最新二次根式最常见题型(答案)

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二次根式考试题型汇总

二次根式考试题型汇总二次根式题型一：二次根式的定义例1、（1）求自然数n的值，使得18-n是整数。

2）当x≥-1时，求式子√(x+1)+√(1-x)的值。

题型二：二次根式有意义的条件例2、当x>-1时，二次根式√(x+1)有意义。

例3、已知x、y为实数，y=√(y^2+8y+16-3xy)，求y的值。

例4、已知y=√(x-3)+3-√(x+4)，求x的值使得有意义。

题型三：二次根式的性质与化简例5、已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：化简(1/(a+3))^2-(1/(b-23))^2.例6、计算(1/(x-1))-((1-x)/(x-1)(x+1))。

已知a、b、c为正数，d为负数，化简(ab-c^2d^2)/(ab+cd)^2.例7、化简求值：1）(a^2-a+b)/((c-a)^2+b+c)；2) 11/[(2-1)/(2+1)+(2-1-√2)/(2-1+√2)]；3）若x<y<z，则x^2-2xy+y^2+z^2-2yz+xz；4）[(x-1)^2+4-(x+1)^2]/(x^2-1)；5）化简(a<0)得-1/(a)。

6）当a<0，b<0时，-a+2ab-b可变形为(a-b)^2.题型四：最简二次根式例8、下列式子中，属于最简二次根式的是9，而1/√3和√(9+x^2)都不是最简二次根式。

题型五：二次根式的乘除法例9、已知m=(3/3-2)(3/3+2-1)，则有-5<m<-4.例10、计算：1）(5-3+2)(5-3-2)；2) (a+3b)/(a+b)-(a-b)/(a+2b)；3）(a^2/n-m^2/mn+n)/(a^2b^2)；4）(a+b)/(ab+b-a)/(ab-a).a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)2013答案解析：a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)2013解析：a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)20131.求解x的值：$$\frac{x+a}{x^2+a^2}+\frac{2x-x^2+a^2}{x^2-a^2}+\frac{1}{x^2+a^2/2}$$2.若x，y为实数，且$y=1-4x+4x^{-1}+x^{-2}$，求$\frac{x+y}{y+x^2}-2\frac{y}{yx^2}$的值。

初一数学二次根式试题答案及解析

初一数学二次根式试题答案及解析1.一个数的算术平方根是，则这个数是_____ _____．【答案】2．【解析】∵一个数的算术平方根是，∴这个数为（）2=2．故答案是2．【考点】算术平方根．2. 9的平方根是（）A．3B．±3C．D．81【答案】B【解析】根据平方根的定义可判断．【考点】平方根3. 49的算术平方根是．【答案】7【解析】根据算术平方根的意义可求.【考点】算术平方根4.的平方根为（）A．B．C．3D．【答案】B．【解析】由于=3，故其平方根是．故选B．【考点】平方根．5.在3.14，中，无理数有（）个A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】Ｂ.【解析】有限小数、整数、分数都属于有理数，故３.１４，，＝＝２都是有理数，开不尽方的平方根，圆周率都是无限不循环小数，所以是无理数.故选B.【考点】实数的分类.6.下列说法中正确的是（）A．立方根是它本身的数只有1和0B．算术平方根是它本身的数只有1和0C．平方根是它本身的数只有1和0D．绝对值是它本身的数只有1和0【答案】B.【解析】A．立方根是它本身的数除去1和0外，还有-1，故该选项错误；B．算术平方根是它本身的数只有1和0，故该选项正确；C．平方根是它本身的数只有1和0，故该选项错误；D．绝对值是它本身的数只有正数和0，故该选项错误.故选B.【考点】1.立方根；2.平方根；3.算术平方根；4.绝对值.7.下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】A选项正确，B、C、D选项错误.故选A.【考点】二次根式的化简.8.大于小于的所有整数的和是 .【答案】-4.【解析】求出和的范围，求出范围内的整数解，最后相加即可．∵-5＜＜-4，3＜＜4，∴大于小于的所有整数为-4，±3，±2，±1，0，∴-4-3-2-1+0+1+2+3=-4，【考点】估算无理数的大小．9.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A.，故本选项错误；B.，故本选项错误；C.，表示25的算术平方根是5，故本选项错误；D.，故本选项正确，故选D．10.下列说法正确的是（）A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B．一个数的立方根与这个数同号C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D．一个数的立方根是非负数【答案】B【解析】一个数的立方根只有一个，A错误;一个数有立方根，但这个数不一定有平方根，如，C错误;一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，所以D是错误的，故选B.11.已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值.【答案】9【解析】解：因为2a－1的平方根是±3，所以2a－1=9，解得因为3a＋b－1的算术平方根是4，所以3a＋b－1=16.又所以故a＋2b=9.12.在－4，，0，π，1，，这些数中，是无理数的是．【答案】π．【解析】无理数有：π．故答案为：π．【考点】无理数．13.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9，那么图中阴影部分的面积为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设两个正方形的边长是x、y（x＜y），得出方程x2=4，y2=9，求出x=2，y=3，代入阴影部分的面积是（y﹣x）x求出即可．解：设两个正方形的边长是x、y（x＜y），则x2=4，y2=9，x=2，y=3，则阴影部分的面积是（y﹣x）x=（3﹣2）×2=2，故选B．点评：本题考查了算术平方根性质的应用，主要考查学生的计算能力．14.若（x－1）=64，则x=______。

专题01 二次根式的性质与化简(题型与解法)(解析版)

专题01 二次根式的性质与化简二次根式的性质与化简问题，是第16章二次根式这一章重难点内容，极易出现关于二次根式的计算或者含参数计算的易错题，解决此类题型有何方法？来看本节内容在二次根式的化简与求值问题中，关键是化简，化简过程中一定要结合已知条件。

解决此类问题需要关注以下三个步骤：步骤一:分析要化简的代数式所需的关键要素，如被开方式能否配方、被开方式的符号能否确定等；步骤二:分析已知条件经过变形以后,是否能提供步骤一中所需的条件；步骤三:利用二次根式的性质进行化简,再代入求值.题型1：利用二次根式性质的化简 (2)题型2：二次根式含参数问题 (5)题型3：二次根式的“配完全平方”的化简 (6)题型4：二次根式的运用...................................................................................................................12题型1：利用二次根式性质的化简1．设x 、y 为实数，且4y =+ ）A ．3B ．3±C ．9D ．9±【解答】解：根据题意可得:5050x x -³ìí-³î，解得：5x =当5x =时， 4.y =3==故选A.【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数是非负数．2．若a ，b 为实数，且4b =，则a b +的值为（）A ．13-B ．13C ．5-D ．5【解答】解：由题意，得90a -³，90a -³，解得9a =，当=9a 时，4044b ==+=，∴9413a b +=+=．故选：B ．3．设x 、y 为实数，且2y =+，则x y -的值是（）A ．1B ．5C ．2D ．0【解答】解：根据题意得：3030x x -³ìí-³î，解得：3x =，则2y =．∴321x y -=-=．故选：A ．4．已知实数aA ．23a -B ．1-C ．1D ．32a-【解答】解：由图知：12a <<，10a \->，20a -<，原式2[1123]2a a a a a =--=---+--=（）（）．故选：A5．实数a ，b 在数轴上位置如图所示，则化简代数式：a =_____．【解答】解：由数轴可得：0<a ，b a >，<0a b \-a \-()a b a =--+b =，故答案为：b ．6．实数a 、b 的结果是___________．【解答】解：根据图形可得，2112a b -<<-<<，，∴10a +<，10b ->，0a b -<()()()11a b a b -+-+=+-11a b a b =--+-+-2=-．7．如果2y =，那么y x 的值是______．【解答】解：∵2y =，∴150,150x x -³-³，∴15150x x -=-=，∴15,2x y ==，∴215225y x ==；故答案为：225．8．实数a 、b ______．【解答】解：由数轴可得：a<0，0b >，a b >，∴0a b +<，+()a b a b =---+a b a b =----22a b =--．故答案为：22a b--【点睛】本题考查了数轴、绝对值的意义、二次根式的性质和化简，正确得出a ，b 的取值范围是解本题的关键．9．已知x ，y 是实数，且4y =，则x y -=______．【解答】解：∵4y =，∴30x -³，30x -³，∴3x =，将3x =代入4y =，得：4y =-，∴()34347x y -=--=+=．故答案为：7．10．已知23x <<，则化简22-=______．【解答】解：∵23x <<，∴20,40,50x x x -<-<->，∴22-=245x x x -+-+-245x x x =--++-7x =-，故答案为：7x -．【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，化简绝对值，整式的加减，掌握二次根式的性质是解题的关键．11．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点位置如图：(1)用“＜”连接0，a ，b ，c 四个数；(2)化简：①||||a c c b -+-；②a ．【解答】（1）解：由图可知：0c a b <<<．（2）解：①∵0c a b <<<，∴0,0a c c b ->-<，∴()()||||2a c c b a c c b a c c b a b c -+-=---=--+=+-；②∵0c a b <<<，且a b <，∴0,0a b c a +>-<，∴()()a a b c a a b c a b c =+--=++-=+．【点睛】本题考查有理数大小比较、数轴、绝对值，二次根式的化简，合并同类项，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数轴的知识解答．12．设a ，b ，c 为ABC V 【解答】解：根据a ，b ，c 为ABC V 的三边，得到0a b c ++>，0a b c --<，0b a c --<，0c b a --<，则原式a b c a b c b a c c b a =+++--+-----a b c b c a a c b c b a =++++-++-+--4c =．【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，根据三角形三边的关系确定出各式的符号是解本题的关键．题型2：二次根式含参数问题1．若a<0 ）A ．B ．-C ．D ．-【解答】解：Q a<0，=-D ．2．实数a ，b 的值是（）A ．ab -B ．abC ．ab ±D ．a b【解答】解：由题意得00b a <>，()a b ab =-=-g ，故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是根据数轴判断出a ，b 正负．3．已知0xy >，化简二次根式-A B C ．D ．【解答】解：由二次根式有意义的条件可得：20x y³，∵0xy >，∴0x >，0y >，∴y y -=-=-=故选：C.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的(0)(0)a a a a a ³ì==í-<î．4．化简(1a -的结果是（）A C ．D 【解答】解：∵(1a -∴10a ->，则1a >，∴10a -<∴(1a -==B ．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式有意义的条件、二次根式的除法公式和分母有理化是解题关键．5．已知a b < ）A ．-B ．-C ．D ．【解答】解：由题意，得：30a b -≥，∴30a b £，∵a b <，∴0a £==-A ．【点睛】本题考查二次根式的化简．熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．6．若0x <A ．B ．-C ．D ．-【解答】解：0x <Q ，==-D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．7．把 ___．【解答】解：==故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．8．ABC V 的三边长分别为1、k 、3，则化简7-3=﹣_____．【解答】解：∵ABC V 的三边长分别为1、k 、3，∴24k <<，∴23>0k -，290k -<，∴73-()723k =--()79223k k =---+ 10292k k =--+ 1=．故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，绝对值的化简，二次根式的化简，掌握“二次根式的化简方法”是解本题的关键．题型3：二次根式的“配完全平方”的化简1小红对式子进行计算得：第11==；第2==根据小红的观察和计算，她得到以下几个结论：①第8；②对第n 个式子进行计算的结果1001；④将第n 个式子记为n a ，令1n n b a =，且229199575n n n n a a b b ++=，则正整数15n =．小红得到的结论中正确的有（）A ．1个B ．2个C【解答】由题可知，第n ===，故②正确；那么第83=-3===-，故①正确；第100则前100个式子的和为：11-+=-……，故③正确；令1,n n a x b x ==，则229199575n n n n a a b b ++=可化为22119199575x x x x +×+=2219(556x x +=因为n n a b ====所以2219()556x x +=可化为： 229556éù+=êúëû若15n =，则229556éù+¹êúëû，故④错误．综上所述，①②③正确．故选：C【点睛】此题考查二次根式的规律，解题关键是将此数式的通式直接写出来，同时化简时需要分母有理化．2个问题，并得到一些结论，其中正确的有_________________．①a +a 的变化而变化，当2a =时，此代数式有最小值2；②在2a <的条件下化简a +2；③当a +a 的取值范围是3a £；④=，则字母a 必须满足3a ³．【解答】解：∵a +a =2a a =+-∴代数式有最小值随随a 的变化而变化，当2a <时， 222a a a a +-=+-=，当2a >时，2222a a a +-=->，当2a =时，22a a +-=，∴2a ³，故①和②正确，∵3a a a =+-，当3a £时，333a a a a +-=+-=，当3a <时，3233a a a +-=->，故③正确；∵()230a -³，故无论a =故④错误，故答案为：①②③．3．已知2022a =，则22022a -=__________．【解答】解：∵2022a =有意义，∴20230a -³，即2023a ³，∴2022a a -+=，2022=，∴220232022a -=，∴220222023a -=，故答案为：2023．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确得到2023a ³是解题的关键．4．化简：21)-+的结果是___．【解答】解：21)+51=+-62)=-64=-2=故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．5．设a ，b 是整数，方程20x ax b ++=a b +=___________．【解答】3===，∴把3代入方程有((2330a b ++=，整理得(11360a b a ++-+=，∵a ，b 是整数，∴113060a b a ++=ìí+=î，解得67a b =-ìí=î，∴671a b +=-+=．故答案为：1【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由a ，b 是整数就可以求出a ，b 的值．64+=，则1a a-的值是________【解答】4=，∴216=，∴1216a a ++=∴114a a +=，∴2221114144192a a a a a a æöæö-=+-×=-=ç÷ç÷èøèø，∴1a a-=±故答案为：±．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．7．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析【提出问题】已知01x <<的线段，将代数求和转化为线段求和问题．【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD ，P 为BC 边上的动点．设BP x =，则1PC x =-．则=______+______的线段和；(2)在（1）的条件下，已知01x <<(3)【解答】（1AP DP =+的线段和；（2）作点D 关于BC 的对称点D ¢，连接AD ¢，则112DD ¢=+=，则AP PD +的最小值即为AD ¢的长，在Rt ADD ¢△中，由勾股定理得，AD ¢=，（3=，如图，3AB =，1CD =，6BC =，AB BC ^，CD BC ^，设BE x =，AE DE =-，\当点A 、D 、E 三点共线时，AE ED -的最大值为AD ，延长AD ，BC 交于E ，作DH AB ^于H ，可得2AH AB BH AB CD =-=-=，6DH BC ==，由勾股定理得，AD ===．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题．8．阅读下面的材料，并解决问题．1=-；=；¼(1)= ．(2)观察上述规律并猜想：当n = ．（用含n 的式子表示，不用说明理由）(3)请利用（2）的结论计算：①1)´= ；②1)´．【解答】（12=（2==1)=+11)=+1)=-4=；②1)´11)=+´1)1)=´2020=．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、平方差公式、分母有理化是解题的关键．题型4：二次根式的运用1．已知x y ==+ ）A B ．34C 1D【解答】解：∵x y ==∴x y x y +==-==-，===C ．【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．2．若()210x y -+=A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵()210x y -+=，()2100x y -+³³，∴()2100x y -+==，∴102100x y x y -+=ìí++=î，解得43x y =-ìí=-î，===D【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法、算术平方根的非负性、算术平方根的求法，根据非负数的性质得到方程组是解题的关键．3．“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如223=-=，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令nA=n为非负数），则()()22m nA A A A m n+-==-=-；1nmA A==+．则下列选项正确的有（）个①若a是7A的小数部分，则3a2；②若54544b cA A A A-=-+（其中b c、为有理数），则15bc=-；2=6=④12233420222023111112324320232022A A A A A AA A++++=++++LA．4B．3C．2D．1【解答】解：由题意得7A=∵479<<，∴23<<，∴2a=-，∴32a====+，故①错误；∵54544b cAA A A-=+-+4=+，4=4=+，)()24b c b c-++=+，∵b c、为有理数，∴82b cb c-=ìí+=î，∴53bc=ìí=-î，∴15bc=-，故②正确；2=，∴2=+∴()1022n nA A+-=-，∴1022n n A A ++=-，6=，故③正确；====∴1223342022202311112324320232022A A A A A A A A ++++++++L=-+L =故选B ．【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，平方差公式的应用，无理数的估算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．4．对于有理数,a b ，定义{}min ,a b 的含义为：当a b <时，{}min ,a b a =．例如：{}min 1,22-=-．已知}min a a =，}minb =a 和b}min a 的值为________．【解答】解：∵}mina a =，}min b ，∴a b <<，∵a b <<，且a 和b 为两个连续正整数，45<<，∴45a b ==，，}min a ===5：若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，那么该三角形的面积为S =ABC V三边长分别为2，3ABC V 的面积是_________．【解答】解：∵ABC V又∵23+>c =，∴S ===3=．故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、有理数的乘方、二次根式性质、算术平方根，掌握二次根式的性质是解题的关键．6，同学们马上举手发言，小明站起来说：“老师，这道＝1”而老师却说小明错了，为什么呢？a 成立，必须具备条件0a ³，而1-0．正确的思路是先判断正负，然后开方：1=-，你看明白了吗？请你做一做下面的习题：(1)＝　　．2．(3)已知a，b ，c．【解答】（10>=；（221=+…1=-；（3）∵a ，b ，c 是三角形的三边，∴0a b c +->，0b a c --<，()2a b c a c b a b c a c b a =+-++-=+-++-=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，利用二次根式的性质化简是解题关键．7．【探究函数1y x x=+的图象与性质】(1)函数1y x x=+的自变量x 的取值范围是；(2)下列四个函数图象中，函数1y x x =+的图象大致是；(3)对于函数1y x x=+，求当0x >时，y 的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵0x >，∴1y x x=+22=+2=+______．∵20³，∴y ³____．【拓展说明】【解答】（1）解：∵1y x x =+，∴0x ¹，故答案为：0x ¹；（2）解：∵函数1y x x=+，∴当0x >时，0y >，当0x <时，0y <，故选：C ．（3）解：∵0x >，∴1y x x=+22=+22=+．∵20³，∴2y ³．故答案为：2，2；（4）解：∵0x >，∴25445x x y x x x-+==+-2241=+--21=-，∵20³，∴1y ³-．【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键．8．阅读下面问题：1==-；=；2==-．(1)(2)n 为正整数）；(3)+【解答】（1；（2==（3）解：原式1=L1=-101=-9=．【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．9．我们将、称为一对“对偶式”，因为22a b =-=-，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，因此二次根式除法可以这样解：==3==+分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，解答下列问题：(1)”、 “<”或“=”填空)；(2)已知x =y =的值；(3)【解答】（1====>，2>23+>>（2）解：22()x y x y x y xy xy x y --=++，∵x y -=3x y +==，1xy ==∴原式=（3=1=-+--+…+-1=-=【点睛】本题考查二次根式的化简求值，同时考查了完全平方公式的变形应用以及裂项法的应用，计算量较大．10．知识回顾我们在学习《二次根式》这一章时，对二次根式有意义的条件和性质进行了探索，得到了如下结论：I 0a ³．II ．二次根式的性质：①()20a a =³||a =．类比推广根据探索二次根式相关知识过程中获得的经验，解决下面的问题．(1)根式在实数范围内有意义的条件是，根式在实数范围内有意义的条件是；(2)写出n 3n ³，n 是整数）在实数范围内有意义的条件和性质．【解答】（1）解：2014Q 为偶数，\根式0a ³；2015Q 为奇数，\根式a 为任意实数，故答案为：0a ³；a 为任意实数；（23n ³，n 是整数）有意义的条件：当n 为偶数时，0a ³；当n 为奇数时，a 为任意实数．3n ³，n 是整数）的性质：当n 为偶数时，①()0n a a =³当n 为奇数时，①n a =a =．【点睛】本题考查了数字类规律探究，解题关键是熟练掌握二次根式和乘方的相关知识．11．在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．小梦：如果一个三角形的三边长a ，b ，c 满足2222a b c +=，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如ABCV2，因为22222+=´，所以ABC V 是“类勾股三角形”．小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！根据对话回答问题：(1)判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”）(2)已知ABC V 的其中两边长分别为1ABC V 为“类勾股三角形”，则另一边长为___________；(3)如果Rt ABC △是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x ，y ，z （x ，y 为直角边长且x y <，z 为斜边长），用只含有x 的式子表示其周长和面积．【解答】（1）解：设等边三角形三边长分别是a ，b ，c ，则a b c ==，∴2222a b c +=，∴等边三角形是“类勾股三角形”，∴小璐的说法正确，故答案为：正确；（2）解：设另一边长为x ，①22212x +=，解得2x =，符合题意；②22212x +=，解得x =③2221x +=，无解；故答案为：2（3）解：∵x y z <<，∴222x y z <<，∴2222y z x +>，2222x y z +<，∴2222x z y +=，∵222x y z +=，∴2223y z =，∴2213x z =，∴z =，y =，∴周长为：(1x ，面积为：212xy x =．【点睛】本题考查勾股定理，理解题目中的新定义及掌握勾股定理是解题关键．12．老师就式子39´+-W d ，请同学们自己出问题并解答．(1)小磊的问题：若W 代表2(2)-，d 代表3(3)-，计算该式的值．(2)小敏的问题：若W d a 的值．(3)小捷的问题：若394´+-<W d ，且W 和d 所代表的数是互为相反数，直接写出W 所代表的数的取值范围．【解答】（1）解：由题意，得()()233293´-+--34927=´++12927=+-48=；（2）解：由题意得9+-∵计算的结果是有理数，∴=∴45a =；（3）解：设口所代表的有理数为y ，则〇所代表的有理数为y -，则39()4y y +--<，解得54y <-，\口所代表的数的取值范围为54<-□．13==，．请回答下列问题：(1)观察上面的解答过程，请写出 = ；(2)请你用含n （n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；(3)利用上面的解法，请化简：......====．（2）解：观察前面例子的过程和结果得：=（3............=+......=1=-+110=-+9=．14．已知实数x 、y 满足8y =．(1)求x 与y 的值；(2)符号*表示一种新的运算，规定a b *x y *的值．【解答】（1）解：Q 实数x 、y 满足8y =+，5050x x -³ì\í-³î5x \=，8y \=；（2）解：根据新的运算，可得：x y *=====【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，利用二次根式的性质化简及运算，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．15．先阅读下面的材料，再解答下列问题．∵a b =-， ∴a b -=．例如：1=Q ，=这种变形叫做将分母有理化．利用上述思路方法计算下列各式：(1))...1++´(2)【解答】（1）)...1+´1...1=+´）))11=´20231=-2022===(()543=++=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的分母有理化是解题的关键．16．课本再现（1）方程()200ax bx c a ++=¹的求根公式为x =，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系．即方程的两个根为1x ，2x 满足：①12b x x a+=-；②12c x x a =．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请你选择其中一个结论进行证明；知识应用（2）已知一元二次方程22310x x --=的两根分别为m 、n ，求22【解答】解：（1）∵方程()200ax bx c a ++=¹的求根公式为x =且方程的两个根为1x ，2x ，∴1b x a=-，12x x =()22244b b ac a --=22244b b ac a -+=244aca =c a=；（2）∵元二次方程22310x x --=的两根分别为m 、n ，∴3122m n mn +==-，，∴()22313224m n mn mn m n æö+=+=´-=-ç÷èø．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，公式法解一元二次方程，二次根式的乘法和加法，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．【解答】解：第1个数：当1n =时，n n ùú-úû==1=．第2个数：当2n =时，n n ùú-úû22ùú=-ú=1=1=．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．。

