抽象函数经典习题
高考中的抽象函数专题练习(含答案)
定义域为 [
3, 3
3 3
]
故②不成立，因为函数
y
log2
(
x2
2x
3)
的定义域为
x2
2x
3
0,
x
3
或 x 1所以递增区间为 (1, ) 不正确，所以③不成立.因为函数 y f (2x 1) 与函数 y f (1 2x) 的
图像关于 y 轴对称，所以④不正确.故选 A
2.答案：C
分析：由 f (0) 0, f (x) f (1 x) 1，得 f (1) 1 ， f (1) 1，又 f ( x) 1 f x ， f (1) 1 ，
其中正确的个数为 (
)
A. 0 个
B. 1个 C. 2 个 D. 3 个
2.定义在 R
上的函数
f
(x) 满足
f
(0)
0,
f
(x)
f
(1
x)
1,
f
(x) 5
1 2
f
(x) ，且当 0
x1
x2
1
时，
f
(x1)
f
(x2 ) ，则
f
( 1 ) 等于（ 2021
）
A. 1 2
B. 1 16
C. 1 32
D. 1 64
3.已知 f (x) 是定义在 R 上的函数，且 f (x 3)[1 f (x)] 1 f (x) ， f (2) 3 2 ，则 f 2021
2
值为（
）
A. 2 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 2 3
4.已知 f (x 1) f (x 1), f (x) f (x 2) ，方程 f (x) 0 在[0,1] 内有且只有一个根 x 1 ，则 2
抽象函数专题练习题
抽象函数专题（1）抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数 抽象函数知识点：1、抽象函数的定义域：①已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域②已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域2、抽象函数表达式与函数值3、抽象函数的模型构造①线性函数型抽象函数f （x ）＝kx （k ≠0）----f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）②指数函数型的抽象函数f （x ）＝a x ---- f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝)()(y f x f ③对数函数型的抽象函数f （x ）＝lo g a x （a >0且a ≠1）-f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （yx ）＝ f （x ）－f （y ） ④幂函数型的抽象函数2()f x x = ---------()()()f xy f x f y =，()()()xf x f y f y =； 练习题：1、已知函数)(x f 对任意实数x ，y ，均有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ，2)1(-=-f ，求)(x f 在区间[－2，1]上的值域。
2、定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意实数,m n ，总有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0x >时，1)(0<<x f ．（1）试求)0(f 的值；（2）判断)(x f 的单调性并证明你的结论；（3）试举出一个满足条件的函数)(x f ．3、已知函数)(x f 满足定义域在),0(+∞上的函数，对于任意的),0(,+∞∈y x ，都有)()()(y f x f xy f +=，当且仅当1>x 时，0)(<x f 成立，（1）设),0(,+∞∈y x ，求证)()()(x f y f xy f -=； （2）设),0(,21+∞∈x x ，若)()(21x f x f <，试比较1x 与2x 的大小；（3）解关于x 的不等式[]01)1(2>+++-a x a x f4.已知定义在()()-,00,+∞⋃∞上的函数f(x)对任何x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)>0,当x>1时,有f(x)<1.（1）判断f(x)的奇偶性（2）判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.（3）求解不等式f (23-4x x )≥1抽象函数问题（2）1、下列结论：①函数y =2y =是同一函数；②函数(1)f x -的定义域为[1,2]，则函数2(3)f x 的定义域为；③函数22log (23)y x x =+-的递增区间为(1,)-+∞；④若函数(21)f x -的最大值为3，那么(12)f x -的最小值就是3-其中正确的个数为 ( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2、定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()()52xf f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2007f 等于（ ） A. 12 B. 116 C. 132 D. 1643、已知()f x 是定义在R 上的函数，且3()[1()]1()2f x f x f x +-=+，(2)2f =，则()2009f 值为（ ）A. 2+B. 22 D. 2-4、已知(1)(1),()(2)f x f x f x f x +=-=-+，方程()0f x =在[0,1]内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[]0,2013内根的个数为（ ） A. 2011 B. 1006 C. 2013 D. 1007 5、已知函数()f x 对任意实数x ，y 满足()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f ≥.若存在整数m ，使得2(2)40f m m ---+= ，则m 取值的集合为______.6、定义在R 上的函数()f x 满足：(2)()0f x f x ++=，且函数(1)f x +为奇函数，对于下列命题：①函数()f x 满足(4)()f x f x +=；②函数()f x 图象关于点(1,0)对称；③函数()f x 的图象关于直线2x =对称；④函数()f x 的最大值为(2)f ；⑤(2009)0f =. 其中正确的序号为_________.7、定义在R 上的函数()f x ，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意实数,a b ，有()()()f a b f a f b +=⋅，求证：(1)(0)1f = (2)证明：()f x 是R 上的增函数；(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围.8、已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且满足 ()()()f xy f x f y =+， 1()12f =- (1)求证：(2)1f = (2)求不等式()(3)1f x f x -->的解集.9、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝ 5，求不等式3)22(2<--a a f 的解.。
高一抽象函数经典习题
抽象函数练习题参考答案第一组1、 若函数()21f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()2log f x 的定义域为________．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、 若()()11f n f n +=+，n *∈N ，且()12f =，则()100f =________． 【答案】1023、 定义R 上的函数()()()f xy f x f y =+，且()98f =，则f =________．4、 定义在区间()1,1-上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-．若()()2110f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,5、 已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，对正实数,x y ，都有：()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集是_________．【答案】()1,26、 已知函数()f x 是定义在(],3-∞上的减函数，已知()()222f a t f a t -+-≤对[]1,1t ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎡⎢⎣⎦7、 已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在0x ∈R ，使得12,x x ∀∈R ，总有()()()()0102012f x x x x f x f x f x +=++恒成立，则0x =________．【答案】1第二组8、 函数()f x 对于0x >有意义，且满足条件()21f =，()()()f xy f x f y =+，()f x 是减函数．⑴ 证明：()10f =；⑵ 若()()32f x f x +-≥成立，求x 的取值范围．【答案】⑵ []1,3-．9、 已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+且当0x >，()0f x <，又()12f =-．⑴ 判断()f x 的奇偶性；⑵ 求()f x 在区间[]3,3-上的最大值；⑶ 解关于x 的不等式()()()224f ax f x f ax -<+．【答案】⑴ 奇函数；⑵ 6；⑶ 当0a =时，(),1-∞；当2a =时，()(),11,-∞+∞；当0a <时，2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭； 当02a <<时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当2a >时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．10、 定义在R 上的函数()y f x =满足：① ()00f ≠；② 当0x >时，()1f x >；③ ,a b ∀∈R ，()()()f a b f a f b +=⋅． ⑴ 求证：()01f =；⑵ 求证：对任意的x ∈R ，恒有()0f x >； ⑶ 证明：()f x 是R 上的增函数；⑷ 若()()221f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．【答案】⑷ ()0,3．11、 已知函数()f x 的定义域为R 满足：① 任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=⋅； ② 当0x >时，()01f x <<．⑴ 证明：()01f =，且0x <时()1f x >； ⑵ 证明：()f x 在R 上单调递减； ※⑶ 设()()()(){}22,1A x y f x f y f =⋅>，()(){},21,B x y f ax y a =-+=∈R ，若AB =∅，试确定a 的取值范围．【答案】⑶ ⎡⎣12、 已知函数()f x 的定义域为R ，满足：① 任意实数,m n 都有()()()12f m n f m f n +=+=； ② 102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ 当12x >时，()0f x >． ⑴ 求()1f ； ※⑵ 求和()()()()123f f f f n ++++（n *∈N ）；⑶ 判断函数()f x 的单调性，并证明．【答案】⑴ ()112f =；⑵ 22n ；⑶ 单调递增．13、 函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：① 对任意x ∈R ，有()0f x >；② 对任意,x y ∈R ，有()()yf xy f x =⎡⎤⎣⎦； ③ 113f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：()f x 在R 上是单调减函数；※⑶ 若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()()2f a f c f b +>．【答案】⑴ ()01f =．14、 定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足：① ()f x 不恒为零；② 对任何实数,x q ，都有()()q f x qf x =． ⑴ 求证：方程()0f x =有且只有一个实根；⑵ 若1a b c >>>，且a 、b 、c 成等差数列，求证：()()()2f a f c f b ⋅<⎡⎤⎣⎦；⑶ 若()f x 单调递增，且0m n >>时，有()()22m n f m f n f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，求证：32m <<【答案】略．15、 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称．⑴ 求()0f 的值；⑵ 证明：()()4f x f x +=；⑶ 若()f x x =（01x <≤），求当x ∈R 时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象．【答案】⑴ ()00f =；⑶ ()4,414124,4143x k k x k f x x k k x k --+⎧=⎨-+-+<<+⎩≤≤，k ∈Z ．16、 设函数()f x 在(),-∞+∞上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有()()130f f ==．⑴ 试判断函数()y f x =的奇偶性；⑵ 试求方程()0f x =在闭区间[]2013,2013-上的根的个数，并证明你的结论．【答案】⑴ 非奇非偶函数；⑵ 806个根．第三组17、 已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：函数()f x 是奇函数；⑶ 若当()1,0x ∈-时，有()0f x >，求证：()f x 在()1,1-上是减函数； ※⑷ 写出一个满足已知条件的函数（此问不用写理由）．【答案】⑴ ()00f =；⑷()arctan f x x =-或()1log 1axf x x-=+，其中0a >且1a ≠．18、 定义在R 上的函数()f x 对任意实数,a b 都有()()()()2f a b f a b f a f b ++-=⋅成立，且()00f ≠．⑴ 求()0f 的值；⑵ 试判断()f x 的奇偶性；⑶ 若存在常数0c >使02c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试问()f x 是否为周期函数，请说明理由．【答案】⑴ ()01f =；⑵ 偶函数；⑶ 2c ．19、 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且,a b ∀∈R ，()()()f ab af b b a =+．