高二数学选修2-1-空间向量与立体几何-单元测试题
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测卷含解析
选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间四个点O 、A 、B 、C ，OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A ．O 、A 、B 、C 四点不共线 B ．O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 D ．O 、A 、B 、C 四点不共面2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45°3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝135．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．66．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥ BD →.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( ) A.2312 B.612 C.23612 D ．－2361211．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 12．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.32 C.13 D.33第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________. 14．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝__________.15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________． 16.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．18.(本小题满分12分)如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ，SB ＝SD ＝2a ，点E 是SC 上的点，且SE ＝λa (0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD ⊥AE ；(2)若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小．19.( 本小题满分12分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．20．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥S —ABC 中，SO ⊥平面ABC ，侧面SAB 与SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，求二面角A —SC —B 的余弦值．21.(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证： AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P —AC —D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题参考答案【第1题解析】如果O 、A 、B 、C 四点共面，则OA ，OB ，OC 共面，则OA ，OB ，OC 不可能为空间的一个基底.故选B.【第4题解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →，由空间向量的基本定理知，x ＝y ＝12.故选C.【第5题解析】利用线面角的公式可以求得其中有BD ，11B D ，11,B A C D 四条直线对角线满足题意，由题得C 是正确答案，故选C.【第6题解析】∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确；由①②知AP →是平面ABCD 的法向量，∴③正确，④错误．故选C. 【第7题解析】32525x x -+-=∴=，故选C.【第8题解析】△BCD 中，BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2>0.∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．故选B. 【第9题解析】建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)．∴BA 1→＝(－1,0,1)，A C 1→＝(0,1,1)∴cos 〈BA 1→，A C 1→〉＝＝12·2＝12.∴〈BA 1→，A C 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°.故选C.【第11题解析】∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则QA →＝(1－x ，2－x,3－2x )，QB →＝(2－x,1－x,2－2x )．∴QA →·QB →＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，QA →·QB →最小，这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.故选C.【第12题解析】以点D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，A C 1→＝(－1,1,1)．可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD .又cos 〈A C 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD所成二面角的余弦值为13.故选C.【第13题解析】∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 故填2.【第14题解析】AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，－74，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74，由a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y z ＝－43y ，x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．故填2∶3∶(－4)【第15题解析】∵cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.故填60°或120°. 【第16题解析】建立如图所示坐标系，则AD →＝(－1,1，－2)， B C 1→＝(0,2，－2)， ∴cos 〈AD →，B C 1→〉＝622·6＝32，∴〈AD →，B C 1→〉＝π6.即异面直线AD 和BC 1所成角的大小为π6.故填π6.【第18题答案】（1）证明见解析；（2）SA 与平面BED 所成的角为π6.【第18题解析】(1)证明 连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O .由底面是菱形，得BD ⊥AC . ∵SB ＝SD ，O 为BD 中点， ∴BD ⊥SO . 又AC ∩SO ＝O ， ∴BD ⊥面SAC .又AE ⊂面SAC ，∴BD ⊥AE . (2)解 由(1)知BD ⊥SO ，同理可证AC ⊥SO ，∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系，设SO ＝x ，则OA ＝4a 2－x 2，OB ＝2a 2－x 2. ∵OA ⊥OB ，AB ＝2a ，∴(4a 2－x 2)＋(2a 2－x 2)＝4a 2，解得x ＝a .∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )． ∵SC ⊥平面EBD ，∴SC →是平面EBD 的法向量． ∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )． 设SA 与平面BED 所成角为α，则sin α＝||||||SC SA SC SA ⋅⋅＝|－3a 2＋a 2|3＋1a·3＋1a ＝12， 即SA 与平面BED 所成的角为π6.(2)ka ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴ (k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.【第20题答案】二面角A —SC —B 的余弦值为33. 【第20题解析】以O 为坐标原点，射线OB ，OA ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空直角坐标系Oxyz .设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)，A (0,1,0)，S (0,0,1)，SC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12.【第21题答案】（1）证明见解析；（2）455. 【第21题解析】(1)证明 如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (4,2,0)，D (4,0,0)，P (0,0,2)．∴PD →＝(4,0，－2)，CD →＝(0，－2,0)，PA →＝(0,0，－2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＝04x －2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0x ＝12，所以平面PCD 的一个法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又∵AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD .∴平面PAD 的法向量为AB →＝(0,2,0)．∵n ·AB →＝0，∴n ⊥AB →.∴平面PDC ⊥平面PAD .(2)由(1)知平面PCD 的一个单位法向量为n |n|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255. ∴＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 4，0，0 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255＝455，∴点B 到平面PCD 的距离为455.于是S (0,0，62a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0， OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22a ，0， SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，∴OC →·SD →＝0.∴OC ⊥SD ，即AC ⊥SD .(2)由题意知，平面PAC 的一个法向量DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量 OS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ， 设所求二面角为θ，则cos θ＝＝32， 故所求二面角P —AC —D 的大小为30°.。
高中数学选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题(含答案)
这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝1－x2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎪⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：8714．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， 易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案：63设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．又∵PF →与CD →所成的角为60°，|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)． 故点P 为AC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。
(典型题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，BAC 与BCD △均为直角三角形，且90BAC BCD ∠=∠=︒，AB AC =，112CD BC==，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AD 成30的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）A ．20,⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．60,⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．(0,1]D ．(0,2⎤⎦2．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭3．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P CM ⊥，则PBC ∆的面积的最小值为（ ）A ．25B ．5 C ．45D ．15．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是( )A ．30B ．45C ．60D ．906．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1BC 所成角的余弦值是( )A ．3B．12C．14D．07．已知两平面的法向量分别为m=(0，1，0)，n=(0，1，1)，则两平面所成的二面角为（）A．45°B．135°C．45°或135°D．90°8．已知正方体1111ABCD A BC D-的棱长为1，E为1BB的中点，则点C到平面11A D E的距离为A．5B．5C．5D．39．记动点P是棱长为1的正方体1111-ABCD A BC D的对角线1BD上一点，记11D PD Bλ=．当APC∠为钝角时，则λ的取值范围为( )A．(0,1)B．1(,1)3C．1(0,)3D．(1,3)10．在直三棱柱111ABC A B C-中，90ABC∠=︒，2AB=，11BC CC==，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为（）A．1010-B．1510-C．1010D．151011．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，1AB AC==，12BC AA==，点,E O分别是线段1,C C BC的中点，1113A F A A=，分别记二面角1F OB E--，1F OE B--，1F EB O--的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>12．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11AC 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为710时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A ．15 B ．15 C ．5 D ．5 二、填空题13．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.14．空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是__________．15．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______．16．如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-中，1,2,AB AD AA BAD BAA ===∠=∠''60DAA =='∠，则AC '的长为__________17．如图，已知平面α⊥平面β，A ，B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA β⊂，CB β⊂，且DA AB ⊥，CB AB ⊥，4=AD ，8BC =，6AB =，在平面α内有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB △的面积的最大值是______．18．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.19．正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，若1AC 与底面ABCD 所成角为60°，则11AC 和底面ABCD 的距离是________20．已知60︒ 的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知1AB = ，2AC = ，3BD = ，则线段CD 的长为__________．三、解答题21．已知直角梯形SBCD 中，//SD BC .BC CD ⊥，336SD BC CD ===，过点B 作//BA CD 交SD 于A (如图1)，沿AB 把SAB 折起，使得二面角S AB C --为直二面角，连接SC ，E 为棱SC 上任意一点(如图2).（1）求证：平面EBD ⊥平面SAC ；（2）在棱SC 上是否存在点E ，使得二面角E BD S --的余弦值为223？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.22．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中60BAD ∠=︒，22AB AD ==，45BAE GAD ∠=∠=︒.（Ⅰ）求证：平面ADG ⊥平面BDG ； （Ⅱ）求直线BG 与平面AGFE 所成角的正弦值.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点．（1）若//PB 平面AEC ，请确定点E 的位置，并说明理由．（2）设2AB AP ==，3AD =，若13PE PD =，求二面角P AC E --的正弦值．24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 和11BCC B 都是正方形，平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，,D E 分别为1BB ，AC 的中点．（1）求证：//BE 平面1ACD ． （2）求直线1B E 与平面1ACD 所成角的正弦值． 25．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．26．如图，在四棱锥 P -ABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，AB =2，PC =4（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD（2）在线段PA 上是否存在一点N ，使得二面角A -BD -N 313N 的位置；若不存在，请说明理由【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA 长的取值范围. 【详解】如图，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ，设(),0,0Q q ()01q ≤≤，设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤，则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---，(1,1,1)AD =--，异面直线PQ 与AD 成30的角，22||3cos30||||223PQ AD PQ AD q λ⋅∴===⋅++⋅， 22182516q q λ∴+=-+， 201,516[0,11]q q q ≤≤∴-+∈，即22182018211λλ⎧+≥⎨+≤⎩，解得22λ≤≤ 201,0λλ<≤∴<≤， 可得2||||22(0,1]PA AP λλ===∈. 故选：C.【点睛】利用向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.2．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC D C D P λλλλλλ=-=---=---，由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103λ<<， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC ADC ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P =-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.3．D解析：D 【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可. 【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ， 据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，设出P 点的坐标，利用1CM D P ⊥求得P 点坐标间的相互关系，写出三角形PBC 面积的表达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值.【详解】以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，依题意有()()()()12,0,1,0,2,0,0,0,2,2,,M C D P a b ，()()12,2,1,2,,2MC D P a b =--=-，由于1CM D P ⊥，故()()2,2,12,,24220a b a b --⋅-=-+-+=，解得22b a =-.根据正方体的性质可知，BC BP ⊥，故三角形PBC 为直角三角形，而()2,2,0B ，故()0,2,PB a b =--=PBC 的面积为(122BC PB ⨯⨯==126105a ==时，面积取得最小值为2655⎛⎫=⎝⎭，故选A. 【点睛】本小题主要考查空间两条直线相互垂直的坐标表示，考查三角形面积的最小值的求法，还考查了划归与转化的数学思想.属于中档题.空间两条直线相互垂直，那么两条直线的方向向量的数量积为零.对于两个参数求最值，可利用方程将其中一个参数转化为另一个参数，再结合函数最值相应的求法来求最值.5．D解析：D 【分析】可以建立空间直角坐标系，求出向量1A M 与DN 的夹角进而求出异面直线1A M 与DN 所成角． 【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A BC D -中棱长为2， 则1(2,A 0，2)，(0,M 1，0)，(0,D 0，0)，(0,N 2，1)，1(2,AM =-1，2)-，(0,DN =2，1)， 设异面直线1A M 与DN 所成角为θ， 则11cos 0A M DN A M DNθ⋅==⋅，90θ∴=．∴异面直线1A M 与DN 所成角的大小为90．故选D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，是基础题．6．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)3,0,0B，)13,0,2B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2A B =-,()13,1,2B C =--，11cos ,A B BC <>1111A B B C A B B C⋅=⨯2222=⨯14=.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【分析】先求出两个向量的夹角为,=45︒<>m n ，再转化为二面角的大小. 【详解】2cos ,212⋅<>===⨯⋅m n m n m n，即,=45︒<>m n ， 所以两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°. 答案：C 【点睛】本题考查了空间向量的夹角和二面角的求法，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.8．A【解析】分析：建立空间直角坐标系，结合题意得到点的坐标，然后利用空间向量求解点面距离即可.详解：如图所示，建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ()10,1,1D，11,0,2E ⎛⎫⎪⎝⎭， 据此可得：()110,1,0A D =，111,0,2A E ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 设平面11A D E 的法向量为()111,,m x y z =，则：1110102y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩， 据此可得平面11A D E 的一个法向量为()1,0,2m =，而()1,1,0C ，据此有：()11,1,1AC =-， 则点C 到平面11A D E 的距离为155AC m m⋅==. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查空间向量的应用，点面距离的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B 【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0，即，从而可求λ的取值范围．由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则有A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），1D （0，0，1） ∴ =（1，1，-1），∴ =（λ，λ，-λ），∴=+=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） =+ =（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0 ∴ 0PA PC ⋅<∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1 因此，λ的取值范围是（ ，1），故选B.点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．10．C解析：C 【分析】本题首先可以根据题意建立空间直角坐标系，然后根据2AB =以及11BC CC ==得出12,0,1AB 、()10,1,1BC =，最后根据1111cos θAB BC AB BC 即可得出结果.【详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，且90ABC ∠=︒，所以可以以B 为原点、AB 为x 轴、BC 为y 轴、1BB 为z 轴构建空间直角坐标系， 如图：因为2AB =，11BC CC ==，所以()2,0,0A ，()10,0,1B ，()0,0,0B ，()10,1,1C ， 故12,0,1AB ，()10,1,1BC =，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则111110cos θ1052AB BC AB BC ， 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，可借助空间向量来求解，能否合理的构建空间直角坐标系是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.11．D解析：D 【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案． 【详解】解：因为1AB AC ==，1BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，0，1(2O ，12，0)，(0E ，0，1(1B ，1，111(,22OB =，11(,22OE =--，11(,22OF =-，1EB =，EF=，设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·02211·0222m OB x y m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-，同理可求平面1OB F 的法向量(52,n =-，平面OEF 的法向量2(p =-，平面1EFB 的法向量2(,q =-． ∴461cos ||||m n m n α==434cos ||||m p m p β==，46cos ||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．12．B解析：B 【分析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为710，求出12t AA ==．由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角α的正弦值． 【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则3331(3,1,0),,,(0,0,0),,22A E t B F t ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3(AE =-，12，)t ，3(BF =12，)t ， AE ∵和BF 所成角的余弦值为710，2221||||72|cos ,|10||||11t AE BF AE BF AE BF t t -∴<>===++， 解得2t =．∴3(AE =-，12，2)， 平面11BCC B 的法向量(1,0,0)n =，AE ∴与平面11BCC B 所成角α的正弦值为：3||152sin ||||5AE n AE n α===． 故选：B ．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题13．【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本题主要考 解析：3π【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解． 【详解】先把三棱锥P ABC -3所以球的半径为32， 所以球的表面积为234π3π⨯=⎝⎭．【点睛】本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：222l a b c =++,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．14．【解析】如图所示设∴∴∴周长又∵∴周长的范围为故答案为： 解析：(8,10)【解析】 如图所示，设DH GHk DA AC==， ∴1AH EHk DA BD==-， ∴5GH k =，4(1)EH k =-， ∴周长82k =+． 又∵01k <<， ∴周长的范围为(8,10)． 故答案为：(8,10)．15．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法计算出异面直线的公垂线的长度即为所求【详解】由题意可知线段长度的最小值为异面直线的公垂线的长度如下图所示以点为坐标原点所在直线分解析：13【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度，即为所求. 【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ， 所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =， 设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-， 因此，min23DA n PQn⋅==. 故答案为：23. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将PQ 长度的最小值转化为异面直线AC 、1C D 的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.16．【解析】所以【解析】22222||222AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC =++=+++⋅+⋅'''⋅'+' 222000112211cos60221cos60212cos6011=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=所以11AC ='17．12【解析】解析：12 【解析】18．【解析】【分析】设出点的坐标根据题意列出方程组从而求得该点到原点的距离【详解】设该点的坐标因为点到三个坐标轴的距离都是1所以所以故该点到原点的距离为故填【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用空间【解析】 【分析】 设出点的坐标(,,)x y z ，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离. 【详解】设该点的坐标(,,)x y z因为点到三个坐标轴的距离都是1所以221x y +=，221y z +=，221x z +=，所以22232x y z ++=故该点到原点的距离为2226=2x y z ++， 故填6. 【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题.19．【解析】分析：确定A1C1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1的高即可求得结论详解：∵正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1∴平面ABCD ∥平面A1B1C1D1∵A1C1⊂平面A1B解析：26. 【解析】分析：确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高，即可求得结论． 详解：∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1， ∴平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， ∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴A 1C 1∥平面ABCD∴A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，AC 1与底面ABCD 成60°角， ∴A 1A=22tan60°=26 故答案为26．点睛：本题考查线面距离，确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高是解题的关键．如果直线和已知的平面是平行的，可以将直线和平面的距离，转化为直线上一点到平面的距离.20．【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为： 解析：22【解析】根据题意画图，由空间向量法得到()2222||2?·CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD BDCA =++=+++++14===故答案为：三、解答题21．（1）证明见解析；（2）存在，点E 为棱SC 的中点. 【分析】（1）由翻折的性质结合二面角的定义可得SA AD ⊥，再由线面垂直的判定与性质可得SA BD ⊥，再结合平面几何的知识可得BD AC ⊥，进而可得BD ⊥平面SAC ，结合面面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示点()2,2,44E λλλ-，由线面垂直的性质结合二面角的定义可得SOE ∠为二面角E BD S --的平面角，再由2cos OS OE SOE OS OE⋅∠==⋅可得解. 【详解】（1）证明：由翻折的性质可知：SA AB ⊥，AD AB ⊥， 所以SAD ∠为二面角S AB C --的平面角， 又因为二面角S AB C --为直二面角， 所以90SAD ∠=︒，即SA AD ⊥，又AB AD A ⋂=，所以SA ⊥平面ABCD ，所以SA BD ⊥， 由题意可知四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥， 又因为AC SA A ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ， 又BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面SAC ； （2）存在；连接,OS OE ，以A 为原点，AB ，AD ，AS 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间坐标系，如图，则()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,0,4S ，又知点E 在线段SC 上， 设()2,2,4SE λSC λλλ==-(01λ≤≤)，因此()2,2,44E λλλ-， 又因为()1,1,0O ，所以()1,1,4OS =--，()21,21,44OE λλλ=---， 由BD ⊥平面SAC 可得OE BD ⊥，OS BD ⊥， 所以SOE ∠为二面角E BD S --的平面角， 所以()()22121244422cos 3222144λλλOS OE SOE OS OEλλ-+-+-⋅∠===⋅⋅-+- 即29102244018λλλ-=-+，解得12λ=或92λ=，因为01λ≤≤，所以12λ=， 即棱SC 上存在点E ，使得二面角E BD S --的余弦值为23， 此时点E 为棱SC 的中点. 【点睛】 关键点点睛：（1）利用空间位置关系的判定与性质判定面面垂直；（2）由二面角的定义找到二面角的平面角，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量解决夹角问题.22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）217【分析】（Ⅰ）证明：AD DB ⊥，GD DB ⊥，即可证明BD ⊥平面ADG ，从而得到平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值． 【详解】（Ⅰ）证明：在BAD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=︒．由余弦定理2222cos60BD AD AB AB AD =+-︒，3BD =， 222AB AD DB =+，AD DB ∴⊥，在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，GD DB ∴⊥， 又ADGD D =，,AD DG ⊂平面ADGBD ∴⊥平面ADG ．又因为BD ⊂平面BDG ， 所以平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）解：如图以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，(1A ∴，0，0)，(0,3,0)B ，(0,3,2)E ，(0G ，0，1)，(1,3,2)AE =-，(1,0,1)AG =-，(0,3,1)GB =-，设平面AEFG 的法向量(,,)n x y z =，·320·0n AE x y z n AG x z ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩令1x =，得33y -=，1z =， ∴3(1,,1)n =-，设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ，∴21sin |cos ,|||7||||GB n GB n GB n θ=<>==， 所以直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值为21．【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 23．（1）点E 是PD 的中点，详见解析；（2）361. 【分析】（1）点E 是PD 的中点，连接BD 交AC 与点O ，连接OE ，由中位线定理得到//OE PB ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 的一个法向量()111,,m x y z =，平面ACE 的一个法向量()222,,n x y z =，设二面角P AC E --为θ，由cos m n m nθ⋅=⋅求解.【详解】（1）点E 是PD 的中点，如图所示：连接BD 交AC 与点O ，连接OE ， 所以//OE PB ，又PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， 所以//PB 平面AEC ．