2020年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)
2020届山东省临沂市高三一模数学试题(解析版)
2020年临沂市高三模拟试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|2A x x =∈<Z ，{}|21xB x =>，则A B =I （ ） A. {}1 B. {}1,2 C. {}0,1 D. {}1,0,1-【答案】A 【解析】 【分析】计算{}1,0,1A =-，{}0B x x =>，再计算交集得到答案.【详解】{}{}2|21,0,1A x x =∈<=-Z ，{}{}210xB x x x ==>，故{}1A B ⋂=.故选：A .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，则12z z 的共轭复数为（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 1i --D. 1i -【答案】B 【解析】 【分析】根据题意11z i =-，2z i =，121z z i z ==--，再计算共轭复数得到答案. 【详解】复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，故11z i =-，2z i =，()122111i i z i z i z i i ---====---，故1z i =-+. 故选：B .【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 3.若a ∈R ，则“1a >”是“31a >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】依次判断充分性和必要性，取2a =-得到不充分，得到答案. 【详解】当1a >时，取2a =-，则381a =-<，故不充分；当31a >时，根据幂函数3y x =的单调性得到1a >，故1a >，必要性成立.故选：B .【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.4.已知向量,,a b c →→→，其中a →与b →是相反向量，且a c b →→→+=，()3,3a c →→-=-，则a b →→⋅=（ ）A.B.C. 2D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】设(),a x y =r，则(),b x y =--r ，计算得到1x =，1y =-，再计算数量积得到答案. 【详解】设(),a x y =r ，则(),b x y =--r ，a c b +=r r r，故()2,2c x y =--r ， ()()3,33,3a c x y -==-r r ，故1x =，1y =-，()()1,11,12a b ⋅=-⋅-=-r r.故选：D .【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力. 5.已知ln x π=，5log 2y =，0.5z e -=，则（ ） A. x y z >> B. x z y >>C. z y x >>D. z x y >>【答案】B 【解析】 【分析】计算得到ln 1x π=>，51log 22y =<，0.5211z e-=<<，得到答案.【详解】ln ln 1x e π=>=，551log 2log 2y =<=，又2ln2ln4ln 1e =>=， 所以1ln 22>，ln 20.50121ez e e --=<=<=，故x z y >>. 故选：B .【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.已知函数()21212f x x x =-+，[]1,4x ∈，当x a =时，()f x 取得最大值b ，则函数()x bg x a +=的大致图象为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】计算4a =，1b =，()1114,144,1x x x x g x x ++--⎧≥-==⎨<-⎩，对比图像得到答案. 【详解】()()2211212122f x x x x =-+=--，故4a =，1b =. ()1114,144,1x x bx x x g x ax +++--⎧≥-===⎨<-⎩，对比图像知C 满足条件. 故选：C .【点睛】本题考查了二次函数的最值，指数型函数图像，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知园周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈610=立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（ ）A. 200两B. 240两C. 360两D. 400两【答案】D 【解析】 【分析】计算底面半径为12223r ==⨯，2132143V =⨯⨯⨯=，换算单位得到答案. 【详解】底面半径为12223r ==⨯，2132143V =⨯⨯⨯=立方丈6410=⨯立方寸4000027=斛， 故40000270100040027⨯÷=两. 故选：D .【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8.点M 为抛物线214y x =上任意一点，点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点，若函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点P ，则MP MN +的最小值为（ ）A.52B.114C. 3D.134【答案】A 【解析】 【分析】计算()1,2P -，则1122MP MN MP MF PD +≥+-≥-，计算得到答案. 【详解】函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点()1,2-，故()1,2P -.214y x =，即24x y =，焦点为()0,1F ，准线为1y =-， 223204x y y +-+=，即()22114x y +-=.111532222MP MN MP MF PD +≥+-≥-=-=，当PMD 共线时等号成立. 故选：A .【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（ ） A. 若tan 2α=，则3cos 25α=B. 若sin cos 1αβ+=，则221sin cos 2αβ+≥C. “0x ∃∈Z ，0sin x ∈Z ”的否定是“x ∀∈Z ，sin x ∉Z ”D. 将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，所得图象关于原点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】根据齐次式计算3cos25α=-，A 错误，222111sin cos 2sin 222αβα⎛⎫+=-+≥ ⎪⎝⎭，B 正确，特称命题的否定是全称命题，C 正确，平移后得到偶函数，D 错误，得到答案.【详解】tan 2α=，则222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5ααααααα--===-++，故A 错误； sin cos 1αβ+=，则()22222111sin cos sin 1sin 2sin 222αβααα⎛⎫+=+-=-+≥ ⎪⎝⎭，B 正确；根据特称命题的否定是全称命题：“0x Z ∃∈，0sin x Z ∈”的否定是“x Z ∀∈，sin x Z ∉”，故C 正确；将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，故D 错误.故选：BC .【点睛】本题考查了齐次式求值，函数取值范围，命题否定，函数平移和奇偶性，意在考查学生的综合应用能力.10.某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是（ ）A. 全国高考报名人数逐年增加B. 2018年全国高考录取率最高C. 2019年高考录取人数约820万D. 2019年山东高考报名人数在全国的占比最小 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图表2016年的人数少于2015年人数，故A 错误，2018年的录取率为81.1%，为最高，B 正确，2019年高考录取人数为820，故C 正确，计算占比得到D 正确，得到答案. 【详解】2016年的人数少于2015年人数，故A 错误； 2018年的录取率为81.1%，为最高，B 正确；2019年高考录取人数为103179.5%820⨯≈，故C 正确； 从2010—2019年山东高考报名人数在全国的占比分别为：6.9%,6.3%,5.6%,5.5%,5.9%,7.4%,6.4%,6.2%,6.1%,5.4%，故D 正确. 故选：BCD .【点睛】本题考查了折线图和散点图，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若b =3c =，3A C π+=，则下列结论的正确的是（ ）A. cos 3C =B. sin 3B =C. 3a =D. ABC S =V 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦定理得到cos C =，sin sin 23B C ==，根据余弦定理得到1a =，ABC S =V 案.【详解】3A C π+=，故2B C =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，即32sin cos C C C =⨯，sin 0C ≠，故cos C =，sin C =，sin sin 22sin cos 3B C C C ===. 2222cos c a b ab C =+-，化简得到2430a a -+=，解得3a =或1a =，若3a =，故4A C π==，故2B π=，不满足，故1a =.11sin 122ABC S ab C ==⨯⨯=△ 故选：AD .【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE V 沿AE 翻折成SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 存在点E 和某一翻折位置，使得SB SE ⊥B. 存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBCC. 存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D. 存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD【解析】 【分析】依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，计算得到2cos 3α=，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒，计算得到tan θ=，故D 正确，得到答案. 【详解】当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确； 若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC I 平面SBC BC =，则//AE CB ， 这与已知矛盾，故B 错误；如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，1CE BF ==，125DG =，12cos 5OG α=，故只需满足12sin 5SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理：2221213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2cos 3α=，故C 正确； 过O 作OMAB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==， 设OAG OAM θ∠=∠=，84ππθ<<，则22DAG πθ∠=-，tan tan 22DG OGAG πθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得到2tan tan 21θθ=，解得tan 5θ=，验证满足，故D 正确；故选：ACD .【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_______. 【答案】19【解析】 分析】根据三人均等可能的前往三个城市之一，可得共有3327=种选择情况，他们选择同一城市有3种情况，即可求得答案.【详解】Q 三人均等可能前往三个城市之一∴共有3327=种选择情况，他们选择同一城市有3种情况，∴概率为31279=. 故答案为：19.【点睛】本题主要考查了求事件概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14.若21nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为__________．【答案】405 【解析】【的【分析】根据系数和得到5n =，再根据二项式定理计算得到答案.【详解】21nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数的和为41024n =，故5n =，故521x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：(555522155213rrrrr r r T C C x x ---+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭， 取1r =得到常数项为1453405C ⋅=.故答案为：405.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，左、右焦点分别为1F ，2F ，点A在双曲线上，且212AF F F ⊥，则该双曲线的离心率为__________，12sin AF F ∠=__________． 【答案】(1). (2).12【解析】 【分析】根据渐近线得到c =，得到离心率，不妨取2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】一条渐近线方程为y =，故b =，c =，故e =212AF F F ⊥，不妨取2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故22122121sin 422b AF a aAF F b AF a aa∠====+.12. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.已知函数()32232,0,0xx x x f x x e x ⎧-++≥=⎨-<⎩，若方程()0f x a +=有两个不相等的实根，则实数a 取值范围是__________．【答案】{|62a a -<≤-，或24}a e -= 【解析】【分析】分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，()0f x a +=，即()f x a =-，根据图像得到答案. 【详解】当0x ≥时，()3232f x x x =-++，故()()23632f x x x x x =-+'=--，故函数在[]0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，()02f =，()26f =；当0x <时，()2x f x x e =-，故()()2xf x xe x '=-+，故函数在(),2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增，()224f e --=-，画出函数图像，如图所示：()0f x a +=，即()f x a =-，根据图像知：26a ≤-<或24a e --=-，解得62a -<≤-或24a e -=.故答案为：{|62a a -<≤-，或24}a e -=.【点睛】本题考查了函数的零点问题，求出单调区间得到函数图像是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a <，2234n n n a a S -=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n n a b =，求满足1223117n n b b b b b b ++++<L 的正整数n 的最大值． 【答案】（1）21n a n =--；（2）8． 【解析】 【分析】（1）根据公式1n n n a S S -=-得到12n n a a --=-得到通项公式. （2）121n b n =-+，故122311112323n n b b b b b b n +⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭L ，解得答案. 【详解】（1）当1n =，2111234a a a -=-，211230a a +-=，又0n a <，13a ∴=-． 当2n ≥时，2234n n n a a S -=-，①2111234n n n a a S ----=-，②①—②整理得，12n n a a --=-，()321n a n ∴=---，21n a n ∴=--． （2）因为1n n a b =，所以121n b n =-+， 所以()()11111212322123n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故1223111111111112355721232323n n b b b b b b n n n +⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭L L ， 令111123237n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，解得9n <，所以n 的最大值为8． 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 18.已知函数()()sin 0,02f x x m πωϕωϕ⎛⎫=++>-<< ⎪⎝⎭满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①32ω=，②周期T π=，③过点()0,0，④332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离． 【答案】（1）②③④；()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）3π． 【解析】 【分析】（1）所满足的三个条件是：②③④，计算得到2ω=，sin 0m ϕ+=，23sin 32m πϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得6πϕ=-，12m =，得到解析式.（2）根据题意1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故6x k ππ=+，或2x k ππ=+，k ∈Z ，得到答案. 【详解】（1）所满足的三个条件是：②③④，()f x Q 的周期T π=，2ω∴=，()()sin 2f x x m ϕ∴=++，又过点()0,0，且332f π⎛⎫=⎪⎝⎭，sin 0m ϕ∴+=，23sin 32m πϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 23sin sin 32πϕϕ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，13sin sin 222ϕϕϕ∴--=，13cos 22ϕϕ⎫=⎪⎪⎭，sin 6πϕ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又02πϕ-<<，6πϕ∴=-， 又sin 0m ϕ+=，102m ∴-+=，12m ∴=，()1sin 262f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭．（2）由()1sin 2162f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 2266x k πππ∴-=+，或52266x k πππ-=+，k ∈Z ， 6x k ππ∴=+，或2x k ππ=+，k ∈Z ，所以函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离为263πππ-=．【点睛】本题考查了三角函数解析式，图像中的最短距离，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC ，点M 在AO 上，2AM MO =，N 为1OC 与1B C 的交点，且1BB 与平面ABC 所成的角为4π．