第三讲金融工程定价方法

– 即，X= S(t)erf (T-t)

故远期/期货价格为
– F(t,T)= S(t)erf (T-t)
支付已知现金红利资产远期合约定价

设I为现金红利在t时刻的现值。
组合
– 一项价值为S(t)的标的资产多头；
– 数量为Xe-rf (T-t) +I的现金空头(以无风险利率rf借入)

组合现金流分析
– t时刻：组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t) - I – T时刻：组合价值为S(T)-X


这一组合复制了支付已知现金红利资产远期合约的多头。
根据无套利原则，该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t时刻的 价值。即
– ƒ(t)=S(t) - I - Xe-rf (T-t) t≤T
关于远期汇率的案例

远期/期货合约的价值

设X为远期/期货合约在到期日T标的资产的交割价格。则对于一 项远期合约多头来说，其在T时刻的价值为S(T)-X。 组合：
– 一项价值为S(t)的标的资产多头；

– 数量为Xe-rf (T-t)的现金空头(以无风险利率rf借入)

组合现金流分析
– t时刻：组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t) – T时刻：组合价值为S(T)-X

一客户要求某银行报出一年后交割的DM对US$的汇价。 有关数据如下： 交割数量(A)：1,980,000DM 即期汇率(S)： US$1=1.8000DM 即期利率：一年期的美元利率(ib )为6%，一年期的DM 利率为(iq )10%。 问：该银行如何确定一年期的DM/ US$的远期汇率(F) ？
用基本证券复制风险证券A

组合B：
– 购买uPA份基本证券1； – 购买dPB份基本证券2。

由无套利原理可知，复制与被复制证券市价的 现值相等： PA=πuuPA+πddPA 即：πuu+πdd=1 （1）

对风险证券A定价

组合C： – 购买一单位基本证券1； – 购买一单位基本证券2。

对A证券定价
– PA=πuuPA+πddPA=0.435730×107+0.544662×98=100

对证券B定价
– PB=πuuPB+πddPB=0.435730×103+0.544662×98.5=98.52941
问题

问题1：基本证券1的市场价格和基本证券2的市场价格是由证券A
的状态价格确定，为什么可以用来复制证券B？


1年后组合C现金流为？
组合C是一个无风险组合，其收益率应为无风险收益率rf ，有 πu+πd=1/(1+ rf) （2）


将式（1）、（2）两个方程联立成方程组，可得：
πu= [(1+ rf) –d]/[(1+ rf) (u-d)] πd =[u-(1+ rf)]/[(1+ rf) (u-d)]
例1

假如证券A现在的市场价格为PA=100元，rf=2%， d=0.98,u=1.07，见图；证券B1年后的状态价格见图。
107 PA=100 98
103 PB 98.5
解

依题意有
– πu= [(1+ rf) –d]/[(1+ rf) (u-d)]=0.435730 – πd =[u-(1+ rf)]/[(1+ rf) (u-d)]=0.544662


远期汇率的确定过程
US$ DM
卖出即期美元(价1.8000)
② -1,800,000 [A/(1+iq)]/s =1,800,000/1.8=1,000,000
即期
-1,000,000 +1,000,000
+1,800,000
{[A/(1+iq)]/s}(1+ ib) =1,000,000(1+6%) =1,060,000
以6%的 利率借 ③ US$ 1年
以10% 的利率 贷出 DM1年
① A/(1+iq) =1,980,000/(1+10%) =1,800,000
远期
(一年)
个证券？
用证券A复制证券B
组合D：△份证券A和现值为L的无风险证券。其现在 的价格为： – I=100△+L （3） 1年后，无论市场状况如何，组合D的市场价值都与 证券B一样。 如出现上升的状态，有 – Iu=△×107+L×1.02=103 如出现下降的状态，有 – Id=△×98+L×1.02=98.5 将以上两个方程联立成方程组，可解得 △=0.5,L=49.5/1.02 代入式（3）可得证券B现在的价值I=98.52941

这一组合复制了远期合约的多头。 根据无套利原则，该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t 时刻的价值。即
– ƒ(t)=S(t) - Xe-rf (T-t) t≤T
远期/期货价格

如果在t时刻订约，则远期价格等于T时刻的交割价格， 即F(t,T)=X，且合约的价值为零，则有
– S(t) - Xe-rf (T-t) =0
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第三讲 金融工程定价技术

本讲内容
– 1.状态定价技术
– 2.构建无风险组合定价技术
– 3.风险中性定价技术
– 4.鞅及鞅测度
金融工具定价的关键
（1）金融工具的现金流 （2）恰当的折现率

状态价格定价技术

假如一份风险证券A，现在的市场价格是PA ， 1年后市场价格会出现两种可能的情况：价格 上升到uPA ，其概率为q；或者下降到dPA ， 出现的概率为1-q。即1年后会出现两种不同的 价格状态。
q PA uPA
1-q
dPA
状态价格定价技术(续)

定义两基本证券（假想证券）： – 基本证券1：在1年后如果市场出现上升状态，其市
场价值为Hale Waihona Puke Baidu元，如处于下跌状态，则其价值为零，
其市场价格记为πu ； – 基本证券2：在1年后如果市场出现上升状态，其市 场价值为0元，如处于下跌状态，则其价值为1，其 市场价格记为πd 。
状态价格的涵义： – 两个基本证券的参数[πu，πd]唯一地确定了某个市场，则刻画 在这个市场里的证券价格变化的参数u和d必须满足以下方程 组 – πuu+πdd=1 – πu+πd=1/(1+ rf)

两组不同的[πu，πd]刻画了两个不同的市场。
用证券B的状态价格来复制证券B？
问题2：基本证券都是假想证券，能不能用一个证券来复制另一