第2章力系的简化
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
工程力学(静力学与材料力学)-2-力系的简化
力系的主矢和主矩
力系等效与简化的概念
力系的主矢和主矩
F2 F1 mn m1 m2
力
系
两个或两个以上的 力所组成的系统，称为 力系,又称力的集合。
Fn
F3
力系等效与简化的概念
力系的主矢和主矩
力系的主矢
F2 F1
mn
m1
m2
一般力系中所有力的矢量和，称 为力系的主矢量，简称为主矢 （principal vector），即
力系简化的基础－力向一点平移定理
－F
F
M=Fd
F
F
力向一点平移的结果: 一个力和一个力偶,力偶的 力偶矩等于原来力对平移点之矩。
M＝M O F Fh
施加平衡力系后由3个力所组成的力系，变成了由作用 在O点的力和作用在刚体上的一个力偶矩为M的力偶所 组成的力系。
力系简化的基础－力向一点平移定理 力向一点平移定理 作用于刚体上的力可以平移到任一点， 而不改变它对刚体的作用效应，但平移后 必须附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等 于原力对平移点之矩。此即力向一点平移 定理。 力向一点平移结果表明，一个力向任 一点平移，得到与之等效的一个力和一个 力偶；反之，作用于同一平面内的一个力 和一个力偶，也可以合成作用于另一点的 一个力。
力系的主矢和主矩
需要注意的是，工程力学课程中的主 矢量与主矩，在物理学中称为合外力和合 外力矩。实际上如果有合外力，也只有大 小和方向，并未涉及作用点（或作用线）。
力系等效与简化的概念
力系等效的概念
如何判断力系等效
FB
力系1
MC
MD
FC
力系2
FA 怎样判断不同力系的运动效应是否相同？
第二章力系的简化
A
x
i j k
y
F
MA r F l 2l 0 对点A的力矩： F sin 0 F cos 2Fl cosi Fl cosj 2Fl sin k
15
三.力偶 1.力偶定义 两个等值、反向、不共线的平行力。记为 ( F , F ) 力偶不能合成为一个力，故也不能与 一个力平衡，因此力和力偶都是基本力学 F 量。 F M 静止时力偶 M 与F 平衡吗? 力偶只能使物体转动，用力偶矩衡量
22
2.主矢与主矩——原力系的特征量 1)定义
' 主矢：（各力的矢量和）FR Fi Fi' ，与简化中心无关
主矩： （各力对O点取矩的矢量和）
MO MO (Fi ) ，与简化中心有关
2)简化结果 一般力系向某一点简化，可以得到一个力和一 个力偶，该力作用在简化中心，其大小，方向与原 力系主矢相同；该力偶矩等于原力系对简化中心的 主矩。
F
三要素:
大小、力偶作用面方位、转向.
16
F
2.力偶矩矢
A
rB A
F
F
B
h
rA
M
M
rB
O
定 义: 而
MO F ,F rA F rB F
F ' F
rA rB rB A
M0 F , F (rA rB ) F rBA F rAB F M
5
力矩的解析表达式：
由于F Fx i Fy j Fz k
M O (F ) r F x Fx i
r xi y j zk
第二章 力系的简化
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
材料力学 第2章 力系简化
而合力的作用点即平行力系的中心：
n
xC
lim
n
Fi xi
i 1 n
l
q( x) xdx
0 l
lim
n
i 1
Fi
0 q(x)dx
分布力对点A之矩
分布力包围的面积
结论：分布力的合力的大小等于分布力载荷图的面积，合
力的作用线通过载荷图的形心。
2.2 物体的重心、质心和形心
例2-5 如图所示，已知q、l, 求分布力对A点之矩。
2.2 物体的重心、质心和形心
xC
ΣFi xi ΣFi
，yC
ΣFi yi ΣFi
，zC
ΣFi zi ΣFi
3、平行力系中心的性质
平行力系的中心位置只与各平行力的大小和作用点的 位置有关，与平行力的方向无关。
2.2 物体的重心、质心和形心
二、物体的重心、质心和形心
1、重心
n个小体积ΔVi
坐标xi、yi、zi
（2）实验测定方法 悬挂法
称重法
l
A
C
B
xC G
FNB
二力平衡 两次悬挂
2.2 物体的重心、质心和形心
三、分布力
工程上存在大量分布力的情况，通常需要确定这些分布力
的合力的大小及其合力作用线的位置。对于图示的线分布力，
可以视为由无穷个集中力所构成的平行力系，
其合力的大小：FR
l
q ( x)dx
0
FP1 450kN，FP2 200kN
F1 300kN ，F2 70kN
求：
（1）力系向点 O 简化的结果；
（2）力系简化的最终结果。
2.1 力系简化
解：（1）确定简化中心为O点