清单05 二次根式全章复习(3个考点梳理+11种题型+10类型)(解析版)

清单05二次根式全章复习（3个考点梳理+10种题型+10类型）考点一二次根式的相关概念二次根式的概念：一般地，我们把形如（≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义.最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.【考试题型1】二次根式有意义的条件1．（20-21九年级上·吉林长春·在实数范围内有意义的条件是．x的值．2．（2023·浙江杭州·1．（22-23七年级下·广东汕头·m的最小值是（）A．2B．3C．8D．11∴12m -是完全平方数，当120m -=时，即12m =，当121m -=时，即11m =，当124m -=时，即8m =，当129m -=时，即3m =，综上所述，自然数m 的值可以是3、8、11、12，所以m 的最小值是3，故答案选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．2．（22-23八年级下·福建莆田·开学考试）若实数a ，b 4b +，则a b -=．3．（20-21七年级下·广东广州·期中）若()230a -+=，则a b -的立方根是．【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性以及求立方根，得到30a -=，50b +=是解题的关键．4．（20-21八年级上·四川达州·期中）已知a ，b 0b =（1）a=_______，b=______（2）把a ，b 的值代下以下方程并求解关于x 的方程()221a xb a ++=-1．（23-24八年级上·上海青浦·）ABC D2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（）A=B =C =D 10=（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·是同类二次根式，则=a ．【答案】5-【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二1．（23-24九年级上·四川宜宾·a 的值可能是（）A ．16B ．0C ．2D ．任意实数2．（22-23九年级上·四川遂宁·是同类二次根式，则m 的值为（）A ．4m =B ．3m =C ．5m =D ．6m =3．（22-23八年级下·山东泰安·是最简二次根式，则m，n的值为（）A．0，1-B．1-，0C．1，1-D．0，04．（21-22八年级下·江西赣州·期中）若考点二二次根式的性质与化简二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．a =•（≥0，≥0）（≥0，＞0）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【考试题型5】利用二次根式的性质化简【类型一】数形结合法1．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简2a b b c --+．【答案】a-【分析】本题考查了数轴的定义、二次根式的运算、绝对值运算．观察数轴可得0c b a <<<，从而得到0,0,0a b c a b c ->-<+<，再根据二次根式的运算、绝对值运算计算即可．【详解】解：观察数轴得：0c b a <<<，2．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图所示：(1)若5x =-，y =x 对应的点与z 对应的点恰好关于y 对应的点对称，求z 的值．(2)2+3．（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）已知实数x ，y ，z 在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【类型二】估值法方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围.1．（2023·重庆·(最接近的整数是（）A ．7B ．8C ．9D ．10A ．5m <-B ．54m -<<-C ．43m -<<-D ．3m >-3．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）若a ，则a 的值所在的范围为（）A ．2a ≥B ．2a >C ．12a <<D ．01a <<【类型三】公式法方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解.1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知2M=，2N，则M与N的关系为（）A．相等B．绝对值相等C．互为相反数D．互为倒数2．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）计算题：；(2)【类型四】换元法方法简介：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解.1．（19-20八年级上·福建泉州·期中）若ab＝1，我们称a与b1与1互为倒数：方法一：∵)22111211+-=-=-=1+1互为倒数．()2211111211⋅--====--111互为倒数．(1)互为倒数；(2)若()21x x -=，求21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)利用“换元法”求((101022⨯的值．＝1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质是，选择合适的解题途径，往往能事半功倍．【类型五】拆项法【类型六】整体代入法方法简介：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入.1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知x =2(8x x -+的值．2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知33a b ==-求下列各式的值：(1)a b +和ab ；(2)22a ab b ++．22(1)223x xy y ++(2)x y y x +【类型七】因式分解法【类型八】配方法1．（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料：材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）1===-．材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：(2222311x x x++=+++=+，(20x+≥，(211x∴+≥，即231x++≥．23x∴++的最小值为1．阅读上述材料解决下面问题：_______=______；(2)求211x++的最值；(3)2-2．阅读材料：材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,1材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式,利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：2222321(x 1x x x ++=+++=+∵2(0x ≥，∴2(11x ++≥，即231x ++≥∴23x ++的最小值为1阅读上述材料解决下面问题：（1=，=；（2）求211x ++的最值；（3）已知x =221(41)54x y xy -++-的最值．【类型九】辅元法【类型十】先判断后化解解题的关键．【考试题型6】分母有理化1．（新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题）在进样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：行二次根式化简时，我们有时会碰上如1==；====．以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题：(1)利用你观察到的规律，化简L(2)2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）【阅读材料】（材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律．22212OA =+=，112S =（1S 是12RtA A O △的面积）；22313OA =+=，22S =（2S 是23Rt A A O △的面积）；22414OA =+=，32S =（3S 是34Rt A A O △的面积）；．==【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题：(1)填空：100S =_________，11OA =_________；(2)求11111S S S S S S S S S S +++++++++的值．3．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）阅读下列解题过程：1⨯-()()221⨯===-请回答下列问题：(1)=______()2n≥．(2)利用上面所提供的解法，请化简：+(3)模仿上面所提供的解法，试一试化简：+考点三二次根式的运算乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：a =•（≥0，≥0）.除法法则：=加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.【口诀】一化、二找、三合并.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.【分母有理化方法】==2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.==混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．【考试题型7】二次根式的乘除运算1．（2024·陕西西安·三模）计算：)()02252π---2．（23-24八年级下·安徽铜陵·00)b ⎛÷⨯>> ，3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：(1)÷；()0,0x y ⎫÷>>⎪⎪⎭．1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：((-．2．（23-24八年级下·广东阳江·期中）已知b=-，求22a=+，11a b+的值．3．（23-24八年级下·北京海淀·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．设a=b=(1)直接写出a b+和ab的值：a b+=______，ab=______；(2)求1111sa b=+的值．2．（23-24九年级下·山东烟台·期中）计算：(2)3．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）（1）先化简，再求值：111a a -⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，其中，2a =．1．（23-24八年级下·浙江金华·的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化()22==；()()2232++====+--．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化21===()222111+-==．根据上述知识，请你解答下列问题：(1)(2)的大小，并说明理由．2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形A，B的面积分别为25cm和27cm，现将正方形A的边长分别增加2cm和3cm得到矩形甲；将正方形B的边长都增加2cm得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小．【答案】矩形甲的面积小于矩形乙的面积．【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）观察下列等式：1==-；==；==；……像)221-=()0a a =≥，)()1110b b -=-≥，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．11，与-答下列问题：(1)化简：(2)=___________（n为正整数）．(3)计算：)1+ =___________；(4)已知a==b试比较a、b的大小，则a___________b．（填“<”“>”或“=”）1．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足t=（不考虑风速的影响）．(1)从30m高处抛下的物体落地所需的时间1t=s；从60m高处抛下的物体落地所需的时间2t=s(2)2t是1t的多少倍？(3)若从高空抛下的物体经过4s落地，则该物体下落的高度是多少？2．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为218dm 和232dm 的两块正方形木板．(1)截出的两块正方形木板的边长分别为______dm ，______dm ；(2)求剩余木板的面积；(3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm 、宽为1.2dm 的长方形木条，最多能截出______个这样的木条． 1.414≈）3．（23-24八年级下·广东东莞·期中）小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务，的面积；(1)请根据思路1的公式，求ABC(2)请你结合思路2，在如图所示的网格中（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点），完成下列任务，，要求三个顶点都在格点上；①画出ABC面积的计算过程．②结合图形，写出ABC②过点A 作AD CB ⊥∴4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足公式t 10N /kg g ≈）(1)求从45m 高空抛物到落地的时间；(2)已知高空拋物动能（单位：J ）10=（单位：N /kg ）⨯物体质量（单位:kg ）⨯高度（单位：m ），某质量为0.2kg 的玩具在高空被抛出后经过4s 后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要65J 的动能）5．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=（不考虑风速的影响）．(1)从50m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间1t，从100m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间2t，那么2t是1t的多少倍？(2)从足够高的高空抛出物体，经过1.5s，所抛物体下落的高度是多少？6．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题：(1)具体运算，发现规律：131711122236=+==+=⨯⨯11313412=+=⨯，…计算：=(2)观察归纳，写出结论=（1n ≥且n 为正整数）(3)灵活运用，提升能力请利用你所发现的规律，。

初二数学二次根式试题答案及解析

初二数学二次根式试题答案及解析1.计算（1）（2）【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）根据二次根式有意义的条件得到-（a+2）2≥0，得到a=-2，然后把a=-2代入原式进行计算．试题解析：（1）原式===（2）∵-（a+2）2≥0，∴a=-2，原式==3-5+4=2．【考点】二次根式的混合运算．2.计算：【答案】.【解析】先进行二次根式的乘法运算得到原式=3﹣3+2+2+1，然后合并即可．试题解析：原式=3﹣3+2+2+1=.【考点】二次根式的混合运算.3.化简的结果是（）A．-3B．3C．±3D．【答案】B．【解析】.故选B．【考点】二次根式化简.4.下列变形中，正确的是………（）A．(2)2＝2×3＝6B．C．D．【答案】D.【解析】A、(2)2＝4×3＝12，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，正确.故选D.【考点】二次根式的化简与计算.5.当1≤x≤5时，【答案】4．【解析】根据x的取值范围，可判断出x-1和x-5的符号，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简．试题解析：∵1≤x≤5，∴x-1≥0，x-5≤0．故原式=（x-1）-（x-5）=x-1-x+5=4．考点: 二次根式的性质与化简．6.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于（）A．2B．8C．D．【答案】D．【解析】由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是．故选D．【考点】算术平方根．7.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】根据根式运算法则.不是同类项不能合并同类项【考点】根式运算.8.=________________．【答案】6【解析】由题, .,由题, .【考点】二次根式的化简.9.函数中自变量x的取值范围是．【答案】x≥4【解析】二次根式有意义的条件：二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义．由题意得，．【考点】二次根式有意义的条件点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次根式有意义的条件，即可完成.10.的平方根是（）A．4B．±4C．±2D．2【答案】C【解析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根.，平方根是±2，故选C.【考点】平方根点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平方根的定义，即可完成．11.函数y=中，自变量x的取值范围是。

