第一讲 平行线的构造与应用
平行线课件
通过平行线的判定定理可以推导 出平行线的性质，同样地，通过 平行线的性质也可以推导出平行
线的判定定理。
06
平行线在实际生活中的应用
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
在工程制图中的应用
01
02
03
04
平行线在工程制图中被广泛应 用，例如在机械制图、电子工 程制图和土木工程制图等领域
平行线还用于确定建筑物的对 称性和比例，以确保建筑物外 观的协调性和美感。
在道路设计中的应用
在道路设计中，平行线被用来确 定道路的路径和宽度。
平行线还用于确定路标、交通标 志和道路边界等元素的位置。
通过使用平行线，道路设计师可 以确保道路的连续性和安全性， 以及为驾驶员提供清晰的导航指
示。
THANKS
感谢观看
两把直角尺
准备工具
两把直角尺。
移动第一把直角尺
将第一把直角尺移动到下一个位置，并重 复上述步骤，直到画出所需的平行线。
描线
沿着第二把直角尺的边缘描出直线。
固定第一把直角尺
将第一把直角尺放置在画板上，并使其保 持水平。
调整第二把直角尺
将第二把直角尺的一边紧贴第一把直角尺 ，并将另一边调整到与第一把直角尺成90 度角。
02 03
详细描述
根据平行线的性质，如果两条直线平行于第三条直线，那么这两条直线 上与第三条直线相交的点到第三条直线的距离相等。利用这个性质，我 们可以证明线段相等。
示例
在三角形ABC中，AB平行于CD，那么AB和CD上的高相等。
用于证明两直线平行
总结词
平行线可以用于证明两直线平行 。
平行线的性质课件
利用平行线性质解决几何最值问题
平行线定义：在同一平面内，永不 相交的两条直线
几何最值问题：求线段、角度、面 积等几何量的最大值或最小值
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
平行线性质：平行线之间的线段相 等
利用平行线性质解决几何最值问题 的方法：通过平行线之间的线段相 等，找到几何量的最大值或最小值
平行线的性质在解析几 何中的应用
面的交点
平行线与平面 的夹角：平行 线与平面的夹 角为直线与平
面的夹角
平行线与平面的 平行性：平行线 与平面的平行性 为直线与平面的
平行性
总结与思考
总结平行线的性质及其应用
平行线的定义： 在同一平面内， 永不相交的两
条直线
平行线的性质： 平行线之间的 角度相等，平 行线之间的线
段相等
平行线的应用： 在几何证明、 工程测量、建 筑设计等领域
利用平行线性质解决函数问题
平行线与函数的 关系：平行线是 函数的基本性质 之一，可以应用 于求解函数问题
平行线性质的应 用：利用平行线 性质可以求解函 数的最大值、最 小值、极值等问
题
平行线性质的证 明：利用平行线 性质可以 在更高级的数学 领域中也有广泛 的应用，如微积 分、线性代数等
平行线的性质在代数中 的应用
利用平行线性质解决线性方程组问题
平行线性质：两条直线平行，同位角相等
线性方程组：一组线性方程组成的方程组
利用平行线性质解线性方程组：通过观察方程组中的同位角，找出方程组中的平行线， 从而解出方程组
应用实例：求解线性方程组，如3x+2y=5，4x+3y=6，通过观察方程组中的同位角， 找出方程组中的平行线，从而解出方程组
平行线构造和应用讲义(含答案)
二、平行线中构造平行线
5. 已知 AB ∥ CD，点 P 为平面内一点，连接 AP、CP． (1) 探究：如图 (1)∠PAB = 145°，∠PCD = 135°，则 ∠APC 的度数是； 如图 (2)∠PAB = 45°，∠PCD = 60°，则 ∠APC 的度数是． (2) 在图 2 中试探究 ∠APC ，∠PAB，∠PCD 之间的数量关系，并说明理由． (3) 拓展探究：当点 P 在直线 AB ，CD 外，如图 (3)、(4) 所示的位置时，请分别直接写出 ∠APC ，∠PAB，∠PCD 之间的数量关系．
·2·
6. (1) 如图①，∠CEF = 90°，点 B 在射线 EF 上，AB ∥ CD，若 ∠ABE = 130°，求 ∠C 的度数； (2) 如图②，把 “∠CEF = 90°” 改为 “∠CEF = 120°”，点 B 在射线 EF 上，AB ∥ CD． 猜想 ∠ABE 与 ∠C 的数量关系，并说明理由．
3. 如图把一张长方形线条 ABCD 沿 AF 折叠，使 D 落在 D′ 处使 ∠ABD = 20°，AD′ ∥ DB 则 ∠DAF 的度数为 ( )
A. 60°
B. 55°
C. 45°
D. 30°
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，∵ ∠BAD = 90°． ∵ ∠ABD = 20°，∴ ∠ADB = 90° - 20° = 70°． ∵ AD′ ∥ DB，∴ ∠DAD′ = 180° - 70° = 110°，∴ ∠DAF = 21 ∠DAD′ = 55°．选 B．