《工程力学》力系的简化
2.3 平面力系的简化----平面力系的简化结果
➢主矢、主矩与简化中心的关系： ✓主矢与简化中心的选择无关； ✓主矩与简化中心的选择有关。
➢注意： ✓主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可 在任意点画出； ✓合力有三要素，大小、方向和作用点。
M Oy
n i 1
M O (Fi ) y
M Oz
n
M O (Fi )
i1
z 5/48
2.1 力系等效与简化的概念----力系的主矢和主矩
力系主矢的特点： ✓对于给定的力系，主矢唯一； ✓主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
力系主矩的特点： ✓力系主矩与矩心的位置有关； ✓对于给定的力系，主矩不唯一，同一力系 对不同的点，主矩一般不相同。
10/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
r F
F F
➢根据加减平衡力系原理，加上平衡力系后，力对刚 体的作用效应不会发生改变； ➢施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的 作用与原来的一个力等效。
11/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
F
M=Fd
F
F
✓增加平衡力系后，作用在A点的力与作用在B的力组成一
14/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
z
M -F
F F
Mx
F
F
My
F
15/48
2.3 平面力系的简化
➢平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 ➢平面一般力系向一点简化 ➢平面力系的简化结果
16/48
2.3 平面力系的简化
----平面汇交力系与平面力偶系的合成结果
➢汇交力系：力系中所有力的作用线都会交于一点； ➢平面汇交力系：力系中所有力的作用线处于同一平面并且 汇交于一点。 ➢平面汇交力系的合力等于力系中所有力的矢量和。
第二章力系的简化
一、力的平移定理
M= MB(FA)=FA·a
FA
A B
FA
A
FB
a
B
FB´
M
A
FB
B
作用在刚体上的力，可以等效平移到刚体上任一指 定点，但必须在该力和指定点所确定的平面内附加一 力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩。
注意：只有在研究力的运动效应时，力才能平行移动。
研究变形效应时一般是不能移动的。
FR MO O
FR FR
d
O
A
FR
d
O
A
主矢与主矩垂直，FR
FR M
可简化为一个合力
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
(a) FR ⊥MO
表明FR与MO在同一平面，即共面
共面的力与力偶合成一个力。 FR
合力为F‘R,等于原力的合力FR
O
MO
作用线过新的简化中心
练习1：确定图示力系的合力大小及作用线位置。
z
4kN
6kN
2m
12kN 3m
y
Ox
x y FR Fy 0
Miy 0
Mix 0
解：
该力系为空间平行力 系，各力指向一致，可知 该力系简化为一个铅垂向 下的力。
FR 22kN
x 12 3 1.636m 22
y 6 2 0.545m 22
空间汇交力系
平面汇交力系
二、力偶系
平面力系
空间力系
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
第二章 力系的简化
4.2 平面任意力系的平衡 平面汇交力系平衡方程：
4.2.2 平面特殊力系平衡方程
平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以， 平面汇交力系 平衡的充要条件
解析条件是：
Fx 0 F y 0
几何条件：
FR= 0 或 F =0
力系中所有各力在两个 坐标轴中每一轴上的投 影的代数和等于零。
力F3在各坐标轴上的投影： F3 y F3 cos30 cos 45 75 6 N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构
成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零
FR Fi 0
i1 n
即
2.2 汇交力系的平衡
2.1.2 解析法
汇交力系的合力在某轴上的投
FR Fi
i1 n
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
