，即可得解．本题考查了坐标与图形变化旋转，观察出每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合是解题的关键，也是本题的难点．14.答案：解析：解：把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：，则，，即或．所以有：或．关于只有一个实数根，方程没有实数根，即，，解得．所以a的取值范围是．故答案为．先把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：，然后利用求根公式解得或；于是有或，再利用原方程只有一个实数根，确定方程没有实数根，即，最后解a的不等式得到a的取值范围．本题考查了一元二次方程a，b，c为常数根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了转化得思想方法在解方程中的应用．15.答案：解：连接OA，OB，正方形ABCD的中心为O，，，，，P，O，B四点共圆，；，，，，，，在PB上截取，连接OG，，P，O，B四点共圆，，，≌，，，，，，，．解析：连接OA，OB，根据正方形的性质得到，推出A，P，O，B四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；根据余角的性质得到，根据三角函数的定义得到，在PB上截取，连接OG，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了正方形的性质，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．16.答案：解：由得到：，作出函数的图象，如图所示：．由图得：当或0时符合题意，当即时，，；当即时，，．解析：作出函数图象，根据图象，求函数与函数有一个交点时t的值，问题转化为求绝对值方程的解．本题考查了一元二次方程根的分布．解题时，利用了“数形结合”的数学思想，降低了题的难度与梯度，减少了繁琐的计算过程．17.答案：解：连接AC，且，，，是的直径，，，，，，，∽，，，设，则，解得：，舍去，即：，在中，，，，，∽，；设BE与PQ交于G，AB与PQ交于F，，，，翻折使点B与E重合，，，，，∽，，，，，过O作于H，，，∽，，，，连接OQ，，，的面积．解析：证AE是的切线，即证即可；根据切割线定理，可将DE的长求出，再由∽可将AB的长求出；设BE与PQ交于G，AB与PQ交于F，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，过O作于H，由相似三角形的性质得到，连接OQ，于是得到结论．本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．18.答案：解：，，，，，；，，，，，或4022；存在．，，，若，则不成立；若，则不成立；，即，则，．解析：由已知，可得，则；由已知可得，则，可求m的值为4021或4022；，，则；分三种情况求解：若不成立；若不成立；是成立．本题考查一次函数的性质；理解题意，能将一次函数与不等式结合是解题的关键．19.答案：解：设直线AB的解析式为，，，，，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为，联立消去y得，，设点P的横坐标为c，点Q的横坐标为d，，，，为坐标原点的面积为，，舍去或；由知，，抛物线的解析式为，设点，，直线MA的解析式为，联立解得，点M的纵横坐标或，点，，直线MB的解析式为，联立解得，点M的纵横坐标或，，设直线的解析式为，，，直线的解析式为，当时，，即：当点M在抛物线C上变动时，直线恒过一定点．解析：先确定出直线AB的解析式，联立抛物线解析式，消去y得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得出，cd，进而得出，最后用三角形POQ的面积建立方程求解，即可得出结论；设点，利用待定系数法求出直线MA，MB的解析式，再联立抛物线解析式求出点，的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，根与系数的关系，直线和抛物线的交点坐标的求法，三角形面积的计算，求出点，的坐标是解本题的关键．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(57)(有答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（57）一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1.若，则，x，，这四个数中A. 最大，最小B. x最大，最小C. 最大，最小D. x最大，最小2.小明和小亮的口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从自己口袋里摸出一张福娃纪念卡，则摸出的福娃都是贝贝的概率是A. B. C. D.3.方程的所有整数解的个数是A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个4.顶点为，，，的正方形在第一象限的面积是A. 25B. 36C. 49D. 305.使方程的一根为整数的整数m的值共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.