（1）求证：//MN 平面11ACC A ； （2）求二面角11A OC B --的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）4． 【解析】 【分析】（1）连结1AC ，证明相似得到1//MN AC ，得到证明.（2）以OC ，OA ，1OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面11AOC 的法向量为)1n =u v ，平面1BOC 的法向量为()2=0,1,1n u u v，计算夹角得到答案.【详解】（1）连结1AC ，O Q 为BC 的中点，11//OC B C ，11112ON OC NC B C ==， 又2AM MO =，112OM ON AM NC ∴==，1//MN AC ∴． 又MN ⊄平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，所以//MN 平面11ACC A ．（2）因为ABC V 是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC ，所以，AO ，BC ，1A O 两两垂直，以OC ，OA ，1OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．1BB Q 与平面ABC 所成的角为4π，又1AA ∥1BB ，1AA ∴与平面ABC 所成的角为4π， 又1A O ⊥平面ABC ，1AA ∴与平面ABC 所成的角为1A AO ∠，即14A AO π∠=．又ABC V 是边长为2的正三角形，O 为BC的中点，1AO AO =由题意知，(10,0A ，()1,0,0B -，(11,C ，所以，(1OA =u u u v ，()1,0,0OB =-u u u v，(11,OC =u u u u v ，设平面11AOC 的法向量为()1111,,n x y z =u v，所以，111100n OA n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u u v，即111100x =+=⎪⎩，取)1n =u v ，设平面1BOC 的法向量为()2222,,n x y z =u u v，由22100n OB n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u u v，得22220x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取()2=0,1,1n u u v ，所以121212cos ,n n n n n n ⋅===u v u u vu v u u v u v u u v ， 设二面角11A OCB --的大小为θ，sin 4θ∴===．所以二面角11A OC B --的正弦值为4．【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.动点P 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为A ，点B 满足3AB AP →→=，已知点B 的轨迹是过点()0,3Q 的圆． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 在x 轴的同侧），1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，若12//F M F N ，求四边形12F F NM 面积的最大值．【答案】（1）2219x y +=；（2）3． 【解析】 【分析】（1）设点(),B x y ，()00,P x y ，得到003x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩，点B 的轨迹是过()0,3Q 的圆，故2291a b ⎧=⎨=⎩，得到椭圆方程.（2）如图，延长1MF 交C 于点M '，由对称性可知：12F M NF '=，设()11,M x y ，()22,M x y '，直线1MF的方程为x my =-联立方程得到1229y y m +=+，12219y y m =-+，计算8S =，利用均值不等式得到答案.【详解】（1）设点(),B x y ，()00,P x y ，则点()0,0A x ，()0,AB x x y =-u u u r ，()00,AP y =u u u r， 3AB AP =u u u r u u u r Q ，0003x x y y -=⎧∴⎨=⎩，003x x y y =⎧⎪∴⎨=⎪⎩， Q 点()00,P x y 在椭圆C 上，222219x y a b∴+=，即为点B 的轨迹方程． 又Q 点B 的轨迹是过()0,3Q 的圆，2229919a b b⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，解得2291a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2219x y +=．（2）如图，延长1MF 交C 于点M '，由对称性可知：12F M NF '=，由（1）可知()1F -，()2F ，设()11,M x y ，()22,M x y '，直线1MF的方程为x my =-由2219x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得()22910m y +--=，()2232490m m ∆=++>，1229y y m ∴+=+，12219y y m =-+，1229y y m ∴-===+， 设1F M 与2F N 的距离为d ，则四边形12F F NM 面积()1212S F M F N d =+ ()2111122MF M F M F M d MM d S '''=+==△， 而22121121212MF M F MF F M F S S S F F y y ''=+=-△△△，1382S ∴=⨯==≤=，=m =故四边形12F F NM 面积的最大值为3．【点睛】本题考查了椭圆方程，四边形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力. 21.2020年新冠肺炎疫情暴发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做岀了贡献．为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分（满分100分）数据统计结果如图：（1）若此次知识竞答得分X 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五入取整数），并计算()3779P X <<；（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于μ的获得1次抽奖机会，得分不低于μ的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为23，抽到36元红包的概率为13．已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记Y 为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求Y 的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额． 参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9973P X μσμσ-<≤+≈．【答案】（1）65μ=，14σ≈；()37790.8186P X <<=；（2）分布列详见解析，数学期望为36；总金额为7200元． 【解析】【分析】（1）计算65μ=，14σ≈，故X 服从正态分布()265,14N ，计算得到答案.（2）Y 的取值为18，36，54，72，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）()20350.545355465575 4.58529511300E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()65E X ∴=．即65μ=．()()()()()222235650.02545650.1555650.265650.25D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ()()()22275650.22585650.195650.05210+-⨯+-⨯+-⨯=．由2196225σ<<，则1415σ<<，而214.5210.25210=>，故14σ≈， 则X 服从正态分布()265,14N ，()()()()22377922P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=0.95450.68270.81862+==．（2）Y取值为18，36，54，72．由题意知，()()12P X P X μμ<=≥=， ()12118233P Y ==⨯=，()111227362323318P Y ==⨯+⨯⨯=，()1211122542332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，()11117223318P Y ==⨯⨯=，所以Y 的分布列为()17211836547236318918E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，估算所需要抽奖红包的总金额为：200367200⨯=（元）．【点睛】本题考查了正态分布，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.的22.已知函数()ln f x a x =，21()2g x x bx b =++，,a b ∈R . （1）设() ()F x x f x =，求()F x 在[],2a a 上的最大值；（2）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：42e a b +≤. 【答案】（1）最大值221ln 04()12ln 24a a a M a a a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（2）证明见解析【解析】 【分析】()1对函数求导得()(1ln )F x a x '=+，得到()F x 单调区间，分类讨论即可得()F x 最大值．()()22'(0)x bx aG x x x++=>，()G x 的极大值恒小于0可得3ln 2a b a a -+…，从而得到+a b 的最大值，构造函数即可证明42e a b +≤．【详解】()1由已知0a >，()(1ln )F x a x '=+，当10x e<<时，()F'0x <，当1x e >时，()'0F x >，从而()F x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而，()(){}()2,max F x max F a F a =， 于是222(2)()(ln 4ln )ln 4F a F a a a a a a -=-=当14a >时，()()2F a F a >，所以2max ()(2)2ln 2F x F a a a ==当104a <≤时，()()2F a F a ≤，所以2max ()()ln F x F a a a ==；综上所得221ln 04()12ln 24a a a M a a a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩．()2依题意()212G x alnx x bx b =+++，则()2'(0)a x bx aG x x b x x x++=++=>，的因为()G x 存在极大值，则关于x 的方程20x bx a ++=有两个不等的正根12,x x ，不妨12x x <，则12x x a =，则0a >，且10x <设()2p x x bx a =++列设表如下：从而，()()211111()ln 12G x G x a x x b x ==+++极大， 又()211bx x a =-+，从而()2111 1()ln 02G x G x a x x a b ==--+<极大对10x <<恒成立，设21()ln 2K x a x x a b =--+，(x ∈， 则()2'0a x K x x-=>，所以()K x 在(上递增，从而3()02a K x K ab <=+„，所以32a b a -„， 55ln 222a a a ab a a +-=-+„， 设(0)2a t t =>，则()25m t tln t t =-+， 又()'42m t ln t =-，若40,2e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0;m t >若4,2et⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()'0;m t<从而()442 2e em t m ⎛⎫≤=⎪⎝⎭，即42ea b+≤．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，利用导数研究存在或恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题．。
山东省临沂市2019-2020学年高考数学一模试卷(理科)(I)卷
山东省临沂市2019-2020学年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（）A . {x=3，y=0}B . {（3，0）}C . {3，0}D . {0，3}2. （2分）复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）等差数列{an}中，若a2+a8=15﹣a5 ，则a5的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分）(2018·孝义模拟) 一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）（）A .B .C .D .5. （2分）设O为坐标原点，点A(1,1)，若点满足，则取得最大值时，点B的个数是（）A . 无数个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分） (2015高三上·石家庄期中) 若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）上恰有一个极大值和一个极小值．则ω的取值范围是（）A . （，1]B . （1， ]C . （， ]D . （， ]7. （2分） (2016高三上·贵阳模拟) 阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）A . 1B . 2C . ±2D . 1或28. （2分） (2017高二下·南阳期末) 已知函数函数，其中a＞0，若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰好有两个零点，则实数a的取值范围是（）A . （0，3）B . （3，+∞）C .D .9. （2分）(2017·河南模拟) 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A . 12B . 14C . 16D . 1810. （2分）(2017·锦州模拟) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A . 2B . 4+πC . 4+ πD . 4+π+ π11. （2分） (2016高二上·友谊期中) 设F1 ， F2分别为椭圆C1： =1（a＞b＞0）与双曲线C2：=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e= ，则双曲线C2的离心率e1为（）A .B .C .D .12. （2分）若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2012·陕西理) 设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为________．14. （1分） (2020高三上·泸县期末) 在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）15. （1分）(2017·鄂尔多斯模拟) 过抛物线C：y2=8x的焦点F作直线与C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则| |=________．16. （1分）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an2+an ，用[x]表示不超过x的最大整数，则的值等于________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2016高二上·乾安期中) △ABC中，BC=7，AB=3，且 = ．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小．18. （10分）(2017·蚌埠模拟) 当今信息时代，众多中小学生也配上了手机．某机构为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，在某校高三年级50名理科生第人的10次数学考成绩中随机抽取一次成绩，用茎叶图表示如图：（1）根据茎叶图中的数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？及格（60及60以上）不及格合计很少使用手机经常使用手机合计（2）从50人中，选取一名很少使用手机的同学（记为甲）和一名经常使用手机的同学（记为乙）解一道函数题，甲、乙独立解决此题的概率分别为P1，P2，P2=0.4，若P1﹣P2≥0.3，则此二人适合为学习上互帮互助的“对子”，记X为两人中解决此题的人数，若E（X）=1.12，问两人是否适合结为“对子”？参考公式及数据：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.025k0 2.706 3.841 5.02419. （10分） (2017高二下·中原期末) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求AD的长．20. （5分）(2017·齐河模拟) 已知椭圆C：经过点，左右焦点分别为F1、F2 ，圆x2+y2=2与直线x+y+b=0相交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点⑴试探究的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．⑵记△QF2M的面积为S1 ，△OF2N的面积为S2 ，令S=S1+S2 ，求S的最大值．21. （5分） (2016高三上·德州期中) 已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明（其中n∈N* ， e为自然对数的底数）．22. （5分）(2017·吴江模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B两点．若点P在曲线C上运动，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．23. （10分）(2018·孝义模拟) 已知函数 .（1）解不等式；（2）若关于的不等式只有一个正整数解，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、。
2020年山东省高考理科数学仿真模拟试题一(附答案)
15. 已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA， SB所成角的正弦值为
15 ， SA与圆锥底面所成角为 45 ， 8
若 SAB的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为 ______.
16. 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，其中最大的角等于另外两个角的和，当 最长边 c 1 时， ABC 周长的最大值为 _______.
因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，
所以甲套设备优于乙套设备．
20. 解：（Ⅰ）由题可知，线段
的垂直平分线交 于点 P，
所以
，则
，
所以 P 的轨迹是以
为焦点的椭圆，
设该椭圆方程为
，
则
，所以
，
可得动点 P 的轨迹 E 的方程为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，过点 故可设 l 的方程为
BD .
又因为 BC PD , PD BD D , 且 BD , PD 平面 PBD ，所以 BC 平面 PBD ，
又因 D 平面 PBC，所以 平面 PBC 平面 PBD
（ 2）由（ 1）得平面 ABCD 平面 PBD ,
设 E 为 BD 的中点，连结 PE ，因为 PB PD 6 ,
所以 PE BD , PE 2, 又平面 ABCD 平面 PBD ，
n AB 0 2 y 0
由
得
，不妨取 n (2 ,0, 2) .