由汇交力系合成的几何法知：
任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRz k
代入上式，得
Fi Fixi Fiy j Fizk
FRxi FRy j FRz k ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, Fx 0
条件： 连线AB不垂 直投影轴 x
4.2 平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, M C F 0
P
理论力学常见问题解答：第2章
理论力学常见问题及解答第2单元：力系的简化1. 任意力系亦可由力平行四边形法则（或力多边形法则）得到简化结果吗？ 解答：不能。
因为平行四边形法则（或力多边形法则）只能应用于汇交力系。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995关键词：任意力系，力的平行四边形法则，力的多边形法则，汇交力系2. 如何应用力的平移定理解释偏心力对立柱的作用效果？解答：将力平移到立柱的轴线上，得到一个力和一个附加力偶，该力使立柱产生受压变形，而该力偶使立柱产生弯曲变形。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004(美)施皮格尔（M.R.Spiegel ）. 《理论力学 • 理论和习题》，科学出版社1983关键词：力的平移定理，立柱，作用效果3. 如何理解力系的两个不变量？解答：主矢量'R 和主矢量与主矩的标量积O M R '均与简化中心O 无关，是力系的固有属性，因此称为力系的不变量。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版） 关键词：力系的不变量，主矢量，主矩，简化中心4.如何从力系简化，理解固定端约束反力的表达方法？解答：固定端约束的反力是空间分布力系，将该力系向梁与基础连接点简化，得到一个力（主矢量）和一个力偶（主矩），将该力和力偶矩矢量向三个方向正交分解，得到固定端约束反力的表达方式，如图。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）(美)施皮格尔（M.R.Spiegel）. 《理论力学•理论和习题》，科学出版社1983关键词：固定端，反力，力系简化5.当力系第二不变量为零时，共有几种简化结果？解答：共3种：力系平衡，力，力偶。
力系的简化
R'
·M O
0
──右力螺旋，
R' ·M O 0 ──左力螺旋，
R '的作用线——力螺旋的中心轴
右力螺旋
左力螺旋
10
第一篇 静力学 第2章 力系的简化
② R' 与 MO 成任意角度，此为最一般情况。
分解：
MO
M
∥ O
M
O
其中
M
O∥＝（R'
·M O）R' R'2
力系二不变量之积 第一不变量模之平方
主矢与主矩为：
n
R' Fi i 1
n
M O mO (Fi ) (代数量)
i 1
合力作用线方程：M O xRy yRx
14
第一篇 静力学 第2章 力系的简化
例2-3 已知b=18m，H=36m，α=70，W=9.0×103kN，P=4.5×103kN， Q=180kN，a=6.4m，h=10m，c=12m，求合力并校核重力坝稳定性（OE≤2/3 b）。（坝体取单位长）
②写出各力矢量及作用点矢径：
F1
F1
2
Fi
2
2
Fk
2
F2
2
Fj
2
2
Fk
2
A
rA
O
x
rA ai , rB 2aj
③求主矢与主矩：
2
R' Fi
i 1
2
F
(i
j
2k )
2
2 2
2
M O mO (Fi ) ri Fi
i 1
i 1
Fa(2i j ) 2
解：建立坐标系如图。选O为简化中心。主矢 和主矩为：
第2章 力系的简化
第2章 力系的简化2-1 三力作用在正方形上，各力的大小、方向及位置如图示，试求合力的大小、方向及位置。
分别以O 点和A 点为简化中心，讨论选不同的简化中心对结果是否有影响。
答： 45,N 66.5N 24===x R θ︒，合力作用线过A 点。
题2-1图 题2-2图 2-2 图示等边三角形ABC ，边长为l ，现在其三顶点沿三边作用三个大小相等的力F ，试求此力系的简化结果。
答：力偶，Fl m 23=，逆时针。
2-3 沿着直棱边作用五个力，如图示。
已知F 1＝F 3＝F 4＝F 5＝F ，F 2＝2P ，OA ＝OC ＝a ，OB ＝2a 。
试将此力系简化。
答：力偶，191),cos(,193),(cos ),cos(,19-=-===k M j M i M P a M 。