（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()40,0,2,0,0,0,2,3,0,0,3,0,0,1,3P A C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以()()42,3,0,0,0,2,0,1,3AC AP AE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，设平面PAC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 11123020x y z +=⎧⎨=⎩，令 1113,2,0x y z ==-=，则()3,2,0m =- 设平面ACE 的一个法向量为()222,,n x y z =，则00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 2221230403x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令 22233,2,2x y z ==-=，则33,2,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设二面角P AC E --为θ, 所以213cos 61m n m nθ⋅==⋅，所以 22213361sin 1cos 161θθ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅.2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．24．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）取1AC 中点F ，证明四边形EFDB 为平行四边形，证出//BE DF ，即可证明//BE 平面1ACD ；（2）根据题意建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求解平面1ACD 的 法向量，利用数量积的计算公式即可求出直线1B E 与平面1ACD 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：取1AC 中点F ，连接DF ，EF ， ∵,E F 分别为1,AC AC 的中点，∴1//EF AA ，且112EF AA =，又四边形11ABB A 是正方形，∴11//BB AA 且11BB AA =， 即1//EF BB 且112EF BB =，又∵D 为1BB 中点，∴//EF BD 且EF BD =，所以四边形EFDB 为平行四边形，所以//BE DF ，又BE ⊄平面1ACD ，DF ⊂平面1ACD ， 所以//BE 平面1ACD . （2）由题意，1,,BA BC BB 两两垂直，所以以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设12BA BC BB ===，则11(0,2,0),(1,0,1),(2,0,0),(0,1,0),(0,2,2)B E C D A . ，11(1,2,1),(2,1,0),(2,2,2)B E CD AC =-=-=-，设平面 1ACD 的法向量为(),,m x y z =，则100AC m CD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 222020x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩，得()1,2,1m =-设直线1B E 与平面1ACD 所成角为θ， 1111412sin cos ,366B E m B E mB E mθ， 所以直线1B E 与平面1ACD 所成角的正弦值为23.【点睛】方法点睛：本题考查的是空间向量与立体几何的问题，（1）关于线面平行的证明，一般利用线面平行的判定定理证明，需要证明平行线，一般是找中位线或者平行四边形证明；（2）关于线面角的求解，一般利用空间向量的方法，需要求解平面的法向量，再代入数量积求解公式计算.25．（1）证明见解析；（210【分析】（1）证明EF ⊥平面1A AMN 即可得面面垂直；（2）求出BE 与EF 的夹角的余弦值，利用EF 是平面1A AMN 的法向量，易得线面角的正弦值． 【详解】（1）因为侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，所以1BB BC ⊥，1//MN BB ，从而BC MN ⊥，又ABC 是正三角形，M 是BC 中点，所以AM BC ⊥，因为AM MN M ⋂=，,AM MN ⊂平面1A AMN ，所以BC ⊥平面1A AMN ，11//B C 平面ABC ，11BC ⊂平面11B C FE ，平面ABC 平面11B C FE EF =，所以11//B C EF ，而11//BC B C ，所以//EF BC ，所以EF ⊥平面1A AMN ，EF ⊂平面11B C FE ，所以平面111A AMN EB C F ⊥； （2）EFAM P =，连接PN ，//AO 平面11EB C F ，平面11EB C F平面1A AMN PN =，AO ⊂平面1A AMN ，所以//AO PN ，又由三棱柱的性质得//ON AP ，所以APNO 是平行四边形，所以AP NO =，O 是111A B C △的中心，则113ON A N =，所以11133AP A N AM ==， 所以13EF AP BC AM ==， 设3BC a =，则EF a =，3PN AO BC a ===，由三棱柱性质知四边形11B C FE 是等腰梯形，如图，11PN B C ⊥，作11EH B C ⊥于H ，则3EH PN a ==，又11(3)2B H a a a =-=， 所以110B E a =，111110cos 10B H EB C B E a ∠===． 由（1）知11B C 是平面1A AMN 的一个法向量，而11EB C ∠是1B E 与11B C 的夹角， 所以直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值等于1110cos EB C ∠=．【点睛】本题考查证明面面垂直，考查求直线与平面所成角．求直线与平面所成角的方法： （1）定义法：作出直线与平面所成的角（证明），然后解三角形得到角；（2）空间向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值得出线面角的正弦值．本题求线面角时，把两者结合，求出直线与平面的一个垂线的夹角的余弦值，从而得出线面角的正弦值，省略了建立空间直角坐标系，用推理代替了计算，也是一种求角的思路． 26．（1）证明见解析；（2）存在，点N 为AP 的中点. 【分析】（1）取AB 的中点O ，连接PO ，由面面垂直的性质得PO ⊥平面ABCD ，得出PO AD ⊥，从而说明AD ⊥平面PAB ，即可得证；（2）以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可说明. 【详解】（1）证明：取AB 的中点O ，连接PO ，∵PAB △为正三角形，∴PO AB ⊥，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， ∴PO ⊥平面ABCD ， 又AD ⊂平面ABCD ，∴PO AD ⊥， 又∵AD AB ⊥，AD PO ⊥，且PO AB O ⋂=， ∴AD ⊥平面PAB ． 又∵AD ⊂平面PAD ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ．（2）以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，在直角PCB 中，4PC =，2PB =，∴23BC =， ∴(1,0,0),(1,0,0),(1,23,0)A B D -， 设AN AP λ=，则(1,0,3)N λλ-， 则()2,23,0BD =，()23BN λλ=-， 设平面BND 的一个法向量(,,)n x y z =，则·0·0n BD n BN ⎧=⎨=⎩，即()2230230x x z λλ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令3x =，可得得23,1,1n λ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 而平面ABD 的法向量(0,0,1)m =，由题意知：2113||||4n mn mλ-⋅==⋅⎛+1λ=-（舍）或12λ=，∴当点N为AP的中点时，二面角A BD N--的余弦值为13．【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。
(典型题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(答案解析)
一、选择题1．定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： （1）a a b ⊥⨯，b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；（2）a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅（,a b 表示向量a 、b 的夹角）； 如图，在正方体1111ABCD A BC D -，有以下四个结论：①1AB AC ⨯与1BD 方向相反； ②AB AC BC AB ⨯=⨯；③6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等； ④()1AB AB CB ⨯⋅与正方体体积的数值相等. 这四个结论中，正确的结论有（ ）个 A ．4B ．3C ．2D ．12．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）A ．()0,6B ．()6,+∞C ．(0,63D ．()63,+∞3．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．若向量(3,1,0)a =，(1,0,)b z =，,3a b π=，则实数z 的值为（ ）A ．2B ．2C ．2±D ．2±5．在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15B ．5 C ．5 D ．2 6．已知()()2,,,1,21,0a t t b t t ==--，则b a -的最小值是( ) A ．2B ．3C ．5D ．67．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为4的正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为平面ABCD 上的动点，且满足•0MP MC =，则点M 到直线AB 的最远距离为（ ）A ．25B ．35C ．45+D ．422+8．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A 7B ．75C ．72D ．749．已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．(2,2,4)B ．224(,,)333C ．5510(,,)333D ．448(,,)33310．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点Q 为1A B 的中点，若动点P 在直线11B C 上运动时，异面直线AB 与PQ 所成角的最小值为（ ）A ．30°B ．45°C ．60︒D ．无法确定11．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（ ）A 45B ．2C ．22D ．312．以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题13．ABC △中，90C ∠︒＝，60A ∠︒＝，2AB ＝，M 为AB 中点，将BMC △沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，A ，B 两点之间的距离为_____． 14．已知直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的一个方向向量为_______________. 15．如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-中，1,2,AB AD AA BAD BAA ===∠=∠''60DAA =='∠，则AC '的长为__________16．如图，已知边长为1的正'A BC ∆的顶点'A 在平面α内，顶点,B C 在平面α外的同一侧，点','B C 分别为,B C 在平面α内的投影，设''BB CC ≤，直线'CB 与平面''A CC 所成的角为ϕ.若'''A B C ∆是以角'A 为直角的直角三角形，则tan ϕ的最小值__________. 17．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断：① 直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ； ③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22. 其中正确的序号序号是______.19．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.20．已知平面α⊥平面β，且l αβ⋂=，在l 上有两点A ，B ，线段AC α⊂，线段BD β⊂，并且AC l ⊥，BD l ⊥，6AB =，24BD =，8AC =，则CD =______．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD AD ===，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.22．如图，平面ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且5,4===．AB BC AC⊥．（1）证明：AD CF（2）求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值．23．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.-中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形24．如图，在四棱锥P ABCD====分别是,AB DC BC CD AD AB M N//,2,4,,AB AD的中点.（1）证明：平面PMN ⊥平面PAD ；（2）若二面角C PN D --的大小为60°，求四棱锥P ABCD -的体积.25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 是直角三角形，侧面11ABB A 是矩形，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，13BC =．（1）证明：BC 1⊥AC ．（2）E 是棱CC 1的中点，求直线B 1C 与平面ABE 所成角的正弦值．26．如图，在四棱锥 P -ABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，AB =2，PC =4（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD（2）在线段PA 上是否存在一点N ，使得二面角A -BD -N 313N 的位置；若不存在，请说明理由【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据外积的定义逐项判断即可得到结果. 【详解】对于①，根据向量外积的第一个性质可知1AB AC ⨯与1BD 方向相同，故①错误；对于②，根据向量外积的第一个性质可知AB AC ⨯与BC AB ⨯方向相反，不会相等，故②错误；对于③，根据向量外积的第二个性质可知sin4ABCDBC AC BC AC Sπ⨯=⋅⋅=，则6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等，故③正确；对于④，1AB AB ⨯与CB 的方向相反，则()10AB AB CB ⨯⋅<，故④错误. 故选：D. 【点睛】本题考查正方体的性质和信息迁移，解题的关键在于依据新概念的性质进行推理论证，属难题.2．C解析：C 【分析】画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出.【详解】 如下图所示：AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO .OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，63tan 30AOOB ∴==.在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即063BC <<BC 长的取值范围是(0,63.故选C. 【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.3．D解析：D 【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可. 【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ， 据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．C解析：C 【解析】分析：根据两个向量的数量积的定义式，推导出其所成角的余弦公式，从而利用cos ,a b a b a b⋅<>=，结合22a a =，将有关量代入求得z 的值，得到结果.详解：根据题意得22331cos ,23101021a b z z ⨯===++⋅+++， 化简得22z =，解得2z =± C.点睛：该题考查的是有关向量夹角余弦公式的问题，在解题的过程中，需要把握住向量夹角余弦公式，再者就是向量的模的平方和向量的平方是相等的，还有就是向量的模的坐标运算式.5．C解析：C 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),D A B D ,所以11(1,0,3),(1,1AD DB =-=,因为111111cos ,52AD DB AD DB AD DB ⋅===⨯，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.6．A解析：A 【解析】解：由题意可知：()1,1,b a t tt -=---- ， 则：(b a t -=--= ，即b a - 本题选择A 选项.点睛：本题的模长问题最终转化为二次函数求最值的问题.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．7．B解析：B 【分析】建立空间直角坐标系，求出点M 的轨迹，然后求出点M 到直线AB 的最远距离 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系则(2,0,23P ,()0,4,0,C 设(),,0M a b ，04,04a b ≤≤≤≤(2,,23MP a b ∴=--,(),4,0MC a b =--•0MP MC =,22•240MP MC a a b b ∴=-+-+=，整理得()()22125a b -+-=M ∴为底面ABCD 内以()12O ，为圆心，以5r = 则点M 到直线AB 的最远距离为41535-=故选B 【点睛】本题考查了运动点的轨迹问题，需要建立空间直角坐标系，结合题意先求出运动点的轨迹，然后再求出点到线的距离问题8．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长． 【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，03M （0，0，3P （x ，y ，0）． 于是有AM =（0，13MP =（x ，y ，3 由于AM ⊥MP ，所以（0，13•（x ，y ，30， 即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2371()4-=．故选C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题9．D解析：D【分析】设OM OC λ=，故(),,2M λλλ，()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅，计算得到答案. 【详解】 设OM OC λ=，即(),,2OM OC λλλλ==，故(),,2M λλλ，()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅--- 224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 当43λ=时，向量数量积有最小值，此时448,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10．A解析：A【分析】分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可得到所求角的余弦值的最大值，再根据余弦函数的单调性即可得到结果.【详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，所以1,,CA CB CC 两两互相垂直， 所以分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图：因为12AC BC AA ===，所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)A ，所以(1,1,1)Q ，设(0,,2)P y ，则(2,2,0)AB =-，(1,1,1)PQ y =--，设异面直线AB 与PQ 所成角为θ，则cos θ=|cos ,|AB PQ <>=||||||AB PQ AB PQ ⋅24401(1)1y =++⨯+-+ 2223y y =-+22232y y y =-+23221y y =-+211223()33y =-+ 223≤3=3y =时等号成立） 又(0,)2πθ∈，且cos y θ=在(0,)2π内递减， 所以[,)62ππθ∈， 所以异面直线AB 与PQ 所成角的最小值为30°.故选：A【点睛】本题考查了利用空间向量解决夹角，考查了异面直线所成角的范围以及余弦函数的单调性，属于中档题.11．D解析：D【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y ，根据110B P D E ⋅=得出x 、y 满足的关系式，并求出y 的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1B P 的最大值.【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,2,2B 、()10,0,2D 、()1,2,0E ，设点()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤，()11,2,2D E =-，()12,2,2B P x y =---，11D E B P ⊥，()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=，得22x y =-， 由0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，得01y ≤≤， ()()2221224548B P x y y y ∴=-+-+=-+01y ≤≤，当1y =时，1B P 取得最大值3.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B【分析】①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论；②利用基底的定义即可判断出真假；③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假．【详解】①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面，则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立，即()a b xb x y c ya +=+++，所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解，假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确；③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1，因此不正确．其中正确的命题有一个．故选：B ．【点睛】本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】取MC 中点O 连结AOBO 推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1AO ＝BO ＝AO ⊥MCAO ⊥平面BMCAO ⊥BO 由此能求出AB 两点之间的距离【详解】取MC 中点O 连结AOBO ∵△ABC 中∠C ＝解析：2【解析】【分析】取MC 中点O ，连结AO ，BO ，推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，AO BO AO ⊥MC ，AO ⊥平面BMC ，AO ⊥BO ，由此能求出A ，B 两点之间的距离．【详解】取MC 中点O ，连结AO ，BO ，∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝2，M 为AB 中点，∴AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，∴AO ＝2131()2-=, BO ＝22011172cos1201214222BM MO BM OM ⎛⎫+-⨯⨯⨯=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ AO ⊥MC ，将△BMC 沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，AO ⊥平面BMC ，∴AO ⊥BO ，∴A ，B 两点之间的距离|AB |＝22371044BO AO +=+=, 故答案为：102． 【点睛】 本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．(cos sin )【分析】分类讨论：当倾斜角为时可以得出直线的一个方向向量；当倾斜角不等于时先求出直线的斜率然后再写出直线的一个方向向量最后综合即可得出答案【详解】当时直线与垂直则可得直线的一个方解析：(cos θ,sin θ)【分析】分类讨论：当倾斜角θ为90︒时，可以得出直线的一个方向向量；当倾斜角θ不等于90︒时，先求出直线的斜率，然后再写出直线的一个方向向量，最后综合即可得出答案.【详解】当90θ︒=时，直线l 与x 垂直，则可得直线l 的一个方向向量为()0,1；当90θ︒≠时，则可得直线l 的斜率为tan k θ=，则可得直线l 的一个方向向量为()1,tan θ或()cos ,sin θθ；令θ90︒=，则有()()cos ,sin 0,1θθ=，综上可得：直线l 的倾斜角为θ时，直线l 的一个方向向量为()cos ,sin θθ.故答案为：()cos ,sin θθ.【点睛】本题考查了直线方向向量的求解，注意做题时一定要考虑到直线的倾斜角可能为90︒，属于一般难度的题.15．【解析】所以 解析：11 【解析】22222||222AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC =++=+++⋅+⋅'''⋅'+' 222000112211cos60221cos60212cos6011=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=所以11AC =' 16．【解析】如图建系设则可得且故又因为故又故又因为且故故答案为 解析：22【解析】如图建系，设()()0,,,,0,B b m C c n ，则()()222210,,,0,11cos 600b m c n b m c n m n ⎧+=+=⎪=⋅⎨⎪<≤⎩，可得12mn =且0m n <≤，故22m ≤，又因为221c n +=，故1n <,又12mn =, 故12m >，又因为212tan 1,22b m m ϕ==-<≤且，故 2tan ϕ，故答案为22. 17．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案解析：2【解析】因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。
高二数学选修2-1空间向量与立体几何单元测试卷
高二数学选修2-1空间向量与立体几何课标要求一、空间向量及其运算课标要求1.理解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，理解空间向量的正交分解及其坐标表示。
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
二、空间向量及其运算课标要求的具体化和深广度分析1.经历向量及其运算由平面向量向空间向量推广的过程，理解空间向量的概念。
2.掌握空间向量的加法、减法运算。
3.掌握空间向量的数乘运算。
4.理解共线向量定理及其推论。
5.理解共面向量定理及其推论。
6.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律。
7.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单的问题。
8.了解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题。
9.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念。
10.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标。
11.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标。
12.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直。
13.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题。
三、立体几何中的向量方法课标要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量。
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。
3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理、直线与平面垂直的判定定理)和一些简单命题。
4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。
四、立体几何中的向量方法具体化和深广度分析1.理解直线的方向向量和平面的法向量。
2.能用向量语言表述线线、线面、面面平行于垂直关系。
3.能利用平面法向量证明两个平面垂直。
4.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(有答案解析)
一、选择题1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2ABC AB BC CC ︒∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．35B ．35C ．45D ．45-2．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC的值为（ ） A ．0B ．22C ．12-D ．123．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B ．2C ．22λD ．254．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1BC =，点E 为线段DC 上一动点，现将ADE ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 内的射影K 在直线AE 上，当点E 从D 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为（ ）A 3B 23C ．3πD ．2π 5．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边43,46AB AC == ）A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D ABC -的体积是86C ．二面角A BCD --的正切值是423D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2176．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量,AB CD ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD > D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，2,22,2AB AD PA ===，则异面直线BC 与AE 所成的角的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（ ）A ．55B ．15 C ．25D ．2559．已知菱形ABCD 中，∠60ABC =︒，沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为（ ）.A ．2B ．12C 3D 510．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA =,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>11．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11AC 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为710时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A ．15 B ．15 C ．5 D ．5 12．以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题13．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______．14．在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B （含端点）上的任一点，则直线ME 与平面1D EF 所成角的正弦值的最小值为_________. 15．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为S ，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足114C R =；④当314CQ <<时，S 为五边形； ⑤当1CQ =时，S 的面积为6.16．已知(1,2,1),(2,2,2)A B -，点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 的坐标为____________.17．如图，已知边长为1的正'A BC ∆的顶点'A 在平面α内，顶点,B C 在平面α外的同一侧，点','B C 分别为,B C 在平面α内的投影，设''BB CC ≤，直线'CB 与平面''A CC 所成的角为ϕ.若'''A B C ∆是以角'A 为直角的直角三角形，则tan ϕ的最小值__________. 18．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，,,M E F 分别为,,PQ AB BC 的中点，则直线ME 与平面ABCD 所成角的正切值为________；异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是________．19．已知在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=2,E 是侧棱BB 1的中点,则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为_____.20．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________三、解答题21．在几何体111ABC A B C -中，点1A 、1B 、1C 在平面ABC 内的正投影分别为A 、B 、C ，且AB BC ⊥，114AA BB ==，12AB BC CC ===，E 为1AB 的中点.（1）求证：//CE 平面111A B C ； （2）求二面角11B AC C --的大小.22．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，,,,E F G O 分别是,,,PC BC PD AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小． 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，6π∠=CAD ，且321,2AD CD PA ABC ===和PBC 均是等边三角形，O 为BC 的中点.（I ）求证：PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求CB 与平面PBD 所成角的正弦值.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=，//AD BC ， PA AD ⊥，PA AB ⊥，122PA AB BC AD ====.（Ⅰ）求证：//BC 平面PAD ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.25．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 是PC 的中点．（1）直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值． （2）点A 到平面BDM 的距离．26．如图，四边形PABC 中，90,23,4PAC ABC PA AB AC ︒∠=∠====，现把PAC ∆沿AC 折起，使PA 与平面ABC 成60︒角，点P 在平面ABC 上的投影为点O (O 与B 在CA 同侧)（1）证明：//OB 平面PAC ；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值． 【详解】解：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),(0,0,2),(0,0,0),(0,1,2)A B B C ，11(1,0,2),(0,1,2)AB BC =-=，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则1111||4cos 5||||55AB BC AB BC θ⋅===⋅⋅.∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为45.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．A解析：A 【分析】利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解． 【详解】由题意，可知OB OC =，则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅coscos33OA OC OA OB ππ=⋅-⋅1()02OA OC OB =⋅-=， 所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．D解析：D 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 . 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =， 则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =，∴点G 到平面1D EF 的距离为 2255EG n d n⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.4．C解析：C 【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度． 【详解】由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是12， 如图当E 与C 重合时，4=12， 取O 为AD′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=3π，∴∠K0D'=23π， 其所对的弧长为1223π⨯=3π， 故选：C 【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K 的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目．5．C解析：C 【分析】先由图形的位置关系得到CDB ∠是二面角C AD B --的平面角，120CDB ∠=，故A不正确；B 由于11132684sin120423323D ABC A BCD BCD V V S AD --⎛⎫==⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭故得到B 错误；易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,4242tan 4217AD AFD DF ∠===∠BDC 为B ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠BDC=120°，作DF ⊥BC 于F ，连结AF ，sin ∠BCO=BOBC. 