n AM 0 (2 )x (4 3 ) y 2 z 0
4
因为平面 PBD 与平面 ABM 所成的锐二面角为
，所以
3
2 2 42
(
1
，
2) 2 2
2
2020-2021学年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)及答案解析
山东省高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．2．已知集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}，B={y|y=e x+1，x≤0}，则下列结论正确的是（）A．A=B B．A∪B=R C．A∩（∁R B）=∅D．B∩（∁R A）=∅3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A．1030人B．97人 C．950人D．970人4．设，且⊥，则向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．下列四个结论中正确的个数是（）①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件∈R，sinx0＞1”．②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x③“若x=，则tanx=1，”的逆命题为真命题；2）+f（log23）=0．④若f（x）是R上的奇函数，则f（log3A．1 B．2 C．3 D．46．若执行如图的程序框图，输出S的值为﹣4，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜14B．k＜15C．k＜16D．k＜177．在△ABC中，cosA=，3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，则边BC的长为（）A．2B．3 C．2 D．8．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）A．B．C．D．9．若x，y满足不等式组，则z=|x﹣3|+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．710．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别l1，l2，右焦点F．若点F关于直线l1的对称点M在l2上则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．若tanα=2，则sin2α= ．12．若f（x）=3﹣2x，则|f（x+1）+2|≤3的解集为．13．已知的展开（1﹣2x）5式中所有项的系数和为m，则．14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．15．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则+的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.16．（12分）（2016•临沂一模）已知函数满足下列条件：①周期T=π；② 图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③ f（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设，求cos（2α﹣2β）的值．17．（12分）（2016•临沂一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M，N分别为PB，CD的中点，二面角P﹣CD﹣A的大小为60°，∠ABC=60°，AB=2，PC=PD=（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．（12分）（2016•临沂一模）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足6S n=a n2+3a n+2，且a2是a1和a6的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）符合[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log23]=1，[log25]=2．记，求数列的前n项和T n．19．（12分）（2016•临沂一模）a，b，c，d四名运动员争夺某次赛事的第1，2，3，4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组两人．第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者和负者；第二轮比赛决赛：两组中的胜者进行一场比赛争夺1，2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3，4名．四名选手以往交手的胜负情况累计如下表：a b c da a13胜26负a20胜10负a21胜21负b b26胜13负b14胜28负b19胜19负c c10胜20负c28胜14负c18胜18负d d21胜21负d19胜19负d18胜18负若抽签结果为甲组：a，c；乙组：b，d．每场比赛中，双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率．（Ⅰ）求c获得第1名的概率；（Ⅱ）求c的名次X的分布列和数学期望．20．（13分）（2016•临沂一模）已知函数f（x）=x2﹣2ax，g（x）=lnx．（Ⅰ）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且，证明：h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．21．（14分）（2016•临沂一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示．的方程；①若PQ=，求圆C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=λS2，求λ的取值范围．② 设C2参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【考点】复数相等的充要条件．【分析】设出复数z，然后利用复数相等的充要条件，求解即可．【解答】解：设复数z=bi，b≠0，∴（3﹣i）z=a+i，化为（3﹣i）bi=a+i，即b+3bi=a+i，∴b=a=，故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，复数相等的充要条件的应用，考查计算能力．2．已知集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}，B={y|y=e x+1，x≤0}，则下列结论正确的是（）A．A=B B．A∪B=R C．A∩（∁R B）=∅D．B∩（∁R A）=∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A、B，求出∁R A，即可得出结论．【解答】解：集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}={y|0＜y≤2}=（0，2]，B={y|y=e x+1，x≤0}={y|1＜y≤2}=（1，2]，∴∁R A=（﹣∞，0]∪（2，+∞），∴B∩（∁R A）=∅．故选：D．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A．1030人B．97人 C．950人D．970人【考点】分层抽样方法．【分析】根据样本容量和女生比男生少6人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．【解答】解：∵样本容量为200，女生比男生少6人，∴样本中女生数为97人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为970人．故选：D．【点评】本题考查了分层抽样的定义与应用问题，是基础题目．4．设，且⊥，则向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】⊥，可得=0，解得x．再利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=x﹣3=0，解得x=．∴=（0，4），∴（）•=﹣12，||=4，==2，设向量的夹角为θ，∴cosθ===﹣，∴θ=150°．故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．下列四个结论中正确的个数是（）①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件∈R，sinx0＞1”．②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x③“若x=，则tanx=1，”的逆命题为真命题；2）+f（log23）=0．④若f（x）是R上的奇函数，则f（log3A．1 B．2 C．3 D．4【考点】四种命题．【分析】①由充分必要条件的定义，即可判断；②由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断；③先求出逆命题，再判断真假即可，④根据奇函数的性质和对数的运算法则即可判断．【解答】解：对于①，x2+x﹣2＞0，解得x＜﹣2或x＞1，故“x＞1”的必要不充分条件，故错误，对于②，命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”，故正确，对于③，若x=，则tanx=1，”的逆命题为“若tanx=1，则x=，x还可以等于，故错误，对于④，f（x）是R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），∵log32=，∴log32与log23不是互为相反数，故错误．故选：A．【点评】本题考查简易逻辑的基础知识，考查复合命题的真假，命题的否定，充分必要条件的判断，同时考查函数的奇偶性，属于基础题．6．若执行如图的程序框图，输出S的值为﹣4，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜14B．k＜15C．k＜16D．k＜17【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=﹣4，可得出判断框内应填入的条件．【解答】解：执行如图的程序框图，运行结果如下：第1次循环S=log2=﹣1，k=2；第2次循环S=log2+log2=log2，k=3；第3次循环S=log2+log2=log2=﹣2，k=4；第4次循环S=log23+log2=log2，k=5；第5次循环S=log2+log2=log2，k=6；第6次循环S=log2+log2=log2，k=7；第7次循环S=log2+log24=log2=﹣3，k=8；…第14次循环S=log2+log2=log2，k=15；第15次循环S=log2+log2=log2=﹣4，•k=16；如果输出S=﹣4，那么只能进行15次循环，故判断框内应填入的条件是k＜16．故选：C．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，是基础题．7．在△ABC中，cosA=，3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，则边BC的长为（）A．2B．3 C．2 D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由cosA=，A∈（0，π），可得sinA=．由3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，可得3b=2c，=2，再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA．【解答】解：∵cosA=，A∈（0，π），∴sinA==，∵3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，∴3b=2c，=2，解得b=2，c=3．∴a2=b2+c2﹣2bccosA=22+32﹣2×2×3×=9，解得a=3．故选：B．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【分析】求出原函数的导函数，由导函数的图象得到a＞1，然后利用指数函数的图象平移得答案．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，由函数y=f′（x）的图象可知，∴a＞1，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象是把函数y=a x向下平移2个单位，然后取绝对值得到，如图．故可能是D．故选：D．【点评】本题考查指数式的图象平移，考查了导数的综合运用，是中档题．9．若x，y满足不等式组，则z=|x﹣3|+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，化简z=|x﹣3|+2y=，从而分别求最小值，从而解得．【解答】解：由题意作出其平面区域如右图，易知A（0，2），B（5，3），C（3，5），D（3，）；z=|x﹣3|+2y=，当x≥3时，z=x+2y﹣3在点D处取得最小值为，当x＜3时，z=﹣x+2y+3＞，故z=|x﹣3|+2y的最小值为，故选B．【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．10．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别l1，l2，右焦点F．若点F关于直线l1的对称点M在l2上则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设l1为y=x，l2为y=﹣x，设出对称点的坐标，根据中点坐标公式和斜率公式即可求出a与b的关系，再根据离心率公式即可求出．【解答】解：l1，l2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，不妨设l1为y=x，l2为y=﹣x，由右焦点关于l1的对称点l2在上，设右焦点F关于l1的对称点为M（m，﹣），右焦点F坐标为（c，0），MF中点坐标为（，﹣），可得﹣=•，解得m=﹣c，即有M（﹣c，），可得MF的斜率为=﹣，即有﹣•=﹣1，可得b2=3a2，即c2=a2+b2=4a2，则c=2a，可得e==2，故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，以及点的对称问题，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．若tanα=2，则sin2α= ．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为，把已知条件代入运算求得结果．【解答】解：∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα===，故答案为．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．12．若f（x）=3﹣2x，则|f（x+1）+2|≤3的解集为[0，3] ．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】求出f（x+1），问题转化为：|2x﹣3|≤3，解出即可．【解答】解：若f（x）=3﹣2x，则|f（x+1）+2|=|3﹣2（x+1）+2|=|2x﹣3|≤3，解得：0≤x≤3，故不等式的解集为[0，3]，故答案为：[0，3]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．13．已知的展开（1﹣2x）5式中所有项的系数和为m，则ln2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据展开式中所有项的系数和求出m的值，再计算定积分的值即可．【解答】解：展开（1﹣2x）5式中所有项的系数和为m=（1﹣2）5=﹣1，∴x﹣1dx=lnx=ln2﹣ln1=ln2．故答案为：ln2．【点评】本题考查了二项式系数的应用问题，也考查了定积分的简单计算问题，是基础题目．14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由等积法证明，然后利用棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：如图，连接B1C，则，又，∴，∵AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，∴．【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题．15．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则+的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】化简+=+=2++，从而利用基本不等式求解．【解答】解：+=+=2+2++=2++≥2+=，（当且仅当2=，即x=，y=时，等号成立），故答案为：．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及基本不等式的应用．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.16．（12分）（2016•临沂一模）已知函数满足下列条件：①周期T=π；② 图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③ f（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设，求cos（2α﹣2β）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）根据f（x）的周期求出ω的值，根据f（x）的图象平移以及g（x）的图象关于y 轴对称，求出φ的值，再由f（0）=1求出A的值，即得f（x）的解析式；（Ⅱ）根据f（α﹣）与f（β+）的值求出cos2α、cos2β，再根据α、β的范围求出sin2α、sin2β，从而求出cos（2α﹣2β）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的周期为T==π，∴ω=2；又函数f（x）的图象向左平移个单位长度，变为g（x）=Asin[2（x+）+φ]，由题意，g（x）的图象关于y轴对称，∴2×+φ=+kπ，k∈Z；又|φ|＜，∴φ=，∴函数f（x）=Asin（2x+）；又f（0）=1，∴Asin=1，解得A=2，∴函数f（x）=2sin（2x+）；（Ⅱ）由f（α﹣）=﹣，f（β+）=，得2sin（2α﹣+）=﹣，2sin（2β++）=，∴cos2α=，cos2β=；又α、β∈（0，），∴2α、2β∈（0，），∴sin2α=，sin2β=，∴cos（2α﹣2β）=cos2αcos2β+sin2αsin2β=×+×=．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒定变换应用问题，是基础题目．17．（12分）（2016•临沂一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M，N分别为PB，CD的中点，二面角P﹣CD﹣A的大小为60°，∠ABC=60°，AB=2，PC=PD=（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）连结AN，根据三线合一可得AN⊥CD，PN⊥CD，于是得出CD⊥平面PAN，故而PA⊥CD，计算AN，PN，利用余弦定理求出PA，得出PA⊥AN，从而得出PA⊥平面ABCD；（II）以A为原点建立空间坐标系，求出平面PCD的法向量，则|cos＜，＞|即为所求．【解答】证明：（I）连结AN，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ACD是等边三角形，∵N是CD的中点，PC=PD，∴AN⊥CD，PN⊥CD，∴∠PNA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，且CD⊥平面PAN．∴PA⊥CD，∠PNA=60°．∵AB=AD=2，PC=PD=．∴AN=，PN==2．在△PAN中，由余弦定理得PA2=AN2+PN2﹣2AN•PNcos60°=3+12﹣2=9．∴PA2+AN2=PN2，∴PA⊥AN，又CD⊂平面ABCD，AN⊂平面ABCD，AN∩CD=N，∴PA⊥平面ABCD．（II）以A为原点，以AB，AN，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（2，0，0），N（0，，0），P（0，0，3），C（1，，0），D（﹣1，，0）．∴M（1，0，）．∴=（﹣1，，﹣），=（1，，﹣3），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1得=（0，，1）．∴=，∴cos＜＞===．∴直线MN与平面PCD所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．18．（12分）（2016•临沂一模）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足6S n=a n2+3a n+2，且a2是a1和a6的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）符合[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log23]=1，[log25]=2．记，求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）由6S n=a n2+3a n+2，当n≥2时，+2，可得：6a n=﹣+3a n﹣3a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，根据数列{a n}是正项数列，及其等差数列的通项公式、a2是a1和a6的等比中项即可得出．（II）=[log2（n+1）]，可得==n，=n•2n．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）由6S n=a n2+3a n+2，当n≥2时，+2，可得：6a n=﹣+3a n﹣3a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵数列{a n}是正项数列，∴a n+a n﹣1＞0，可得a n﹣a n﹣1=3，∴数列{a n}是等差数列，公差为3．由6a1=+3a1+2，解得a1=1或2．当a1=2时，a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1，可得a2=5，a6=17，不满足a2是a1和a6的等比中项，舍去．当a1=1时，a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2，可得a2=4，a6=16，满足a2是a1和a6的等比中项．∴a n=3n﹣2．（II）=[log2（n+1）]，∴==n，∴=n•2n．∴数列的前n项和T n=2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=2×﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016•临沂一模）a，b，c，d四名运动员争夺某次赛事的第1，2，3，4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组两人．第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者和负者；第二轮比赛决赛：两组中的胜者进行一场比赛争夺1，2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3，4名．四名选手以往交手的胜负情况累计如下表：a b c da a13胜26负a20胜10负a21胜21负b b26胜13负b14胜28负b19胜19负c c10胜20负c28胜14负c18胜18负d d21胜21负d19胜19负d18胜18负若抽签结果为甲组：a，c；乙组：b，d．每场比赛中，双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率．（Ⅰ）求c获得第1名的概率；（Ⅱ）求c的名次X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）求出a分别与b，c，d比赛时获胜的概率，b分别与a，c，d比赛时获胜的概率，c分别与a，b，d比赛时获胜的概率，由此能求出C获得第一名的概率．