二重积分的难点与重点

计算二重积分时，画出积分区域并写出积分区域的不等式是最关键的，也是必须的

二重积分的概念与难点

一、二重积分的概念

引例与定义

1、曲顶柱体的体积 设函数(,)z f x y ，当(,)x y D 时，(,)0f x y ，且(,)f x y 在D 上连续。由曲面(,)z f x y 、xoy 平面的区域D 、母线平行于z 轴的柱面所围成的空间区域称为曲顶柱体，或称为以曲面(,)z f x y 为顶，以xoy 平面的区域D 为底，母线平行于z 轴的立体称为曲顶柱体。

定义 设函数(,)f x y 是有界闭域D 上的有界函数。将D 任意分割成n 个小的区域：

1 、

2 、...、n ，（i 既表示第i 个小区域也表示小区域的面积）；任取(,)i i i ，1,2,i n ，作和：1(,)n

i i i i f ；记max {i 的直径}，若极限

1lim (,)n

i i i i f 存在，称极限值为函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分，记作：

1

lim (,)n

i i i i f (,)D

f x y d

其中(,)f x y —被积函数，D —积分区域，d —面积微元，,x y —积分变量，(,)

f x y d —被积表达式，1(,)n

i i i i f —积分和。

即：(,)D f x y d

(,)D

f x y dxdy

—直角坐标系下的二重积分

(,)D

f x y d

(cos ,sin )D

f r r rdrd —极坐标系下的二重积分

2、二重积分的几何意义

（1）当(,)0f x y ，(,)D

f x y d 的几何意义表示以区域D 为底，以曲面(,)z f x y 为

顶，母线平行于z 轴的曲顶柱体体积（位于平面xoy 的上方）；

（2）当0),( y x f ，(,)D

f x y d 的几何意义表示以区域D 为底，以曲面(,)

z f x y 为顶，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积的负值（位于平面xoy 的下方）； （3）(,)D

f x y d 的几何意义：表示以区域D 为底，以曲面(,)z f x y 为顶，母线平行

于z 轴的曲顶柱体的体积的代数和。

（4）若(,)1f x y ，(,)D

D

f x y d d 积分值等于区域D 的面积。

（5）以曲面(,)z f x y 为顶，以xoy 平面的区域D 为底，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积

(,)D

V f x y d （注意被积函数中的绝对值）

3、二重积分的对称性

（1）若积分区域D 关于x 轴对称，0D 是位于x 轴上侧的一半区域，则

D

d y x f ),(

0),(2

D d y x f ),(),(),(),(y x f y x f y x f y x f （2）设积分区域D 关于y 轴对称，0D 是位于y 轴右侧的一半区域，则

D

d y x f ),(

0),(2

D d y x f ),(),(),(),(y x f y x f y x f y x f 二、二重积分的性质

性质1、(,)(,)D

D

kf x y d k f x y d ，k 为非零常数；

性质2、 (,)(,)(,)(,)D

D D f x y g x y d f x y d g x y d

；

性质3、若12D D D ，且12D D （除边沿部分外），则

1

2

(,)(,)(,)D

D D f x y d f x y d f x y d

二、二重积分的计算

（一）在直角坐标系下计算二重积分

1、平面上的简单区域及其不等式表示：X 型与Y 型

X D ：12()()a x b x y x Y D ：12

()()c y d y x y

)

X 型区域的特点：穿过D 内部且平行于Y 轴的直线与D 的边界相交不多于两点； Y 型区域的特点：穿过D 内部且平行于X 轴的直线与D 的边界相交不多于两点；

不等式实际上就是简单区域D 内部的点所满足的不等式；

如果积分区域D 是X 型的积分区域，则将区域D 投影到x 轴，得投影区域 ,a b ，在 ,a b 任取一点x ，过x 做平行于y 轴的直线，穿过D 沿着y 轴的正向看，从1()

y x 进入积分区域D ，从2()y x 穿出积分区域D ，则X D ：12

()()a x b x y x

；

如果积分区域D 是Y 型的积分区域，则将区域D 投影到Y 轴，得投影区域 ,c d ，在 ,c d 任取一点y ，过y 做平行于x 轴的直线，穿过D 沿着x 轴的正向看，从1()

x y 进入积分区域D ，从2()x y 穿出积分区域D ，则Y D ：12()()c y d y x y

例题 将下列平面区域用不等式表示

解 （1）X D ，Y D ：c y d

a x b

；

（2）X D

：0R x R

y Y D ：0y R y （3）X D ：2

01

0x y x

及 1202x y x

； Y D ：01

2y x y

。 2、在直角坐标系下二重积分的计算（化为二次积分） （1）积分区域D 为矩形：即 D: a x b

c y

d ，

则有

,(,)(,)b d d b

D

a

c

c

a

f x y d dx f x y dy dy f x y dx

（2）若其积分区域D 为X 型区域，即D ：12()()a x b x y x

，

则有

2211()()()()(,)(,)(,)b x b x D

a

x a x f x y d f x y dy dx dx f x y dy

；(先关于y 积分，后d