题2-3图 题2-4图2-4 图示力系中，已知F 1＝F 4＝100N ，F 2＝F 3＝1002N ，F 5＝200N ，a ＝2m ，试将此力系简化。
答：力，R ＝200 N ，与y 轴平行。
2-5 图示力系中F 1＝100N ，F 2＝F 3＝1002N ，F 4＝300N ，a ＝2m ，试求此力系简化结果。
答：力螺旋，R ＝200 N ，平行于 z 轴向下，M ＝200 N ⋅m题2-5图 题2-7图 2-6 化简力系F 1（P ，2P ，3P ）、F 1（3P ，2P ，P ），此二力分别作用在点A 1（a ，0，0）、A 2（0，a ，0）。
答： 力螺旋，3,34aP M P R ==。
2-7 求图示平行力系合力的大小和方向，并求平行力系中心。
图中每格代表1m 。
答：力，R ＝25 kN ，向下，平行力系中心（4.2, 5.4, 0）。
2-8 将题2-8中15kN 的力改为 40kN ，其余条件不变。
力系合成结果及平行力系中心将如何变化？答：力偶。
无平行力系中心。
2-9 用积分法求图示正圆锥曲面的重心。
答：h z y x C C C 31,0===。
第2章 空间力系的简化与物体的受力分析
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： F 的方向 M R O
（2）
MO F R
M0 FR
力螺旋
与M F O R 与M F O R
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
0 , M 0 , F M (3) F R O R O
方向：沿着柔索的中心线且背离被约束物体
作用点：接触点 未知量：1个
二、光滑面约束
(1)光滑接触点约束
P
FN
P
F2
F1
F3
物体之间的接触缩小为一 点接触。此时的约束力是一 集中力，这力的作用线必定 通过接触点，且同时通过两 个曲面对应接触点的曲率中 心，也就是力的作用线为接 触点的公法线方向。 方向：接触面的公法线并指向被约束物体 作用点：接触点
（2）平面柱铰
F
o B
Fox Foy o
销钉
A A
约束力分布在一部分圆弧上，且均通过销钉中心，构成位于 销钉中心截面上的平面汇交力系，可简化为一个通过销钉中心 的合力 FR 未知量：2 个 约束力的大小和方向都随主动力而改变 表示为两个互相垂直的未知力，其指向可以假定
当形成平面柱铰中 的一个带圆孔部件与基 础或静止的结构物固连， 就成为铰链支座，也称 固定铰支座
6 7 0 . 1 x 2 3 2 . 9 y 2 3 5 5 0
第二节 约束与约束力
自由体与非自由体
自由体 非自由体 P
约束：阻碍物体运动的限制物体，是通过力来实现的 约束力：约束施加于被约束物体的力。约束力是被动力 确定约束力指向的原则： 约束力的方向总是与约束所能阻止物体的运动或运 动趋势方向相反。
第2章空间力系的简化与物体的受力分析
设滑轮的中心B与支架ABC相连接，AB为直杆，BC为曲杆，B为销
钉。若不计滑轮与支架的自重，画出各构件的受力图。
FCB 0.6 m C
解：
FAB A
B FBA
FBy
FCB
H
45
B F FBx C
[ AB] [ BC ]
0.8 m
FT1
[轮B]
FAB A
H BF
45
I
FDxE
D FBC
D
G FBA
FFDy
FR
FR
F1
sin 60
F2
cos 30
F3
F
FR FRy j Fj
MA
主矩： M A M A F F3a M F2h 1.133Fa
合力大小和方向： FR FR Fj
合力作用点D至A点距离：d M A / FR 1.133 F a / F 1.133a
y
3m
C
例3 重力坝受力情况如图所示。设
在径向轴承的受力基础上，再加上一个指向轴的压力。
FAz
FAy
A
FAx
未知量：3 个
四、辊轴支座
在铰链支座的下 部，安装若干刚性滚 子，构成辊轴支座， 也可称为可动铰支座
A`
A
A
FA
由于辊轴支座沿滚动方向无约束功能， 约束力只能沿支承平面的法线方向，形成平 面平行力系，可简化为一个通过铰链中心的 合力
670.1x 232.9 y 2 355 0
第二节 约束与约束力
自由体与非自由体
P
自由体
非自由体
约束：阻碍物体运动的限制物体，是通过力来实现的
约束力：约束施加于被约束物体的力。约束力是被动力
第二章力系的简化理论
z
F1
x
O
F3
a
C
b
y
0
A
B
M O ( Fa Fc)i Fbj
15
2-3 力偶
16
1. 力在轴上投影是代数量,力对轴之矩是代数量。 2. 刚体上的力是滑移矢量；
力对点之矩是定位矢量；
力偶矩矢是自由矢量。
16
2-3 力偶
17
作业：P7 2；P8 5
17
18
2-4 力系的简化理论
(2)对轴
M x (FR ) M x (Fi )