【详解】 沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,42,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得47BC =过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得421DF =. 根据AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角, 120CDB ∠=故A 平面ABC 与平面ACD 不垂直,A 错;B 由于11132684sin12042332D ABC A BCD BCD V V S AD --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,B 错; C 易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,4242tan 421AD AFD DF ∠===C 对;D 故如图，由题意可知∠BDC 为B ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠BDC=120°，作DF ⊥BC 于F ，连结AF ，AF=4217，BD=4，DC=8，AD=4，过O 作BO 垂直BO ⊥CO 于O ，则∠BCO 就是BC 与平面ACD 所成角，3OD=2，2247BO CO +sin ∠BCO=232147BO BC ==． 选.C 【点睛】本题考查了平面的翻折问题，考查了面面垂直的证明，线面角的求法，面面角的求法以及四面体体积的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．6．D解析：D由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A 错误； 因为a b =仅表示a 与b 的模相等，与方向无关，选项B 错误；因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB CD >这种写法，选项C 错误；∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故AB //CD ，选项D 正确. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】分析：以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得(0,22,0),(1,2,1)BC AE ==，利用向量的夹角公式，即可求解.详解：以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,22,0),(0,0,2),(0,0,0),(1,2,1)B C P A E ， 则(0,22,0),(1,2,1)BC AE ==， 设异面直线BC 和AE 所成的角为θ， 则2cos ,224BC AE BC AE BC AE⋅===⋅⋅， 所以异面直线BC 和AE 所成的角为4π，故选B.点睛：本题考查了异面直线所成的角的求解，其中把异面直线所成的角转化为向量所成的角，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，对于对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.8．A【分析】求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n 与AP 的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离． 【详解】解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n AB n AD⎧⊥⎨⊥⎩，∴23020x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)， cos ,||||5n AP n AP n AP ∴<>==设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sin α=，于是P到平面ABCD 的距离为||sin AP α=，即四棱锥P ABCD - 故选：A ． 【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．9．D解析：D 【分析】取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角B CD A --的余弦值． 【详解】解：如图取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，令棱形ABCD 的边长为2，则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()D，(B 设平面BCD 的法向量为(),,n x y z=，(1,0,BC =-，(BD =330x y z ⎧--=⎪-=令z =y =3x =-即(3,3,n =-平面ACD 的法向量为()0,0,1m = 令二面角B CD A --的夹角为θ3cos 1n m n mθ===⨯ 因二面角B CD A --为锐二面角5cos θ=故选D【点睛】本题考查求二面角二余弦值，关键是准确的建立空间直角坐标系，属于中档题．10．D解析：D 【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案． 【详解】解：因为1AB AC ==，12BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，022)，1(2O ，12，0)，(0E ，02，1(1B ，12)， 111(,2)22OB =，112(,22OE =--，1122(,22OF =-，12EB =，2)EF =，设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·2022112·022m OB x y z m OE x y ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-，同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--，平面OEF 的法向量272(,,3)p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos 61||||m n m n α==，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11．B解析：B 【分析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为710，求出12t AA ==．由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角α的正弦值． 【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则3331(3,1,0),,,(0,0,0),,22A E t B F t ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3(AE =-，12，)t ，3(BF =12，)t ， AE ∵和BF 所成角的余弦值为710，2221||||72|cos ,|10||||11t AE BF AE BF AE BF t t -∴<>===++， 解得2t =．∴3(AE =-，12，2)， 平面11BCC B 的法向量(1,0,0)n =，AE ∴与平面11BCC B 所成角α的正弦值为：3||152sin 10||||5AE n AE n α===． 故选：B ．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．B解析：B 【分析】①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确；③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．其中正确的命题有一个． 故选：B ．【点睛】本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题13．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法计算出异面直线的公垂线的长度即为所求【详解】由题意可知线段长度的最小值为异面直线的公垂线的长度如下图所示以点为坐标原点所在直线分解析：13【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度，即为所求. 【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ， 所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =， 设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min23DA n PQn⋅==. 故答案为：23. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将PQ 长度的最小值转化为异面直线AC 、1C D 的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.14．【分析】建立直角坐标系设正方体边长为2求出平面的法向量为直线与平面所成角为因为所以当时取到最小值代入即可【详解】解：如图建立直角坐标系设正方体边长为2则002设平面的法向量为由得令故0由设直线与平面解析：25【分析】建立直角坐标系，设正方体边长为2，求出平面DEF 的法向量为m ，直线ME 与平面1D EF 所成角为α，sin cos ,m EM α==，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时，取到最小值，代入即可． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，设正方体边长为2，AM a =， 则(2E ，0，1)，(2M ，a ，2)，(0D ，0，2)，(2F ，2，1)， 设平面DEF 的法向量为(m x =，y ，)z ，1(0,2,0),(2,0,1)EF ED ==-，由0m EF ⋅=，10m D E ⋅=，得020y x z =⎧⎨-+=⎩，令2z =，1x =，故(1m =，0，2)，由(0,,1)EM a =，设直线ME 与平面1D EF 所成角为α，sin cos ,m EM α==，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时，sin α25=， 故答案为：25．【点睛】考查立体几何中的最值问题，本题利用向量法求线面所成的角，基础题．15．①②④【解析】①项时为而时线段上同理存在一点与平行此时为四边形且是梯形故命题①为真；②项是等腰梯形故命题②为真；③项当时如图所示∵点是的中点∴∴∴与的交点满足故命题③为假④项如图所示为五边形故命题④解析：①②④ 【解析】 ①项，12CQ =时，S 为APQD ， 而102CQ <<时，线段1DD 上同理，存在一点，与PQ 平行， 此时，S 为四边形，且是梯形，故命题①为真；②项，1AP D Q =，1AD PQ ，1APQD 是等腰梯形，故命题②为真；③项当34CQ =时，如图所示，0AP DC ⋂=， ∵点P 是BC 的中点，∴CO CD AB ==， ∴1113C R C Q CO QC ==， ∴S 与11CD 的交点R 满足113C R =， 故命题③为假．④项，如图所示，S 为五边形，故命题④为真；⑤项，如图所示，S 为菱形，面积为22152622222⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故命题⑤为假．综上所述，命题正确的是：①②④．16．【解析】设P(00z)由|PA|=|PB|得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2解得z=3故点P 的坐标为(003)解析：()003，， 【解析】设P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2，解得z=3，故点P 的坐标为(0,0,3).17．【解析】如图建系设则可得且故又因为故又故又因为且故故答案为 解析：22【解析】如图建系，设()()0,,,,0,B b m C c n ，则()()222210,,,0,11cos 600b m c n b m c n m n⎧+=+=⎪=⋅⎨⎪<≤⎩，可得12mn =且0m n <≤，故22m ≤，又因为221c n +=，故1n <,又12mn =, 故12m >，又因为212tan 1,22b m m ϕ==-<≤且，故 2tan 2ϕ≥，故答案为22. 18．【详解】试题分析：由两两垂直分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系设则所以其中平面的一个法向量为所以与平面所成角的正弦值为所以；又向量与所成角的余弦值为又所以异面直线与所成角的余弦值是考点230【详解】试题分析：由,,AB AD AQ 两两垂直，分别以,,AB AD AQ 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,1,2)A E F M ，所以(1,1,2),(2,1,0)EM AF =-=，其中平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以ME与平面ABCD 所成角的正弦值为6sin EM n EM n α⋅==⋅，所以tan 2α=EM 与AF 所成角的余弦值为cos EM AF EM AFβ⋅=⋅30=(0,]2πβ∈，所以异面直线EM 与AF 30考点：空间向量的运算及空间角的求解．19．【分析】建立空间直角坐标系得到相关点的坐标后求出直线AE 的方向向量=(011)和平面A1ED1的法向量然后利用向量的共线可得直线AE 与平面A1ED1垂直于是得所求角为【详解】以D 为原点以DADCDD 解析：90【分析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后，求出直线AE 的方向向量AE =(0,1,1)和平面A 1ED 1的法向量()0,1,1n =，然后利用向量的共线可得直线AE 与平面A 1ED 1垂直，于是得所求角为90． 【详解】以D 为原点,以DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0),E (1,1,1),A 1(1,0,2),D 1(0,0,2), 于是AE =(0,1,1),1AE =(0,1,-1),11A D =(-1,0,0)． 设平面A 1ED 1的法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n A E y z n A D x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩得,0,y z x =⎧⎨=⎩令1z =，得()0,1,1n =． 所以AE ∥n ,故直线AE 与平面A 1ED 1垂直,即所成角为90°. 故答案为90° 【点睛】本题考查空间位置关系的向量解法，将几何问题转化为数的运算的问题处理，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系、正确地求出直线的方向向量和平面的法向量，由于解题时需要进行数的运算，因此还要注意计算的准确性．20．【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2aPO 为三棱锥的高做PD 垂直于AB 连OD 则PD 为侧面的高OD 为底面的高的三分之一在三角形POD 中构造勾股定理列出方程得到斜高即可详解：设正三棱锥P-AB【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD 中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．详解：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD中OD ==⇒=故全面积为：1111122⨯⨯⨯⨯点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）56π. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明平面111A B C 法向量与向量CE 垂直. （2）求二面角两个半平面的法向量所成角即可. 【详解】（1）因为点1B 在平面ABC 内的正投影为B ，所以1B B BA ⊥，1B BBC ，又AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -，()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,4A ，()10,0,4B ，()10,2,2C ，()1,0,2E ，设平面111A B C 的法向量()1,,n x y z =，()112,0,0A B =-，()110,2,2B C =-， 即20,220,x y z -=⎧⎨-=⎩取1y =，得1(0,1,1)n =，又()1,2,2CE =-，()10112210CE n ⋅=⨯+⨯-+⨯=， 所以1CE n ⊥，又CE ⊄平面111A B C 所以//CE 平面111A B C ；（2）设平面111A B C 的法向量()2,,n x y z =，()12,0,4B A =-，()110,2,2B C =-，即240,220,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1y =，得()22,1,1n =， 同理可求平面1ACC 的法向量()31,1,0n =， 所以2323233cos ,2n n n n n n ⋅==⋅，由图知二面角11B AC C --的平面角是钝角， 所以二面角11B AC C --的平面角是56π. 【点睛】关键点睛：利用题设垂直条件，建立空间直角坐标系. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3π.【分析】（Ⅰ）通过证明PO AD ⊥和PO CD ⊥，结合线面垂直的判定定理证明出PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）先求解出平面EFG 和平面ABCD 的法向量，然后求解出法向量夹角的余弦值，由此确定出锐二面角的余弦值，从而锐二面角的大小可求. 【详解】（Ⅰ）因为PAD △是正三角形，O 是AD 的中点，所以PO AD ⊥， 又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO CD ⊥，AD CD D =，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以,,OA OG OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23)O A B C D G P--，(1,2,3),(1,0,3)E F --，(0,2,0),(1,2,3)EF EG =-=-，设平面EFG 的法向量为(,,),m x y z =因为00m EF m EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以20230y x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1z =，则(3,0,1)m =， 又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =， 设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ ， 所以||1cos 2||||311m n m n θ⋅===+⋅.所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为3π.【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值. 23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913. 【分析】（Ⅰ）根据题中的边长以及垂直关系，可求出,OA OP ，利用勾股定理判断OP OA ⊥，再根据等边三角形三线重合，判断OP BC ⊥，即可证明PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）根据垂直关系，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式求CB 与平面PBD 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）证明：在ACD △中，由已知得3AC =,ABC PBC 均为边长为3的等边三角形，且O 为BC 的中点 ,OA BC OP BC ∴⊥⊥，且32OA OP ==. 在PAO 中，已知322PA =， 则有222,PO OA PA OP OA +=∴⊥. 又,OA BC O OA ⋂=⊂平面,ABCD BC ⊂平面,ABCD OP ∴⊥平面ABCD .（Ⅱ）以O 为坐标原点，,,OA OC OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则3330,0,,0,,2P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. (0,3,0)(1,3,0)BC BD ∴==，，3333)2BP ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BP n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1z =.则3y x ==. ∴平面PBD 的一个法向量为(3,3,1)n =-，39sin |cos ,|BCn θ∴=<>=.sin θ∴= 【点睛】方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h ，而不必画出线面角，利用sin h θ= /斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，利用公式sin cos ,a n θ=<>求解. 24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6【分析】(Ⅰ)解法1.利用线面平行的判定定理证明; 解法2.以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量证明直线BC 与平面PAD 的法向量垂直，从而证明结论.（Ⅱ）建立空间直角坐标系后，后利用空间向量的坐标运算求得两平面的法向量的坐标，进而计算. 【详解】 (Ⅰ)证明：解法1. 因为//BC ADBC ⊄平面PAD AD ⊂平面PAD 所以//BC 平面PAD解法2.因为PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C ， 平面PAD 的法向量为(1,0,0)t， (0,2,0)BC = ，因为 0120000t BC ⋅=⨯+⨯+⨯= ，BC ⊄平面PAD ，所以//BC 平面PAD ；（Ⅱ）解：因为PA AD ⊥，PA AB ⊥AD AB ⊥， 所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C所以平面PAB 的法向量为(0,1,0)n = ， 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =(2,2,2)PC =-，(0,4,2)PD =- ，所以2220042020x y z x ym PC m PC y z z y m PD m PD ⎧⎧+-==⎧⎧⊥⋅=⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨-==⊥⋅=⎩⎩⎩⎩ ， 令1(1,1,2)y m ==得 ，16cos ,616n m n m n m⋅<>===⨯ 设平面PAB 与平面PCD 所成角为θθ，为锐角， 所以6cos θ=. 【点睛】本题考查利用空间向量证明线面垂直和求二面角问题，关键是平面的法向量的求解和夹角余弦值的计算，注意所求为两平面所成的锐二面角的余弦值，因此对两平面的法向量所成角的余弦值与两平面所成锐角的余弦值要注意区分与联系. 25．（1）225；（2）22 【分析】（1）根据题意可知OA ，OB ，OP 两两垂直，建立空间直角坐标系，根据题所给的长度可算出面BDM 的法向量和PB 的坐标，再根据线面夹角的向量法，代入公式可得最后答案.（2）根据（1）可知AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标，根据公式n nAM ⋅，即可求出点A 到平面BDM 的距离. 【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又OP ⊥面ABCD ，OA ∴，OB ，OP 两两垂直，∴以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，根据题可知4OA =，3OB =，4OP =，且M 为PC 中点，(4,0,0)A ∴，(0,3,0)B ，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，(4,0,0)C -，(2,0,2)M -， (0,3,4)PB ∴=-，(2,3,2)BM =--，(0,6,0)BD =-，设面BDM 的法向量为(),,n x y z =，00n BM n BD ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，232060x y z y --+=⎧∴⎨-=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =，()1,0,1n ∴=，22cos 5||||25n PB n PB n PB ⋅∴〈⋅〉===⋅⋅，∴直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值为25； （2）由（1）可知(6,0,2)AM =-，面BDM 的一个法向量为(1,0,1)n =， ∴点A 到平面BDM 的距离|||cos |22||2n AM d AM n AM n ⋅=⋅〈⋅〉=== ∴点A 到平面BDM 的距离为22 【点睛】方法点睛：（1）求直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值用向量法：建立空间直角坐标系、求出PB 和平面BDM 的法向量n 的坐标、根据公式cos ||||n PBn PB n PB ⋅〈⋅〉=⋅求解；（2）求点A 到平面BDM 的距离用向量法：建立空间直角坐标系、在平面BDM 上找一点如M 点、求出AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标、根据公式|||cos |AM n AM ⋅〈⋅〉求解.26．（1）证明见解析；（2）24. 【分析】（1）连接AO ，证明CA ⊥平面PAO ，说明PAO ∠是PA 与平面ABC 的角，通过证明//OB AC ，推出//OB 平面PAC ．（2）建立直角坐标系求解【详解】解：（1）连AO ，因为PO ⊥平面ABC ，得PO CA ⊥． 又因为CA PA ⊥，POPA P =，PO ⊂平面PAO ，PA ⊂平面PAO所以CA ⊥平面PAO ，AO ⊂平面PAO ，所以CA AO ⊥ 因为PAO ∠是PA 与平面ABC 的角，60PAO ∠=︒． 因为23PA =，得3OA =．在OAB 中，903060OAB ∠=︒-︒=︒，故有OB OA ⊥， 从而有//OB AC ，OB ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC 所以//OB 平面PAC ．（2）以,,OB OA OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系， 则(0,0,3)P ，(0,3,0)A ，(3,0,0)B ，3,0)C(4,0,0),(0,3,3),(3,0,3)AC PA PB ∴==-=- 设平面PAC 的法向量(,,)n x y z =则40330n AC x n PA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩得(0,3,1)n = 2sin cos ,232||||n PB n PB n PB α⋅∴=<>==⨯⋅ 即直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为24.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(答案解析)
一、选择题1．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC 的值为（ ）A ．0B ．22C ．12-D ．122．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（ ）A ．26B ．36C ．56D ．133．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．π C ．23π D ．2π 4．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．正方体ABCD —A′B′C′D′中，AB 的中点为M ，DD′的中点为N ，则异面直线B′M 与CN 所成角的大小为A ．0°B ．45°C ．60 °D ．90°6．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P CM ⊥，则PBC ∆的面积的最小值为（ ）A ．255B ．55C ．45D ．17．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1BC 所成角的余弦值是( )A ．32B ．12C ．14D ．08．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为,3π=,,a AB b CD =则=a b ⋅A ．5-B ．1-C ．3-D ．6-9．正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是棱,CD BC 上的动点，且2BF CE =，当三棱锥1C C EF -的体积取得最大值时，记二面角1111,,C EF C C EF A A EF A ------的平面角分别为,,αβγ，则（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βαγ>>D ．βγα>> 10．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点Q 为1A B 的中点，若动点P 在直线11B C 上运动时，异面直线AB 与PQ 所成角的最小值为（ ）A ．30°B ．45°C ．60︒D ．无法确定 11．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（ ）A ．455B ．2C ．22D ．312．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．259二、填空题13．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ；②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）14．空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是__________．15．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 是异面直线；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为22.其中正确命题的序号是______________.（将你认为正确的命题序号都填上）16．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．17．已知向量=211a -（，，），(,1,1)b λ=-，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.18．已知(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，若ka b +和3a b -相互垂直，则k =________． 19．已知平面α⊥平面β，且l αβ⋂=，在l 上有两点A ，B ，线段AC α⊂，线段BD β⊂，并且AC l ⊥，BD l ⊥，6AB =，24BD =，8AC =，则CD =______． 20．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.三、解答题21．在几何体111ABC A B C -中，点1A 、1B 、1C 在平面ABC 内的正投影分别为A 、B 、C ，且AB BC ⊥，114AA BB ==，12AB BC CC ===，E 为1AB 的中点.（1）求证：//CE 平面111A B C ；（2）求二面角11B AC C --的大小.22．如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为矩形，1DD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是1BB ，1DC 的中点，1DA =，12DC DD ==.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）求直线1DC 与平面EAD 所成角的正弦值.23．如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==，87CF =（1）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（2）求平面BDE 与平面BDF 夹角的余弦值．24．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.（1）证明：//GF 平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知ABCD 是平行四边形，60DAB ∠=，AD AB PB ==，PC PA ⊥，PC PA =.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角A PB C --的余弦值.26．如图，在底面为平行四边形的四棱锥A BCDE -中，AE AD ⊥，::1:2:2AE EB BC =，AED CDE ∠=∠，AC DC =，点O 为DE 的中点.（1）证明：CO ⊥平面ADE .（2）求平面ABE 与平面AOC 所成锐二面角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解．【详解】由题意，可知OB OC =，则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅ cos cos 33OA OC OA OB ππ=⋅-⋅1()02OA OC OB =⋅-=， 所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=.故选A ．【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．A解析：A【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 【详解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0）， ()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1,AE DC ＞=4226922-=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 故选A ．【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．C解析：C【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ，BN ⊥AC ，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND ，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案．【详解】如下图所示，易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN ⊥AC ，BN ⊥AC ．所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ，可得BO ⊥平面ACD ．因为在△BDN 中，3BN DN ==，所以，BD 2＝BN 2+DN 2﹣2BN •DN •cos ∠BND 1332343=+-⨯⨯=， 则BD ＝2． 故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高为棱长的63，故662126R =⨯=． 因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244()63R πππ=⨯=． 故选C ．【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．4．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D解析：D【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系,利用向量1(1,0,2)B M =--,(2,0,1)CN =-的数量积为0，即可求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，由图可知(1,0,0)M ，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,1)N ，所以1(1,0,2)B M =--,(2,0,1)CN =-所以1cos ,0B M CN 〈〉=所以异面直线B M '与CN 所成的角为90︒．故本题正确答案为D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角，属于基础题.6．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，设出P 点的坐标，利用1CM D P ⊥求得P 点坐标间的相互关系，写出三角形PBC 面积的表达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值.【详解】以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，依题意有()()()()12,0,1,0,2,0,0,0,2,2,,M C D P a b ，()()12,2,1,2,,2MC D P a b =--=-，由于1CM D P ⊥，故()()2,2,12,,24220a b a b --⋅-=-+-+=，解得22b a =-.根据正方体的性质可知，BC BP ⊥，故三角形PBC 为直角三角形，而()2,2,0B ，故()0,2,PB a b =--=PBC 的面积为(122BC PB⨯⨯==126105a ==时，面积取得最小值为=，故选A. 【点睛】本小题主要考查空间两条直线相互垂直的坐标表示，考查三角形面积的最小值的求法，还考查了划归与转化的数学思想.属于中档题.空间两条直线相互垂直，那么两条直线的方向向量的数量积为零.对于两个参数求最值，可利用方程将其中一个参数转化为另一个参数，再结合函数最值相应的求法来求最值.7．C解析：C【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)B ，)12B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2A B =-,()12B C =--， 11cos ,A B BC <>1111A B B C A B B C ⋅=⨯=14=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B【解析】设菱形中横向单位向量为,m 纵向单位向量为n ，则111,1122m n m n ==⋅=⨯⨯=，2a AB m n ==+，32b CD m n ==-+，()()232a b m n m n ⋅=+-+=223443421m n m n -+-⋅=-+-=-，故选B. 9．A解析：A【分析】 设正方体的棱长为2，CE a =，则22CF a =-，列出三棱锥1C C EF -的体积关系式，可知当12a =时，1C C EF V -取得最大值，以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用法向量求出,,αβγ的余弦值，根据余弦值的大小关系可得结果.【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，CE a =，则22CF a =-，由0222a <-≤，得01a ≤<，11C C EF C CEF V V --=113CEF CC S =⨯⨯△211211(22)2()32324a a a ⎡⎤=⨯-⨯=--+⎢⎥⎣⎦， 所以当12a =时，1C C EF V -取得最大值16. 