二次根式最新题型归纳总结

二次根式必考点归纳总结必考点一二次根式的概念掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．例题1 下列式子一定是二次根式的是（） A ．√−x −2B ．√xC ．√a 2+1D ．√x 2−2【解析】根据二次根式的定义可得√a 2+1中得被开方数无论x 为何值都是非负数，选C ．变式1 在式子√x2（x ＞0），√2，√y +1（y ＝﹣2），√−2x （x ＞0），√33，√x 2+1，x +y 中，二次根式有（） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】√x2（x ＞0），√2，√x 2+1符合二次根式的定义．√y +1（y ＝﹣2），√−2x （x ＞0）无意义，不是二次根式．√33属于三次根式．x +y 不是根式．选B ．变式2 在式子√π−3.14，√a 2+b 2，√a +5，√−3y 2，√m 2+1，√|ab|中，是二次根式的有（） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【解析】在所列式子中是二次根式的有√π−3.14，√a 2+b 2，√m 2+1，√|ab|这4个，选B ．变式3 下列各式中①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得．【解析】①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的是③④⑤，选C ．必考点二二次根式有意义的条件（求取值范围）对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零．例题2 若式子√m−1m−2在实数范围内有意义，则m 的取值范围是（） A ．m ≥1B ．m ≤1且m ≠2C ．m ≥1且m ≠2D ．m ≠2【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．【解析】∵√m−1m−2在实数范围内有意义，∴{m −1≥0m −2≠0，解得m ≥1且m ≠2．选C ．变式4 要使√2x −113−x有意义，则x 的取值范围为（） A ．12≤x ≤3B ．12＜x ≤3C ．12≤x ＜3D ．12＜x ＜3【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解析】要使√2x −11√3−x 有意义，则2x ﹣1≥0，3﹣x ＞0，解得：12≤x ＜3．选C ．变式5 若使式子√2−x ≥√x −1成立，则x 的取值范围是（） A ．1.5≤x ≤2B ．x ≤1.5C ．1≤x ≤2D ．1≤x ≤1.5【解析】由题意可得：{2−x ≥0x −1≥02−x ≥x −1，解得：1≤x ≤1.5．选D ．变式6 等式√a−3a−1=√a−3a−1成立的条件是（）A ．a ≠1B ．a ≥3且a ≠﹣1C ．a ＞1D ．a ≥3【分析】观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a 的范围【解析】∵等式√a−3a−1=√a−3a−1成立，∴{a −3≥0a −1＞0，∴a ≥3．选D ．必考点三次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）对于解决此类型题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负数进行求解即可. 例题3 已知，x 、y 是有理数，且y =√x −2+√2−x −4，则2x +3y 的立方根为．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后计算出2x +3y 的值，进而得立方根．【解析】由题意得：{x −2≥02−x ≥0，解得：x ＝2，则y ＝﹣4，2x +3y ＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．所以√−83=−2．【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．变式7 若a ，b 为实数，且b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，则a +b 的值为（） A ．﹣1 B ．1C ．1或7D ．7【解析】∵b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，∴a 2﹣9＝0且a +3≠0，解得a ＝3，b ＝0+4＝4，则a +b ＝3+4＝7．选D ．变式8 已知√2x +y −3+√x −2y −4=√a +b −2020×√2020−a −b ，（1）求a +b 的值；（2）求7x +y 2020的值．【分析】（1）根据二次根式有意义即可求出答案．（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组求出x 与y 的值即可求出答案．【解析】（1）由题意可知：{a +b −2020≥02020−a −b ≥0，解得：a +b ＝2020．（2）由于√a +b −2020×√2020−a −b =0，∴{2x +y −3=0x −2y −4=0，∴解得：{x =2y =−1∴7x +y 2020＝14+1＝15．变式9 已知√3x +y −z −8+√x +y −z =√x +y −2019+√2019−x −y ，求（z ﹣y ）2的值．【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0．方程左边也为0，据此求得x 、y 、z 的值；然后代入求值．【解析】由题中方程等号右边知：√x +y −2019有意义，则x +y ﹣2019≥0，即x +y ≥2019，√2019−x −y 有意义，则2019﹣x ﹣y ≥0，即x +y ≤2019，即{x +y ≤2019x +y ≤2019，∴x +y ＝2019．∴√x +y −2019=0，√2019−x −y =0． ∴原题中方程右边为0．∴原题中方程左边也为0，即√3x +y −z −8+√x +y −z =0． ∵√≥0，√x +y −z ≥0．∴3x +y ﹣z ﹣8＝0，x +y ﹣z ＝0．又x +y ＝2019，∴{3x +y −z −8=0x +y −z =0x +y =2019，∴{x =4y =2015z =2019．∴（z ﹣y ）2＝（2019﹣2015）2＝42＝16．必考点四二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简. 例题4 已知a ≠0且a ＜b ，化简二次根式√−a 3b 的正确结果是（） A ．a √abB ．﹣a √abC ．a √−abD ．﹣a √−ab【解析】由题意：﹣a 3b ≥0，即ab ≤0，∵a ＜b ，∴a ＜0＜b ，所以原式＝|a |√−ab =−a √−ab ，选D ．变式10 与根式﹣x √−1x 的值相等的是（）A ．−√xB ．﹣x 2√−xC ．−√−xD ．√−x【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．【解析】∵√−1x 有意义，∴x ＜0，∴﹣x √−1x ＞0，∴﹣x √−1x =−x •√−x−x=√−x ，选D ．【小结】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x 的取值范围，难度不大．变式11化简﹣a√1a的结果是（）A．√a B．−√a C．−√−a D．√−a【解析】∵1a≥0，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴﹣a√1a=−√a，选B．变式12把代数式（a﹣1）√11−a中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（）A．−√1−a B．√a−1C．√1−a D．−√a−1【解析】（a﹣1）√1(1−a)=−（1﹣a）√11−a=−√1−a．选A．必考点五二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）例题5若1≤x≤4，则|1−x|−√(x−4)2化简的结果为（）A．2x﹣5B．3C．3﹣2x D．﹣3【解析】∵1≤x≤4，∴原式＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1﹣（4﹣x）＝x﹣1﹣4+x＝2x﹣5，选A．变式13实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简√(a+1)2+√(b−1)2−√(a−b)2的结果是（）A．﹣2B．0C．﹣2a D．2b【解析】由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴√(a2+√(b−1)2−√(a−b)2|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣2，选A．变式14若a、b、c为三角形的三条边，则√(a+b−c)2+|b﹣a﹣c|＝（）A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c【解析】∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，a+c＞b，∴原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|＝a+b﹣c+a+c﹣b＝2a．选B．变式15已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简√a2+|a﹣c|+√(b−c)2−|b|．【解析】由数轴可知：c＜a＜0＜b，∴a﹣c＞0，b﹣c＞0，∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b＝﹣2c．必考点六最简二次根式的概念最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．例题6 下列二次根式中，是最简二次根式的是（） A ．√8B ．√2x 2yC ．√ab 2D ．√3x 2+y 2【解析】A .√8=2√2，可化简；B .√2x 2y =|x |√2y ，可化简；C .√ab 2=√2ab 2，可化简； D .√3x 2+y 2不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；选D ．变式16 在根式√xy 、√12、√ab2、√x −y 、√x 2y 中，最简二次根式有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】根式√xy 、√12、√ab 2、√x −y 、√x 2y 中，最简二次根式有√xy 、√ab2、√x −y ，共3个，选C ．变式17 若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为 2 ．【解析】若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为2，变式18 若√2m+3和√32m−n+1都是最简二次根式，则m +n ＝ ﹣6 ．【解析】由题意可得：{m +3=12m −n +1=1，解得：{m =−2n =−4，∴m +n ＝﹣6必考点七同类二次根式的概念同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．例题7 下列二次根式：√32，√18，√43，−√125，√0.48，其中不能与√12合并的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】∵√12=2√3，√18=3√2，√43=2√33，−√125=−5√5，√0.48=2√35， ∴不能与√12合并的是√18、−√125这2个，选B ．变式19 若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（） A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝3【解析】∵最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，∴x +3＝2x ，解得：x ＝3，选D ．变式20 若最简二次根式√3m +n ，2√4m −2可以合并，则m ﹣n 的值为．【分析】由题意可知，√3m +n 与2√4m −2同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解．【解析】根据题意3m +n ＝4m ﹣2，即﹣m +n ＝﹣2，所以m ﹣n ＝2．【小结】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；同类二次根式可以合并．变式21 若最简二次根式√2x +y −53x−10和√x −3y +11是同类二次根式．（1）求x ，y 的值；（2）求√x 2+y 2的值．【解析】（1）根据题意知{3x −10=22x +y −5=x −3y +11，解得：{x =4y =3；（2）当x ＝4、y ＝3时，√x 2+y 2=√42+32=√25=5．必考点八二次根式的加减运算二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．例题8 计算：（1）3√3−√8+√2−√27 （2）7a √7a −4a 2√18a+7a √2a 【解析】（1）原式=3√3−2√2+√2−3√3=−√2，（2）原式=7a √7a −a √2a +7a √2a =7a √7a +6a √2a ．变式22 计算：（1）2√12−6√13+3√48 （2）5√x 5+52√4x 5−x √20x【解析】（1）原式＝4√3−2√3+12√3＝14√3．（2）原式=√5x +√5x −2√5x ＝0 变式23 计算：（1）2√3+3√12−√48 （2）32√4x −（15√x25−2√x 2）（x ＞0）【解析】（1）原式＝2√3+6√3−4√3＝4√3；（2）原式=32×2√x −（15×√x5−2x ）＝3√x −3√x +2x ＝2x ．变式24 计算（1）√27−√45−√20+√75（2）2√a −3√a 2b +5√4a −2b √a 2b (a ≥0，b ＞0) 【解析】（1）原式＝3√3−3√5−2√5+5√3＝8√3−5√5；（2）原式＝2√a −3a √b +10√a −2a √b ＝12√a −5a √b ．必考点九二次根式的乘除运算掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.例题9 计算：√313÷(25√213)×(4√125)．【解析】√313÷(25√213)×(4√125)＝（1÷25×4）√103÷73×75＝（1×52×4）√103×37×75＝10√2．变式25 计算：n m √n 3m 3⋅(−1m √n 3m 3)÷√n2m3．【解析】n m √n3m 3⋅(−1m √n 3m 3)÷√n2m3=n m×（−1m）÷1√n 3m 3×n 3m 3×2m 3n=−n m 2√2n 33m 3 =−n m 2×|n|3m 2√6mn ＝±n 23m4√6mn ．变式26 化简：2x3y√2x3y 3⋅(4x √÷(4x 2y √3x 2y)【解析】原式=2x 3y •√2x y 3y •4x •3√xy ÷（4x 2y x √3√y）=√2x 33y 2•√y 4√3x 3y =2√2y 3y 3变式27 计算：2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√ba （a ＞0）【解析】2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√b a （a ＞0）=−3b •a 2b ÷13√b a ＝﹣9a 2√a b =−9a 2b √ab ．必考点十二次根式的混合运算二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；例题10 （1）计算：√3×√12+√6÷√2−√27；（2）化简：√18x +2x √x 32+x ÷√x2．【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解析】（1）原式=√3×12+√6÷2−3√3＝6+√3−3√3＝6﹣2√3；（2）原式＝3√2x +√2x +x •√2√x＝3√2x +√2x +√2x ＝5√2x ．【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．变式28 （1）计算：√12×√34+√24÷√6．（2）计算：(√5+√3)2−(√5+√2)(√5−√2)．【解答】（1）原式=14×√12×3+√24÷6=32+2 =72；（2）原式=5+2√15+3−(5−2)=8+2√15−3 =5+2√15．变式29 计算：（1）（2√3−1）2+（√3+2）（√3−2）；（2）√48÷2√3−√27×√63+4√12．【解析】（1）原式＝12﹣4√3+1+3﹣4＝12﹣4√3；（2）原式=12√48÷3−13√27×6+2√2＝2﹣3√2+2√2＝2−√2．变式30 计算：（1）（√3−2）（√3+2）﹣（√3−1）2+5；（2）（2√2x3−√10x •√15）÷√6x 3．【解析】（1）原式＝（3﹣4）﹣（3﹣2√3+1）+5＝﹣1﹣3+2√3−1+5＝2√3；（2）原式＝（23√6x −5√6x ）÷√6x3=−13√6x 3•√6x＝﹣13．必考点十一二次根式的化简求值例题11 若x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，求（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）的值．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x 的值，求出y 的值，再把根式化成最简二次根式，合并后代入求出即可．【解析】∵x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，∴4x ﹣1≥0且1﹣4x ≥0，解得：x =14，∴y =13， ∴（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）＝2x √x +2√xy −x √x −5√xy ＝x √x −3√xy=14√14−3√14×13=18−12√3．变式31 已知x =1√5−√3y =1√5+√3，求下列各式的值：（1）x 2﹣xy +y 2；（2）y x+x y．【解析】（1）∵x =1√5−3=√5+√32，y =1√5+3=√5−√32，∴x +y =√5，xy =12，则x 2﹣xy +y 2＝（x +y ）2﹣3xy ＝5−32=72；（2）yx +x y=x 2+y 2xy =(x+y)2−2xy xy =5−112＝8．变式32 已知x =12(√5+√3)，x =12(√5−√3)，求x 2﹣3xy +y 2的值．【分析】先由x 、y 的值计算出x ﹣y 、xy 的值，再代入原式＝（x ﹣y ）2﹣xy 计算可得．【解析】∵x =12(√5+√3)，y =12(√5−√3)， ∴x ﹣y =12(√5+√3)−12(√5−√3)=√52+√32−√52+√32=√3，xy =12(√5+√3)×12(√5−√3)=14×（5﹣3）=14×2=12，则原式＝（x ﹣y ）2﹣xy ＝（√3）2−12＝3−12=52．变式33 已知x =b 2a+b−2a−b ，y =b2a+b+2a−b，求x 2﹣xy +y 2的值．【分析】根据分母有理化化简x 与y ，然后求出x +y 与xy 的表达式即可求出答案．【解析】∵x =√2a+b−√2a−b ，y =√2a+b+√2a−b，∴x =√2a+b+√2a−b2，y =√2a+b−√2a−b2，∴x +y =√2a +b ，xy =b2，∴原式＝x 2+2xy +y 2﹣3xy ＝（x +y ）2﹣3xy ＝2a +b −3b2＝2a −b2必考点十二分母有理化二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的．例题12 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33√23=√2×33×3=√63√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1）化简√27（2）化简√5+√3．（3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1．【分析】（1）分子分母分别乘√3即可；（2）分子分母分别乘√5−√3即可；（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；【解析】（1）√27=√3√27×√3=√33（2）化简√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3（3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1=12（√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯+√2n +1−√2n −1）=12（√2n +1−1）变式34 阅读下面计算过程：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；√5+2=√5−2)(√5+2)(√5−2)=√5−2．求：（1）√7+√6的值．（2）√n+1+√n （n 为正整数）的值．（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99的值．【分析】（1）根据给定算式，在分式√7+√6的分母和分子上分别相乘（√7−√6），计算后即可得出结论；（2）根据给定算式，在分式√n+1+√n的分母和分子上分别相乘（√n +1−√n ），计算后即可得出结论；（3）根据（2）的结论即可得出√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99=（√2−1）+（√3−√2）+（2−√3）+…+（10−√99），由此即可算出结论．【解析】（1）√7+√6=√7−√6)(√7+√6)(√7−√6)=√7−√6；（2）√n+1+√n=√n+1−√n)(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n +1−√n ；（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99=（√2−1）+（√3−√2）+（2−√3）+…+（10−√99）＝10﹣1＝9．【小结】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键．变式35 观察下列格式，√5−12−√5−1，√8−22−√8−2，√13−32−√13−3，√20−42−√20−4⋯ （1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n （n ≥1的整数）的式子写出第n 个式子及结果，并给出证明的过程．【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；（3）根据（1）的规律可得√n 2+4−n2−√n 2+4−n，然后分母有理化，求出结果即可．【解析】（1）√5−12−√5−1=√5−12−√5+1)(√5−1)(√5+1)=√5−12−√5+12=−1， √8−22−√8−2=√8−22−√8+22=−2， √13−32−√13−3=√13−32−√13+32=−3， √20−42−√20−4=√20−42−√20+42=−4，（2）√29−52−√29−5=−5，（3）√n 2+4−n2−√n 2+4−n=√n 2+4−n2−√n 2+4+n2=−n ．变式36 【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简√3+√2【解析】√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a ±2√b 的方法：如果能找到两个实数m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn =√b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n 例如：化简√3±2√2【解析】√3±2√2=√(√2)2+12±2√2=√(√2±1)2=√2±1 【理解应用】（1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于；（2）计算： ①√7−2√10；②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2018+√2017+√2019+√2018．【解析】（1）原式=√5+√3)(√5+√3)(5+3)(5−3)=8+2√152=4+√15，（2）①√7−2√10=√(√5)2+(√2)2−2√10=√(√5−√2)2=√5−√2；②原式=√2−1+√3−√2+4−√3+⋯+√2019−√2018=√2019−1．必考点十三复合二次根式的化简例题13阅读理解题，下面我们观察：（√2−1）2＝（√2）2﹣2×1×√2+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2．反之3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2，所以3﹣2√2=（√2−1）2，所以√3−2√2=√2−1．完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解3+2√2；（2）化简：√4+2√3；（3）化简：√5−2√6．【解析】（1）3+2√2=12+2√2+(√2)2=(1+√2)2；（2）√4+2√3=√(√3+1)2=√3+1；（3）√5−2√6=√(√3−√2)2=√3−√2．变式37观察下式：（√2−1）2＝（√2）2﹣2•√2•1+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2反之，3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2根据以上可求：√3−2√2=√2−2√2+1=√(√2−1)2=√2−1求：（1）√5+2√6；（2）你会算√4−√12吗？【解析】（1）原式=√2+2√6+3=√(√2+√3)2=√2+√3．（2）原式=√3−2√3+1=√(√3−1)2=√3−1变式38阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将√a+2√b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=√b，则a+2√b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得√a+2√b，化简：例如：∵5+2√6=3+2+2√6=（√3）2+（√2）2+2√6=（√3+√2）2．∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2．请你仿照上例将下列各式化简：（1）√4+2√3；（2）√7−2√10．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2√3化为（1+√3）2，然后利用二次根式的性质化简即可．（2）利用完全平方公式把7﹣2√10化为（√5−√2）2然后利用二次根式的性质化简即可．【解析】（1）∵4+2√3=1+3+2√3=12+(√3)2+2√3=（1+√3）2，∴√4+2√3=√(1+√3)2=1+√3；（2）√7−2√10=√(√5)2+(√2)2−2×√5×√2=√(√5−√2)2=√5−√2．变式39先阅读下列解答过程，然后再解答：形如√m+2√n的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(√a)2+(√b)2=m，√a×√b=√n，那么便有：√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b（a＞b）例如：化简√7+4√3：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(√4)2+(√3)2=7，√4×√3=√12，所以√7+4√3=√7+2√12=√(√4+√3)2=2+√3．问题：①填空：√4+2√3=，√9+4√5=；②化简：√19−4√15（请写出计算过程）．【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．【解析】①√4+2√3=√(√3)2+2√3+12=√(√3+1)2=√3+1，√9+4√5=√(√5)2+4√5+22=√(√5+2)2=√5+2，②√19−4√15=√(√15)2−4√15+22=√(√15−2)2=√15−2．必考点十四含二次根式的数式规律题例题14观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）√1+142+152=1120（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）利用上述规律计算：√5049+164（仿照上式写出过程）【解析】（1）√1+142+152=1+14−15=1120；故答案为：1120；（2）√1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=1+1n(n+1)；故答案为：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）√5049+164=√1+172+182=1156．变式40观察下列各式：√1+112+122=1+11×2，√1+122+132=1+12×3，√1+132+142=1+13×4，…请利用你所发现的规律，（1）计算√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+192+1102（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．【分析】（1）根据所给等式可得规律，然后再计算即可；（2）根据所给等式可得规律，然后再利用含n的式子表示即可．【解析】（1）原式＝1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯⋯+1+19×10＝1+1−12+1+12−13+1+13−14+⋯⋯+1+19−110＝9+1−110＝9910；（2）第n个等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)．变式41观察下列各式：①√1+13=2√13，②√2+14=3√14；③√3+15=4√15，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；（2）根据规律写出含n的式子即可；（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．【解析】（1）√4+16=5√16；（2）√n+1n+2=（n+1）√1n+2；（3）√n+1n+2=√n2+2nn+2+1n+2=√n2+2n+1n+2=√(n+1)2n+2＝（n+1）√1n+2．变式42观察下列各式及其验算过程：√2+23=2√23，验证：√2+23=√2×3+23=√233=2√23；√3+38=3√38，验证：√3+38=√3×8+38=√338=3√38（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想√4+415的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【解析】（1）∵√2+23=2√23，√3+38=3√38，∴√4+415=4√415=4√15=8√1515，验证：√4+415=√6415=8√1515，正确；（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，∴√n+n2=n√n2，验证：√n+n2=√n32=n√n2；正确；二次根式章节巩固练习1．下列式子是二次根式的是（）A．√−7B．√83C．√a D．√x2+1【分析】二次根式的被开方数是非负数，根指数是2，根据以上内容判断即可．【解析】A、√−7无意义，故本选项不符合题意；B、√83的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；C、当a＜0时，根式无意义，故本选项不符合题意；D、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；选D．【小结】本题考查了二次根式的定义．一般形如√a （a ≥0）的代数式叫做二次根式．当a ≥0时，√a 表示a 的算术平方根；当a 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 2．下列说法中，正确的是（）A ．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B ．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式C ．同类二次根式一定都是最简二次根式D ．两个最简二次根式不一定是同类二次根式【解析】A 、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意； B 、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意； C 、同类二次根式不一定都是最简二次根式，故本选项不符合题意； D 、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，故本选项符合题意；选D ． 3．代数式√x+4x−2中，x 的取值范围是（） A ．x ≥﹣4 B ．x ＞2 C ．x ≥﹣4且x ≠2 D ．x ＞﹣4且x ≠2【解析】由题意得：x +4≥0，且x ﹣2≠0，解得：x ≥﹣4且x ≠2，选C ．4．下列各式中，互为有理化因式的是（） A ．√a +b ，√a −bB ．√5−√2，√5−√2C ．√x −1，√x −1D ．−√a +√b ，√a −√b【解析】√x −1与√x −1互为有理化因式，选C ．5．已知n 是一个正整数，√45n 是整数，则n 的最小值是（） A ．3B ．5C ．15D ．45【解析】由于45n ＝32×5n ，∴√45n =3√5n ，由于√45n 是整数，∴n 的最小值为5，选B ． 6．实数a 在数轴上的位置如图所示，则√(a −3)2+√(a −10)2化简后为（）A ．7B ．﹣7C ．2a ﹣15D ．无法确定【解析】由数轴上点的位置，得4＜a ＜8．√(a −3)2+√(a −10)2=a ﹣3+10﹣a ＝7，选A ． 7．若x +1x =7，则√x 1√x 的值是（）A ．3B ．±3C ．√5D ．±√5【解析】∵x +1x =7，∴（√x +√x ）2＝x +2+1x =7+2＝9，∵√x x 0，∴√x x =3，选A ．8．我们把形如a √x +b （a ，b 为有理数，√x 为最简二次根式）的数叫做√x 型无理数，如2√5+3是√5型无理数，则(√2+√6)2是（） A ．√2型无理数B ．√3型无理数C ．√6型无理数D ．√12型无理数【解析】(√2+√6)2=2+2√12+6＝4√3+8，所以(√2+√6)2是√3型无理数．选B ．9．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2的两个小正方形，则余下的面积为（）A ．16√6cm 2B ．40 cm 2C ．8√6cm 2D ．（2√6+4）cm 2【解析】从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2两个小正方形，大正方形的边长是√16+√24=4+2√6，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2√6）2﹣16﹣24＝16+16√6+24﹣16﹣24＝16√6（cm 2）．选A ． 10．如果一个三角形的三边长分别为1、k 、4．则化简|2k ﹣5|−√k 2−12k +36的结果是（） A ．3k ﹣11B ．k +1C ．1D ．11﹣3k【解析】∵三角形的三边长分别为1、k 、4，∴{1+4＞k4−1＜k ，解得，3＜k ＜5，所以，2k ﹣5＞0，k ﹣6＜0，∴|2k ﹣5|−√k 2−12k +36=2k ﹣5−√(k −6)2=2k ﹣5﹣[﹣（k ﹣6）]＝3k ﹣11．选A ．11．在根式√3，√4x ，√35，√0.25，√20，最简二次根式的个数有 1 个．【解析】最简二次根式有√3这1个，12．如果最简二次根式√3a −4与√16−a 可以合并，那么使√5a −2x 有意义的x 的取值范围是 x ≤252．【解析】∵最简二次根式√3a −4与√16−a 可以合并，∴3a ﹣4＝16﹣a ，解得：a ＝5， ∴√5a −2x =√25−2x ，要使√25−2x 有意义，必须25﹣2x ≥0，解得：x ≤252，13．若式子√(x −2)2=2﹣x 成立，则x 的取值范围为 x ≤2 ．【解析】由题意得：x ﹣2≤0，解得：x ≤2，14．若y =√x 2−4+√4−x 2+3，则y x ＝ 9或19 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可求x ＝±2，进一步求得y 的值，再代值计算即可求解． 15．已知x +y ＝﹣5，xy ＝4，则√y x+√x y=52．【解析】∵x +y ＝﹣5，xy ＝4，∴x ＜0，y ＜0，√yx +√xy =−（√xy x +√xy y）=−√xy(x+y)xy ， ∵x +y ＝﹣5，xy ＝4，∴原式=−√xy(x+y)xy=−√4×(−5)4=52．16．若m 满足等式√m −2020+|2019﹣m |＝m ，则m ﹣20192的值为 2020 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得m ≥2020，再利用绝对值的性质计算√m −2020+|2019﹣m |＝m 即可．【解析】∵m ﹣2020≥0，∴m ≥2020，∴√m −2020+|2019﹣m |＝m ，√m −2020+m ﹣2019＝m ，√m −2020=2019，∴m ﹣2020＝20192，m ﹣20192＝2020， 17．计算题：（1）2√12÷12√50×12√34−35√2；（2）先化简，再求值．（6x √yx +3y √xy 3）﹣（4x √xy +√36xy ），其中x =32，y ＝27．【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可；（2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．【解析】（1）原式＝2×2×12√12÷50×34−35√2＝2×310√2−35√2=35√2−35√2 ＝0；（2）原式＝6x √y x +3y √xy 3−4x √x y −√36xy ＝6√xy +3√xy −4x y √xy −6√xy ＝（3−4xy ）√xy =3y−4x y √xy ，当x =32，y ＝27时，原式=81−627√812=252√2． 18．计算（1）√18−√92√3+√63（√3−2）0+√(1−√2)2；（2）（2√3+√6）（2√3−√6）．【解析】（1）原式=3√2−32√2−1−√2+1+√2−1=32√2−1；（2）原式＝（2√3）2﹣（√6）2＝6．【小结】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 19．已知√x−3y+|x 2−9|(x+3)=0，求√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y的值；【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出x ，y 的值，进而利用二次根式的性质化简得出答案．【解析】∵√x−3y+|x 2−9|(x+3)2=0，∴x ﹣3y ＝0，x 2﹣9＝0，且x +3≠0，解得：x ＝3，y ＝1，故√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y=√3+1√3−1−√3−1√3+1=(√3+1)22−(√3−1)22 ＝2+√3−（2−√3）＝2√3．20．已知a ，b ，c 满足等式|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b （1）求a ，b ，c 的值．（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可得b 的值，再根据绝对值和偶次方的非负性可得a 和c 的值．（2）先计算两条较短边的长度之和大于第三边，则可判断a ，b ，c 为边能构成三角形；再根据勾股定理逆定理可证明此三角形是直角三角形；然后根据直角三角形的面积计算公式求得面积即可．【解析】（1）∵|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b∴b ﹣5≥0，5﹣b ≥0，∴b ＝5∴|a −√7|+（c ﹣4√2）2＝0∴a −√7=0，c ﹣4√2=0 ∴a =√7，b ＝5，c ＝4√2．（2）∵a =√7，b ＝5，c ＝4√2．∴a +b =√7+5＞4√2．∴以a ，b ，c 为边能构成三角形； ∵a 2+b 2＝7+25＝32，c 2=(4√2)2=32，∴a 2+b 2＝c 2 ∴此三角形是直角三角形．此三角形的面积为：12×√7×5=5√72．21．阅读材料：把根式√x ±2√y 进行化简，若能找到两个数m 、n ，是m 2+n 2＝x 且mn =√y ，则把x ±2√y 变成m 2+n 2±2mn ＝（m ±n ）2开方，从而使得√x ±2√y 化简．例如：化简√3+2√2解析：∵3+2√2=1+2+2√2=12+（√2）2+2×1×√2=（1+√2）2 ∴√3+2√2=√(1+√2)2=1+√2；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）√5+2√6；（2）√7−4√3．【解析】（1）∵5+2√6=3+2+2√6＝（√3）2+（√2）2+2×√3×√2＝（√3+√2）2， ∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2；（2）∵7﹣4√3=4+3﹣4√3=22+（√3）2﹣2×2×√3＝（2−√3）2，∴√7−4√3=√(2−√3)2=2−√3．【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．22．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如√2，√3−√2的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”√2=√2(√2)2=√22；√3−√2=√3+√2)(√3−√2)×(√3+√2)=√3+2√2(√3)2−(√2)2=2√3+2√23−2=2√3+2√2．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：√2=√21=√2)22=2√3−1√3=√3−1)×(√3+1)√3×(√3+1)=√3)22(√3)2+√3=3+√3=3+√3．根据上述知识，请你完成下列问题：（1）运用分母有理化，化简：√5−2−√5；（2）运用分子有理化，比较√7−√6与√6−√5的大小，并说明理由；（3）计算：1+√2+√2+√3+√3+√4+√4+√5+⋯+√99+√100的值．【解析】（1）原式=√5+2(5−2)(5+2)√55×5=√5+2−√5 ＝2；（2）√7−√6＜√6−√5．理由如下：∵√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5，而√7+√6＞√6+√5，∵√7−√6√6−√5，∴√7−√6＜√6−√5；（3）原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√100−√99=√100−1＝10﹣1＝9．。

