第八章岩体工程中的反分析方法

* u -1 *
只要量测位移U*总数大于或等于未知量的总数，就可以解出
P及E等未知参数
三、线弹性反分析有限元法（介绍楼井春辅方法） 有线元法的基本方程为：
K U P
这里P 沿开挖表面上由初始地 应力引起的等效释放荷 载
对二维问题初始应力为

0
0 x 、

T 0 2
AT U m T T 1 m dU m ) ( A A) A ( U2
1
d
0
(A A) A U 而 (2) d 项对应于 支护板力的作用结果 ,由围岩 支护接触面处的平衡条 件知 d 这样 (3)
K u E
*
x
0
R
P1
y
E
0
R
P2
xy
E
0
R
P3
这里Pi 表示对应与相应的单位 初始应力分量的等价节 点力，将
x y
E
0
R
0
1
xy
0
E E 代如入上式，得下列方 程
R
R
0
K u P
* 1
解这个方程就可以得到 初始应力仅为 同理, 我们可以得到初始应力 仅为 应力仅为
0
E
R T

未知位移u n .对于已经测量位移部分 我们可以建立方程.
位移u可分成两部分, 一部分是测量点的位移 u m , 令一部分为
A1 0 u m 对于这个方程组 A1 是已知的.u m 也是已知的, 故可以求出 0 的值
0 0 0
xy x y 即 R 、 R 及 R 的值
u1 y u2y u3y u4y
x0 u1xy E R u 2 xy y0 R u 3 xy E 0 u 4 xy xy R E

u1 x u1 y u1xy
E
E E 如果我们测得的是相对 位移值u m , 那么在相对位移及绝对 位
移之间可以找到关系式
m
u P u
m
则上述方程变为
A u
* m 0
这里
A PA
* 1
如果测量位移大于3，则我们要进行优化，如果采用最小二
乘法，如上式两边乘上[A*]T得
A A
* T *
0 A
* T
u
m * T m
因而
0 (A
* T
A ) A u F u
* 1
可以被唯一的确定
例如我们有四个测量位移u1、u2、u3、u4，则有
A1 0 u1
u1x u 2x u3 x u 4x u1 y u2 y u3 y u4 y x 0 u1xy R u1 E u u2 xy y 0 2 R u3 xy E u3 xy 0 u4 xy u4 R E
设
1 * G G G P P* 0
式中
G — 线弹性模量等于1时的系数矩阵 P — 单位初始应力 I 时的分布边界面力 仍可把位移矢量分为已 知测点的位移 U 和未知位移 U
* * 0 m u
这个方程不能唯一地确 定 同乘上 A1 后可得
T
x y
0
、 R 、及 R ，但方程两边 E E E
R
0
xy
0
u1 x u1 y u1xy
u2x u2y u 2 xy
u 3x u3y u 3 xy
u1 x u4x u 2 x u4y u 3 x u 4 xy u 4x
0 y、
0 T xy

