第6章 多自由度系统 6.11-6.14分解
6多自由度系统振动c
k (2 2 ) m
2 2
k 2 m
2 3
k (2 2 ) m
2 4
在正则坐标中分两种情况求解 x （1）i 1 时 1 0 运动方程：N1 0
x 初始条件： N1 (0) 0 xN1 (0) m v
解： x N1 at b
假使 12 是 r 重根
2 即有：12 2 r2
2 r21 ,, n 都是单根 其余的
将 2 12 代入特征值问题表达式： ( K 2 M ) 0 φ 1
rank[ K 12 M ] n r 特征矩阵[ K M ] 的秩：
2 1
令： X ΦN X N
得： X N ΛX N 0
2 x 展开，得： Ni i xNi 0
X N [ xN1
xN 2
xN 3
xN 4 ]T
(i 1 ~ 4)
1 T 初始条件： X N (0) ΦN X 0 [0 0 0 0]
X N (0) ΦN1 X 0 m v[1 0 1 0]T
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
• 频率方程的重根情形
在前面引入振型矩阵（或模态矩阵）的概念时，曾假设所有的 特征值都是特征方程的单根 。
复杂的系统中会出现某些特征根彼此很接近甚至相等的情况 例如，柔性航天结构
下面讨论如何求出系统固有频率出现重根时的相互正交的主振 型问题
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
求得固有频率：
12 0 方法一：
k m k 2 2 (2 2 ) m
2 2 (2 2 )
k m k 32 2 m
《结构动力学》-第六章-多自由度系统振动(一)
问题：[A]中元素是否一定为正？
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
x1 k2
m2
x2 k3
x3 m3
解：易得刚度矩阵为：
k1 k2 K k2 0 k2 k 2 k3 k3 0 k3 k5
m1上加单位力，各质量的位移分别为：
1
mj mn yj yn
m j j y mn n y
m1 1 y
(b)
i
ii
j
ji
1
(c)
i
ij
j
jj
于是： 若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产 生的位移将是aij*F； x 若在第j个质量上作用的是惯性力 m j j ，方向与坐标相 反，则在第i个质量上产生的位移将是 aij m j j ； x 若所有质量都有惯性力，则：
d L 2 x x M m( L cos L sin ) dt x
L kx x
d L d m[(x L cos )(L cos ) L2 sin 2 ] dt dt d x m[ xL cos L2 ] L cos x L sin L2 dt
L m Lx sin m gLsin
d L 2 x x M m( L cos L sin ) dt x
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
1 k1 1 可以验证 [ A] k1 1 k1
x1 k2
m2
x2 k3
x3 m3
机械手的动力学方程机械手的动力学...
T1
= [D11
-
D
2 1
2
D22
]J&&1
(6.36)
现在，取定 d1 = d2 = 1 ，m1 = 2，而对于三个不同的 m2 值，分别求出各个 系数： m2 = 1，表示机械手无负载情况；m2 = 4 ，表示有负载；m2 = 100 ，表 示位于外太空( 无重力环境 )的机械手的负载。在外太空，没有重力负载，允许
等效惯量 D11 = [(m1 + m2)d12 + m2d22 + 2m2d1d2cos(θ2 )] D22 = m2d22
耦合惯量 D12 = m2d22 + m2d1d2cos(θ2 )
向心加速度系数 D111 = 0 D122 = - m2d1d2sin(θ2 ) D211 = m2d1d2sin(θ2 ) D222 = 0
拉格朗日算子 L 定义为系统的动能 K 与势能 P 的差
L=K–P
(6.1)
系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示， 并不一定要使用笛卡尔坐标。
动力学方程通常表述为
Fi
=
d dt
¶L ¶q&i
-
¶L ¶qi
(6.2)
其中，qi是表示动能和势能的坐标值，q&i 是速度，而Fi是对应的力或 力矩，Fi是力还是力矩，这取决于qi是直线坐标还是角度坐标。这 些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。
(6.23) (6.24)
(6.25)
(6.26) (6.27) (6.28) (6.29)
哥氏加速度系数