此时，3(2,0,0),(020),(00)2A C E ，，，，，(1,2,0)F ，11(2,0,2),(0,2,2)A C ， 1(1,,0)2EF =，1(1,0,2)C F =-，1(1,2,2)A F =--， 设平面1C EF 的法向量为111(,,)m x y z =，平面1A EF 的法向量为222(,,)n x y z =，则100m EF m C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111110220x y x z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，取11x =，则1112,2y z =-=，所以1(1,2,)2m =-， 100n EF n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222102220x y x y z ⎧+=⎪⎨⎪-+-=⎩，取21x =则2252,2y z =-=-，所以5(1,2,)2n =--， 取平面CEF 和平面AEF 的法向量为1(0,0,2)AA =， 由图可知，,,αβγ均为锐角，则cos α=11||||||m AA m AA ⋅1140044=++⨯++21=，||cos ||||m n m n β⋅==5|14|4125141444+-++⨯++10521=， 11||cos =||||n AA n AA γ⋅=|005|25140044+-++⨯++53=， 所以cos cos cos αβγ<<，根据余弦函数在(0,)2π内单调递减，可得αβγ>>.故选：A【点睛】 本题考查了三棱锥的体积公式，考查了二面角的向量求法，考查了运算求解能力，属于中档题.10．A解析：A【分析】分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可得到所求角的余弦值的最大值，再根据余弦函数的单调性即可得到结果.【详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，所以1,,CA CB CC 两两互相垂直， 所以分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图：因为12AC BC AA ===，所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)A ，所以(1,1,1)Q ，设(0,,2)P y ，则(2,2,0)AB =-，(1,1,1)PQ y =--，设异面直线AB 与PQ 所成角为θ，则cos θ=|cos ,|AB PQ <>=||||||AB PQ AB PQ⋅=====≤=3y =时等号成立） 又(0,)2πθ∈，且cos y θ=在(0,)2π内递减， 所以[,)62ππθ∈， 所以异面直线AB 与PQ 所成角的最小值为30°.故选：A【点睛】本题考查了利用空间向量解决夹角，考查了异面直线所成角的范围以及余弦函数的单调性，属于中档题.11．D解析：D【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y ，根据110B P D E ⋅=得出x 、y 满足的关系式，并求出y 的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1B P 的最大值.【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,2,2B 、()10,0,2D 、()1,2,0E ，设点()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤，()11,2,2D E =-，()12,2,2B P x y =---，11D E B P ⊥，()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=，得22x y =-， 由0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，得01y ≤≤， ()()2221224548B P x y y y ∴=-+-+=-+01y ≤≤，当1y =时，1B P 取得最大值3.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值.【详解】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=, 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=， tan θ∴的最大值为53. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是线面所成角，解题的关键是找到线面所成角的平面角，是中档题.二、填空题13．①②【分析】取D 的中点N 连接MNEN 根据四边形MNEB 为平行四边形判断①②假设DE ⊥C 得出矛盾结论判断③【详解】取D 的中点N 连接MNEN 则MN 为△CD 的中位线∴MN ∥CD 且MN=CD 又E 为矩形ABC解析：①②【分析】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，根据四边形MNEB 为平行四边形判断①，②，假设DE ⊥1A C 得出矛盾结论判断③．【详解】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，则MN 为△1A CD 的中位线，∴MN ∥12CD ，且MN=12CD 又E 为矩形ABCD 的边AB 的中点，∴BE ∥12CD ，且BE=12CD ∴MN ∥BE ，且MN=BE 即四边形MNEB 为平行四边形，∴BM ∥EN ，又EN ⊂平面A 1DE ，BM ⊄平面A 1DE ，∴BM ∥平面1A DE ，故①正确；由四边形MNEB 为平行四边形可得BM ＝NE ，而在翻折过程中，NE 的长度保持不变，故BM 的长为定值，故②正确；取DE 的中点O ，连接1A O ，CO ，由1A D ＝1A E 可知1A O ⊥DE ，若DE ⊥1A C ，则DE ⊥平面1A OC ，∴DE ⊥OC ，又∠CDO ＝90°﹣∠ADE ＝45°，∴△OCD 为等腰直角三角形，故而CD 2=OD ， 而OD 12=DE 2=，CD ＝4，与CD 2=OD 矛盾，故DE 与1A C 所成的角不可能为90°． 故③错误．故答案为①②．【点睛】本题考查命题真假，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，空间想象和推理运算能力，属于中档题．14．【解析】如图所示设∴∴∴周长又∵∴周长的范围为故答案为： 解析：(8,10)【解析】如图所示，设DH GH k DA AC==，∴1AH EH k DA BD==-， ∴5GH k =，4(1)EH k =-，∴周长82k =+．又∵01k <<，∴周长的范围为(8,10)．故答案为：(8,10)．15．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设列出关于的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解】解：对于①直线经过平解析：①③④【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设AE x =，列出PE EC +关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④．【详解】解：对于①，直线PB 经过平面ABCD 内的点B ，而直线CE 在平面ABCD 内不过C ，∴直线PB 与直线CE 是异面直线，故①正确；对于②，当E 与D 重合时，BE AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA BE ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，BE ∴⊥平面PAC ，则BE 垂直AC ，故②错误；对于③，由题意知，四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O 是PC 的中点，则△BCE 的面积为定值，且O 到平面ABCD 的距离为定值，∴三棱锥E BCO -的体积为定值，故③正确；对于④，设AE x =，则2DE x =-，2211(2)PE EC x x ∴+=+++-．由其几何意义，即平面内动点(,1)x 与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值为22，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题． 16．（）（）（）【解析】（）中①⑤②④③⑥相对（）中①④②⑤③⑥相对（）中①④②⑤③⑥相对（）中①④②⑤③⑥相对点睛：先由几何体的展开图还原几何体的形状根据熟悉的柱锥台球的图形明确几何体的展开对应关系结解析：（2）（3）（4）【解析】（1）中①⑤、②④、③⑥相对，（2）中①④、②⑤、③⑥相对，（3）中①④、②⑤、③⑥相对，（4）中①④、②⑤、③⑥相对．点睛：先由几何体的展开图还原几何体的形状．根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图．再在具体几何体中研究对应线面位置关系17．【解析】即解析：12λλ<≠-且【解析】0a b a b ⋅<且与不共线 ，即212110,1λλ---<≠⇒ 12λλ<≠-且 18．【解析】试题分析：所以考点：空间向量解析：165【解析】试题分析：，所以考点：空间向量19．26【分析】推导出=从而=（）2=由此能出CD 【详解】∵平面α⊥平面β且α∩β=l 在l 上有两点AB 线段AC ⊂α线段BD ⊂βAC ⊥lBD ⊥lAB=6BD=24AC=8∴=∴=（）2==64+36+57解析：26【分析】推导出CD =CA AB BD ++，从而2CD =（CA AB BD ++）2=222CA AB BD ++，由此能出CD ．【详解】∵平面α⊥平面β，且α∩β=l ，在l 上有两点A ，B ，线段AC ⊂α，线段BD ⊂β， AC ⊥l ，BD ⊥l ，AB=6，BD=24，AC=8， ∴CD =CA AB BD ++， ∴2CD =（CA AB BD ++）2 =222CA AB BD ++ =64+36+576 =676， ∴CD=26． 故答案为26． 【点睛】本题考查两点间距离的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定 解析：3)a【解析】分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得22233cos 22VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ， 连接,,VD CD VC ，则3VD VC ==VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<， 在三角形VDC 中由余弦定理可得，22233332cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭2233cos 22a a VDC =-∠ 220303VC a VC a <<⇒<<，即VC 的取值范围是()0,3a ， 为故答案为()0,3a .点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）56π. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明平面111A B C 法向量与向量CE 垂直. （2）求二面角两个半平面的法向量所成角即可. 【详解】（1）因为点1B 在平面ABC 内的正投影为B ，所以1B B BA ⊥，1B BBC ，又AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -，()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,4A ，()10,0,4B ，()10,2,2C ，()1,0,2E ，设平面111A B C 的法向量()1,,n x y z =，()112,0,0A B =-，()110,2,2B C =-， 即20,220,x y z -=⎧⎨-=⎩取1y =，得1(0,1,1)n =，又()1,2,2CE =-，()10112210CE n ⋅=⨯+⨯-+⨯=， 所以1CE n ⊥，又CE ⊄平面111A B C 所以//CE 平面111A B C ；（2）设平面111A B C 的法向量()2,,n x y z =，()12,0,4B A =-，()110,2,2B C =-， 即240,220,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1y =，得()22,1,1n =，同理可求平面1ACC 的法向量()31,1,0n =， 所以2323233cos ,2n n n n n n ⋅==⋅，由图知二面角11B AC C --的平面角是钝角， 所以二面角11B AC C--的平面角是56π. 【点睛】关键点睛：利用题设垂直条件，建立空间直角坐标系. 22．（1）证明见解析；（2）10. 【分析】（1）取CD 的中点G ，连接FG ，BG ，证明四边形FGBE 是平行四边形得出//EF BG 即可证明；（2）以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出1DC 和平面EAD 的法向量，利用向量关系即可求出. 【详解】解：（1）证明：取CD 的中点G ，连接FG ，BG . 因为F 是1DC 的中点，所以1FG//CC ，112FG CC =. 因为E 是1BB 的中点，所以1//EB CC ，112EB CC =. 所以//FG EB ，FG EB =. 所以四边形FGBE 是平行四边形. 所以//EF BG .因为EF ⊄平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD .（2）因为底面ABCD 为矩形，1DD ⊥平面ABCD ， 所以DA DC ⊥，1DD DA ⊥，1DD DC ⊥.以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz .因为1DA =，12DC DD ==，所以()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,2,1E ，()10,2,2C . 所以()1,0,0DA =，()1,2,1DE =，()10,2,2DC =. 设平面EAD 的法向量为(),,n x y z =， 所以00n DA n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x x y z =⎧⎨++=⎩，令1y =，则2z =-.所以()0,1,2n =-. 所以1210cos ,10225DC n -==-⨯. 所以直线1DC 与平面EAD 所成角的正弦值1010【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 23．（1）49；（2）13． 【分析】首先以A 为原点，建立空间直角坐标系，（1）求平面BDE 的法向量m ，利用公式sin cos ,CE m θ=<>求解；（2）求平面BDF 的法向量n ，利用公式cos ,m n <> 求解.【详解】以A 为原点，,,AB AD AE 分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()0,0,2E ，()1,2,0C ，81,2,7F ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）设平面BDE 法向量(),,m x y z =，()1,1,0BD =-，()1,0,2BE =-，则20x y x z -+=⎧⎨-+=⎩， 令1z =，则2,2x y ==，∴()2,2,1m =，()1,2,2CE =--，2424sin cos ,339CE m θ--+=<>==⨯（2）设平面BDF 法向量(),,n x y z =，()1,1,0BD =-，80,2,7BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则82070y z x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩， 令4x =，则4,7y z ==-∴()4,4,7n =-，8871cos cos ,393m n θ+-=<>==⋅， 因为平面BDE 与平面BDF 夹角是锐二面角，所以二面角的余弦值是13.【点睛】关键点点睛：本题是比较典型的向量坐标法解决空间角，关键是计算准确， 24．（1）证明见解析；（2）7- 【分析】（1）先证明四边形CDNM 是平行四边形，于是//GF DN ，//GF CM ，即可得到线面平行；（2）要使多面体ABCDE 体积最大，即BH 最大，此时2AB BC =={},,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz -，于是可以得到(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D ，(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)AB BE DE ==--=-，设两个法向量求解，最后算余弦值时要判断二面角是钝角还是锐角． 【详解】（1）分别取,AB EB 中点,M N ，连结,,CM MN ND .在梯形ACDE 中，//DC EA 且12DC EA =，且,M N 分别为,BA BE 中点 ∴//MN EA ，12MN EA =∴//MN CD ，MN CD = ∴四边形CDNM 是平行四边形 ∴//CM DN 又14EG EB =，N 为EB 中点，∴G 为EN 中点， 又F 为ED 中点 ∴//GF DN ∴//GF CM又CM ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ∴//GF 平面ABC （2）在平面ABC 内，过B 作BH AC ⊥交AC 于H . 平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE平面ABC AC =，BH ⊂平面ABC ，BH AC ⊥，∴BH ⊥平面ACDE ∴BH 即为四棱锥B ACDE -的高，又底面ACDE 面积确定，所以要使多面体ABCDE 体积最大，即BH最大，此时AB BC ==过点H 作//HP AE ，易知HB ，HC ，HP 两两垂直，以{},,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz - 则(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)AB BE DE ==--=-设1111(,,)n x y z =为平面ABE 的一个法向量，则1100n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以11111020x y x y z +=⎧⎨--+=⎩，取1(1,1,0)n =- 设2222(,,)n x y z =为平面DBE 的一个法向量，则1100n DE n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以222222020y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，取2(3,1,2)n = 所以1212127cos ,7n n n n n n ⋅==⋅ 由图，二面角A BE D --为钝二面角，所以二面角A BE D --的余弦值为【点睛】本题考查利用建系法求二面角的余弦值，易错点在于判断二面角是钝角． 25．（1）证明见解析；（2）35. 【分析】（1）首先证出AC BD ⊥，再证出BD OP ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）以O 为坐标原点，以,,OA OB OP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的一个法向量，以及平面PBC 的一个法向量，根据1212123cos 5n n n n n n ⋅==⋅，即可求解. 【详解】（1）证明：设2AD AB PB ===，ACBD O =，连接OP ，则∵AB AD =，且60DAB ∠=，∴四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥，且23AC =2BD =，1BO =， 又∵PC PA ⊥，PC PA =，∴PCA 是等腰Rt ，∴PO AC ⊥，6PC PA =，3PO =，在POB 中，3PO =，2PB =，1BO =，有222PB PO BO =+， ∴PO BO ⊥，即BD OP ⊥，又ACOP O =，∴BD ⊥平面PAC ；（2）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图：则(000)O ，，，(30)A ，，，(010)B ，，，(30)C -，，，(003)P ，，，则(33)AP =-，，，(310)AB =-，，，(03)BP =-，，，(310)BC =--，，， 设平面PAB 的法向量为1111()n x y z =，，，则1111113300030x z n AP n AB x y ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪-+=⎪⎩⎩，令11x =，则13y 11z =，则1(131)n =，，， 设平面PBC 的法向量为2222()n x y z =，，，则222222300030y z n BP n BC x y ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪--=⎪⎩⎩，令21x =-，则23y =、21z =，则2(31)n =-，，，∴1212123cos 5n n n n n n ⋅==⋅，， 设二面角A PB C --的平面角为θ，经观察θ为钝角，则123cos |cos |5n n θ=-<>=-，. 【点睛】 思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 26．（1）证明见解析；（25. 【分析】（1）先证明，CO ED ⊥，再证明CO AO ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证明；（2）以O 为原点，OC 为x 轴正半轴建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法计算. 【详解】（1）证明：由题意BCDE 为平行四边形，且::1:2:2AE EB BC = 可得四边形BCDE 为菱形，连接CE ，在Rt ADE △中，∵12AE DE =， ∴60AED ∠=︒，则60CDE ∠=︒，所以CDE △为正三角形. 由点O 为DE 的中点，得CO ED ⊥. ∵点O 为DE 的中点，∴12AO ED EO ==， 又AC DC =，∴AC EC =， ∴"AOC △≌EOC △，则CO AO ⊥. ∵AO DE O ⋂=，∴CO ⊥平面ADE .（2）解：如图，不妨设2DE =，以O 为原点，OC 为x 轴正半轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0D ，()0,1,0E -，)3,0,0C，()3,2,0B-，130,2A ⎛- ⎝⎭. 设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，则1111301302m BE x y m EA y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，不妨令11z =，得()1,m =--.设平面AOC 的一个法向量为()222,,n x y z =，则22230102n OC x nOA y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 令2y =()0,3,1n=. ∵03cos ,5m n m n mn⋅-===⨯， ∴平面ABE 与平面AOC 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： （1）a a b ⊥⨯，b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；（2）a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅（,a b 表示向量a 、b 的夹角）； 如图，在正方体1111ABCD A BC D -，有以下四个结论：①1AB AC ⨯与1BD 方向相反； ②AB AC BC AB ⨯=⨯；③6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等； ④()1AB AB CB ⨯⋅与正方体体积的数值相等. 这四个结论中，正确的结论有（ ）个 A ．4 B ．3C ．2D ．12．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（ ） A ．26B ．36C ．56D ．133．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B ．2C ．223λ D ．2554．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是( )A ．30B ．45C ．60D ．905．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边43,46AB AC ==，那么下面说法正确的是（ ）A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D ABC -的体积是86C ．二面角A BCD --的正切值是423D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2176．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B ．22 C ．13D ．167．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量,AB CD ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD > D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD8．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（ ）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 9．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E 为1BB 的中点，则点C 到平面11A D E 的距离为 A 5B 5C 5D 3 10．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．10 B ．15C 10D 15 11．已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．(2,2,4)B ．224(,,)333C ．5510(,,)333D ．448(,,)33312．在长方体1111ABCD A BC D -中，若13AC =111()AB AC AD AC ++⋅=（ ）A ．0B 3C ．3D ．6二、填空题13．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．14．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA === ,E F 分别是,BC 11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为104，则线段BD 的长为_______．15．已知空间直角坐标系中点()123p ，，，()321Q ，，，则||PQ =__________． 16．已知点()121A --，，，()222B ，，，点P 在Z 轴上，且点P 到,A B 的距离相等，则点P 的坐标为___________．17．如图，已知平面α⊥平面β，A ，B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA β⊂，CB β⊂，且DA AB ⊥，CB AB ⊥，4=AD ，8BC =，6AB =，在平面α内有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB △的面积的最大值是______．18．在直三棱柱111ABC A B C -中,若1BAC 90,AB ACAA ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于_________19．在棱长为2的正方体△ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、CD 的中点，则点B 到截面AMC 1N 的距离为_____.20．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列给出四个命题： (1)四边形ABC 1D 1的面积为1AB BC (2)11AD A B 与的夹角为60°；(3)22111111111111()3();(4)()0AA A D A B A B AC A B A D ++=⋅-=； 则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)三、解答题21．已知直角梯形SBCD 中，//SD BC .BC CD ⊥，336SD BC CD ===，过点B 作//BA CD 交SD 于A (如图1)，沿AB 把SAB 折起，使得二面角S AB C --为直二面角，连接SC ，E 为棱SC 上任意一点(如图2).（1）求证：平面EBD ⊥平面SAC ；（2）在棱SC 上是否存在点E ，使得二面角E BD S --的余弦值为223？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 上的点．（1）当E 是PD 的中点时，求证：//PB 平面AEC ；（2）设1==PA AB ，3PC ，若直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为13，求PE 的长．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且3AD PD ==，33PC =PCD ⊥平面ABCD ，点E 为线段PC 的中点.（1）求证：DE ⊥面PBC ； （2）若点F 在线段AB 上，且13AF AB =，求二面角C DE F --的平面角的正弦值. 24．在四棱台1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AAA B ==，120BAD ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD .（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ；（2）试问棱AD 上是否存在点M ，使得二面角111M A B D --的余弦值是5719？若存在，求点M 的位置；若不存在，请说明理由.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知ABCD 是平行四边形，60DAB ∠=，AD AB PB ==，PC PA ⊥，PC PA =.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.26．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为6的等边三角形，,D E 分别为1,AA BC 的中点.（1）证明：//AE 平面1BDC（2）若123CC =，求DE 与平面11ACC A 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据外积的定义逐项判断即可得到结果. 【详解】对于①，根据向量外积的第一个性质可知1AB AC ⨯与1BD 方向相同，故①错误； 对于②，根据向量外积的第一个性质可知AB AC ⨯与BC AB ⨯方向相反，不会相等，故②错误；对于③，根据向量外积的第二个性质可知sin4ABCDBC AC BC AC Sπ⨯=⋅⋅=，则6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等，故③正确；对于④，1AB AB ⨯与CB 的方向相反，则()10AB AB CB ⨯⋅<，故④错误. 故选：D. 【点睛】本题考查正方体的性质和信息迁移，解题的关键在于依据新概念的性质进行推理论证，属难题.2．A解析：A 【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 【详解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1,AE DC ＞=4226922-=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 故选A ． 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．D解析：D 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 . 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =， 则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =，∴点G 到平面1D EF 的距离为25EG n d n⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.4．D解析：D 【分析】可以建立空间直角坐标系，求出向量1A M 与DN 的夹角进而求出异面直线1A M 与DN 所成角． 【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A BC D -中棱长为2， 则1(2,A 0，2)，(0,M 1，0)，(0,D 0，0)，(0,N 2，1)，1(2,AM =-1，2)-，(0,DN =2，1)， 设异面直线1A M 与DN 所成角为θ， 则11cos 0A M DN A M DNθ⋅==⋅，90θ∴=．∴异面直线1A M 与DN 所成角的大小为90．故选D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，是基础题．5．C解析：C 【分析】先由图形的位置关系得到CDB ∠是二面角C AD B --的平面角，120CDB ∠=，故A不正确；B 由于11132684sin120423323D ABC A BCD BCD V V S AD --⎛⎫==⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭故得到B 错误；易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,4242tan 34217AD AFD DF ∠===，由题意可知∠BDC 为B ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠BDC=120°，作DF ⊥BC 于F ，连结AF ，sin ∠BCO=BOBC. 【详解】 沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,42,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得BC =过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得DF =. 根据AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角, 120CDB ∠=故A 平面ABC 与平面ACD 不垂直,A 错;B由于11184sin12042332D ABC A BCD BCD V V S AD --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,B 错;C 易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,tan 7AD AFD DF ∠===C 对;D 故如图，由题意可知∠BDC 为B ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠BDC=120°，作DF ⊥BC 于F ，连结AF ，，BD=4，DC=8，AD=4，过O 作BO 垂直BO⊥CO 于O ，则∠BCO 就是BC 与平面ACD 所成角，OD=2，sin ∠BCO=BO BC ==． 选.C 【点睛】本题考查了平面的翻折问题，考查了面面垂直的证明，线面角的求法，面面角的求法以及四面体体积的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．6．C解析：C 【分析】根据题意，以D 为坐标原点，直线1DADC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由AC ，1AD 即可求得平面1ACD 的法向量n ，而1D E 在n 上的投影即为点E 到面1ACD 的距离，即可求得结果【详解】以D 为坐标原点，直线1DADC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1101A ，，，()1001D ，，,()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩ 可得2a b a c=⎧⎨=⎩可取()212n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133D E n d n⋅+-=== 故选C 【点睛】本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。
北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(有答案解析)
