直线与椭圆的位置关系(说课稿)

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《直线与圆的位置关系》说课稿(附教学设计)

《直线与圆的位置关系》说课稿一、教材的理解与处理本节课的内容是平面解析几何的基础知识，是对前面所学直线与圆的方程的进一步应用。

而解决问题的主要方法是解析法。

解析法不仅是定量判断直线与圆的位置关系的方法，更为后续研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。

本节课的教学目的是使学生掌握直线与圆的位置关系的判定方法，教材处理问题的方法主要是：用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d后与圆的半径r比较作出判断；类比利用直线方法求两条直线交点的方法，联立直线与圆的方程，通过解方程组，根据方程组解的个数判断直线与圆的位置关系。

考虑到圆的性质的特殊性，以及渗透给学生解决问题尽力选择简捷途径，以及学生的认知结构特征，课堂上师生着力用第一种方法来解决直线与圆的位置关系，对于第二种方法主要留给学生自主探究，教师做适当的点拨总结。

二、教学目标确定说明学生在初中已经学习了直线与圆的位置关系，也知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小比较两种方法判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，这两种方法都是以结论性的形式呈现，在高一学习了解析几何以后要求学生掌握用直线和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，解决问题的主要方是解析法。

高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。

根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：（1）知识与技能目标：①理解直线与圆三种位置关系。

②掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法。

（2）能力目标：①通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式。

《直线与椭圆的位置关系》教学设计

《直线与椭圆的位置关系》教学设计思考：已知条件中的2AOB π∠=还可以用什么形式来表达？教师提出问题，学生思考并回答通过探究一及思考问题实现点在圆上、直角及向量点积等于零的转化，发展学生逻辑推理和数学运算素养変式已知椭圆C ：2214x y +=，直线:l 2y kx =+与椭圆交于AB 两点，且O 为坐标原点，若(,)2AOB ππ∠∈，求k 的取值范围思考：（1）将条件改为(0,)2AOB π∠∈呢？（2）(,)2AOB ππ∠∈，(0,)2AOB π∠∈还可以用什么形式来表达？拍照展示学生解题成果，其他学生纠错，教师点评，在求范围时注意判别式教师提出问题，学生思考并回答通过学生纠错发现问题，提出问题，分析问题并解决问题。

加强“四基”、 “四能”的培养。

激发学生的求知欲望.通过変式训练及思考问题实现点在圆内或外、钝角或锐角及向量点积小于或大于零的转化反思总结学生总结培养学生善于总结，自觉归纳知识的好习惯.探究二设椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A,B ，点M 的坐标为（2，0），设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.思考：（1）此题还可以改为证明什么结论呢？（2）若增加条件MA ，MB 与y 轴分别交于C ，D 两点，试判断MCD ∆的形状学生展台展示并讲解，对出现的问题其他学生纠错，教师点评。

教师提出问题学生思考并回答探究二及思考问题实现角相等、角平分、角互补、等腰三角形、斜率之和为零的转化，发展学生逻辑推理和数学运算素养反思总结学生总结培养学生善于总结，自觉归纳知识的好习惯.変式训练変式1：已知椭圆为C：2214xy+=，过点M （4，0）作关于x轴对称的两条不同的直线12,,l l若直线1l交椭圆C于一点11(,)A x y，直线2l交椭圆C于一点22(,)B x y,12x x≠，证明：直线AB恒过定点。

学生讲解，其他学生补充其他方法，教师点评多种方法解题，发散学生思维能力，再与探究二做对比，总结归纳変式2：已知椭圆为C：22143x y+=，过左焦点F作x轴的垂线交椭圆于A,B两点，点A在第二象限，且满足||||AM AF AN AFAM AN=,问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

直线和椭圆的位置关系的教案

学生思考，独立完成
复习巩固知识
二
讲
授
新
课
(7)请你在同一坐标系中画出下列直线：y=x+3，y=1，y=x
并判断这些直线和该椭圆的位置关系.
通过学生交流，揭示课题。并解决下面的两个知识点。
1直线和椭圆的位置关系
2判断方法：(1)画图。由数到形的过程
(8)请你画出直线,并判断
它与椭圆的位置关系.
引导学生由形到数找到第二种判断方法：(2)联立方程，找判别式.
巩固知识，感受解析几何的计算量。
寻求解决问题的方法，并体验取得成功的喜悦。
巩固所学知识，再次体验成功。
三
小
结
四
作
业
1直线与椭圆的三种位置关系.
2直线与椭圆的三种位置关系的判断方法.
3弦长的计算方法.
1书上48页第7题.
2活页85页的1、2、6、8、9、10.
3过椭圆内一点M
引一条弦，使弦被M平分，求这条弦
练习:直线l:y=x+m与椭圆
交于A、B两点,弦长AB为，求
直线l的方程.
引导学生注意相交时的条件判断.
学生独立完成
学生回答
学生独立完成，讨论
学生独立完成
学生独立完成
学生自己推出弦长公式
学生独立完成
通过实际操作感知直线和椭圆的三种关系
让学生感受通过画图不易确定关系，进而寻找新的方法。
对新学知识的巩固
所在的直线方程.
学生归纳、总结
学生独立完成
让学生回顾本节课的内容，总结提炼所学知识与思想方法。
通过练习加深对本节课内容的认识，培养学生应用知识独立解决问题的能力。
五
板
书

【一等奖教案】椭圆与直线的位置关系

课题：椭圆与直线的位置关系教学目的：使学生理解并掌握椭圆与直线的相互位置关系及两者方程之间的相互联系，能利用两者方程之间的相互关系解决有关椭圆与直线位置关系的问题.从而培养学生的运用知识能力、相互转化能力、理解能力及分析问题解决问题能力.教材分析：重点：利用判别式、弦中点坐标、弦长公式及弦所在直线斜率等的相互关系解题。

重点是掌握利用弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系解题. 难点：有选择地运用适当技巧解题.教学过程：一、课引1.在圆的单元中，我们研究了圆与直线的位置关系，它们的关系是：相离、相切、相交，在分析这类问题时，其关键（或者说是解题的切入点）是分析直线与圆的公共点的个数及圆心到直线的距离.通过这两点可以较清楚地分析出直线与圆的相互关系，并由此作为切入点进行解题.圆①.求直线方程（如切线方程、弦所在直线方程等）或圆方程； ②.把圆（一条封闭曲线）看成一个“区域”，利用线性规划的思想求最值； ③.求解与弦有关的一些问题（如弦长、弦中垂线等）。