函数与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是A. B.C. 或D. 或7.在中，，，P在中，，，则的度数为A. B. C. D.8.二次函数的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且为锐角，则AD的取值范围是A. B. C. D.9.一个三角形有一内角为，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能值有A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）10.甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原来有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有______块糖．11.设，，则______．12.已知为钝角三角形，其最大边AC上有一点点P与点A，C不重合，过点P作直线l，使直线l截所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是______．13.如图，中，的平分线交BC于D，若，，，则AD的长为______cm．14.已知a是整数，一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于______．15.如图，，是等腰直角三角形，点，在函数的图象上，斜边，都在x轴上，则点的坐标是______ ．16.小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是______分钟．17.如图，以半圆中的一条弦非直径为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且，则CB的长为______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）18.解关于x的不等式：．19.如图，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得到即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半如图，在中，于D，，，由公式得到即你能利用直角三角形关系及等式基本性质，消去中的AC、BC、CD吗？若不能，说明理由；若能，写出解决过程．并利用结论求出的值．20.如图，过内一点M做各边的平行线与各边分别交于D，E，F，G，L，N各点．求证：．21.已知二次函数的图象是M．求M关于点中心对称的图象N的解析式；当时，的最大值为，求a的值．22.证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查利用特殊值比较一些式子的大小是有效的方法．可根据条件，在范围内运用取特殊值的方法比较大小．【解答】解：，取，即，，，．最大，最小，最大，最小．故选A．2.答案：A解析：解：共有25种情况，摸出的福娃都是贝贝的情况有1种，概率为．列举出所有情况，让摸出的福娃都是贝贝的情况数除以总情况数即为所求的概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．3.答案：B解析：解：当，时，解得；当时，解得或1．当，为偶数时，解得因而原方程所有整数解是，，1，共4个．故选：B．方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为，指数为偶数．本题考查了：是不为0的任意数以及1的任何次方都等于本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选C，需特别注意．4.答案：B解析：解：连接OA，过A、D两点的直线方程是，即，解得它与x轴的交点E的横坐标是，同理求得过A、B两点的直线方程是，解得它与y轴的交点E的纵坐标是，，，，即顶点为，，，的正方形在第一象限的面积是36．根据正方形的顶点坐标，求出直线AD的方程，由方程式知AD与x轴的交点E的坐标，同理求得AB与y轴的交点F的坐标，连接OA，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E、F在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．5.答案：D解析：解：方程有一个整数根，，设为正整数，，且同奇偶，，，，，，4，20，2，，，经检验，均有一根为整数，符合条件的整数m的值有4个，故选：D．设，则，由且同奇偶，则可求，．本题考查二元一次方程根的判别式；由入手，利用建立等式求m的值是解题的关键．6.答案：D解析：解：根据题意，的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；分两种情况讨论，时，过第一、二象限，斜率为1，时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有；时，过第三、四象限；而过第二、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有；故选：D．画图象用数形结合解题，的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；时，斜率为1，与交于第一、二象限，时，斜率为1，与交于第三、四象限，分析图象可得答案．