D112 = D121 = - m2d1d2sin(θ2)
(6.30)
机器人学及其智能控制第6章 机器人的动力学
（式 6.10）
下面再用牛顿力学求解，对系统进行受力分析后，很容易就可以得到系统的受力方程为：
F ma
（式 6.11）
其中：
F kx ma
（式 6.12）
整理之后可以得到：
F ma kx
（式 6.13）
很容易得出这样一个结论，对于一个简单系统，用牛顿力学求解更容易，下面我们求解 一个稍微复杂一点的系统。
m2l
cos
m2l
2
sin
L kx x
F (m1 m2 )x m2l cos m2l 2 sin kx
（式 6.20）
（式 6.21） （式 6.22） （式 6.23）
对于旋转运动： 得到：
L
m2l 2
m2lx cos
d dt
L
m2l 2
m2lx
cos
m2lx
sin
L
m2gl sin
（式 6.29）
为方便分析，将其写成矩阵的形式：
F T
m1 m2l
m2
cos
m2l cos
m2l 2
x
0 0
m2l
sin 0
x2
2
kx m2
gl
sin
（式 6.30）
由此可以看出，对于求解复杂系统的运动方程，采用拉格朗日力学进行求解更加方便。
动力学仿真
为了对操作臂的运动进行仿真，必须采用前面建立的动力学模型，由封闭形式的动力学 方程（6.66），可通过仿真求出动力学方程中的加速度
q(t t) q(t) q(t)t 1 q(t)t 2 2
式中，每次迭代要用式（6.67）计算一次 q 。这样，通过输入已知的力矩函数，用数值积分
材料科学基础第6章
所以∆Ghet﹡ ﹤ ∆Ghom﹡ 由此可见，一般情况下，非均匀形核比均匀形核所需的形核功小， 且随润湿角的减小而减小。
（二）形核率 1、非均匀形核时在较小的过冷度下可获得较高的形核率 2、随过冷度的增大,形核速度值由低向高过渡较为平衡 3、随过冷度的增大形核速度达到最大后，曲线就下降并中断 4、最大形核率小于均匀形核
∆G = V ∆GV + σ A
∆G = 4 3 π r ∆GV + 4π r 2σ 3
r<r*时，晶胚长大将导致系统自由能的 增加，这种晶胚不稳定，瞬时形成，瞬时消失。 r>r*时，随晶胚长大，系统自由能降低， 凝固过程自动进行。 r=r*时，可能长大，也可能熔化，两种 趋势都是使自由能降低的过程，将r*的晶胚称 为临界晶核，只有那些略大于临界半径的晶核， 才能作为稳定晶核而长大，所以金属凝固时， 晶核必须要求等于或大于临界晶核。 极值点处
凝固：物质由液态至固态的转变。 6.2.1 液态结构 一、液态结构的特征： ① 液体中原子间的平均距离比固体略大 ② 液体中原子的配位数比密排结构的配位数减小（8～11范围内） ③ 结构起伏（相起伏） 二、结构起伏 不断变换着的近程有序原子集团，大小不等，时而产生，时而 消失，此起彼伏，与无序原子形成动态平衡，这种结构不稳定现象称 为结构起伏。 温度越低，结构起伏尺寸越大。
ϕ r = 1 − exp( − kt n )
图6.2 自由能随温度变化的示意图
液→固，单位体积自由能的变化∆ Gv为
∆ G V = G S − G L = H S − TS S − ( H = (H S − H L ) − T (S S − S L ) = − Lm − T (S S − S L )
第6章 多自由度系统 6.1-6.4
位移、速度、加速度和力矢量：
一般形式：
弹簧—质量—阻尼器系统的微 分方程是互相耦合的，即每一 个方程中包含的坐标多于一个。 这表明方程不能逐个单独求解， 只能同时求解。
如果刚度项是耦合的，则称系 统是静力耦合的，即刚度矩阵 至少在非对角线上有一个非零 元素。另一方面，如果质量矩 阵在非对角线上至少有一个非 零元素，则称系统是动力耦合 的。如果在刚度矩阵和质量矩 阵的非对角线上都有非零元素， 则系统同时具有静力耦合与动 力耦合。
？
课外证明！！！
非线性方程：
令：
线性方程
影响系数法
6.4 影响系数
• 多自由度系统的运动微分方程也可根据影晌系数 法来推 导，这在结构工程中广泛使用。 • 与刚度矩阵与质量矩阵相关的影响系数分别称为刚度影晌 系数和惯性影晌系数 。 • 在某些情况下，使用刚度短阵的逆矩阵即熟知的柔度矩阵 或质量矩阵的逆短阵，可更方便地表示运动微分方程。 • 与刚度矩阵的逆矩阵相对应的影响系数称为柔度影晌系数。 相应地， • 与质量矩阵的逆矩阵对应的系数称为逆惯性系数。
通过在m2 处作用单位载荷:
通过在m3 处作用单位载荷:
系统的柔度矩阵为
• 6.4.3 惯性影晌系数
质量矩阵的元素 mij 即为所说的惯性影响系数。虽然从系 统的动能表达式可以方便地得到惯性影响系数，但是系数 mij 也能借助冲量一动量关系计算。
惯性影响系数m1j,m2j,…,mnj可以分别定义为作用在 i 点 的冲量(角冲量)，以使 j 点产生单位速度，而在其他各点 产生的速度如零.