这里有一个弦长公式： |P 1P 2|＝()()||11||1212121221222yy kx x k y y x x -+=-+=+--2.椭圆与圆有很多相似之处.当椭圆长短轴的长相等（离心率为0）时，椭圆即为圆.因此，在椭圆的这部分内容中也有此类问题，事实上，对于其他二次曲线（包括以后学习的双曲线和抛物线）均有此类问题，而且这类问题很有共性.当然，由于椭圆（包括以后学习的双曲线和抛物线等）有其本身的特殊性，在解题时也应注意研究分析各自的不同之处（比如相切问题，过切点的半径与圆的切线垂直，而椭圆中就没有这个性质，即切点与椭圆中心的连线不一定垂直于切线）.3.直线与二次曲线相互位置关系的问题，是解析几何的一个重点内容，也是高考的重点考查的内容之一，纵观历年高考，这部分的内容必考无疑！因此请大家务必引起充分重视.下面略举几例来说明此类问题的分析与解答.二、讲解新课例1：在椭圆x 2+4y 2=16中，求通过点M （2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程. 解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x 轴，则点M （2，1故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程得x 2+4[k(x-2)+1]2=16即得(1+4k 2)x 2-(16k 2-8k)x+16k 2-16k-12=0∵直线与椭圆有两个交点,故 △=16(k 2+4k+3)>0又4418162221=+-=+kk x x k两式联立解得k=21-，∴直线方程为x+2y-4=0. 评：※.本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，由此得出△=16(k 2+4k+3)>0，又利用了中点坐标，列出了方程，从而使问题得到解决.这种方法是常用的方法，大家务必掌握.但是，这种解法显得较繁（特别是方程组 16(k 2+4k+3)>044181622=+-kk k显得较繁）。

高中二年级上学期数学《直线与椭圆的位置关系》教学设计(微课)

《直线与椭圆的位置关系》教学设计
一、教学内容：类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系，并探
究直线被椭圆截得弦长公式。

二、教学目标：理解直线与椭圆位置关系的代数表达，掌握直线被椭圆截得弦长公式。

三、教学过程
1. 问题引入，提出概念
问题1:直线与椭圆位置关系有哪些？
【设计意图】通过问题，引导学生思考，然后经历由图形直观到严格的逻辑推理证明，激活学生已有学习经历和知识储备，在证明过程中发现本质。

2.深入探究，辨析概念
问题2：当直线与椭圆相交于不同两点时如何求相交弦长？
【设计意图】通过例题和跟进训练让学生巩固对直线被椭圆截得弦长的理解，达到能够熟练的利用渐近线方程解决问题水平，培养学生的数学运算、逻辑推理核心素养。

4. 归纳总结，作业巩固
4.1知识、方法、思想
4.2学习感悟
4.3课后作业
1。

教学设计直线和椭圆的位置关系的教案

教学设计直线和椭圆的位置关系教学目标：1. 理解直线和椭圆的基本概念。

2. 掌握直线和椭圆的位置关系的判定方法。

3. 能够应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题。

教学内容：第一章：直线和椭圆的基本概念1.1 直线的定义和性质1.2 椭圆的定义和性质第二章：直线和椭圆的位置关系的判定2.1 直线与椭圆相交的判定2.2 直线与椭圆相切的判定2.3 直线与椭圆相离的判定第三章：应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题3.1 直线与椭圆的位置关系在几何中的应用3.2 直线与椭圆的位置关系在物理中的应用3.3 直线与椭圆的位置关系在计算机图形学中的应用第四章：直线和椭圆的位置关系的综合练习4.1 判断直线与椭圆的位置关系4.2 解决实际问题第五章：总结和复习5.1 直线和椭圆的位置关系的总结5.2 复习直线和椭圆的基本概念教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。

2. 使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来直观展示直线和椭圆的位置关系。

3. 提供丰富的练习题，让学生通过实践来巩固所学知识。

教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。

2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。

3. 综合练习：评估学生在综合练习中的表现，包括判断直线与椭圆的位置关系和解决实际问题。

教学资源：1. 教学PPT：提供直线和椭圆的基本概念、位置关系判定和应用实例。

2. 练习题：提供丰富的练习题，包括判断题、选择题和解答题。

3. 综合练习：提供实际问题案例，让学生应用直线和椭圆的位置关系进行解决。

教学安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：3课时4. 第四章：2课时5. 第五章：1课时六章：直线和椭圆的位置关系的深入探究6.1 直线与椭圆的交点个数的判定6.2 直线与椭圆的交点坐标的计算方法七章：直线和椭圆的位置关系的几何性质7.1 直线与椭圆的切线性质7.2 直线与椭圆的割线性质八章：直线和椭圆的位置关系在实际问题中的应用8.1 直线与椭圆的位置关系在工程中的应用8.2 直线与椭圆的位置关系在设计中的应用九章：直线和椭圆的位置关系的综合练习9.1 判断直线与椭圆的位置关系及交点个数9.2 解决实际问题十章：总结和复习10.1 直线和椭圆的位置关系的总结10.2 复习直线和椭圆的基本概念及位置关系的判定方法教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。