（Ⅱ）C名次X的可能取值有1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设a分别与b，c，d比赛时获胜的事件分别为A b，A c，A d，则P（A b）=，P（A c）=，P（A d）=，b分别与a，c，d比赛时获胜的事件分别为B a，B c，B d，则P（B a）=，P（B c）=，P（B d）=，c分别与a，b，d比赛时获胜的事件分别为C a，C b，C d，则P（C a）=，P（C b）=，P（C d）=，d分别与a，b，c比赛时获胜的事件分别为Da，D b，D c，则P（D a）=，P（D b）=，P（D c）=，∴C获得第一名的概率：P=P（C a）P（B d）P（C b）+P（C a）P（D b）P（C d）==．（Ⅱ）C名次X的可能取值有1，2，3，4，P（X=1）=P（C a）P（B d）P（C b）+P（C a）P（D b）P（C d）==．若C为第二名，则甲组中C胜，且C与乙组的胜者比赛时负，∴P（X=2）=P（C a）P（B d）P（B c）+P（C a）P（D b）P（D c）==，若C为第3名，则甲组中C负，且C与乙组的负者比赛时胜，∴P（X=3）=P（A c）P（D b）P（C b）+P（A c）P（B d）P（C d）═+=，P（X=4）=1﹣P（X=1）﹣P（X=2）﹣P（X=3）=1﹣=．∴X的分布列为：X 1 2 3 4PEX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（13分）（2016•临沂一模）已知函数f（x）=x2﹣2ax，g（x）=lnx．（Ⅰ）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且，证明：h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）分离参数a可得：a≤（x﹣），（x＞0），设ω（x）=（x﹣），根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，得到x2=∈（1，+∞），且2ax1=2+1，2ax2=2+1，设μ（x）=x2﹣﹣ln2x2（x＞1），求出函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：f（x）≥g（x）⇔x2﹣2ax≥lnx，（x＞0），分离参数a可得：a≤（x﹣），（x＞0），设ω（x）=（x﹣），则ω′（x）=，由于y=x2，y=lnx在（0，+∞）递增，∴y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）递增，显然x=1时，该函数值是0，x∈（0，1）时，ω′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，ω′（x）＞0，∴ω（x）min=ω（1）=，∴a≤ω（x）min=，即a∈（﹣∞，]．（Ⅱ）证明：由题意得：h（x）=x2﹣2ax+lnx，则h′（x）=2x﹣2a+=（x＞0），∴方程2x2﹣2ax+1=0（x＞0）有2个不相等的实数根x1，x2且x1∈（0，），又∵x1 x2=，∴x2=∈（1，+∞），且2ax1=2+1，2ax2=2+1，而h（x1）﹣h（x2）=[﹣（2+1）+lnx1]﹣[﹣（2+1）+lnx2]=﹣﹣ln2，（x2＞1），设μ（x）=x2﹣﹣ln2x2（x＞1），令t=x2，则t＞1，μ（t）=t﹣﹣ln2t，∴μ′（t）=1+﹣=≥0，∴μ（t）＞μ（1）=1﹣﹣ln2=﹣ln2，即h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．21．（14分）（2016•临沂一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示．的方程；①若PQ=，求圆C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=λS2，求λ的取值范围．② 设C2【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（Ⅱ）①设M（2，t），则C2的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=1+，由此利用圆的性质结合已知条件能求出圆C2的方程．②由①知PQ方程为2x+ty﹣2=0，（t≠0），代入椭圆方程得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，t≠0，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想，能求出λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，∴，解得a=，b=c=1，∴椭圆C1的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）知F（1，0），设M（2，t），则C2的圆心坐标为（1，），C2的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=1+，直线PQ方程为y=（x﹣1），（t≠0），即2x+ty﹣2=0，（t≠0）又圆C2的半径r==，由（）2+d2=r2，得（）2+=，解得t2=4，∴t=±2，∴圆C2的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2．②由①知PQ方程为2x+ty﹣2=0，（t≠0），由，得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，t≠0，则△=（﹣16）2﹣4（8+t2）（8﹣2t2）=8（t4+4t2）＞0，，，|AB|===2×，∴==，S1=πr2=，∵S1=λS2，∴==，当t=0时，PQ的方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，|OM|×|AB|=，=π，∴．∵S1=λS2，∴====＞=．当直线PQ的斜率不存在时，PQ方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，∴S2=|OM|×|AB|=，S1==π，．综上，．【点评】本题考查椭圆方程、圆的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想的合理运用．。
山东省2020版高考数学一模试卷(理科)(II)卷(考试)
山东省2020版高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共8题；共16分)1. （2分） (2017高三下·淄博开学考) 设集合M= ； N={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则N∩（CRM）=（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，﹣1）C . [﹣1，1]D . （1，3）2. （2分）已知i是虚数单位，若复数z满足z=，则z的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分）阅读程序框图,运行相应的程序,当输入x的值为-25时,输出的值为（）A . -1B . 1C . 3D . 94. （2分）(2017·池州模拟) 已知x，y满足约束条件，目标函数z=2x﹣3y的最大值是2，则实数a=（）A .B . 1C .D . 45. （2分）(2017·浙江模拟) 已知f（x）=ax2+bx，其中﹣1≤a＜0，b＞0，则“存在x∈[0，1]，|f（x）|＞1”是“a+b＞1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2018高二上·湖州月考) 已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是（）．A .B .C .D .7. （2分）函数y＝a|x|(0<a<1)的图象是（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a 的取值范围为（）A . （﹣∞，2）B . （﹣∞，]C . （﹣∞，2]D . [， 2）二、填空题： (共6题；共7分)9. （1分） (2018高二上·佛山月考) 如图，在各小正方形边长为的网格上依次为某几何体的正视图，侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为________ .10. （1分）(2014·湖南理) 如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB= ，BC=2 ，则⊙O 的半径等于________．12. （2分） (2019高二下·浙江期末) 在的展开式中，各项系数和为________，其中含的项是________.13. （1分）已知，且，则的值是________．14. （1分）(2017·金华模拟) 若非零向量，满足： 2=（5 ﹣4 ）• ，则cos＜，＞的最小值为________．三、解答题： (共6题；共45分)15. （5分）已知函数f（x）=2cosx（cosx+ sinx）﹣1．（I）求f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（）=2且ab=c2 ，求A．16. （10分） (2015高三上·泰州期中) 班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．17. （10分）(2017·长沙模拟) 已知在梯形ABCD中，∠ADC= ，AB∥CD，PC⊥平面ABCD，CP=AB=2DC=2DA，点E在BP上，且EB=2PE．（1）求证：DP∥平面ACE；（2）求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．18. （5分）(2019·天津模拟) 已知首项都是的数列满足 .（Ⅰ）令，求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列为各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和 .19. （10分） (2020高二上·天津期中) 已知直线x+y-1=0与椭圆C：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)相交于A，B 两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上.（1）求此椭圆C的离心率；（2）若椭圆C的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆C的方程.20. （5分） (2018高三上·济南月考) 设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题一含答案
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（一）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}20M x x x =-≥，{}2N x x =<，则MN =（ ）A ．{}0x x ≤B ．{}12x x ≤<C ．{}012x x x ≤≤<或D ．{}01x x ≤≤ 2．已知i 为虚数单位，则复数131ii-+的虚部为（ ） A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2i3．设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设向量a ，b 满足()3,1a b +=，1a b ⋅=，则a b -=（ ）A ．2BC ． D5．在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154 B ．154- C ．38 D ．38-6．已知函数()()1f x x x =+，则不等式()()220f x f x +->的解集为（ ） A ．()2,1- B ．()1,2- C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),21,-∞-+∞7．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线与C 及其渐近线分别交于Q ，P 两点，且Q 为2PF 的中点．若等腰三角形12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距．则C 的离心率为（ ）A ．27-+ B ．43 C ．27+ D ．328．将函数sin 2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（ ）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A ．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多 10．对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b >B ．若a b >，则a a b b >C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞11．已知函数()122log x f x x =-，且实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <．若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x b < D ．0x c < 12．已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ）A12= B ．12128x x < C ．1232x x +< D ．2212512x x +> 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知cos 5θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2θ=________． 14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________．15．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点．60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥РABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ．若12V V 的最大值为3．则球O 的表面积为________．16．已知直线:2l y x b =+与抛物线()2:20C y px p =>相交于A ，B 两点，且5AB =，直线l 经过C的焦点．则p =________，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，试从下列①②条件中任选一个作为已 知条件并完成下列（1）（2）两问的解答． ①sin sin in sin s C A A b a cB--=+； ②2cos cos cos c C a B b A =+．（1）求角C ；（2）若c =，a b +=ABC 的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列．满足15a =．且2a ，9a ，30a 成等比数列． （1）求{}30a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N +-=∈，且13b =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BC A --的余弦值．20．（12分）设点()A ，)B ，直线AP 和BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M 和N 是轨迹C 上不同的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：MON 的面积为定值．21．（12分）为了应对新型冠状病毒肺炎带来的强传染性，外出佩戴口罩成为必要．某工厂生产N 95型口罩并成箱包装，每箱200件，每一箱口罩出厂前要对产品进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率为()01p p <<，且每件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有两件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱口罩检验了20件，结果恰有2件不合格．以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱口罩的检验费用和赔偿费用的和记为X ，求()E X ． （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为依据，是否应该对该箱余下的所有口罩做检验？ 22．（12分）已知定义在区间()0,2上的函数()ln mf x xx =+，m R ∈． （1）证明：当1m =时，()1f x ≥；（2）若曲线()y f x =过点()1,0A 的切线有两条，求实数m 的取值范围．参考答案1．C 由20x x -≥，解得1x ≥或0x ≤，所以集合{}10M x x x =≥≤或．因为{}2N x x =<，所以{}012MN x x x =≤≤<或．故选C ．2．A()()()()1311324121112i i i i i i i i -----===--++-，∴复数131ii -+的虚部为2-．故选A ． 3．A 直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则21a =且51a≠-，解得1a =±，所以当1a =±时，满足两直线平行，则“1a =-”是“两条直线平行”的充分不必要条件．故选A ．4．B 因为()3,1a b +=，所以231a b +=+=22410416a b a b a b -=+-⋅=-⨯=，所以6a b -=．故选B ．5． D 由二项式定理可得62⎛⎫- ⎝的通项为()()663166120,1,2,3,62r r rrr r rrT C C x r---+⎛⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎝⎝⎭，令32r-=，则1r=，所以2x的系数为()6111613228C-⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭．故选D．6．D ()()1f x x x=+，()()()1f x x x f x∴-=-+=-，()f x∴为定义域R上的奇函数．又当0x>时，()()21f X x x x x=+=+为增函数，()f x∴在R上单调递增．由()()220f x f x+->知，()()()222f x f x f x>--=-，22x x∴>-，即220x x+->，解得2x<-或1x>．故选D．7．C 连接1QF，由12PF F为等腰三角形且Q为2PF的中点，由2PF c=知12QF PF⊥，且22cQF=．由双曲线的定义知122cQF a=+，在12Rt FQF中，()2222222c ca c⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得双曲线C的离心率e=．故选C．8．C 函数sin2y x=的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到函数()()sin22f x xϕ=-的图象，则当0,4xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，222,22xπϕϕϕ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦．由函数()f x在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，可知，()2222222kk Zkππϕππϕπ⎧-+≤-⎪⎪∈⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()4k k Zkππϕπ-≤-∈≤．又由02πϕ<<，可知04ππ<≤①．函数()f x的所有零点满足()22x k k Zϕπ-=∈，即()12k Zx kπϕ=+∈，由最大负零点在5,126ππ⎛⎫--⎪⎝⎭内，得()511226Zk kπππϕ-+<-∈<，即()51112262Zk k kπππϕπ--<<-∈-，由02πϕ<<可知，当1k=-时，123ππϕ<<②．由①②可得，ϕ的取值范围为,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦．故选C．9．ABC 由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确．故选ABC ．10．ABCD 对实数a ，b ，m ．22am bm >，a b ∴>，A 正确；a b >，分三种情况，当0a b >>时，a ab b >成立；当0a b >>时，a a b b >成立；当0a b >>时，a a b b >成立，a a b b ∴>成立，B 正确；0b a >>，0m >，()()()()()0()a m b a b m b a ma m a ab bm ab am b m b b b m b b m b b m +-+-++---===+++∴>+，C 正确；若0a b >>，且ln ln a b =，1a b ∴=，且1a >．122a b a a ∴+=+，设()()121f a a a a=+>，()2120a f a =-'>，()f a ∴在区间()1,+∞上单调递增，当1a →时，()3f a →，()3f a ∴>，即()23,a b +∈+∞，D 正确．11．ABC 由()122log x f x x =-，可知函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增．因为实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <，则()f a ，()f b ，()f c 可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A ，B ，C 可能成立，0x c >，D 不可能成立．12．AD 由题意知()()10f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，所以()()12f x f x ''=，1211x x =，12+=，A 正确；由基本不等式及12x x ≠，可得12=>，即12256x x >，B 错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选AD ．13．解析：（方法一）因为cos 5θ=-，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5θ=，所以22222sin 22sin cos 4an 2cos 2cos t sin 3θθθθθθθ⎛ ⎝⎭====-⎛- ⎝⎭⎝⎭．（方法二）因为cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ=，所以tan 2θ=-，所以()()22222tan 4tan 21tan 312θθθ⨯-===---． 答案：4314．解析：因为原数据平均数是8，方差为16，将这组数据中的每一个数据都减去4，所以新数据的平均数为4，方差不变仍为16，所以新数据的方差与平均数的和为20． 答案：2015．解析：如图所示，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则1OO ⊥平面ABC ．设球O 的半径为R ，1OO d =，则22sin sin 60ABC AC r ===︒∠，即r =．当P ，O ，1O 三点共线时，12max3V R d V d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即2R d =．由222R d r =+，得2169R =，所以球O 的表面积26449S R ππ==． 答案：649π16．解析：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由一元二次方程根与系数的关系得1232px x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =，∴抛物线2:4C y x =．