一、选择题1．长方体1111ABCD A BC D -，110AB AA ==，25AD =，P 在左侧面11ADD A 上，已知P 到11A D ､1AA 的距离均为5，则过点P 且与1AC 垂直的长方体截面的形状为（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形2．长方体12341234A A A A B B B B -的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合12{|i j x x A B A B =⋅，{1,2,3,4},{1,2,3,4}}i j ∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC的值为（ ） A ．0B ．22C ．12-D ．124．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．33C ．23D ．136．若向量(3,1,0)a =，(1,0,)b z =，,3a b π=，则实数z 的值为（ ）A ．2B ．2C ．2±D ．2±7．已知两平面的法向量分别为m =(0，1，0)，n =(0，1，1)，则两平面所成的二面角为（ ） A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°8．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E 为1BB 的中点，则点C 到平面11A D E 的距离为 A ．55B ．52C ．53D ．359．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A ．3λB ．22C ．23λ D ．5510．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点Q 为1A B 的中点，若动点P 在直线11B C 上运动时，异面直线AB 与PQ 所成角的最小值为（ ）A ．30°B ．45°C ．60︒D ．无法确定11．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（ ） A ．111222OM OA OB OC =++ B ．OM OA OB OC =++C ．1133OM OA OB OC =-+ D ．2OM OA OB OC =--12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60︒，若对角线1AC 的长是棱长的m 倍，则m 等于（ ）A ．2B ．3C ．1D ．2二、填空题13．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E 为线段1BB 的中点，则AE 与1CD 所成角的余弦值为____．14．空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是__________．15．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为________．16．在四面体ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，AB ＝2，6AC =，则二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为_____． 17．已知平行六面体中，则____．18．如图，已知平面α⊥平面β，A ，B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA β⊂，CB β⊂，且DA AB ⊥，CB AB ⊥，4=AD ，8BC =，6AB =，在平面α内有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB △的面积的最大值是______．19．正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，若1AC 与底面ABCD 所成角为60°，则11AC 和底面ABCD 的距离是________20．如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==.若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是__________．三、解答题21．如图1，正方形ABCE ，2AB =，延长CE 到达D ，使DE CE =，M ，N 两点分别是线段,AD BE 上的动点，且AM BN =．将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达1D 的位置（如图2），且1D E EC ⊥．（Ⅰ）证明：//MN 平面1DCE ； （Ⅱ）在线段1AD 上确定点M 的位置，使平面MBE 与平面ABE 所成角（锐角）的余弦值为33． 22．如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，2BA BC ==，分别过A ，C 作平面ABC 的垂线1A A 和1C C ，12AA =，1CC h =，连结1AC 和1AC 交于点P .（Ⅰ）设点M 为BC 中点，若2h =，求证：直线PM 与平面1A AB 平行；（Ⅱ）设O 为AC 中点，二面角11A AC B --等于45°，求直线OP 与平面1A BP 所成角的大小.23．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中60BAD ∠=︒，22AB AD ==，45BAE GAD ∠=∠=︒.（Ⅰ）求证：平面ADG ⊥平面BDG ； （Ⅱ）求直线BG 与平面AGFE 所成角的正弦值.24．在四棱台1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AAA B ==，120BAD ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD .（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ；（2）试问棱AD 上是否存在点M ，使得二面角111M A B D --的余弦值是5719？若存在，求点M 的位置；若不存在，请说明理由.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点．（1）若//PB 平面AEC ，请确定点E 的位置，并说明理由．（2）设2AB AP ==，3AD =，若13PE PD =，求二面角P AC E --的正弦值．26．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.（1）PB ∥平面AEC ；（2）设PA =1，ABC ∠60︒=，三棱锥E -ACD ，求二面角D -AE -C 的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，再过Q 作//QF MN 交11B C 于F ，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，即可判断截面形状. 【详解】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ，()125,10,10AC ∴=--， 设截面与11A D 交于(),0,10Q Q x ，则()20,0,5Q PQ x =-，()12520500Q A C PQ x ∴⋅=---=，解得18Q x =，即()18,0,10Q ，设截面与AD 交于(),0,0M M x ，则()20,0,5M PM x =--，()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=，解得22Mx =，即()22,0,0M ， 设截面与AB 交于()25,,0N N y ，则()3,,0N MN y =，1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=，解得7.5N y =，即()25,7.5,0N ， 过Q 作//QF MN ，交11B C 于F ，设(),10,10F F x ，则()18,10,0F QF x =-， 则存在λ使得QF MN λ=，即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=，解得22F x =，故F 在线段11B C 上，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，设()25,10,E E z ，则()3,0,10E EF z =--， 则存在μ使得EF QM μ=，即()()3,0,104,0,10E z μ--=-，解得 2.5E z =，故E 在线段1BB 上，综上，可得过点P 且与1AC 垂直的长方体截面为五边形QMNEF . 故选：B.【点睛】本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，即可利用平面的性质找出其它点的位置.2．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解． 【详解】由题意，因为正方体12341234A A A A B B B B -的底面为班车为1的正方形，高为2， 建立如图所示的空间直角坐标系，则12341234(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,2),(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2)A A A A B B B B ， 则12(1,0,2)A B =-， 与11(0,0,2)A B =相等的向量为223344A B A B A B ==，此时1211224A B A B ⋅=⨯=， 与14(0,1,2)A B =-相等的向量为23A B ，此时1214224A B A B ⋅=⨯=， 与41(0,1,2)A B =相等的向量为32A B ，此时1241224A B A B ⋅=⨯=， 与21(1,0,2)A B =相等的向量为34A B ，此时1221143A B A B ⋅=-+=， 与12(1,0,2)A B =-相等的向量为43A B ，此时1212145A B A B ⋅=+=， 体对角线向量为13(1,1,2)A B =--，此时1213145A B A B ⋅=+=， 24(1,1,2)A B =-，此时1224143A B A B ⋅=-+=，31(1,1,2)A B =，此时1231143A B A B ⋅=-+=， 42(1,1,2)A B =-，此时1242145A B A B ⋅=+=，综上集合11{|,{1,2,3,4},{1,2,3,4}}{3,4,5}i j x x A B A B i j =⋅∈∈=，集合中元素的个数为3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．A解析：A 【分析】利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解． 【详解】由题意，可知OB OC =，则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅coscos33OA OC OA OB ππ=⋅-⋅1()02OA OC OB =⋅-=， 所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．D解析：D 【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可. 【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ， 据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．A解析：A 【详解】试题分析：设1AB =112,5BD BC DC ∴===， 1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴==考点：线面角6．C解析：C 【解析】分析：根据两个向量的数量积的定义式，推导出其所成角的余弦公式，从而利用cos ,a b a b a b⋅<>=，结合22a a =，将有关量代入求得z 的值，得到结果.详解：根据题意得31cos ,23a b⨯===+， 化简得22z =，解得z = C.点睛：该题考查的是有关向量夹角余弦公式的问题，在解题的过程中，需要把握住向量夹角余弦公式，再者就是向量的模的平方和向量的平方是相等的，还有就是向量的模的坐标运算式.7．C解析：C 【分析】先求出两个向量的夹角为,=45︒<>m n ，再转化为二面角的大小. 【详解】1cos ,1⋅<>===⨯⋅m n m n m n，即,=45︒<>m n ， 所以两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°. 答案：C 【点睛】本题考查了空间向量的夹角和二面角的求法，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.8．A解析：A 【解析】分析：建立空间直角坐标系，结合题意得到点的坐标，然后利用空间向量求解点面距离即可.详解：如图所示，建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ()10,1,1D，11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 据此可得：()110,1,0A D =，111,0,2A E ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 设平面11A D E 的法向量为()111,,m x y z =，则：1110102y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩， 据此可得平面11A D E 的一个法向量为()1,0,2m =，而()1,1,0C ，据此有：()11,1,1AC =-，则点C 到平面11A D E 的距离为11555AC m m⋅==. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查空间向量的应用，点面距离的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．D解析：D 【分析】由几何体为正方体，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面D 1EF 的法向量n ，结合向量的点到平面距离公式求得点M 到平面D 1EF 的距离，结合N 为EM 中点即可求解 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d ＝||225||5EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N 到该5故选：D ．【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题10．A解析：A 【分析】分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可得到所求角的余弦值的最大值，再根据余弦函数的单调性即可得到结果. 【详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，所以1,,CA CB CC 两两互相垂直， 所以分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图：因为12AC BC AA ===，所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)A ，所以(1,1,1)Q ， 设(0,,2)P y ，则(2,2,0)AB =-，(1,1,1)PQ y =--， 设异面直线AB 与PQ 所成角为θ，则cos θ=|cos ,|AB PQ <>=||||||AB PQ AB PQ⋅=====≤=3y =时等号成立） 又(0,)2πθ∈，且cos y θ=在(0,)2π内递减， 所以[,)62ππθ∈， 所以异面直线AB 与PQ 所成角的最小值为30°. 故选：A 【点睛】本题考查了利用空间向量解决夹角，考查了异面直线所成角的范围以及余弦函数的单调性，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由共面向量定理可得：若定点M 与点A 、B 、C 一定共面，则存在实数x ，y ，使得AM xAB yAC =+，即(1)OM x y OA xOB yOC =--++，判断标准是验证OA ，OB ，OC 三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M ，A ，B ，C 一定共面，由此规则即可找出正确的条件． 【详解】由题意,,A B C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，对于A 由于向量的系数和是32，不是1，故此条件不能保证点M 在面ABC 上； 对于B ，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面对于C ，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M 与,,A B C 一定共面对于D ，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面综上知，能得到点M 与,,A B C 一定共面的一个条件为C . 故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要熟练记忆．12．A解析：A 【分析】由题意画出结晶体的图形，利用向量加法的三角形法则求解晶体的对角线的长. 【详解】设AB a =，AD b =，1AA c =，棱长为t ，则两两夹角为60︒， 11AC AB AD A A a b c=++=+-， 22222222122232AC a b c a b c a b a c c b t t t ∴=+-=+++⋅-⋅-⋅=-=， 12AC t ∴=. 2m ∴=故选：A . 【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了向量加法三角形法则，解答的关键是掌握22||a a =，是基础题.二、填空题13．；【解析】【分析】以D 为原点DA 为x 轴DC 为y 轴DD1为z 轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出AE 与CD1所成角的余弦值【详解】以D 为原点DA 为x 轴DC 为y 轴DD1为z 轴建立空间直角坐标系设正方体A10 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE 与CD 1所成角的余弦值．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A （2，0，0），E （2，2，1），C （0，2，0），D 1（0，0，2），AE =（0，2，1），1CD =（0，﹣2，2），设AE 与CD 1所成角为θ， 则cosθ112101055AE CD AE CD ⋅===⋅⋅， ∴AE 与CD 1所成角的余弦值为1010． 故答案为1010．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．【解析】如图所示设∴∴∴周长又∵∴周长的范围为故答案为： 解析：(8,10)【解析】 如图所示， 设DH GHk DA AC==， ∴1AH EHk DA BD==-， ∴5GH k =，4(1)EH k =-， ∴周长82k =+． 又∵01k <<， ∴周长的范围为(8,10)． 故答案为：(8,10)．15．【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知AC 的中点即为BD 的中点AC 的中点设D(xyz)则∴x ＝5y ＝13z ＝－3故D(513－3)解析：(5,13,3)- 【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点7(,4,1)2O - ，设D (x ，y ，z )， 则7251,4,12222x y z +-++==-= ∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故D (5,13，－3)．16．【分析】如图所示建立空间直角坐标系平面的法向量平面的法向量利用夹角公式计算得到答案【详解】设中点为则故故两两垂直如图所示建立空间直角坐标系平面的法向量设平面的法向量为则解得：则法向量夹角故二面角B ﹣【分析】如图所示建立空间直角坐标系，平面ABD 的法向量()11,0,0n =，平面ACD的法向量()21,n =，利用夹角公式计算得到答案.【详解】设BD 中点为O，则AO CO ==AC =，故AO CO ⊥，故,,OA OC OD 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.平面ABD 的法向量()11,0,0n =，设平面ACD 的法向量为()2,,n x y z =，()(),,0,1,0A CD ，则220,0n CD n AD ⋅=⋅=，解得：()21,n =，则法向量夹角1212cos 5n n n n θ⋅===⋅. 故二面角B ﹣AD ﹣C .【点睛】本题考查了二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.17．【解析】试题分析：因为在平行六面体中所以则考点：本题考查的知识点是点线面间的距离计算考查空间两点之间的距离运算根据已知条件构造向量将空间两点之间的距离转化为向量模的运算是解答本题的关键解析：【解析】试题分析：因为在平行六面体中，，所以,则．考点：本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．18．12【解析】解析：12【解析】314219．【解析】分析：确定A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高即可求得结论详解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1∴平面ABCD∥平面A1B1C1D1∵A1C1⊂平面A1B解析：26. 【解析】分析：确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高，即可求得结论． 详解：∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1， ∴平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， ∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴A 1C 1∥平面ABCD∴A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，AC 1与底面ABCD 成60°角， ∴A 1A=22tan60°=26 故答案为26．点睛：本题考查线面距离，确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高是解题的关键．如果直线和已知的平面是平行的，可以将直线和平面的距离，转化为直线上一点到平面的距离.20．【详解】以AB 的中点为原点建立如图所示的空间直角坐标系则平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则则令所以平面的一个法向量为所以因为所以所以所以即二面角的余弦值的取值范围是点睛：本题主要考查了空间几何 解析：99(,)1616-【详解】以AB 的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则163(0,,(0,4,0),(,0,0)(33)22D C M a a --<<，平面MBC 的一个法向量为1(0,0,1)n =， 设平面DMC 的一个法向量为2(,,)n x y z =，则963(0,,),(,4,0)22DC MC a =-=-，则22963002040n DC y z n MC ax y ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎩，令4639,,63z x y a ===，所以平面DMC 的一个法向量为2463(,63,9)n a=， 所以122299cos ,166316636381144n n a a ==⨯⨯+++， 因为33a -<<，所以29<a ，所以2166316631441442569a ⨯⨯+>+=， 所以129cos ,16n n <，即二面角的余弦值的取值范围是99(,)1616-.点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征和二面角的计算问题，空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，利用空间向量求解空间角的关键在于“四破”：第一、破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二、破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三、破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四、破“应用公式关”.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）M 是1AD 中点． 【分析】（Ⅰ）分别以1,,EA EC ED 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，并由122AD BE ==，AM BN =，可设1AM AD λ=，BN BE λ=，得出,M N 坐标，求出平面1D EC 的一个法向量n ，计算MN n ⋅后可证结论；（Ⅱ）在（Ⅰ）基础上，求出平面MBE 和平面ABE 的法向量，由法向量夹角的余弦值的3求得λ，得点M 位置． 【详解】（Ⅰ）由题意1,AE D E AE CE ⊥⊥，又1D E EC ⊥， 分别以1,,EA EC ED 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D ，设(,,)M x y z ，设1AM AD λ=，01)λ≤≤，而122AD BE ==AM BN =，则BN BE λ=，由1AM AD λ=得(2,,)(2,0,2)x y z λ-=-，22,0,2x y z λλ=-+==，即(22,0,2)M λλ-+，同理得(22,22,0)N λλ-+-+，所以(0,22,2)MN λλ=-+-，易知平面1D EC 的一个法向量是(1,0,0)n =，因为0MN n ⋅=，所以MN n ⊥，而MN ⊄平面1D EC ，所以//MN 平面1D EC ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知(22,0,2)EM λλ=-+，(2,2,0)EB =， 设平面MBE 的一个法向量是(,,)m x y z =，由00m EB m EM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得220(22)20x y x z λλ+=⎧⎨-++=⎩，取1x =，则1y =-，2212z λλλλ--==， 所以1(1,1,)m λλ-=-，又平面ABE 的一个法向量是(0,0,1)p =，则211cos ,12m p m p m pλλλ-⋅<>==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由题意2113312λλλ-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得12λ=． 所以M 是1AD 中点时，平面MBE 与平面ABE 所成角（锐角）的余弦值为33．【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法证明线面平行，求二面角．求二面角的方法： （1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）． 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60︒. 【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判断定理可证明//PM 面1A AB .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面11AAC 的法向量和平面11AC B 的法向量后利用已知二面角可得2h 的值，再求出OP 和平面1A BP 的法向量后可得线面角的正弦值，从而可求角的大小. 【详解】解：（Ⅰ）若2h =，因为1A A ⊥平面ABC ，1C C ⊥平面ABC ，故11//A A C C ， 因为112AA CC ==，故P 为1AC 的中点，由中位线知：1//PM A B ，而PM ⊄面1A AB ，1A B ⊂面1AAB ， //PM ∴面1A AB（Ⅱ）以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则)B，()10,2A，()12C h，()C ，()1BA =-，()12BC h =-.设平面11AC A 的法向量为1n ，易得()11,0,0n =， 设平面11AC B 的法向量为()2,,n x y z =，由12120,0,BA n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,0,z h z -=-=取1z =，得2n ⎫=⎪⎭，12122cos 4516n n n n ⋅∴︒===21h =. 12A PPC ∴=，122210,3333OP OA OC ⎛⎫⎛⎫∴=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设平面1A PB 的法向量，即平面1A BC 的法向量为()3111,,n x y z =，又()BC =-.由13130,0,BA n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111120,0,z +-==取11x =得(3n =. 设直线OP 与平面1A BP 所成的角为α，02πα<<.则33sin 2OP n OP n α⋅===，则60α=︒.所以直线OP 与平面1A BP 所成的角为60︒.【点睛】方法点睛：.线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）217【分析】（Ⅰ）证明：AD DB ⊥，GD DB ⊥，即可证明BD ⊥平面ADG ，从而得到平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值． 【详解】（Ⅰ）证明：在BAD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=︒．由余弦定理2222cos60BD AD AB AB AD =+-︒，3BD ， 222AB AD DB =+，AD DB ∴⊥，在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，GD DB ∴⊥， 又ADGD D =，,AD DG ⊂平面ADGBD ∴⊥平面ADG ．又因为BD ⊂平面BDG ， 所以平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）解：如图以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，(1A ∴，0，0)，(0,3,0)B ，(0,3,2)E ，(0G ，0，1)，(1,3,2)AE =-，(1,0,1)AG =-，(0,3,1)GB =-，设平面AEFG 的法向量(,,)n x y z =，·320·0n AE x y z n AG x z ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩令1x =，得33y -=，1z =， ∴3(1,,1)3n =-，设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ，∴21sin |cos ,|||7||||GB n GB n GB n θ=<>==， 所以直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值为217．【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.24．（1）证明见解析；（2）存在，M 为AD 边上靠近A 的四等分点. 【分析】（1）先证11//B E C D ，再根据线面平行判定定理即可证明命题；（2）取BC 中点G ，根据AG ，AD ，1AA 两两互相垂直建立坐标系，设点(0,,0)M t 分别求得平面11MA B 和平面111A B D 的法向量，再由二面角公式解得t 值，从而确定M 的位置. 【详解】（1）证明：连1DC ，由1B C //AD ，得11B C E //D =，故四边形11B EDC 为平行四边形.11//B E C D =，1C D ⊂平面11CDD C ，1B E ⊂/平面11CDD C ， 所以1//B E 平面11CDD C ，（2）假设M 点存在，取BC 中点G ，因为底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，所以AG BC ⊥，AG AD ⊥，又1AA ⊥面ABCD ，所以AG ，AD ，1AA 两两互相垂直.以A 为坐标原点，AG ，AD ，1AA 为正方向建立空间直角坐标系A xyz -.由2AB =，得3AG =(0,,0)M t ，其中[0,2]t ∈.1(0,0,1)A ，131,12B ⎫-⎪⎪⎝⎭，()10,,1A M t =-，1131,022A B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设()1,,n x y z =为平面11MA B 的一个法向量，则1111100n A B n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3102y ty z ⎧-=⎪⎪-=⎩可取()11,3,3t n =. 易知平面111A B D 一个法向量为()20,0,1n = 由1221212357cos ,133n n n n n n t t ⋅===++‖12t =， 故M 为AD 边上靠近A 的四等分点. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 25．（1）点E 是PD 的中点，详见解析；（2）36161. 【分析】（1）点E 是PD 的中点，连接BD 交AC 与点O ，连接OE ，由中位线定理得到//OE PB ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 的一个法向量()111,,m x y z =，平面ACE 的一个法向量()222,,n x y z =，设二面角P AC E --为θ，由cos m n m nθ⋅=⋅求解.【详解】（1）点E 是PD 的中点，如图所示：连接BD 交AC 与点O ，连接OE ， 所以//OE PB ，又PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， 所以//PB 平面AEC ．（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()40,0,2,0,0,0,2,3,0,0,3,0,0,1,3P A C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以()()42,3,0,0,0,2,0,1,3AC AP AE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，设平面PAC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 11123020x y z +=⎧⎨=⎩，令 1113,2,0x y z ==-=，则()3,2,0m =- 设平面ACE 的一个法向量为()222,,n x y z =，则00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 2221230403x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令 22233,2,2x y z ==-=，则33,2,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设二面角P AC E --为θ, 所以213cos 61m n m nθ⋅==⋅，所以 22213361sin 1cos 161θθ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅.2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．26．（1）证明见解析；（2）14. 【分析】(1 )连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，根据中位线定理可得//PB OE ，由线面平行的判定定理即可证明//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，根据23243P ABCD P ACD E ACD V V V ---===可得2a =，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 【详解】(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 为BD 中点，E 为PD 的中点，所以//PB OE ，OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，23243P ABCD P ACD E ACD V V V ---===， 1233113132P ABCD ABCD V S PA a a -⨯⨯⨯=⋅==，则2a =. 取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴， 以AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.()0,2,0D ，()0,0,0A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()3,1,0C10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =， 由11,n AE n AC ⊥⊥，得10230y z x y ⎧+=⎪⎪+=⎩，令3y =1,23x z =-=- (11,3,23n =∴--，平面ADE 的一个法向量为()21,0,0n =1212121cos<,>41312n n n n n n ⋅===++⋅，即二面角D AE C --的余弦值为14. 【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n；再代入公式cosm nm nα⋅=±（其中,m n分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）。
高二数学选修21第3章空间向量与立体几何单元测试题(含答案)
高二数学选修2-1第3章空间向量与立体几何单元测试题（含答案）空间向量是解立体几何的一种常用方法，以下是第3章空间向量与立体几何单元测试题，希望对大家有帮助。
一、填空题1.判断下列各命题的真假：①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同;④两个有公共终点的向量，一定是共线向量;⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为________.2.已知向量AB，AC，BC满足|AB|=|AC|+|BC|，则下列叙述正确的是________.(写出所有正确的序号)①AB=AC+BC②AB=-AC-BC③AC与BC同向;④AC与CB同向.3.在正方体ABCD-A1B1C1D中，向量表达式DD1-AB+BC化简后的结果是________.4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D中，用向量AB，AD，AA1来表示向量AC1的表达式为___________________________________________________ _____________________.5.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则AB+12(BD+BC)化简的结果是________.6.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，下列结论中正确的有________.(写出所有正确的序号)① +GH+PQ② -GH-PQ③ +GH-PQ④ -GH+PQ=0.7.如图所示，a,b是两个空间向量，则AC与AC是________向量，AB与BA是________向量.8.在正方体ABCD-A1B1C1D中，化简向量表达式AB+CD+BC+DA 的结果为________.二、解答题9.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G 分别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)AB+BC+CD，(2)AB+GD+EC，并标出化简结果的向量.10.设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心.求证：AG=13(AB+AC+AD).能力提升11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD 的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC=a，BD=b，则AF=______________________.12.证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.解析①真命题;②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的;③真命题;④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.2.④解析由|AB|=|AC|+|BC|=|AC|+|CB|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC与CB同向.3.BD1解析如图所示，∵DD1=AA1，DD1-AB=AA1-AB=BA1，BA1+BC=BD1，DD1-AB+BC=BD1.4.AC1=AB+AD+AA1解析因为AB+AD=AC，AC+AA1=AC1，所以AC1=AB+AD+AA1.5.AM解析如图所示，因为12(BD+BC)=BM，所以AB+12(BD+BC)=AB+BM=AM.6.①解析观察平行六面体ABCDA1B1C1D1可知，向量EF，GH，PQ 平移后可以首尾相连，于是EF+GH+PQ=0.7.相等相反8.0解析在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量.9.解 (1)AB+BC+CD=AC+CD=AD.(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.BE=EC，EF=GD.AB+GD+EC=AB+BE+EF=AF.故所求向量AD，AF，如图所示.10.证明连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，知BG=23BE.∵E为CD的中点，BE=12BC+12BD.AG=AB+BG=AB+23BE=AB+13(BC+BD)=AB+13[(AC-AB)+(AD-AB)]=13(AB+AC+AD).11.23a+13b解析 AF=AC+CF=a+23CD=a+13(b-a)=23a+13b.12.证明如图所示，平行六面体ABCDABCD，设点O是AC的中点，则AO=12AC=12(AB+AD+AA).设P、M、N分别是BD、CA、DB的中点.则AP=AB+BP=AB+12BD=AB+12(BA+BC+BB)=AB+12(-AB+AD+AA)=12(AB+AD+AA).同理可证：AM=12(AB+AD+AA)AN=12(AB+AD+AA).由此可知O，P，M，N四点重合.故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分.第3章空间向量与立体几何单元测试题的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家新学期可以取得更好的成绩。