合力对任一点（轴）之矩等于各分力对 同一点（轴）之矩的矢量（代数）和。
8
2-3 力偶
1.力偶的概念 1)定义: 两个等值、反向、不共线平行力，记为 (F , F ) 2)实例:
9
F
F
力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是产生转动效果的度量，是一个基本力学量。
23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 O r1
F2
MOn
y
Fn
x
O
F1
MO2 F2 F1 M O1
y
x
z
空间汇交力系：
FR
O
Fi Fi
空间力偶系： M Oi M O ( Fi )
y
MO
合力 力偶
Fi Fi FR
M O M Oi M O ( Fi )
y
500 N
0.8 m 80 N m
100 N 0.6 m
O
1m 200 N
1m
理论力学：第2章 力系的简化
2-3 沿着直棱边作用五个力，如题 2－3 图所示。已知 F1＝F3＝F4＝F5＝F，F2＝ 2 F，
OA＝OC＝a，OB＝2a。试将此力系简化。
解：将所有力向 O 点简化
Fy＝0 Fz＝F2sin45F4＝0
Fx＝F1F2cos45＝0
M ox | OC | F | OB | F 3aF
Si xi Si
4
2
2.5
0.75
6.25
11 6
4 2.5 6.25
1.67(m)
yc
Si yi Si
4
0.5
2.5
3.5
6.25
8 3
4 2.5 6.25
2.15(m)
所以有 xC 1.67 m, yC 2.15 m 。
2-12 题 2－12 图所示由正圆柱和半球所组成的物体内挖去一正圆锥，求剩余部分物体 的重心。
6)
圆锥： V3
1 3
π
5 2
2
4
题 2-12 图
zc
Vi zi Vi
2 3
5 2
3 10.9375源自 5 2
2
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此力系简化结果。
工程力学
力系简化的基础是力向一点平移定理。
工程力学
第2章 力系的简化
§2–2 力向一点平移定理
力向一点平移定理 作用于刚体上的力可从原来的作用点 平行移动任一点而不改变对刚体的作用效应，但须附加一 个力偶，附加力偶的矩等于原力对新作用点的矩。
F B h
F
F = B h
F
F
A
A
=
M=Fh B A
第2章 力系的简化
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， y F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 F2
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129 .3 N
FR=FR，但其作用线不过简化中心O。
FR
MO O
FR
= O
d
FR
FR
A
= O
d
FR
A
M 0 m0 ( FR ) d FR ' FR '
把各力矢首尾相接，连接第一个力的始端与最后一个力的终 端的矢量就是合力FR，力系中各力称为合力FR的分力。 F2 F1 F3 F2 F3 F
O
4
F1
FR
F4 • 得到的多边形，称为力多边形，合力就是力多边形的封闭边。
• 用力多边形求解合力的方法称为力的多边形法则。
工程力学 c F3 d F4 c F1 a
加减平衡力系原理
力偶
[证明]
力F
M o M o ( F ) Fh
力系F，F'，F''
力系的简化
j
k
MC(F) a·Sinθ a·CosθCosα a·Sinα =- a·CosθCosαi+FaSin θj
=
0
0
0
令CB=b 则CB =bSinαj + bSinαk
e CB CB
b sin j
sin j cos k
b2 sin 2 b2 cos2
故MC(F)在AB轴上得投影
MAB(F)=MC(F )eCB=FaSinαSinθ
三. 力系向一点的简化
（一）. 空间汇交力系的简化（将其简化为一合力）
力的作用线在空间任意分布的力系成为空间任 意力系。各力作用线汇于一点的空间力系，成为空 间汇交力系。
空间汇交力系的合理等于各分力的矢量和（满足 平行四边形法则），合力作用线通过汇交点，即
FR=F1+F2+…… 又由于+FFni=xii+yij+zik
合力偶对各坐标轴得方向余弦：
cos(M,i)= Mx 0.6786 M cos(M,i)= M z 0.2811 M cos(M,i)= M z 0.6786 M
(三). 空间任意力系得简化
FacSinSin
a2 b2
例2.2 作用于手柄上的力F=100N,求①力F 对x轴的
矩 ②力F 对原点o的矩.