《选修11：直线与椭圆的位置关系》教案

适用学科适用区域知识点高中数学苏教版区域适用年级课时时长(分钟)高二 2 课时直线与椭圆的位置关系。

常见的几类问题（交点个数问题、弦长问题、中点弦问题） 1．掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法． 2．掌握有关椭圆弦长问题的求解方法．直线与圆锥曲线的位置关系的判断和弦长的求解数形结合思想的应用教学目标教学重点教学难点【教学建议】本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气．【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】直线与圆有哪些位置关系？怎么判断的？想一想：直线与椭圆有哪些位置关系，能用直线与圆的位置关系的判断方法来判断吗？如果不能，你有哪些方法？二、知识讲解【问题导思】直线与椭圆的位置关系如何判断？【提示】判断直线 l 与椭圆 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入椭圆 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 Ax＋By＋C＝0， y)的一元方程，即 消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0． F(x，y)＝0， 第 1 页设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则 Δ>0  直线与椭圆 C 相交；Δ＝0  直线与椭圆 C 相切；Δ<0  直线与椭圆 C 相离．【问题导思】直线与椭圆相交时，弦长怎么求？【提示】设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB   x1  x2 2   y1  y2 2   x1  x2 2   kx1  kx2 2  k 2  1 x1  x2  k 2  1  x1  x2 2  4x1 x2 或AB 考点 2弦长公式 x1  x2    y1  y2 221  1 1 2 1   y1  y2    y1  y2   2  1 y1  y2  2  1 k k k k  2 y1  y2 2 4 y1 y2 ．然后联立直线与椭圆的方程，建立关于变量 x(或变量 y)的一元二次方程，运用韦达定理求弦长．类型一直线与椭圆的位置关系x2 已知椭圆＋y2＝1． 4 (1)当 m 为何值时，直线 y＝x＋m 与椭圆有两个不同的交点？ (2)当 m＝2 时，求直线被椭圆截得的线段长．【思路探究】联立，消 y 得一元二次方程→Δ 判别式→m 的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长． x 2   4 ＋y ＝1 【自主解答】(1)联立 消去 y 得，5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0． ①  y＝x＋m 因为 Δ＝64m2－80(m2－1)>0，所以－ 5<m< 5，所以当－ 5<m< 5时直线与椭圆有两个不同交点． (2)当 m＝2 时，方程①化为：5x2＋16x＋12＝0， 16 12 设线段端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理，得 x1＋x2＝－，x1x2＝， 5 5 又 k＝1，所以 AB＝【方法回顾】 1＋k2 4 (x1＋x2)2－4x1x2＝ 2． 52第 2 页1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由 Δ 判别式进行判别． 2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用 AB＝进行求解，也可利用 AB＝ 1 1＋ 2|y1－y2|＝ k 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 (x1＋x2)2－4x1x21 1＋ 2· k(y1＋y2)2－4y1y2进行求解．已知椭圆 4x2＋5y2＝20 的一个焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 45° 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，求弦长 AB．第 3 页【思路探究】求出焦点 F 的坐标→求出直线 l 的斜率→设直线 l 的方程→联立方程→利用根与系数的关系设而不解→由弦长公式求解 x2 y2 【自主解答】椭圆方程为＋＝1，a＝ 5，b＝2，c＝1， 5 4 所以直线 l 的方程为 y＝x＋1(不失一般性，设 l 过左焦点)，由 9x2＋10x－15＝0． 10 5 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－，x1· x2＝－， 9 3 10 5 8 10 16 5 AB＝ 2|x1－x2|＝ 2· (x1＋x2)2－4x1x2＝ 2· (－ )2－4· (－ )＝ 2· ＝． 9 3 9 9 【方法回顾】 1．解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为 x1＋x2，x1· x2 或 y1＋y2，y1· y2，进而求解． 2．利用弦长公式求弦长时，没必要验证方程的 Δ>0． y＝x＋1， 4x2＋5y2＝20， 消去 y，得类型二求中点弦所在的直线方程x2 y2 已知(4，2)是直线 l 被椭圆＋＝1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是________． 36 9 x2 y2 1 1 【自主解答】方法一：设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，且 36 9 y1－y2 x1＋x2 x2 y2 2 2 ＋＝1，两式相减，得＝－． 36 9 x1－x2 4(y1＋y2) y1－y2 1 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－， 2 x1－x2 1 故直线 l 的方程为 y－2＝－ (x－4)，即 x＋2y－8＝0． 2 方法二：设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线方程为 y  2  k  x  4 ，即第 4 页y  kx   2  4k  ．2  y  kx   2  4k  联立方程  2 ，得 x 2  4   kx   2  4k     36  0 ， 2  x  4 y  36  0即 4k 2  1 x 2  8k  2  4k  x  4  2  4k   36  0 ．2又 x1＋x2＝8，所以 8  x1  x2  8k  2  4k  4k 2  11 ，解得 k   ． 21 故直线 l 的方程为 y－2＝－ (x－4)，即 x＋2y－8＝0． 2 【总结与反思】处理中点弦问题常用的求解方法 1．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1＋ y1－y2 x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求 x1－x2 得斜率． 2．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．类型三直线与椭圆位置关系的应用x2 y2 设 A1，A2 与 B 分别是椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右顶点与上顶点，直线 A2B 与圆 C： a b x2＋y2＝1 相切． 1 1 (1)求证： 2＋ 2＝1； a bON ＝0，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并 (2)直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，且 OM ·说明理由． x2 y2 【解】(1)已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)，A1，A2 与 B 分别是椭圆 E 的左、右顶点与上顶点， a b第 5 页x y 所以 A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，直线 A2B 的方程是＋＝1． a b 因为直线 A2B 与圆 C：x2＋y2＝1 相切，所以 1 1 1 ＝1，即 2＋ 2＝1． a b 1 1 ＋ a2 b2(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)． ①若直线 l 的斜率存在，设直线 l：y＝kx＋m．2 x2 y2 x2 (kx＋m) 将 y＝kx＋m 代入 2＋ 2＝1，得 2＋＝1， 2 a b a b化简，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0(Δ>0)． a2m2－a2b2 2a2km 所以 x1＋x2＝－ 2 ， x x ＝， 1 2 b ＋a2k2 b2＋a2k22 a2k2m2－a2b2k2 － 2a km  2 故 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k x1x2＋km(x1＋x2)＋m ＝＋km 2 2 2＋m ＝  b ＋a k  b2＋a2k2 2 2b2m2－a2b2k2 b2＋a2k2．ON ＝0，所以 x1x2＋y1y2＝0．因为 OM ·1 1 把 x1x2，y1y2 代入上式，得(a2＋b2)m2－a2b2(1＋k2)＝0．结合 2＋ 2＝1，得 m2＝1＋k2． a b 圆心到直线 l 的距离为 d＝＝1，所以直线 l 与圆 C 相切． 1＋k2 a2b2－b2n2 ， a2 |m|x2 y2 ②若直线 l 的斜率不存在，设直线 l： x＝n．把直线 l 代入 2＋ 2＝1，得 y＝± a b 所以|n|＝a2b2－b2n2 ，所以 a2n2＝b2(a2－n2)，解得 n＝± 1，所以直线 l 与圆 C 相切． a2综上所述，直线 l 与圆 C 相切．【总结与反思】研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．对于填空题，充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(－2，－1)的椭圆 C： 2  2  1 a  b  0  的左焦点为 F， a b第 6 页uuu r uuu r 短轴端点为 B1、B2， FB1  FB2  2b2 ．(1)求 a、b 的值； (2)过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一交点为 Q，与 y 轴的交点为 R，过原点 O 且平行于 l 的直线与椭圆的一个交点为 P．若 AQ· AR＝3OP2，求直线 l 的方程．0)， B1 (0，  b)， B2 (0， b) ，所以 FB1   c，【解】(1)因为 F (c，  b ， FB2   c,b ．uuu r uuu r 因为 FB1  FB2  2b2 ，所以 c2－b2＝2b2．①4 1 因为椭圆 C 过 A(－2，－1)，代入得 2＋ 2＝1．② a b 由①②解得 a2＝8，b2＝2．所以 a＝2 2，b＝ 2． (2)由题意，设直线 l 的方程为 y＋1＝k(x＋2)．uuu ruuu r y＋1＝k（x＋2），由x2 y2 得(x＋2)[(4k2＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0．   8 ＋ 2 ＝1，8k＋4 8k＋4 因为 x＋2≠0，所以 x＋2＝ 2 ，即 xQ＋2＝ 2 ． 