【解析】(1) 如图 1，分别过点 E，F 作 EM ∥ AB，FN ∥ AB， ∴ EM ∥ AB ∥ FN ，∴ ∠ B = ∠ BEM = 30 ° ，∠ MEF = ∠EFN ，又 ∵ AB ∥ CD，AB ∥ FN ，∴ CD ∥ FN ， ∴ ∠D + ∠DFN = 180°，又 ∵ ∠D = 120°，∴ ∠DFN = 60°， ∴ ∠BEF = ∠MEF + 30°，∠EFD = ∠EFN + 60°， ∴ ∠EFD = ∠MEF + 60° ∴ ∠EFD = ∠BEF + 30° = 90°； (2) 如图 1，分别过点 E，F 作 EM ∥ AB，FN ∥ AB， ∴ EM ∥ AB ∥ FN ，∴ ∠ B = ∠ BEM = 30 ° ，∠ MEF = ∠EFN ，又 ∵ AB ∥ CD，AB ∥ FN ，∴ CD ∥ FN ， ∴ ∠D + ∠DFN = 180°，又 ∵ ∠D = 120°，∴ ∠DFN = 60°， ∴ ∠BEF = ∠MEF + 30°，∠EFD = ∠EFN + 60°， ∴ ∠EFD = ∠MEF + 60°，∴ ∠EFD = ∠BEF + 30°；
平行线课件
三角形内角和定理
01
三角形三个内角之和等于180度。
平行线与三角形内角关系
02
若一条直线平行于三角形的一条边，则该直线与三角形另外两
边所构成的同位角或内错角相等。
应用举例
03
通过平行线的性质，可以方便地求出三角形中某个内角的度数
，或者证明三角形内角之间的关系。
利用平行线证明三角形相似或全等
相似三角形判定
如果两个三角形对应的角相等， 那么这两个三角形相似。平行线 可以方便地构造出对应角相等的
条件。
全等三角形判定
如果两个三角形在对应角相等的 同时，还有一对对应边相等，那 么这两个三角形全等。平行线同
样可以辅助证明全等条件。
应用举例
在证明三角形相似或全等时，可 以通过构造平行线来找到对应角 或对应边，从而简化证明过程。
典型例题解析与思路拓展
解析
作DF平行于AB交AC于F点。由于DF平行于AB且AD = DE，根据平行线性质和等腰三 角形性质可知，角DFC等于角ABC且DF = CE。又因为AB = AC，所以角ABC等于角 ACB。因此，角DFC等于角DCB。根据等腰三角形性质可知，BD = DF。所以BD = CE
在性。
综合法
结合观察法、作图法和 代数法等多种方法，综 合分析平行线的存在性
。
图形变换下平行线
05
保持性质探究
平移变换下平行线保持性质说明
平移变换不改变图形的形状和大小， 因此平行线在平移后仍然保持平行。
在平移过程中，平行线之间的距离也 不会发生变化。
平移变换可以沿着任意方向进行，但 无论方向如何，平行线的性质都保持 不变。
四边形的性质
平行线ppt课件
02
平行线判定方法的 误用
提醒学生注意不同判定方法的使 用条件和限制，避免误用或混淆。
03
忽略平行线的存在 性
提醒学生在解题时，不要忽略题 目中可能存在的平行线，否则可 能导致解题错误。
拓展延伸内容推荐
平行线与相似三角形的关系
探讨平行线与相似三角形之间的联系，以及如 何利用平行线的性质解决相似三角形的问题。
交通信号灯
交通信号灯中的红灯、绿灯、黄灯等灯光的排列 也遵循平行线的原则，使得驾驶员和行人能够清 晰地辨认交通信号。
导向标志 道路两侧的导向标志牌上的文字、图案等也采用 平行线排列，方便驾驶员快速获取道路信息。
日常生活用品设计美学体现
家居用品
家居用品中的桌子、椅子、床等家具的设计中经常运用到平行线， 使得家具外观简洁大方，符合现代审美。
图形示例
判定步骤
首先确定两条被截直线和截线，然后 找出同旁内角并测量其角度之和是否 为180度，如果是，则两条直线平行。
在图形中，画出两条被第三条直线所 截的直线，并标出同旁内角。
实际应用场景分析
建筑设计中
在建筑设计中，平行线的概念经常被用来确保建筑物的稳定性和美观性。例如，在设计墙壁、 地板和天花板时，需要确保它们是平行的，以避免出现倾斜或不平整的情况。
在物理学中，平行线的概念被广泛应用于光 学、力学等领域的研究中，如光的反射、折 射等现象都与平行线密切相关。
计算机图形学
工程测量与建设
在计算机图形学中，平行线的绘制和处理是 图形渲染、图像处理等任务中的重要环节之 一。
在工程测量与建设中，平行线的运用可以确 保建筑物的精确度和稳定性，提高工程质量。
05
预备工作
建议学生提前预习相关知识点，回顾平行线的定义、性质及判 定方法，并尝试思考一些与平行线相关的实际问题，为下一讲 的学习做好准备。
平行线的性质及应用
平行线的性质及应用平行线是几何学中的重要概念，它在许多数学问题和实际应用中起到了重要的作用。
本文将探讨平行线的性质以及其在几何学和实际生活中的应用。
一、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线的对应角是相等的：当两条平行线被一条横截线所交叉时，同位角(对应角)是相等的。
这个性质被称为同位角性质。
2. 平行线的内错角是互补的：当两条平行线被一条横截线所交叉时，内错角(相邻内角)之和等于180度。
这个性质被称为内错角性质。
3. 平行线的外错角是相等的：当两条平行线被一条横截线所交叉时，外错角(相邻外角)是相等的。
这个性质被称为外错角性质。
这些基本性质使得平行线成为几何学中一个重要的对象。
通过这些性质，我们可以解决许多几何问题。
二、平行线的应用1. 三角形的判定平行线的性质可以用来判定三角形之间的关系。
例如，当一条直线与两条平行线相交时，我们可以通过内错角性质得到两个内角是互补的，从而判定这个三角形是直角三角形。