解:画出r , r =0.1i+0.4k
又有
z y
o
F = 100(Sin60°cos45°i+Sin60°sin45°j
-cos60°k)
x
100
2i 4
2 4
j
3k 4
0.4m
第二章 力系的简化
右手定则：
第2章 力系的简化
16 第2章 力系的简化 2.1 主要内容2.1.1 汇交力系汇交力系合成为通过汇交点的合力，合力的大小、方向等于各分力的矢量和F F R ∑=或 汇交力系的合力在轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和，称之为合力投影定理，即R R R 111,,nnnx xi y yi z zi i i i F F F F F F ======∑∑∑2.1.2 力偶系力偶系合成结果为一合力偶，其力偶矩M 等于各力偶矩的矢量和：∑==ni i1MM合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影：∑∑∑======ni ziz ni yi y ni xi x MM MM MM 111,,或 k j i M iz iy ix M M M ∑+∑+∑=平面力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和：i M M ∑=2.1.3 任意力系力的平移定理作用在刚体上的力，可平行移动到刚体上任一点，平移时需附加一力偶，附加力偶的矩等于原作用力对平移点之矩，称为力的平移定理。
该定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。
其逆定理表明，可将平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。
用一简单力系等效地替代一复杂力系称为力系的简化或合成，应用力的平移定理，将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。
kj i F z y x F F F ∑+∑+∑=R17力系向一点简化·主矢和主矩力系向任一点O （称简化中心）简化，得到通过简化中心的一个力及一个力偶。
力系中各力的矢量和称为力系的主矢量。
即F F ∑='R主矢与简化中心位置无关力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。
即)(F O O M M ∑=主矩与简化中心位置有关。
力系的简化结果归结为计算两个基本物理量——主矢和主矩。
它们的解析表达式分别为R1111()nni i i i n nO i O i i i ====⎫''==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑∑∑F F F M M M F 力的大小、方向等于力系的主矢量，力偶矩矢等于力系对O 点的主矩。
第二章力系简化
例 在图示长方体的顶点B处作 用一力F，F=700N。分别求力F 对各坐标轴之矩，并写出力F对 点O之矩矢量Mo(F)。 解1：力F矢量作用点坐标为： B( x, y, z ) B(2,3,0) 力F矢量在三个坐标轴的投影为：
( Fx , Fy , Fz ) ( 100 14,150 14,50 14)
F2
z
M1 M3
45°
F2 F3 O F1
y
M2
F3 F1
O
45°
y
x
x
M x M 1x M 2 x M 3 x 0
M y M 1 y M 2 y M 3 y 11.2 N m
M z M 1z M 2 z M 3 z 41.2 N m
3. 平面力偶系的合成与平衡
作为空间力偶系的特例，平面力偶系合成的结果 是位于各分力偶作用平面内的一个合力偶， 该合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即
M M1 M 2 M n M i
代数和
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：各分力偶 的代数和等于零。即
M Mi 0
[ M O ( F )]x M x ( F ) [ M O ( F )] y M y ( F ) [ M O ( F )]z M z ( F )
力矩关系定理： 力对点之矩矢量 在过该点之轴上 的投影等于该力 对该轴之矩.