4k ＋1 4k ＋ 1 y＝kx，由题意，直线 OP 的方程为 y＝kx．由x2 y2   8 ＋ 2 ＝1，得(1＋4k2)x2＝8，则 x2 P＝8 ． 1＋4k22 因为 AQ· AR＝3OP2，所以|xQ－(－2)|× |0－(－2)|＝3xP ．即 8k＋4  8 ，解得 k＝1，或 k＝－2． ×2＝3× 2 1＋4k2 4k ＋1当 k＝1 时，直线 l 的方程为 x－y＋1＝0，当 k＝－2 时，直线 l 的方程为 2x＋y＋5＝0．【总结与反思】涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．【基础】四、课堂运用第 7 页x2 y2 1．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆＋＝1 的位置关系是________． 9 4 x2 y2 2．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)，F( 2，0)为其右焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭 a b 圆相交所得的弦长为 2，则椭圆 C 的方程为________．答案与解析 1．【解析】由于直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．【答案】相交 c＝ 2，  b 2．【解析】由题意，得 a ＝1，  a ＝b ＋c ，2 2 2 2解得 a＝2，x2 y2 所以椭圆 C 的方程为＋＝1． 4 2  b ＝ 2， x2 y2 【答案】＋＝1 4 2 【巩固】 1 1 x2 ， 1．椭圆＋y2＝1 的弦被点 2 2平分，则这条弦所在的直线方程是________．  2 2．焦点分别为(0，5 2)和(0，－5 2)的椭圆截直线 y＝3x－2 所得椭圆的弦的中点的横坐标 1 为，求此椭圆方程． 2 答案与解析 1．【解析】设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝1，y1＋y2＝1．2 x1 x2 2 2 因为 A，B 在椭圆上，所以＋y1＝1，＋y2 2＝1． 2 2(x1＋x2)(x1－x2) y1－y2 x1＋x2 1 1 ＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即＝－＝－，即直线 AB 的斜率为－． 2 2 2 x1－x2 2(y1＋y2) 1 1 1 x－ ，即 2x＋4y－3＝0．所以直线 AB 的方程为 y－＝－  2 2 2 【答案】2x＋4y－3＝0 x2 y2 2．【解】设 2＋ 2＝1(a>b>0)，且 a2－b2＝(5 2)2＝50．① b a第 8 页x y  b2＋a2＝1 由 ，得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，  y＝3x－2 x1＋x2 1 6b2 1 2 2 因为＝，所以 2 2＝2，所以 a ＝3b ，② 2 2 a ＋9b x2 y2 此时 Δ>0，由①②，得 a2＝75，b2＝25，所以＋＝1． 25 75 【提高】 x2 y2 1．设椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点， a b → → 直线 l 的倾斜角为 60° ，AF＝2FB． (1)求椭圆 C 的离心率； 15 (2)如果 AB＝，求椭圆 C 的方程． 4 答案与解析 1．【解】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1<0，y2>0)， (1)直线 l 的方程为 y＝ 3(x－c)，其中 c＝ a2－b2．22 y  3  x  c － 3b2(c＋2a)  2 2 2 2 4 联立  x 2 y 2 消去 x，得(3a ＋b )y ＋2 3b cy－3b ＝0，解得 y1＝， 3a2＋b2  2  2 1 b a－ 3b2(c－2a) y2＝， 3a2＋b2 3b2(c＋2a) － 3b2(c－2a) → → c 2 因为AF＝2FB，所以－y1＝2y2，即＝ 2· ，解得离心率 e＝＝． 2 2 2 2 a 3 3a ＋b 3a ＋b (2)因为 AB＝＝3，b＝ 5． x2 y2 所以椭圆 C 的方程为＋＝1． 9 5 1 2 4 3ab2 15 c 2 5 5 15 1＋ |y2－y1|，所以 · 2 2＝．由＝得 b＝ a．所以 a＝，得 a 3 4 a 3 3 4 4 3 3a ＋b直线与椭圆位置关系的判断、有关椭圆弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合五、课堂小结第 9 页思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【基础】六、课后作业x2 y2   1 的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为________． 36 91．若椭圆x2 2．过点 M(－2，0)的直线 m 与椭圆＋y2＝1 交于 P1、P2 两点，线段 P1P2 的中点为 P，设 2 直线 m 的斜率为 k1(k1≠0)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值为___________． 3．斜率为 1 的直线 l 与椭圆x2  y 2  1 相交于 A、B 两点，则 AB 的最大值为________． 44．椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(－ 3，0)和 F2( 3，0)，且椭圆过点1，－3 ． 2(1)求椭圆的方程； 6  (2)过点 －5，0作不与 y 轴垂直的直线 l 交椭圆于 M，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断 ∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．答案与解析 1． 1 22． 1 23．4 10 5x2 4．(1)由题意，即可得到＋y2＝1． 4 6 (2)设直线 MN 的方程为 x＝ky－， 5x＝ky－5， 12 64 联立直线 MN 和曲线 C 的方程可得 得(k ＋4)y － ky－＝0， 5 25 x  4 ＋y ＝1，2 2 2 26设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，y1y2＝－64 12k ，y1＋y2＝， 2 25（k ＋4） 5（k2＋4）4 16 π → → 则AM· AN＝(x1＋2，y1)· (x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋ k(y1＋y2)＋＝0，即可得∠MAN＝． 5 25 2 【巩固】 1．已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m．第 10 页(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x ，且椭圆经过点M (4，1)，直线l y x m =+：交椭圆于不同的两点A ，B ．(1)求该椭圆的方程；(2)求实数m 的取值范围．3．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．答案与解析1．【解】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0．因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52．故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－52，52． (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)．设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m )－(x 2＋m )＝x 1－x 2，所以d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2．所以当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x ．2．(1)由题意可设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>．因为e =，所以224a b =． ① 又因为椭圆过点M (4，1)，所以221611a b +=， ②由①②解得22520b a = =，，故椭圆的方程为221205x y +=． (2)将y x m =+代入221205x y +=，整理，得22584200x mx m ++-=，由题意知()()228204200m m =-->D ，解得55m -<<，所以实数m 的取值范围为()55- ，．3．【解】解法一：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0．而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a ．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，所以 x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b．再由AB ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，所以 b ＝23．所以所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则AB ＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2．因为AB ＝22，所以a ＋b －aba ＋b＝1．① 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b，因为OC 的斜率为22，所以 a b ＝22．代入①，得a ＝13，b ＝23．所以椭圆方程为x 23＋2y 23＝1．【提高】1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点为)0． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案与解析1．(1)==32a b = =，，因此椭圆C 的标准方程为22194x y +=． (2) ①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-，当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为12k k ，，则121k k =-，将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程，得()()()222000094189360k x k y kx x y kx ++-+--=，化简，得()2200940y kx k ---=，即()()22200009240x k x y k y --+-=，则12k k ，是关于k 的一元二次方程()()22200009240x k x y k y --+-=的两根，则201220419y k k x -==--，化简，得220013x y +=．②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则点P 的坐标为(±3，±2)，此时点P 也在圆x 2+y 2=13上．综上所述，点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13。