(好题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．长方体12341234A A A A B B B B -的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合12{|i j x x A B A B =⋅，{1,2,3,4},{1,2,3,4}}i j ∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，则1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．12l l ⊥B ．12l l C ．1l 、2l 相交不垂直 D ．不能确定3．若{},,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ） A ．,2,3a b c B ．,,a b b c c a +++ C ．,,a b c b c c +++ D ．2,23,39a b b c a c ++-4．正方体ABCD —A′B′C′D′中，AB 的中点为M ，DD′的中点为N ，则异面直线B′M 与CN 所成角的大小为 A ．0°B ．45°C ．60 °D ．90°5．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A ．13B C D ．126．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．5B ．10C D ．27．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量,AB CD ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD > D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD 8．若向量(3,1,0)a =，(1,0,)b z =，,3a b π=，则实数z 的值为（ ）A B ．2C ．±D ．2±9．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC ∆的边长为1，AE ⊥平面,ABC CD AE ∥，且12CD AE =.设CE 与平面ABE 所成的角为,(0)AE k k α=>，若ππ[,]64α∈，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．2 B ．1C ．2D ．310．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A ．7 B ．75C ．72D ．7 11．如图所示，平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（ ）A 3B 6C ．217D 21 12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．13C ．33D ．233二、填空题13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，已知G和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若DG EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为______．14．ABC △中，90C ∠︒＝，60A ∠︒＝，2AB ＝，M 为AB 中点，将BMC △沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，A ，B 两点之间的距离为_____． 15．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标是______． 16．在空间四边形ABCD 中，E F 、分别是AB CD 、中点，且5,EF =又6,8AD BC ==，则AD 与BC 所成角的大小为____________.17．已知点()121A --，，，()222B ，，，点P 在Z 轴上，且点P 到,A B 的距离相等，则点P 的坐标为___________．18．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.19．正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，若1AC 与底面ABCD 所成角为60°，则11AC 和底面ABCD 的距离是________20．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.三、解答题21．在四棱台1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AAA B ==，120BAD ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD .（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ；（2）试问棱AD 上是否存在点M ，使得二面角111M A B D --的余弦值是5719？若存在，求点M 的位置；若不存在，请说明理由.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，DA AB BC a ===，2CD a =，PD ⊥平面ABCD ，2PD a =.（1）求PC 与DB 所成角的余弦值；（2）设l 是过点P 且与AB 平行的一条直线，点Q 在直线l 上，当PC 与平面BQD 所成角的正弦值最大时，求线段PQ 的长. 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，6π∠=CAD ，且321,2AD CD PA ABC ===，和PBC 均是等边三角形，O 为BC 的中点.（I ）求证：PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求CB 与平面PBD 所成角的正弦值.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面//ABCD AB CD AD CD ⊥，，，且22AD CD PD AB ====.（I ）求证：AB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角P BC A --的余弦值.25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 和11BCC B 都是正方形，平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，,D E 分别为1BB ，AC 的中点．（1）求证：//BE 平面1ACD ． （2）求直线1B E 与平面1ACD 所成角的正弦值． 26．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解． 【详解】由题意，因为正方体12341234A A A A B B B B -的底面为班车为1的正方形，高为2， 建立如图所示的空间直角坐标系，则12341234(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,2),(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2)A A A A B B B B ， 则12(1,0,2)A B =-， 与11(0,0,2)A B =相等的向量为223344A B A B A B ==，此时1211224A B A B ⋅=⨯=， 与14(0,1,2)A B =-相等的向量为23A B ，此时1214224A B A B ⋅=⨯=， 与41(0,1,2)A B =相等的向量为32A B ，此时1241224A B A B ⋅=⨯=， 与21(1,0,2)A B =相等的向量为34A B ，此时1221143A B A B ⋅=-+=， 与12(1,0,2)A B =-相等的向量为43A B ，此时1212145A B A B ⋅=+=， 体对角线向量为13(1,1,2)A B =--，此时1213145A B A B ⋅=+=， 24(1,1,2)A B =-，此时1224143A B A B ⋅=-+=， 31(1,1,2)A B =，此时1231143A B A B ⋅=-+=， 42(1,1,2)A B =-，此时1242145A B A B ⋅=+=，综上集合11{|,{1,2,3,4},{1,2,3,4}}{3,4,5}i j x x A B A B i j =⋅∈∈=，集合中元素的个数为3个． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．A解析：A 【分析】求出直线1l 、2l 的方向向量数量积为0，由此得到1l 与2l 的位置关系． 【详解】由题意，直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，2640a b ⋅=-+-=，∴1l 与2l 的位置关系是12l l ⊥．故选A ． 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查运算求解能力，属于基础题．3．D解析：D 【分析】根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可． 【详解】对于:,2,3,:,,,:,,A a b c B a b b c c a C a b c b c c ++++++，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，对于D ：2,23,3-9a b b c a c ++满足：()()3-932-23a c a b b c ⎡⎤=++⎣⎦，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故选D 【点睛】本题主要考查了向量的相关知识，考查了空间向量共面的判断与应用问题，熟练掌握向量基底的定义以及判断条件是解题的关键，属于基础题．4．D解析：D 【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系,利用向量1(1,0,2)B M =--,(2,0,1)CN =-的数量积为0，即可求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，由图可知(1,0,0)M ，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,1)N ， 所以1(1,0,2)B M =--,(2,0,1)CN =- 所以1cos ,0B M CN 〈〉=所以异面直线B M '与CN 所成的角为90︒．故本题正确答案为D ． 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角，属于基础题.5．B解析：B 【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB与1AA 所成角的余弦值． 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC ，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===，则11,1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，），11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则1122cos 1824MB AA MB AA θ⋅===⋅⋅∴异面直线MB 与1AA所成角的余弦值为223，故选B ．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.6．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值. 【详解】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，5AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为11110cos ,510AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．7．D解析：D【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A 错误； 因为a b =仅表示a 与b 的模相等，与方向无关，选项B 错误；因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB CD >这种写法，选项C 错误；∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故AB //CD ，选项D 正确. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【解析】分析：根据两个向量的数量积的定义式，推导出其所成角的余弦公式，从而利用cos ,a b a b a b⋅<>=，结合22a a =，将有关量代入求得z 的值，得到结果.详解：根据题意得31cos ,23a b ⨯===+，化简得22z =，解得z = C.点睛：该题考查的是有关向量夹角余弦公式的问题，在解题的过程中，需要把握住向量夹角余弦公式，再者就是向量的模的平方和向量的平方是相等的，还有就是向量的模的坐标运算式.9．C解析：C 【详解】分析：建立空间直角坐标系，利用直线CE 与平面ABE 所成的角，求解k 的最大值，进而求解平面BDE 和平面ABC 的一个法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，进而求得正切值，得到结果.详解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz - ，则31(0,1,0),(0,0,),(0,1,),(,0)22k A D E k B ， 取AB 的中点M ，则33(,0)4M ，则平面ABE 的一个法向量为33(,0)4CM =，由题意23sin 21CE CM CE CMk α⋅==⋅+又由ππ[,]64α∈，所以2132sin 2221kα≤=≤+，解得222k ≤≤，所以k 2 当2k =BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则2031202n DE y z n BE x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩， 取(3,12)n =--，由平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =， 设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ， 则3cos n m n m θ⋅==⋅，所以sin 6θ=tan 2θ= C.点睛：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系，求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，以及转化的思想方法的应用.10．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，0，3），M （0，0，32），P （x ，y ，0）． 于是有AM =（0，1，3），MP =（x ，y ，3-）． 由于AM ⊥MP ，所以（0，1，3）•（x ，y ，3-）＝0， 即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为22371()4-=． 故选C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题11．B解析：B 【分析】以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，表示出1BD 和AC ，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得． 【详解】由题意11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=． 以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，AC AB AD =+，111BD AD AB AD AA AB =-=+-，221111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD AD AA AB AD ⋅=+⋅+-=⋅+⋅-++⋅-⋅1=，222()23AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=22221111()2222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA =+-=+++⋅-⋅-=，∴111cos ,3AC BD AC BD AC BD ⋅<>===⋅．∴1BD 与AC故选：B ． 【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．12．B解析：B 【分析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，计算夹角得到答案. 【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭. 根据1,n AC n AD ⊥⊥得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故22cos n DE n DEα⋅==⋅，故1sin 3α=， 直线DE 与平面ACD 1所成角θ，满足1cos sin 3θα==. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13．【分析】建立空间直角坐标系设出的坐标求出向量利用求得关系式写出的表达式然后利用二次函数求最值即可【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系则由于则所以所以所以当时线段长度的最小值是当时线段长度的最大 解析：5 【分析】建立空间直角坐标系，设出F 、D 的坐标，求出向量DG ，EF ，利用GD EF ⊥求得关系式，写出DF 的表达式，然后利用二次函数求最值即可． 【详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，1(0,1,)2E ，1(,0,1)2G ，(,0,0)F x ，(0,,0)D y ， 由于GD EF ⊥，则0GD EF ⋅=，所以210x y +-=， 所以(,,0)(21,)DF x y y y =-=-+-，所以22222215415550DF x y y y y ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭+， 当25y =时，线段DF 5当0y =时，线段DF 长度的最大值是1， 而不包括端点，故0y =不能取；故答案为：5[,1) 5．【点睛】本题主要考查了点、线、面间的距离计算、棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识，着重考查了空间想象能力，以及运算求解能力，属于基础题．14．【解析】【分析】取MC中点O连结AOBO推导出AC＝BM＝AM＝CM＝1AO＝BO＝AO⊥MCAO⊥平面BMCAO⊥BO由此能求出AB两点之间的距离【详解】取MC中点O连结AOBO∵△ABC中∠C＝解析：10【解析】【分析】取MC中点O，连结AO，BO，推导出AC＝BM＝AM＝CM＝1，AO＝32，BO＝7，AO⊥MC，AO⊥平面BMC，AO⊥BO，由此能求出A，B两点之间的距离．【详解】取MC中点O，连结AO，BO，∵△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝2，M为AB中点，∴AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，∴AOBO =AO ⊥MC ，将△BMC 沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时， AO ⊥平面BMC ，∴AO ⊥BO ，∴A ，B 两点之间的距离|AB |==,． 【点睛】本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．【分析】根据对称关系确定点的坐标【详解】∵在空间直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标为∴点关于轴对称的点的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系考查基本分析求解能力属基础题 解析：()2,1,4---【分析】根据对称关系确定点的坐标. 【详解】∵在空间直角坐标系中，点(),,x y z 关于x 轴对称的点的坐标为(),,x y z --， ∴点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---． 【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系，考查基本分析求解能力，属基础题.16．【分析】将平移到一起利用勾股定理求得线线角为【详解】解：取中点连接中分别为的中点且同理可得且与所成的直角或锐角就是异面直线与所成角中得即异面直线与所成角等于故答案为：【点睛】方法点睛：平移法是立体几 解析：90【分析】将,AD BC 平移到一起，利用勾股定理求得线线角为90. 【详解】解：取BD 中点G ，连接EG FG 、，ABD 中，,E G 分别为,AB BD 的中点，//EG AD ∴且132EG AD ==， 同理可得//,FG BC 且142FG BC ==， EG ∴与FG 所成的直角或锐角就是异面直线AD 与BC 所成角，EFG △中，3,4,5EG GF EF ===，222EG FG EF ∴+=，得90,EGF ∠=︒即异面直线AD 与BC 所成角等于90， 故答案为：90. 【点睛】方法点睛：平移法是立体几何中求线线角的常用方法之一，平移时通常结合三角形中位线定理把欲求的角平移到一个三角形中，然后再解三角形即可.17．（003）【解析】试题分析：设由题意所以解得考点：两点间的距离公式解析：（0,0,3） 【解析】 试题分析：设，由题意，所以，解得考点：两点间的距离公式18．【解析】【分析】设出点的坐标根据题意列出方程组从而求得该点到原点的距离【详解】设该点的坐标因为点到三个坐标轴的距离都是1所以所以故该点到原点的距离为故填【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用空间解析：62【解析】 【分析】 设出点的坐标(,,)x y z ，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离. 【详解】设该点的坐标(,,)x y z因为点到三个坐标轴的距离都是1所以221x y +=，221y z +=，221x z +=，所以22232x y z ++=故该点到原点的距离为2226=2x y z ++， 故填6. 【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题.19．【解析】分析：确定A1C1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1的高即可求得结论详解：∵正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1∴平面ABCD ∥平面A1B1C1D1∵A1C1⊂平面A1B解析：26. 【解析】分析：确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高，即可求得结论． 详解：∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1， ∴平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， ∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴A 1C 1∥平面ABCD∴A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，AC 1与底面ABCD 成60°角， ∴A 1A=22tan60°=26 故答案为26．点睛：本题考查线面距离，确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高是解题的关键．如果直线和已知的平面是平行的，可以将直线和平面的距离，转化为直线上一点到平面的距离.20．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定解析：)【解析】分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得22233cos 22VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，则2VD VC ==VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<， 在三角形VDC 中由余弦定理可得，2222cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22a a VDC =-∠22030VC a VC <<⇒<<，即VC 的取值范围是()，为故答案为().点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）存在，M 为AD 边上靠近A 的四等分点. 【分析】（1）先证11//B E C D ，再根据线面平行判定定理即可证明命题；（2）取BC 中点G ，根据AG ，AD ，1AA 两两互相垂直建立坐标系，设点(0,,0)M t 分别求得平面11MA B 和平面111A B D 的法向量，再由二面角公式解得t 值，从而确定M 的位置. 【详解】（1）证明：连1DC ，由1B C //AD ，得11B C E //D =， 故四边形11B EDC 为平行四边形.11//B E C D =，1C D ⊂平面11CDD C ，1B E ⊂/平面11CDD C ， 所以1//B E 平面11CDD C ，（2）假设M 点存在，取BC 中点G ，因为底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，所以AG BC ⊥，AG AD ⊥，又1AA ⊥面ABCD ，所以AG ，AD ，1AA 两两互相垂直.以A 为坐标原点，AG ，AD ，1AA 为正方向建立空间直角坐标系A xyz -.由2AB =，得3AG =(0,,0)M t ，其中[0,2]t ∈.1(0,0,1)A ，131,12B ⎫-⎪⎪⎝⎭，()10,,1A M t =-，1131,022A B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设()1,,n x y z =为平面11MA B 的一个法向量，则1111100n A B n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3102y ty z ⎧-=⎪⎪-=⎩可取()11,3,3t n =. 易知平面111A B D 一个法向量为()20,0,1n = 由1221212357cos ,133n n n n n n t t ⋅===++‖12t =， 故M 为AD 边上靠近A 的四等分点. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.22．（1）42）8a 【分析】（1）过A 作AM CD ⊥于M ，再过D 作DN ∥AM ，由于PD ⊥平面ABCD ，所以得,,PD DN DM 两两垂直，所以以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解；（2）PQ AB =λ，由于PQ 与AB 平行，所以3(,,2)(0,,0)2BP a a a a λ=--=，然后求出平面BQD 的法向量3(1,)n =-，设θ为PC 与平面BQD 所成角，则可得2222(2)sin 2(16)λθλ+=+，再换元可求出sin θ的最大值，进而可求得答案【详解】解：（1）过A 作AM CD ⊥于M ，则2aDM =，所以3ADM π∠=， 过D 作DN ∥AM ，因为PD ⊥平面ABCD ，,DN DM 在平面ABCD 内， 所以,PD DN PD DM ⊥⊥，所以以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则3(0,0,2),(0,2,0),(0,0,0),(,,0)22P a C a D B a a ， 所以33(0,2,2),(,,0)2PC a a DB a a =-=，2cos ,2PC DBPC DB PC DB ⋅===⋅（2）因为,,0)2aA a ，所以(0,,0)AB a =，设PQ AB =λ，因为PQ 与AB 平行，所以3(,,2)(0,,0)22BP a a a λ=--=， 33(0,,0),(,,0),(0,2,2)2PQ a DB a a PC a a λ===-，3(,,2)2BQ BP PQ a a a λ=+=--， 设平面BQD 的法向量为(,,)n x y z =，则33()20233022n BQ ax a a y az n DB ax ay λ⎧⋅=-+-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1x =， 则33(1,,)36n λ=-， 设θ为PC 与平面BQD 所成角，所以22233233sin cos ,1216221312a a PC n a λλθλλ--+===⋅+⋅++， 所以2222(2)sin 2(16)λθλ+=+， 令2t λ=+，则22221sin 4202(420)2(1)t t t t t θ==-+-+因为22041[,)5t t -∈-+∞， 所以2max 15sin 182(1)5θ==-，此时2220411120()105t t t -=--，当1110t =，即10t =时取得最大值，此时8λ=， 所以8PQ AB =，所以8PQ a =【点睛】关键点点睛：此题考查线面角的求法，解题的关键是建立空间直角坐标系，设PQ AB =λ，则有22233233sin cos ,1216221312a a PC n a λλθλλ--+===⋅+⋅++，再利用换元法可求得结果，考查计算能力，属于中档题 23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）39. 【分析】（Ⅰ）根据题中的边长以及垂直关系，可求出,OA OP ，利用勾股定理判断OP OA ⊥，再根据等边三角形三线重合，判断OP BC ⊥，即可证明PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）根据垂直关系，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式求CB 与平面PBD 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）证明：在ACD △中，由已知得3AC =,ABC PBC 均为边长为3的等边三角形，且O 为BC 的中点 ,OA BC OP BC ∴⊥⊥，且32OA OP ==. 在PAO 中，已知322PA =， 则有222,PO OA PA OP OA +=∴⊥. 又,OA BC O OA ⋂=⊂平面,ABCD BC ⊂平面,ABCD OP ∴⊥平面ABCD .（Ⅱ）以O 为坐标原点，,,OA OC OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则3330,0,,0,,0,222P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31,,02D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.(0,3,0)(1,3,0)BC BD ∴==，，32BP ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BP n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1z =.则3y x ==. ∴平面PBD 的一个法向量为(3,3,1)n =-，39sin |cos ,|BCn θ∴=<>=.sin θ∴= 【点睛】方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h ，而不必画出线面角，利用sin h θ= /斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，利用公式sin cos ,a n θ=<>求解. 24．（I ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【分析】（I ）通过条件证明PD AB ⊥，AD AB ⊥，再根据线面垂直的判定定理证明出AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）以DA DC DP ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，根据平面PBC 与平面ABC 法向量夹角的余弦值求解出二面角P BC A --的余弦值. 【详解】（Ⅰ）因为PD ⊥平面ABCD AB ⊂，平面ABCD ， 所以PD AB ⊥.因为//AB CD AD CD ⊥，， 所以AD AB ⊥. 因为PD AD D ⋂=， 所以AB ⊥平面PAD .（Ⅱ）因为PD ⊥平面ABCD AD CD ⊥，，所以以D 为原点，分别以DA DC DP ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系D xyz -. 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)D A B C P ， 所以(2,1,2),(2,1,0)PB BC =-=-. 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，因为00n PB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即22020.x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，所以2,2.z x y x =⎧⎨=⎩令1x =，于是,,(1)22n =. 因为PD ⊥平面ABCD ，所以平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =， 所以2cos,3||||n m n m n m ⋅<>==⋅.由题知二面角P BC A --为锐角，所以其余弦值是23.【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值. 25．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）取1AC 中点F ，证明四边形EFDB 为平行四边形，证出//BE DF ，即可证明//BE 平面1ACD ；（2）根据题意建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求解平面1ACD 的 法向量，利用数量积的计算公式即可求出直线1B E 与平面1ACD 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：取1AC 中点F ，连接DF ，EF ，∵,E F 分别为1,AC AC 的中点，∴1//EF AA ，且112EF AA =，又四边形11ABB A 是正方形，∴11//BB AA 且11BB AA =， 即1//EF BB 且112EF BB =，又∵D 为1BB 中点，∴//EF BD 且EF BD =，所以四边形EFDB 为平行四边形，所以//BE DF ，又BE ⊄平面1ACD ，DF ⊂平面1ACD ， 所以//BE 平面1ACD . （2）由题意，1,,BA BC BB 两两垂直，所以以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设12BA BC BB ===，则11(0,2,0),(1,0,1),(2,0,0),(0,1,0),(0,2,2)B E C D A . ，11(1,2,1),(2,1,0),(2,2,2)B E CD AC =-=-=-，设平面 1ACD 的法向量为(),,m x y z =，则100AC m CD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 222020x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩，得()1,2,1m =-设直线1B E 与平面1ACD 所成角为θ， 1111412sin cos ,366B E m B E mB E mθ， 所以直线1B E 与平面1ACD 所成角的正弦值为23.【点睛】方法点睛：本题考查的是空间向量与立体几何的问题，（1）关于线面平行的证明，一般利用线面平行的判定定理证明，需要证明平行线，一般是找中位线或者平行四边形证明；（2）关于线面角的求解，一般利用空间向量的方法，需要求解平面的法向量，再代入数量积求解公式计算.26．（1）证明见解析；（2）10． 【分析】（1）证明EF ⊥平面1A AMN 即可得面面垂直；（2）求出BE 与EF 的夹角的余弦值，利用EF 是平面1A AMN 的法向量，易得线面角的正弦值． 【详解】（1）因为侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，所以1BB BC ⊥，1//MN BB ，从而BC MN ⊥，又ABC 是正三角形，M 是BC 中点，所以AM BC ⊥，因为AM MN M ⋂=，,AM MN ⊂平面1A AMN ，所以BC ⊥平面1A AMN ，11//B C 平面ABC ，11BC ⊂平面11B C FE ，平面ABC 平面11B C FE EF =，所以11//B C EF ，而11//BC B C ，所以//EF BC ，所以EF ⊥平面1A AMN ，EF ⊂平面11B C FE ，所以平面111A AMN EB C F ⊥； （2）EFAM P =，连接PN ，//AO 平面11EB C F ，平面11EB C F平面1A AMN PN =，AO ⊂平面1A AMN ，所以//AO PN ，又由三棱柱的性质得//ON AP ，所以APNO 是平行四边形，所以AP NO =，O 是111A B C △的中心，则113ON A N =，所以11133AP A N AM ==， 所以13EF AP BC AM ==， 设3BC a =，则EF a =，3PN AO BC a ===，由三棱柱性质知四边形11B C FE 是等腰梯形，如图，11PN B C ⊥，作11EH B C ⊥于H ，则3EH PN a ==，又11(3)2B H a a a =-=，所以1B E，1111cos B H EB C B E ∠===． 由（1）知11B C 是平面1A AMN 的一个法向量，而11EB C ∠是1B E 与11B C 的夹角， 所以直线1B E 与平面1A AMN所成角的正弦值等于11cos EB C ∠=．【点睛】本题考查证明面面垂直，考查求直线与平面所成角．求直线与平面所成角的方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角（证明），然后解三角形得到角；（2）空间向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值得出线面角的正弦值．本题求线面角时，把两者结合，求出直线与平面的一个垂线的夹角的余弦值，从而得出线面角的正弦值，省略了建立空间直角坐标系，用推理代替了计算，也是一种求角的思路．。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元质量测评(含答案)
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元质量测评（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若平面α外直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )A ．a ＝(1,0,1)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)2．已知A (1,2，－1)，B 为A 关于平面xOy 的对称点，C 为B 关于y 轴的对称点，则BC →＝( )A ．(－2,0，－2)B ．(2,0,2)C ．(－1,0，－1)D ．(0，－2，－2) 3．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6494．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为89，则λ=（ ）Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或255Ｄ．2或255-5．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2) 6．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14 D ．x ＝1，y ＝－17．已知向量i ，j ，k 是一组单位正交向量，m ＝8j ＋3k ，n ＝－i ＋5j －4k ，则m ·n ＝( )A ．7B ．－20C ．28D ．118．已知a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(x,2，x ＋2)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．0B ．－143C ．－6D ．±69．如图，在四面体ABCD 中，已知AB →＝b ，AD →＝a ，AC →＝c ，BE →＝12EC →，则DE →＝( )A ．－a ＋23b ＋13cB ．a ＋23b ＋13cC ．a －23b ＋13c D.23a －b ＋13c10．如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π211．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共 面，则实数λ等于 （ ）A ．627B ．637C ．647D ．65712. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D 中，向量1BA 与向量AC 所成的角为 ． 14．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为矩形ABCD 的中心，设A 1E →＝A 1A →＋xA 1B 1→＋yA 1D 1→，则x ＝________，y ＝________.15．已知a ＝(3,1,5)，b ＝(1,2，－3)，向量c 与z 轴垂直，且满足a ·c ＝9，b ·c ＝－4，则c ＝________.16．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则A 1到平面MBD 的距离为________． 三、解答题：17．(本小题满分10分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．18．(本小题10分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．化简12AA 1→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；19．(本小题满分10分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3. 证明：AC ⊥B 1D ；20．(本小题满分10分) 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求证：AD 1∥平面BDC 1. 参考答案 一．选择题二．填空题13． 120° 14． 12 12 15． (225，－215，0) 16．66a三、解答题：17． 解 a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)·(k ＋2)＋k 2－8＝0，即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.18． 解 如图所示，取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连接EF ，则 12AA 1→＋BC →＋23AB → ＝EA 1→＋A 1D 1→＋D 1F →＝EF →.19． 解 由题意易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0.解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)．因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →，即AC ⊥B 1D .20．证明 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则有D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,1)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的法向量， 则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ，1，＝0，x ，y ，z，1，＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－1,1)，n ·AD 1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，故n ⊥AD 1→， 又AD 1⊄平面BDC 1， 所以AD 1∥平面BDC 1.。