2. 平行四边形的性质平行线的性质在研究平行四边形时也起到了重要的作用。
平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
通过平行线的性质，我们可以证明平行四边形的对边相等、对角线等分等一系列性质。
3. 实际应用平行线不仅在几何学中有重要应用，在实际生活中也扮演着重要角色。
以下是几个实际应用的例子：a) 建筑设计：在建筑设计中，平行线的概念用来确定墙壁和地板的平行关系，确保建筑结构的稳定和美观。
b) 路网规划：在城市规划中，平行线可以用来规划并确定道路的位置和方向，使交通更加便利和高效。
c) 测量和绘图：在测量和绘图中，平行线用于确保准确和精确的测量和绘制。
例如，在制作地图时，通过描绘平行线网格，可以更好地表示地理信息。
总结：平行线在几何学和实际应用中都具有重要地位。
通过了解平行线的定义与性质，我们可以解决许多几何问题，并应用于实际生活中的建筑设计、道路规划以及测量绘图等领域。
平行线课件
3
隧道测量
在隧道测量中，平行线的概念被用于确定隧道的 走向和截面形状，以及测量隧道内部的各项参数 。
其他领域中的平行线应用
摄影
在摄影中，平行线的概念被用于构图和视觉引导，例如利用平行线 来引导观众的视线，突出照片的主题。
艺术
在艺术创作中，平行线的概念被用于创造平衡、和谐和动态感，例 如在绘画、雕塑和建筑艺术中都可以看到平行线的运用。
平行线间夹角
两条平行线间的夹角等于它们与 x轴或y轴夹角的差。
利用坐标系解决平行线问题
判断两直线是否平行
01
通过比较两直线的斜率或方向向量，可以判断它们是否平行。
求两平行线间的距离
02
利用两平行线的方程，可以求出它们之间的距离。
解决平行线与其他几何图形的问题
03
结合坐标系和几何图形的性质，可以解决平行线与点、线段、
计算机图形学
在计算机图形学中，平行线的概念被用于生成三维模型的线条和轮廓 ，以及进行光线追踪和渲染等计算。
06
总结与回顾
重点知识点总结
平行线的定义和性质
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线的性质包 括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
平行线的判定方法
通过同位角、内错角或同旁内角的关系，可以判定两条直线是否平 行。
截距相等法
在直角坐标系中，如果两 条直线与同一坐标轴的截 距相等，则这两条直线平 行。
方向向量法
在向量空间中，两条直线 平行当且仅当它们的方向 向量共线。
平行线与坐标轴夹角关系
平行线与x轴夹角
平行于x轴的直线与x轴夹角为0° ，倾斜角也为0°。
平行线与y轴夹角
平行于y轴的直线与y轴夹角为 90°，倾斜角不存在。
认识平行线ppt优秀课件
平行线理论的发展历程
随着数学的发展，人们对平行线 理论的认识逐渐深入。
中世纪欧洲数学家进一步探索了 平行线的性质和定理，并尝试解
决一些关于平行线的难题。
19世纪，非欧几里德几何学的 出现对平行线理论产生了深远影 响，人们开始认识到平行线并非
总是相交于无穷远点。
平行线在现代数学中的应用
01
02
03
02 平行线的应用
CHAPTER
几何作图中的应用
平行线在几何作图中具有重要作用， 可以用于确定图形的基本形状和尺寸 。
平行线还可以用于解决几何作图问题 ，例如通过平行线将一个复杂图形分 解为简单图形，便于分析和计算。
通过平行线，可以绘制出各种几何图 形，如三角形、四边形、圆形等，为 进一步研究几何性质和定理奠定基础 。
03 平行线的历史与发展
CHAPTER
平行线理论的起源
平行线理论最早可以追溯到古 希腊时期，当时数学家们开始 研究几何学，并探索了平行线 的性质和定义。
欧几里德在《几何原本》中首 次给出了平行线的定义，并研 究了它们的性质和定理。
古希腊数学家还发现了一些关 于平行线的有趣定理，如“平 行线间的角相等”和“同位角 相等”。
平行线具有传递性、同位角相等、内 错角相等、同旁内角互补等性质。
平行线的表示方法
用平行符号“//”表示两条直线平行 。
平行线的性质
同位角相等
内错角相等
两条平行线被一条横截线所截，同位角相 等。
两条平行线被一条横截线所截，内错角相 等。
同旁内角互补
平行线的性质的应用
两条平行线被一条横截线所截，同旁内角 互补，即两个同旁内角之和为180度。
在线性代数中，向量空间中的子空间可以由平行线定义，而线性变换可以用来研究平行线的 性质和行为。
学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲 平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中） 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB ∥DF ，∠D =116°，∠DCB =93°，则∠B = .word 资料下载可编辑专业技术资料 7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a ∥b .∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .8．如图，AB ∥CD ，EP ⊥FP , 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F 的度数为 ．9.如图，若AB ∥CD ， ∠BEF =70°，求∠B +∠F +∠C 的度数.10．已知，直线AB ∥CD ．(1)如图l ，∠A 、∠C 、∠AEC 之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF 、∠EFC 、∠FCD 之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A 、∠E 、∠F 、∠G 、∠H 、∠O 、∠C 之间的关是 .。