(省优)获奖教案：椭圆与直线的位置关系

直线和椭圆的位置关系

直线和椭圆的位置关系一节课教学设计一、教材分析（一）教材结构与内容简析《直线和椭圆的位置关系》是高中数学新教材選修1-1的内容，是在学习了椭圆基本几何性质的基础上，进一步研究椭圆的性质。

直线和椭圆的位置关系是学习椭圆性质一个重要的知识点。

它有三大作用：（1）确定直线与椭圆的位置关系（相交，相切，相离），（2）求直线交椭圆所得的弦长（3）根据直线与椭圆的位置关系，及弦长求直线或椭圆方程。

并且,直线和椭圆的位置关系有利于培养学生的抽象思维能力，分析问题和解决问题的能力。

因此，本节内容是高考考查的重点内容。

近年来,本节内容在高考中所占的比重也呈上升趋势。

（二）目标分析根据教学大纲、考试说明，学生的心理特征及已有的认知结构，我制定了如下教学目标：1、基础知识目标：①使学生掌握椭圆与直线的位置关系；能判定直线与椭圆的位置关系;②会求直线截椭圆所得的弦长;③处理与弦长、交点有关的问题。

2、能力训练目标：①培养学生用类比的归纳概括能力。

②培养学生的运算能力。

3、素质能力目标：①领会用运动变化的观点去观察分析事物的方法。

②培养学生对数学美的艺术体验。

（三）教学重点、难点本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立了如下的教学重点、难点：重点：直线与椭圆的关系难点：直线截椭圆的弦长的求法二、学生分析（一）学情分析高二学生正处于从感性思维到理性思维的过渡阶段，并由此向逻辑思维发展，但学生的思维还不够成熟、不够严密、部分学生意志力薄弱。

因此整个教学环节总是创设恰当的情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力，推理判断能力、归纳演绎能力。

三、教法与学法分析（一）教法数学是一门培养思维，发展思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。

学生是教学活动的主体、教学的根本目的是为了促进学生的发展，为了使学生达到本节课设定的教学目标。

我采取“四为主课型”的教学方法，以教师为主导，以学生为主体，以知识传授为主线，以能力培养为主攻，力图创建和谐、愉悦、互动的教学环境。

(完整word版)直线与椭圆的位置关系教学设计

情感态度与
价值目标
培养学生主动探究知识、合作交流的意识和运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力，激发提出问题和解决问题的勇气。
明
确
四
点
重点
直线与圆锥曲线位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用。
难点
等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。
德育点
培养学生大胆猜想，敢于发表个人见解的意识。
提问学生作答
教师总结
引出如何具体判定直线与椭圆的三种位置关系的两种常用方法：
①：代数法
（方程思想）
②：几何法
（数形结合思想）
应用举例
巩固提高
变式练习：直线与椭圆（或圆）恒有公共点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
学生独立思考，完成后可以小组讨论、交流、分析，教师巡视，并给予中下等生指导，对学生发言的结果给予肯定。
本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》，着重是掌握如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化解题思维，提高解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。
教师提出高考对本章的要求并点明课题.
为研究直线与椭圆的位置关系做好铺垫，说明研究的必要性及本节内容在高考中的地位
进一步巩固“判断直线与椭圆的位置关系”的两种方法（代数法和几何法）
引申
拓展
发展
新知
问题3、直线与椭圆相交，形成一段弦，那么弦长公式是什么？完成学案第3题。
问题4：过椭圆内一点M(2，1)作椭圆的弦，点M恰为该弦的中点，求该弦所在直线的方程。
对问题3：教师提出问题，学生回答，得出条件。
对问题4：学生在再次讨论、交流合作完成.教师巡视、指导，师生共同合作完成

直线和椭圆的位置关系教案

2014-12-22一课一优质地址：岳西中学高三10班授课教师：方梅香课题：直线和椭圆的位置关系课型:复习课直线与椭圆的位置关系【高考目标定位】1．考纲点击掌握直线与椭圆的位置关系。

2．热点提示（1）直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。

（2）各种题型都有涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则属于中高档题目。

【复习回顾】1．对椭圆定义的理解：平面内动点P 到两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数2a,当2a>|1F 2F |时，动点P 的轨迹是椭圆；当2a=|1F 2F |时，轨迹为线段1F 2F ；当2a<|1F 2F |时，轨迹不存在。

2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程()222210x y a b a b +=<< 图形【知识梳理】直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆位置关系的判定把椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>与直线方程y=kx+b 联立消去y ，整理成形如的形式，对此一元二次方程有：（1）⊿>0,直线与椭圆相交，有两个公共点；（2）⊿=0，直线与椭圆相切，有一个公共点；（3）⊿<0，直线与椭圆相离，无公共点。

2．直线被椭圆截得的张长公式：设直线与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，()212122111AB k x y y k k=+-=+-则：为直线斜率【例题精讲】已知椭圆C 的焦点），（0221-F 和），（0222F ，长轴长为6，设直线2x y +=交椭圆C 于A ，B 两点，求线段AB 中点的坐标。

解题思路：充分挖掘习题的潜在价值，从学生熟悉的问题情境入手，通过巧妙的拓展与变式，引入对新问题的探究，激发学生求知欲，调动思考的积极性。

解：由题可设椭圆的标准方程为1a x 2222=+by ，则22,62==c a1893222=-=-=∴=∴c a b a∴椭圆的方程为1922=+y x 设),(),,(2211y x B y x A由⎪⎩⎪⎨⎧+==+21y 9x 22x y得 9)2(922=++x x ，即02736102=++x x 。

高中数学_直线与椭圆的位置关系教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计我所执教的学校生源较差，而且又是文科班，所以学生的基础相对薄弱，计算能力相对较差，对问题的灵活变通能力有所欠缺，同时学生的学习的主动性也较差，易浮躁，缺乏自信心，自我控制能力较差。

因此，在教学中怎样提高学生的认真专注能力是最重要的，另外调动每个学生的积极性，使所有学生能够投入到学习中去，不畏艰难，迎头突破是长期的任务。

效果分析本节课是在教师批改了学生学案的基础上进行的，非常具有针对性，且教师注重学生动笔能力的养成，总体来看课堂效果达到了预期的目标。

课堂上采用了“问题驱动，多元导学”的课堂教学模式，同时采用了“导学式小组合作学习”的模式，共同合作完成学习任务。

学生的积极性很高，小组讨论热烈，学生互相帮助，都找到了解决问题的方法和需要注意的问题。

且从当堂检测这一环节看到学生们的收获还是很大的。

直线与椭圆的位置关系是高考必考内容，在近五年山东和全国高考中，都考查了直线与椭圆的位置关系，尤其是弦长问题是高考的必考点，2014，2016年考查了面积及面积最值求法，2015年考查了斜率关系，最终转化为联立问题。

因此在高考中直线与圆锥曲线关系中弦长问题是重点。

本节课复习的重点就是这种题型。

1.直线y=kx+1与椭圆 1522=+my x 恒有公共点,则m 的取值范围是。

2.椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +-=最大距离是________.3.已知椭圆22195x y +=的焦点为12,F F ,在直线:60l x y +-=上找一点M ,求以12,F F 为焦点,通过点M 且长轴最短的椭圆方程是。