本题要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论．7.答案：C解析：解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC，，，，，，，又，，≌，，又，是等边三角形，≌，，．或由≌，又故选：C．在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC，根据等边三角形的性质得到，求出、、的度数，根据三角形的内角和定理求出，即，再证≌，得到，进一步得到等边，推出≌，根据全等三角形的性质得到，即可求出答案．本题主要考查对等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，作辅助线得到全等三角形是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一点难度．8.答案：A解析：解：设，；则有：，；故BC；设抛物线顶点为P，则；，即；故选：A．首先设出B、C的坐标，用韦达定理求出BC的长，若以BC为直径作圆，根据圆周角定理易得出当点A在x轴上方时，为锐角，那么AD的长就应该在和DP之间设P为抛物线顶点坐标，且AD不等于．此题考查了二次函数与一元二次方程的关系、根与系数的关系、圆周角定理等知识，能够正确的根据圆周角定理判断出是锐角时A点的位置是解答此题的关键．9.答案：C解析：解：如图所示，当时，那么它的最大内角是当时，有以下4种情况，所以共5种情况，故选：C．当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况．此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题涉及等知识点并不多，但是要分4种情况解答，因此，属于难题．10.答案：40解析：解：设甲、乙二人原来分别有糖块x、y块糖，乙从丙处取来z块糖．则根据题意知，甲、乙、丙分别有糖块、、．乙处糖的转换过程得知，，由三处糖块一样多可得，，把代入，得，由得，．故乙原来有40块糖块．该题是三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组，解答即可．解方程组时，用代入消元法和加减消元法，通过“消元”使其转化为二元一次方程组来解．11.答案：15解析：【分析】此题考查了对完全平方公式及整体代入的掌握情况，有一定的综合性．将和相加，得到，再将转化成关于，，的完全平方的形式，再将，和整体代入即可．【解答】解：，，两式相加得，，原式．12.答案：3或2解析：解：如图1：过点P作的平行线，或者作的平行线，都可使截得的三角形与原三角形相似；过点P可作直线交边AC于点F，使得，可得∽，有3条；如图2：只有2条．这样的直线l可作的条数是3条或2条．故答案为：3或2．根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而可得到该直线的条数．此题考查了相似三角形的判定，有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似．13.答案：解析：解：过B作，交AD的延长线于点N，作交AN于点E．，，而，，，．在直角中，，．，∽设，则．而，．解得：．．过B作，交AD的延长线于点N，作交AN于点易证是等腰三角形，根据三角函数即可求得底边AN，再根据，证得∽，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．本题求线段的长的问题可以转化为三角形相似的问题解决，正确作出辅助线是解题关键．14.答案：5解析：解：一次函数的解析式为；图象与两坐标轴的交点为；．图象与两坐标轴所围成的三角形的面积可表示为：；一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数；；一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为5．故填5．先根据一次函数的解析式求出与两坐标轴的交点坐标，然后根据质数的特点确定所围成的三角形的面积．一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数是大于0或是小于此题中，不管还是一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积都一样．15.答案：解析：解：作轴，轴，，是等腰直角三角形，，，则，，，设，则有，解得，或舍去，则，坐标为．故答案为：．作轴，轴，根据等腰直角三角形的性质解答即可．本题考查等腰三角形的性质与反比例函数的性质的综合，一定经过某点的函数应符合这个点的横纵坐标．16.答案：4解析：解：设车的速度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车．二辆车之间的距离是：at车从背后超过是一个追及问题，人与车之间的距离也是：at那么：车从前面来是相遇问题，那么：，得：所以：即车是每隔4分钟发一班．根据路程速度时间，则此题中需要用到三个未知量：设车的速度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车．然后根据追及问题和相遇问题分别得到关于a，b，t的方程，联立解方程组，利用约分的方法即可求得t．