第1讲-平行线的构造
第1讲-平行线的构造一、平行线1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【例】如图1，过直线a 外一点A 作b//a ，c//a ，则b 与c 重合．3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简记为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【例】如图2，若b//a ，c//a ，则b//c ．图1 图2 图34．平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b ，则∠1=∠2． （2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b ，则∠2=∠3．（3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b ，则∠3+∠4=180︒． 5．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行．如图3，若∠1=∠2，则a//b ． （2）内错角相等，两直线平行．如图3，若∠2=∠3，则a//b ．（3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若∠3+∠4=180︒，则a//b ． 二、平行的构造1．如图4，若a//b ，则∠1=∠2+∠32．如图5，若a//b ，则∠1+∠2+∠3=360︒图4 图5【例1】下列说法中：①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交； ③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行； ④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 正确的是__________．【解析】①③④．(c )b a c ba ba 4321 a b213 ab213【例2】 （1）如图2-1，一个含有30︒角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若125∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．155︒B ．135︒C ．125︒D ．115︒ （2）如图2-2，已知AB//CD ，EF 分别交AB 、CD 于M 、N ，EMB ∠=50︒，MG 平分BMF ∠，交CD 于G ，MGN ∠的度数为__________．图2-1 图2-2（3）证明：三角形三个内角的和等于180︒．【解析】（1）D ；（2）65︒；（3）证法1：如右图，过△ABC 的顶点A 作直线l//BC ． 则B ∠1=∠，C ∠2=∠（两直线平行，内错角相等）． 又因为BAC ∠1+∠+∠2=180︒．（平角的定义） 所以B BAC C ∠+∠+∠=180︒（等量代换）．即三角形三个内角的和等于180︒． 证法2：如右图，延长BC ，过C 作CE//AB ， 则A ∠1=∠（两直线平行，内错角相等），B ∠2=∠（两直线平行，同位角相等）． 又∵BCA ∠+∠1+∠2=180︒， ∴BCA A B ∠+∠+∠=180︒，即三角形三个内角的和等于180︒．【例3】（1）根据图在（ ）内填注理由：①∵B CEF ∠=∠（已知）， ∴AB//CD （ ）；②∵B BED ∠=∠（已知）， ∴AB//CD （ ）；③∵B CEB ∠+∠=180︒（已知）， ∴AB//CD （ ）．l21C BA21D C EB AA C DB FEFEAM BC NG D12（2）已知：如图所示，ABC ADC ∠=∠，BF 和DE 分别平分ABC ∠和ADC ∠，AED EDC ∠=∠．求证：ED//BF ．证明：∵BF 和DE 分别平分ABC ∠和ADC ∠（已知） ∴EDC ∠=__________ADC ∠，FBA ∠=__________ABC ∠（ ）， 又∵ADC ABC ∠=∠（已知），∴∠__________FBA =∠（等量代换）． 又∵AED EDC ∠=∠（已知），∴∠__________=∠__________（等量代换）， ∴ED//BF （ ）．