设()00,M x y ，由题意知204y x =，则()()()2222200000334188x y x x MN x =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，MN ∴的最小值为答案：2 17．解：（1）选择①， 根据正弦定理得a c a bb a c--=+， 从而可得222a c ab b -=-，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈， 故3C π=（5分）选择②， 根据正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=．即()sin 2sin cos A B C C +=， 即sin 2sin cos C C C =， 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，从而有1cos 2C =， 故3C π=． （5分）（2）根据余弦定理得2222cos c a b ab C =+-．得225a b ab =+-， 即()253a b ab =+-， 解得2ab =， 又因为ABC 的面积为12sin ab C ， 所以ABC． （10分） 18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠． 因为2a ，9a ，30a 成等比数列， 所以()()()2111298a d a d a d ++=+．又15a =，解得2d =或0d =（舍），所以23n a n =+． （4分） （2）依题意得123n n b b n +-=+，即121n n b b n --=+（2n ≥且*n N ∈）， 所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+()()()221321215322n n n n n n ++=++-+++==+． （7分）13b =对上式也成立，所以()2n b n n =+，即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． （9分） 所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1113232124211122n nn n n ⎛⎫=+ +--=-+++⎝⎭+⎪． （12分） 19．（1）证明：因为侧面11ABBA 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，所以AD =．在1Rt ABB 中，11tan 2AB AB B BB ∠==，在Rt ABD 中，tan ABD AD AB ==∠，所以1AB B ABD ∠=∠．又1190BAB AB B ∠+∠=︒，所以190BAB ABD ∠+∠=︒，所以在AOB 中，90BOA ∠=︒，即1BD AB ⊥，又CO ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1CO AB ⊥，又BD CO O =，所以1AB ⊥平面BCD ．又BC ⊂平面BCD ，所以1BC AB ⊥． （6分）（2）解：由（1）可知OD ，1OB ，OC 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，分别以OD ，1OB ，OC 所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则0,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以33AB ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝=⎭，0,33AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()DB =-，BC ⎛= ⎝⎭．设平面ABC 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0033x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1x =，得y =，z =，则(11,2,n =．又平面BCD 的一个法向量为()20,1,0n =，设二面角D BC A --的大小为θ，由题图可知θ为锐角，则12122cos 55n n n n θ⋅===⋅，所以二面角D BC A --的余弦值是5． （12分） 20．（1）解：设点P 的坐标为(),x y ，由题意知23AP BP k k ==-⋅， 化简得点P的轨迹方程为(22132x y x +=≠． （4分） （2）证明：由题意知，直线AP ，BP 斜率存在且不为0， 又由已知得23AP BP k k =-⋅， 因为//AP OM ，//BP ON ，所以23OM ON k k =-⋅． 设直线MN 的方程为x my t =+，代入C 的方程得()222234260m y mty t +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122423mt y y m +=-+，21222623t y y m -=+， （6分） 又()212122222121212262363OM ON y y y y t k x x m y y y t k mt y t m -⋅====-+++-，得22223t m =+． 所以12111222MONS t y y t t =-===，即MON 的面积为定值2（12分） 21．解：（1）从这箱产品中任取20件检验，每件产品为不合格品的概率为()01p p <<，且每件产品是否为不合格品相互独立．因此设X 为不合格口罩数，X 符合二项分布．所以()()1822201f p C p p =-，所以()()()1722021110f p C p p p '=--，故当00.1p =时，()f p 取最大值． （5分）（2）（ⅰ）设剩余180件口罩中不合格品为Y ，则()~180,0.1Y B ，()18E Y =，则检验费用和赔偿费用之和为20225X Y =⨯+，()()4025E X E Y =+，所以()490E X =． （9分）（ⅱ）整箱检验费用为2200400⨯=元，因为()490400E X =>，所以需要对余下的所有口罩做检验． （12分）22．（1）证明：当1m =时，()1ln f x x x=+ ． ()22111x f x x x x-'=-+=， ()f x ∴在(]0,1上单调递减，在[)1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==，()1f x ∴≥． （3分）（2）解：当0m =时，()ln f x x =，()0,2x ∈，可知不符合题意．当0m ≠时，设切点为()()00,x f x （显然01x ≠），又切线过点()1,0A ，()()()00001f x f x x '∴-=-，即()()0001f x f x x '=-， 000200ln 1mx m x x x x +=∴--， 整理得0200l 10n 21x m m x x ++--=． （*） 由题意，得方程（*）在区间()0,2上有两个不同的实数解． （5分）（方法一）令()221ln 1m m g x x x x+=+--， ()()()321x m x g x x --'=．①当21m =，即12m =时，()g x 在()0,2上单调递增，∴此时不满足要求． （6分） ②当21m >，即12m >时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减或在()0,1，()2,2m 上单调递增，在()1,2m 上单调递减，而()()1120g me e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()3212ln 21ln 2048m g +=+->->，()12ln 204g m m m=+>， ()g x ∴在区间()0,1上有唯一的零点，在区间()1,2上无零点．∴此时不满足要求． （8分）③当021m <<，即102m <<，()g x 在()0,2m 上单调递增，在()2,1m 上单调递减，在()1,2上单调递增． ()21ln 10m e e m m g e e m +-⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()20g m >，()20g >， ()g x ∴在区间()0,2上有唯一的零点，∴此时不满足要求． （10分）④当0m <时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增．()()1120g me e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()10g m =<，()322ln 24m g -=+． 当()20g ≤，即24ln 23m -≤时，()g x 在区间()0,2上有唯一的零点，此时不满足要求． 当()20g >，即24ln 203m -<<时，()g x 在区间()0,1和()1,2上各有一个零点，设为1x ，2x ． 此时，()21m f x x x '=-，显然()f x '在区间()0,2上单调递减． ()()12f x f x ''∴≠，∴此时满足要求．综上所述，实数m 的取值范围是24ln 2,03-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （12分） （方法二）关于0x 的方程()0020021110ln x x x m x -+-+=在区间()0,2内有两个不同的实数解，显然12不是方程的解，故原问题等价于22l 12n x x x x m x+-=-在区间()0,2内有两个不同的实数解． 设()()22112l 2ln 1n x x x x x x x s x x x x +-+-==--，02x <<，12x ≠， 则()()()2ln 11212x x x x s x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=-，02x <<，12x ≠． 令()2ln 1h x x x =+，02x <<，12x ≠， 则()221221x h x x x x -'=-+=， 故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()12ln 402h x h ⎛⎫∴>=-> ⎪⎝⎭． ∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0s x '>．当()1,2x ∈时，()0s x '<， 从而当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()s x 单调递增， 当()1,2x ∈时，()s x 单调递减． （9分）令()1ln t x x x x =+-，02x <<，12x ≠，()ln t x x '∴=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0t x '<，当()1,2x ∈时，()0t x '>， ()()10t x t ∴≥=．∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x >， 当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x ≤． 而当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()10s x s ≤=，当x 从12右侧趋近12时，()s x →-∞，作出()s x 的大致图象如图所示， 故22l 12n x x x x m x +-=-在区间()0,2内有两解()20s m ⇔<<，解得24ln 203m -<<，即实数m 的取值范围是24ln 2,03-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （12分）。
山东省临沂市2020届高三数学模拟考试试题理(含解析)
2020年普通高考模拟考试理科数学一、选择题•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A xlnx 1，B 2, 1,0,1,2,3，则AI B （）A. 1B. 1,2C. 2, 1,0,1D. 2【答案】B【解析】【分析】首先求得集合A,然后进行交集运算即可.【详解】求解对数不等式可得 A x|0 x e ，结合题意和交集的定义可知：AI B 1,2 .故选：B【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，交集的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力•2.已知复数z满足z i i 2 i，则|Z （）A. B. ,3 C. .5 D. ,10【答案】A【解析】【分析】首先求得复数z,然后求解其共轭复数并确定模即可.【详解】由题意可得：z J i 2i 1 i 1 i，i则z 1 i,|z| 72.故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.2020年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态. 根据该折线图, BO70闻50艸抑①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2020〜2020;③这8年的增长率约为40%;④2020年至2020年每年的市场规模相对于2020年至2020年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意观察所给的折线图考查所给的结论是否正确即可【详解】考查所给的结论：①2020年的市场规模量有所下降，该说法错误；②增长最快的一年为2020〜2020,该说法正确；63 5 45 3③这8年的增长率约为635壬40%，该说法正确；45.3④2020年至2020年每年的市场规模相对于2020年至2020年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，该说法正确.综上可得：正确的结论有3个.故选：C【点睛】本题主要考查折线图的识别，属于基础题.【答案】C 【解析】【分析】 首先画出可行域，然后求得最大值和最小值，最后求解两者之和即可 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数即：y 2x z ，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点据此可知目标函数的最大值为： z max 2 2 2 6，联立直线方程： 7 2° ，可得点的坐标为： A 0,2，x y 2 0据此可知目标函数的最小值为：z min 2 0 2 2.x 2 0, 4.已知x,y 满足约束条件y 2 0,，则zx y 2 0,A. 4B. 62xy 的最大值与最小值之和为（y 轴上的截距最大，B 2,2处取得最大值,其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小,据此结合目标A 处取得最小值,综上可得：z 2x y的最大值与最小值之和为8.故选：C【点睛】求线性目标函数z = ax+ by（ab^0）的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b v 0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大•5.从0, 1, 2, 3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）2525A.-B.—C.—D.-7799【答案】D【解析】【分析】由题意列出所有可能的结然后结合古典概型计算公式可得概率值.果，【详解】能组成两位数有：10, 12, 13, 20, 21, 23, 30, 31, 32,总共有9 种情况.其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为故选：D【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题6.函数f x ,g X的定义域都为R，且f X是奇函数，g X是偶函数，设h x f x 1 g x 1 ，则下列结论中正确的是（）A. h x的图象关于（1,0）对称 B. h x的图象关于（1,0）对称C. h x的图象关于x 1对称 D. h x的图象关于x 1对称【答案】D【解析】h x的性质【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数的平移特性即可确定后函数【详解】首先考查函数H x其定义域为 R ，且 H x | f x | g x |fx | g x H x , 则函数H x 为偶函数，其图像关于 y 轴对称， 将H x 的图像向左平移一个单位可得函数 h x H x 1 |fxl |gx1的图像，据此可知h x 的图象关于x 1对称. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数图像的平移变换等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力•7.秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献. 他所创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法•用秦九韶算法是将201820172016f x 2019x2018x 2017x 2x 1 化为【答案】C 【解析】2019x 2018x x 2017 x2 x 1再进行运算，在计算 f X 。
山东省2020年高考模拟考试数学试题 Word版含答案
山东省2020年普通高等院校统一招生模拟考试高三教学质量检测数学试题2020．02本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省临沂市2020届高三数学模拟考试试题 理(含解析)
2020年普通高考模拟考试理科数学一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}ln 1A x x =<，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =I （ ） A. {}1 B. {}1,2C. {}2101--,,, D. {}2-【答案】B 【解析】 【分析】首先求得集合A ，然后进行交集运算即可.【详解】求解对数不等式可得{}|0A x x e =<<， 结合题意和交集的定义可知：A B =I {}1,2. 故选：B .【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，交集的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）【答案】A 【解析】 【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可. 【详解】由题意可得：2211iz i i i i i+=+=-++=-，则1,z i z =+=故选：A .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.2020年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（）①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2020～2020；③这8年的增长率约为40％；④2020年至2020年每年的市场规模相对于2020年至2020年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意观察所给的折线图考查所给的结论是否正确即可.【详解】考查所给的结论：①2020年的市场规模量有所下降，该说法错误；②增长最快的一年为2020～2020，该说法正确；③这8年的增长率约为63.545.345.3-≈40％，该说法正确；④2020年至2020年每年的市场规模相对于2020年至2020年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，该说法正确.综上可得：正确的结论有3个.故选：C.【点睛】本题主要考查折线图的识别，属于基础题.4.已知,x y 满足约束条件20,20,20,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后求得最大值和最小值，最后求解两者之和即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,2B 处取得最大值， 据此可知目标函数的最大值为：max 2226z =⨯+=，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：2020y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为：()0,2A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2022z =⨯+=.综上可得：2z x y =+ 的最大值与最小值之和为8. 故选：C .【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.5.从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A. 27B.57C.29D.59【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出所有可能的结果，然后结合古典概型计算公式可得概率值.【详解】能组成两位数有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，总共有9种情况. 其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为59p =. 故选：D .【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题.6.函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，设()()()11h x f x g x =+++，则下列结论中正确的是（ ）A. ()h x 的图象关于(1,0)对称B. ()h x 的图象关于(1,0)-对称C. ()h x 的图象关于1x =对称D. ()h x 的图象关于1x =-对称【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数的平移特性即可确定后函数()h x 的性质 【详解】首先考查函数()()()H x f x g x =+，其定义域为R ，且()()()()()()f x g x f x x H x x H g =--=+=-+， 则函数()H x 为偶函数，其图像关于y 轴对称，将()H x 的图像向左平移一个单位可得函数()()()()111h x H x f x g x =+=+++的图像，据此可知()h x 的图象关于1x =-对称. 故选：D .【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数图像的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．他所创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．用秦九韶算法是将()20182017201620192018201721f x x x x x =+++⋯++化为()()()()20192018201721f x x x x x x =⋯+++⋯++再进行运算，在计算()0f x 的值时，设计了如下程序框图，则在◇和X中可分别填入（ ）A. 2n ≥和0S Sx n =+B. 2n ≥和01S Sx n =+-C. 1n ≥和0S Sx n =+D. 1n ≥和01S Sx n =+-【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合秦九韶算法和流程图确定所需填入的程序语句即可.【详解】由题意可知，当1n =时程序循环过程应该继续进行，0n =时程序跳出循环，故判断框中应填入1n ≥，由秦九韶算法的递推关系可知矩形框中应填入的递推关系式为：0S Sx n =+， 故选：C .【点睛】本题主要考查流程图问题，流程图与秦九韶算法的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在ABC ∆中，45B =︒，D 是BC边上一点，AD =4AC =，3DC =，则AB 的长为（ ）A.2B.2C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求得cos C 的值，然后利用正弦定理解三角形即可. 