例6.7 求图6.4(a) 所示系统的惯性影响系数。
) 采用坐标 x(t )和 (t分别描述拖车距静平衡位置的线位移与 复摆距静平衡位置的角位移
第六章 无限自由度体系1
第六章无限自由度体系主要内容•Euler梁运动方程的建立•梁的自由振动•振型的正交性•振型叠加法梁的动力反应分析第六章无限自由度体系（分布参数体系）真实结构，质量连续分布。
描述和确定连续介质的空间位置，需要用连续介质的空间坐标（空间位置是空间坐标x、y、z的连续函数）。
前面介绍了结构动力分析中将无限自由度采用有限自由度来描述，称为有限自由度体系的动力反应问题。
此时运动方程为常微分方程。
直接采用分布参数来建立运动方程，称为无限自由度体系，这时要精确描述结构体系的运动状态必须用偏微分方程。
第六章无限自由度体系根据描述这个结构体系所需空间坐标个数的多少分为：一维结构：譬如：梁和杆，如果它们物理性质（质量、刚度）完全可以用轴线的位置确定，描述这个体系的偏微分方程只包括两个独立自变量：轴线位置坐标和时间。
二维结构：譬如：板和壳，一般需要两个位置坐标，是。
运动方程是有三个独立自变量的偏微分方程。
三维结构：譬如：地球介质或不均匀厚板则需要三个空间位置坐标，此时，运动方程是含四个独立自变量的偏微分方程。
偏微分方程的求解比常微分方程困难得多，因此在介绍具有分布体系的动力分析时，往往仅局限于对单个构件的分析。
（1）无阻尼弯曲梁(Euler 梁)取微元体竖向平衡条件：0)(22=∂∂−∂∂+−+t u mdx dx x V V pdx V 22tu m p x V ∂∂−=∂∂再补充材料力学中给出的梁的弯矩和曲率的关系式：由以上3式得到弯曲梁的偏微分运动方程：V x M =∂∂21 梁的偏微分运动方程（1）无阻尼弯曲梁在以上方程推导中仅考虑了梁的横向弯曲变形，忽略了由横截面转动（转动惯性）导致的惯性力，以及剪切变形和轴力产生的弯曲效应。
考虑剪切变形和转动惯量将大大增加问题的复杂性。
Timoshenko考虑了剪切变形和转动惯量影响因素，给出了考虑剪切变形和转动惯量影响时梁的运动方程。
这时，梁被称为Timoshenko梁。
第6章-给水管网设计
K h Qd Qh 24
（m3/h）
(6.8)
图6.1 中，最高时用水量为全天用水量 的5.92%，时变化系数为1.42。若最高 日用水量Qd=45000m3/d，则最高时用水 量为：
K h Qd 1.42 45000 Qh 2663 24 24
图6.1 某城市最高日用水量变化曲线
6.1.1 最高日设计用水量（续1） 1）城市最高日综合生活用水量（包括公共设施生活用水量）：
q1i N1i Q1 1000
q1i —城市各分区的最高日综合生活用水量定额，L /(Cap· d)，见附录表1； N1i —设计年限内城市各用水分区的计划人口数，Cap； 2）工业企业生产用水量： 式中
（1）设计用水量变化规律 最高日用水量的时变化系数： 城市综合用水的时变化系数宜采用1.3~1.6 ；
工业企业内工作人员的生活用水时变化系数为2.5~3.0，淋浴用水量按每班延续 用水1小时确定变化系数；
工业生产用水量一般变化不大，可以在最高日内各小时均匀分配。
最高日用水量的时变化曲线：最高日各小时用水量曲线图。
(6.16)
如果存在误差，则应检查计算过程中的误差，可以直接调整某些项集中流量和 沿线流量，使流量达到平衡。 （2）节点设计流量计算 • 基本假设：即所有流量只能从节点处流出或流入。 • 供水泵站或水塔的供水流量也应从节点处进入系统，但应作为负流量。 • 节点设计流量是最高时用水集中流量、沿线流量（转移后）和供水设计流量之和， 假定流出节点为正向，则用下式计算：
在缺乏资料、不能进行水量调节计算的情况下，一般清水池容积可按最高日用水 量的10%~20%设计。工业用水可按生产上的要求确定清水池容积。
W W W
《自由度系统》PPT课件
系统稳态振动时，惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频 率的简谐量，分别为：
频率比所处区域不同，与激励构成动平衡的力的种类不同
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
0
弹性控制区
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
惯性控制区
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图 2—14
从波形图可以看出：
求通解的过程
全解
通解
特解
通解
衰减因子
全解=瞬态响应+稳态响应 瞬态响应昙花一现，不劳多谈； 稳态响应主导江山，集中研判！
今后，只研究稳态响应项。
稳态响应项的规律
要命的是频率（比）！
2.4.2 复频率响应 幅频特性与相频特性
稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数，在理论 分析和实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响 应的影响。
得到运动微分方程的又一种方法
机械能守恒
x,v
简谐运动能量图
xt 0
o
t xA co ts
T vt v A si n t
能量
o T T 3T T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1kA2c 2
o2st
t Ek
1m2A2sin2t
2
E 1 kA2 简谐运动能量守恒，振幅不变 2
简谐运动势能曲线
1．静态位移法
用静力学的方法确定动 力学系统的固有频率
妙！
横梁与弹簧串联： 总变形量为分变形量之和
2.能量法
系统振动时动能、势能要相互转换。根据能量关系也能 求系统的固有频率。对于单自由度系统，用能量法求固有频 率有两种方法：
第六章多自由度系统的自由振动(2011版)
135第六章 多自由度系统的振动（一）6.1 引言所谓多自由度系统．．．．．．是指有限个多自由度的系统，它包括前述2自由度系统，但不包括后面要讲的弹性体（或称分布参数系统）。
后者属于无限多个自由度的系统。
实际的工程结构都是弹性体结构，但通过适当的抽象化，往往可以归结为多自由度系统。
所以说，多自由度系统振动的理论是解决工程振动问题的基础。
1自由度系统与多自由度系统总称集中参数系统．．．．．．，因为它们都是用集中参数模型从实际工程结构简化而来的。
一般来说，一个n 自由度的系统，它的运动可以用n 个独立坐标来描述。
这时，系统的运动规律通常由n 个二阶常数微分方程来确定。
2自由度振系的分析与多自由度振系的分析，二者不存在本质的区别；但随着系统自由度的增加，计算工作大为复杂化；因此，必须采用与之相适应的数学工具，由于矩阵一方面可以为多变量问题提供简洁的表式，这种表式可以鲜明的显示出振动系统的基本特征；另一方面矩阵还可以为解题提供系统而规则的算法；所以，矩阵自然就成为分析多自由度系统振动问题的有力工具。
对于大型复杂的工程系统，例如飞机与船体结构、坝体与高楼大厦等等，在细致的振动分析中往往需要归结为上百个自由度的振动系统。
对于这类系统的分析，必须求助计算机。
以矩阵与有限元法为基础的、振动问题的矩阵计算机解法已发展成一种通用的工程分析方法。
本书所阐述的机械振动的一般规律为它提供必要的振动理论基础。
本章限于论述多自由度系统振动的基本理论。
第2—9节讨论系统的自由振动，目的在于阐明固有频．．．率与主振型的理论．．．．．．．．。
第10—14节讨论系统的强迫振动，重点在于介绍主坐标分析法．．．．．．（亦称主振型叠加法．．．．．．或模态分析法．．．．．．）。
6.2自由振动举例本节通过3自由度振系的实例分析，说明前述2自由度振系的理论可推广应用于多自由度振系，并由此引出相应的矩阵表式。
试考察图6.2-1所示3自由度系统的自由振动。
最新课件-机械振动电子教案第06课多自由度系统的运动
简谐强迫振动的解，复指数法 频响函数与频响特性曲线 品质因数与半功率带，半功率带法测量阻尼 旋转失衡与基础振动引起的简谐强迫振动方程、频响函数
积极隔振与消极隔振原理
位移传感器与加速度传感器的频响特性
单自由度系统回顾
周期强迫振动与非周期强迫振动
傅立叶级数，正弦、余弦激励函数的响应，线性叠加原理
以 m2 为研究对象，有
（1）
1 k2 x1 x2 c2 x 1 x 2 k3 x2 c3 x 2 F2 (t ) m2 x
将方程(1)、 （2）整理可得
（ห้องสมุดไป่ตู้）
1 c1 c2 x 1 c2 x 2 k1 k 2 x1 k 2 x2 F1 (t ) m1 x
脉冲函数与脉冲响应
卷积积分
频响函数、脉冲响应函数与传递函数之间的关系
本章主要内容
3.1 多自由度系统的运动方程
3.2 频率方程、振型与正则坐标 3.3 多自由度系统的振动响应 3.4 多自由度系统的数值计算方法
3.1 多自由度系统的运动方程
牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法
1 1 1 2 2 3 U k1 x1 k 2 x 2 x1 k 3 x 2 2 2 2 k 2 x1 1 k1 k 2 1 x1 , x 2 x Kx k 2 k 3 x2 2 2 k2 1 2 1 1 3 2 2 D c1 x1 c2 x2 x1 c3 x 2 2 2 1 1 c2 x c1 c2 1 1 , x 2 Cx x x 2 2 2 c2 c2 c3 x
有限元第六章 动力问题的有限元法
第六章 动力问题的有限元法6.1 概述前面几章所研究的问题都属于静力问题，其特点是施加到结构上的外载荷不会使结构产生加速度，且外载荷的大小和方向不随时间变化，因而结构所产生的位移和应力也不随时间变化。