【解析】（1）①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行． （2）12；12；角平分线定义；EDC ；AED ；FBA ；同位角相等，两直线平行.【例4】如图，已知EF BC ⊥，C ∠1=∠，∠2+∠3=180︒．证明：AD BC ⊥．【解析】C ∠1=∠，（已知）∴GD//AC ，（同位角相等，两直线平行） ∴CAD ∠=∠2．（两直线平行，内错角相等） 又∠2+∠3=180︒，（已知） ∴CAD ∠3+=∠180︒．（等量代换） ∴AD//EF ，（同旁内角互补，两直线平行） ∴ADC EFC ∠=∠．（两直线平行，同位角相等）EF BC ⊥，（已知） ADC ∴∠=90︒，∴AD BC ⊥．A C D BF EABCDEFG123请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明． （1）如图5-1，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME ∠，CNE ∠．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________． （2）如图5-2，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________． （3）如图5-3，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠，相交于点O ．求证：MG NH ⊥．从本题我能得到的结论是：_____________________．图5-1 图5-2 图5-3【解析】（1）两直线平行，同位角的角平分线平行．（2）证明：∵AB//CD ，∴BMF CNE ∠=∠，又∵MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠，∴GMF BMF CNE HNM 11∠=∠=∠=∠22，∴MG//NH ，从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行． （3）证明：∵AB//CD ，∴AMF CNE ∠+∠=180︒，又∵MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠，∴GMF HNE AMF CNE 11∠+∠=∠+∠=90︒22，∴MON GMF HNE ∠=180︒-∠-∠=90︒，∴MG NH ⊥．从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．A C G EB M H N D F OA C GE B M H N DF A CG E B M HND F（1）如图6-1，已知直线a//b ，∠1=40︒，∠2=60︒，则∠3等于_________．（2）如图6-2，l 1//l 2，∠1=120︒，=∠2100︒，则∠3=_________．（3）如图6-3，AB//CD ，ABE ∠=120︒，ECD ∠=25︒，则E ∠=_________．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）100︒；（2）40︒；（3）85︒． 【例7】（1）如图7-1，AB//CD ，BAF EAF 1∠=∠3，FCD ECF 1∠=∠3，AEC ∠=128︒，则AFC ∠的度数为________．（2）如图7-2，已知：AB//CD ，ABP ∠和CDP ∠的平分线相交于点E ，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于点F ，BFD ∠=54︒，则BPD ∠=________，BED ∠=________．图7-1 图7-2【解析】（1）58︒；（2）144︒；108︒． 【例8】（1）如图8-1，AB//CD ，A ∠=32︒，C ∠=70︒，则F ∠=________．（2）如图8-2，AB//CD ，E ∠=37︒，C ∠=20︒，则EAB ∠的度数为________．图8-1 图8-2【解析】（1）38︒；（2）57︒．EF A B PCDFD CBEAEDCB Al 1l2321321baEDC BA如图，直线AC//BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连结P A 、PB ，构成PAC ∠，APB ∠，PBD ∠三个角。
平行线的判定课件
同位角相等法
通过证明两条直线的同位 角相等来证明它们平行。
平行线定理的证明
1 2
两条直线平行，同位角相等
根据平行线的定义，证明两条平行线之间的同位 角相等。
两条直线平行，内错角相等
根据平行线的定义，证明两条平行线之间的内错 角相等。
3
两条直线平行，同旁内角互补
04 平行线的应用
平行线在几何中的应用
平行线的定义与性质
了解平行线的定义、性质以及判定方法，包括平行线的传递性、 内错角相等、同位角相等、同旁内角互补等。
三角形中的平行线
了解三角形中平行线的应用，如角平分线定理、平行线分线段成比 例定理等。
四边形中的平行线
掌握四边形中的平行线判定方法，如平行四边形、梯形的判定等。
交通运输