⑴ 求()0f ，()1f 的值；⑵ 判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论； ⑶ 若()22f =，试求12nf ⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【答案】⑴ ()00f =，()10f =；⑵ 奇函数；⑶ 122nn n f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．20、 已知定义在R 上的函数()f x 满足：① 值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； ② 对于定义域内任意的实数,x y ，均满足()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+．⑴ 试求()0f 的值；⑵ 判断并证明函数()f x 的奇偶性； ⑶ 判断并证明函数()f x 的单调性．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 奇函数；⑶ 单调递减．21、 ()f x 的定义域关于原点对称，且满足①对()f x 定义域D 内的任意两个数1x 、2x （12x x ≠），()()()()()1212211f x f x f x x f x f x +-=-；②()1f a =-，且当0x a <<时，()0f x <． ⑴ 证明：()f x 是奇函数；⑵ 求函数()f x 在()0,4a 上的单调性．【答案】⑵ 单调递增．22、 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 不恒等于零．对任意实数m 、n ，总有()()22n m f m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证，对任意实数t ，均有()t f t ⋅≥0；※⑶ 若()01f y =，求所有满足条件的()f x ．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 取2m t =，2n t =，有()()242tf t f t =0≥，∴()0t f t ⋅≥ ⑶ ()()222442222n n mm mnf m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()()()22222mnf m f n m f n n f m =+ ()()mf n nf m =取1m =，n x =，有()0f x xy =即为所求．23、 已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，值域为[)0,+∞的子集，且满足下列条件：①对任意的[),0,x y ∈+∞都有()()()f xf y f y f x y ⋅=+⎡⎤⎣⎦； ②()20f =；③当02x <≤时()0f x ≠． ⑴ 求证：当2x ≥时，()0f x =； ⑵ 求()f x 的解析式．【答案】⑴ 取2y =即得；⑵ 当[),0,2x y ∈时，取()2xf y =，有()20f y f y ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，∴()22y f y +≥，()22f y y -≤ 取2x y +=，有()20f xf x -=⎡⎤⎣⎦，∴()22xf x -≥，即()22f x x-≥ 综上，当02x <≤时()22f x x =-．于是()f x 的解析式为()2,0220,2x f x x x ⎧<⎪=-⎨⎪⎩≤≥．24、 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：① 对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； ② ()13f =；③ 若10x ≥，2x ≥0且121x x +≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥． ⑴ 求()0f 的值； ⑵ 求()f x 的最大值；※⑶ 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()132n n S a =--，n *∈N ． 求证：()()()121312223n n f a f a f a n -++++-⋅≤． 【答案】⑴ ()02f =；⑵ 3．25、 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：① 对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥； ② ()11f =；③ 若10x ≥，20x ≥，121x x +≤，都有()()()1212f x x f x f x ++≥成立． 则称函数()f x 为理想函数．⑴ 若函数()f x 为理想函数，求()0f 的值；⑵ 判断函数()21x g x =-（[]0,1x ∈）是否为理想函数，并予以证明；⑶ 若函数()f x 为理想函数，假定[]00,1x ∃∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()00f f x x =，求证：()00f x x =．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 是．26、 已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，满足：① ,x y ∀∈R ，()()()()()f x y f x g y g x f y -=-； ② ()10f ≠．⑴ 求证：()f x 为奇函数；⑵ 若()()12f f =，求()()11g g +-的值．【答案】⑵ ()()111g g -+=．。
高中数学抽象函数经典综合题33例
抽象函数经典综合题抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查能力的较好途径；抽象函数问题既是难点，又是近几年来高考的热点；1．定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈、，有)()()(b f a f b a f ⋅=+；I ．求证1)0(=f ； Ⅱ．求证：R x ∈∀，0)(>∃x f ；Ⅲ．证明：)(x f 是R 上的增函数；Ⅳ．若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围；2．已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=-且0)1(≠f ；I ．求证：()f x 为奇函数；II ．若(1)(2)f f =，求(1)(1)g g +-的值；3．已知函数)(x f 对任意实数x ，y 恒有)()()(y f x f y x f +=+且当0>x ，0)(<x f ，又2)1(-=f .I ．判断)(x f 的奇偶性；Ⅱ．求)(x f 在区间]3,3[-上的最大值；4．已知)(x f 在)1,1(-上有定义，1)21(-=f ，且满足x ，)1,1(-∈y 有)1()()(xyyx f y f x f ++=+； I ．证明：)(x f 在)1,1(-上为奇函数；II ．对数列211=x ，2112nn n x x x +=+，求)(n x f ；III ．求证+)(11x f +)(12x f +)(13x f 252)(1++->+n n x f n ；5．已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；I ．试证明：)(x f 为N 上的单调增函数；II ．n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；Ⅲ．若(0)1f =，对任意,m n N ∈，有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12．6．已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =；(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-．I ．求(0)f 的值；II ．求()f x 的最大值；III ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈．求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-．7． 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． I ．若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；Ⅱ．判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； Ⅲ． 若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．8．已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在实数0x ，使得对于任意实数12,x x ，总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立；I ．求0x 的值；Ⅱ．若0()1f x =，且对任意正整数n ，有1()12n n a f =+，求数列{}n a 的通项公式；Ⅲ．若数列{}n b 满足1221n n b log a =+，将数列{}n b 的项重新组合成新数列{}n c ，具体法则如下：112233456,,,c b c b b c b b b ==+=++478910,c b b b b =+++……，求证：12311112924n c c c c ++++<； 9．设函数)(x f 是定义域在),0(+∞上的单调函数，且对于任意正数y x ,有)()()(y f x f y x f +=⋅，已知1)2(=f ．I ．求)21(f 的值；II ．一个各项均为正数的数列}{n a 满足：)(1)1()()(*∈-++=N n a f a f S f n n n ，其中n S 是数列}{n a 的前n 项的和，求数列}{n a 的通项公式； Ⅲ．在II的条件下，是否存在正数M，使)12()12()12(12221321--⋅-+≥n n na a a n M a a a a ，对一切*∈Nn 成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，说明理由．10．定义在R 上的函数f （x ）满足fxy fx fy f ()()()()++=+=1120，，且x >12时，0)(<x f ； I ．设a fnn N n=∈()()*，求数列的前n 项和S n ； II ．判断)(x f 的单调性，并证明；11．设函数)(x f 定义在R 上，对于任意实数m ，n ，恒有fm n fm fn ()()()+=·，且当0>x 时，1)(0<<x f ； I ．求证：1)0(=f ，且当0<x 时，1)(>x f ；II ．求证：)(x f 在R 上单调递减； Ⅲ．设集合{}A x y f xf y f =>(,)|()()()221·，{}B x y f a x y a R =-+=∈(,)|()21，，若A B ∩=∅，求a 的取值范围；12．定义在R 上的函数)(x f 对任意实数a ．b 都有)()(2)()(b f a f b a f b a f ⋅=-++成立，且f ()00≠； I ．求)0(f 的值；II ．试判断)(x f 的奇偶性；Ⅲ．若存在常数0>c 使f c()20=，试问)(x f 是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由；13．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：①f x x f x f x f x f x ()()()()()1212211-=+-·②存在正常数a ，使1)(=a f ， 求证：I ．)(x f 是奇函数；II ．)(x f 是周期函数，并且有一个周期为a 4；14．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：I ．x >0时，01<<f x ()；II ．f x ()在R 上为减函数；即f x ()为减函数； 15．已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式fk x fk x (s i n )(s i n)-≥-22恒成立，求k 的值；16．设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时，()0f x <； I ．判断)(x f 的奇偶性，并加以证明；II ．试问：当20032003≤≤-x 时，()f x 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由； III ．解关于x 的不等式2211()()()()22f bx f x f b x f b ->-，其中22b ≥． 17．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<；（2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：)()(1)()()(n f m f n f m f n m f ++=+，试回答下列问题：I ．试求)0(f 的值；Ⅱ．判断并证明函数)(x f 的单调性；Ⅲ．若函数)(x f 存在反函数)(x g ，求证：+)51(g +)111(g )21()131(2g n n g >+++．18．已知函数)(x f 对任意实数x ．y 都有)()()(y f x f xy f ⋅=，且1)1(-=-f ，9)27(=f ，当10<≤x 时，)1,0[)(∈x f ；I ．判断)(x f 的奇偶性；II ．判断)(x f 在),0[+∞上的单调性，并给出证明；Ⅲ．若0≥a 且39)1(≤+a f ，求a 的取值范围；19．设函数)(x f y =的定义域为全体R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对任意的实数x ，R y ∈，有)()()(y f x f y x f =+成立，数列}{n a 满足)0(1f a =，且)12(1)(1+-=+n n n a a f a f （*∈N n ）I ．求证：)(x f y =是R 上的减函数； Ⅱ．求数列}{n a 的通项公式；Ⅲ．若不等式0121)1()1)(1(21≤+-+++n a a a k n 对一切*∈N n 均成立，求k 的最大值．20．函数)(x f 的定义域为D {}0x x =>， 满足： 对于任意,m n D ∈，都有()()()f mn f m f n =+，且1)2(=f ．I ．求)4(f 的值；II ．如果3)62(≤-x f ，且)(x f 在),0(+∞上是单调增函数，求x 的取值范围．21．函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意R x ∈，有0)(>x f ；②对任意x ．R y ∈，有yx f xy f )]([)(=；③1)31(>f ；I ．求)0(f 的值；II ．求证：)(x f 在R 上是单调增函数； Ⅲ．若ac b c b a =>>>2,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+22．定义在区间),0(∞上的函)(x f 满足：（1）．)(x f 不恒为零；（2）．对任何实数x ．q ，都有)()(x qf x f q =．