第6章 多自由度系统 6.11-6.14分解

• 在外力作用下的多自由度系统的运动微分方程为
利用振型叠加法解方程时，首先必须求解特征值问题
根据展开定理：
是依赖于时间的广义坐标，称 为主坐标或振型参与系数 振型矩阵
代入方程
左乘：
若已将固有振型正则化，
广义力
广义坐标方程
上式表示以下n 个二阶非藕合微分方程:
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方程的一般解:
初始条件:
例6.15 利用振型叠加法，求下列运动微分方程表示的二自 由度系统的自由振动响应:
解:在例6. 10 中巳求得系统的固有频率与振型分别为
6.14 用模态分析法求无阻尼系统的强迫振动
• 当有外力作用于多自由度系统时，系统将作强迫振动。对 具有n 个坐标或自由度的系统，运动控制方程为n 个耦合 的二阶常微分方程。 • 当作用力是非周期的和(或)系统的自由度数较大时，这些 方程的求解非常复杂。在这些情况下，可以利用较简便的 方法即振型叠加法进行求解。该方法运用到了展开定理， 即将各质量的位移表示为系统固有振型的线性组合。 • 通过该转换，可使运动微分方程变为非藕合的，即可以得 到n个非藕合的二阶常微分方程。这些方程的解可以等效 为易于求解的n 个单自由度系统方程的解。
第6章 多自由度系统（四）
6.11 展开定理
• 由于正交性，各个特征向量是线性独立的①，因此它们构 成了n 维空间的一个基。这意味着n 维空间中的任意向量 都可以表示为这n 个线性独立向量的线性组合。若x 是n 维空间中的任意一个向量，则其可表示为
两边左乘以
Mii 是第n 阶主振型对应的广义质量。若根据式(6.8 1)， 对振型向量X (i)正则化，则 ci 为
已知： 初始条件： 解: 系统的固有频率与固有振型为(见例5.3)
通过将固有振型关于质量矩阵正则化，
正则振型矩阵为 利用
标量形式
解为
初始条件
可得
位移
例6.16 图5.41 中所示锻锤作用在工件上的冲击力可以近似 为矩形脉冲，如图6. 14 所示。已知工件、铁砧与框架的质 量为m1 =200 Mg ，基础的质量为m2 =250 Mg ，弹簧垫的 刚度为k1= 150MN/m ，土壤的刚度为k 2 = 75 MN/m 。假定 各质量的初始位移与初始速度均为零，求系统的振动规律。
解: 锻锤可以简化为二自由度系统，已表示在图6.14(b) 中， 系统的运动微分方程为
(1)求固有频率与主振型。
可以通过解频率方程求系统的固有频率，由：
得主频率：
各阶主振型分别为
(2) 主振型的正则化。
假设正则振型为
令
正则振型矩阵为
(3) 根据广义坐标求响应。 初始条件为
由
其中：
所以：
位移： 其中：
注意:由式(E.8) 给出的解对于 是有效的。对t>0.1 s ， 因为没有外力作用，故系统的响应为无阻尼单自由度系统， 对应于初始条件 和 的自由振动响应。
• 例6.13 如图6. 13 所示， 3 节车厢通过2 个弹簧相连。已 知 m1 =m2 =m3 =m ， k1=k2=k。求该系统的固有频率与 固有振型.
6.13 无阻尼系统的自由振动
以矩阵形式表示的无阻尼系统自由振动的微分方程为
解得一般形式：
例6.14 求图6.8(a) 所示弹簧-质量系统的自由振动响应。已 知初始条件为
6.12 无约束系统
• 无约束系统是不包含约束或支承，能像刚体一样运动的系 统。在工程实际中，不与任何固定框架相连的系统并不少 见
• 这样的系统具有实现类似于刚体运动的能力，这样的运 动可看成是与零固有频率对应的振型。
• 根据定义，功能总为正，所以质量矩阵m 是正定的。然而， 对于无约束系统，在位移矢量x 不为零的情况下，势能V 却可能为零，故刚度矩阵k 是半正定的。 • 为说明这一点，考虑用正则坐标表示的自由振动方程
若系统作刚性平动，并不是所有的分量 X i( 0) 都为零，即矢量 X（0） 不为零。因此，为满足上式，k 的行列式必为零。于是 非约束系统(有零固有频率)的刚度矩阵是奇异的。
X（0）称为系统的零振型或刚体振型
系统的势能为
把任意矢量（ X（0） 和零矢量除外）代入式(6.30). 系统的 势能都是一个正数。因而刚度矩阵k 是半正定的，这正是一 个非约束系统称为半正定系统的原因。