4．椭圆 2212x y +=与斜率为1的直线l 交于A ，B 两点，F 1是左焦点，求⊿ABF 1的面积的最大值．本节课是高二选修1-2和2-2的重点内容，主要研究直线与椭圆的位置关系以及简单的应用。

对于本节课内容，我觉得主要是做好两个方面，一个是如何判断直线与椭圆的位置关系，另一个是如何求弦长以及求三角形的面积。

直线与椭圆的位置关系教案

直线与椭圆的位置关系教案(总19页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 点与椭圆的位置关系提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系引出点与椭圆的位置关系1.点与椭圆的位置关系设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(12222>>=+b a by a x 若点),(00y x P 椭圆上，则1220220=+by a x ；若点),(00y x P 在椭圆内，则1220220<+by a x ；若点),(00y x P 在椭圆外，则1220220>+by a x ；考点/易错点2 直线与椭圆的位置关系（1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系：相离：直线与椭圆没有交点；相切：直线与椭圆有唯一交点；相交：直线与椭圆两个交点；（2）判断直线与椭圆的位置关系设直线:,l y kx m =+椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，联立直线与椭圆方程消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=记该一元二次方程的判别式为∆，则①当0∆>时，直线与椭圆相交，有两个交点；②当0∆=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点；③当0∆<时，直线与椭圆相离，没有交点.（3）弦长公式的推导设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长.回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式.11AB x x y y =-=-k 为直线AB 的斜率）.三、例题精析【例1】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的离心率为23，右顶点到左焦点的距离为32+（1）求椭圆M 的方程.（2）若直线20x y m +-=与椭圆M ：①相交，②相切，③相离，求实数m 的取值范围；（3）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于不同的B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f .【答案】（1）2214x y += （2）①相交：m <<m =，③相离：m m <<或（3）()(f t t =∈ 【解析】（1）依据题意，则2c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩解方程组得2,a c ==所以椭圆方程为2214x y += （2）联立222014x y m x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得225161640x mx m -+-= 222(16)45(164)16(54)m m m ∆=-⨯-=-①若直线与椭圆相交，则216(54)0m ∆=->，解得22m -<< ②若直线与椭圆相切，则216(54)0m ∆=-=，解得2m =± ③若直线与椭圆相离，则216(54)0m ∆=-<m m <<或（3）联立2214y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得2258440x tx m ++-=因为直线与椭圆有两个交点，则226420(44)0t t ∆=-->，解得t <<设1122(,)(,)A x y B x y ，由韦达定理，则1285t x x +=-，2124(1)5t x x -=由弦长公式，则AB ===所以()(f t t =∈ 【例题2】已知椭圆22:12x M y +=，（1）求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；（2）过1)2Q 的直线与椭圆M 相交于,A B 两点，且,A B 关于点Q 对称，求直线AB 的方程；（3）过点(2,1)的直线l 与椭圆M 相交，求直线l 被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.【答案】（1）40x y +=，（2220y +-=，（3）222220x y x y +--=【解析】(1) 设平行弦中点坐标为00(,)x y ，弦与椭圆对应的两个交点为11(,)x y ，22(,)x y221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得12121212()()()()02x x x x y y y y +-++-=化简整理得1212121222()y y x x x x y y -+=-=-+ 又因为1201202,2x x x y y y +=+=，代入上式，得0040x y +=. 所以平行弦中点的轨迹方程为：40x y +=（2）设33(,)A x y ，44(,)B x y ，则223322441212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得34343434()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得121212122()y y x x x x y y -+=--+ 又因为,A B关于点1()22Q对称，则34121x x y y +=+=所以121212122()2AB y y x x k x x y y -+==-=-+故直线AB220y +-=（3）由点(2,1)的位置结合椭圆方程可知直线l 的斜率必然存在，设弦中点坐标为(,)x y ''，则12l y k x '-='-、、、、、、、、、、、、、、()i 设直线与椭圆的两交点分别为5566(,),(,)x y x y ，则56562,2x x x y y y ''+=+= 又225522661212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得56565656()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得565656562()2l y y x x x k x x y y y '-+==-=-'-+、、、、、、、、、、、、、、()ii 由()i ()ii 联立化简得， 222220x y x y ''''+--=.所以弦中点的轨迹为：222220x y x y +--=.【例题3】椭圆C的两焦点坐标分别为1(F和2F，且椭圆过点(1,2-（1）求椭圆C的方程；（2）过点6(,0)5-作不与y轴垂直的直线l交该椭圆C于M N，两点，A为椭圆的左顶点，求证：MAN∠的大小为定值.【答案】（1）2214xy+=（2）见解析【解析】（1）依据题意c=223a b-=设椭圆方程为22221x ya b+=，则221314a b+=，解得224,1a b==，所以椭圆的标准方程为2214xy+=（2）当直线l x⊥轴时，易得90MAN∠=︒，下面给出证明依据题意，设直线65x ty=-联立226544x tyx y⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消x可得221264(4)0525t y ty+--=设1122(,)(,)M x y N x y，，由韦达定理，则122125(4)ty yt+=+，1226425(4)y yt-=+、、、、、、、、、、()i(2,0)A-，则11(2,)AM x y=+，22(2,)AN x y=+1212(2)(2)AM AN x x y y⋅=+++21212416(1)()525t y y t y y=++++、、、、、、、、、、、、、、、、、、()ii将()i代入()ii整理得222222222264(1)4816(4)1[6464486416]025(4)25(4)25(4)25(4)t t t t t t t t t t -++++=--+++=++++ 所以90MAN ∠=︒，故为定值.四、课堂运用【基础】1. 若直线2y mx =+与椭圆22142x y +=有且只有一个交点，求实数m 的值.【答案】2m =± 【解析】联立22224y mx x y =+⎧⎨+=⎩消y 得22(21)840m x mx +++= 因为直线与椭圆只有一个交点，则22644(21)40m m ∆=-⨯+⨯=解得2m =±.2. 直线y x a =+与椭圆2212x y +=相交于,A B 两点，若AB =，求a 的值. 【答案】1【解析】联立2222y x a x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得2234220x ax a ++-= 21643(22)0a a ∆=-⨯->恒成立，则a R ∈设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理，则1243a x x +=-，212223a x x -=由弦长公式AB === 解得1a =.【巩固】1. 已知椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60，且BF FA 2=,则椭圆的离心率为（）Ａ．52Ｃ．12 Ｄ．23 【答案】Ｄ．【解析】（代数法）：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知10y <，20y >.直线l 的方程为)y x c -，其中c =联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y == 因为2AF FB =，所以122y y -=.即2=解得离心率 23c e a ==. 2. 已知椭圆221169x y +=，12,l l 是过点(0,)P m 且相互垂直的两条直线，问实数m 为何值时，12,l l 与椭圆都有公共点.【答案】[5,5]m ∈-【解析】由题知点(0,)P m 在y 轴上运动，分两种情形讨论（1）当12,l l 中有一条与x 轴平行时，则必有一条是y 轴，此时[3,3]m ∈-；（2）当12,l l 中都不与x 轴平行时，设1:l y kx m =+，则21:l y x m k=-+. 1l 与椭圆有公共点，即22()1169x kx m ++=有实数根，整理得 222(169)32161440k x kmx m +++-=222(32)4(169)(16144)0km k m ∴∆=-+-≥解得22916m k -≥. 2l 与椭圆有公共点，同理可得2219()16m k -≥ 当3m >时，229()1516m m -≤⇒≤；又5m >时，229259()11616m -->=；而221,k k必有一个小于等于1，此时12,l l 与椭圆不可能都有公共点. 综上所述5m ≤时，12,l l 与椭圆都有公共点.即[5,5]m ∈-.【拔高】1. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于,A B 两点，OB OA +与(3,-1)a =共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明：22μλ+为定值．【答案】（12）见解析则直线AB 的方程为y x c =-设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理，则由),(2121y y x x OB OA ++=+，)1,3(-=a ，OB OA +与a 共线，得12123()()y y x x +++，又1122,y x c y x c =-=-所以12123(2)()0x x c x x +-++=、、、、、、、、、、、、、、()ii证明：由（1）知223a b =,所以椭圆方程可以化为：22233b y x =+，设),(y x OM =，由已知得),(),(),(2211y x y x y x μλ+=解得⎩⎨⎧+=+=2121y y y x x x μλμλ，因为M 在椭圆上，代入整理得)1(3)3(2)()3(221212222221212 b y y x x y x y x =+++++λμμλ)2(33332222222121 b y x b y x =+=+，由)3)(2)(1(，则22121222212122222212123)3(2)(3)3(2)()3(b y y x x b y y x x y x y x =+++=+++++λμμλλμμλ又因为：0329233)(34))((32222212121212121=+-=++-=--+=+c c c c x x x x c x c x x x y y x x 所以22223)(3b b =+μλ，即122=+μλ，故为定值.课程小结本节主要学习了以下内容：1.点与椭圆的位置关系；2.直线与椭圆的位置关系3.椭圆的综合应用。