M O ( F ) M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
M D
30 30
B R C
A
E
解: 1.研究AB杆
M i 0
M FD AD 3R FD
M D
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第二章力系的简化
2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为，对z轴的矩的大小为。
答：R/2；62R/5。
2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩
M x(F)= 。
答：Fz=F·sinφ；Fy=－F·cosφ·cosφ；Mx（F）=F（b·sinφ+c·cosφ·cosθ）
图2－40 图2－41
2-3．力通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力
在x轴上的投影为，对x轴的矩为。
答：－60N；320N.m
2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE 的一个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为：
M x（F）= ；M Y（F）= ；M z（F）= 。
答：M x（F）=0，M y（F）=－Fa/2；M z（F）=6Fa/4
2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。
答：M x（F）=160 N·cm；M z（F）=100 N·cm
图2－42 图2－43
2-6．试求图示中力F对O点的矩。
解：a: M O(F)=F l sinα
b: M O(F)=F l sinα
c: M O(F)=F(l1+l3)sinα+ F l2cosα
d:
2-7．图示力F=1000N，求对于z轴的力矩M z。
题2－7图题2－8图
2-8．在图示平面力系中，已知：F1=10N，F2=40N，F3=40N，M=30N·m。
试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。
解：将力系向O点简化
R X=F2－F1=30N
R V=－F3=－40N
∴R=50N
主矩：Mo=（F1+F2+F3）·3+M=300N·m
合力的作用线至O点的矩离d=Mo/R=6m
合力的方向：cos（，）=0.6，cos（，）=－0.8
（，）=－53°08’
（，i）=143°08’
2-9．在图示正方体的表面ABFE内作用一力偶，其矩M=50KN·m，转向如图；又沿GA，BH作用两力R、R',R=R'=502KN；α=1m。
试求该力系向C点简化结果。
解：主矢：
'
R=Σi=0
主矩：c=+（，'）
又由M cx=－m（，'）·cos45°=－50KN·m
M cY=0
M cz=M－m（，'）·sin45°=0
∴c的大小为
Mc=（M cx2+M cY2+M cz2）1/2
=50KN·m
c方向：
Cos（c，）=cosα=M cx/Mc=－1，α=180°
Cos（M c，j）=cosβ=M cY/Mc=0，β=90°
Cos（M c，）=cosγ=M cZ/Mc=0，γ=90°
即M c沿X轴负向
题2－9图题2－10图
2-10．一个力系如图示，已知：F1=F2=F3，M=F·a，OA=OD=OE=a，OB=OC=2a。
试求此力系的简化结果。
解：向O点简化，主矢R'投影
Rx'=－F·
2
1
R Y '=－F ·21
R Z '=F ·2
'=－F ·21－F ·21+F ·2 主矩o 的投影：
M ox =2
13Fa ，M oY =0，M oz =0 M o '=2
13Fa i R '·M o =－2
13aF 2≠0，R '不垂直M o 所以简化后的结果为力螺旋。
2-11．沿长方体的不相交且不平行的棱边作用三个大小相等的力，问边长a ，b ，c 满足什么条件，这力系才能简化为一个力。
解：向O 点简化 R '投影：Rx '=P ，R Y '=P ，Rz '=P
R '=P i +P j +P j 主矩M o 投影：M ox =bP －cP ，M oY =－aP ，M oz =0
M o=（bP －cP ）i －aP j 仅当R '·M o=0时力系才能简化为一个合力，所以。
（P i +P j +P k ）[（bP －cP ）i －ap j =0
即 P （b －c －a ）=0，
所以 b = c+ a
2-12．曲杆OABCD 的OB 段与Y 轴重合，BC 段与X 轴平行，CD 段与Z 轴平行，已知：P 1=50N ，P 2=50N ；P 3=100N ，P 4=100N ，L 1=100mm ，L 2=75mm 。
试求以B 点为简化中心将此四个力简化成最简单的形式，并确定其位置。
图2－49
解：向B 简化
Rx '=50N R Y '=0 R Z '=50N
R '=502
R '方向： cos α=21
cos β=0 cos γ=21
主矩M B M xB =2.5·m M YB =m zB =0 M B =2.5N ·m
主矩方向 cos α=1 cos β=0 cos γ=0 B 不垂直'
Mn B =1.76N ·m M iB =1.76N ·m
d=M B /R '=0.025m
2-13．结构如图所示，求支座B 的约束力。
题2－13图
2-14．图示曲柄摇杆机构，在摇杆的B 端作用一水平阻力R ，已知：OC=r ，AB=L ，各部分自重及摩擦均忽略不计，欲使机构在图示位置（OC 水平）保持平衡，试求在曲柄OC 上所施加的力偶的力偶矩M 。
图2－51
解：一）取OC ΣMo （F ）=0
Nsin45°·r －M=0，N=M/（r sin45°）
取AB Σm A （F ）=0
RLsin45°－N '2rsin45°=0，N '=
21RL/r M=412RL 二）取OC ΣX=0 Xo －Ncos45°=0，Xo=412LR/r ΣY=0 Yo+Nsin45°=0，Yo=－412LR/r 取AB ΣX=0 X A +N ’cos 45°－R=0，
X A =（1－412L/r ）R ΣY=0 Y A －N ’sin 45°=0，Y A =412RL/r。