本章将要研究结构分析中另一类重要问题的有限元解法，即动力问题的有限元解法。
动力学问题的特点是，载荷是随时间变化的，因而结构所产生的位移和应力是时间的函数，结构会产生速度和加速度。
由于结构本身的弹性和惯性，结构在动力载荷的作用下，往往呈现出振动的运动形态。
结构振动是工程中一个很普遍很重要的问题。
有些振动对我们有利，例如，振动打桩，振动选料，有些振动对我们有害，例如，机床的振动，仪器与仪表的振动，桥梁、水坝及高层建筑在地震作用下的振动等。
因此，我们必须对振动体本身的振动特性以及它对外部激振力的响应有一个明确的认识，才能更好地利用它有利的一面，而避免它有害的一面，设计出更好的机械和结构。
振动问题主要解决两方面的问题。
1. 寻求结构的固有频率和主振型，从而了解结构的固有振动特性，以便更好地利用或减少振动。
2. 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时动应力和动位移的大小及其变化规律。
6.2 结构的振动方程结构的振动方程可用多种方法建立，这里我们使用达朗伯原理（动静法），仿照前几章建立静力有限元方程的方法，来建立动力问题的有限元方程。
在静力问题中用有限元法建立的平衡方程是}{}]{[F K =δ在振动问题中，对结构的各节点应用达郎伯原理所建立的振动方程仍然具有与上式相同的形式，只不过节点位移是动位移，节点载荷是动载荷，它们都是时间的函数。
上面的方程成为)}({)}(]{[t Q t K =δ (6.1)上式中{})(t δ为节点的动位移，它是时间的函数，)}(]{[t K δ是t 时刻的节点位移产生的弹性恢复力，它与该时刻的节点外力{})(t Q 构成动态平衡。
在动态情况下，结构承受的载荷（集中载荷 ，分布载荷 ）可随时间而变化，是时间的函数。
第6章 多自由度系统 6.11-6.14
若系统作刚性平动，并不是所有的分量 X i( 0) 都为零，即矢量 X（0） 不为零。因此，为满足上式，k 的行列式必为零。于是 非约束系统(有零固有频率)的刚度矩阵是奇异的。
X（0）称为系统的零振型或刚体振型
系统的势能为
把任意矢量（ X（0） 和零矢量除外）代入式(6.30). 系统的 势能都是一个正数。因而刚度矩阵k 是半正定的，这正是一 个非约束系统称为半正定系统的原因。
注意:由式(E.8) 给出的解对于 是有效的。对t>0.1 s ， 因为没有外力作用，故系统的响应为无阻尼单自由度系统， 对应于初始条件 和 的自由振动响应。
解: 锻锤可以简化为二自由度系统，已表示在图6.14(b) 中， 系统的运动微分方程为
(1)求固有频率与主振型。
可以通过解频率方程求系统的固有频率，由：
得主频率：
各阶主振型分别为
(2) 主振型的正则化。
假设正据广义坐标求响应。 初始条件为
由
其中：
所以：
位移： 其中：
已知： 初始条件： 解: 系统的固有频率与固有振型为(见例5.3)
通过将固有振型关于质量矩阵正则化，
正则振型矩阵为 利用
标量形式
解为
初始条件
可得
位移
例6.16 图5.41 中所示锻锤作用在工件上的冲击力可以近似 为矩形脉冲，如图6. 14 所示。已知工件、铁砧与框架的质 量为m1 =200 Mg ，基础的质量为m2 =250 Mg ，弹簧垫的 刚度为k1= 150MN/m ，土壤的刚度为k 2 = 75 MN/m 。假定 各质量的初始位移与初始速度均为零，求系统的振动规律。
第6章 多自由度系统（四）
6.11 展开定理
• 由于正交性，各个特征向量是线性独立的①，因此它们构 成了n 维空间的一个基。这意味着n 维空间中的任意向量 都可以表示为这n 个线性独立向量的线性组合。若x 是n 维空间中的任意一个向量，则其可表示为
6《结构动力学》-第六章
x2
x3
k4
x4
k5
x5
m2
k3
m3
m4
m5
解：首先用力使m1产生单位位移，并用力使其余质量不动， 首先用力使 产生单位位移，并用力使其余质量不动， 则需要给m 的力为k 的弹性力和， 则需要给 1的力为 1与k2的弹性力和，即k11＝k1+k2。此时 m2需加力为 2，沿x的负方向，即k21＝-k2，其余质量不必 需加力为k 的负方向， 的负方向 施加任何力， 施加任何力，即k31＝k41＝k51＝0。 。 用类似方法可得其余刚度系数，于是有： 用类似方法可得其余刚度系数，于是有：
m2上加单位力，各质量的位移分别为： 上加单位力，各质量的位移分别为：
a12 = 1 k1 a 22 = 1 1 + k1 k 2 a 32 = a 22 = 1 1 + k1 k 2
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。 求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