【详解】由题意，在△ADC 中，由余弦定理可得：916131cos 2342C +-==⨯⨯，则sin C =，在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin AB ACC B=2=，据此可得：AB =故选：D .【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2222x y +-=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合点到直线距离公式整理计算可得双曲线的离心率.【详解】设圆心到直线的距离为d，由弦长公式可得：2=，解得：1d =， 双曲线的渐近线方程为：0bx ay ±=，圆心坐标为()0,2，1=，即：21a c =，双曲线的离心率2ce a==. 故选：B .【点睛】本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（ ）A. 2 33D. 1【答案】A【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后结合面积公式求解面积的最大值即可.【详解】由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥，且圆锥的底面半径为3r=，高1h=，故俯视图是一个腰长为2，顶角为120o的等腰三角形，易知过该几何体顶点的所有截面均为等腰三角形，且腰长为2，顶角的范围为(0,120⎤⎦o o，设顶角为θ，则截面的面积：122sin2sin2Sθθ=⨯⨯⨯=，当90θ=o时，面积取得最大值2.故选：A.【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.若函数()2xf x x ke =-在(0,)+∞上单调递减，则k 的取值范围为（ ）A. 8,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 4,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】将原问题进行等价转化为恒成立的问题，然后利用导数的性质可得实数k 的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得：()'2xf x x ke =-，函数在(0,)+∞上单调递减，则()'0f x ≤恒成立，即：20x x ke -≤， 据此可得：2xxk e ≥恒成立， 令()()20x xg x x e =>，则()()21'xx g x e -=， 故函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， 函数()g x 的最大值为()21g e =，由恒成立的结论可得：2k e≥， 表示为区间形式即2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C .【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数最值的求解，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A. 35-B. 45-C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定()12sin x x -的值.【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=， 结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且120x x π<<<，故12712312x x πππ<<<<， 2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题.13.已知向量a r ，b r满足：3a =r ，4b =r ，a b +=r r ||a b -=r r _____．【答案】3 【解析】 【分析】由题意结合平行四边形的性质可得a b -r r的值.【详解】由平行四边形的性质结合平面向量的运算法则可得：()22222a b a b a b +=++-r r r r r r ，即：()2222234a b +=+-r r ，据此可得：3a b -=r r.【点睛】本题主要考查向量模的计算，平行四边形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数()()log 11a f x x =--（0a >，且1a ≠）的图象恒过点A ，若点A 在角α的终边上，则2cos 2sin αα-=__________． 【答案】25【解析】 【分析】首先确定点A 的坐标，然后由三角函数的定义求得sin ,cos αα的值，最后结合二倍角公式可得三角函数式的值.【详解】由函数的解析式可知点A 的坐标为()2,1A -， 由三角函数的定义可得：sin αα==， 故()22224112cos 2sin cos sin sin 5555ααααα⎛⎫-=--=--=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查对数函数恒过定点问题，由终边点的坐标求解三角函数值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.在621x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数为____．【答案】40 【解析】 【分析】由题意利用排列组合的性质可得3x 项的系数.【详解】由题中的多项式可知，若出现3x ，可能的组合只有：()032x x ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭和()142x x ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，结合排列组合的性质和二项式展开式的过程可得3x 系数为：()()34330111166512112140C C C ⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯-=.【点睛】本题主要考查二项式展开式与排列组合的综合运用，属于中等题.16.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，AF BF ⊥，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则ABMN的最小值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ l ⊥于点Q ，BP l ⊥于点P ，由抛物线的定义可设：,AF AQ a BF BP b ====， 由勾股定理可知：2222AB AF BF a b =+=+由梯形中位线的性质可得：2a bMN +=， 则：()22212222a b AB a b a b MN++=≥=+当且仅当a b =时等号成立.即AB MN. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足111,22nn n a a a +==-+．（1）判断数列{}2nn a +是否为等差数列，并说明理由；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S .【答案】（1）见解析；（2）21222n n S n n +=+-+【解析】 【分析】(1)由题意结合等差数列的定义和数列的递推关系即可确定数列为等差数列；(2)结合(1)中的结论首先确定数列{}n a 的通项公式，然后分组求和确定其前n 项和即可.【详解】（1）∵122n n n a a +=-+，∴()()11222n n n na a+++-+=，∴数列{}2nn a +为公差为2的等差数列（2）∵11a =，∴123a +=，由（1）可得：232(1)21nn a n n +=+-=+， ∴221nn a n =-+，∴()232(123)2222nn S n n =++++-+++++L L ，.()212(1)2212nn n n -+=⨯-+- 21222n n n +=+-+【点睛】本题主要考查由递推关系式证明数列为等差数列的方法，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，已知矩形ABCD 中，22AB AD ==，点E 是CD 的中点，将BEC ∆沿BE 折起到BEC '∆的位置，使二面角C BE C '--是直二面角．（1）证明：BC '⊥平面AEC '； （2）求二面角C AB E '--的余弦值． 【答案】（1）见证明；（23【解析】 【分析】(1)由题意利用几何关系结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(2)由几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，分别求得两个半平面的法向量，利用所得的法向量整理计算可得二面角的余弦值.【详解】（1）∵22AB AD ==，点E 是CD 的中点， ∴ADE ∆，BCE ∆都是等腰直角三角形， ∴90AEB =︒∠，即AE BE ⊥..又∵二面角C BE C '--是直二面角，即平面C EB '⊥平面ABE ， 平面C EB '⋂平面ABE BE =，AE ⊂平面ABE ， ∴AE ⊥平面C EB '， 又∵BC '⊂平面C BE '， ∴BC AE '⊥，又∵BC EC ''⊥，EC '⊂平面AEC '，AE EC E '⋂=， ∴BC '⊥平面AEC '.（2）如图，取BE 的中点O ，连接C O '， ∵C B C E ''=，∴C O BE '⊥，∵平面C EB '⊥平面ABE ，平面C EB '⋂平面ABE BE =，C O '⊂平面C EB '，∴C O '⊥平面ABE ，过O 点作OF AE P ，交AB 于F ， ∵AE EB ⊥，∴⊥OF OB ，以OF ，OB ，OC '所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示坐标系O xyz -，则(0,0,0)O ，22,2A ⎫-⎪⎪⎭，20,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2C ⎛' ⎝⎭， ∴222,22C A '=--⎭u u u r ，220,,22C B ⎛⎫'=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，20,0,2OC ⎛'= ⎝⎭u u u u r ，设(,,)n x y z =r为平面ABC '的一个法向量，则0n C A n C B ''⎧⋅=⎨⋅⎩u u u v v u u u v v ，即222022220x y z y z --==，取1y z ==，则1x =，∴(1,1,1)n =r ， 又C O '⊥平面ABE ，∴22m OC ⎛== ⎝⎭u r u u u r 为平面ABE 的一个法向量， 所以3cos ,||||3m n m n m n ⋅<>===⋅u r ru r r u r r ，即二面角C AB E '--3【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n u r r 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n v v互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且与抛物线2y x =交于M ，N两点，OMN ∆ （O 为坐标原点）的面积为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=（2）42【解析】 【分析】(1)由题意求得a ,b ,c 的值即可确定椭圆方程；(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等式即可确定三角形面积的最大值.【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2y x =交于M ，N 两点，可设(M x x ，(,)N x x -， ∵OMN ∆的面积为22∴2x =2x =，∴2)M ，(2,2)N ，由已知得222222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22a =2b =，2c =，∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，(2,B，(2,C -，故142ABC ∆=⨯=；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22(2)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222218880k x k x k +-+-=，则()()()222264421883210k k k k ∆=-+-=+>，2122821k x x k +=+，21228821k x x k -⋅=+，||AB ==22121k k +=+， 点O 到直线20kx y k--=的距离d ==，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d =，∴1||22ABCS AB d∆=⋅2211221k k ⎛⎫+=⋅⎪+⎝⎭=∵()()()()22222222211211k k k k k k k ++=⎡⎤+++⎣⎦()()222211441k k k k +=+…，又221k k≠+，所以等号不成立.∴ABC S ∆=综上，ABC ∆面积的最大值为【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2020年已就业的A 、B 两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如下表：将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，巳知该校2020届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关?（2）经统计发现，该大学2020届的大学本科毕业生月薪X （单位：百元）近似地服从正态分布(,196)N μ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值）．若X 落在区间(2,2)μσμσ-+的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导. ①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；②中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于μ的获赠两次随机话费，月薪不低于μ的获赠一次随机话费，每次赠送的话赞Z 及对应的概率分别为：则李阳预期获得的话费为多少元? 附：()()()()()22n ad bc K a b b c c d b d -=++++，其中，n a b c d =+++．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】(1)首先写出列联表，然后计算2K 的值给出结论即可； (2)由题意求得2μσ-的值然后判定学生就业是否理想即可；由题意首先确定Z 可能的取值，然后求得概率可得分布列，最后利用分布列计算数学期望可得其预期获得的话费.【详解】（1）列出列联表如下：22200(60203090)200 6.061 5.024150509011033K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关. （2）①月薪频率分布表如下：将样本的频率视为总体的概率，该大学2020届的大学本科毕业生平均工资为：350.1450.18550.22650.25750.2850.0559.2μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∵月薪~(,196)X N μ，∴2196σ=，14σ=， ∴259.22831.2μσ-=-=，2020届大学本科毕业生李某的月薪为3500元35=百元231.2μσ>-=百元，故李阳不属于“就业不理想”的学生；②由①知59.2μ=百元5920=元，故李阳的工资为3500元，低于μ，可获赠两次随机话费，所获得的话费Z 的取值分别为120，180，240，300，360，111(120)224P Z ==⨯=，12111(180)233P Z C ==⨯⨯=，1211115(240)332618P Z C ==⨯+⨯⨯=，12111(300)369P Z C ==⨯⨯=，111(360)6636P Z ==⨯=.故Z 的分布列为：则李阳预期获得的话费为115111201802403003602004318936EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列的计算与期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数()221xe f x x mx =-+．（1）若(1,1)m ∈-，求函数()f x 的单调区间；（2）若10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[0,2m 1]x ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在不等式y x >所表示的平面区域内，请写出判断过程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）将原问题进行等价转化，分别考查所构造函数的最大值和最小值即可判定题中的结果是否成立.【详解】（1）解：∵(1,1)m ∈-，∴2440m ∆=-<，∴2210y x mx =-+>恒成立， ∴函数定义域为R ,()()222e 21e (22)()21x x x mx x m f x xmx '-+--=-+()222e (22)2121x x m x m xmx ⎡⎤-+++⎣⎦=-+()22e (1)(21)21x x x m xmx ---=-+，①当0m =时，即211m +=，此时()0f x '…，()f x 在R 上单调递增， ②当01m <<时，即1213m <+<，(,1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， (1,21)x m ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减， (21,)x m ∈++∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；③10m -<<时，即1211m -<+<时，(,21)x m ∈-∞+，()0f x '>，()f x 单调递增，(21,1)x m ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减， (1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，①0m =时，()f x 在R 上递增，②01m <<时，()f x 在(,1)-∞和(21,)m ++∞上递增，在(1,21)m +上递减； ③10m -<<时，()f x 在(,21)m -∞+和(1,)+∞上递增，在(21,1)m +上递减. （2）当10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知()f x 在[0,1]递增，在[1,21]m +递减，令()g x x =，则()g x 在R 上为增函数，函数()y f x =的图象总在不等式y x >所表示的平面区域内，等价于函数()f x 图象总在()g x 图象的上方，①当[0,1]x ∈时，min ()(0)1f x f ==，max ()()1g x g x ==， 所以函数()f x 图象在()g x 图象上方； ②当[1,21]x m ∈+时，函数()f x 单调递减，所以()f x 最小值为21e(21)22m f m m ++=+，()g x 最大值为(21)21g m m +=+，所以下面判断(21)f m +与21m +的大小，即判断2122m e m ++与21m +的大小，因为10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以即判断21e m +与(21)(22)m m ++的大小，令21x m =+，∵10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，.∴31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即判断e x 与(1)x x +大小，作差比较如下：令()e (1)xu x x x =-+，31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()21xu x e x '=--，令()()h x u x '=，则()e 2xh x '=-，因为31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()0h x '>恒成立，()u x '在31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增；又因为(1)e 30u '=-<，323e 402u ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()000210x u x e x '=--=，所以()u x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()0()u x u x …0200e xx x =--200021x x x =+--2001x x =-++， 因为二次函数2()1v x x x =-++的图象开口向下，其对称轴为12x =， 所以2()1v x x x =-++在31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减..因为031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0393*******v x v ⎛⎫>=-++=> ⎪⎝⎭， 所以()()00()0u x u x v x =>…，即(1)x e x x >+，也即(21)21f m m +>+， 所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方，所以函数()y f x =的图象总在不等式y x >所表示的平面区域内【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （2）射线11,63ππθθθ⎛⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与圆C 的交点为O ，M ，与直线l 的交点为N ，求OM ON ⋅的取值范围．【答案】（1）圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.直线l的直角坐标方程为10x y +-=.（2）[1,3] 【解析】 【分析】(1)首先化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得C 的极坐标方程，展开三角函数式可得l 的普通方程；(2)利用极坐标方程的几何意义，将原问题转化为三角函数求值域的问题，据此整理计算可得OM ON ⋅的取值范围．【详解】（1）圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式：222(cos 1)sin 1ρθρθ-+=，化简得：2cos ρθ=，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. 直线l的极坐标方程为cos 1ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代人上式，得：10x y +-=， ∴直线l的直角坐标方程为10x y +-=. （2）设()11,M ρθ，因为点M 在圆:2cos C ρθ=上，则有112cos ρθ=，设()21,N ρθ，因为点N在直线:cos 1l ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭，则有2ρ=，所以12||||OM ON ρρ⋅===， ∵1,63ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1tan 3θ-12tan 1233θ+剟，∴13，即1||||3OM ON ⋅剟，故||||OM ON ⋅的范围为[1,3].【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的转化，极坐标的几何意义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.已知函数()()22,12f x x a x g x x =-+-=-+． （1）求不等式()5g x <的解集；（2）若对任意1x R ∈都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|24}x x -<<（2）(,0][8,)-∞+∞U 【解析】 【分析】(1)由题意求解绝对值不等式可得不等式的解集；(2)将原问题转化为函数值域之间的包含关系问题，然后分类讨论可得实数a 的取值范围. 【详解】（1）由()5g x <得|1|25x -+<， ∴|1|3x -<， ∴313x -<-<， ∴24x -<<， ∴不等式()5g x <解集为{|24}x x -<<.（2）设函数()f x 的值域为M ，函数()g x 的值域为N ，∵对任意1x ∈R 都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =成立，. ∴M N ⊆，∵()|1|2g x x =-+，∴[2,)N =+∞，①当4a =时，()3|2|f x x =-，此时[0,)M =+∞，不合题意；②当4a >时，23,2()2,2232,2a x x a f x a x x a x a x ⎧⎪+-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--⎪⎩„…，此时2,2a M ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，∵M N ⊆，∴2224aa ⎧-≥⎪⎨⎪>⎩，解得8a …； ③当4a <时，23,2()2,2232,2a a x x a f x x a x x a x ⎧+-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪--⎪⎪⎩„…，此时2,2a M ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，∵M N ⊆，∴2224a a ⎧-⎪⎨⎪<⎩…，解得0a „. 综上所述，实数a 的取值范围为(,0][8,)-∞+∞U . 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