I ．求证：方程0)(=x f 有且只有一个实根；II ．若1>>>c b a ，且a ．b ．c 成等差数列，求证：)()()(2b fc f a f <⋅； Ⅲ．若)(x f 单调递增，且0>>n m 时，有)2(2)()(nm f n f m f +==，求证：32m << 23． 设)(x f 是定义域在]1,1[-上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零．I ．求证)(x f 在]1,1[-上是减函数；Ⅱ．如果)(c x f -，)(2c x f -的定义域的交集为空集，求实数c 的取值范围；Ⅲ．证明若21≤≤-c ，则)(c x f -，)(2c x f -存在公共的定义域，并求这个公共的空义域．24．已知函数1)(1)()(+-=x g x g x f ，且)(x f ，)(x g 定义域都是r ，且0)(>x g ，2)1(=g ，)(x g 是增函数，)()()(n m g n g m g +=⋅(m ．R n ∈) ；求证：)(x f 是R 上的增函数25．定义在+R 上的函数)(x f 满足： ①对任意实数m ，)()(x mf x f m =；②1)2(=f ．求证：I ．)()()(y f x f xy f +=对任意正数x ，y 都成立；II ．证明)(x f 是*R 上的单调增函数；Ⅲ．若2)3()(≤-+x f x f ，求x 的取值范围．26．已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f ，且对任意R x ∈都有5)()5(+≥+x f x f ，1)()1(+≤+x f x f ，若x x f x g -+=1)()(，求)2002(g ；27．设定义在R 上的函数)(x f ，满足当0>x 时，1)(>x f ，且对任意x ，R y ∈，有)()()(y f x f y x f =+，2)1(=f ；I ．解不等式4)3(2>-x x f ；Ⅱ．解方程组1)2()3(21)]([2+=++f x f x f ；28、定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数x ，y 都有)()()(y f x f y x f +=+成立，且当0>x 时0)(<x f 恒成立． I ．判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；Ⅱ．证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在)3,3[-上总有6)(≤x f 成立，试确定)1(f 应满足的条件；Ⅲ．解关于x 的不等式)()(1)()(122a f x a f nx f ax f n ->-，n 是一个给定的自然数，0<a ； 29．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈都满足：()()()f a b af b bf a ⋅=+I ．求()()0,1f f 的值；Ⅱ．判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；Ⅲ．若2)2(=f ，nf u n n )2(-=)(*∈N n ，求数列{}n u 的前n 项的和n S ．30．设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间]7,0[上，只有(1)(3)0f f ==． I ．试判断函数()y f x =的奇偶性；Ⅱ．试求方程()0f x =在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论．31．设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期；32．设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称；对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅； I ．设f ()12=，求f f ()()1214，；II ．证明)(x f 是周期函数；33．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足： ①当1x ，2x 是定义域中的数时，有)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+=-；②1)(-=a f （0>a ，a 是定义域中的一个数）； ③当a x 20<<时，0)(<x f ；试问：I ．)(x f 的奇偶性如何？说明理由；II ．在)4,0(a 上，)(x f 的单调性如何？说明理由；。
专题拔尖：抽象函数压轴题(选择)
抽象函数压轴题汇总A1．若函数f（x）对∀a，b∈R，同时满足：（1）当a+b＝0时，有f（a）+f（b）＝0；（2）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称f（x）为Ω函数．下列函数中：①f（x）＝x﹣sin x，②f（x）＝e x﹣e﹣x，③f（x）＝e x+e﹣x，④op=0，=0，−1，≠0，是Ω函数的为（）A．①②B．②③C．③④D．①④2．已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有2f（x+y）＝f（x）f（y），且f（1）＝1，则J0 1op=（）A．2n﹣1B．2−12C．1−12D．2−123．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣1）＝0，若对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2时，都有1o1)−2o2)1−2＜0成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）4．已知定义在（﹣3，3）上的函数f（x）满足f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x），且x≥0时，f（x）＝x3，则f（x）+ 27f（1﹣x）＞0的解集为（）A．∅B．（﹣3，12）C．（﹣2，32）D．（32，3）5．已知函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有o1)−o2)1−2＞0．给出以下三个命题：①直线x＝﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴；②函数f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数；③函数f（x）在区间[﹣9，9]上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则下列结论正确的是（）①f（x）的图象关于直线x＝1对称；②f（x）是周期函数，且2是其一个周期；③o163)＜o12)；④关于x的方程f（x）﹣t＝0（0＜t＜1）在区间（﹣2，7）上的所有实根之和是12．A．①④B．①②④C．③④D．①②③7．已知定义在R上的函数满足f（x+2）＝﹣f（x），x∈（0，2]时，f（x）＝x﹣sinπx，则J12020 op=（）A．6B．4C．2D．08．函数f（x）满足3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），且f（1）=13，则f（2020）＝（）A．23B．−23C．−13D．139．定义在R上的函数y＝f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+1）＝f（x﹣1）；②函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＞0．则f（32）、f（2）、f（3）从小到大的关系是（）A．f（32）＞f（2）＞f（3）B．f（3）＞f（2）＞o32)C．f（32）＞f（3）＞f（2）D．f（3）＞o32)＞o2)10．已知定义在R上的函数f（x），若函数y＝f（x+2）为偶函数，且f（x）对任意x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），都有o2)−o1)2−1＜0，若f（a）≤f（3a+1），则实数a的取值范围是（）A．[−12，34]B．[﹣2，﹣1]C．(−∞，−12]D．(34，+∞)11．已知函数f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]＝4，则f（2）的值是（）A．4B．8C．10D．1212．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），又已知f（﹣2）＝2，则f （2022）＝（）A．0B．1C．32D．213．定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）．设g（x）＝f（x）+sin x﹣x，若g（10）＝2020，则g（﹣10）＝（）A．﹣2020B．2020C．0D．101014．已知定义域为R的函数f（x）的图象关于原点对称，且f（2﹣x）+f（x+6）＝0，当x∈[0，4]时，f（x）=(32)−1，0≤＜2−58+52，2≤≤4，则f（f（2020））+f（2021）＝（）A．−58B．38C．58D．13815．设函数f（x）定义域为全体实数，令g（x）＝f（|x|）﹣|f（x）|，有以下6个论断：①f（x）是奇函数时，g（x）是奇函数；②f（x）是偶函数时，g（x）是奇函数；③f（x）是偶函数时，g（x）是偶函数；④f（x）是奇函数时，g（x）是偶函数；⑤g（x）是偶函数；⑥对任意的实数x，g（x）≤0．那么正确论断的编号是（）A．③④B．①②⑥C．③④⑥D．③④⑤16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1﹣x）＝﹣f（1+x），f（0）＝1，则f（0）+f（1）+…+ f（2020）＝（）A．﹣1B．0C．1D．202017．定义在R上的函数y＝f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，且f（x+1）是偶函数，则使f（2x﹣1）＞f（3）成立的x的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）18．已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实数x，恒有f（x+3）＝﹣f（x），且当∈(0，32]时，f（x）＝x2﹣6x+8，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝（）A．6B．3C．0D．﹣319．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（1）＝0；②对任意x∈R的都有f（﹣x）＝﹣f（x）；③对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，总有o1)−o2)1−2＞0；记g（x）=2op−3o−pK1，则不等式g（x）≤0的解集为（）A．[﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）C．[﹣1，0）D．[﹣1，0]20．已知函数f（x+2）（x∈R）为奇函数，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2020，则f（2020）＝（）A．2020B．12020C．11010D．021．设函数f（x）的定义域为（0，+∞），满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，f（x）＝log2（x+2）•log3（x+1），则f（7）＝（）A．1B．2C．6D．822．已知函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），当x≥1时，f（x）＝x−2，则{x|f（x+2）＞1}＝（）A．{x|x＜﹣3或x＞0}B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜﹣2或x＞0}D．{x|x＜2或x＞4} 23．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），f（x+2）=1op，当x∈[0，2]时，f（x）＝2log2（x+3），则f（923）＝（）A．16B．923C．4D．124．已知f（x+2）是偶函数，f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（）A．(−∞，23)∪(2，+∞)B．(23，2)C．(−23，23)D．(−∞，−23)∪(23，+∞)25．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f （2）+f（3）+…+f（2020）＝（）A．50B．2C．0D．﹣5026．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1]时，f（x）＝log2（x+ 1），则f（2019）＝（）A．1B．﹣1C．0D．log2327．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=−1op，且在（2，3）上f（x）＝4x，则f（2019.5）＝（）A．10B．0C．﹣10D．﹣2028．已知函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A．（0，2）B．[0，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，0] 29．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，若=o2c23p，=oc124.1)，=o20.8)，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b30．函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（x+2）关于x＝﹣2对称，若f（﹣2）＝1，则f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[0，4]A1．若函数f（x）对∀a，b∈R，同时满足：（1）当a+b＝0时，有f（a）+f（b）＝0；（2）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称f（x）为Ω函数．下列函数中：①f（x）＝x﹣sin x，②f（x）＝e x﹣e﹣x，③f（x）＝e x+e﹣x，④op=0，=0，−1，≠0，是Ω函数的为（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】解：由（1）当a+b＝0时有f（a）+f（b）＝0，即为f（﹣a）＝﹣f（a），则f（x）为R上的奇函数；由（2）当a+b＞0时有f（a）+f（b）＞0，即为a＞﹣b，f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b），可得f（x）为R上的增函数，则函数f（x）为R上的奇函数，且为增函数．