故有
P

BT 0 d V
开挖体体积内积分：
B 应变与节点位移关系矩 阵
0 x L 0 y y x B u e
所以
u N u e N 插值函数 Lu B LN
一、正反分析法 所谓正反分析就是指反分析的过程采用与正分析相同的 计算过程（流程）和计算公式，来求所需要的参数。例如： （1） 给定参数的试探值，将这些试探值代入有关分析采 用的计算公式中，得到岩石的力学效应（计算位移、应变 等），将计算值与实测值比较，并再次进行修正。这样反 复进行计算，直到计算结果与实测值的误差达到可忽略的 程度。在这过程中可利用误差函数的优化技术。 （2） 先分别将单位参数（例如地应力各分量单位值）按 正分析法的计算公式及计算过程求出它们的力学效应（位 移、应变等），然后将这些力学效应乘上未知系数并进行 叠加。叠加所得的结果应等于这些力学效应的实测值。这 就可以建立包括未知系数的方程组，求解这个方程组就可 以反分析得到我们所要求的参数。
① 必须是假定μ 值及σ
y
0值
② 没有考虑设置测点之前已发生的位移,因而洞内设置测 点时间不同就会得到不同的反分析结果:
③ 有支护情况下必须多次迭代,增加了计算时间,并且不能 考虑不同支护时间的影响:
④只有围岩已趋于稳定,取得最终位移值的情况下,才能得 到正确的结果.因而不能对正在施工的隧洞进行预测. 二、考虑支护（衬砌）的反分析（分别对围岩及支护进行反分 析的方法）。
将（2）代入（1）式中，得
U*
A u
k k 1
6
k
(3)
这里有六个未知数Ak(k=1、2……6)。如果我们能够测有6 个（或6个以上的）实测值，则可求解出Ak，而Ak就是各个应 力分量的数值大小。
如将地层弹性模量E也作为反分析计算的待求参数，则可 在计算uk时将E取为已知值E0（通常令E0=1），则（3）式可 改写为 E0 6 * U Ak uk E k 1
在岩体被假定为各向同性，匀质的情况下
K E R (K R nK L ) E R K *
式中 n EL ER E L 衬砌材料的弹性模量 E R 岩体的等效弹性模量
R
K 表示当E
*
等于1时岩体的刚度称之为“ 单位刚度矩阵”
只要假设了值及n值K * 就可以确定，这样有限 元发的基本公式 就可以变换成
若同时测得应变量测值ε*及应力增量量测值∆σ* ，同时可有
E0 6 Ak k E k 1
*
* Ak k
k 1
6
如果位移、应变、应力增量测点总数分别 Nu、Nε、Nσ，则 可得如下方程组:
Ui
*
E0 E E0 E
*
A U
k
6
i k
(i 1、 2...... N u ) (i 1、 2......N ) (i 1、 2......N )
设进行支护时已量测的位移为[U1m]，总的量测位移为 [U2m],则支护后的位移为
U U U
m l m 2 m 1
分别对支护及围岩进行分析。对于支护来说，根据以上我们有
或 式中
U T A
m Ue 0 A e e e m e
一、反分析（Back Analysis)的分类
1、所求解问题分
（目前主要是指参数反分析 ） 2、按计算原理的特点 3、按计算方法分
｛ ｛ ｛
参数反分析 模型反分析 正反分析法 逆反分析法 数值反分析法 解析反分析
4、按测量的来分
｛
位移反分析：目前用的最多 应变反分析 应变反分析
5、按是否采用其他数学力学方法分
则有限元的基本方程变为
1 U E L K M P 若令P L K M 则有
E K * Lu 1 U * M P
* u * 1 u u * 1
求逆
U 1 P P E P E P U
｛
优化反分析法 摄动反分析法 模糊反分析法
二、为什么要采用反分析的方法 1、岩体的参数很难用实验室试验的方法或现场测定的 方法精确确定 2、岩体工程的边界条件很难测定 3、有时很难确定岩体的本构模型 4、可利用反分析法来修正设计参数等 三、反分析法的发展历史（自学）
§8.2
反分析方法与逆分析法的基本原理
象以上类似的方法就叫做正反分析法。例如设初始地 应力分量（空间问题有六个）单独作用时引起的某点的应 力分量为Uk（ k =1,..6),则该点的总位移即为实测位移U* 为 6
U* Uk k 1
1
而每一个应力分量中，单位应力分量为Uk（这可计算 出来），则
U k Ak uk (2)

以上方程可以唯一地确定{σ 0}.
0 0 0 如果假定竖向应力分量 y H , 则可求出 x , xy 及E R , 然
后再检验所假定的 H值是否正确.如误差大, 以下面用迭代法 求解. 上述方法的缺点 :
0 2 T 1 T m 2 0 0 e 0 0
式反算出 和E , 最后由(3)计算原岩应力
0 2 R
这样, 可先按(1)式反算支护所受围岩压 力 e0 , 然后按(2)
0 2
0 e

0
三、线弹性位移反分析边界元法
边界元法的基本方程可写为
H U G P
式中H ij 和Gij 为影响系数
i
*
A
k k 1 6 i Ak k
k 1 6
i k
i

k 1
若量测信息总数(NN+Ne+Ne)大于未知数总数（以上为7) 则上述方程组可解，从而求出Ak和E 二、逆反分析法 将正分析中的方程求逆，建立量测量（力学效应）与代 求参数之间的直接关系式，将量测量代入，求解逆方程可得 待求参数
(1)
e
Hale Waihona Puke Baidu



* Ae
e
支护所受的围岩压力 e
设由于支护抗力的作用，围岩的总体位移较无支护时减少 了{dv}，则围岩在无支护情况下的总体测点位移为
U U dU
m m 2 m
则对围岩进行反分析有
0
(A A)
u2x u2y u 2 xy
u 3x u3y u 3 xy
u1 u 4x u 2 u 4 y u3 u 4 xy u 4
x0 R E y0 E R xy0 R E
设正分析的计算方程为
U i* f i ( E , , P)
i* g i ( E, , P)
* i
hi ( E , , P)
E, , P 逆反分析法就是将上述方程求逆，写出求 的显式 解析式。一般来说很难演化为以显式表示的解析表达式，而大 部分只能借助于数值方法，如有限单元法。有限单元法的基本 方程为 K F
x
E
0
R
等于1的位移值u x
y
E
0
R
等于1的位移值u y , 初始
xy
0
E 这样就可以建立如下的 方程 A 0 u
R
等于1的位移值u xy
式中
0 x E y E
R
0 0
A u x u y u xy
R
xy
式中
改写
K 刚度矩阵 节点位移列阵 F 节点力的列阵 K E K *
Lu M
任何一点位移 U * Lu 表示节点位移与任何一点位移的关系矩阵

F M P
节点力与地应力之间的关系矩阵