注意：此题中涉及了路程问题中的追及问题和相遇问题．考查了对方程的应用，解方程组的时候注意技巧．17.答案：解析：解：如图，，且，，，作AB关于直线BC的对称线段，交半圆于，连接AC、，可得A、C、三点共线，线段与线段AB关于直线BC对称，，，，．而，即．则，又，，．故答案是：．作AB关于直线CB的对称线段，交半圆于，连接AC、，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．本题主要考查了翻折变换折叠问题，此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后作出解答．18.答案：解：法一：原不等式化为或，分，，解得，，解得，，分所以，原不等式的解为：或；分法二：原不等式化为：，即，，原不等式的解为或．解析：法一：根据绝对值的性质，分和两种情况去掉绝对值号，然后分别对和分解因式，根据同号得正、异号得负求解．法二：或者先分解因式求出的解集，然后再解不等式组的解集．本题分解因式后利用两数相乘，同号得正、异号得负求解；也可以先求出的范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，从而得到不等式的解集，这对初中生要求比较高，但只要平时学习的扎实，相信也是不难解决的．19.答案：解：能消去中的AC、BC、CD．将，两边同除以得：，又、，代入可得：．由得：．解析：将等式的两边同时除以AC和BC，然后将、代入，整理即可消去中的AC、BC、CD，分别令，代入消去后的式子可得出的值．本题考查了解直角三角形的知识，题目比较长，突破口在于熟练掌握直角三角形中三角函数的表示形式，例如题中的、，另外在解答这样阅读型题目时，一定要有耐心，仔细分析题意，切忌看见比较长的题目就无从下手．20.答案：证明：根据题意，，∽；∽；分是平行四边形，；同理，；则，．解析：若将所求的等式左边进行通分，解起来会非常麻烦，所以要通过相似三角形得出的对应成比例相等来求证；根据∽、∽得出的对应成比例线段，用分母为AB的式子替换掉、，然后再通过这些线段和AB的关系来证明所求的结论．此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质．21.答案：解：依题得，，且，故图象M的顶点为，由对称性可知，图象N的顶点为，且其开口方向与M的相反，，即．当时，抛物线N的开口向上，对称轴为，若，则当时，取得最大值，由得，．解析：先求出的顶点坐标，由中心对称得出的顶点坐标，又由于和的开口方向相反，且开口大小相同，故a值相同，因此可确定解析式．由于的开口向下，且对称轴位于内，故顶点纵坐标为，则a的值便可求出．本题考查了二次函数图象关于定点中心对称时抛物线的解析式的求法．22.答案：证明：如图，在中，设，且三边长分别为a，b，c．延长CA到点D，使，则，由，知．从而，∽，故，即于是，当时，设，，，代入式，解得，．此时，，，；当时，设，，，解得，．此时，，，，不能构成三角形；同理，当时，可得，，n不是整数，舍去．综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4，5，6．解析：首先保证该三角形的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍，构造相似三角形，得到a，b，c之间的一个关系式，再根据边长为三个连续的正整数，进行分析求解．此题综合运用了相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年浙江大学自主招生真题
出国留学高考网为大家提供2017年浙江大学自主招生真题，更
多高考资讯请关注我们网站的更新!
2017年浙江大学自主招生真题
随着自主招生对学生学科特长、创新潜质、综合素质等全方位的考察，自主招生的考核也早已不再是简单的考试。
2017年，浙江大
的自主招生考察中，除了考察考生的智商，对情商的测试也是十分
突出。
此外，浙大今年额考察还很看重考生的英文水平，每轮面试
都有要求考生用英文回答的部分。
以下是部分真题，供参考：
1、用英文回答你去过哪些国家?最喜欢哪个城市?
2、如何看待全球化和特朗普的“美国优先”政策?
3、请用英文介绍一下你的家乡。
4、你觉得大学和高中的区别在哪里?
5、谈谈化学与化工的关系?
6、你想成为什么样的人?
7、如果要问老师一个问题，你会问什么?
8、昨天刚刚发布的QS世界名校排名中，中国有12所学校上榜，你是否觉得名副其实还是名不副实?请用英文回答。
9、探讨游戏的利弊。
10、你会如何选专业
11、你支持大学生创业吗?
12、谈谈科学与艺术的关系?
13、谈谈发明与发现的关系
14、清谈一谈对网络和网恋的看法(英文)
15、可持续发展的核心是什么
三位一体考题
1、如果你当了医生，有一个80岁的病人，患了糖尿病，脚要烂了，要把脚给锯掉，你要跟患者沟通，让他把这个手术做掉。
请你
陈述建议和意见。
2、你当了医生之后，经常面临生离死别，你会抑郁，怎么解决?
3、对我国的医疗系统有什么看法?(英文)
4、昨天刚刚发布的QS世界名校排名中，中国有12所学校上榜，你是否觉得名副其实还是名不副实?(英文)
5、家族企业在选择继承人的时候，有些不会选择自己的子女，
你对此怎么看?
6、平面上有100个点，怎么把它划成一半一半?
7、为什么想要考8年制医学班这个专业?
8、年制医学班这个专业，考生前四年可以自由选择想要学习的
专业，你想学什么?为什么?。