由①f（x）＝x﹣sin x，定义域为R，f（﹣x）＝﹣x﹣sin（﹣x）＝﹣x+sin x＝﹣f（x），即有f（x）为奇函数；又f′（x）＝1﹣cos x≥0，可得f（x）为R上的增函数，故①是Ω函数；②f（x）＝e x﹣e﹣x，定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣f（x），即有f（x）为奇函数，又f′（x）＝e x+e﹣x＞0，可得f（x）为R上的增函数，故②是Ω函数；③f（x）＝e x+e﹣x，定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x+e x＝f（x），可得f（x）为偶函数，故③不是Ω函数；④op=0，=0，−1，≠0，定义域为R，x≠0时，f（﹣x）=1=−f（x），可得f（x）为奇函数，又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增，但在R上不为增函数，比如f（﹣1）＞f（1），故④不是Ω函数．故选：A．2．已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有2f（x+y）＝f（x）f（y），且f（1）＝1，则J0 1op=（）A．2n﹣1B．2−12C．1−12D．2−12【解析】解：令x＝1，y＝0，得2f（1）＝f（1）f（0），则f（0）＝2；令x＝n（n∈N*），y＝1，则有2f（n+1）＝f（n）f（1）＝f（n），∴or1)op=12，∴{f（n）}（n∈N*）为等比数列，公比为12，首项为1，则{1op}（n∈N*）为等比数列，公比为2，首项为1，则J0 1op=1o0)+1o1)+1o2)+⋯+1op=12+1+2+⋯+2K1=12+1×(1−2)1−2=2−12．故选：B．3．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣1）＝0，若对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2时，都有1o1)−2o2)1−2＜0成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【解析】解：根据题意，设g（x）＝xf（x），若函数f（x）是定义在R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），则g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝xf（x）＝g（x），则g（x）为R上的偶函数，若f（﹣1）＝0，则g（﹣1）＝g（1）＝0，又由对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2时，都有1o1)−2o2)1−2＜0成立，即o1)−o2)1−2＜0，即函数g（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则在（﹣∞，﹣1）上，g（x）＝xf（x）＞0，在（﹣1，0）上，g（x）＝xf（x）＜0，又由x∈（﹣∞，0），则在（﹣∞，﹣1）上，f（x）＜0，在（﹣1，0），f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，在在（0，1），f（x）＜0，综合可得：f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故选：C．4．已知定义在（﹣3，3）上的函数f（x）满足f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x），且x≥0时，f（x）＝x3，则f（x）+27f（1﹣x）＞0的解集为（）A．∅B．（﹣3，12）C．（﹣2，32）D．（32，3）【解析】解：∵f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x），令x＝x+1，∴f（x）＝﹣f（﹣x），∴函数f（x）为奇函数，∵x≥0时，f（x）＝x3，∴f（x）＝x3，x∈（﹣3，3），∴f（x）+27f（1﹣x）＝x3+27（1﹣x）3＞0，∴x3＞[3（x﹣1）]3，∵f（x）＝x3为增函数，∴x＞3（x﹣1），∴﹣3＜x＜32，故选：C．5．已知函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有o1)−o2)1−2＞0．给出以下三个命题：①直线x＝﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴；②函数f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数；③函数f（x）在区间[﹣9，9]上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】解：根据题意，对于任意x∈R，都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，令x＝﹣3，则f（﹣3+6）＝f（﹣3）+f（3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）＝0，则有f（x+6）＝f（x），所以f（x）的周期为6；据此分析三个命题：对于①，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为y轴，又由函数的周期为6，则直线x＝﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴，①正确；对于②，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有o1)−o2)1−2＞0，则函数y＝f（x）在[0，3]上为增函数，因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y＝f（x）在[﹣3，0]上为减函数，而f（x）的周期为6，所以函数y＝f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数；②错误；对于③，f（3）＝0，f（x）的周期为6，所以f（﹣9）＝f（﹣3）＝f（3）＝f（9）＝0，函数y＝f（x）在[﹣9，9]上有四个零点；③错误；三个命题中只有①是正确的；故选：B．6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则下列结论正确的是（）①f（x）的图象关于直线x＝1对称；②f（x）是周期函数，且2是其一个周期；③o163)＜o12)；④关于x的方程f（x）﹣t＝0（0＜t＜1）在区间（﹣2，7）上的所有实根之和是12．A．①④B．①②④C．③④D．①②③【解析】解：由题意，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，即f（x+2）＝f（﹣x）可知f（x）的图象关于直线x＝1对称，①正确；因为f（x）是奇函数，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是f（x）的周期，故②错误；由f（x）的周期性和对称性可得o163)=o4+43)=o43)=o23)．又当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），所以f（x）在x∈[0，1]时单调递增，所以o12)＜o23)，即o163)＞o12)，③错误；又x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则可画出f（x）在区间[﹣4，8]上对应的函数图象大致如下．易得f（x）﹣t＝0（0＜t＜1）即f（x）＝t（0＜t＜1）在区间（﹣2，7）上的根分别关于1，5对称，故零点之和为2×（1+5）＝12，④正确．故选：A．7．已知定义在R上的函数满足f（x+2）＝﹣f（x），x∈（0，2]时，f（x）＝x﹣sinπx，则J12020 op=（）A．6B．4C．2D．0【解析】解：因为x∈（0，2]时，f（x）＝x﹣sinπx，所以f（1）＝1﹣sinπ＝1，f（2）＝2﹣sin2π＝2，因为f（x+2）＝﹣f（x），所以f（0）＝﹣f（2）＝﹣2，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，所以f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝0．因为f（x+2）＝﹣f（x），将x换为x+2，则f（x+4）＝﹣f（x+2），所以f（x）＝f（x+4），即函数的周期为4，所以J12020 op=505×[f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）]＝0．故选：D．8．函数f（x）满足3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），且f（1）=13，则f（2020）＝（）A．23B．−23C．−13D．13【解析】解：取x＝1，y＝0，得3f（0）f（1）＝f（1）+f（1）=23，∴f（0）=23，取x＝n，y＝1，有3f（n）f（1）＝f（n+1）+f（n﹣1），即f（n）＝f（n+1）+f（n﹣1），同理：f（n+1）＝f（n+2）+f（n），∴f（n+2）＝﹣f（n﹣1），∴f（n）＝﹣f（n﹣3）＝f（n﹣6）所以函数是周期函数，周期T＝6，故f（2020）＝f（3×336+4）＝f（4）．∵3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）令x＝y＝1，得3f2（1）＝f（2）+f（0），可得f（2）=−13，令x＝2，y＝1，得3f（2）f（1）＝f（3）+f（1），解得f（3）=−23，令x＝3，y＝1，得3f（3）f（1）＝f（4）+f（2），解得f（4）=−13．∴f（2020）=−13；故选：C．9．定义在R上的函数y＝f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+1）＝f（x﹣1）；②函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＞0．则f（32）、f（2）、f（3）从小到大的关系是（）A．f（32）＞f（2）＞f（3）B．f（3）＞f（2）＞o32)C．f（32）＞f（3）＞f（2）D．f（3）＞o32)＞o2)【解析】解：由①对于任意的x∈R，都有f（x+1）＝f（x﹣1）；得函数为周期函数，且周期为2，由②函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称；得函数的图象关于直线x＝1对称，由③对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＞0得函数在[0，1]为增函数，则f（32）＝f（12），f（2）＝f（0），f（3）＝f（1），又因为0＜12＜1，所以f（0）＜f（12）＜f（1），即f（2）＜f（32）＜f（3），故选：D．10．已知定义在R上的函数f（x），若函数y＝f（x+2）为偶函数，且f（x）对任意x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），都有o2)−o1)2−1＜0，若f（a）≤f（3a+1），则实数a的取值范围是（）A．[−12，34]B．[﹣2，﹣1]C．(−∞，−12]D．(34，+∞)【解析】解：根据题意，函数y＝f（x+2）为偶函数，则函数f（x）的图象关于x＝2对称，f（x）对任意x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），都有o2)−o1)2−1＜0，则函数f（x）在[2，+∞）上为减函数，则f（a）≤f（3a+1）⇔|a﹣2|≥|3a+1﹣2|，即|a﹣2|≥|3a﹣1|，解可得：−12≤a≤34，即a的取值范围为[−12，34]．故选：A．11．已知函数f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]＝4，则f（2）的值是（）A．4B．8C．10D．12【解析】解：∵对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]＝4，且函数f（x）在R上是单调函数，故f（x）﹣3x＝k，即f（x）＝3x+k，∴f（k）＝3k+k＝4，解得：k＝1，故f（x）＝3x+1，∴f（2）＝10，故选：C．12．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），又已知f（﹣2）＝2，则f（2022）＝（）A．0B．1C．32D．2【解析】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的偶函数且满足f（4﹣x）＝f（x），则有f（4﹣x）＝f（﹣x），变形可得f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，则f（2022）＝f（﹣2+506×4）＝f（﹣2）＝2；故选：D．13．定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）．设g（x）＝f（x）+sin x﹣x，若g（10）＝2020，则g（﹣10）＝（）A．﹣2020B．2020C．0D．1010【解析】解：∵有f（x+y）＝f（x）+f（y），∴f（0+0）＝f（0）+f（0）＝f（0），即f（0）＝0，令y＝﹣x，则有f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0即f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，若g（x）＝f（x）+sin x﹣x，g（10）＝2020，则g（10）＝f（10）+sin10﹣10＝2020，则g（﹣10）＝f（﹣10）﹣sin10+10＝﹣f（10）﹣sin10+10，两式相加得：0＝2020+g（﹣10），得g（﹣10）＝﹣2020，故选：A．14．已知定义域为R的函数f（x）的图象关于原点对称，且f（2﹣x）+f（x+6）＝0，当x∈[0，4]时，f（x）=(32)−1，0≤＜2−58+52，2≤≤4，则f（f（2020））+f（2021）＝（）A．−58B．38C．58D．138【解析】解：根据题意，定义域为R的函数f（x）的图象关于原点对称，即函数f（x）为奇函数，则有f （﹣x）＝﹣f（x），又由f（2﹣x）+f（x+6）＝0，则有﹣f（x﹣2）+f（x+6）＝0，即f（x+6）＝f（x﹣2），变形可得f（x+8）＝f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（2020）＝f（4+2016）＝f（4），f（2021）＝f（﹣3+2024）＝f（﹣3）＝﹣f（3），又由当x∈[0，4]时，f（x）=(32)−1，0≤＜2−58+52，2≤≤4，则f（4）＝0，f（3）=58；则f（2020）＝f（4）＝0，则有f（f（2020））＝f（0）＝0；故f（f（2020））+f（2021）＝0−58=−58；故选：A．15．设函数f（x）定义域为全体实数，令g（x）＝f（|x|）﹣|f（x）|，有以下6个论断：①f（x）是奇函数时，g（x）是奇函数；②f（x）是偶函数时，g（x）是奇函数；③f（x）是偶函数时，g（x）是偶函数；④f（x）是奇函数时，g（x）是偶函数；⑤g（x）是偶函数；⑥对任意的实数x，g（x）≤0．那么正确论断的编号是（）A．③④B．①②⑥C．③④⑥D．