山东省临沂市2020学年新课标高三教学质量检测-数学试卷(理科)
2020学年新课标高三教学质量检测－数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知i 为虚数单位，则2212211i i i i +-⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭（ ）A ．－3+4i B. 0 C.－4+3i D.－4－3i2．节假日时，国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信问候的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别是8，15，14，3（人），通常情况下，小李应收到同事问候的信息条数为 （ ） A ．27 B ．37 C ．38 D ．８3．2lg 0.11x >是||1x <的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件4．设随机变量ξ的方差是ξD ，则)(b a D +ξ（b a ,为常数）等于 （ ） A.b aD +ξ B.b D a +ξ2 C.ξD a 2 D.ξaD5．曲线f (x )=x 3－2在P 0点处的切线平行于直线y =3x －1,则P 0点的坐标为 （ ）A.(1，0)B.(2，8)C.(1，－1)和(－1，－3)D.(2，8)和(－1，－4)6. 某一供电网络有n 个用电单位,若每个单位在一天中用电的概率是p ,那么供电网络中一天平均用电的单位个数是 （ ）A.np (1－p )B.npC.nD.p (1－p )7．若(1+5x )n 的展开式中各项系数之和为a n ,(7x 2+5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ,则∞→n lim nn nnb a b a 432+-的值是 （ ） A.1B.－21C.31 D.41 8．给定集合A B 、，定义 {|,,}A B x x m n m A n B ==-∈∈※.若 {4,5,6},{1,2,3}A B ==，则集合 A B ※ 中的所有元素之和为 （ ） A . 15 B . 14 C . 27 D . -149．已知20ax bx c ++=r r r r 是关于x 的一元二次方程，其中,,a b c r r r是非零向量，且a r 与b r 不共线，则方程 A. 可能有无数个实数解 B. 至多有两个实数解 C. 至少有一个实数解 D. 至多有一个实数解10．函数)10(||<<=a x xa y x的图象的大致形状是 （ ）11．函数⎰-=xdt t t x F 0)4()(在[－1，5]上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值332-C ．有最小值332-，无最大值 D ．既无最大值也无最小值12．银行计划将某客户的资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M ，60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润。
2020年山东省高考数学模拟试卷(理科)含答案解析
2020年山东省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．62．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．23．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B．C．﹣D．±4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．75．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A．B．C．D．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B．C．D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣810．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．12．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n （x2﹣mx+4）的最大值等于．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．在2020年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？19．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？2020年山东省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．6【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出对应点的坐标，代入直线方程，然后求解a的值．【解答】解：复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a﹣1+2，解得a=2．故选：B．2．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．2【考点】子集与真子集．【分析】先求出集合A，由此能求出集合A的子集的个数．【解答】解：∵集合={2}，∴集合A的真子集只有一个为∅．故选：C．3．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B．C．﹣D．±【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数的表达式建立方程关系进行求解即可．【解答】解：f（﹣1）=（﹣1）2=1，则由f（﹣1）=2f（a），得1=2f（a），即f（a）=，若a＞0，由f（a）=得log3a=，得a=，若a＜0，由f（a）=得a2=，得a=﹣或（舍），综上a的值等于或﹣，故选：A．4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．7【考点】系统抽样方法．【分析】根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为121～400的个体中应抽取的个体数即可．【解答】解：把这800个个体编上001～800的号码，分成20组，则组距为=40；所以编号为121～400的个体中应抽取的个体数为=7．故选：D．5．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】等差关系的确定．【分析】数列{a n}成等比数列，公比为q．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．即可判断出结论．【解答】解：∵数列{a n}成等比数列，公比为q．∴a n=．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．∴“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的必要不充分条件．故选：B．6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：由ax+2y﹣3=0得到y=﹣x+，故直线的斜率为﹣，∵直线l的斜率不小于1，∴﹣≥1，即a≤﹣2，∵且a∈[﹣5，4]，∴﹣5≤a≤﹣2，∴直线l的斜率不小于1的概率为=，故选：C．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图易得这个几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为：3，求出棱锥的高，即可求解四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知，这是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为3，棱锥的高：=2，∴四棱锥的体积是：×1×2×2=．故选：D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出．【解答】解：∵向量，∴||==1，||=1，=﹣cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=﹣cosθ=cos（π﹣θ），∴cosφ==cos（π﹣θ）=cos（θ﹣π），∵θ∈（π，2π），∴θ﹣π∈（0，π），∴φ=θ﹣π，故选：C．9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣8【考点】基本不等式．【分析】不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，利用基本不等式的性质可得2（x﹣1）+的最小值，即可得出．【解答】解：不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=8，当且仅当x=3时取等号．∵不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，∴﹣m﹣2＜8，解得m＞﹣10，故选：A．10．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意设===k，可得a=6k，b=4k，c=3k，由余弦定理可得cosA，再由正弦定理可得=，代值化简可得．【解答】解：由题意设===k，（k＞0），则a=6k，b=4k，c=3k，∴由余弦定理可得cosA===﹣，∴由正弦定理可得====﹣，故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是11．【考点】循环结构．【分析】按照循环结构的流程，列举出每个循环的变量的取值，与循环条件对比即可得结果【解答】解：依此程序框图，变量a的变化依次为1，12+2=3，32+2=11不满足循环条件a ＜10，故输出11故答案为1112．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为20．【考点】计数原理的应用．【分析】根据0的特点，分三类进行，当0在个为和十位时，当没有0参与时，根据分类计数原理可得．【解答】解：若三位数的个位为0，则有2×2×A22=8个；若十位为0，则有C21•C21=4个；若这个三位数没有0，则有C21•C21A22=8个．综上，要求的三位偶数的个数为8+8+4=20个，故答案为：20．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于﹣15．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】解出不等式|2x+a|＜b，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值，从而求出ab 即可．【解答】解：∵|2x+a|＜b，∴﹣b＜2x+a＜b，∴﹣a﹣b＜2x＜b﹣a，∴﹣＜x＜，由不等式的解集为{x|1＜x＜4}，则，解得：a=﹣5，b=3则ab=﹣15，故答案为：﹣15．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值等于﹣1．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】求出m、n，然后利用对数函数的性质，以及二次函数的性质求解函数的最值．【解答】解：函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），可知m=﹣2，n=，函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）=log（x2+2x+4）=log[（x+1）2+3]≤﹣1．函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值：﹣1．故答案为：﹣1．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为\frac{{x}^{2}}{5}﹣\frac{{y}^{2}}{20}=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，由题意可得p=，=2，求得M （3，4）代入双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得=，即p=，=2，即b=2a①又M的坐标（x0，4），可得16=2px0=x0，解得x0=3，将M（3，4）代入双曲线的方程可得﹣=1②由①②解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由f（+）=，可解得cosθ，又0＜θ＜，可由同角三角函数关系式即可求sinθ，tanθ的值．（2）由f（x）=sin（2x﹣），根据周期公式可求T，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z 可解得单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+=cosx（sinx﹣cosx）+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∵f（+）=，故有：sin[2（+）﹣]=sin（θ+﹣）=sin （θ+）=cosθ=，∴可解得：cosθ=，∵0＜θ＜，sinθ==，∴tanθ===．（2）∵f（x）=sin（2x﹣），∴T==π．∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z∴函数f（x）的最小正周期是π，单调递增区间是：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．17．在2020年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的可能性有两种：连胜3局或前3局两胜1负，第五局胜，由此能求出在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中国队获得积分X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（1）∵根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为，∴在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率：p=+=．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=（）=，∴中国队获得积分X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出面ABE∥面CDF，由此能证明AE∥面CDF．（2）以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，利用向量法能求出当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．【解答】证明：（1）∵BE∥CF，AB∥CD，且BE∩AB=B，FC∩CD=C，∴面ABE∥面CDF，又AE⊂面ABE，∴AE∥面CDF．解：（2）∵∠BCF=，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，∵，且=λ，∴AB=（）λ，∴A（，（）λ，0），E（，0，），F（0，0，），B（，0，0），=（0，（1﹣）λ，），=（﹣，0，），∵直线AE与BF所成角的大小为60°，∴cos60°==，由λ＞0，解得λ=1，∴当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．19．已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 2n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由于数列{a n }的前n 项和S n =a n +，可得a 1+a 2=a 2+﹣2，解得a 1．当n ≥2时，S n ﹣1=a n ﹣1+﹣2，可得：a n =a n ﹣a n ﹣1+n ﹣2﹣[﹣2]，化简整理即可得出．（2）b n =，可得b 2n ﹣1==．b 2n =．即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n }的前n 项和S n =a n +，∴a 1+a 2=a 2+﹣2，解得a 1=3．当n ≥2时，S n ﹣1=a n ﹣1+﹣2，可得：a n =a n ﹣a n ﹣1+n ﹣2﹣[﹣2]，解得a n ﹣1=n+1．∴a n =n+2，当n=1时也成立．∴a n=n+2．=（2）b n=，∴b2n﹣1==．b2n==．∴数列{b n}的前2n项和T2n=+=﹣﹣．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点M满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①求出O到直线的距离，由圆的弦长公式可得2，解方程可得m的值，进而得到直线的方程；②将直线y=x+m代入椭圆方程，运用判别式大于0，运用韦达定理和弦长公式，再由直线和圆相交的条件和弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得e==，a2﹣b2=c2，将M的坐标代入椭圆方程，可得+=1，解得a=2，b=c=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）①O到直线y=x+m的距离为d=，由弦长公式可得2=2，解得m=±，可得直线的方程为y=x±；②由y=x+m代入椭圆方程x2+2y2=8，可得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由判别式为△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，化简可得m2＜12，由直线和圆相交的条件可得d＜r，即有＜，即为m2＜4，综上可得m的范围是（﹣2，2）．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，即有弦长|AB|=•=•=•，|CD|=2=，即有λ==•=•，由0＜4﹣m2≤4，可得≥2，即有λ≥．则λ的取值范围是[，+∞）．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得函数的定义域和导函数f′（x），依题意可知f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，构造辅助函数，g（x）=，求导，利用导数法求得g（x）的单调区间及最小值，即可求得a的取值范围；（2）由题意可知：函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，根据二次函数性质求得a的取值范围，利用韦达定理，求得x1+x2和x1•x2表达式，写出f（x1）+f（x2），根据对数的运算性质求得a的值，判断是否满足a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣，依题意可知：f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=4，且1＜x＜4时，g′（x）＜0，当x＞4时，g′（x）＞0，所以g（x）在x=4时取极小值，也为最小值，g（4）=12，故实数a的取值范围是a≤12；（2）f′（x）=﹣=，函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，即方程x2+（4﹣a）x+（4+a）=0，在（1，+∞）上由两个不同的实根，∴解得：a≥12，由韦达定理：x1+x2=a﹣4，x1•x2=a+4，于是，f（x1）+f（x2）=ln（）++ln（）+，=ln[]+a[]，=ln[]+a[]，=ln（）+a（），=，=3，解得a=9，但不满足a＞12，所以不存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3．2020年7月18日。