了解交通运输中平行线的 应用，如铁路轨道的设计 、高速公路的修建等。
05 总结与回顾
总结平行线的判定方法
平行线的定义：在同一平面 内，不相交的两条直线称为
平行线。
平行线的性质：如果两条直 线都与第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行。
平行线的判定方法
1. 同位角相等，两直线平行 ；
2. 内错角相等，两直线平行 ；
3. 同旁内角互补，两直线平 行。
回顾平行线的性质与证明
平行线的性质
描述了平行线的一些基本性质，如等角性质、平行线之间的 距离相等等。
平行的证明
提供了几种证明两条直线平行的方法，如利用同位角、内错 角或同旁内角等。
深化对平行线及其应用的理解
平行线在几何学中的重要 性
描述了平行线在几何学中的重要地位，如在 证明定理、求解几何问题等方面的应用。
平行线的定义和实际应用
平行线的定义和实际应用平行线是几何学中的重要概念，它在数学和实际应用中有着广泛的应用。
本文将从平行线的定义、性质和实际应用方面进行论述。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
其定义可以用两种方式来描述：1. 欧几里得定义：在欧几里得几何中，平行线的定义是两条线在同一个平面上，不相交且无限延伸。
2. 解析几何定义：在解析几何中，平行线的定义是具有相同斜率且不会相交的两条直线。
二、平行线的性质平行线具有以下性质：1. 任意平面上只能存在一组与给定线段平行的线段，并且平行关系是传递的。
2. 两条平行线与横线的夹角相等。
即如果一条横线与一条平行线相交，它们之间的夹角为90度。
3. 平行线的斜率相等。
斜率是描述直线倾斜程度的量，对于平行线来说，它们的斜率是相同的。
三、平行线的实际应用平行线的概念和性质在实际应用中有着广泛的应用，以下是几个例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行线的概念被广泛运用。
建筑师需要在设计中使用平行线来确保建筑物的平衡和稳定性。
例如，设计一幢大楼时，需要保证支撑结构中的支柱和梁的平行度，以确保建筑物的结构稳定。
2. 道路规划：在道路规划中，平行线的应用非常重要。
平行线可以被用来设计道路的标线，确保车辆在行驶过程中保持安全距离。
此外，平行线的概念也可以帮助交通规划师分析交叉口的布局和车道的设置，以提高交通效率。
3. 电路设计：在电路设计中，平行线的应用非常常见。
平行线可以被用来设计电路板上的导线布局，以确保信号的稳定传输。
平行导线可以减少互相干扰的风险，提高电路的性能。
4. 地理测量：在地理测量中，平行线也扮演着重要的角色。
例如，当测量地球上的纬度和经度时，需要绘制一组平行线和经线来标识地球表面的位置。
以上仅仅是平行线在实际应用中的一些例子，事实上，平行线在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
总结：在本文中，我们对平行线的定义、性质和实际应用进行了论述。
平行线优秀课件ppt
平行线与三角形的综合题
总结词
这类题目涉及到三角形和平行线的知识点，需要学生 掌握三角形的性质和平行线的判定方法。
详细描述
这类题目通常会涉及到等腰三角形、直角三角形等特 殊三角形，要求学生能够根据三角形的性质和给定条 件判断或证明两条直线是否平行。在解题过程中，学 生需要理解三角形和平行线的关系，如等腰三角形的 底边平行且等于底边的一半、直角三角形中的高与底 边平行且等于底边的一半等。同时，学生还需要掌握 三角形中的一些基本定理，如勾股定理、三角形内角 和定理等。
总结词
利用平行线的性质定理，推导出新的平行线关系，从而找到解决方案。
详细描述
平行线具有许多重要的性质定理，如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等 。通过利用这些性质定理，可以推导出新的平行线关系，从而找到解决方案。在 推导过程中，需要灵活运用各种性质定理，并注意它们之间的逻辑关系。
平行线的定理与推
平行线的推论
总结词
在几何学中，如果两条直线被第三条直 线所截，且一组同旁内角互补，则这两 条直线平行。
VS
详细描述
这是一个重要的推论，它提供了一个判断 两条直线是否平行的有效方法。这个推论 在解决几何问题时非常有用，因为它可以 帮助我们快速确定两条直线的位置关系。
平行线的综合题解
05
析
平行线与相交线的综合题
04
论
平行线的同位角定理
总结词
当两条平行线被一条横截线所截，同 位角相等。
详细描述
在几何学中，如果两条直线平行且被 第三条直线所截，那么这两条直线上 对应的同位角是相等的。这是平行线 的一个基本定理，也是几何学中的基 础概念之一。
平行线的内错角定理
总结词
平行线的性质及应用
平行线的性质及应用平行线是初中数学中非常重要的概念，它在几何学和代数学中都有着广泛的应用。
本文将围绕平行线的性质和应用展开讨论，旨在帮助中学生更好地理解和应用这一概念。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永远不相交的直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线具有相同的斜率。