初二数学二次根式基础练习和常考题与简单题(含解析)

初二数学二次根式基础练习和常考题与简单题（含解析）一•选择题（共7小题）1 •若式子.有意义，则x的取值范围为（）x-3A. x>2B. X M3C. x> 2 或X M3D. x>2 且X M32 •下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A.三B.产C.上D.3•如果■、. ’•二；,那么X取值范围是（）A. X<2B. x v2C. X>2D. x>24. 若1v x v 2,则|—卜：「的值为（）A. 2X- 4B.- 2C. 4- 2XD. 25. 下列各式计算正确的是（）A.匚+ 二二二B. 4 二-3 二=1C. 2 二X 3 二=6 二D. =十二=36. 若.T订是正整数，最小的整数门是（）A. 6B. 3C. 48D. 27. 下列根式中，不能与=合并的是（）二.填空题（共7小题）8. 计算"•'的结果是—.V39. _______________________________________________________ 三角形的三边长分别为3、m、5,化简｛（卜™）'-心旷对星= _____________________ .10 .若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，则化简：.ii .- [--= ------------ . - -11. __________________________________________________ 若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a= _____________________________ .第2页(共24页)12. 计算：（匚+1）（二-1）= ______13 .已知x、y都是实数，且y= •- 1-' +4，则y X= ____解答题(共26小题) 计算：—_.计算：(占-1)(弋二+1) — (— ) 2+| 1 - ：| —( n- 2) °+七.32 - - 先化简，再求值：-亠？亠-亠，其中a=二+1. ,-1 丁 1计算：一^+「(「- _) + -.V2-1当x=wL''」时，求代数式x 2+5x - 6的值. 化简求值：：「'七，求歸的值.已知a ， b , c 在数轴上如图所示，化简:“丁 - ^+卜，+ . I. I| b0 c-J ------------- 1 ----- 1—>计算3- 9.；.二+3 =(~+不)+ (九上-7)计算：匚+ (- 2013) °-(石)-1+| - 3|二二-」x r +.三.先化简，再求值：(「一+「)宁「，其中a=^+1.aT a 2-2a+La-1已知 a= (*) -1，，c= (2014- n)d=|1-走|，15. 16. 17.18. 19. 20. 21.aI22. (1) (2)23.(1) (2)24. 25.(1) (2)26. 27.14.如果厂〔+ . . — =0,那么第2页(共24页)化简这四个数；把这四个数，通过适当运算后使得结果为2.请列式并写出运算过程.先化简：(2x+1) 2+ (x+2) (x- 2) - 4x (x+1)，再求值，其中x=-^p-.£先化简，再求值，其中■■- ;.x+2 x+228•若a 、b 为实数，且b 二•「•+4,求a+b 的值.a+729•计算：（二―二）2-（二+ 二）2. 30. 计算: (1)4 三一叨汁4 .：(2) (- 2.r )J(〒 +3 了 - J) 31. 计算:(1)4- ■ . : - I(2)]汁.| T _ ： I ' -•-]32. 计算：(-3) °- =+| 1 -二|+ -.V3+V236. 计算与化简（1），二1_ !一（2）_ 「 _ .37. （1）一个正数的平方根是2a - 3与5 -a ,求这个正数.（2）已知x 、y 都是实数，且■ ■-> ■-,求y 的值.38. 若x ，y ，a ，b 满足关系式〒-+ =丄;，二〔丨心 •，试求x ， y 的值.39. 已知a, b 为等腰三角形的两条边长，且 a ，b 满足b=「+仁】】+4，求此三角形的周长. 40.已知 a , b , c ABC 的三边长，且（ =+ ） 2=3 （甘二二+!汇+ ■）,试说明这个三角形是什么三角形.42•计算:（"-1）（甘.:■+〔）—（—一） 2+| 1 -计—（冗―2） 0+ ■:. 33.先化简，，其中x=' ,34.已知：._汁1「.二，工.41.计算:343• （1）计算：Tx - 4X ■ X（1- "） °;2 k2 k2 ’___ （2）先化简，再求值：（_:_- +「）宁，其中a, b满足-■ +|ba2-2ab+ b2a2-ab-1 =°.244•先化简，再求值：---------- ----- ，其中a= =+1.a2-l a-145 .计算：一+ （二-二）+ 匚.V2~l46•计算：5 +•不-「X ；+.〒- =初二数学二次根式基础练习和常考题与简单题（含解析）参考答案与试题解析一•选择题（共7小题）1. （2016?乐亭县一模）若式子：：有意义，则x的取值范围为（）x-3A. x>2B. X M3C. x> 2 或X M3D. x>2 且X M3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解. 【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x-2>0且x- 3M 0,解得：X>2且X M 3.故选D.【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式的意义. 考查的知识点为：分式有意义，分母不为0; 二次根式的被开方数是非负数.2. （2015?锦州）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A、 B.三C. - D.【分析】A、B选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式.【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项错误；B、不是最简二次根式，故本选项错误；C、不是最简二次根式，故本选项错误；D、是最简二次根式，故本选项正确；故选D.【点评】本题考查了对最简二次根式定义的应用，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幕的指数等于或大于2，也不是最简二次根式.3. （2015?维坊模拟）如果.，那么x取值范围是（）A. x<2B. x v2C. x>2D. x>2【分析】根据二次根式的被开方数是一个》0的数，可得不等式，解即可.【解答】解:T」=2- x,x—2w 0,解得x<2.故选A.【点评】本题考查了二次根式的化简与性质.解题的关键是要注意被开方数的取值范围.4. （2016?呼伦贝尔）若1v x v2,则.■.. 的值为（）A. 2x —4B.—2C. 4—2xD. 2【分析】已知1v x v2,可判断x —3v0, x—1>0,根据绝对值，二次根式的性质解答. 【解答】解：••• 1vxv 2,•- x—3v 0, x —1 >0, 原式=|x-3|+ :：1'=|x—3|+| x—1|=3 —x+x —1=2.故选D.【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a>0）的代数式叫做二次根式.当a>0时，■■表示a的算术平方根；当a=0时，=0；当a小于0时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）.2、性质：「=| a| .5. （2015?潜江）下列各式计算正确的是（）A.匚+ 二二二B. 4 二—3 二=1C. 2 7x 3 二=6 二D. =* 二=3【分析】分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可.【解答】解：A.好［好二，无法计算，故此选项错误，B4.；t- 3化二「；，故此选项错误，C.2二x 3二=6X 3=18，故此选项错误,故选D.【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键.6. （2015?安徽模拟）若"E-是正整数，最小的整数门是（）A. 6B. 3C. 48D. 2【分析】先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值.【解答】解：.冇=4帀，由于.冇是正整数，所以n的最小正整数值是3, 故选B.【点评】此题考查二次根式的定义，解答此题的关键是能够正确的对二次根式进行化简.7. （2015?凉山州）下列根式中，不能与二合并的是（）A. B ；C , D--【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果.【解答】解：A、；-2_，本选项不合题意；D、」；二；'「，本选项不合题意;故选C.【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键.二•填空题（共7小题）8. （2015?南京）计算一的结果是5 .【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可.【解答】解：——-=;莎X -=5.V3故答案为：5.【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键.9. （2016?山西模拟）三角形的三边长分别为3、m、5，化简辰费-皿乔= 2m-10 .【分析】先利用三角形的三边关系求出m的取值范围，再化简求解即可.【解答】解：•••三角形的三边长分别为3、m、5，二2v m v8，•••-：_,「「；=m- 2-（8-m）=2m- 10.故答案为：2m- 10.【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系.故答案为：-a- b.【点评】正确地根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断.11. （2016?山西模拟）若二次根式沁…-是最简二次根式，则最小的正整数a=2 .【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.【解答】解：二次根式/.；.小是最简二次根式，则最小的正整数a=2, 故答案为：2.【点评】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个10（2016春？惠山区期末）若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，贝U化简：.,| ■-〔-一= -a-b . - »【分析】先根据数轴上各点的位置判断出a，b的符号及a+c与b-c的符号，再进行计算即可.【解答】解：由数轴可知，c v b v0v a, |a| v|c|，••• a+c v 0，b- c>0，•原式=-（a+c）-（b - c）= - a - b.条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.12. （2014?畐州）计算：（「+1）（ _- 1）= 1 .【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.就可以用平方差公式计算.结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）.【解答】解：（匚+1）（二-1）= ：「故答案为：1.【点评】本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单.13. （2014?苏州模拟）已知x、y都是实数，且y= J 垃-3+V3-X+4，则y x= 64【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值代入y x进行计算即可.【解答】解:Ty=.. -<+4，解得x=3，.y=4，••• y x=43=64. 故答案为：64.【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件及有理数的乘方，能根据二次根式有意义的条件求出x的值是解答此题的关键.14. （2015春？泰兴市期末）如果除\」+ ==0,那么【分析】先由非负数的性质求得a, b的值，再代入原式化简计算可得答案.【解答】解：•••化-+『—=0,而心0, 》0;• a=1, b=2•原式=1+ _=1+ 7.故本题答案为：1+ ".【点评】本题考查了二次根式的化简，还利用了非负数的性质：若两个非负数的和为0,则这两个数均为0.三.解答题（共26小题）15. （2016?德州校级自主招生）计算：「.丄.-【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式=二-- 二+2二然后利用二次根式的性质化简后合并即可.【解答】解：原式=山-：二+2 7=4 —空并+2 ■■=4+聲汇【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算.16. （2014?张家界）计算：（■—1）（，+1）-（-［）—2+| 1 — : —（n—2）0+匚.【分析】根据零指数幕、负整数指数幕和平方差公式得到原式=5 —1 —9+匚—1-1+2匚，然后合并即可.【解答】解：原式=5 - 1-9+匚-1 - 1+2 -=-7+3 匚.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕、负整数指数幕.通分和约分，本题难度不大.【分析】先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并. 【解答】解：原式=匚+1+3 - 3匚+匚【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则.17. （2016?安徽三模）先化简，再求值:2-T 亠-"，其中 a=「+1.【分析】首先把‘ 2节寸1写成泌'，然后约去公因式（a+1），再与后一项式子进行通分化简，最后代值计算. 【解答】解: oa +2N +1 aa 2-l 蔦孑= ___ a_=a+l _ n二-I--I【点评】本题主要考查二次根式的化简求值的知识点, 解答本题的关键是分式的18. （2015?闵行区二模）计算:V2-1卜二（二-二）+ 匚.19. （2015?湖北模拟）当x 二匸「时，求代数式X 2+5X -6的值.【分析】可直接代入求值. 【解答】解：当x 二匸〕时，2x +5x - 6=（L - ） 2+5 （也■■）- 6 =6 - 2 "+5 - - 5- 6 =2%「! ■.【点评】主要考查二次根式的混合运算，要掌握好运算顺序及各运算律.【分析】本题需先对要求的式子和已知条件进行化简，再把所得的结果代入即可求出答案. ：(a+b) (d~b)3(a+b)-+1; b= \「，./-b '=(血+1?_(竝_¥=2人卜 ::知条件进行化简是本题的关键.21 . （ 2016春？日照期中）已知a ，b ，c 在数轴上如图所示，化简： --I - - -： :，-.a b0 ciiIi =20. （2016春？潮南区期中）化简求值:2 k 2 求-的值.【解答】解:【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值, 在解题时要能对要求的式子和已3a+3b【分析】根据数轴abc的位置推出a+bv 0，c- a>0，b+cv 0，根据二次根式的性质和绝对值进行化简得出-a+a+b+c- a- b- c，再合并即可.【解答】解：•••从数轴可知：a v b v O v c,••• a+b v0, c- a>0, b+c v0,••• r—|a+b|+ +| b+c|=-a+a+b+c - a - b - c =-a.【点评】本题考查了二次根式的性质，实数、数轴的应用，关键是能得出-a+a+b+c-a- b - c.22. (2014春？汉阳区期末)计算(1) 3 . :■: - 9.丄+3 . .:■:(2)(三+不)+ (九上一7)【分析】(1)首先对每一项二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可，(2)首先对每一项二次根式进行化简，然后去掉括号，进行合并同类二次根式即可.【解答】解：(1)原式=12二-3二+6二=15 「；，(2)原式=4 二+2 二+2 二--=6 '+V.:;.【点评】本题主要考查二次根式的化简，合并同类二次根式，关键在于正确的化简二次根式，正确的去括号，认真的进行计算.23. (2014春？兴业县期末)计算：(1)匚+ (-2013) 0-( 1 ) -1+| - 3|(2).丘十二-.1 x y I .•：+. =.【分析】(1)根据零指数幕和负整数指数幕的意义得到原式=3+1 - 2+3,然后进行加减运算；(2)根据二次根式的乘除法则运算.【解答】解：（1）原式=3+1 - 2+3=5；（2）原式=…： 1：； -'一.•. i _+2訂」=4 —.卜+2”;.扌叭 =4+ *（i .【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕和负整数指数幕.24. （2016?仙游县校级模拟）先化简，再求值：（二+）- 一，其中旷1 a -2a+la_1a= T +1.【分析】利用通分、平方差公式等将原式化简为厶，代入a 的值即可得出结论. 【解答】解：原式=（止+ 「）^■，丹（a -l ） 2 ^-1=6+1）（旷1）+1 ? aT: ?，_ a=..当a=二+1时，原式=丄=二！a-l 3【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将原式化简成-.本题属a -l于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原代数式进行化简，再代入数据求值是关键.（1）化简这四个数;（2）把这四个数，通过适当运算后使得结果为 2.请列式并写出运算过程.25. （2015?杭州模拟）已知a=（）c= (2014— n) 0, d=| 1 — "I ，【分析】（1）根据零指数幕和负整数指数幕和分母有理化求解;(2)可列式子为a+b-3c-d，然后把a b、c、d的值代入计算.【解答】解：(1)a=d)-1=3, b= - =匚+1, c=(2014-n °=1, d=| 1 —匚| =匚3 V2-1-1,(2) a+b - 3c- d=3+ 匚+1 - 3X 1 -匚+1=2.【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕和负整数指数幕.26. (2014?焦作一模)先化简：(2x+1) 2+ (x+2) (x-2)- 4x (x+1)，再求值, 其中* -.2【分析】根据整式的运算法则将式子进行化简，再代值计算.【解答】解：原式=4X+4x+1+x2- 4 - 4x2- 4x=«- 3,当厂时,【点评】本题不是很难，但是在合并同类项时要仔细.27. (2010?莱芜)先化简，再求值：二；:'，其中弓.孟* u 矗T £【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值.本题注意x-2看作一个整体.【解答】解：原式=三'，:，一—…x+2 x+2=X2-16X X+2.■ - '■ ■:=::■: - ■ ■:-=■ ■:=-(x+4),当时，原式= 一■■=_■ = :■:.【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解; 第15页(共24页)除法要统一为乘法运算.28. （2016春？澄城县期末）若a、b为实数，且b二-二+4,求a+b的值.【分析】根据二次根式有意义的条件列出方程，分别求出a、b的值，计算即可. 【解答】解：由题意得，a2- 1 >0, 1-a2>0, 解得，a=± 1，则b=4，••• a+b=3或5.【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键.29. （2016春？闵行区期末）计算：（「- -）2-（「+ _）2.【分析】先进行完全平方公式的运算，然后合并.【解答】解：原式=3 - 2 7+2 - 3 -2「- 2=-4 '■.【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握完全平方公式以及二次根式的合并.30. （2016春?定州市期中）计算：（1） 4 ~+ . ■-口- +4 ■:（2）（- 2 .h） J （于+3」-7）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算. 【解答】解：（1）原式=4 ~+3 :-2 ~+4 -=7 +2 ：;（2）原式=4X 12-（5 二+ 二-4 二）第仃页（共24页）=48宁（2 二）=8【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.31. （2015春?黔南州期末）计算：（“ ":•…ii - 〔 •丄:（2）「汁「「T 一〕「一— 【分析】（1）先化简，再进一步去掉括号计算即可；（2）利用二次根式的性质化简，平方差公式计算，再进一步合并即可.【解答】解：（1）原式=2「+• - + 7 2 4=3 一-二 4（2）原式=3 - 1 - 3 - 1+ 二+1='：-1.【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.【解答】解：:::- ::=1 - 3 二 + 匚-1 +=-3 ■+ ■:+ ■— ■:,=-2 =、.【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及绝对值的性质，在进行此类运 32. （2011?上海）计算: (-3) 0- =+| 1 -匚|+ 1V3+\/2【分析】观察，可以首先去绝对值以及二次根式化简,再合并同类二次根式即可.算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.其中 x= , y=27. 2【分析】首先对二次根式进行化简，然后去括号、合并二次根式即可化简，然后把x , y 的值代入求解.【解答】解：原式=（6.「+3 7T ）；+6.「）=9 二—6 二当 x= , y=27 时, 2=---【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对二次根式进行化简是关键.【分析】本题需先对a 的值和要求的式子进行化简，然后把a 的值代入化简以后的式子即可求出结果.a v 1，33. （2015春？封开县期中）先化简，再求值丁34. （2003?济南）已知:)-第仃页（共24页）=—2 —:.【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解题时要能灵活应用二次根式化简的方法是本题的关键.35. （2015秋？哈尔滨校级月考）计算】【分析】把二次根式的被开方数相除，再根据二次根式的性质开出来即可.【解答】解：原式=二壯 b=2a.【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除的应用，主要考查学生的计算和化简能力.36. （2012?深圳模拟）计算与化简（1）乙〉］.厂：（2） -「儿【分析】（1）先化简二次根式，再进行计算即可;（2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.=「 2:：;2 一岳•(2) 原式=2a 2 =+3a?5a 二x 3a 二 2 -3 一、【解答】解：（1）原式=（(2)根据二次根式的被开方数是非负数，列出关于x的不等式组，然后解得x值，从而求得y值；最后将它们代入所求的代数式求值即可.【解答】解：(1)设该正数为x.则由题可知2a- 3+5 - a=0,解得a二—2,所以2a- 3=- 7,所以x=49,即所求的正数是49;(2)根据题意，得x_3^0解得x=3，••• y=4；.•. y x=43=64，即y x=64.【点评】此题主要考查了平方根的性质，注意如果一个数的平方等于A,那么这个数就叫做A的平方根，也叫做A的二次方根.一个正数有正、负两个平方根，他们互相为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根.38. 若x, y, a, b满足关系式心T+ 一-巳—m x "-:,试求x, y的值.【分析】由a+b- 2014》0, 2014-( a+b)>0，所以a+b=2014.再利用两个根式的和等于0,即每一个被开方数等于0.【解答】解：依题意，得a+b- 2014》0, 2014-( a+b)》0，解得a+b=2014.所以二一■:+、.U =0,3x- 6=0, 2y- 7=0,x=2, y=.【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念：式子-(a》0)叫二次根式.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0,这几个非负数都为0.39. (2014春？黄梅县校级期中)已知a, b为等腰三角形的两条边长，且a, b 第20页(共24页)满足b= - 1+ ：一+4，求此二角形的周长.【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a的值，继而得出b的值，然后代入运算即可.【解答】解:•••.—,、.：有意义，--a=3,b=4,当a为腰时，三角形的周长为：3+3+4=10;当b为腰时，三角形的周长为：4+4+3=11.【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，注意掌握二次根式有意义：被开方数为非负数.40. （2013秋？川汇区校级月考）已知a, b,c ABC的三边长，且（：+幕+ 一）2=3 （V込初二辰），试说明这个三角形是什么三角形.【分析】先利用完全平方公式展开后合并得到a+b+c-.亍-丁- =o,再利用配方法得到（1-”；.北）2+ （”；.北-）2+ （-I - ）2=0,然后根据非负数的性质得到灵-血=0,血-讥=0，灵-叭=0，所以a=b=c.【解答】解：•（空和+心+ ）2=3 （叮'），a+b+c+2、匕：+2 了：+2 丨—3 .-1- 3 : - 3 ：'L ；=0，a+b+c- 1’- 心：- 门：=0，2a+2b+2c- 2 -1 ■ - 2 -■ —2门：=0，••（ 1-“：「.；）2+ （'，-吋二）2+ （1-悩二）2=0,•••灵-麻=0，亦-讥=0，讥-讥=0,• a=b=c,•这个三角形为等边三角形.【点评】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力.41. （2016?德州校级自主招生）计算- "-''::.=4—遽 ci +2' -,y 1;'.=4+*（匚. 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算.42. （2014?张家界）计算：（山—1）（*二+1）-（-二）2+| 1-灯:—（ n — 2） 30+ ".【分析】根据零指数幕、负整数指数幕和平方差公式得到原式 =5 — 1 — 9+匚—1 —1+2匚，然后合并即可.【解答】解：原式=5- 1 — 9+ ~— 1 — 1+2 -=—7+3 _.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕、负整数指数幕. 43. （2014?荆门）（1）计算：丁X 〒-4X X （ 1—二）°;2.2 k 2 ________________________________________（2）先化简，再求值：（”+「）- ，其中a ，b 满足 +|b a -2ab+b 2 "a a -ab—二 | =0. 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幕的意义得到原式X - X 仁2匚-.，然后合并即可； 4（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算,【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式：+2 ，然后利用二次根式的性质化简后合并即可.然后约分得到原式=「，再根据非负数的性质得到a+仁0, b—二=0，解得a=—1，b b=二，然后把a和b的值代入计算即可.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式, 再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕、非负数的性质和分式的化简求值.44. （2016?安徽三模）先化简，再求值：-亠‘亠-:，其中a=「+1.a 2-l H2 2 【分析】首先把自+严+1写成 £辛）然后约去公因式（a+1）,再与后一项式子进行通分化简，最后代值计算.2【解答】解：亠_'一 _ ,32-1 旷 1= ____ a：.I ； U.：...=曰+1 a=2匚-匚-4X - 4(2)原式=[："''- (a-b)=(丁一： — ')?a-b a-b=\- ?oA-_i-b-」L ： ? I.:a ] ?3(自-b)a-b b 2 =- 一，T .丨 +| b - ；|=0,••• a+1=0, b - =0,解得 a= - 1, b= ■:,当 a=- 1,【解答】解：（1）原式= b=「时,【点评】本题主要考查二次根式的化简求值的知识点，解答本题的关键是分式的通分和约分，本题难度不大. 45. （2015?闵行区二模）计算：一二（二-7） + 匚. V2-1 【分析】先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并. 【解答】解：原式=匚+1+3-3匚+匚 =4 -'：. 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则. Y5 2 V4 Y5 【分析】先二次根式化为最简二次根和根据二次根式的乘除法得到原式 =：+ ：- 丨+3灯.宀"=2 - - 1+3,然后合并即可.=2 _- 1+3=2 _+2.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式, 再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算.,31且【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简是解此题的关键.37. （2009春?岳阳校级期末）（1）一个正数的平方根是2a - 3与5 - a ,求这个正数. （2）已知x 、y 都是实数，且八门，求y "的值.【分析】（1）因为一个正数x 的平方根有两个，且互为相反数，由此即可得到关于a 方程，解方程即可得a 的值，然后代入求x ；46. （2015春？石林县期末）计算: V4 5【解答】/。