③④⑤【解析】解：根据题意，g（x）＝f（|x|）﹣|f（x）|，依次分析6个判断：对于①f（x）是奇函数时，有f（﹣x）＝﹣f（x），则g（﹣x）＝f（|﹣x|）﹣|f（﹣x）|＝f（|x|）﹣|f（x）|＝g（x），g（x）是偶函数，故①错误；对于②f（x）是偶函数时，有f（﹣x）＝f（x），则g（﹣x）＝f（|﹣x|）﹣|f（﹣x）|＝f（|x|）﹣|f（x）|＝g（x），g（x）是偶函数，故②错误；③f（x）是偶函数时，f（﹣x）＝f（x），则g（﹣x）＝f（|﹣x|）﹣|f（﹣x）|＝f（|x|）﹣|f（x）|＝g（x），g（x）是偶函数，故③正确；④f（x）是奇函数时，f（﹣x）＝﹣f（x），则g（﹣x）＝f（|﹣x|）﹣|f（﹣x）|＝f（|x|）﹣|f（x）|＝g（x），g（x）是偶函数，故④正确；⑤g（x）＝f（|x|）﹣|f（x）|，而g（﹣x）＝f（|﹣x|）﹣|f（﹣x）|＝f（|x|）﹣|f（﹣x）|，则g（x）不一定是偶函数，⑤错误；⑥设f（x）＝x+5，则f（|﹣2|）＝f（2）＝7，f（﹣2）＝（﹣2）+5＝3，|f（﹣2）|＝3，则g（﹣2）＝f（|﹣2|）﹣|f（﹣2）|＝7﹣3＞0，⑥错误；综上可得，③④正确；故选：A．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1﹣x）＝﹣f（1+x），f（0）＝1，则f（0）+f（1）+…+f （2020）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2020【解析】解：根据题意，f（x）满足f（1﹣x）＝﹣f（1+x），即函数f（x）图象关于点（1，0）对称，则有f（x+2）＝﹣f（﹣x），又由f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即有f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数，f（0）＝1，则f（2）＝﹣f（0）＝﹣1，f（1）+f（3）＝0，则有f（0）+f（1）+f（2）+f（3）＝0，则f（0）+f（1）+…+f（2020）＝[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]×505+f（2020）＝f（0）＝1；故选：C．17．定义在R上的函数y＝f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，且f（x+1）是偶函数，则使f（2x﹣1）＞f（3）成立的x的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）【解析】解：根据题意，f（x+1）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，若y＝f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，则f（x）在[1，+∞）上为增函数，f（2x﹣1）＞f（3）⇒|2x﹣2|＞|3﹣1|，解可得x＜0或x＞2，即x的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）；故选：B．18．已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实数x，恒有f（x+3）＝﹣f（x），且当∈(0，32]时，f（x）＝x2﹣6x+8，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝（）A．6B．3C．0D．﹣3【解析】解：根据题意，对任意实数x，恒有f（x+3）＝﹣f（x），则有f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数，又由f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，则f（3）＝﹣f（0）＝0，又由当∈(0，32]时，f（x）＝x2﹣6x+8，则f（1）＝3，f（2）＝f（﹣1+3）＝﹣f（﹣1）＝f（1）＝3，f（4）＝f（1+3）＝﹣f（1）＝﹣3，f（5）＝f（2+3）＝﹣f（2）＝﹣3，则有f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝0，f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）]×336+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝f（2）＝3；故选：B．19．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（1）＝0；②对任意x∈R的都有f（﹣x）＝﹣f（x）；③对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，总有o1)−o2)1−2＞0；记g（x）=2op−3o−pK1，则不等式g（x）≤0的解集为（）A．[﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）C．[﹣1，0）D．[﹣1，0]【解析】解：根据题意，f（x）满足对任意x∈R的都有f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，则有f（0）＝0；又由对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，总有o1)−o2)1−2＞0，即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，若f（1）＝0，则在区间（0，1）上，f（x）＜0，在区间（1，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣∞，﹣1）上，f（x）＜0，在区间（﹣1，0）上，f（x）＞0，则g（x）≤0即g（x）=2op−3o−pK1=5op K1≤0，即op＜0−1＞0或op＞0−1＜0或op=0−1≠0，解可得：﹣1≤x≤0，即不等式g（x）≤0的解集为[﹣1，0]；故选：D．20．已知函数f（x+2）（x∈R）为奇函数，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f （x）=2020，则f（2020）＝（）A．2020B．12020C．11010D．0【解析】解：根据题意，函数f（x+2）为奇函数，即函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，则有f（﹣x）＝﹣f（x+4），函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，则f（﹣x）＝f（2+x），变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2），即f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（2020）＝f（0+505×4）＝f（0）＝0；故选：D．21．设函数f（x）的定义域为（0，+∞），满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，f（x）＝log2（x+2）•log3（x+1），则f（7）＝（）A．1B．2C．6D．8【解析】解：根据题意，f（x）满足f（x+2）＝2f（x），则f（7）＝2f（5）＝4f（3）＝8f（1），又由当x∈（0，2]时，f（x）＝log2（x+2）•log3（x+1），则f（1）＝log23•log32＝1，则f（7）＝8f（1）＝8；故选：D．22．已知函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），当x≥1时，f（x）＝x−2，则{x|f（x+2）＞1}＝（）A．{x|x＜﹣3或x＞0}B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜﹣2或x＞0}D．{x|x＜2或x＞4}【解析】解：由f（1﹣x）＝f（1+x），得函数关于x＝1对称，当x≥1时，f（x）＝x−2，则f（x）为增函数，且f（2）＝2﹣1＝1，由f（x）＞1得x＞2，由对称性知当x＜1时，由f（x）＞1得x＜0，综上f（x）＞1得x＞2或x＜0，由f（x+2）＞1得x+2＞2或x+2＜0，得x＞0或x＜﹣2，即不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞0}，故选：C．23．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），f（x+2）=1op，当x∈[0，2]时，f（x）＝2log2（x+3），则f（923）＝（）A．16B．923C．4D．1【解析】解：因为定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，又因为f（x+2）=1op，所以f（x+4）=1or2)=11op=f（x），所以函数f（x）的周期是4，所以f（923）＝f（4×230+3）＝f（3）＝f（﹣1）＝f（1），因为当x∈[0，2]时，f（x）＝2log2（x+3），所以f（923）＝f（1）＝2log24＝4，故选：C．24．已知f（x+2）是偶函数，f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（）A．(−∞，23)∪(2，+∞)B．(23，2)C．(−23，23)D．(−∞，−23)∪(23，+∞)【解析】解：根据题意，f（x+2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，又由f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，则f（x）在[2，+∞）上递增，又由f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0⇒f（2﹣3x）＞f（0）⇒|3x|＞2，解可得：x＜−23或x＞23，即不等式的解集为（﹣∞，−23）∪（23，+∞）；故选：D．25．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f （2）+f（3）+…+f（2020）＝（）A．50B．2C．0D．﹣50【解析】解：根据题意，f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），且f（0）＝0；又由f（1﹣x）＝f（1+x）即有f（x+2）＝f（﹣x），则f（x+2）＝﹣f（x），进而得到f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）＝2，可得f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（2）＝f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）＝505×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝0；故选：C．26．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（2019）＝（）A．1B．﹣1C．0D．log23【解析】解：根据题意，f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），则有f（x+2）＝f（﹣x），又由f（x）为奇函数，则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+5×505）＝f（﹣1）＝﹣f（1），又由当x∈（0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（1）＝log2（1+1）＝1，则f（2019）＝﹣f（1）＝﹣1；故选：B．27．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=−1op，且在（2，3）上f（x）＝4x，则f（2019.5）＝（）A．10B．0C．﹣10D．﹣20【解析】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+1）=−1op，则f（x+2）=−1or1)=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，则f（2019.5）＝f（2022﹣2.5）＝f（﹣2.5），又由f（x）为奇函数，则f（﹣2.5）＝﹣f（2.5）＝﹣4×2.5＝﹣10，则f（2019.5）＝﹣10，故选：C．28．已知函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A．（0，2）B．[0，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，0]【解析】解：根据题意，对于函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x），有f（a﹣x）＝ln（a﹣x）+ln[a﹣（a﹣x）]＝lnx+ln（a﹣x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x=2对称，若函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则有2=1，则a＝2，则f（x）＝lnx+ln（2﹣x）＝ln（2x﹣x2），其定义域为（0，2），设t＝2x﹣x2，则y＝lnt，又由t＝﹣（x﹣1）2+1，0＜x＜2，则有0＜t≤1，则y＝lnt≤0，即函数f（x）的值域为（﹣∞，0]；故选：D．29．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，若=o2c23p，=oc14.1)，=o20.8)，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解析】解：根据题意，函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，a＝f（2cos23）＝f（2cos3）＝f（1），b＝f（c124.1）＝f（log24.1）c＝f（20.8），又由函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，且1＜20.8＜2＜log24.1，则a＜c＜b；故选：A．30．函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（x+2）关于x＝﹣2对称，若f（﹣2）＝1，则f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[0，4]【解析】解；根据题意，f（x+2）关于x＝﹣2对称，则f（x）为偶函数，且f（﹣2）＝f（2）＝1，则f（x﹣2）≤1⇒f（|x﹣2|）≤f（|﹣2|），又f（x）在（0，+∞）单调递增，所以|x﹣2|≤2，解可得0≤x≤4；故选：D．。
抽象函数的性质及其经典例题
抽象函数的性质及其金典例题函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点成中心对称图形；4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0；5、形如的图像是双曲线，由常数分离法知：对称中心是点；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
《抽象函数》专题练习