斜率是直线的一个重要属性，它表示直线上的每个点与横轴的夹角的正切值。
如果两条直线的斜率相同，那么它们一定是平行线。
例如，直线y = 2x + 1和直线y = 2x - 3具有相同的斜率2，因此它们是平行线。
2. 平行线之间的对应角相等。
对应角是指两条平行线被一条横截线所切割而形成的相对应的角。
如果两条平行线被一条横截线切割，那么对应角一定相等。
例如，在下图中，直线l和m是平行线，被横截线n切割，那么∠1 = ∠5，∠2 = ∠6，∠3 = ∠7，∠4 = ∠8。
[插入图片]3. 平行线之间的内错角和外错角互补。
内错角是指两条平行线被一条横截线切割而形成的相对内侧的角，外错角是指两条平行线被一条横截线切割而形成的相对外侧的角。
内错角和外错角的和等于180度。
例如，在上图中，∠1和∠6是内错角，∠2和∠5是外错角，∠1 + ∠6 = ∠2+ ∠5 = 180度。
二、平行线的应用平行线在几何学和代数学中都有着广泛的应用。
下面我们将分别从几何学和代数学的角度来讨论平行线的应用。
1. 几何学应用在几何学中，平行线的应用非常广泛。
例如：（1）平行线的应用于平行四边形。
平行四边形是一个具有两组平行边的四边形。
根据平行线的性质，我们可以得出平行四边形的性质：对边相等、对角线互相平分、相邻角互补等。
这些性质在解决平行四边形相关问题时非常有用。
（2）平行线的应用于三角形。
当一条直线与两条平行线相交时，所形成的三角形具有特殊的性质。
例如，当一条直线与两条平行线相交时，所形成的两个内角和等于180度，这一性质在解决与平行线相关的三角形问题时非常有用。
平行线的认识课件
2 永不相交
平行线在无限远处相交， 沿同一方向延伸。
即使延长至无限远，平 行线也永不会相交。
3 相同斜率
平行线的斜率相同，但 截距不一定相等。
平行线的符号是什么？
平行线通常用双竖杠 "||" 表示，如 AB || CD。
如何判断两条线是否平行？
斜率法
比较两条线段的斜率，如 果斜率相等，则两条线段 平行。
平行线的认识
这是一份关于平行线的专业课件，我们将一起探索平行线的定义、特点、判 断方法、应用以及与其他几何元同一个平面中永远不会相交的直线。它们具有相同的斜率且不会交叉。
平行线的定义是什么？
平行线定义为两条直线在同一平面中并无相交的直线。
平行线的特点有哪些？
1 同一方向
平行线的应用有哪些？
1 交通工程
在道路规划和交通信号设计中使用平行线概念优化交通流量。
2 建筑设计
平行线的对称性和美学特点在建筑设计中常被应用。
3 数学研究
平行线是几何学研究的重要对象，用来解决各种几何难题。
平行线在建筑设计中的应用
平行线在建筑设计中常用于创造垂直感，以及设计对称性和平衡感，从而实现建筑物的美学效果。
角度法
如果两条线段之间的夹角 为零，则它们是平行线。
实际测量法
使用测量工具，如直尺和 经纬仪等，来测量线段之 间的距离。
平行线与垂线的关系是什么？
垂线是与平行线相交且互相垂直的直线。平行线与垂线之间形成的夹角为直角（90度）。
平行线与夹角的关系是什么？
当两条平行线被一条横切线相交时，所形成的内角、外角、同位角和对顶角 等角度关系有着特定的几何性质。
《平行线的性质》课件
反向平行线的性质
• 反向平行线具有相反的斜率。 • 反向平行线之间的距离保持不变。
三、平行线的特殊角度
同位角及其性质
• 同位角是两条平行线 之间的对应角，它们
• 相同等 位。 角具有相等的补 角、余角。
内错角及其性质
• 内错角是两条平行线 之间的相交角，它们
• 互内补错。角具有相等的对 顶角。
相关角及其性质
《平行线的性质》PPT课 件
这是一份关于平行线的精彩课件，通过介绍平行线的基本定义、性质、应用、 证明，并进行综合练习，帮助大家深入理解和应用平行线的知识。
一、基本定义
平行线的概念
平行线是永远不会相交的两条直线。
平行线的符号表示
用“//”表示两条线段平行。
二、平行线的性质
同向平行线的性质
• 同向平行线具有相等的斜率。 • 同向平行线之间的距离保持不变。
对平行线的思考与感悟
通过学习平行线的性质，反思几何学对我们日常生活的影响和意义。
• 相关角是两条平行线 之间的内角与外角。
• 相关角之和等于180°。
四、平行线的应用
1
平行线的实际应用
2
例如，在城市规划中，平行线可用于 规划马路的设计和建设。
平行线的应用场景
平行线的应用广泛，如建筑设计、地 图制作等。
五、平行线的证明
平行线的证明方法
通过等角、等比和等边等多种证明方法来证明平行线。
平行线证明例题
通过实例演示如何在几何问题中使用平行线的证明。
六、综合练习
பைடு நூலகம்
1
综合运用平行线的知识解题
通过题目练习，提升对平行线性质的理解和应用能力。
2
平行线的综合练习题
平行线的判定及性质课件
05
总结与展望
总结
01
02
03
04
05
直线平行的定义
直线平行的判定 方法
直线平行的性质
平行线在实际生 活中的应用
平行线在数学中 的地位
在同一平面内，不相交的 两条直线叫做平行线。
同位角相等，两直线平行 ；内错角相等，两直线平 行；同旁内角互补，两直 线平行。
两直线平行，同位角相等 ；两直线平行，内错角相 等；两直线平行，同旁内 角互补。
在几何图形中，平行线具 有非常重要的应用价值， 如矩形、菱形、正方形等 都有平行线的性质。