16章.二次根式.题型分类集.(含答案)

第十六章二次根式（一）【二次根式的性质】1.若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤32.若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1且x≠2 B．x≥1 C．x≠2 D．x≥1且x≠2 3.如果代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣24.对于二次根式的性质＝中，关于a、b的取值正确的说法是（）A．a≥0，b≥0B．a≥0，b＞0C．a≤0，b≤0D．a≤0，b＜0 5.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x≥﹣1且x≠0C．x＞﹣1且x≠0D．x≠0y==_______.6.已知37.已知＝0，那么（a+b）2015的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．8.已知+＝0，则x的取值范围为（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞29.已知＝5﹣x，则x的取值范围是．10.下列各式中，正确的是（）B．C．D．A．（二）【最简二次根式】1. 下列根式为最简二次根式的是（） A ．2B ．C ．D ．2. 下列根式中，是最简二次根式的是（） A ．B ．C ．D ．3. 下列根式中，最简二次根式为（）A.x 4B.42-xC.4xD.()24+x4. 在式子、、、中，是最简二次根式的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（三）【二次根式的化简】 1. 将化为最简二次根式，其结果是（） A ．B ．C ．D ．2. 当x ≤0时，化简|1﹣x |﹣的结果是．3. 已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，则化简﹣|a +b ﹣c |的结果为．4. 当x ＜0时，化简的结果是（）A ．x ﹣1B ．1﹣xC ．（x ﹣1）2D ．x +15. 当m ＜0时，化简的结果是．6. 当a ＞0时，化简的结果是．7. 当ab ＜0时，化简的结果是（） A ．﹣aB ．aC ．﹣aD ．a8. 若ab ＜0，化简二次根式的结果是（）A ．B ．C ．D ．9. 把中根号外的（a ﹣1）移入根号内得．10. 已知n 是正整数，是整数，则n 的最小值为．（四）【同类二次根式】1.以下二次根式：；是同类二次根式的是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④2.是同类二次根式，则a的值为_______.3.下列各式中，能与合并的是（）A．B．C．D．4.最简二次根式与是同类二次根式，求3a﹣b的值．（五）【二次根式的运算】1.与结果相同的是（）A．3﹣2+1B．3+2﹣1C．3+2+1D．3﹣2﹣12.下列计算正确的是（）A．＝﹣2B．+＝C．D．＝±33.下列计算正确的是（）A．3+4＝7B．×＝C．＝3D．4.下列运算错误的是（）A．B．C．D．5.下列运算错误的是（）A．＝3B．3×2＝6C．（+1）2＝6 D．（+2）（﹣2）＝36.计算的值是．7.估计的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间8. 计算﹣2的结果是．9. 计算：＝．10. 计算（+）（﹣）＝． 11. 计算：（﹣1）•＝12. 计算＝13. 计算（1）；（2）；（3）．（4）2(23)6-+（5）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．（6）（2+）2﹣（+）（﹣）；（7）011238(1)3π-⨯+++（8）．(9)(5＋2)2 015(5－2)2 016. (10)解方程：(3＋1)(3－1)x ＝72－18.1. 若x ＝+1，则代数式x 2﹣2x +2的值为（）A ．7B ．4C ．3D ．3﹣22. 若x +y ＝3+2，x ﹣y ＝3﹣2，则的值为（） A ．4B ．1C ．6D ．3﹣23. 已知1x =+1x =-22x y xy +的值为______.4. 已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 21＋x 22等于5. 已知：a ＝（）﹣1+（﹣）0，b ＝（+）（﹣），则＝．6. 已知x ＝（+），y ＝（﹣），求下列各式的值：（1）x 2﹣xy +y 2；（2）+．7. 已知1a =，化简求值22112a a a a a -+-+-8. （1）已知：x ＝，求x 2﹣x +1的值．（2）已知：y ＝，求代数式的值．①与数轴综合1.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b2.如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为（）A．B．1+C．2+D．+13.如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点C为点B关于点A的对称点，设点C所表示的数为x．（1）写出实数x的值；（2）求（x+）2的值．②解答题1.定义：若两个二次根式a、b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝．（2）若2+与4+m是关于2的共轭二次根式，求m的值．2.已知m，n是两个连续的正整数，m＜n，a＝mn，求证：是定值且为奇数．1. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题（+1）（﹣1）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1……（1）观察以上规律，请写出第n 个等式：（n 为正整数）．（2）利用上面的规律，计算：+++…+（3）请利用上面的规律，比较﹣与﹣的大小．2. 观察下列分母有理化的计算1===-（1）请用n 表示你所发现的规律____________________.（2） )...1+1.如图，从一个大正方形中裁去面积为18cm2和32cm2的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（）A．98cm2B．60cm2C．48cm2D．38cm22.某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）3.据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）．（1）求从40m高空抛物到落地时间；（2）小明说从80m高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他说法正确吗？如果不正确，请说明理由；（3）已知高空坠落物体动能＝10×物体质量×高度，某质量为0.05kg的鸡蛋经过6s后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少（单位：J）？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的动能）1．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：+．第十六章二次根式（答案）（一）【二次根式的性质】1.若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（A）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤32.若代数式有意义，则x的取值范围是（D）A．x＞1且x≠2 B．x≥1 C．x≠2 D．x≥1且x≠2 3.如果代数式有意义，则x的取值范围是（B）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣24.对于二次根式的性质＝中，关于a、b的取值正确的说法是（B）A．a≥0，b≥0B．a≥0，b＞0C．a≤0，b≤0D．a≤0，b＜0 5.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（C）A．x＞﹣1B．x≥﹣1且x≠0C．x＞﹣1且x≠0D．x≠0y==____2√3___.6.已知37.已知＝0，那么（a+b）2015的值为（B）A．1 B．﹣1 C．0 D．8.已知+＝0，则x的取值范围为（A）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞29.已知＝5﹣x，则x的取值范围是x≤5 ．10.下列各式中，正确的是（B）B．C．D．B．（二）【最简二次根式】1. 下列根式为最简二次根式的是（ A ） A ．2B ．C ．D ．2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ D ） A ．B ．C ．D ．3. 下列根式中，最简二次根式为（ B ）A.x 4B.42-xC.4xD.()24+x4. 在式子、、、中，是最简二次根式的有（ B ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（三）【二次根式的化简】 1. 将化为最简二次根式，其结果是（ D ） A ．B ．C ．D ．2. 当x ≤0时，化简|1﹣x |﹣的结果是 1 ．3. 已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，则化简﹣|a +b ﹣c |的结果为 2c ﹣2a ．4. 当x ＜0时，化简的结果是（ B ）A ．x ﹣1B ．1﹣xC ．（x ﹣1）2D ．x +15. 当m ＜0时，化简的结果是 1 ．6. 当a ＞0时，化简的结果是 ﹣ab ．7. 当ab ＜0时，化简的结果是（ A ） A ．﹣aB ．aC ．﹣aD ．a8. 若ab ＜0，化简二次根式的结果是（ D ）A ．B ．C ．D ．9. 把中根号外的（a ﹣1）移入根号内得．10. 已知n 是正整数，是整数，则n 的最小值为 14 ．（四）【同类二次根式】1.以下二次根式：；是同类二次根式的是（ C ）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④2.是同类二次根式，则a的值为____3___.3.下列各式中，能与合并的是（D）A．B．C．D．4.最简二次根式与是同类二次根式，求3a﹣b的值．【解答】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得，解得，则3a﹣b＝2．（五）【二次根式的运算】1.与结果相同的是（A）A．3﹣2+1B．3+2﹣1C．3+2+1D．3﹣2﹣12.下列计算正确的是（C）A．＝﹣2B．+＝C．D．＝±33.下列计算正确的是（C）A．3+4＝7B．×＝C．＝3D．4.下列运算错误的是（A）A．B．C．D．5.下列运算错误的是（C）A．＝3B．3×2＝6C．（+1）2＝6 D．（+2）（﹣2）＝36.计算的值是 1 ．7.估计的运算结果应在（C）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间8. 计算﹣2的结果是 2 ．9. 计算：＝ 4 ．10. 计算（+）（﹣）＝ 3 ． 11. 计算：（﹣1）•＝ 112. 计算＝13. 计算（1）；（2）；（1）原式＝2+﹣＝；（2）原式＝×÷＝；（3）．（4）2(23)6-+（3）原式＝（8﹣9）÷（4）2＝﹣1；（5）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．（6）（2+）2﹣（+）（﹣）；（5）原式＝﹣+﹣3﹣13+4（6）原式＝20+4+3﹣（5﹣2）＝4﹣2﹣13．＝23+4﹣3 ＝20+4．（7）011238(1)3π-⨯+++（8）．（7）1223++ （8）原式＝1+++2﹣＝3+．(9)(5＋2)2 015(5－2)2 016. (10)解方程：(3＋1)(3－1)x ＝72－18. (9)5－2 2x ＝62－32x ＝3 2. x ＝322.1. 若x ＝+1，则代数式x 2﹣2x +2的值为（ C ）A ．7B ．4C ．3D ．3﹣22. 若x +y ＝3+2，x ﹣y ＝3﹣2，则的值为（ B ） A ．4B ．1C ．6D ．3﹣23. 已知1x =+1x =-22x y xy +的值为__34____.4. 已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 21＋x 22等于 105. 已知：a ＝（）﹣1+（﹣）0，b ＝（+）（﹣），则＝ 2 ．6. 已知x ＝（+），y ＝（﹣），求下列各式的值：（1）x 2﹣xy +y 2；（2）+．解：x ＝（+），y ＝（﹣）， x +y ＝（+）+（﹣）＝，xy ＝（+）×（﹣）＝，（1）x 2﹣xy +y 2；＝（x +y ）2﹣3xy ＝（）2﹣3×＝；（2）+＝＝＝＝12．7. 已知1a =，化简求值22112a a a a a -+-+- 11-a 338. （1）已知：x ＝，求x 2﹣x +1的值．（2）已知：y ＝，求代数式的值．【解答】解：（1）∵x ＝＝+1， ∴x 2﹣x +1＝（+1）2﹣（+1）+1＝4+2﹣﹣1+1＝4+；（2）∵1﹣8x ≥0，8x ﹣1≥0，∴x ＝，则y ＝， ∴＝﹣＝＝1．①与数轴综合1.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ A ）A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b2.如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为（A）B．B．1+C．2+D．+13.如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点C为点B关于点A的对称点，设点C所表示的数为x．（1）写出实数x的值；（2）求（x+）2的值．解：（1）由数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点C为点B关于点A的对称点，得＝1，解得，（1）当x＝2﹣时，（x+）2＝4．②解答题1.定义：若两个二次根式a、b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝2．（2）若2+与4+m是关于2的共轭二次根式，求m的值．【解答】解：（1）∵a与是关于4的共轭二次根式，∴a＝4，∴a＝＝2，故答案为：2；（2）∵2+与4+m是关于2的共轭二次根式，∴（2+）（4+m）＝2，∴4+m＝＝＝4﹣2，∴m＝﹣2．2.已知m，n是两个连续的正整数，m＜n，a＝mn，求证：是定值且为奇数．【解答】证明：∵m和n是两个连续的正整数，m＜n，∴n＝m+1，∴a＝mn＝m（m+1），∴＝＝＝（m+1）﹣m ＝1，∴是定值且为奇数1．1. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题（+1）（﹣1）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1……（1）观察以上规律，请写出第n 个等式：（+）（﹣）＝1 （n 为正整数）．（2）利用上面的规律，计算：+++…+（3）请利用上面的规律，比较﹣与﹣的大小．【解答】解：（1）根据题意得：第n 个等式为（+）（﹣）＝1；故答案为：（+）（﹣）＝1；（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9；（3）﹣＝，﹣＝， ∵＜，∴﹣＞﹣．2. 观察下列分母有理化的计算1===-（3）请用n 表示你所发现的规律____________________.（4） )...1+（1）n n nn -+=++111（2）20151.如图，从一个大正方形中裁去面积为18cm2和32cm2的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（C）A．98cm2B．60cm2C．48cm2D．38cm22.某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：长方形ABCD的周长是16+14（米），（2）通道的面积＝＝56﹣（13﹣1）＝56（平方米），购买地砖需要花费＝6×（56）＝336﹣72（元）．答：购买地砖需要花费336﹣72元；3.据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）．（1）求从40m高空抛物到落地时间；（2）小明说从80m高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他说法正确吗？如果不正确，请说明理由；（3）已知高空坠落物体动能＝10×物体质量×高度，某质量为0.05kg的鸡蛋经过6s后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少（单位：J）？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的动能）【解答】解：（1）由题意知h＝40m，t＝＝＝＝2（s），（2）不正确，理由如下：当h2＝80m时，t2＝＝＝4（s），∵4≠2×2，∴不正确，（3）当t＝6s时，6＝，h＝180m，鸡蛋产生的动能＝10×0.05×180＝90（J），启示：严禁高空抛物．1．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+7n2，b＝2mn；（2）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：+．【解答】解：（1）设a+b＝（m+n）2＝m2+7n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+7n2，b＝2mn；故答案为m2+7n2，2mn；（2）∵6＝2mn，∴mn＝3，∵a、m、n均为正整数，∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，当m＝1，n＝3时，a＝m2+3n2＝1+3×9＝28；当m＝3，n＝1时，a＝m2+3n2＝9+3×1＝12；即a的值为为12或28；（3）设+＝t，则t2＝4﹣+4++2＝8+2＝8+2＝8+2（﹣1）＝6+2＝（+1）2，∴t＝+1．。