专题 抽象函数一、求抽象函数定义域1.已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域2．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x ＋1)的定义域是________．3.已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域二.求抽象函数解析式求函数解析式的常用方法：待定系数法、配凑法、换元法、方程组、特殊值法（1）若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式（2）已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式(3) 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式（4）设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式.练习：1.已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）2.已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式3．已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭ = 3x ，求函数f （x ）的解析式4.已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.5.若x x f x f 4)1()(3=-，则)(x f =_____________________三、解抽象不等式1.已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)<f(x 2-1),求x 的取值范围.2.已知f(x)是定义在(0,)+∞上的函数，满足条件f(x y)=f(x)+f(y)；f(2)=1。
求：(1)证(8)3f = ；（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集。
3.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时()1f x >.（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<专题 函数的奇偶性【知识梳理】1. 偶函数定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，如果对于任意的A x ∈，都有，那么称函数)(x f y =是偶函数。
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f 取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x 0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f 而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax.0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x 当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且当0<a 时，}12|{<<∈x a x x 当20<<a 时,}12|{<>∈x ax x x 或当a>2时，}12|{><∈x a x x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xy y x ++1)⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n );⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数(Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212nn x x +)＝f (nnn nxx xx ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n )∴)()(1nn x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1(Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数Nx f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数.（2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥∙∙∙ ∴f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证 （3）（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=nn n ni i f6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为nS ，且满足*12(3),n nS a n N =--∈.求证：123112332()()()()2nn f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max()(1)3f x f ∴== (III)*12(3)()nn S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n nn na a n a a --∴=≥=≠∴=111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n nf a f a +≤+。
数学练习题抽象函数(含答案)
高考一轮专练——抽象函数1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。
2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围3. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。
4. 设函数()f x 对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,()2f x =已知(1)2f =，求1()2f ,1()4f 的值.5. 已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。
6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数.7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有ba b f a f ++)()(＞0（1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）若f （k )293()3--+⋅xx x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。
9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示.11．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足: ()()()f a b af b bf a •=+. （1）求(0),(1)f f 的值;（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论;（3）若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈，求数列{n u }的前n 项和n s .12．已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. （1）若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式.13．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++，且1()02f =，当12x >时, ()f x >0. （1）求(1)f ;（2）求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; （3）判断函数()f x 的单调性，并证明.14．函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈,有()f x >0；②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =；③1()13f >.（1）求(0)f 的值;（2）求证: ()f x 在R 上是单调减函数;（3）若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()2()f a f c f b +>.15．已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=•,且当0x >时,0()1f x <<.（1）证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1;（2）证明: ()f x 在R 上单调递减; （3）设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f •>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B =Φ,试确定a 的取值范围.16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. （1）用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; （2）证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称. （1）求(0)f 的值；（2）证明： 函数()f x 是周期函数;（3）若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象。
13用抽象函数的定义域和值域
1 x ） ⑧则函数f (( ) ) 的定义域为 [-1，+∞ ； 1 2 ⑨则函数f(log x)的定义域为 ；[ , 2]
2
2
⑩则函数
f (log 1
2
x)的定义域为
.
1 [ , 2] 4
练习
2.①已知函数f(x+1)的定义域是[-1,3]，则函数f(x)的定义域为[0，4] ；
1 2.若函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3]，求函数 y f ( x 2) 的定义域。 解析：∵y=f(x+1)的定义域为[-2,3]， 1 2 x 2x 1 0 0 x x ∴-2≤x≤3， , , 1 3x 1 3x 0 0 ∴-1≤x+1≤4， x x
2
练习
3.已知 f(x)的定义域是[0,4]，求： (1)f(x )的定义域； (2)f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．
解 ∵f(x)的定义域为[0,4]，
2
2
(1)有 0≤x ≤4，∴－2≤x≤2. 故 f(x2)的定义域为[－2,2]． 0≤x＋1≤4， (2)有 ∴1≤x≤3. 0≤x－1≤4， 故 f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．
练习
1 1 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求 y f ( x ) f ( x ) 定义域。 3 3
1 2 , 3 3
典型例题 例2 若函数y=f(2x)的定义域为 [1, 2]，则函数f(log2x)的定义域为 解：∵函数y=f(2x)的定义域为[1, 2]， 。
(2)已知函数f(x2-2x+2)的定义域为[0,3]，求函数f(x)的定义域．
必修一数学抽象函数习题精选含答案
抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。
若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。
故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。
2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。
分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。
三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中， 关键是利用函数的奇 偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式 组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。
抽象函数经典习题
题型7：抽象函数问题★★★★【例1】定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧>---≤-,0),2()1(,0,21x x f x f x x则f (－1)＝ ，f (33)＝ . 【解析】4；－2.例13．函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有).()()(2121x f x f x x f +=⋅（Ⅰ）求)1(f 的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并证明；（Ⅲ）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围。
（Ⅰ）解：令.0)1(),1()1()11(,121=+=⨯==f f f f x x 解得有 （Ⅱ）证明：令121,x x ==-[(1)(1)](1)(1),(1)0f f f f -⨯-=-+--=有解得令).()(),()1()(,121x f x f x f f x f x x x =-∴+-=-=-=有 ∴)(x f 为偶函数。
（Ⅲ）.3)4()16()416(,2)4()4()44(=+=⨯=+=⨯f f f f f f ∴)64()]62)(13[(3)62()13(f x x f x f x f ≤-+≤-++即 （1） ∵),0()(+∞在x f 上是增函数， ∴（1）等价于不等式组：⎩⎨⎧≤-+-<-+⎩⎨⎧≤-+>-+.64)62)(13(,0)62)(13(,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>R x x x x x ,331,537,313或或 ∴.331313753<<--<≤-≤<x x x 或或 ∴x 的取值范 围为}.533313137|{≤<<≤--<≤-x x x x 或或点评：以抽象函数为模型，考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力。
抽象函数有关问题练习题
抽象函数有关问题练习题
1、已知函数的定义域为R 的函数f （x ），对任意x 、y 满足f (x +y )=f (x )+f (y )，且f(2)=1，求f(0),f(1)和f(-2).
2、已知函数f(3x-2)的定义域为[0,1 ),求f(2x 2+4)的定义域.
3、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
4、已知函数y= f (x ).( x ∈R, x ≠0)对任意的非零实数x ,y 恒有f(xy)=f(x)+f(y)，试判断f (x )的奇偶性.
5、 已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.