沈阳市高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．512D ．7122．在正四棱锥P ABCD -中，1PA PB PC PD AB =====，点Q ，R 分别在棱AB ，PC 上运动，当||QR 达到最小值时，||||PQ CQ 的值为（ ） A ．7010B ．355 C ．3510D ．7053．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是( )A ．30B ．45C ．60D ．904．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边43,46AB AC == ）A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D ABC -的体积是86C ．二面角A BCD --42D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是21 5．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1BC 所成角的余弦值是( )A ．32B ．12C ．14D ．06．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B 2C ．13D ．167．四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（ ） A 5B ．15C ．25D 258．已知两平面的法向量分别为m =(0，1，0)，n =(0，1，1)，则两平面所成的二面角为（ ） A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°9．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A BC D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．1(,1)3C ．1(0,)3D ．(1,3)10．如图所示，平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（ ）A ．33B ．66C ．217D ．21311．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点Q 为1A B 的中点，若动点P 在直线11B C 上运动时，异面直线AB 与PQ 所成角的最小值为（ ）A ．30°B ．45°C ．60︒D ．无法确定12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>二、填空题13．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．14．若非零向量,αβ满足αβαβ+=-，则α与β所成角的大小为___．15．空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是__________．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为________.17．如图，空间四边形C OAB 中，a OA =，b OB =，C c O =，点M 在OA 上，且23OM =OA ，点N 为C B 中点，则MN 等于_____．（用向量表示）18．在直三棱柱111A B C ABC -中，底面ABC 为直角三角形，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的最小值为 .19．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为__________． 20．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列给出四个命题： (1)四边形ABC 1D 1的面积为1AB BC (2)11AD A B 与的夹角为60°；(3)22111111111111()3();(4)()0AA A D A B A B AC A B A D ++=⋅-=； 则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)三、解答题21．已知直角梯形SBCD 中，//SD BC .BC CD ⊥，336SD BC CD ===，过点B 作//BA CD 交SD 于A (如图1)，沿AB 把SAB 折起，使得二面角S AB C --为直二面角，连接SC ，E 为棱SC 上任意一点(如图2).（1）求证：平面EBD ⊥平面SAC ；（2）在棱SC 上是否存在点E ，使得二面角E BD S --的余弦值为223？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且3AD PD ==，33PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，点E 为线段PC 的中点.（1）求证：DE ⊥面PBC ； （2）若点F 在线段AB 上，且13AF AB =，求二面角C DE F --的平面角的正弦值. 23．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，90ACB ∠=，2AC BC ==，点D 为棱BC 的中点，点E 为棱PC 上一点；（1）求直线AD 与PB 的夹角的余弦值； （2）求二面角C PA D --的余弦值； （3）若直线ED 与平面PAD 的夹角的正弦值为227，求线段CE 的长度； 24．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB ==，5AC BC PC ===，2AB =，点D ，E 分别为AB ，PC 的中点.（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）设点F 在线段BC 上，且BF FC λ=，若二面角C AE F --的大小为45°，求实数λ的值.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，112BC AD ==且3CD =，E 为AD 的中点，F 是棱PA 的中点，2PA =，PE ⊥底面ABCD .AD CD ⊥（Ⅰ）证明：//BF 平面PCD ； （Ⅱ）求二面角P BD F --的正弦值；（Ⅲ）在线段PC （不含端点）上是否存在一点M ，使得直线BM 和平面BDF 所成角的正弦值为3913？若存在，求出此时PM 的长；若不存在，说明理由. 26．如图，四棱锥P ABCD -，PD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，1,2AB BC PD AD ====．（1）求证：平面PAC ⊥上平面PCD（2）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据向量共面定理求解． 【详解】由题意1126MA OA OM OA OB OC λ=-=--， 1526MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，11(1)26MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-，∵MA ，MB ，MC 共面，∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA mMB nMC =+，1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得132313m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．故选：B ． 【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OA OB OC 是不共面的向量，OM xOA yOB zOC =++，则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=． 2．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，利用三点共线的思想，分别求出点R ，Q ，利用两点距离公式求解，后利用导数求最值，进一步求出答案. 【详解】以P 在底面的投影O 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设1(,,0)2Q a ，(,,)R m n q因为11(0(,0),222P C -，，11(,222PC =-， 又因为R 在PC 上，PR PC λ=所以(,m m q =，11(,),22λλ-， 所以R 11(,22λλ=-，所以222211122222QR a λλ⎛⎛⎫⎛⎫=--+-+-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭221324a a λλλ=+-++ 因为[]11,,0,122a λ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦设2213()24f a a a λλλ=+-++，2213()24g a a λλλλ=+-++ 对其求导()2f a a λ'=-，1()22g a λλ'=-+当二个导数同时为0时，取最小值，即20a λ-=，1202a λ-+= 所以11,36a λ==时取最小值， 所以1121,,,1,,02623PQ CQ ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以PQ CQ=10所以当||QR 达到最小值时，||||PQ CQ 故选：A. 【点睛】空间直角坐标系距离公式的理解：（1）两点间的距离公式其形式与平面向量的长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的对角线的长度．（2）两点间的距离公式与坐标原点的选取无关，经过适当转化也可以求异面直线间的距离，点到面以及平面与平面的距离等． 本题主要是R 的坐标利用三点共线的思想去求.3．D解析：D 【分析】可以建立空间直角坐标系，求出向量1A M 与DN 的夹角进而求出异面直线1A M 与DN 所成角． 【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A BC D -中棱长为2， 则1(2,A 0，2)，(0,M 1，0)，(0,D 0，0)，(0,N 2，1)，1(2,AM =-1，2)-，(0,DN =2，1)， 设异面直线1A M 与DN 所成角为θ， 则11cos 0A M DN A M DNθ⋅==⋅，90θ∴=．∴异面直线1A M 与DN 所成角的大小为90．故选D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，是基础题．4．C解析：C 【分析】先由图形的位置关系得到CDB ∠是二面角C AD B --的平面角，120CDB ∠=，故A不正确；B 由于11132684sin120423323D ABC A BCD BCD V V S AD --⎛⎫==⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭故得到B 错误；易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,4242tan 34217AD AFD DF ∠===，由题意可知∠BDC 为B ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠BDC=120°，作DF ⊥BC 于F ，连结AF ，sin ∠BCO=BOBC. 【详解】 沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,42,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得47BC =过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得421DF =. 根据AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角, 120CDB ∠=故A 平面ABC 与平面ACD 不垂直,A 错;B 由于11132684sin120423323D ABC A BCD BCD V V S AD --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,B 错; C 易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,4242tan 3421AD AFD DF ∠===,C 对;D 故如图，由题意可知∠BDC 为B ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠BDC=120°，作DF ⊥BC 于F ，连结AF ，AF=4217，BD=4，DC=8，AD=4，过O 作BO 垂直BO ⊥CO 于O ，则∠BCO 就是BC 与平面ACD 所成角，3OD=2，2247BO CO +sin ∠BCO=232147BO BC ==． 选.C 【点睛】本题考查了平面的翻折问题，考查了面面垂直的证明，线面角的求法，面面角的求法以及四面体体积的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．5．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,()3,0,0B，()13,0,2B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2A B =-,()13,1,2B C =--，11cos ,A B BC <>1111A B B C A B B C⋅=⨯22222=⨯14=.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C 【分析】根据题意，以D 为坐标原点，直线1DADC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由AC ，1AD 即可求得平面1ACD 的法向量n ，而1D E 在n 上的投影即为点E 到面1ACD 的距离，即可求得结果【详解】以D 为坐标原点，直线1DADC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1101A ，，，()1001D ，，,()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩ 可得2a ba c =⎧⎨=⎩可取()212n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133D E n d n⋅+-=== 故选C 【点睛】本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。
高二数学选修2-1空间向量与立体几何单元测试题
东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题一、选择题（本大题8 小题 , 每小题 5 分，共 40 分）1、若a ,b , c是空间任意三个向量 ,R ,下列关系式中,不成立的是（）A．a b b a B． a b a bC．a b c a b c D．b a2、给出下列命题①已知 a b ,则 a b c c b a b c ;②A、B、M 、N 为空间四点 ,若BA, BM , BN不构成空间的一个基底 ,则 A、B、M、N 共面 ;③已知 a b ,则 a, b 与任何向量不构成空间的一个基底;④已知a,b, c 是空间的一个基底,则基向量a, b可以与向量m a c 构成空间另一个基底 .正确命题个数是（）A．1B．2C．3D．43、已知a, b均为单位向量 ,它们的夹角为 60 ,那么a3b 等于（）A．7B．10C．13D．44、a1, b 2, c a b, 且 c a ,则向量 a与b 的夹角为（）A．30B．60C．120D．1505、已知a3,2,5 , b 1, x, 1 , 且 a b 2 ,则x的值是（）A．3B．4C．5D．66、若直线 l 的方向向量为a ,平面的法向量为n,则能使l //的是（）A．a1,0,0 , n2,0,0B．a1,3,5 , n 1,0,1C．a0,2,1 , n1,0, 1D．a1, 1,3 , n0,3,17、在平面直角坐标系中 ,A( 2,3), B(3, 2) ,沿x轴把平面直角坐标系折成120第1页共15页的二面角后 ,则线段 AB 的长度为（）A．2B．2 11C．3 2D．4 2、正方体ABCD-AB11C1D1的棱长为 1,E 是 A中点 ,则 E 到平面 ABC的距离8 1 B11D1是（）A．3B．2C．1D．3 2223二、填空题（本大题共 6 小题，每空 5 分，共 30 分）9、已知F1i 2 j3k， F22i 3 j k ， F33i 4 j5k ，若 F1 , F2 , F3共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到 N（ 3，1，2），则合力所作的功是.10 、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中 , 已知∠ BAD= ∠ A1AB= ∠A1AD=60 ,AD=4,AB=3,AA1=5, AC1 =.11、△ABC和△ DBC所在的平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60,则 AD 与平面 BCD所成角的余弦值为.12、若直线l 的方向向量为(4,2,m),平面的法向量为 (2,1,-1),且 l⊥ ,则 m =.13、已知 A(-3,1,5),B(4,3,1),则线段 AB 的中点 M 的坐标为.三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）14、(本题满分 12分 )设空间两个不同的单位向量a x1, y1 ,0,b x2 , y2 ,0 与向量 c1,1,1的夹角都等于 45 .(1)求x1y1和 x1 y1的值;(2)求a,b的大小 .15、(本题满分 12 分)已知四棱锥 P-ABCD的底面是边长为 a 的正方形 ,侧棱 PA⊥底面 ABCD,E为 PC上的点且 CE：CP=1：4,则在线段 AB上是否存在点 F 使 EF// 平面 PAD?第2页共15页17、(本题满分 14 分) 如图 ,四棱锥 S-ABCD的底面是矩形 ,AB=a,AD=2,SA=1,且SA ⊥底面 ABCD,若边 BC上存在异于 B,C的一点 P,使得PS PD .(1)求 a 的最大值 ;(2)当 a 取最大值时 ,求异面直线 AP 与 SD所成角的大小 ;(3)当 a 取最大值时 ,求平面 SCD的一个单位法向量n及点 P 到平面 SCD的距离 .18、 (本题满分14 分)已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直, AB2, AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证： AM// 平面 BDE；(2)求证： AM⊥平面 BDF．第3页共15页19、(本题满分14 分)如图所示 ,矩形 ABCD 的边 AB=a,BC=2,PA⊥平面 ABCD,PA=2,现有数据 :① a 3;②a 1;③a 3 ;④ a 2 ;⑤ a 4 ; 2(1)当在 BC边上存在点⊥QD 时,a 可能取所给数据中的哪些值 ?请说明理由 ; Q,使 PQ(2)在满足 (1)的条件下 ,a 取所给数据中的最大值时,求直线 PQ与平面 ADP所成角的正切值 ;(3)记满足 (1)的条件下的Q 点为 Q n(n=1,2,3, ⋯ ),若 a 取所给数据的最小值时,这样的点Q n有几个 ?试求二面角Q n-PA-Q n+1的大小 ;20、 (本题满分14 分 )如图所示,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD中,∠ABC=60 ,PA=AC=a,PB=PD= 2a,点E在PD上,且PE：ED=2：1.(1)证明： PA⊥平面ABCD；(2)求以 AC 为棱 ,EAC与 DAC为面的二面角θ的大小；(3)棱 PC上是否存在一点F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论 .第4页共15页参考答案： 一、选择题题号 1 23 4 5 6 7 8 答案 DCCCCDBB二、 填空题题号 9 1011 121314答案1497302-212, 2,32三、 解答题x 12 y 121x2y 21x y611112 ；15、解：（ 1）依题意，x 1 y 12 x 1 y 16322x 1 y 114(2)∵单位向量 ax 1, y 1 ,0 ,bx 2 , y 2 ,0与向量 c 1,1,1 的夹角都等于45.x y 6x 162x 162112 4 或4 , ∴由x 1 y 11y 162 y 162444∴ a62 ,6 2,0 ,b62 ,6 2,04444x 1x 2y 1 y 26 2 6262 6 2 1由 cos a, b a b44442∴ a, b.316、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 PA=b ，则 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b),则 CPa, a, b ,∵E 为 PC 上的点且 CE ： CP=1： 3,第5页共15页∴ CE1CP1a, a, b a , a , b44444∴由 CE AE AC AE CE AC3a , 3a , b,444设点 F 的坐标为 (x,0,0,) (0≤x≤a),则 EFx3a ,3a ,b,444又平面 PAD的一个法向量为AB a,0,0,依题意 , EF AB x3a a0 x3a ,443∴在线段 AB 上存在点 F,满足条件 ,点 F 在线段 AB 的处.17、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设 P(a,x,0). (0<x<2)(1) ∵PS a, x,1 , PD a, 2x,0∴由 PS PD 得: a2x(2 x)0即:a2x(2 x) (0 x 2)∴当且仅当 x=1 时,a 有最大值为 1.此时 P 为 BC中点 ;(2)由(1)知 : AP (1,1,0), SD (0,2, 1),AP SD210,∴ cos AP, SD2 55AP SD∴异面直线 AP 与 SD所成角的大小为arc cos10 .5(3) 设n1x, y, z 是平面SCD的一个法向量,∵DC (1,0,0), SD(0, 2,1),第6页共15页∴由n1DC n1DC0x0x02 y z 0y 1 得 n1 (0,1, 2),n1SD n1SD0取 y1z2n11∴平面 SCD的一个单位法向量 n0,1,2n155又 CP CP n5(0, 1,0), 在 n 方向上的投影为1n∴点 P 到平面 SCD的距离为 5 .518、解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：O(0,0,0),A(0,1,0),B(-1,0,0),C(0,-1,0,),D(1,0,0,),E(0,-1,1),F(0,1,1),M(0,0,1).(1) ∵AM(0, 1,1),OE (0,1,1)∴ AM OE ,即AM//OE,又∵ AM平面BDE, OE平面BDE,∴A M// 平面 BDE;(2) ∵BD(2,0,0), DF(1,1,1),∴ AM BD 0, AM DF0,∴AM⊥BD,AM⊥DF,∴AM⊥平面BDF.19、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设 Q(a,x,0).(0≤ x≤2)(1) ∵PQ a, x, 2 ,QD a,2x,0 ,∴由 PQ⊥QD 得PQ QD a2x(2x)0a2x(2 x)∵ x0, 2 , a2x(2x)0,1525 (0,,),555,5第7页共15页∴在所给数据中 ,a 可取 31两个值 .a和 a2(2) 由 (1)知 a 1,此时 x=1,即 Q 为 BC 中点 , ∴点 Q 的坐标为 (1,1,0)从而 PQ1,1, 2 , 又 AB 1,0,0为平面 ADP 的一个法向量 ,∴ cos PQ, ABPQ AB 1 6PQAB6 1,6∴ 直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切值为5 .5(3) 由(1)知 a31 或 x3,此时 x,,即满足条件的点 Q 有两个 ,222其坐标为 3 13 3Q 1, ,0 和Q 2 , ,02 22 2∵PA ⊥平面 ABCD,∴ PA ⊥AQ ⊥1,PA AQ 2,∴∠ Q 1AQ 2 就是二面角 Q 1-PA-Q 2 的平面角 .AQ 1 AQ 23 3 3由 cos AQ 1 , AQ 2 4 4AQ 1AQ 2 13,得∠Q 1AQ 2=30 ,2∴二面角 Q 12 的大小为 30 .-PA-Q20、解：（ 1） ∵PA=AC=a ，PB=PD= 2a∴ PA 2 AB 2 PB 2 , PA 2 AD 2 PD 2,∴ PA ⊥AB 且 PA ⊥AD ， ∴ PA ⊥平面 ABCD ，（ 2）∵底面 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，设 AC ∩ BD=O ，∴以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：A 0, a,0 , B3a ,0,0 , C 0, a ,0 , D 3a,0,0 ,P 0,a, a ,22 222∵ 点 E 在 PD 上,且 PE ：ED=2：1.∴ DP3DE ，即： DP3 OEOD第8页共15页∴ OE3a, a , a ，即点 E 的坐标为 E 3a, a , a3 6 33 63又平面 DAC 的一个法向量为 n 10,0,1EAC 个 法 向 量 为 n 2x, y, z , OC0,a 设 平 面的 一 ,0 ，23 a aOEa,,36 3ay 02x 1n 2OCn 2 OC3a a由y， 得axyz 0n 2OEn 2 OE3 63z3取x=1n 2 1 , 0 , 3 ,n 1 n 2 3 3 ,n 2∴cos n 1, n 2n 21 2n 1 6n 1 2∴由图可知二面角 E-AC-D 的大小为.6（ 3）设在 CP 上存在点 F ，满足题设条件，由 CFCP (01) ，得 OF OCCP0,12 a, a2 ∴ BF0,12 a, a 3a,0,03 a,1 2 a, a2222依题意，则有 BFn 2∴3 a,1 2a, a 1,0, 3 03 a 3 a 012222∴点 F 为 PC 中点时 ,满足题设条件 .第9页共15页一 . 选择题： (10 小题共 40 分 )1. 已知 A、B、C 三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点 A、B、C 一定共面的是( )A. OM OA OB OCB. OM2OA OB OCC. OM OA 1OB1OC D. OM1OA1OB1OC 233332. 直三棱柱 ABC— A1B1C1中，若 CA a,CB b,CC1C,则 A1 B( )A. a b cB. a b cC. a b cD. a b c3. 若向量m垂直向量 a和 b,向量 na b( ,R且、0)则()A. m// nB. m nC.m不平行于 n, m也不垂直于 nD. 以上三种情况都可能4.以下四个命题中,正确的是( )A.若 OP 1 OA 1OB,则P、Ａ、Ｂ三点共线2 3B.设向量 { a,b, c} 是空间一个基底，则{ a +b ， b +c ， c + a }构成空间的另一个基底C. (a b) c a b cD. △ ABC是直角三角形的充要条件是AB AC05. 对空间任意两个向量a,b(b o), a // b 的充要条件是( )第10页共15页A. a bB. a bC. b aD. a b6.已知向量 a(0,2,1), b(1,1,2),则 a与 b 的夹角为()A.0 °B.45°C.90°D.180 °7.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为 AC与 BD的交点，若A1 B1 a, A1D1b, A1 A c ，则下列向量中与B1M相等的是()A. 1 a 1 b1c B. 1 a 1 b1c C. 1 a1b c D.- 1 a1b c22222222228.已知a(1,0,2), b(6,21,2), 若 a // b, 则与的值分()A.11B.5 ，2C. 1 ,1D.-5 ， -2 5,2529.已知 a3i 2 j k, b i j2k, 则5a与 3b的数量积等于()A.-15B.-5C.-3D.-110. 在棱长为1 的正方体 ABCD— A1B1C1D1中， M和 N 分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()A.2B.2C. 3D.1055510二. 填空题 : (4 小题共 16 分)11. 若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n=.第11页共15页12. 已知 A（0，2，3），B（ -2 ，1，6），C（ 1，-1 ，5），若| a |3,且 a AB, a AC ,则向量 a的坐标为.13.已知a,b是空间二向量，若| a |3, | b | 2, | a b |7,则 a与b 的夹角为.14. 已知点G 是△ ABC 的重心， O 是空间任一点，若OA OB OC OG ,则的值为.三. 解答题 :(10+8+12+14=44 分 )15.如图： ABCD为矩形， PA⊥平面 ABCD， PA=AD， M、 N 分别是 PC、AB中点，(1)求证： MN⊥平面 PCD；(2) 求 NM与平面 ABCD所成的角的大小 .16. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17. 正四棱锥S— ABCD中，所有棱长都是2， P 为 SA的中点，如图.第12页共15页(1)求二面角 B— SC— D 的大小； (2) 求 DP与 SC所成的角的大小 .18.如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1，底面△ ABC中， CA=CB=1，∠ BCA=90°，棱 AA1=2，M、 N分别是 A1B1， A1A 的中点；(1)求 BN的长 ;(2)求 cos BA1 , CB1的值 ;(3)求证 : A1B C1M .(4)求 CB1与平面 A1ABB1所成的角的余弦值 .第13页共15页高中数学选修2-1 测试题 (10)—空间向量 (1) 参考答案DDBB DCDA AB 11.012.(1， 1，1)13.60014.315.(1)略016.45017.(1)1(2)45(2)318.(1)3(2)30(3)略310 10(4)1018.如图，建立空间直角坐标系O— xyz. （ 1）依题意得 B（ 0， 1，0）、 N（ 1，0， 1）∴| BN |=(1 0)2(0 1)2(1 0)23.（ 2）依题意得 A （ 1，0， 2）、B（ 0， 1，0）、 C（ 0， 0， 0）、 B （ 0，1， 2）11∴ BA ={－1，－1，2}， CB ={0，1，2，}， BA · CB =3，| BA |= 6 ，11111| CB1 |= 5 ∴cos< BA1， CB1>=BA1 CB11|BA1 | |CB1 |30 .10图第14页共15页1,1， C1M ={1,1（ 3）证明：依题意，得 C（ 0，0，2）、M（，2），A1B ={ －1，1，2}，1222211⊥ C1M ，∴AB⊥CM.0}. ∴A1B·C1M =－+0=0，∴A1B2211评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识. 考查空间两向量垂直的充要条件.第15页共15页。
(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(含答案解析)
一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A ．85B ．97C ．12D ．2302．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（ ） A ．313B ．95C ．18D ．213．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ，④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为＝（a ，b ，c ）的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0；过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为d ＝（u ，v ，w ）（uvw≠0）的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y ﹣2z ﹣4＝0，直线l 是两平面3x ﹣2y ﹣7＝0与2y ﹣z+6＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（ ） A ．arcsin 1414 B ．arcsin 421C ．arcsin51442D ．arcsin123773775．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π6．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③7．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A ．3B ．2C ．1D ．32-8．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（ ）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 9．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．11+22+a b c B ．1122a b c -+ C ．1122-++a b c D ．1122+-a b c 11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）A 5B ．23C 5D 512．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．259二、填空题13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．14．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）15．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H.且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．16．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．17．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,,0)22b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 18．如图所示，三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在棱OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =__________．（用a ，b ，c 表示）19．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．20．已知平行六面体中，则____．三、解答题21．如图，平面ABCDE ⊥平面CEFG ，四边形CEFG 为正方形，点B 在正方形ACDE 的外部，且5,4AB BC AC ===．（1）证明：AD CF ⊥．（2）求平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．22．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．23．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.（1）证明：//GF 平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值.24．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===，D 为AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1DAC ；（2）求平面1DAC 与平面11AAC C 所成的锐二面角．．．．的余弦值． 26．如图，在多面体EF ABCD -中，AD //BC ，CD //EF ，1AD DC DE ===，2BC EF ==，2CDE CDA π∠=∠=.（1）若M 为EF 中点，求证：CD ⊥BM ； （2）若二面角A DC E --的平面角为3π，求直线AE 与平面EFB 所成角的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c'=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=85AC '=． 故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C 【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩.故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则222(12)6(12)18EF =++=.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.3．C解析：C 【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC ⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确. 【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=，所以AN GC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以CF 与EN 所成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=，所以②正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所以45EBF ∠=，故④正确. 综上所述，正确的命题个数为3个. 故选：C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.4．B解析：B 【分析】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解. 【详解】平面α的法向量为n ＝（1，2，﹣2），联立方程组3270260x y y z --=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，得y ＝﹣2，z ＝2，令x ＝3，得y ＝1，z ＝8，故点P （1，﹣2，2）和点Q （3，1，8）为直线l 的两个点，∴PQ ＝（2，3，6）为直线l 的方向向量， ∵44cos ,3721||||PQ n PQ n PQ n ⋅-<>===-⨯ ，∴直线l 与平面α所成角的正弦值为421，【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.5．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan22，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．7．D解析：D【分析】由DB ED FE BF=++，利用数量积运算性质展开即可得到答案【详解】BD ED FE BF=++,22222221112 BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED∴=+++++=++故32BD=-故选D【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．