x1 k2
x2
x3 m3
LL
用矩阵符号可写成： 用矩阵符号可写成：
LL
mn &&n = −k n1 x1 − k n 2 x2 − LL − k nn xn + Fn (t ) x
& [M ]{X& }+ [K ]{X } = {F (t )}
〈例〉求图示五自由度系统的刚度矩阵。 求图示五自由度系统的刚度矩阵。
k1
m1
x1 k2
或写成： 或写成：
& {X } + [A][M ]{X& } = {0}
在刚度矩阵[K]非奇异条件下，柔度矩阵 与刚度矩 在刚度矩阵 非奇异条件下，柔度矩阵[A]与刚度矩 非奇异条件下 存在如下的互逆关系： 阵[K]存在如下的互逆关系： 存在如下的互逆关系
[讲解]排气系统的振动分析
![[讲解]排气系统的振动分析](https://img.taocdn.com/s3/m/cd4add16f02d2af90242a8956bec0975f465a49c.png)
第六章排气系统的振动分析排气系统一端与发动机相连，另一端则通过挂钩与车体相连。
发动机的振动传递给排气系统，然后在通过挂钩传给车体。
车体的振动通过座椅、方向盘和地板直接传给顾客，同时车体的振动也会幅射出去，在车内产生噪声。
所以控制传到车体的力是排气系统振动控制的最重要的目标之一。
排气系统的振动分析涉及到三个方面：模态分析，动力分析和传递渠道的灵敏度分析。
排气系统的结构非常复杂，几乎不可能用经典的力学分析来了解其振动特性，在工业界，有限元方法已经得到了广泛应用。
第一节排气系统的振动源排气系统的振动源主要有四个：发动机的机械振动，发动机的气流冲击，声波激励和车体的振动，如图6.1所示。
第一，发动机机械振动。
排气系统直接与发动机相连接，因此发动机的振动也就直接传递给排气系统。
第二，气流冲击。
高速气流经过汽缸排出，直接冲击排气多支管，从而引起排气系统振动，特别是对于转弯较急的部分。
当气流进入到排气系统后，气流在管道内产生紊流，从而引起排气管道的振动。
第三是声波激励的振动。
声波在管道中运动时，会对管道和消音元件等结构产生冲击，因此而引起振动。
排气系统是通过挂钩与车体相连，因此这些振动会通过挂钩传递到车体。
排气系统的第四个振动源是车体的振动。
这个振动传递方向与前面三种相反，车体振动也会通过挂钩传递到排气系统。
这种传递会逆向传递到发动机，从而加大了发动机的振动。
图6.1 排气系统的振动源第二节排气系统的振动模态分析模态分析是排气系统动力计算的关键。
我们知道排气系统与发动机和车体相连，因此排气系统的模态必须与发动机的激振频率和车体的模态分开，否则系统耦合在一起会产生强烈的共振。
通过排气系统的模态分析还可以知道系统的节点和反节点，从而可以更有效地布置挂钩的位置。
通常，挂钩是放在节点的位置，这样传递力会最小。
在排气系统模态分析时，通常要对下面几个指标设定目标：第一阶垂向弯曲模态第一阶横向弯曲模态第一阶横向扭转模态模态密度第一阶垂向弯曲模态和第一阶横向弯曲模态是排气系统中最容易被发动机激励起的模态，同时这两个模态的振动也最容易传递到车体并与车体发生共振。
f6_??????
Consistent-mass
M
C
e
ml 420
54 22l
156 13l
13l 4l 2
22l 3l 2
13l 22l 3l 2
4l 2
静力凝聚法
当采用集中质量阵，而结构体系的自由度又存在转角时，转动自由 度的惯性力为0，此时可以采用静力凝聚法，消去无质量的自由 度。若平动和转动自由度分别用下标t和θ区分，则采用集中质量 方法时，存在转角自由度体系的运动方程可写为如下形式，
T T (q1, q2 ,, qN , q1, q2 ,, qN )
V V (q1, q2 ,, qN )
Wnc Q1q1 Q2q2 QNqN q1, q2, …, qN为广义坐标，
t2
(T V )dt
t2 Wncdt 0
t1
t1
பைடு நூலகம்
Q1 , Q2, …, QN为非保守力，例如外力、阻尼力等。
下面通过算例来介绍如何应用Lagrange方程，从算例中可 以看到，用Lagrange运动方程建立的运动方程不限于线 性问题。
6.2 Lagrange运动方程
算例6.1 如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆 的 质 量 分 别 为 m1 和 m2 ， 忽 略 杆 的 分 布 质 量 ， 采 用 Lagrange方程建立体系无阻尼自由运动方程。
结构动力学
（2003秋）
结构动力学
第六章
多自由度体系的运动方程
第六章 多自由度体系的运动方程
以前各章讨论的对象均为单自由度体系，它的运 动仅需一个运动方程来描述，求解这个运动方 程，就可以得到单自由度体系的位移、速度和 加速度以及能量等。