(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示
6、已知定义在(0, +∞)上的函数f(x)对任意x,y ∈(0, +∞)，恒有f(xy)=f(x)+f(y)，且当0<x<1时，f (x )>0，判断f (x )在(0, +∞)上的单调性
7、已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x<0时，f(x)>1证明在R 上单调递减。
8、设函数)0x R x )(x (f y ≠∈=且，对任意实数1x ,2x 满足)x x (f )x (f )x (f 2121=+且)x (f y =为偶函数，)x (f y =在),0(+∞上为增函数，解不等式
0)21x (f )x (f <-+。
抽象函数经典习题(含详细解答)
抽象函数经典习题经典习题11. 若函数(21)f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,则函数2(log )f x 的定义域为( )A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12⎛ ⎝ D.12⎡⎢⎣ 2. 若*(1)()1(f n f n n N +=+∈),且f(1)=2,则f(100)的值是( )A ．102B ．99C ．101D ．100 3. 定义R 上的函数()f x 满足：()()(),(9)8,f xy f x f y f f =+==且则（）AB ．2C ．4D ．64. 定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。
若2(1)(1)0f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是___________________.5. 已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都有:()()()f xy f x f y =+成立.则不等式2(log )0f x <的解集是__________.6. 已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
7. 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:()()()f a b af b bf a •=+.(1)求(0),(1)f f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈,求数列{n u }的前n 项和n s .8. 定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。
抽象函数精选例题
1第04讲抽象函数一、知识纵横1.抽象函数是指一些没有给出明确解析式的函数，通常用函数性质或函数方程来描述．2.定义域：多为抽象函数()f x 和复合函数定义域互求．3.求值：由函数方程给出的抽象函数通常用赋特殊值法求值．4.单调性抽象函数通常需要用定义法来判断单调性，在比较()1f x 和()2f x 大小时常用作差或作商法．*单调性：设函数的定义域为D ，区间I D ⊆；任取12x x I <∈，（1）若恒满足()()12f x f x <，则称()f x 在I 上是增函数；（2）若恒满足()()12f x f x >，则称()f x 在I 上是减函数．5.奇偶性（1）如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；（2）如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数．6.对称性中心对称：（1）若()()f x a f x a +=---，则()f x 函数图象关于()0,0对称，()f x 为奇函数；（2）若()()f x a f x a +=--+，则()f x 函数图象关于(),0a 对称，()f x a +为奇函数；轴对称：（1）若()()f x a f x a +=--，则()f x 函数图象关于0x =轴对称，()f x 为偶函数；（2）若()()f x a f x a +=-+，则()f x 函数图象关于x a =轴对称，则有()f x a +为偶函数；7.周期性：对于任意的x D ∈有()()f x T f x +=，则T 为函数()f x 的周期．特别提醒4：抽象函数的要点是函数方程的形式，同号看周期，异号看对称．二、题型突破【题型1抽象函数定义域问题】例1.（1）若()f x 的定义域为[],m n ，且0mn <，0m n +>，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域为（）A ．[],n m -B ．[],n n -C ．[],m m -D ．[],m n -（2）已知函数()2y f x =-的定义域为(]2,4，则函数()y f x =的定义域为________；（3）若函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()21f x x-的定义域为__________．答案：（1）由题可得0m <、0n >且m n -<，从而()g x 的定义域为[],m m -；（2）由题()f x 的定义域为[)2,0-；（3）由题()21f x -的定义域为[]0,1，从而()21f x x -的定义域为(]0,1．2【题型2抽象函数求值问题】例2.（1）设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，()112f =，且满足对任意的实数x ∈R ，有()()()22f x f x f +=+，则()5f =_________；（2）函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则1138f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________；（3）函数()f x 满足：()114f =，()()()()4f x f y f x y f x y =++-，则()2010f =_________；（4）函数()f x 是定义在R 的函数，若对于任意x 恒有()()33f x f x +≤+和()()22f x f x +≥+，且()11f =，则()2005f =_________．答案：（1）()()()()()532221f f f f f =+=+，且()()()112f f f =-+，从而()21f =，代入可得()552f =．（2）由①③可得()11f =，令12x =可知1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由②可得当1x =时有1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当12x =有1164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当13x =时1194f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由函数非减可得1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而113384f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）令0x y ==，有()00f =或12，若()00f =，令0y =，则()f x 恒为0，与题目矛盾，从而()102f =，令1y =得()()()11f x f x f x =-++，将x 代为1x +可得()()()12f x f x f x +=++，两式叠加可得()()120f x f x -++=，将x 代为3x +可得()()250f x f x +++=，两式相减可得()()15f x f x -=+，从而可知()()1201002f f ==．（4）由()()33f x f x +≤+可知()()66f x f x +≤+，由()()22f x f x +≥+可知()()66f x f x +≥+，从而()()66f x f x +=+，()()200511f f ==．【题型3抽象函数求解析式】例3.（1）()f x 定义域为R ，若()01f =，且对,x y ∈R 恒有()()()21f x y f x y x y -=--+，则()f x =__________________；（2）()f x 定义域为R ，若()01f =，且对,x y ∈R 恒有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =__________________．答案：（1）令0x =，可得()()11f y y y -=--+，从而()()2111f x x x x x =++=++；（2）令1y =，0x =，可得()12f =，令0y =，可得()()111f x x f x =+-=+．【题型4抽象函数单调性问题】3例4.（1）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b ，当0a b +≠，都有()()0f a f b a b +>+；若a b >，试比较()f a 和()f b 的大小．（2）奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则()()110x f x -+>的解集为________．答案：（1）将b 代为b -可得()()0f a f b a b ->-，从而函数为奇函数，有()()f a f b >；（2）当10x ->时，()10f x +>可以解得()(),31,1x ∈-∞-- ，此时无解；当10x -<时，()10f x +<可以解得()()3,11,x ∈--+∞ ，此时()3,1x ∈--．【题型5抽象函数奇偶性问题】例5.（1）()f x 的定义域为{}|11D x x =-<<，对于任意的,x y D ∈，均有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，证明：()f x 为奇函数；（2）()f x 的定义域为R ，对于任意的,x y ∈R ，均有()()()()11f x y f x y f x f y ++=-+-，()12f =，判断()f x 的奇偶性．答案：（1）令0x y ==，可得()00f =，令y x =-，可得()()0f x f x +-=，从而为奇函数；（2）令1x y ==，可得()32f =-，令1x =，1y =-，可得()()()()1311f f f f =--，从而()12f -=-，令1x =-，可得()()f y f y -=-，从而()f x 为奇函数．【题型6抽象函数综合性问题】例6.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：（1）对任意,a b ∈R 有()()()f a b f a f b +=+；当0a >时()0f a >；()21f =．求:（1）证明：()f x 是奇函数；（2）证明：()f x 在R 上单调递增；（3）若()()232f x f x +-<，求x 的取值范围．答案：以下四个题皆为函数方程入门问题，注意函数的特殊值和函数的性质．（1）可以解得()00f =，令b a =-可得函数为奇；（2）易证；（3）()42f =，从而()()234f x x f -<，由单调性可得234x x -<，解得()1,4x ∈-．例7.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：对任意,a b ∈R 有()()()f a b f a f b +=⋅，当0a >时，()1f a >，求：（1）求证：()01f =（2）判断()f x 的单调性，并证明；4（3）若()()221f x f x x ->，求x 的取值范围．答案：（1）令0a b ==可得()01f =或0，若()00f =，令0b =有()0f a =，与题目不符，从而()01f =；（2）易证函数为增函数；（3）由题可得()()230f x x f ->，从而230x x ->，解得()0,3x ∈．例8.设()f x 的定义域为{}0D x x =≠，满足以下条件：对任意a ，b D ∈有()()()f a b f a f b ⋅=+，当1x >时，()0f x >；（3）()21f =；求：（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在定义域上的单调性，并证明；（3）解不等式：()()23f x f x -->．答案：（1）由题可知()()110f f =-=，从而令1a =-，函数为偶函数；（2）易证函数在()0,+∞单调递增，在(),0-∞上单调递减；（3）可得()83f =，从而不等式可化为()()816f x f x >-，解得1616,22,97x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例9.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：对任意a 、b ∈R 都有()()()f ab f a f b =；当01x ≤<时，()01f x ≤<．③()11f -=，()279f =，求：（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并证明；（3）若0a ≥且()1f a +≤，求a 的取值范围．答案：（1）令1a =-可得函数为偶；（2）易证函数在()0,+∞上为增；（3）由题可得()2333f =，从而13a +≤解得[]0,2a ∈．【题型7对称性与周期性综合】例10.（1）函数()f x 的定义域为R ，若()()213f x f x ⋅+=，且()12f =，则()99f =___________；（2）函数()201138f x x ax bx =++-，且()210f -=，则()2f =______________；（3）函数()1f x +是R 上的偶函数，当01x ≤≤时，()1f x x =+，则()1.4f =___________；（4）函数()1f x +是奇函数，()1f x -是偶函数，且()02f =，则()4f =_______；答案：（1）将x 代为2x +，可得()()2413f x f x ++=，从而()()4f x f x =+，则()()139932f f ==；5（2）由题()8f x +为奇函数，从而()()()2828f f +=--+，解得()226f =-；（3）由题可得()()11f x f x +=-+，令0.4x =可得()()1.40.6 1.6f f ==；（4）由()1f x +为奇函数可得()()11f x f x +=--+，由()1f x -为偶函数可得()()11f x f x -=--，将x 代为2x +可得()()13f x f x +=--，从而有()()31f x f x --=-+，从而函数的周期为4，()()402f f ==．三、直通高考例11.（2016上海）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A ．和均为真命题B ．和均为假命题C ．为真命题，为假命题D ．为假命题，为真命题答案：D ．若()0.1f x x =-，()g x x =，则相加为增函数，用类似的方法可以将f ，g ，h 分为三段，每个函数在其中一段上单调递减，从而①为假命题；由题中三个函数相加可得()2f g h ++为周期为T 的函数，从而f g h ++周期为T ，令f g +周期为T ，从而f g --周期为T ，与f g h ++相加可得h 的周期为T ，同理可得②为真．。