二次根式精选练习题及答案

二次根式精选练习题及答案二次根式是高中数学中的一个重点内容，也是历年高考的常考题型。

掌握好二次根式的运算方法不仅有助于提高数学成绩，更能为今后学习更高深的数学知识打下坚实的基础。

下面是一些二次根式的精选练习题及其答案，供大家参考。

1.将下列二次根式合并为一个二次根式：$\sqrt{7}+\sqrt{3}-\sqrt{28}$解：$\sqrt{7}+\sqrt{3}-\sqrt{28}=\sqrt{7}+\sqrt{3}-2\sqrt{7}=-\sqrt{7}+\sqrt{3}$2.将下列二次根式化为最简形式：$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+3\sqrt{5}}$解：$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+3\sqrt{5}}=\frac{(2\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-3\sqrt{5})}{3-45}=\frac{-16\sqrt{5}+6\sqrt{6}}{-42}=\frac{8\sqrt{5}-3\sqrt{6}}{21}$3.将下列二次根式化为最简形式：$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$解：设$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=a\pm b\sqrt{6}$，则有$a^2+6b^2=5$和$2ab=-2$。

解得$a=1,b=-\frac{1}{\sqrt{6}}$或$a=-1,b=\frac{1}{\sqrt{6}}$，因此$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=1-\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{6-2\sqrt{6}}=1-\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{(1-\sqrt{2})(1-\sqrt{3})}=\boxed{\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}}$4.将下列二次根式化为最简形式：$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$解：同上题，设$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=a+b\sqrt{3}$，则有$a^2+3b^2=7$和$2ab=4$。

(带答案)人教版初中数学二次根式常考题型例题

（带答案）人教版初中数学二次根式常考题型例题（文末附答案）单选题1、下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A ．√18B ．√13C ．√27D ．√122、下列等式中成立的是（）A ．(−3x 2y )3=−9x 6y 3B ．x 2=(x+12)2−(x−12)2 C ．√2÷(√2√3)=2+√6D ．1(x+1)(x+2)=1x+1−1x+2 3、下列计算正确的是（）A ．√8÷√2=2√2B ．√9=±3C ．√(−3)2=3D ．√24=√2 4、已知m=（﹣√33）×（﹣2√21），则有（）A ．5.0＜m ＜5.1B ．5.1＜m ＜5.2C ．5.2＜m ＜5.3D ．5.3＜m ＜5.45、式子√a+1a−2有意义，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≥-1B ．a ≠2C ．a ≥-1且a ≠2D ．a ＞2 6、(√24-3√15+√223)×√2的值是 ( )A ．163√3-3√30B ．3√30-23 √3C ．2√30-23 √3D ．203√3- √307、√2的相反数是【】A ．√2B ．√22C ．−√2D ．−√22 8、下列二次根式是最简二次根式的是（）A ．√12B ．√0.3C ．√8D ．√6填空题9、已知√a −b +|b −1|=0，则a +1=__．10、若二次根式√1x−1有意义，则x 的取值范围是__________．11、比较大小：√22 __________12（填写“＞”或“＜”或“＝”）． 12、已知x ﹣2＝√2，则代数式（x ＋1）2﹣6（x ＋1）＋9的值为_____．13、计算：(√5-2)2018(√5+2)2019的结果是_____.解答题 14、观察下列等式： √2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2−1 √3+√2=√3√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2 √4+√3=√4√3(√4+√3)(√4−√3)=√4−√3 解答下列问题：（1）写出一个无理数，使它与3−√2的积为有理数；（2）利用你观察的规律，化简2√3+√11；（3）计算：1+√2√2+√3+⋯…3+√10．15、已知x =2+√3，y =2-√3．试求代数式x y +y x 的值．（带答案）人教版初中数学二次根式_003参考答案1、答案：B解析：根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．A 、√18=3√2不是最简二次根式，错误；B 、√13是最简二次根式，正确；C 、√27=3√3不是最简二次根式，错误；D 、√12=2√3不是最简二次根式，错误，故选B ．小提示：本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2、答案：D解析：根据幂的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则计算即可．解：A 、(−3x 2y )3=−27x 6y 3，故选项A 错误；B 、(x+12)2−(x−12)2=x 2+2x+14−x 2−2x+14=x 2+2x +1−x 2+2x −14=x ，故选项B 错误；C 、√2÷(√2√3)=√2÷(√3√2⋅√3√2√2⋅√3) =√2√3+√2√6=√2√6√3+√2=√3√3√2)(√3+√2)(√3−√2) =6−2√6，故选项C 错误；D 、1x+1−1x+2=x+2(x+1)(x+2)−x+1(x+1)(x+2)=x +2−x −1(x +1)(x +2) =1(x+1)(x+2)，故选项D 正确，故选：D ．小提示：本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．3、答案：C解析：根据二次根式的乘除运算法则以及利用二次根式的性质化简，逐项计算，即可判断．A、√8÷√2=√4=2，故此选项错误；B、√9=3，故此选项错误；C、√(−3)2=3，正确；D、√2×4=√22×4=2√2，故此选项错误；故选：C．小提示：本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则以及二次根式的性质化简是解题的关键．4、答案：C解析：直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而得出m的取值范围．∵m=(−√33)×(−2√21)=2√7=√28，5.22=27.4,5.32=28.09，∴5.2<m<5.3.故选C.小提示：考查二次根式的乘除法，估算无理数的大小，掌握无理数的估算方法是解题的关键.5、答案：C解析：根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可.解：由题意得，a+1≥0,a≠2解得，a≥-1且a≠2，所以答案是：C.小提示：本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围，属于基础题目，比较容易掌握.6、答案：A解析：解：原式=√48−3√30+√163=4√3−3√30+4√33=16√33−3√30．故选A．7、答案：C解析：相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此√2的相反数是−√2．故选C．8、答案：D解析：检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．A、被开方数含分母，故A不符合题意；B、被开方数0.3=310，含分母，故B不符合题意；C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意；D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D符合题意.故选：D．小提示：本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．9、答案：2．解析：利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出a，b的值，进而即可得出答案．∵√a−b+|b﹣1|=0，又∵√a−b≥0，|b−1|≥0，∴a﹣b=0且b﹣1=0，解得：a=b=1，∴a+1=2.故答案为2．小提示：本题主要考查了非负数的性质以及绝对值与二次根式的性质，根据几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0得到关于a、b的方程是解题的关键．10、答案：x>1解析：概念二次根式被开方数大于或等于0，分母不为0求解即可．解：二次根式√1x−1有意义，则1x−1≥0且x−1≠0，解得，x>1，所以答案是：x>1．小提示：本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是熟记二次根式和分式有意义的条件，列出不等式．11、答案：＞解析：直接用√22−12，结果大于0，则√22大；结果小于0，则12大．解：√22−12=√2−12＞0，∴√22＞12，所以答案是：＞．小提示：本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．12、答案：2解析：利用完全平方公式得到原式＝（x﹣2）2，然后利用整体代入的方法计算．解：（x＋1）2﹣6（x＋1）＋9＝[（x＋1）﹣3]2＝（x﹣2）2，∵x﹣2＝√2，∴原式＝（√2）2＝2，故答案为2．小提示：本题考查应用完全平方公式进行因式分解，进而利用整体代入法求代数式的值，灵活应用公式进行因式分解是关键．13、答案：√5+2解析：逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.(√5-2)2018(√5+2)2019=(√5-2)2018×(√5+2)2018×(√5+2)=[(√5-2)×(√5+2)]2018×(√5+2)=(5-4)2018×(√5+2)=√5+2，故答案为√5+2.小提示：本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.14、答案：（1）3+√2；（2）2√3−√11；（3）√10−1．解析：（1）由平方差的运算法则，即可得到答案；（2）找出题目中的规律，把分母有理化，即可得到答案；（3）先把分母有理化，然后进行化简，即可得到答案．解：（1）∵(3−√2)(3+√2)=9−2=7，∴这个无理数为：3+√2；（2）2√3+√11=√3−√11)(2√3+√11)(2√3−√11)=2√3−√1112−11=2√3−√11；（3）1+√2√2+√3+⋯…+3+√10=√2−1+√3−√2+⋯+√10−√9=√10−1．小提示：本题考查了二次根式的运算法则，分母有理化，平方差运算，熟练掌握运算法则，正确的发现题目中的规律是解题关键．15、答案：14解析：先计算出x+y、xy的值，再代入原式=x 2+y2xy=(x+y)2−2xyxy计算可得．解：∵x=2+√3，y=2−√3，∴x+y=2+√3+2−√3=4，xy=(2+√3)×(2−√3)=1，则原式=x 2+y2xy=(x+y)2−2xyxy=42−2×11=14．小提示：本题主要考查分母有理化与分式的加减运算，解题的关键是掌握分式加减运算法则、完全平方公式与平方差公式及二次根式的运算法则．11。

专题16.3 二次根式的加减【十大题型】(举一反三)(人教版)(解析版)

专题16.3二次根式的加减【十大题型】【人教版】【题型1判断同类二次根式】 (1)【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】 (3)【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 (5)【题型4比较二次根式的大小】 (8)【题型5已知字母的取值化简求值】 (10)【题型6已知条件式化简求值】 (12)【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】 (14)【题型8二次根式混合运算的实际应用】 (16)【题型9二次根式的新定义类问题】 (19)【题型10二次根式的阅读理解类问题】 (24)【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，(2)4，33o<0)，−2B3(<0)．【答案】(1)不是(2)不是【分析】根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．【详解】（1）解：∵24=26；48=43；12=6∴24，48，12（2）解：4J2；33=−3B(<0)；−2B3=2B(<0)；∴4，33，−2B3不是同类二次根式．【点睛】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．【变式1-1】（2023春·四川宜宾·）A．216B．125C．48D．32【答案】C【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．=，216=66，125=55，48=43，32=42，是同类二次根式的是48，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（）A．B与B2B．2与2C．3与D．与3【答案】C【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A、B与B2=的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、2与2的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；C、3与D、3是三次根式；故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与−−273不是同类二次根式的是（）A．273B C．D【答案】A【分析】同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方式相同的二次根式.【详解】解：−−273=-−3x⋅(3p2=-3x−3选项A：273=3δ(3x)2=3x3；选项B选项C：选项D−3.B、C、D中都含有−3，是同类二次根式，A不是，故选A.【点睛】本题考查了同类二次根式的概念.【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5+8与7是同类二次根式，求的最小正整数？【答案】=4【分析】5+8不一定是最简二次根式，从而由同类二次根式定义列出方程求解即可得到答案．【详解】解：由题意得：5+8=2×7（为正整数），∵2>0，则5+8>0，∴当=1时，5+8=7，解得=−0.2，不是正整数，舍去；当=2时，5+8=28，解得=4，符合题意，即的最小正整数为4．【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出方程求解是解决问题的关键．【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3与﹣8是同类二次根式．【答案】(1)=23(2)=223【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案；（2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案．【详解】（1）∵﹣8＝﹣22，最简二次根式3与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2，解得=23．（2）∵二次根式3与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2n2，解得a＝223．【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2+1与r47+可以合并成一个二次根式，则−=．【答案】−8【分析】最简二次根式2+1与r47+能合并成一个二次根式，则两个二次根式的被开方数相等，即可求得a，b值，代入即可求解．【详解】解：根据题意得：2+1=7+s+4=2，则=−2，=6，所以−=−2−6=−8，故答案是：−8．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果、是正整数，且162+和KK1+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值．解：∵162+和KK1+7可以合并，∴−−1=2162+=+7，即−=331+16=7，解得=5547=8647．∵、是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【答案】（1）不正确，原因是没有把162+转化为最简二次根式；（2）见解析【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．（2）先把162+转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可．【详解】解：（1）不正确，原因是没有把162+转化为最简二次根式；（2）正确解答过程如下：∵162+=42+，162+和KK1+7可以合并，∴−−1=22+=+7，解得：=5=2，经检验=5，=2符合题意，∴=5，=2．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)412−+48÷23(2)26+3×26−3−(33−2)2+【答案】(1)143(2)−8+76+2【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可【详解】（1）原式=83−+43÷23=3÷23=143=143（2）原式=24−3−27−66+2+=21−29+66+6+2=−8+76+2【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27+6+36−3−42−36÷22+1【分析】先化简二次根式，同步计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可．【详解】解：27+6+36−3−42−36÷22=33+6−3−2+=+1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48÷3+×12−24(2)(7+43)(7−43)−(35−1)2【答案】(1)4−6(2)65−45【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．【详解】（1）解：原式=48÷3+−26=16+6−26=4−6（2）解：原式=49−48−(45−65+1)=1−46+65=65−45【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)3×−÷2(2)212−+348；(3)2+32−5+25−2；(4)2−32022×2+32023−2−−−20．【答案】(1)−154(2)143(3)4+26(4)1【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．【详解】（1）解：原式=3×−×2×=3×−×2×5=−154；（2）原式=43−23+123=143；（3）原式=2+26+3−5−4=2+26+3−1=4+26；（4）原式=2−32+32022×2+3−3−1=12022×2+3−3−1=1×2+3−3−1=2+3−3−1=1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．【题型4比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（）A．5＜7B．35＋2＜82﹣1C6D．|1－3|＞3－1【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．【详解】A、由于5<7，则5＜7，故正确；B、由于35＋2<6+2=8，而8=9-1<82－1，则35＋2＜82﹣1，故正确；C、由于−23>−5>−7−5=−6，故正确；D、由于1−=3−1，故1>3−1错误．故选：D【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式4-1】（2023春·江苏·从小到大排列．<<【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．【详解】2=15，2=16，2=17，∵1117，<<<【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法．【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：=2−1，==3−2，==4−3，…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：…·2021+1；(2)设===，，的大小关系．【答案】(1)2020(2)>>【分析】（1）根据题意将式子先化简，再运用平方差公式求解即可；（2）根据题意将a，b，c求出来，再进行二次根式的大小比较即可．【详解】（1）根据题意可得，原式=2−1+3−2+…+2021−2020·2021+1=2021−1·2021+1=2021−1=2020；（2）根据题意可得，==3+2，==2+3，==5+2，∵2<2，∴3+2<2+3，即<，∵5>3，∴2+3<2+5，即<，∴>>．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和平方差公式，正确的理解题意是解决本题的关键．<<m的个数是．【变式4-3】（2023春·【答案】7【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．【详解】解：∵2≈1.414，5≈2.236，=（2-1（2-1）≈3.312=3+5）8×（3+5）4=2（3+5）≈10.472，m∴3.312<m<10.472，∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，∴整数m的个数是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式．【题型5已知字母的取值化简求值】【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求−【答案】0【分析】先运用平方差及完全平方公式进行因式分解，再约分，将分式化到最简即可．−r−K=−−+=0．故当x＝3+22，y＝3−22时，原式=0．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值．运用公式将分子因式分解可使运算简便．由于所求代数式化简之后是一个常数0，与字母取值无关．因而无论x、y取何值，原式都等于0．【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知=2+1，求代数式3−222+2−1−2的值.【答案】0【分析】把x值带入后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可.【详解】当x=2+1时，原式=3−222+12+2−12+1−2=3−223+22+2−12+1−2=32−(22)2+22−1−2=9-8+2-1-2=0【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，解题的关键是把x代入求值时利用公式，比较简单．【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知=2+1，求2K1−−1的值.【分析】根据分式的运算法则将2K1−−1化简，然后将=2+1代入计算即可求出答案．【详解】解：2K1−−1=2−1−(+1)=2−(2−1)−1=1−1当=2+1时，==原式=【点睛】本题考查分式的运算，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．⋅B，再求当==.【变式5-3】（2023春·上海·【答案】xy；1【分析】分子中先提出公因式B进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可.⋅Br B=B⋅B=B，=当=【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若，为实数，且=1−4+4−1+12．【答案】22【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵=1−4+4−1+12要有意义，∴1−4≥04−1≥0，∴14≤≤14即=14，∴=1−4+4−1+12=12，∴1，=2++=22．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，正确求出x、y的值是解题的关键．【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4−+1+−12−9=0，求代数式⋅+−÷−−的值．【答案】3+1【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵4−+1+−12−9=0，4−+1≥0，−12−9≥0，∴4−+1=0，−12−9=0∴4−+1=0−12−9=0．解得=−1=−3．⋅÷−−=−3−1×−3−1−−3÷−−1−−3=3×33+−1+3÷1+3=3+2÷2=3+1．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，解二元一次方程组，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知=为奇数，求(+【答案】43【分析】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值．【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得−6≥09−>0，解得6≤<9，且为奇数，∴=7，∴原式=(+=(+1)+1=(+1)(−1)=(7+1)×(7−1)=43．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若=2+4++1的值.【答案】2.【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.【详解】∵+=，∴2+=∴2=−∴4++1=−2++1=∵>0，∴2+4++1=−++3=2．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若=5+1，=5−1，求下列代数式的值．(1)2+B(2)2−2【答案】(1)85(2)45【分析】（1）先求解+=25，B=5+15−1=5−1=4，再结合因式分解求解代数式的值即可；（2）先求解+=25，−=2，再结合平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：∵=5+1，=5−1，∴+=25，B=5+15−1=5−1=4，∴2+B=B+=4×25=85；（2）∵=5+1，=5−1，∴+=25，−=2，∴2−2=+−=25×2=45．【点睛】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知=3−7，=3+7，求−的值．【答案】−67【分析】先计算出+s−与B的值，再把−变形为【详解】解：∵=3−7，=3+7，∴+=6,−=−27,B=2,∴−=2−2B===−67．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确进行变形能简化计算．【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【答案】2017【分析】先根据a＝2＋1,可得:a－1＝2,然后利用完全平方公式两边平方可得:(a－1)2＝2,继而可得:a2－2a ＝1,然后整体代入a3－a2－3a＋2016=a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016,即可求解.【详解】解:∵a＝2＋1,∴a－1＝2,∴(a－1)2＝2,即a2－2a＝1,∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017.【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要利用完全平方公式巧变形,再整体代入思想求解.【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知+1=7，求下列各式的值；(1)2+12；(2)2−12．【答案】(1)5(2)±21【分析】（1）利用完全平方公式可得2+12=(+1)2−2，即可求解；（2）根据完全平方公式可得(−1)2=(+1)2−4，求得−1=3，然后利用平方差公式计算2−12的值．【详解】（1）解：∵+1=7，∴+=2+2+12=7，∴2+12=5；（2）解：由（1）得2+12=5，∴−=2−2+12=5−2=3，∴−1=±3，又∵2−12=+−∴当−1=3时，2−12=7×3=21，当−1=−3时，2−12=7×(−3)=−21．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值及完全平方公式、平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约枌料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．【答案】应选择中底面型号的纸箱【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为105cm，进而估算出20<105<25<30，由此即可得到答案．【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下：∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，∴甲、乙两件礼品的边长分别为45cm，65cm，∴甲、乙两件礼品的边长之和为45cm+65cm=105cm，∵400<500<625<900，∴20<105<25<30，∴只有中型号和大型号两个型号可供选择，∵25×20<30×25，∴从节约枌料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键．【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后=90m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，40=整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+165+525×5．（2）由（1）中各式猜想+与2B(≥0，≥0)的大小关系，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为2002的花圃，所用的篱笆至少是多少米？【答案】（1）>，>，=；（2）+≥2B(≥0，≥0)；（3）40米【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想+≥2B；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证；（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．【详解】解：（1）∵4+3=7,24×3=43∴72=49,(43)2=48∵49>48∴4+3>24×3∵1+16=7=<1∴1+16>×6∵5+5=10,25×5=10,∴5+5=25×5故答案为：＞，＞，＝．（2）+≥2B理由如下：当m≥0，n≥0时，∵(−p2≥0∴(p2−2⋅+(p2≥0∴−2B+≥0∴+≥2B（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根据（2）的结论可得：+2≥2⋅2=22B=22×200=40．∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后=90m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，40=整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【题型9二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用，表示数对，给出如下定义：记==（0，>0，与，称为数对，的一对“对称数对”．例如：4，1的一对“对称数对”1与1(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和______；(2)若数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值；(3)若数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，求的值．【答案】(1)(15，2)和(2，15)(2)=13(3)=1=即可；【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入=（2）(3，y)）的一对“对称数对”（3）将数对，2的一对“对称数对”=1，解出x即可．=15，4=2，【详解】（1∴数对25，4的一对“对称数对”是(15，2)和(2，15)．故答案为：(15，2)和(2，15)；（2）∵数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，=，解得：=1；=（3∴数对，2的“对称数对”分别为，2)和(2，．∵数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，=1，解得：=1．【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问题的关键．【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足⋅=，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，求m的值．【答案】(1)22(2)-2【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．【详解】（1）∵a与2是关于4的共轭二次根式，∴2=4．=22．∴=（2）∵2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，∴2+3⋅4+3=2．==4−23．∴4+3=∴=−2．【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算⊗=−≥,+<，给出三个说法：①18⊗2=22；②11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=100⊗1；③⊗⋅⊗=−．以上说法中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可．【详解】解：∵18>2，∴18⊗2=18−2=32−2=22，所以①正确；11⊗212⊗313⊗4199⊗100=1+23+4+⋯+=2−1+3−2+⋯+100−99=100−1=100⊗1所以②正确；当≥时，⊗⋅⊗=−+=−=−，当<时，⊗⋅⊗=+−=−=−，所以③正确；故正确的为①②③，有3个，故选D．【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么2±2B+2=|±U．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把5±26转化为(3)2±26+(2)2=(3±2)2完全平方的形式，因此双重二次根式5±26=(3±2)2=3±2得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若′={o>0)−o<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2,−3)的“横负纵变点”为______，点(−33,−2)的“横负纵变点”为______；(2)化简：7+210；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且=(+2−1+−2−1)，点′是点M的“横负纵变点”，求点′'的坐标．【答案】(1)（2，−3）；（−33，2）(2)5+2(3)（﹣2，﹣2）【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，′={o>0)−o<0)，即可；（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将7+210化为(5)2+210+(2)2，再根据2±2B+2=(±p2，即可化简；（3）根据1≤≤2，得−1−1≤0；将=2(+2−1+−2−1)化简得=((−1+1)2+(−1−1)2；根据2±2B+2=|±U，得=(|−1+1|+|−1−1|，求出的值，求出的坐标，根据横负纵变点”的定义，′={o>0)−o<0)，即可求出′的坐标．【详解】（1）∵2>0∴点（2，−3）的“横负纵变点”为（2，−3）∵−33<0∴点（−33，−2）的“横负纵变点”为（−33，2）故答案为：（2，−3）；（−33，2）．（2）7+210=(5)2+210+(2)2=(5+2)2=5+2∴7+210化简得：5+2．（3）∵1≤≤2∴0≤−1≤2−1∴0≤−1≤1∴0≤−1≤1∴−1−1≤0∵=2(+2−1+−2−1)=((−1)2+2−1×1+12+(−1)2−2−1×1+12)((−1+1)2+(−1−1)2==(|−1+1|+|−1−1|)∴=∴=∴点（−2，2）∵−2<0∴′（−2，−2）故′的坐标为：（−2，−2）．【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．【题型10二次根式的阅读理解类问题】【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：设+2=+22（其中a、b、m、n均为整数），则有+2=2+22+2B2．∴=2+22，=2B．这样小明就找到了一种把类似+2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若+3=+32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：=，=；(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：=+32；(3)若−65=−52且a、m、n均为正整数，求a的值．【答案】(1)2+32，2B(2)13，4，1，2(3)14或46【分析】（1）根据上面的例子，将+32，按完全平方展开，可得出答案；（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；（3）将−52展开得出2−25B+52，由题意得B=3，2+52=，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．【详解】（1）解：∵+3=+32，∴+3=2+32+2B3，∴=2+32，=2B；故答案为：2+32，2B．（2）由（1）可得=13，=4，=1，=2；故答案为：13，4，1，2．（3）∵−65=−52，∴+5=2+52+2B5，∴B=3，2+52=，∵a、m、n均为正整数，∴=3，=1，=14或=1，=3，=46；故答案为：14或46．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键．==3−23−2=【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）3−2，像上述解题过程中，3+2与3−2相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．解答下面的问题：(1)=___________；若n=___________．(2)×2022+1；(3)3+15+3+⋅⋅⋅+2022×2024+1．【答案】(1)2−1；4−3（或2−3)；+1−(2)2021(3)2023【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式，再化简整理即可；（2）将括号内每一项都进行分母有理化，再相消，整理之后利用平方差公式求解即可；（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．===2−1=2−1；【详解】（1=43（或2−3)；+1−；（22+1+3+2…+2022+20212022+1=2−1+3−2+…+2022−20212022+1=2022−12022+1=2022−1=202120241（3=331+35−3+⋅⋅⋅+2024×2024+1 =3−1+5−3+⋅⋅⋅+2024−20222024+1=2024−12024+1=2023．【点睛】本题主要考查分母有理化，二次根式混合运算，解题的关键是理解材料中分母有理化的方法并应用方法解决问题．【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：7−6==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：7−6=7+66−5=6+5因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．再例如：求=+2−−2的最大值．做法如下：解：由+2≥0,−2≥0可知≥2，而=+2−−2=当=2时，分母+2+−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较32−4和23−10的大小；（2）求=1−+1+−的最大值和最小值．【答案】（1）32−4<23−10；（2）的最大值为2，最小值为2−1．【分析】（1）利用分子有理化得到32−4=23−10=然后比较32+4和23+10的大小即可得到32−4与23−10的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽N1，而=1−=01+r1，1−有最大值1得到所以的最大值；利用当=1有最小值2−1，1−有最小值0得到的最小值．【详解】解：（1）32−4==23−10=3+10=而32>23，4>10，∴32+4>23+10，∴32−4<23−10；（2）由1−O0，1+O0，O0得0⩽N1，=1−+1+−J1−+∴当=0时，1++有最小值，则1，此时1−有最大值1，所以的最大值为2；当=1时，1++有最大值，有最小值2−1，此时1−有最小值0，所以的最小值为2−1．【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：①我们知道：式子+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且+1＝(+1)2；②把根式±2进行化简，若能找到两个数m、n，是2+2=且B=，则把x±2变成2+2±2B=±2开方，从而使得±2化简．如：3+22＝1+22+2＝12+2×1×2+22＝1+22＝1+=1+2；(1)化简：5+26．(2)5+26+7+212+9+45(3)直接写出代数式2+2+5+2−22+130的最小值为．【答案】(1)2+3(2)5−1(3)5【分析】（1）先将根号下的数变形为完全平方公式格式，再化简即可；（2）先将各个分母化为完全平方公式格式，再分母有理化，最后合并即可得出答案；（3）先根据完全平方公式化简，再根据非负数的性质得出+12+4≥4，−112+9≥9，即可求出最小值．【详解】（1）5+26=2+26+3=22+2×2×3+32=2+32=2+3=23（2===2+1=2−1+3−2+4−3+5−4 =5−1（3）2+2+5+2−22+130=2+2+1+4+2−22+121+9=+12+4+−112+9。