工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如 多层建筑结构、大跨桥梁结构、空间网架结构 等等。为合理反映振动过程中惯性力的影响， 需要采用更多的自由度描述结构体系的质量分 布并确定体系的变形。
振动理论09(2)-多自由度系统
多自由度系统的自由振动●求系统对上述初始条件的响应⏹假定系统的坐标为⏹时刻各坐标及速度的初始值分别为和●根据系统的自由振动微分方程，求得正定系统的自由振动的一般形式：⏹对于正定系统, 可以表示为组简谐振动的主振动的叠加⏹固有频率有几个相等的情况，可通过组合的正交列矩阵，仍可以利用上述一般解的形式⏹半正定系统的固有频率中有一个或几个为零时，将其刚体运动形式的方程替换一般解中的相应简谐形式的主振动表达式，可以得到半正定系统自由振动的一般形式●在原坐标系内求解⏹确定正定或半正定系统自由振动一般解中的个待定系数⏹根据个初始条件，求解个联立方程⏹计算工作量较大●振型叠加法⏹利用主振型/正则振型，借助于系统原坐标与主坐标/正则坐标的坐标变换⏹解耦，各阶振动单独求解⏹避免求解联立方程组，减少计算量●如果采用正则振型矩阵⏹求出系统的固有频率及主振型、正则振型后，建立原坐标和正则坐标之间的变换⏹确定用正则坐标表示的系统自由振动微分方程⏹求出各正则坐标的一般解（其中的待定常数由初始时刻的正则坐标和速度的初始值决定）如何确定正则坐标的初值和初始速度值?⏹由给定的系统坐标及速度的初始值及求出各正则坐标及速度的初始值⏹正则坐标下的系统响应⏹求出原系统坐标下的系统响应⏹对于半正定系统，由于它的固有频率中至少有一个或几个为零，对应于零值固有频率的正则坐标的运动方程为⏹系统原坐标下的响应多自由度系统的阻尼矩阵●对于一般的带有粘性阻尼的多自由度系统，在外力作用下，运动方程的形式为⏹阻尼矩阵一般是正定矩阵或半正定对称矩阵。
●通过引进正则坐标，●方程两边左乘,⏹是正则坐标中的广义力列阵⏹是正则坐标中的阻尼矩阵, 一般不是对角矩阵. 所以上式仍然是通过速度项耦合●如果是正则坐标中的对称矩阵,求解就会大大简化.阻尼矩阵的对角化●比例阻尼⏹如果原坐标的阻尼矩阵C与质量矩阵M或刚度矩阵K成正比，或者是与的线性组合，, 这种阻尼称为比例阻尼⏹Rayleigh指出：对于比例阻尼，当坐标转换成正则坐标时，在正则坐标中的阻尼矩阵是对角矩阵●比例阻尼在正则坐标中的对角形式⏹比例阻尼是使成为对角矩阵的一种特殊形式⏹满足其他一些条件也可以使成为对角形式⏹一般情况下, 是非对角的●另一种对角化方案，首先根据●算出后，保留对角元素的原有数值，将所有非对角元素的值改为零，⏹用这个经过上述处理的对角矩阵近似代替⏹做法简单，避免了求速度项耦合的微分方程●具有一定的合理性:⏹通常情况下阻尼较小, 外载频率远离主频率时,方程中起主要作用的是惯性力项和弹性力项⏹在外载频率与某一固有频率接近时, 外力主要与惯性力对抗,阻尼对角元素对应的项远较非对角元素大●对于系统阻尼较小，系统的各阶频率互不相等且不非常接近的情况，可以用把简化成对角矩阵，用振型叠加法分析具有阻尼的多自由度系统的振动问题⏹如果频率相互接近，则振型也会很接近，相互接近的振型之间的阻尼影响系数应该很接近，不能忽略●转化为相互独立的二阶常系数微分方程式，可以独立求解⏹称为第阶正则振型的阻尼系数，称为正则振型的阻尼矩阵(振型阻尼)⏹每个坐标的运动都是由个主振动叠加而成⏹每个主振动都是衰减的简谐振动多自由度系统对激振的响应●具有粘性阻尼的多自由度系统，各广义坐标上有相同频率、同相位的简谐力作用，系统的受迫振动方程为●常常只希望得到系统的受迫振动解⏹与系统初始条件有关的自由衰减振动随时间增长而消失●在有阻尼的情况下⏹坐标的运动与外力频率相同⏹与外力的相位不同⏹坐标彼此间的相位也不同在原坐标系下的求解方法●假设解具有如下的形式●代入振动方程●等式两边的和项前面的系数相等●这是个联立方程组，可以解出和。
自由度分析及系统分解
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器的安全性和可靠性。
信息系统自由度分析
要点一
总结词
信息系统自由度分析是评估信息系统安全性和保密性的重 要方法，有助于提高信息系统的安全防护能力。
要点二
详细描述
在信息系统中，自由度分析用于评估系统的安全性和保密 性。通过分析信息系统的自由度，可以发现潜在的安全风 险和漏洞，进而采取有效的安全措施来保护信息系统的安 全。例如，在网络安全领域中，通过信息系统自由度分析 可以检测网络攻击和入侵行为，从而及时采取措施防止敏 感信息的泄露和网络攻击的破坏。
相互制约
自由度分析和系统分解之间也存在一定的相互制约关系，例 如在某些情况下，为了满足系统的整体性能要求，可能需要 在自由度分析和系统分解之间进行权衡和折衷。
04 实际应用案例
机械系统自由度分析
总结词