超详细直线与椭圆的位置关系(说课稿)

直线与椭圆的位置关系（说课稿）各位老师你们好!今天我要为大家讲的课题是直线与椭圆的位置关系。

一. 教材分析教材的地位和作用<<直线与椭圆的位置关系>> 是解析几何中的重要内容之一,又是代数和几何衔接的枢纽,因而直线椭圆的位置关系渗透了数形结合的思想。

在新课程数学教学有着不可代替的作用。

本节要求学生通过数形结合能够判断直线和椭圆的位置的关系二. 教法分析（一）学情分析学生掌握了椭圆的定义、方程、性质以及对直线和圆的位置关系，具有了一定的分析问题和解决问题的能力。

从知识、能力和情感态度三个方面分析学生的基础、优势和不足，它是制定教学目标的重要依据。

（二）教学方法和手段教学方法：引导发现、探索讨论我们老师不能不仅仅是为了演示教师所要展示的内容，也应该让多媒体成为学生学习的一种手段，我们不追求教学手段的高档化，但要追求学生学习手段的高档化，这样才能改变传统的学习方式，进而突破重难点。

教学手段：多媒体课件辅助教学意图：在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.（三）具体措施本节课采用讲解讨论相结合，交流练习互穿插的形式，以学生为主体，辅以以提高课堂效适当的引导。

利用多媒体的演示功能提高教学的直观性和趣味性，益。

三. 教学目标结合新课程理念和学生的实际情况，将本节课的教学目标定为：知识目标：能从“数”和“形”判断直线和椭圆的位置关系。

能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；情感目标：通过对直线和椭圆的一些常见问题的归纳和总结，减少学生对部分问题的恐惧感，激起学生的兴趣。

重点：利用“代数”或“几何”的方法解决直线和椭圆的位置关系；难点：让学生发现“数”、“形”之间的关系。

1.基于对教材、教学大纲和学生学情的分析，制定相应的教学目标。

同时，在新课程理念的指导下，关注学生的合作交流能力的培养，关注学生探究问题的习惯和意识的培养2.这里没有用“使学生掌握”、“使学生学会”等通常字眼，保障了学生的主体地位，反映了教法与学法的结合，体现了新教材新理念。

直线与椭圆的位置关系

《直线与椭圆的位置关系》的教学设计【教学目标】（一）知识目标1、能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题2、学会判断直线与椭圆公共点的方法3、在计算直线与椭圆相交弦长或弦中点等有关问题时能够运用一元二次方程根与系数的关系简化运算（二）能力目标1、培养学生数形结合思想与逻辑推理能力，运算能力2、培养学生将直线与椭圆问题化归为方程问题来解决的能力（三）德育目标1、体会事物之间既有联系又有区别的辨证观点2、学会抓主要矛盾、分解矛盾、解决矛盾的方法【教学重点】直线与椭圆的位置关系、弦长问题、弦的中点问题【教学难点】学生解题综合能力的培养【教学过程】一、复习引入回忆初中学过的判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？法一：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系判断，即当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交。

法二：判别式法，即将已知直线方程与圆方程联立，消去（x或y）得一元二次方程，再利用∆判断解的个数，即为直线与圆的交点个数。

若∆>0,方程有两个不同的解，即直线与圆有两个不同交点，故直线与圆相交；若∆=0,方程有两个相同的解，直线与圆有两个相同交点，故直线与圆相切；若∆<0,方程无解，直线与圆无交点，故直线与圆相离；小结：两种方法充分体现了数学中的等价转化思想和数形结合思想。

二、新课讲解提问：回顾了直线与圆的位置关系的判断方法以后，那么对于直线与椭圆的位置关系如何判断呢？直线与圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与椭圆的位置关系中呢？刚才两种方法都可以吗？一、公共点问题问题1：判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k Θ0142>+k ，)516(162-=∆∴k（1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交（2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切（3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离小结：法1不能推广应用到直线与椭圆的位置关系中，因为椭圆不具备圆特有的性质，椭圆的中心到椭圆上各点的距离不都相等.变式一：直线01=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系呢？解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416122y x kx y 可得0128)14(22=-++kx x k Θ0142>+k ，0)316(162>+=∆∴k∴直线01=+-y kx 与椭圆141622=+y x 总相交为什么上述直线与椭圆总相交呢？与问题1的区别在哪里？你能来解释一下吗？因为该直线恒过点（0，1），该点在椭圆的内部，故由图形可知，该直线与椭圆总相交。

直线与椭圆的位置关系.