专题01二次根式(5个知识点7种题型1个易错点)(解析版)

专题01二次根式（5个知识点7种题型1个易错点）【目录】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：二次根式的概念二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a （a ≥0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．【变式1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，1x 0x >），，1x y+0,0x y ³³）．0x >）、0,0x y ³³1x 、1x y+不是二次根式．的根指数分别为3、4，不是二次根式；1x 、1x y+是分式，不是二次根式．【变式2】下列各式中，二次根式的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B ．当0x <时就不是．【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．知识点2：二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．注意：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零；③零没有零次幂．【例2】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1；（2．【答案】（1）12x ³；（2）2x £．【解析】（1）由12102x x -³³，得：；（2）由202x x -³£，得：．【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【变式】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1；（2．【答案】（1）0x >；（2）2x <．【解析】（1）由100x x x ì³ï>íï¹î，得：；（2）由102220x x x ì-³ï<-íï-¹î，得：．【总结】考查式子有意义的条件，式子有意义的时候式子的每一个部分都有意义．知识点3：二次根式的性质性质1(0)a a =³；性质2：2(0)a a =³；性质3=（0a ³，0b ³）；性质4=（0a ³，0b >）．【例3】求下列二次根式的值：（1；（2；（3（4．【答案】（1）4；（2）5；（3）4）3p -．【解析】（14==；（25==；（3===（433p p =-=-．【总结】考查二次根式的性质1，确保开方出来的结果非负．【例4】计算下列各式的值：（1）2；（2）；（3）2；（4）2；（5）2；（6）22-；（7）2(0)x ³；（8）2 ；（9）2．【答案】（1）18；（2）23；（3）916；（4）0；（5）14；（6）30-；（7）1x +；（8）2a ；（9）221a a ++．【解析】根据二次根式性质2即可得出结果，注意（5）小题中两部分分别平方．【总结】考查二次根式的性质2．【例5】化简：（1（20)m ³；（3）（4【答案】（1）32）；（3）232y x ；（4）2-【解析】（1）由二次根式非负性3270x ³，可得0x ³，原式3==；（2）由二次根式非负性3120mn ³，结合0m ³，可得0n ³，原式===；（3）原式=223642y y x x ==；（4）由二次根式非负性33240x y -³，即有()30xy £，可得0xy £，原式2==-．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例6】化简：（10)y <；（2）．【答案】（1）；（2【解析】（1）原式=(136y´-=；（2）原式() ()xx><，∴=．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质3、性质4，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．(0)0(0)(0)a aaa a>=-<î．【例7】（2022秋•虹口区校级月考）已知，则x的取值范围是（）A．B．C．D．或【解答】解：等式左边＝|2﹣3|x||，它要等于2+3x，则x≤0且2+3x≥0，所以≤x≤0．故选：B．【变式】（2022秋•浦东新区校级月考）若m，n为任意实数，则下列各式成立的是（）A ．＝m+nB．+＝m+nC．＝D．【解答】解：＝|m+n|，A错误；+＝|m|+|n|，B错误；≠+，C错误；＝（m+n）2，D正确，故选：D．知识点5：化简二次根式利用二次根式的性质进行化简；化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用二次根式的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【变式1】化简：（100)ab bc ><，；（20)a b <<【答案】（1）-；（2）22a b -．【解析】（1=-；（2）原式=2222a b a b -=-．【变式2】化简下列二次根式：（100)x y ³³，；（2（3(0)a a -<．【答案】（1）5 （2） 3.14p -；（3）2a -．【解析】（15==（2 3.14 3.14p =-=-π；（32a a a a -=--=-．【方法二】实例探索法题型1：求二次根式被开方数中所含字母的取值范围2.若11)--有意义，则x 的取值范围是______．【答案】10x x ³¹且．【解析】∵11)--=，∴01010x x ³³ìí¹-¹î，解得：．3.求使下列二次根式有意义的实数x 的取值范围．（1；（2【答案】（1）1x ³或0x <；（2）12x ³-且1x ¹．【解析】（1）由110x -+³，得1x ³或0x <；（2）由21010x x +³ìí-¹î，得12x ³-且1x ¹．4.2成立，求a 的取值范围．【答案】24a ££．24a a +=-+-，由此进行分类讨论：①当2a <时，原式=()()2462a a a -+-=-；②当24a ££时，原式=()()242a a -+-=；③当4a >时，原式=()()2426a a a -+-=-；综上所述，可知a 的取值范围是24a ££．题型3：利用数轴和二次根式的性质进行化简或计算5．（2022秋•虹口区校级月考）设实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（）A ．﹣2a +bB ．2a +bC ．﹣bD ．b【解答】解：根据数轴上a ，b 的值得出a ，b 的符号，a ＜0，b ＞0，a +b ＞0，∴＝﹣a +a +b ＝b ，故选：D ．6.已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点位置如图所示：__________．【答案】2c -．【解析】根据点在数轴上的位置，可得0c b a <<<，由此0a c ->，0b a -<，0b c +<，原式=()()()2a c b a b c a c b a b c a c b a b c c ---++=-+--+=-+---=-．题型4：利用二次根式的非负性求值7．（2022秋•奉贤区期中）已知x ，y 为实数，且，求xy 的平方根．【解答】解：由题意得，，解得x ＝27，则y ＝，∴xy ＝＝9，∴9的平方根是±＝±3．8.若,x y 是实数，且2y <++，化简22y y --．【答案】1-．【解析】根据二次根式有意义的条件，可得：210120x x -³ìí-³î，即得：210x -=，由此可知2y <，所以22y y --=()212y y --=--．9.已知3y =，求22x xy y -+的值．【答案】7．【解析】根据二次根式的非负性，可知2020x x -³ìí-³î，由此20x -=，即2x =，此时3y =，原式=2222337-´+=．10.若a 、b是实数，且13b +1-+【答案】46b -+．【解析】根据二次根式的非负性，可知3030a a -³ìí-³î，由此30a -=，即3a =，此时13b <，原式=()()231213346b b a b b b -+-+=-+-+=-+．11.0=，求()x x y +的值．【答案】9．【解析】由题意得：203280x y x y -=ìí+-=î， \21x y =ìí=î． \()()2219xx y +=+=．12.若z+=+，求z 的值．【答案】3358．【解析】 Q 20160x y -+³， ∴2016x y +³．又 Q 20160x y --³， \2016x y +£， \2016x y +=．\0+=．即35230125302x y z x y z +--=ìí+-=îL L （）（），解得：220143358x y z =ìï=íï=î．题型5：根据二次根式的值是整数，求字母的取值13．（2022秋•奉贤区校级期中）已知是正整数，则实数n 的最大值为．【解答】解：由题意可知12﹣n 是一个完全平方数，且不为0，最小为1，所以n 的最大值为12﹣1＝11．题型6：二次根式与三角形的综合15.在△ABC 中，a b c 、、2c a b --．【答案】33c a b --．【解析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可知0a b c -+>，0c a b --<，原式=()()22a b c c a b a b c c a b -+---=-++--22233a b c c a b c a b =-++--=--．16.在△ABC 中，a b c 、、0=，求最大边c 的取值范围．【答案】814c £<．【解析】根据题意，即为60a -+=，由此60a -=，80b -=，解得：6a =，8b =，根据三角形三边关系，且c 为最大边，可知b c a b £<+，即814c £<．17.解下列各式：（1）已知0a a +=（2）a b c 、、+．【答案】（1）12a -；（2）3a b c +-．【解析】（1）由0a a +=，即a a =-，可得0a £，原式=1112a a a a a -+=--=-；（2）根据三角形三边关系，可知0a b c --<，0b c a -+>，0c b a --<，原式=a b c b c a c b a--+-++--3b c a b c a a b c a b c =+-+-+++-=+-．18.（1）在△ABC 中，a b c 、、0=，求最大边c 的取值范围；（2）已知实数x y 、，满足2()x y +22x y +的平方根．【答案】（1）814c £<；（2）±．【解析】（1）根据题意，即为60a -+=，由此60a -=，80b -=，解得：6a =，8b =，根据三角形三边关系，且c 为最大边，可知b c a b £<+，即814c £<．（2）由题意得：2()0x y +=，∴053160x y x y +=ìí--=î，解得：22x y =ìí=-î，∴==±．题型7：二次根式的性质的应用19.（1（2）；（3）2-；（4）(1)x -【答案】（1；（23）；（4）【解析】（1=；（2）（3）（4）=．20.将x 移到根号内，不改变原来的式子的值：（11)x >；（2）(2)x x ->．【答案】（12）1．【解析】（1==；（2）(1x -==．【方法三】差异对比法易错点：忽略隐含条件，误将负数移到根号外21．（2022秋•虹口区校级期中）已知a ＜0，则二次根式化简后的结果为（）A ．aB ．aC ．﹣aD ．﹣a【解答】解：∵a＜0，﹣a2b≥0，∴a＜0，b≤0，∴＝﹣a．故选：D．22．（2022秋•虹口区校级期中）已知a＜0，那么可化简为（）A．2b B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，∴原式＝，故选：D．23．（2022秋•静安区校级期中）已知xy＜0，化简二次根式的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知﹣xy2≥0．因为y2＞0，所以﹣x≥0，所以x≤0，又因为xy＜0，所以x＜0，y＞0，所以＝＝．故选：C．24．（2022秋•青浦区校级期中）化简：（a＜0）＝．【解答】解：原式＝．故答案为：．25．（2022秋•嘉定区校级月考）化简：＝．【解答】解：∵﹣a4b3≥0，∴b≤0，∴＝﹣a2b，故答案为：﹣a2b．【方法四】成功评定法一、单选题三、解答题222 =-++--a b c c a b =--．33c a b。

初一数学二次根式试题答案及解析

初一数学二次根式试题答案及解析1.在实数4，，，，0.010 010 001 000 01中，无理数有 ( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】无理数就是无限不循环小数．根据无理数定义可判断.【考点】无理数2.下列说法正确的是（）A．是无理数B．是有理数C．是无理数D．有无理数【答案】A．【解析】根据有理数，无理数的相关概念知：、是无理数，=2，=﹣2是有理数．故选A．【考点】1.有理数2.无理数．3. 4的平方根是（）A．2B．C．D．【答案】C．【解析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2.故选C．【考点】平方根．4.下列各数中，3.14159265，，﹣8，，0.6，0，，，无理数的个数有（）A．3B．4C．5D．6【答案】A．【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．无理数有：，，共有3个．故选A．【考点】无理数．5.下列运算中, 正确的个数是（ )①②= -2③④⑤A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B．【解析】①，故本选项错误；②，没有意义，故本选项错误；③，故本选项错误；④，故本选项错误；⑤，故本选项正确．正确的个数是1个．故选B．【考点】1.立方根2.算术平方根．6.估算的值是在（）．A．和之间B．和之间C．和之间D．和之间【答案】B.【解析】因为,所以6<<7.故选B.【考点】无理数的估算.7.观察下列计算过程：…，由此猜想= .【答案】111111111.【解析】观察给出的等式，算术平方根的1的个数是被开方数的位数加1后的一半.【考点】1算术平方根;2找规律.8.的值等于（）A．4B．－4C．±4D．【答案】A【解析】就是求16的算术平方根，即是4，负数没有平方根和算术平方根，0的算术平方根和平方根都是0，正数有两个平方根，其中正的一个平方根是算术平方根。

