2014级概率统计数III期末考试(A)卷—答案

四 川 大 学 期 末 考 试 试 卷 (A) 答案

( 2014－2015学年第二学期 ) 科目：《概率统计》（经管）

一、填空题（每空3分，共21分）

1、ABC

2、 255

3、38

4、8

5、 0.58

6、12

7、 ()2

3χ二、解答题（共79分）

1、（10分）解：设表示该调查表分别由甲、乙、丙登录，123,,A A A B 表该表有错误，由题知 ()()()123453639

,,120120120

P A P A P A =

==

， ()()()

1210.01,0.012,0.008.P B A P B A P B A === （1）由全概率公式，所求概率为

()()()()()()()

11223P B P A P B A P A P B A P A P B A =++3 453639

0.010.0120.0080.00995.120120120

=

×+×+×= （2）由贝叶斯公式，所求概率为 ()

()()

()()()()()()

11111223P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =

++3

45

0.011200.37690.00995

×=

=. 2、（11分）解：( )1()2

1

122

f x dx kxdx k k +∞

−∞

=

==⇒∫

∫=

； ；

()2()()0,1R Y = 对任意，()0,1y ∈()()()()

2Y F y P Y y P X X y =≤=−≤

()

()(2

11111P

X y P X =−≥−=−−<<+

(

(111X X F F =−++−；

此时， ()()((11Y Y X X f y F y f f ′==

++

=

+

=

；

从而()2Y X X =−的概率密度为 (

)()()

0,.0,0,1Y y f y y ∈=∉⎩

1

3、（10分）解： （1） ； （2）010.30.7X ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦∼0113747Y X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

∼； （3） 0

10.10.9Z ⎡⎤⎢⎥

⎣⎦∼4、（16分）解： （1） 因的面积为1，故

G ()()()1,

,,0,

,x y G

f x y x y G

∈⎧⎪=⎨

∉⎪⎩，

（2） ；

()()()()220122,0,1,0,0,1x X dy x x f x f x y dy x −+∞

−∞

⎧=−∈⎪

=

=⎨∉⎪⎩

∫∫

()()()()

12

011,0,2,2

0,0,2y Y y dy y f y f x y dx y −+∞

−∞

⎧=−∈⎪

=

=⎨⎪∉⎩

∫∫

；

（3）当时， (0,1x ∈)()()()()

1

,0,22,220,

0,22Y X

X y x f x y f y x x

f x y x ⎧∈−⎪

==−⎨⎪∉−⎩

；

（4）()()()1

1223X E X xf x dx x x dx +∞

−∞

=

=−∫

∫=

； ()()()1

2

2

20

52212

X E X

x

f x dx x x dx +∞

−∞

==−∫∫=

， ()()

()225111

12936D X E X E X =−=−=

； ()()2

12(1)23

Y E Y yf y dy y y dx +∞

−∞

=

=−

∫

∫=； ()()2

2

2

2

12

(1)23

Y

E Y

y f y dy y y dx +∞

−∞

==−∫∫=； ()()

()22242399

D Y

E Y E Y =−=−=； ()()1

220

1,6

x

E XY xyf x y dxdy dx

xydy +∞+∞

−−∞+∞

=

=∫∫

∫∫

=

； ()()()()112163318

Cov XY E XY E X E Y =−=

−×=−；

()

,,Cov X Y R X Y =

=

=. 5、（10分）解：设第i 个元件的使用寿命为i X ，1,2,,231i = . 显然诸i X 独立同分布于， (0.1e ) 由中心极限定理，近似地有.

231

1

(2310,23100)i

i X X

N ==

∑∼

则所求概率为 ()()2508120001P X P X ≥×=−<=−Φ

()20.9772=Φ=Φ=.

6、（12分）解：（1）因()()2

22;3x

E X xf x dx x

dx θ

θθθ+∞

−∞

=

=∫

∫=，故()3

2

E X θ=， 从而θ的矩估计

量为3

ˆ2

M

X θ=； （2）似然函数为()1

2

21

1

2

2(;)n

n n

i

i i n

i i L f x x θθθ

θ===

==

∏∏n

i x =∏，

显然可见()L θ关于θ 单调递减；又因,1,2,,i x i n θ≥= ，故{}12max ,,,n x x x θ≥ ；

从而()L θ在{}12max ,,,n x x x θ= 处取得最大值，这表明θ的极大似然估计值为

{}12ˆmax ,,,L n x x x θ= ； θ的极大似然估计量为{}12ˆmax ,,,L n X X X θ= .

7、（10分）解：由已知 1.228x =，0.0217s =.

()( （1）10.95,5n α−== )0.02514 2.776t n t α⇒−==，

则μ的95%置信区间为

(

(2211x t n t n αα⎛

−−−−⎜⎝

()1.228 2.776 2.776 1.2011,1.2549⎛=−+=⎜⎝； （2）这是在总体均值未知条件下对总体方差作右侧检验，用2

χ检验法.

待检假设为 ， 2200:0.015H σσ==222

10

:H σσ≠.