直线与椭圆的位置关系一、教材分析《直线与椭圆的位置关系》是高中选修2-1第二章的第二节第三课时，本节课学生已学习了直线与圆的位置关系，以及椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质.在推导直线与椭圆的位置关系的过程中所涉及到的推理思维与研究直线与圆的位置关系基本一致，这一点充分体现了”类比”的思想,培养了学生知识的迁移能力。

同时这种方法也将为后面继续学习直线与圆锥曲线的位置关系提供了一种研究模式。

在此过程中，进一步用坐标法解决一些简单几何问题，感受“数形结合”的基本思想。

在位置关系的判断以及相交求弦长时用到了初中学习的一元二次方程的求根公式和韦达定理.初中：一元二次方程求根公式,判别式高中：直线与圆锥曲线的位置关系承上启下韦达定理数形结合思想、类比思想、化归思想教学目标知识与技能1、掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法2、初步探寻弦长公式有关知识过程与方法通过问题的提出与解决培养学生探索问题，解决问题的能力。

领悟数形结合和类比,化归等思想。

情感态度与价值观揭示了客观世界中相互依存又相互制约的关系，培养学生独立思考, 勇于探索,合作交流的能力。

二、学情分析1、知识基础：高中学习了直线与圆的位置关系，椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质，初中学习了求根公式和韦达定理都对本节知识做好了铺垫。

2、认知水平与能力：学生已具备了一些简单的数形结合思想和化归思想，但由于年龄和认知的特点，方法的应用不熟练,不灵活.3、任教班级学生特点：我班学生求知欲强,动手能力较弱,对小组合作这种学习方式很感兴趣,有较强的参与欲望。

三、教法和学法本节课采用师生互动、探究式教学。

（1）通过用层层推进的提问，启发学生深入思考，主动探究，主动获取知识；（2）注意与学生已有的知识联系，降低学生接受新知识的难度；（3 ）由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以我将采用启发引导式教学,小组合作探究。

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直线与椭圆的位置关系（说课稿）
各位老师你们好!
今天我要为大家讲的课题是直线与椭圆的位置关系。

一.教材分析
教材的地位和作用
<<直线与椭圆的位置关系>>是解析几何中的重要内容之一,又是代数和几何衔接的枢纽,因而直线椭圆的位置关系渗透了数形结合的思想。

在新课程数学教学有着不可代替的作用。

本节要求学生通过数形结合能够判断直线和椭圆的位置的关系
二. 教法分析
（一）学情分析
学生掌握了椭圆的定义、方程、性质以及对直线和圆的位置关系，具有了一定的分析问题和解决问题的能力。

从知识、能力和情感态度三个方面分析学生的基础、优势和不足，它是制定教学目标的重要依据。

（二）教学方法和手段
教学方法：引导发现、探索讨论
我们老师不能不仅仅是为了演示教师所要展示的内容，也应该让多媒体成为学生学习的一种手段，我们不追求教学手段的高档化，但要追求学生学习手段的高档化，这样才能改变传统的学习方式，进而突破重难点。

教学手段：多媒体课件辅助教学
意图：在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.
（三）具体措施
本节课采用讲解讨论相结合，交流练习互穿插的形式，以学生为主体，辅以
适当的引导。

利用多媒体的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。

三. 教学目标
结合新课程理念和学生的实际情况，将本节课的教学目标定为：
知识目标：能从“数”和“形”判断直线和椭圆的位置关系。

能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；
情感目标：通过对直线和椭圆的一些常见问题的归纳和总结，减少学生对部分问题的恐惧感，激起学生的兴趣。

重点：利用“代数”或“几何”的方法解决直线和椭圆的位置关系；
难点：让学生发现“数”、“形”之间的关系。

1.基于对教材、教学大纲和学生学情的分析，制定相应的教学目标。

同时，在新课程理念的指导下，关注学生的合作交流能力的培养，关注学生探究问题的习惯和意识的培养
2.这里没有用“使学生掌握……”、“使学生学会……”等通常字眼，保障了学生的主体地位，反映了教法与学法的结合，体现了新教材新理念。

四. 教学过程
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法：d>r d=r d<r
代数法：∆<0 ∆=0 ∆>0
问题2：椭圆与直线的位置关系？
问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？
因为他们不像圆一样有统一的半径。

所以只能用代数法求解直线与二次曲线有关问题的通法。

意图：复习不是简单重复，引进不是生硬塞入。

利用认知迁移规律，通过学生熟悉的、简单的问题引出课题，在学生已有的认知结构基础上进行新概念的建如此设计有利于培养学生良好的学习习惯，，提高其独立分析和解决问题的能力，变“学会”为“会学”。

充分保障学生的主体地位。

引例已知椭圆c ：12
42
2=+y x ，直线b kx y l +=: （1）请具体给出b k ,的一组值，使直线和椭圆相交。

（2）若1=+b k 试确定直线l 和椭圆c 的位置关系。

学生活动：学生独立思考.根据已经学过的知识很容易回答.尝试几何和代数两种方法来解题。

意图;引例是个开放题，结果不唯一。

学生可以分别从形和数这两个角度考虑这个问题，给出一组符合题意的b k ,的值。

追问：1、直线和椭圆位置关系有哪几种？
2、每种位置关系涉及哪些知识点？
3、直线和椭圆相交时，涉及哪些问题？
提出问题：已知：直线1:+=kx y l 和椭圆12
4:2
2=+y x c 相交于A ，B 两点，按照下列条件，求出直线l 的方程。

（1）使AB =2
（2）使线段AB 被M （ 21，2
1）平分。

（3）使过A ，B 为直径的圆过原点。

（OB OA ⊥）
（4）直线l 和y 轴交于点P ，使PB PA 2
1-=。

学生活动：学生理解思考，用用韦达定理可以很快解决前三小题，第四小题学生有点生疏，留较长时间思考，并练习。

学生独立思考,可能出现的以下的解决方法:
1. 点差法法
2. 韦达定理（联立方程组）
学生活动：前3小题比较常规，但也是最基础的。

学生比较熟悉。

这里要求学生掌握数形结合消参的思想。

变题：假如直线是过原点，其它条件不变，求直线的方程
意图;练习源于例题。

例题由教师板书，体现示范功能。

练习由学生板演，关注学生的数学表达，提供反馈校正的素材。

尤其是练习作业的设计与例题乡相呼应，揭示了教与学的一致性。

(练习亮点)变题：假如直线是过原点，其它条件不变，求直线的方程。

拓宽知识点，起到类推类比的功能。

五. 说明和反思
根据新课程标准的理念,在教学中重视学生的主体地位，把学习的主动权还给学生,使学生亲自参与获取知识和技能的全过。

上课时，努力让学生积极参与；
启示：今后课堂里，要多灌输数形结合的思想。

数缺形时少直观，形少数时难入微，有助于学生解题。

技能演练椭圆1204522=+y x 的两个焦点为F 1 、F 2 ，过左焦点作直线与椭圆交于A ，B 两点，若△ AB F 2 的面积为20，求直线的方程。