二次根式【八大题型】(举一反三)(北师大版)(原卷版)

专题2.4 二次根式【八大题型】【北师大版】【题型1 判断二次根式】 (1)【题型2 根据二次根式有意义的条件求参数范围】 (2)【题型3 利用二次根式被开方数的非负性求值】 (2)【题型4 根据二次根式是整数求字母的值】 (2)【题型5 数轴与二次根式的化简的综合运用】 (3)【题型6 逆用(√a)2=a （a ≥0）在实数范围内分解因式】 (4)【题型7 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 (4)【题型8 复合型二次根式的化简求值】 (4)【知识点1 二次根式的定义】形形√a 形a ≥0形形形形形形形形形形形√a 形形形形形形形a 形形形形形形.【题型1 判断二次根式】【例1】（2023春·八年级单元测试）a 是任意实数，下列各式中：形√a +2；形√(−2a)4；形√a 2+3；形√a 2+6a +9；形√a 2−3，一定是二次根式的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（）A ．√aB ．√23C ．√12D ．√−4【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）下列式子一定是二次根式的是 ( )A ．√a 2B ．－√aC ．√a 3D ．√a【变式1-3】（2023春·陕西·八年级阶段练习）下列式子：√7，√2x ，√1−m ，√a 2+b 2，√100，√a 2−1，√|a |+1中，一定是二次根式的是（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【知识点2 二次根式有意义的条件】(1)形形形形形形形形形形形形形形形形2形形形形形形形形形形形√a ≥0.【题型2 根据二次根式有意义的条件求参数范围】【例2】（2023·辽宁丹东·八年级统考期末）在函数y =√2−x √x−1中，自变量x 的取值范围是（） A ．−1<x ≤2 B ．−2<x ≤1 C ．1≤x ≤2 D ．1<x ≤2【变式2-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）若式子√1−3x x有意义，则x 的取值范围是___．【变式2-2】（天津市南开区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）下列各式中x 的取值范围是x ≥3的是（） A ．√3−x B ．√x −3 C ．√3+x D ．√x−3【变式2-3】（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）若x =2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（）． A ．√x −1 B ．√1−x C ．√x −3 D ．√−x【知识点3 二次根式的性质】性质1：(√a)2=a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；性质2：√a 2=|a |={a （a ≥0）−a （a <0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 【题型3 利用二次根式被开方数的非负性求值】【例3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）已知y =√x −2022−√2023−x +1，其中x 为整数，则y 的值为__________．【变式3-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期末）若√x −1+√y +3=0，求x −y 的值．【变式3-2】（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）若y =√x −3+√3−x −2，则x y =______.【变式3-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知实数a 满足√(2008−a)2+√a −2009=a ，求a −20082的值是多少？【题型4 根据二次根式是整数求字母的值】【例4】（2023春·八年级单元测试）若√36n 是整数，则整数n 的所有可能的值为_______．【变式4-1】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知：√20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（）A．2B．4C．5D．20（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知√10−n是整数，则自然数n所有可能的值的和为______．【变式4-2】【变式4-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如果√17+4a是一个正整数，则整数a的最小值是（）A．-4B．-2C．2D．8【题型5 数轴与二次根式的化简的综合运用】【例5】（2023春·广东云浮·八年级统考期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：√a2+(√−a+b)2−|c−b|．【变式5-1】（2023春·八年级单元测试）已知：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：√(a+1)2+ 2√(b−1)2−∣a−b∣．【变式5-2】（2023春·全国·八年级期末）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简√c2−(√a)2+ 3)3得（）(√a+bA．b−c B．−2a−b−c C．b+c D．−b−c【变式5-3】（2023春·山东临沂·八年级统考期中）阅读材料，解答问题。

二次根式的综合(十大题型)(原卷版)—2025学年八年级数学上册《重难点题型高分突破》(北师大版)

二次根式的综合（十大题型）【题型01：二次根式的概念】【题型02：二次根式有意义的条件】【题型03：判断二次根式的性质化简】【题型04：同类二次根式的概念】【题型05：二次根式的混合运算】【题型06：二次根式的化简求值】【题型07：二次根式的应用】【题型08：二次根式中新定义问题】【题型09：利用分母有理化化简求值】【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】【题型01：二次根式的概念】1．下列式子是二次根式的是（）AB C D 2．下列式子中，是二次根式的是（）A ．πB ．35C D 3．下列各式中一定是二次根式的是（）ABC D ．【题型02：二次根式有意义的条件】4x 的取值范围是（）A ．x >―2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x >25a 的取值范围是（）A ．a >―1B ．a >1C ．a ≠―1D ．a ≥―16x 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．当a=―6）B．3C．D．±3A8x的取值范围是（）A．x>―2B．x<2C．x>―2且x≠0D．x<2且x≠0【题型03：判断二次根式的性质化简】8．（2023秋•海口期末）化简（﹣）2的结果是（）A．﹣8B．8C．±8D．169．（2023秋•覃塘区期末）若7＜m＜9，则化简的结果是（）A．15﹣2m B．2m﹣15C．5D．﹣5 10．（2023秋•射洪市期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（）A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6 11．（2023秋•怀化期末）若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则的结果是（）A．a﹣c B．﹣a﹣2b+c C．﹣a﹣c D．﹣a+c 12．（2023秋•曲阳县期末）若，则x的取值范围是（）A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3 13．（2023秋•岳麓区校级期末）若＝3﹣x成立，则x满足得条件（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜314．（2023秋•鄞州区校级期末）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（）A ．5B ．2n ﹣10C ．2n ﹣6D ．10【题型04：同类二次根式的概念】15．（2023秋•宁德期末）下列根式化简后不能与合并的是（）A ．B ．C ．D ．16．（2023秋•唐山期末）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式是（）A ．B ．C ．D ．17．（2023秋•岳阳楼区期末）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）A ．与B ．与C ．与D ．与18．（2023秋•鼓楼区校级期末）最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a 的值是（）A ．a ＝1B ．a ＝﹣1C ．a ＝2D ．a ＝﹣2【题型05：二次根式的混合运算】19．（2024•沙坪坝区校级开学）计算：（1）﹣×（+2）+（）0；（2）．20．（2023秋•泉州期末）计算：．25．（2023秋•福田区校级期末）计算：（1）；（2）．21．（2023秋•渠县期末）计算：（1）﹣×；（2）（3）（3﹣）﹣（）2．22．（2023秋•永定区期末）计算：（1）．（2）．23．（2023秋•昌黎县期末）计算：（1）；（2）．【题型06：二次根式的化简求值】24．（2023秋•澧县期末）已知，，求下列各式的值．（1）a+b和ab；（2）a2+ab+b2．25．（2023秋•岳阳楼区期末）若a＝+2，b＝﹣2．（1）求a2﹣b2．（2）求a3b+ab3．26．（2023秋•子洲县期末）先化简，再求值：，其中．27．（2022秋•晋江市期末）先化简，再求值：，其中a＝﹣．28．（2023春•铁岭期末）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2+．29．（2023春•铁西区期末）先化简，再求值：，其中．35．（2023春•临高县期中）先化简，再求值：，其中．【题型07：二次根式的应用】30．（2023秋•开福区校级期末）已知一个长方形相邻的两边长分别是a，b，且，．（1）求此长方形的周长；（2）若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积．31．（2023秋•南昌期末）有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板．（1）截出的两块正方形木板的边长分别为 dm， dm；（2）求剩余木板的面积；（3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出　2　个这样的木条．32．（2023•晋城模拟）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足公式t ＝（不考虑风速的影响，g ≈10m /s 2）．（1）求从60m 高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J ）＝10×物体质量（单位：kg ）×高度（单位：m ），某质量为0.2kg 的玩具被抛出后经过3s 后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J 的动能）33．（2023春•海东市期末）如图，长和宽分别是a ，b 的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．（1）用含a ，b ，x 的代数式表示纸片剩余部分的面积；（2）当a ＝20+2，b ＝20﹣2，x ＝，求剩余部分的面积．【题型08：二次根式中新定义问题】34．（2023秋•沈丘县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※n ＝m 2n ﹣mn ﹣3n ，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（）A ．B ．C ．D ．35．（2023秋•沈丘县期中）对于任意的正数m ，n ，定义运算※：m ※n ＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A ．2﹣4B ．2C ．2D ．2036．（2023秋•龙泉市期中）定义“★”是一种新运算，对于任意实数a ，b （a ≠b ）．当a ＞b 时，a ★b ＝a 2﹣b ，当a ＜b 时，a ★b ＝a ﹣b 2．例如：2★1＝22﹣1＝3，1★2＝1﹣22＝﹣3，那么：2★[（﹣2）★（﹣）]＝．37．（2022秋•吉州区期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝；（2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．38．（2023秋•雁塔区校级期中）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．（1）若a与是关于4的因子二次根式，则a＝；（2）若与是关于2的因子二次根式，求m的值．【题型09：利用分母有理化化简求值】39．（2023秋•虹口区校级期末）计算：＝．40．（2023秋•化州市期末）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝＝﹣1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．参照上面的方法化简：＝．41．（2022秋•河间市校级期末）阅读下列解题过程：，，请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出＝；（2）利用上面的解法，请化简：．42．（2023秋•南山区校级期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．43．（2023春•百色期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例1：﹣1，例2：＝，，，…（1）＝，＝；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】44．（2023春•浏阳市期中）像•＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．（1）＝＝；（2）＝＝＝3+2．勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．（3）化简：﹣．解：设x＝﹣，易知＞，∴x＞0．由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝．即﹣＝．请你解决下列问题：（1）2﹣3的有理化因式是　2+3　；（2）化简：++；（3）化简：﹣．45．（2022秋•济南期末）阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，∴．模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）；模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．46．（2022春•诸城市校级期中）先阅读下面两段材料，然后解答问题：材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化．解答问题：（1）化简：＝；＝；＝　﹣　；（2）利用上面所提供的解法，请化简：．材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：例如：化简解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：，所以．解答问题：（3）填空：＝，＝；（4）化简：（请写出化简过程）．。

数学二次根式试题含答案

【分析】
（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；
（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．
【详解】
解：(1)
＝
(2)
＝
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．
（1）
（2）
【答案】（1）-5;（2）9
【分析】
（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果；
（2）利用平方差公式计算即可．
【详解】
（1）
，
；
（2）
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
26．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
20．已知，则的值为_______．
三、解答题
21．先观察下列等式，再回答问题：
① =1+1=2；
② =2+ =2 ；
③ =3+ =3 ；…
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
证明：等式左边 =n 右边．
故 n 成立．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律“ n ”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．

初二数学二次根式试题答案及解析

初二数学二次根式试题答案及解析1.计算：（1）（2）【答案】（1）原式=﹣6；（2）原式=2x﹣x．【解析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可试题解析：（1）原式==﹣6；（2）原式=2+2x﹣x﹣2=2x﹣x．【考点】二次根式的混合运算2.下列式子中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】A、=3，故A选项错误；B、是最简二次根式，故B选项正确；C、=2，不是最简二次根式，故C选项错误；D、=，不是最简二次根式，故D选项错误．故选B．【考点】最简二次根式．3.化简后的结果是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】.故选B.【考点】二次根式的化简.4.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于（）A．2B．8C．D．【答案】D．【解析】由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是．故选D．【考点】算术平方根．5.计算：______.【答案】13【解析】6.在实数，，，，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】因为所以在实数，0，，，中，有理数有，0，，，只有是无理数.7.阅读下面问题：；.试求：（1）的值；（2）（为正整数）的值.（3）的值.【答案】（1）（2）（3）9【解析】解：（1）=.（2）.（3）8.在3.14、、、、、0.2020020002这六个数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.【解析】无理数即无限不循环小数，显然3.14、、0.2020020002这三个数是有限小数，不是无理数；而是无理数，所以也是，毫无疑问是无理数，的结果是一个无限循环小数，所以不是无理数，因此无理数有2个，即：故选B.【考点】无理数的定义.9.（1）已知：(x＋5)2＝16，求x；（2）计算：【答案】（1），；（2）.【解析】本题考查了平方根、立方根的定义及性质和绝对值的性质.（1）根据平方根的定义，先得出：，再分别计算出的值；（2）先利用平方根、立方根的性质及绝对值的性质分别计算出每个式子的值，最后相加.试题解析：解：（1)∵∴∴，原式【考点】1、平方根的定义及性质；2、立方根的定义及性质；3、绝对值的性质.10.在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数是 .【答案】2【解析】本题主要考查了实数与数轴的对应关系，解题应看这个无理数的被开方数在哪两个能开得尽方的数的被开方数之间，比较无理数的被开方数和这两个能开得尽方的数的被开方数的距离，进而求解．先利用估算法找到与的点两边的两个最近整数点，再比较这两个点与的大小即可解决问题．因为，所以左右两边的整数点是1和2，又因为3与4的距离最近，所以与的点的距离最近的整数点所表示的数是2，故填2.【考点】实数与数轴.11.若(x－3)2+=0，则x－y= ．【答案】5.【解析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．解：根据题意得，x-3=0，y+2=0，解得x=3，y=-2，x-y=3-（-2）=3+2=5．故答案为：5．【考点】1.非负数的性质：2.算术平方根；3.偶次方．12.估算的值（）A．在1到2之间B．在2到3之间C．在3到4之间D．在4到5之间【答案】C.【解析】因为5＜＜6，所以3＜＜4．故选C．【考点】估算无理数的大小．13.若x、y为正实数，且x+y=12那么的最小值为 .【答案】13【解析】若x、y为正实数，且x+y=12，那么y=12-x；因此=；设S=，则==；所以S【考点】最值点评：本题考查最值，解答本题的关键是掌握求代数式最值的方法，本题难度较大，计算量比较大14.观察各数：，，，．其中最小数与最大数的和为（结论化简）；【答案】【解析】依题意：；；；，易知最大数为，最小数为。

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精品文档二次根式
二次根式：当 ______________ 时，J x +2 + J 1 —2x 有意义。

若.— 1有意义，则 m 的取值范围是。

m 1 当x __________ 时，J （1 -X $是二次根式。

在实数范围内分解因式： x 4 —9 = ,x 2 —2j2x+2 = 已知\ I. x - 2 = 2 - x ，则x 的取值范围是。

化简：X 2—2X ，
1 x -1 的结果是 ______________________________ 。

当 w x < 5 时，J （x X j 斗 x -5 = ________________ ° 把a j _*1的根号外的因式移到根号内等于 ______________________ ° 使等式、x 1 x-1 =_x —1「，x ，
1成立的条件是 ____________________ 若a —b +1与J a +2b +4互为相反数，则（
a —
b 『°5
= ______________ 在式子石 d 心戸（y"）工2^（
X 却两,J x 2出,x 中，二次根式有（ A. 2个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个若 2 w a w 3，则 J （2 £ f -J （a d j 等于（） -H-*
1.2二次根式的乘除
1. 当 a 兰 0，b w 0 时， _________________________ °
2. 若J 2m 2 和J 33m _2"都是最简二次根式，则 m= ___________ ,n= ______
3. 计算：\[3 = ___________________ ; J 36 工 9 = _________ °
4. 计算：
（届 _3厉尸73= ____________ °
5. 长方形的宽为 3 ，面积为2^6，则长方形的长为 ______________ °
6. 下列各式不是最简二次根式的是（
A . , a 2 1 B. . 2x 1
) ■ 2b D.
C.
7.已知xy > 0,化简二次根式
...
0.1y
A . , y B.、丐
8.对于所有实数a,b ，下列等式总能成立的是（）
（T a +V b j=a +b B. J a W a +b C. 扣+2 j
A.
10. =a 2 ■ b 2 对于二次根式
x 2 9 ，以下说法中不正确的是（
）
A.它是一个非负数
B.它是一个无理数
C.它是最简二次根式
D. a ■ b 2 =a ■ b
D.它的最小值为3 A . 5 ~ 2a B. 1 2a c. 2a - 5 D. 2a -1 能使等式 x _ x 成立的x 的取值范围是( )
A. X = 2
B. X - 0
C. x w 2
D. 计算：J(2a -1 $ + J(1 -2a 2 的值是( A . o B. 4a-2 c. 2-4a D. 若• x - y y 2
-4y 4 =0，求 xy 的值。

x_2
)
2 -4a 或 4a -2
已知a, b 为实数，且叩a ■ ib -1 "：」1 —b =0，求a 2005 —b 2006的值。

11.计算:
1.1
2.
3.
4.
5.
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
15.
18.
19. 21. 25.
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2000 l
2001
15.
3 - 2 3 2
21.3 二次根式的加减 1.下列根式中，与、一3是同类二次根式的是（ A. , 24 B. ,12 C. 3 D. 2.下面说法正确的是（ 16. ⑴.
A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
B. 8与、,80是同类二次根式计算： 2用+ 3（1彳_彳748
不是同类二次根式 C. 、、2 与
D. 同类二次根式是根指数为 2的根式 3.与•、a 3
b 不是同类二次根式的是（ ⑵.748—屈4"2+(3-73)
「1+丄 1
I
"丿
A.
B. b
C. 4.下列根式中，是最简二次根式的是（
A . ,0.2b
B . ,12a -12b
1 ab ) C.
D. b x 2 - y 2 D .
5ab 2
=10，贝U x 的值等于（ 6.若,18x 2 7 4.3 7 -4、3 - 3.5-1 $
-2 C. 2 D. A. 4 B. 7. 若,3的整数部分为 A. 3"”：：：3 - 3 B . 8. 下列式子中正确的是（ A. 5、.2 二 7
C. a x -b . x 二 a -b . x x ，小数部分为y -4 ，则'、3x -y 的值是（ 10. 11. 14.
C. 1 )
B.
D. 3 D.
-a 2 • b 2 二a -b
— 4 = 3 2
若最简二次根式a ^2a +5与J 3b +4a 是同类二次根式，则a=_ 一个三角形的三边长分别为 8cm, •. 12cm, 18cm ，则它的周长是 cm
3
2
已知x ，则x -x 1 =
19.已知：^ - = V 10，求 a 2 • 2 的值。

a a
20.已知：x, y 为实数，且 y 「口、、口
3
，
化简：y _ 3 _ ~- 8y * 16。

精品文档
21.
2
、:x —3y + x -9
已知 2 ----- - 0,
（x+3$
求口的值。

y 1
答案：
21.1二次根式：
1 厂
1. x -4 ；
2. -2 <x ；
3. m ^O且m_ ：-1；
4.任意实数；
2
5. x2 3 X 、、3 X -、3 ； X -；
6. X _0 ；
7. X乞2;
8. 1 — X ；
9. 4 ；10. r、.：一a ；11. x 丄1 ；12.
-1
13 ——20：A C C A B C D B 21.4 22. a = -1，最小值为1 ；23.
2
21.3二次根式的加减：
1——8 : B A A C C C C C
9. , 8^. 18 ；10. 1、1；11. 2 2.3 ；12. 1 ；13. 10 ；
14. 4 一、. 3 ；15. ,32 ；
— 3 —
16. 1 .2 ..3, 2 4. 3 - .6 2, 3^4^ 6 5, 4 .4 ；
2
17. 1 .4, 2 .2 b, 3「2 X y ,
4 .1 ；
y —x
18. 5 ；19. 9 2'、10 ；20. -1 ；21.2
、X3- X
X3（X
+1 ）2
24.
25.爲；25. -2
21.2二次根式的乘除：
1. -b '.ab ；
2. 1、2 ；
3. 18 ；
4. -5 ；
5. 2.83
6——10：D D C A B
11. 1 .6, 2 .15x2, 3 .-20a2b, 4 .ab2、、b, 5 .1, 6 ^a2b. ab ；
12. 1 ab2■ ab, 2 . x - y, 3 .0；
13. 1 . — .5, 2 .一一右。

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