【智博教育原创专题】抽象函数经典习题
抽象函数解题策略1.若函数(21)f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,则函数2(log )f x 的定义域为 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.若*(1)()1()f n f n n N +=+∈且(1)2f =，则(100)_____f =1023.定义R 上的函数()f x 满足()()(),(9)8f xy f x f y f =+=，则_____f=4.已知()f x 是定义在R 上的函数，(1)1f =,且对任意x R ∈都有(5)()5,(1)()1f x f x f x f x +≥++≤+，若()()1g x f x x =+-,则(2002)_____g =1 【解析】由()()1g x f x x =+-,得()()1f x g x x =+-，而(5)()5f x f x +≥+，所以(5)(5)1()15g x x g x x +++-≥+-+, 又(1)()1f x f x +≤+，所以(1)(1)1()11g x x g x x +++-≤+-+，即(5)(),(1)()g x g x g x g x +≥+≤，所以()(5)(4)(3)(2)(1)g x g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤+≤+，故()(1)g x g x =+，又(1)1g =,故(2002)1g =。
5.定义在区间(1,1)-上的减函数()f x 满足()()f x f x -=-。
若2(1)(1)0f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是_________0a <【解析】由2(1)(1)0f a f a -+-<得2(1)(1)f a f a -<-,得2202111111002111a a a a a a a a a <<⎧-<-<⎧⎪⎪-<-<⇒<<≠⇒<<⎨⎨⎪⎪-<<->-⎩⎩6.已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数,对正实数,x y ,都有()()()f xy f x f y =+成立，则不等式2(log )0f x <的解集是_________{}12x x << 【解析】令1x y ==，则(1)2(1)(1)0f f f =⇒=，则2222(log )(1)log 1log log 22f x f x x x <⇒<⇒<⇒<①，∵函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，2log 01x x ∴>⇒>②，由①②得，不等式的解集为{}12x x <<。
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经典习题11. 若函数(21)f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,则函数2(log )f x 的定义域为( ) A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12⎛ ⎝ D.12⎡⎢⎣2. 若*(1)()1(f n f n n N +=+∈),且f(1)=2,则f(100)的值是( )A ．102B ．99C ．101D ．100 3. 定义R 上的函数()f x 满足：()()(),(9)8,f xy f x f y f f =+==且则（ ） AB ．2C ．4D ．64. 定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。
若2(1)(1)0f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是___________________. 5. 已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都有:()()()f xy f x f y =+成立.则不等式2(log )0f x <的解集是_____________________. 6. 已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
7. 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ∙=+.(1)求(0),(1),(1)f f f -的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 8. 定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。
9. 已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ;(2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 10.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13f >.(1)求(0)f 的值; (2)求证:()f x 在R 上是单调减函数;(3)若0a b c >>>且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>. 11. 已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()(f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明:()f x 在R 上单调递减;(3)设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f ∙>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B =Φ,试确定a 的取值范围.12. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称.(1)求(0)f 的值;(2)证明: 函数()f x 是周期函数;(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足 条件的函数()f x 至少一个周期的图象. 13. 函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。
（1）证明：(1)0f =；（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。
14. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．（1）试判断函数()y f x =的奇偶性；（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数， 并证明你的结论1. B2. A3. A4.0a <<,解:由2(1)(1)0f a f a -+-<得,2(1)(1)f a f a -<-,得2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩⇒02021a a a a <<⎧⎪<≠⎨⎪-<<⎩⇒0a <<5. {}12x x <<；解：令1x y ==，则(1)2(1f f =(1)0f ⇒=，则2(l o g )(1)f x f <⇒222l o g 1l o g l o g 22x x x <⇒<⇒<………..①∵函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数 ∴2og 01l x x >⇒>,……………………………………………………②由①②得，不等式的解集为{}12x x <<。
6.a ≤；解：22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++等价于2222222222sin 33sin 311cos 32cos 205sin 1cos 1cos sin 14a x a x a a x a x a a x a x a a x x a a ⎧⎧⎧-≤-≤⎪-≤-⎪⎪⎪++≤⇒-≤-⇒-≤⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≥++--≥+⎩⎩⎪--≥⎩⇒1221122a a a a a ⎧⎪≤≤⎪-⎪≤⇒≤≤⎨⎪-⎪≤≥⎪⎩7. （1）解：令0a b ==，则(0)0f = 令1a b ==，则(1)2(1)(1)0f f f =⇒= （2）证明：令1a b ==-，则(1)2(1)f f =-，∵(1)0f =，∴(1)f -=令,1a x b ==-，则()(1)()()f x xf f x f x -=--=- ∴()f x 是奇函数。
（3）当0ab ≠时，()()()f a b f b f a ab b a ∙=+，令()()f x g x x=，则()()()g a b g a g b ∙=+故()()n g a ng a =，所以1()()()()n n n n n f a a g a na g a na f a -=∙==∴1(2)11()22n n n f u f n --⎛⎫==∙ ⎪⎝⎭∵()111(2)2,(1)(2)220222f f f f f ⎛⎫==∙=+= ⎪⎝⎭∴111(2)242f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()11122n n u n N -⎛⎫⎛⎫=-∙∈* ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()11122111212nn n s n N ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-∈* ⎪⎝⎭- 8. （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =-由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<39. 8.（1）解：令12m n ==，则1111()2()2222f f +=+1(1)2f ⇒=（2）∵1(1),2f =111(1)(1)()()()1222f n f f n f n f n +=++=++=+ ∴(1)()1f n f n +-=∴数列{}()f n 是以12为首项,1为公差的等差数列,故(1)(2)(3)...()f f f f n ++++=(1)22n n n -+=22n =(3)任取1212,,x x R x x ∈<且,则21211121112111()()[()]()()()()()22f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-++-=-+=211()02f x x -+>∴12()()f x f x <∴函数()f x 是R 上的单调增函数. 10.9.(1)解: ∵对任意x R ∈,有()f x >0, ∴令0,2x y ==得,2(0)[(0)](0)1f f f =⇒=(2)任取任取1212,,x x R x x ∈<且,则令112211,33x p x p ==,故12p p < ∵函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13f >∴1212121111()()()()[()][()]3333p p f x f x f p f p f f -=-=-0>∴12()()f x f x >∴函数()f x 是R 上的单调减函数. (3) 由（1）（2）知，()(0)1f b f >=，∴()1f b >∵[][]()()(),()()a cb b ac f a f b f b f c b f b b b ⎛⎫=∙==∙= ⎪⎝⎭∴[][]()()()()a c bbf a f c f b f b +=+>，而2a c b +>==∴2()f b >=∴()()2()f a f c f b +>11. (1)证明:令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=∙∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =,∵当0x >时,0()1f x <<∴当0x <时,0x ->,则(0)1()()()()1()()f f x x f x f x f x f x f x -+=-∙⇒==>-- (2)证明: 任取1212,,x x R x x ∈<且,则2121112111()()[()]()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=-∙-211[()1]()f x x f x =--∵210x x ->,∴0<210()1f x x <-<,故21()1f x x --<0,又∵1()0,f x >∴211[()1]()0f x x f x -->,故12()()f x f x >∴函数()f x 是R 上的单调减函数. (3) ∵{}{}2222(,)()()(1)(,)()(1)A x y f x f y f x y f x y f =∙>⇒+>由（2）知，()f x 是R 上的减函数，∴221x y +< ∵B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈}=(){},20,x y ax y a R -+=∈又∵A B = ∅，∴方程组22120x y ax y ⎧+<⎨-+=⎩无解，即直线22201ax y x y -+=+<与单位圆的内部无公共点1≥⇒23a ≤⇒-a ≤≤a 的取值范围是a ≤≤12. (1)解:∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-,令0,x =则(0)(0)f f -=- ∴(0)f =0(2)证明: ∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-,∵()f x 的图象关于直线1x =对称, ∴对任意,x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-,∴ 用1x +代x 得,(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=-∴[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x ++=-+=--=,即(4)()f x f x +=∴()f x 是周期函数,4是其周期. (3)当[)1,3x ∈-时，(11)()2(13)x x f x x x -≤≤⎧=⎨-+<<⎩当4141k x k -≤≤+时，()4f x x k =-，k Z ∈ 当4143k x k +<<+时，()24f x x k =-+-，k Z ∈ ∴4(4141)(),24(4143)x k k x k f x z R x k k x k --≤≤+⎧=∈⎨-+-+<<+⎩图象如下：yx13. (1)证明：令1x y ==，则(11)(1)(1)f f f ⨯=+，故(1)0f = （2）∵(2)1f =，令2x y ==，则(22)(2)(2)2f f f⨯=+=， ∴(4)2f =()(3)2f x f x +-≥⇒22[(3)](4)(3)(4)3414f x x f f x x f x x x -≥⇒-≥⇒-≤⇒-≤≤∴()(3)2f x f x +-≥成立的x 的取值范围是13x -≤≤。