8．D解析：D【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+ 211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 9．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的， 综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 10．C解析：C【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到11122BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112BM BB B M AA B D =+=+ 1111111111111()()222222AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++. 故选：C.【点睛】在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.11．A解析：A【分析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解.【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AACC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=， ∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+，∴MN 最小值为5 故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题. 12．B解析：B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值.【详解】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=, 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=， tan θ∴的最大值为53. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是线面所成角，解题的关键是找到线面所成角的平面角，是中档题.二、填空题13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所 解析：2-【分析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解.【详解】以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图则()()()()()10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,由111A P A B λ=可得()11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则00n NM n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即)03120x z x y z λλ+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 令1z =-，可得()()321,,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45， 所以1cos45n m n m n ⋅︒==，即2n =，所以21211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭，解得2λ=-. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.14．①②【分析】取D 的中点N 连接MNEN 根据四边形MNEB 为平行四边形判断①②假设DE ⊥C 得出矛盾结论判断③【详解】取D 的中点N 连接MNEN 则MN 为△CD 的中位线∴MN ∥CD 且MN=CD 又E 为矩形ABC解析：①②【分析】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，根据四边形MNEB 为平行四边形判断①，②，假设DE ⊥1A C 得出矛盾结论判断③．【详解】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，则MN 为△1A CD 的中位线，∴MN ∥12CD ，且MN=12CD 又E 为矩形ABCD 的边AB 的中点，∴BE ∥12CD ，且BE=12CD ∴MN ∥BE ，且MN=BE 即四边形MNEB 为平行四边形，∴BM ∥EN ，又EN ⊂平面A 1DE ，BM ⊄平面A 1DE ，∴BM ∥平面1A DE ，故①正确；由四边形MNEB 为平行四边形可得BM ＝NE ，而在翻折过程中，NE 的长度保持不变，故BM 的长为定值，故②正确；取DE 的中点O ，连接1A O ，CO ，由1A D ＝1A E 可知1A O ⊥DE ，若DE ⊥1A C ，则DE ⊥平面1A OC ，∴DE ⊥OC ，又∠CDO ＝90°﹣∠ADE ＝45°，∴△OCD 为等腰直角三角形，故而CD 2=OD ， 而OD 12=DE 2=，CD ＝4，与CD 2=OD 矛盾，故DE 与1A C 所成的角不可能为90°． 故③错误．故答案为①②．【点睛】本题考查命题真假，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，空间想象和推理运算能力，属于中档题．15．【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角 解析：452【解析】【分析】利用SB 平面DEFH 可以得到DHSB ，从而H 为SA 中点，同理可得F 为SC 中点，再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥，故四边形HDEF 为矩形，从而可计算其面积．【详解】因为SA SB SC ==，故S 在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC ∆为等边三角形，故S 在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以SB AC ⊥．因SB 平面DEFH ，SB ⊂平面ABS ，平面ABS平面DEFH DH =，故SB DH ，因AD DB =，故AH HS =，1,2DH BS DH BS =，同理1,2EF BS EF BS =， 故,DH EF DH EF =，所以四边形DEFH 为平行四边形，又由,D E 为中点可得DEAC ，故DH DE ⊥，故四边形DEFH 为矩形． 又153,2DE DH ==，故矩形DEFH 的面积为452． 【点睛】 （1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心． （2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．16．【解析】以正方形的中心为原点平行于的直线为轴平行于的直线为轴为轴建立如图所示空间直角坐标系设四棱锥棱长为则所以∴故异面直线所成角的余弦值为 解析：33【解析】以正方形ABCD 的中心O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，平行于AD 的直线为y 轴， SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设四棱锥S ABCD -棱长为2，则(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，2)S ，(1,1,0)D -，112,,222E ⎛- ⎝⎭，所以312,22AE ⎛= ⎝⎭，(1,1,2)SD =--，∴311cos,AE SD-+-==故异面直线AE，SD所成角的余弦值为3．17．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题解析：【分析】设空间向量(),,c m n z=，由已知条件可得m、n的值，由对任意x，y R∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b-+-+=得：||1z=，进而得到答案．【详解】解：空间向量(1,0,0)a=，13(,22b=，设空间向量(),,c m n z=，2c a⋅=，52c b⋅=，2m∴=，1522m =2m∴=，3n=，∴空间向量()2,3,c z=，又由对任意x，y R∈，()()001c xa yb c x a y b-+≥-+=，则||1z=，故(22c=+=故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．18．【解析】解析：211322a b c-++【解析】MN MA AB BN=++11()32OA OB OA BC =+-+ 21()32OA OB OC OB =-++- 211322OA OB OC =-++ 211322a b c =-++． 19．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案解析：2【解析】因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。
人教新课标版数学高二数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》测试题
第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 共线，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝23解析 由a ∥b 知，a ＝λb ，∴2x ＝λ，1＝－2λy,3＝9λ，∴λ＝13，x＝16，y ＝－32.答案 C2．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析 a ·b ＝－3＋2x －5＝2，∴x ＝5.答案 B3．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2.答案 B4．若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，而a ·b ＝|a ||b |.∴cos 〈a ，b 〉＝1，∴〈a ，b 〉＝0.∴a 与b 共线．反之，若a 与b 共线，也可能a ·b ＝－|a |·|b |，因此应选B.答案 B5．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析 如图，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13c ＋23b .答案 A6．已知a ，b ，c 是空间的一个基底，设p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则下列向量中可以与p ，q 一起构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对解析 ∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，a －b ，c 不共面，∴p ，q ，c 可构成空间的一个基底． 答案 C7．已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C.647D.657解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4)，∴AD →＝(－1，－2,2)．∴|AD →|＝1＋4＋4＝3.答案 B 8．与向量a ＝(2,3,6)共线的单位向量是( )A ．(27，37，67)B ．(－27，－37，－67)C ．(27，－37，－67)和(－27，37，67)D ．(27，37，67)和(－27，－37，－67)解析 |a |＝22＋32＋62＝7，∴与a 共线的单位向量是±17(2,3,6)，故应选D.答案 D9．已知向量a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6且a ⊥b ，则x ＋y 为( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1 解析 由|a |＝6，a ⊥b ，得⎩⎨⎧ 4＋16＋x 2＝36，4＋4y ＋2x ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝－3，或⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝1.∴x ＋y ＝1，或－3.答案 A 10．已知a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( )A ．x >4B ．x <－4C ．0<x <4D ．－4<x <0.解析 ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉<0，即3x ＋2(2－x )<0，∴x <－4.答案 B11．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵AB →＝(－5，－1,1)，AC →＝(－4，－2，－1)，由n ·AB →＝0及n ·AC →＝0，得⎩⎨⎧ －5x －y ＋z ＝0，－4x －2y －z ＝0，令z ＝1，得x ＝12，y ＝－32，∴n ＝(12，－32，1)．又AD →＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝|AD →·n ||AD →||n |＝－1＋32＋314×142＝12， ∴θ＝30°.答案 A12．已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 过点P 分别作平面α，β的垂线l 1和l 2，则l 1与l 2所成的角为130°或50°，问题转化为过点P 与直线l 1，l 2成65°角的直线有几条，与l 1，l 2共面的有一条，不共面的有2条．因此，共有3条．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．已知{i ，j ，k }为单位正交基底，且a ＝－i ＋j ＋3k ，b ＝2i －3j －2k ，则向量a ＋b 与向量a －2b 的坐标分别是________；________.解析 依题意知，a ＝(－1,1,3)，b ＝(2，－3，－2)，则a ＋b ＝(1，－2,1)，a －2b ＝(－1,1,3)－2(2，－3，－2)＝(－5,7,7)．答案 (1，－2,1) (－5,7,7)14．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.解析 cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝10102＝22，∴〈AB→，BC→〉＝π4，∴∠ABC＝π－π4＝3π4.答案3π415．正方体ABCD－A1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为________．解析建立空间直角坐标系D－xyz，如图．设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．∴D1A→＝(1,0，－1)，D1B→＝(1,1，－1)，D1B1→＝(1,1,0)．设平面ABD1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面B1BD1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则由m·D1A→＝0，m·D1B→＝0，可得m＝(1,0,1)，由n·D1B→＝0，n·D1B1＝0，得n＝(1，－1,0)，∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝12.∴所求二平面的大小为60°.答案60°16．在下列命题中：①若a，b共线，则a，b所在的直线平行；②若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面；③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；④已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝x a＋y b＋z c，其中不正确的命题为________．解析①a，b共线，包括a与b重合，所以①错．②空间任意两个向量均共面，所以②错．③以空间向量的一组基底{a，b，c}为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以③错．④当与a，b，c共面时，不成立，所以④错．答案①②③④三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，空间四边形OABC 中，E ，F 分别为OA ，BC的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示EF →.解 EF →＝EO →＋OF →＝－12OA →＋12(OB →＋OC →)＝－12a ＋12b ＋12c .18．(12分)设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．解 假设a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立．由已知a 1＝(2，－1,1)，a 2＝(1,3，－2)，a 3＝(－2,1，－3)，a 4＝(3,2,5)，可得(2a ＋b －2c ，－a ＋3b ＋c ，a －2b －3c )＝(3,2,5)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b －2c ＝3，－a ＋3b ＋c ＝2，a －2b －3c ＝5，解得：a ＝－2，b ＝1，c ＝－3.故有a 4＝－2a 1＋a 2－3a 3.综上知，满足题意的实数存在，且a ＝－2，b ＝1，c ＝－3.19．(12分)四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝5，AD ＝3，AA ′＝7，∠BAD ＝60°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝45°，求AC ′的长．解 AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，∴(AC ′→)2＝(AB →＋AD →＋AA ′→)2＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′→＋AD →·AA ′→)＝25＋9＋49＋2(5×3cos60°＋5×7cos45°＋3×7cos45°)＝98＋56 2.∴|AC ′→|＝98＋562，即AC ′的长为98＋56 2. 20．(12分)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，AB ＝2，PC 与平面ABCD 所成角是45°，F 是AD 的中点，M 是PC 的中点．求证：DM ∥平面PFB .证明 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由PC 与平面ABCD 所成的角为45°，即∠PCD ＝45°，得PD ＝2，则P (0,0,2)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，F (1,0,0)，D (0,0,0)，M (0,1,1)，∴FB →＝(1,2,0)，FP →＝(－1,0,2)，DM →＝(0,1,1)．设平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则∴⎩⎨⎧ FB →·n ＝0，FP →·n ＝0，即⎩⎨⎧ x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0.令y ＝1，则x ＝－2，z ＝－1.故平面PFB 的一个法向量为n ＝(－2,1，－1)．∵DM →·n ＝0，∴DM →⊥n .又DM ⊄平面PFB ，则DM ∥平面PFB .21．(12分)如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC .(1)证明A 1C ⊥平面BED ；(2)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．解以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)．DE →＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)，A 1C →＝(－2,2，－4)，DA 1→＝(2,0,4)．(1)∵A 1C →·DB →＝0，A 1C →·DE →＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE .(2)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥DE →、n ⊥DA 1→. ∴2y ＋z ＝0,2x ＋4z ＝0.令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4，∴n ＝(4,1，－2)．∴cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝1442. ∵〈n ，A 1C →〉等于二面角A 1－DE －B 的平面角，∴二面角A 1－DE －B 的余弦值为1442.22．(12分)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．(1)证明：平面AED ⊥平面A 1FD 1；(2)在AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面DAE .解 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (0,1,0)，A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)．设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧ n 1·DA →＝(x 1，y 1，z 1)·(2，0，0)＝0，n 1·DE →＝(x 1，y 1，z 1)·(2，2，1)＝0.∴⎩⎨⎧ 2x 1＝0，2x 1＋2y 1＋z 1＝0.令y 1＝1，得n 1＝(0,1，－2)．同理可得平面A 1FD 1的法向量n 2＝(0,2,1)． ∵n 1·n 2＝0，∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.(2)由于点M 在AE 上，∴可设AM →＝λAE →＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，可得M (2,2λ，λ)，于是A 1M →＝(0,2λ，λ－2)．要使A 1M ⊥平面DAE ，需A 1M ⊥AE ，∴A 1M →·AE →＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝25.故当AM ＝25AE 时，即点M 坐标为(2，45，25)时，A 1M ⊥平面DAE .。
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东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题一、选择题（本大题8小题,每小题5分，共40分）1、若a r ,b r ,c r 是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（ ）A ．a b b a +=+r r r rB ．()a b a b λλλ+=+r r r rC ．()()a b c a b c++=++r r r r r r D ．b a λ=r r2、给出下列命题①已知a b ⊥r r ,则()()a b c c b a b c ⋅++⋅-=⋅r r r u r r r r r;②A 、B 、M 、N为空间四点,若,,BA BM BNu u u r u u u u r u u u r不构成空间的一个基底,则A 、B 、M 、N 共面;③已知a b ⊥r r ,则,a b r r与任何向量不构成空间的一个基底;④已知{},,a b cr r r 是空间的一个基底,则基向量,a b r r可以与向量m a c =+u r r r构成空间另一个基底.正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43、已知,a b r r均为单位向量,它们的夹角为60,那么3a b+r r 等于（ ） A ．7B ．10C ．13D ．4 4、1,2,,a b c a b ===+r r r r r且c a ⊥r r ,则向量a b r r 与的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505、已知()()3,2,5,1,,1,a b x =-=-r r且2a b ⋅=r r ,则x 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6、若直线l的方向向量为a r ,平面α的法向量为n r,则能使//l α的是（ ）A ．()()1,0,0,2,0,0a n ==-r rB ．()()1,3,5,1,0,1a n ==r rC ．()()0,2,1,1,0,1a n ==--r rD ．()()1,1,3,0,3,1a n =-=r r7、在平面直角坐标系中, (2,3),(3,2)A B --,沿x 轴把平面直角坐标系折成120的二面角后,则线段的长度为（ ） A ．2B ．11C ．32D ．428、正方体1B 1C 1D 1的棱长为1是A 1B 1中点,则E 到平面1D 1的距离是（ ）A ．3B ．22C ．12D ．33二、填空题（本大题共6小题，每空5分，共30分）9、已知123F i j k =++u u r r r r ，223F i j k =-+-u u r r r r ，3345F i j k =-+u u r r r r ，若123,,F F F u u r u u r u u r共同作用于一物体上，使物体从点M （1，-2，1）移动到N （3，1，2），则合力所作的功是 . 10、在平行六面体1B 1C 1D 1中,已知∠∠A 1∠A 160431=5,1AC u u u u r = .11、△和△所在的平面互相垂直,且,∠∠60,则与平面所成角的余弦值为 . 12、若直线l 的方向向量为(4,2),平面的法向量为(2,11),且l ⊥,则m = .13、已知A(-3,1,5)(4,3,1),则线段的中点M 的坐标为 . 三、解答题（本大题共6小题，共80分）14、(本题满分12分)设空间两个不同的单位向量()()1122,,0,,,0a x y b x y ==r r 与向量()1,1,1c =r的夹角都等于45.(1)求11x y +和11x y ⋅的值; (2)求,a br r 的大小.15、(本题满分12分)已知四棱锥的底面是边长为a 的正方形,侧棱⊥底面为上的点且：1：4, 则在线段上是否存在点F 使平面?17、(本题满分14分) 如图,四棱锥的底面是矩形21,且⊥底面,若边上存在异于的一点P,使得PS PD u u u r u u u r.(1)求a 的最大值;(2)当a 取最大值时,求异面直线与所成角的大小;r(3)当a取最大值时,求平面的一个单位法向量n及点P到平面的距离.18、(本题满分14分)已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,2,AB 1是线段的中点.(1)求证：平面；(2)求证：⊥平面．19、(本题满分14分)如图所示,矩形的边2⊥平面2,现有数据:①3a =;②1a =;③3a =;④2a =;⑤4a =; (1)当在边上存在点Q,使⊥时可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;(2)在满足(1)的条件下取所给数据中的最大值时,求直线与平面所成角的正切值;(3)记满足(1)的条件下的Q 点为(1,2,3,…),若a 取所给数据的最小值时,这样的点有几个?试求二面角1的大小;20、(本题满分14分)如图所示,在底面是菱形的四棱锥中,∠60,2a,点E在上,且：2：1.(1)证明：⊥平面；(2)求以为棱与为面的二面角θ的大小；(3)棱上是否存在一点F,使∥平面?证明你的结论.参考答案：一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCCCCDBB二、 填空题 题号 91011121314答案149730︒22-21,2,32⎛⎫ ⎪⎝⎭三、 解答题15、解：（1）依题意，2222111111111111611261234x y x y x y x y x y ⎧⎧+=⎧+=+=⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=+=⎪⎪⎪=⎩⎩⎪⎩g ； (2)∵单位向量()()1122,,0,,,0a x y b x y ==r r 与向量()1,1,1c =r的夹角都等于45.∴由 111111116262644216262444x x x y x y y y ⎧⎧⎧==+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎩⎩g ,∴62626262,,0,,,04444a b ⎛⎫⎛⎫+--+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r 由1212626262621cos ,2x x y y a b a b++--+==⋅+⋅=⋅r r r r∴,.3a b π=r r16、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则A(0,0,0)(a,0,0)(,0)(0,0)(0,0),则(),,CP a a b =--u u u r,∵E 为上的点且：1：3,∴()11,,,,44444a a b CE CP a a b ⎛⎫=⋅=⋅--=--⎪⎝⎭u u u r u u u r ∴由33,,444a a b CE AE AC AE CE AC ⎛⎫=-⇒=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,设点F 的坐标为(x,0,0,) (0≤x ≤a),则33,,444a a b EF x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u r ,又平面的一个法向量为(),0,0AB a =u u u r,依题意, 33044a aEF AB x a x ⎛⎫⊥⇒-⋅=⇒= ⎪⎝⎭u u u r u u u r , ∴在线段上存在点F,满足条件,点F 在线段的34处.17、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,,0,0)(a,0,0)(a,2,0)(0,2,0)(0,0,1),设P(,0). (0<x<2)(1) ∵(),,1,PS a x =--u u u r (),2,0PD a x =--u u u r∴由PS PD ⊥u u u r u u u r得: 2(2)0a x x --=即: 2(2)(02)a x x x =-<<∴当且仅当1时有最大值为1.此时P 为中点;(2) 由(1)知: (1,1,0),(0,2,1),AP SD ==-u u u r u u u r∴10cos ,,525AP SD AP SD AP SD===⨯⨯u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r ∴异面直线与所成角的大小为10cos.arc (3) 设()1,,n x y z =u r是平面的一个法向量,∵(1,0,0),(0,2,1),SD ==-u u r u u u rDC∴由1111000201021x x n DC n DC y z y n SD n SD z y ==⎧⎧⎧⎧⊥=⎪⎪⎪⎪⇒⇒-=⇒=⎨⎨⎨⎨⊥=⎪⎪⎪⎪⎩⎩==⎩⎩u r u u u r u r u u u r g u r u u ur u r u u u r g 取得1(0,1,2),n =u r∴平面的一个单位法向量()115250,1,2(0,,),5n n n ==⋅=u rr u r又(0,1,0),=-u u r CP 在r n 方向上的投影为555,15n n-⋅==-u u r r r CP∴点P 到平面的距离为5.18、解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为： O(0,0,0)(0,1,0)(-1,0,0)(01,0,)(1,0,0,),E(01,1)(0,1,1)(0,0,1).(1) ∵(0,1,1),(0,1,1)AM OE =-=-u u u u r u u u r∴AM OE =u u u u r u u u r,即,又∵AM ⊄平面, OE ⊂平面, ∴平面;(2) ∵(2,0,0),(1,1,1),BD DF ==-u u u r u u u r∴0,0AM BD AM DF ⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r,∴⊥⊥, ∴⊥平面.19、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,0,0,)(a,0,0)(a,2,0)(0,2,0)(0,0,2),设Q(,0).(0≤x ≤2)(1) ∵()(),,2,,2,0,PQ a x QD a x =-=--u u u r u u u r∴由⊥得22(2)0(2)PQ QD a x x a x x ⊥⇒-+-=⇒=-u u u r u u u r∵[](]20,2,(2)0,1x a x x ∈=-∈ ∴在所给数据中可取32a =和1a =两个值. (2) 由(1)知1a =,此时1,即Q 为中点, ∴点Q 的坐标为(1,1,0)从而()1,1,2,PQ =-u u u r 又()1,0,0AB =u u u r为平面的一个法向量,∴6cos ,61PQ AB PQ AB PQ AB⋅===⨯⨯u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r , ∴直线与平面所成角的正切值为5.5(3) 由(1)知32a =,此时13,22x x ==或,即满足条件的点Q有两个,其坐标为123133,,0,,022Q Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和∵⊥平面,∴⊥1⊥2,∴∠Q 12就是二面角Q 12的平面角.由12121233344cos ,213AQ AQ AQ AQ AQ AQ +⋅===⨯⨯u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ,得∠Q 12=30,∴二面角Q 12的大小为30.20、解：（1）∵，2a∴222222,,PA AB PB PA AD PD +=+= ∴⊥且⊥， ∴⊥平面，（2）∵底面是菱形，∴⊥，设∩，∴以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：0,,0,2a A ⎛⎫- ⎪⎝⎭3,0,0,a B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭0,,0,2a C ⎛⎫⎪⎝⎭3,0,0,a D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭0,,,2a P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵ 点E在上,且：2：1. ∴3DP DE =u u u r u u u r ，即：()3DP OE OD =-u u u r u u u r u u u r ∴ 3,,63a a OE a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，即点E 的坐标为3,,63a a E a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 又平面的一个法向量为()10,0,1n =u r设平面的一个法向量为()2,,,n x y z =u u r0,,02a OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，3,,63a a OE a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r由2222021000630ay x n OC n OC a a y z y n OE n OE z ⎧⋅=⎪⎧⎪=⎧⎧⊥=⎪⎪⎪⎪⇒⇒-+=⇒=⎨⎨⎨⎨⊥=⎪⎪⎪⎪⎩⎩=⎩⎪⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r gu u r u u u r u u r u u u r g取x=1，得(2,n =u u r∴12121212cos ,,6n n n n n n n n π⋅===⇒=⨯u r u u ru r u u r u r u u r u r u u r∴由图可知二面角的大小为.6π（3）设在上存在点F ，满足题设条件，由(01)CF CP λλ=≤≤u u u r u u u r ，得120,,2OF OC CP a a λλλ-⎛⎫=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r∴12120,,,,22BF a a a a λλλλ⎫⎛⎫--⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r 依题意，则有2BF n ⊥u u u r u u r∴12,,2a a λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(0=g 102a λ⇒+=⇒= ∴点F 为中点时,满足题设条件.一.选择题：(10小题共40分)1.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一 定共面的是( ) A.OM++=B.OM--=2C.3121++= D.313131++=2.直三棱柱—A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则( )A.-+B.+-C.++-D.-+-3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R ∈+=,(,、则)0≠μ( )A.//B.⊥C.n m n m 也不垂直于不平行于,D.以上三种情况都可能 4.以下四个命题中,正确的是( ) A.若3121+=,则P 、Ａ、Ｂ三点共线 B.设向量},,{是空间一个基底，则{a +b ，b +c ，c +a }构成空间的另一个基底C.b a ⋅⋅=⋅(D.△是直角三角形的充要条件是0=⋅AC AB 5.对空间任意两个向量//),(,≠的充要条件是 ( )A.=B.-=C.λ=D.λ=6.已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为( )A.0°B.45°C.90°D.180°7.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为与的交点，若A D AB A ===11111,,，则下列向量中与B 1相等的是( )A.212121++- B.212121++ C.+-2121 +-2121 8.已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(-=+=( )A.21,51 B.5，2 C.21,51--5，-29.已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=( ) 1553110.在棱长为1的正方体—A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和1的中点，那么直线与 所成角的余弦值是( ) A.52-B.52C.53D.1010二.填空题: (4小题共16分)11.若A(11,3)(22n)(33,9)三点共线，则 .12.已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .13.已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .14.已知点G 是△的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为 .三.解答题:(10+8+12+14=44分)15.如图：为矩形，⊥平面，，M 、N 分别是、中点， (1)求证：⊥平面；(2)求与平面所成的角的大小.16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17.正四棱锥S—中，所有棱长都是2，P为的中点，如图.(1)求二面角B——D的大小；(2)求与所成的角的大小.18.如图，直三棱柱—A 1B 1C 1，底面△中，1，∠90°，棱1=2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点； (1)求;的长BN(2)求;,cos 11的值><CB BA (3).:11M C B A ⊥求证(4)求1与平面A 11所成的角的余弦值.高中数学选修2-1测试题(10)—空间向量(1)参考答案11.0 12.(1，1，1) 13.60014.315.(1)略 (2)45016.45017.(1) 13- (2) π18.(1)(2)10(3) 略21 / 21(4)31018.如图，建立空间直角坐标系O —.（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1）∴|BN 3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，1BA 6，1CB 5∴<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.图。