机械系统自由度分析是确定机械系统运动状态的关键步骤，有助于优化系统设计和提高机械性能。
详细描述
在机械系统中，自由度是指系统独立运动的数量。通过自由度分析，可以确定系统的运动状态和可能 的运动轨迹，从而优化机械系统的设计。例如，在汽车悬挂系统中，通过自由度分析可以确定悬挂系 统的运动范围和性能，进而优化悬挂系统的设计。
系统分解后，各个子系统的功能和结构更加清晰，有利于提高系 统的可维护性。
便于模块化开发
系统分解后，各个子系统可以独立开发、测试和集成，便于模块 化开发。
自由度与系统分解的相互作用
相互促进
自由度分析和系统分解是相互促进的过程，通过自由度分析 可以指导系统分解，而系统分解的结果又可以进一步验证自 由度分析的准确性。
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6.11 展开定理
• 由于正交性，各个特征向量是线性独立的①，因此它们构 成了n 维空间的一个基。这意味着n 维空间中的任意向量 都可以表示为这n 个线性独立向量的线性组合。若x 是n 维空间中的任意一个向量，则其可表示为
两边左乘以
Mii 是第n 阶主振型对应的广义质量。若根据式(6.8 1)， 对振型向量X (i)正则化，则 ci 为
已知： 初始条件： 解: 系统的固有频率与固有振型为(见例5.3)
通过将固有振型关于质量矩阵正则化，
正则振型位移
例6.16 图5.41 中所示锻锤作用在工件上的冲击力可以近似 为矩形脉冲，如图6. 14 所示。已知工件、铁砧与框架的质 量为m1 =200 Mg ，基础的质量为m2 =250 Mg ，弹簧垫的 刚度为k1= 150MN/m ，土壤的刚度为k 2 = 75 MN/m 。假定 各质量的初始位移与初始速度均为零，求系统的振动规律。
解: 锻锤可以简化为二自由度系统，已表示在图6.14(b) 中， 系统的运动微分方程为
(1)求固有频率与主振型。
可以通过解频率方程求系统的固有频率，由：
得主频率：
各阶主振型分别为
(2) 主振型的正则化。
假设正则振型为
令
正则振型矩阵为
(3) 根据广义坐标求响应。 初始条件为
由
其中：
所以：
位移： 其中：
注意:由式(E.8) 给出的解对于 是有效的。对t>0.1 s ， 因为没有外力作用，故系统的响应为无阻尼单自由度系统， 对应于初始条件 和 的自由振动响应。
6.12 无约束系统
• 无约束系统是不包含约束或支承，能像刚体一样运动的系 统。在工程实际中，不与任何固定框架相连的系统并不少 见
• 这样的系统具有实现类似于刚体运动的能力，这样的运 动可看成是与零固有频率对应的振型。
• 根据定义，功能总为正，所以质量矩阵m 是正定的。然而， 对于无约束系统，在位移矢量x 不为零的情况下，势能V 却可能为零，故刚度矩阵k 是半正定的。 • 为说明这一点，考虑用正则坐标表示的自由振动方程
• 在外力作用下的多自由度系统的运动微分方程为
利用振型叠加法解方程时，首先必须求解特征值问题
根据展开定理：
是依赖于时间的广义坐标，称 为主坐标或振型参与系数 振型矩阵
代入方程
左乘：
若已将固有振型正则化，
广义力
广义坐标方程
上式表示以下n 个二阶非藕合微分方程:
方程的一般解:
初始条件:
例6.15 利用振型叠加法，求下列运动微分方程表示的二自 由度系统的自由振动响应:
若系统作刚性平动，并不是所有的分量 X i( 0) 都为零，即矢量 X（0） 不为零。因此，为满足上式，k 的行列式必为零。于是 非约束系统(有零固有频率)的刚度矩阵是奇异的。
X（0）称为系统的零振型或刚体振型
系统的势能为
把任意矢量（ X（0） 和零矢量除外）代入式(6.30). 系统的 势能都是一个正数。因而刚度矩阵k 是半正定的，这正是一 个非约束系统称为半正定系统的原因。
解:在例6. 10 中巳求得系统的固有频率与振型分别为
6.14 用模态分析法求无阻尼系统的强迫振动
• 当有外力作用于多自由度系统时，系统将作强迫振动。对 具有n 个坐标或自由度的系统，运动控制方程为n 个耦合 的二阶常微分方程。 • 当作用力是非周期的和(或)系统的自由度数较大时，这些 方程的求解非常复杂。在这些情况下，可以利用较简便的 方法即振型叠加法进行求解。该方法运用到了展开定理， 即将各质量的位移表示为系统固有振型的线性组合。 • 通过该转换，可使运动微分方程变为非藕合的，即可以得 到n个非藕合的二阶常微分方程。这些方程的解可以等效 为易于求解的n 个单自由度系统方程的解。
• 例6.13 如图6. 13 所示， 3 节车厢通过2 个弹簧相连。已 知 m1 =m2 =m3 =m ， k1=k2=k。求该系统的固有频率与 固有振型.
6.13 无阻尼系统的自由振动
以矩阵形式表示的无阻尼系统自由振动的微分方程为
解得一般形式：
例6.14 求图6.8(a) 所示弹簧-质量系统的自由振动响应。已 知初始条件为