平行线是数学几何学中的 重要概念之一，是研究平 面图形性质的基础之一。 掌握平行线的判定方法和 性质对于学习数学几何学 非常重要。
展望
进一步探索平行线的性质
加强实际应用
除了已经学习的平行线的基本性质外，还 有许多复杂的性质和定理，值得进一步探 索和学习。
详细描述
在制造业中，机器人使用平行线来定位和移动物体，进行高效和精确的生产操作。例如 ，在汽车制造中，机器人通过使用平行线来定位和抓取车辆部件，以提高生产效率和质 量。在医疗领域，手术机器人使用平行线来精确控制手术器械，提高手术的准确性和安
全性。
04
平行线在数学问题中 的应用
代数中与平行线相关的知识点
在道路交通中，平行线是确保车辆安全行驶的重要标志。它们被用来划分车道、标识道路边缘以及引 导驾驶员在正确的车道上行驶。在高速公路上，平行线被用来表示应急车道和车道分隔线，帮助驾驶 员在紧急情况下做出正确的反应。
机器人在工作中的应用
总结词
机器人广泛应用于生产制造、医疗服务和军事等领域，平行线在机器人的工作中发挥着 重要作用。
认识平行线课件
利用平行四边形的性质，如果两个 角是平行四边形的对角，那么这两 个角相等，从而可以推导出两条直 线是平行的。
平行线的判定注意事项
前提条件
在判定两条直线是否平行时，需 要满足前提条件，即两条直线必
须在同一平面内。
避免假平行
在应用判定方法时，需要注意避 免假平行的情况，如两条直线在 不同的平面内，或者两条直线相
在这些图形中，平行线可以确定角度、长度和面积等几何量，帮助人们更好地理解 和分析图形性质。
平行线还可以用于证明各种几何定理和性质，如平行线定理、三角形中位线定理等 。
平行线在日常生活中的应用
平行线在日常生活中随处可见，如在 道路、桥梁、房屋建筑等中，平行线 被用来确定水平和垂直方向，保证建 筑物和道路的平直和稳定。
借助工具
可以使用直尺、三角尺等工具来帮助 绘制平行线。在绘制过程中，要确保 工具的稳定性和准确性。
平行线的技巧
平行线的性质
平行线的性质包括平行线的内错角相等、同位角相等、同旁内角互补等。这些 性质可以帮助我们判断两条直线是否平行，以及如何绘制平行线。
平行线的判定方法
平行线的判定方法包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。这些方法 可以帮助我们判断两条直线是否平行，以及如何绘制平行线。
平行线的注意事项
注意细节
在绘制平行线时，要注意细节，确保每一步都准确无误。例如，在绘制过程中要 保持工具的稳定性和准确性，避免出现误差。
理解原理
要理解平行线的原理，知道为什么两条直线是平行的。这有助于我们更好地掌握 平行线的作法与技巧。
04
平行线的判定方法与技巧
平行线的判定方法
同位角相等
两条直线平行，同位角相 等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲平行线的构造与应用
1、如图1，直线A B∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM
的大小是。
2、图2中ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC=90°），以AD为一边向外作长方形ADEF，
其面积为6.36平方厘米，连结BE交AD于P，连结PC，求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
3、如图3所示，AB∥ED，∠1=∠A+∠E，∠2=∠B+∠C+∠D，证明∠2=2∠1。
4、如图4，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB、GF交于点M，试探
索∠AMG与∠3的关系，并说明理由。
5、如图5，已知AB∥EF，∠C＝90°，求x＋y－z的度数。
6、 如图6，已知，CD ∥EF ，∠C ＋∠F ＝∠ABC ，求证AB ∥GF 。
7、 如图7，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝41∠EAB ，∠ECF ＝41∠ECD ，求证：∠AFC ＝4
3∠AEC 。
8、如图8，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则S □AGCD ：S □ABCD ＝ 。
9、如图9，AB ∥CD ，EP ⊥FP ，已知∠1＝30°，∠2＝20°，则∠F 的度数为 。
10、如图10，CD 是⊿ABC 的角平分线，D E ∥AC 交BC 于点E ，EF ∥CD 交AB 于点F ，求证：EF 平分∠BED 。
11、已知：如图11，∠A ＋∠C ＋∠E ＝∠B ＋∠D ＋∠F ，求证：AF ∥CD 。
12、如图12，已知：AB∥CD，∠ABP和∠CDP的平分线相交于点E，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠BFD＝54°，求∠BPD与∠BED的度数。
13、如图13，已知∠3＝∠1＋∠2，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝180°。