2014级概率统计数III期末考试(A)卷—答案

四 川 大 学 期 末 考 试 试 卷 (A) 答案
( 2014－2015学年第二学期 ) 科目：《概率统计》（经管）
一、填空题（每空3分，共21分）
1、ABC
2、 255
3、38
4、8
5、 0.58
6、12
7、 ()2
3χ二、解答题（共79分）
1、（10分）解：设表示该调查表分别由甲、乙、丙登录，123,,A A A B 表该表有错误，由题知 ()()()123453639
,,120120120
P A P A P A =
==
， ()()()
1210.01,0.012,0.008.P B A P B A P B A === （1）由全概率公式，所求概率为
()()()()()()()
11223P B P A P B A P A P B A P A P B A =++3 453639
0.010.0120.0080.00995.120120120
=
×+×+×= （2）由贝叶斯公式，所求概率为 ()
()()
()()()()()()
11111223P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =
++3
45
0.011200.37690.00995
×=
=. 2、（11分）解：( )1()2
1
122
f x dx kxdx k k +∞
−∞
=
==⇒∫
∫=
； ；
()2()()0,1R Y = 对任意，()0,1y ∈()()()()
2Y F y P Y y P X X y =≤=−≤
()
()(2
11111P
X y P X =−≥−=−−<<+
(
(111X X F F =−++−；
此时， ()()((11Y Y X X f y F y f f ′==
++
=
+
=
；
从而()2Y X X =−的概率密度为 (
)()()
0,.0,0,1Y y f y y ∈=∉⎩
1
3、（10分）解： （1） ； （2）010.30.7X ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦∼0113747Y X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
∼； （3） 0
10.10.9Z ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦∼4、（16分）解： （1） 因的面积为1，故
G ()()()1,
,,0,
,x y G
f x y x y G
∈⎧⎪=⎨
∉⎪⎩，
（2） ；
()()()()220122,0,1,0,0,1x X dy x x f x f x y dy x −+∞
−∞
⎧=−∈⎪
=
=⎨∉⎪⎩
∫∫
()()()()
12
011,0,2,2
0,0,2y Y y dy y f y f x y dx y −+∞
−∞
⎧=−∈⎪
=
=⎨⎪∉⎩
∫∫
；
（3）当时， (0,1x ∈)()()()()
1
,0,22,220,
0,22Y X
X y x f x y f y x x
f x y x ⎧∈−⎪
==−⎨⎪∉−⎩
；
（4）()()()1
1223X E X xf x dx x x dx +∞
−∞
=
=−∫
∫=
； ()()()1
2
2
20
52212
X E X
x
f x dx x x dx +∞
−∞
==−∫∫=
， ()()
()225111
12936D X E X E X =−=−=
； ()()2
12(1)23
Y E Y yf y dy y y dx +∞
−∞
=
=−
∫
∫=； ()()2
2
2
2
12
(1)23
Y
E Y
y f y dy y y dx +∞
−∞
==−∫∫=； ()()
()22242399
D Y
E Y E Y =−=−=； ()()1
220
1,6
x
E XY xyf x y dxdy dx
xydy +∞+∞
−−∞+∞
=
=∫∫
∫∫
=
； ()()()()112163318
Cov XY E XY E X E Y =−=
−×=−；
()
,,Cov X Y R X Y =
=
=. 5、（10分）解：设第i 个元件的使用寿命为i X ，1,2,,231i = . 显然诸i X 独立同分布于， (0.1e ) 由中心极限定理，近似地有.
231
1
(2310,23100)i
i X X
N ==
∑∼
则所求概率为 ()()2508120001P X P X ≥×=−<=−Φ
()20.9772=Φ=Φ=.
6、（12分）解：（1）因()()2
22;3x
E X xf x dx x
dx θ
θθθ+∞
−∞
=
=∫
∫=，故()3
2
E X θ=， 从而θ的矩估计
量为3
ˆ2
M
X θ=； （2）似然函数为()1
2
21
1
2
2(;)n
n n
i
i i n
i i L f x x θθθ
θ===
==
∏∏n
i x =∏，
显然可见()L θ关于θ 单调递减；又因,1,2,,i x i n θ≥= ，故{}12max ,,,n x x x θ≥ ；
从而()L θ在{}12max ,,,n x x x θ= 处取得最大值，这表明θ的极大似然估计值为
{}12ˆmax ,,,L n x x x θ= ； θ的极大似然估计量为{}12ˆmax ,,,L n X X X θ= .
7、（10分）解：由已知 1.228x =，0.0217s =.
()( （1）10.95,5n α−== )0.02514 2.776t n t α⇒−==，
则μ的95%置信区间为
(
(2211x t n t n αα⎛
−−−−⎜⎝
()1.228 2.776 2.776 1.2011,1.2549⎛=−+=⎜⎝； （2）这是在总体均值未知条件下对总体方差作右侧检验，用2
χ检验法.
待检假设为 ， 2200:0.015H σσ==222
10
:H σσ≠.
当为真时，0H ()(22
2
11n S n χχσ−=−∼)2
，拒绝域为 {}2222
/21/2(1)(1)W n ααχχχχ−=>−<−或n 。

因0.05,5n α==，故 ，，
即拒绝域为 22/20.025(1)(4)11.143n αχχ−==22
1/20.975(1)(4)0.484n αχχ−−=={
}
22
11.143<0.484W χχ=>或。

根据样本观察值有()()22
22
2
01510.02178.35560.015n s χσ−−×==
=； 可见观测值没有落入拒
绝域W ，故不拒绝，认为这次的测量方差与以往相比无显著差异.
0H。