2020年高考数学新高考1卷(山东)真题及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1B．−1 C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A．20°B．40° C．50°D．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6-B ．()6,2-C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．2．已知集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}，B={y|y=e x+1，x≤0}，则下列结论正确的是（）A．A=B B．A∪B=R C．A∩（∁R B）=∅ D．B∩（∁R A）=∅3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A．1030人B．97人C．950人D．970人4．设，且⊥，则向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．下列四个结论中正确的个数是（）①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”．③“若x=，则tanx=1，”的逆命题为真命题；④若f（x）是R上的奇函数，则f（log32）+f（log23）=0．A．1 B．2 C．3 D．46．若执行如图的程序框图，输出S的值为﹣4，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜14 B．k＜15 C．k＜16 D．k＜177．在△ABC中，cosA=，3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，则边BC的长为（）A．2 B．3 C．2 D．8．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）A．B．C．D．9．若x，y满足不等式组，则z=|x﹣3|+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．710．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别l1，l2，右焦点F．若点F关于直线l1的对称点M在l2上则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．若tanα=2，则sin2α=_______．12．若f（x）=3﹣2x，则|f（x+1）+2|≤3的解集为_______．13．已知的展开（1﹣2x）5式中所有项的系数和为m，则_______．14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为_______．15．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则+的最小值是_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.16．已知函数满足下列条件：•①周期T=π；②‚图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③ƒf（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设，求cos（2α﹣2β）的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M，N分别为PB，CD的中点，二面角P﹣CD﹣A的大小为60°，∠ABC=60°，AB=2，PC=PD=（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足6S n=a n2+3a n+2，且a2是a1和a6的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）符合[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log23]=1，[log25]=2．记，求数列的前n项和T n．19．a，b，c，d四名运动员争夺某次赛事的第1，2，3，4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组两人．第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者和负者；第二轮比赛决赛：两组中的胜者进行一场比赛争夺1，2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3，4名．四名选手以往交手的胜负情况累计如下表：a b c da a13胜26负a20胜10负a21胜21负b b26胜13负b14胜28负b19胜19负c c10胜20负c28胜14负c18胜18负d d21胜21负d19胜19负d18胜18负若抽签结果为甲组：a，c；乙组：b，d．每场比赛中，双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率．（Ⅰ）求c获得第1名的概率；（Ⅱ）求c的名次X的分布列和数学期望．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax，g（x）=lnx．（Ⅰ）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且，证明：h（x1）﹣h （x2）＞﹣ln2．21．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y 的准线上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示．•①若PQ=，求圆C2的方程；②‚设C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=λS2，求λ的取值范围．2020年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【考点】复数相等的充要条件．【分析】设出复数z，然后利用复数相等的充要条件，求解即可．【解答】解：设复数z=bi，b≠0，∴（3﹣i）z=a+i，化为（3﹣i）bi=a+i，即b+3bi=a+i，∴b=a=，故选：D．2．已知集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}，B={y|y=e x+1，x≤0}，则下列结论正确的是（）A．A=B B．A∪B=R C．A∩（∁R B）=∅ D．B∩（∁R A）=∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A、B，求出∁R A，即可得出结论．【解答】解：集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}={y|0＜y≤2}=（0，2]，B={y|y=e x+1，x≤0}={y|1＜y≤2}=（1，2]，∴∁R A=（﹣∞，0]∪（2，+∞），∴B∩（∁R A）=∅．故选：D．3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A．1030人B．97人C．950人D．970人【考点】分层抽样方法．【分析】根据样本容量和女生比男生少6人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．【解答】解：∵样本容量为200，女生比男生少6人，∴样本中女生数为97人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为970人．故选：D．4．设，且⊥，则向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】⊥，可得=0，解得x．再利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=x﹣3=0，解得x=．∴=（0，4），∴（）•=﹣12，||=4，==2，设向量的夹角为θ，∴cosθ===﹣，∴θ=150°．故选：D．5．下列四个结论中正确的个数是（）①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”．③“若x=，则tanx=1，”的逆命题为真命题；④若f（x）是R上的奇函数，则f（log32）+f（log23）=0．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】四种命题．【分析】①由充分必要条件的定义，即可判断；②由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断；③先求出逆命题，再判断真假即可，④根据奇函数的性质和对数的运算法则即可判断．【解答】解：对于①，x2+x﹣2＞0，解得x＜﹣2或x＞1，故“x＞1”的必要不充分条件，故错误，对于②，命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”，故正确，对于③，若x=，则tanx=1，”的逆命题为“若tanx=1，则x=，x还可以等于，故错误，对于④，f（x）是R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），∵log32=，∴log32与log23不是互为相反数，故错误．故选：A．6．若执行如图的程序框图，输出S的值为﹣4，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜14 B．k＜15 C．k＜16 D．k＜17【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=﹣4，可得出判断框内应填入的条件．【解答】解：执行如图的程序框图，运行结果如下：第1次循环S=log2=﹣1，k=2；第2次循环S=log2+log2=log2，k=3；第3次循环S=log2+log2=log2=﹣2，k=4；第4次循环S=log23+log2=log2，k=5；第5次循环S=log2+log2=log2，k=6；第6次循环S=log2+log2=log2，k=7；第7次循环S=log2+log24=log2=﹣3，k=8；…第14次循环S=log2+log2=log2，k=15；第15次循环S=log2+log2=log2=﹣4，•k=16；如果输出S=﹣4，那么只能进行15次循环，故判断框内应填入的条件是k＜16．故选：C．7．在△ABC中，cosA=，3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，则边BC的长为（）A．2 B．3 C．2 D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由cosA=，A∈（0，π），可得sinA=．由3sinB=2sinC，且△ABC 的面积为2，可得3b=2c，=2，再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA．【解答】解：∵cosA=，A∈（0，π），∴sinA==，∵3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，∴3b=2c，=2，解得b=2，c=3．∴a2=b2+c2﹣2bccosA=22+32﹣2×2×3×=9，解得a=3．故选：B．8．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【分析】求出原函数的导函数，由导函数的图象得到a＞1，然后利用指数函数的图象平移得答案．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，由函数y=f′（x）的图象可知，∴a＞1，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象是把函数y=a x向下平移2个单位，然后取绝对值得到，如图．故可能是D．故选：D．9．若x，y满足不等式组，则z=|x﹣3|+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，化简z=|x﹣3|+2y=，从而分别求最小值，从而解得．【解答】解：由题意作出其平面区域如右图，易知A（0，2），B（5，3），C（3，5），D（3，）；z=|x﹣3|+2y=，当x≥3时，z=x+2y﹣3在点D处取得最小值为，当x＜3时，z=﹣x+2y+3＞，故z=|x﹣3|+2y的最小值为，故选B．10．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别l1，l2，右焦点F．若点F关于直线l1的对称点M在l2上则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设l1为y=x，l2为y=﹣x，设出对称点的坐标，根据中点坐标公式和斜率公式即可求出a与b的关系，再根据离心率公式即可求出．【解答】解：l1，l2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，不妨设l1为y=x，l2为y=﹣x，由右焦点关于l1的对称点l2在上，设右焦点F关于l1的对称点为M（m，﹣），右焦点F坐标为（c，0），MF中点坐标为（，﹣），可得﹣=•，解得m=﹣c，即有M（﹣c，），可得MF的斜率为=﹣，即有﹣•=﹣1，可得b2=3a2，即c2=a2+b2=4a2，则c=2a，可得e==2，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．若tanα=2，则sin2α=．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为，把已知条件代入运算求得结果．【解答】解：∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα===，故答案为．12．若f（x）=3﹣2x，则|f（x+1）+2|≤3的解集为[0，3] ．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】求出f（x+1），问题转化为：|2x﹣3|≤3，解出即可．【解答】解：若f（x）=3﹣2x，则|f（x+1）+2|=|3﹣2（x+1）+2|=|2x﹣3|≤3，解得：0≤x≤3，故不等式的解集为[0，3]，故答案为：[0，3]．13．已知的展开（1﹣2x）5式中所有项的系数和为m，则ln2．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据展开式中所有项的系数和求出m的值，再计算定积分的值即可．【解答】解：展开（1﹣2x）5式中所有项的系数和为m=（1﹣2）5=﹣1，∴x﹣1dx=lnx=ln2﹣ln1=ln2．故答案为：ln2．14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由等积法证明，然后利用棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：如图，连接B1C，则，又，∴，∵AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，∴．15．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则+的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】化简+=+=2++，从而利用基本不等式求解．【解答】解： +=+=2+2++=2++≥2+=，（当且仅当2=，即x=，y=时，等号成立），故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.16．已知函数满足下列条件：•①周期T=π；②‚图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③ƒf（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设，求cos（2α﹣2β）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）根据f（x）的周期求出ω的值，根据f（x）的图象平移以及g（x）的图象关于y轴对称，求出φ的值，再由f（0）=1求出A的值，即得f（x）的解析式；（Ⅱ）根据f（α﹣）与f（β+）的值求出cos2α、cos2β，再根据α、β的范围求出sin2α、sin2β，从而求出cos（2α﹣2β）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的周期为T==π，∴ω=2；又函数f（x）的图象向左平移个单位长度，变为g（x）=Asin[2（x+）+φ]，由题意，g（x）的图象关于y轴对称，∴2×+φ=+kπ，k∈Z；又|φ|＜，∴φ=，∴函数f（x）=Asin（2x+）；又f（0）=1，∴Asin=1，解得A=2，∴函数f（x）=2sin（2x+）；（Ⅱ）由f（α﹣）=﹣，f（β+）=，得2sin（2α﹣+）=﹣，2sin（2β++）=，∴cos2α=，cos2β=；又α、β∈（0，），∴2α、2β∈（0，），∴sin2α=，sin2β=，∴cos（2α﹣2β）=cos2αcos2β+sin2αsin2β=×+×=．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M，N分别为PB，CD的中点，二面角P﹣CD﹣A的大小为60°，∠ABC=60°，AB=2，PC=PD=（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）连结AN，根据三线合一可得AN⊥CD，PN⊥CD，于是得出CD⊥平面PAN，故而PA⊥CD，计算AN，PN，利用余弦定理求出PA，得出PA⊥AN，从而得出PA⊥平面ABCD；（II）以A为原点建立空间坐标系，求出平面PCD的法向量，则|cos＜，＞|即为所求．【解答】证明：（I）连结AN，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ACD是等边三角形，∵N是CD的中点，PC=PD，∴AN⊥CD，PN⊥CD，∴∠PNA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，且CD⊥平面PAN．∴PA⊥CD，∠PNA=60°．∵AB=AD=2，PC=PD=．∴AN=，PN==2．在△PAN中，由余弦定理得PA2=AN2+PN2﹣2AN•PNcos60°=3+12﹣2=9．∴PA2+AN2=PN2，∴PA⊥AN，又CD⊂平面ABCD，AN⊂平面ABCD，AN∩CD=N，∴PA⊥平面ABCD．（II）以A为原点，以AB，AN，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（2，0，0），N（0，，0），P（0，0，3），C（1，，0），D（﹣1，，0）．∴M（1，0，）．∴=（﹣1，，﹣），=（1，，﹣3），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1得=（0，，1）．∴=，∴cos＜＞===．∴直线MN与平面PCD所成角的正弦值为．18．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n =a n 2+3a n +2，且a 2是a 1和a 6的等比中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）符合[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[log 23]=1，[log 25]=2．记，求数列的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（I ）由6S n =a n 2+3a n +2，当n ≥2时，+2，可得：6a n =﹣+3a n ﹣3a n ﹣1，化为（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）=0，根据数列{a n }是正项数列，及其等差数列的通项公式、a 2是a 1和a 6的等比中项即可得出． （II ）=[log 2（n +1）]，可得==n ，=n •2n ．利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出． 【解答】解：（I ）由6S n =a n 2+3a n +2，当n ≥2时， +2，可得：6a n =﹣+3a n ﹣3a n ﹣1，化为（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）=0，∵数列{a n }是正项数列，∴a n +a n ﹣1＞0，可得a n ﹣a n ﹣1=3， ∴数列{a n }是等差数列，公差为3． 由6a 1=+3a 1+2，解得a 1=1或2．当a 1=2时，a n =2+3（n ﹣1）=3n ﹣1，可得a 2=5，a 6=17，不满足a 2是a 1和a 6的等比中项，舍去．当a 1=1时，a n =1+3（n ﹣1）=3n ﹣2，可得a 2=4，a 6=16，满足a 2是a 1和a 6的等比中项． ∴a n =3n ﹣2． （II ）=[log 2（n +1）]，∴==n ，∴=n •2n ．∴数列的前n 项和T n =2+2×22+3×23+…+n •2n ，2T n =22+2×23+…+（n ﹣1）•2n +n •2n+1，∴﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=2×﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．19．a，b，c，d四名运动员争夺某次赛事的第1，2，3，4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组两人．第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者和负者；第二轮比赛决赛：两组中的胜者进行一场比赛争夺1，2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3，4名．四名选手以往交手的胜负情况累计如下表：a b c da a13胜26负a20胜10负a21胜21负b b26胜13负b14胜28负b19胜19负c c10胜20负c28胜14负c18胜18负d d21胜21负d19胜19负d18胜18负若抽签结果为甲组：a，c；乙组：b，d．每场比赛中，双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率．（Ⅰ）求c获得第1名的概率；（Ⅱ）求c的名次X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）求出a分别与b，c，d比赛时获胜的概率，b分别与a，c，d比赛时获胜的概率，c分别与a，b，d比赛时获胜的概率，由此能求出C获得第一名的概率．（Ⅱ）C名次X的可能取值有1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设a分别与b，c，d比赛时获胜的事件分别为A b，A c，A d，则P（A b）=，P（A c）=，P（A d）=，b分别与a，c，d比赛时获胜的事件分别为B a，B c，B d，则P（B a）=，P（B c）=，P（B d）=，c分别与a，b，d比赛时获胜的事件分别为C a，C b，C d，则P（C a）=，P（C b）=，P（C d）=，d分别与a，b，c比赛时获胜的事件分别为Da，D b，D c，则P（D a）=，P（D b）=，P（D c）=，∴C获得第一名的概率：P=P（C a）P（B d）P（C b）+P（C a）P（D b）P（C d）==．（Ⅱ）C名次X的可能取值有1，2，3，4，P（X=1）=P（C a）P（B d）P（C b）+P（C a）P（D b）P（C d）==．若C为第二名，则甲组中C胜，且C与乙组的胜者比赛时负，∴P（X=2）=P（C a）P（B d）P（B c）+P（C a）P（D b）P（D c）==，若C为第3名，则甲组中C负，且C与乙组的负者比赛时胜，∴P（X=3）=P（A c）P（D b）P（C b）+P（A c）P（B d）P（C d）═+=，P（X=4）=1﹣P（X=1）﹣P（X=2）﹣P（X=3）=1﹣=．∴X的分布列为：X 1 2 3 4PEX==．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax，g（x）=lnx．（Ⅰ）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且，证明：h（x1）﹣h （x2）＞﹣ln2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）分离参数a可得：a≤（x﹣），（x＞0），设ω（x）=（x﹣），根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，得到x2=∈（1，+∞），且2ax1=2+1，2ax2=2+1，设μ（x）=x2﹣﹣ln2x2（x＞1），求出函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：f（x）≥g（x）⇔x2﹣2ax≥lnx，（x＞0），分离参数a可得：a≤（x﹣），（x＞0），设ω（x）=（x﹣），则ω′（x）=，由于y=x2，y=lnx在（0，+∞）递增，∴y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）递增，显然x=1时，该函数值是0，x∈（0，1）时，ω′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，ω′（x）＞0，∴ω（x）min=ω（1）=，∴a≤ω（x）min=，即a∈（﹣∞，]．（Ⅱ）证明：由题意得：h（x）=x2﹣2ax+lnx，则h′（x）=2x﹣2a+=（x＞0），∴方程2x2﹣2ax+1=0（x＞0）有2个不相等的实数根x1，x2且x1∈（0，），又∵x1 x2=，∴x2=∈（1，+∞），且2ax1=2+1，2ax2=2+1，而h（x1）﹣h（x2）=[﹣（2+1）+lnx1]﹣[﹣（2+1）+lnx2]=﹣﹣ln2，（x2＞1），设μ（x）=x2﹣﹣ln2x2（x＞1），令t=x2，则t＞1，μ（t）=t﹣﹣ln2t，∴μ′（t）=1+﹣=≥0，∴μ（t）＞μ（1）=1﹣﹣ln2=﹣ln2，即h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．21．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示．•①若PQ=，求圆C2的方程；②‚设C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=λS2，求λ的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（Ⅱ）①设M（2，t），则C2的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=1+，由此利用圆的性质结合已知条件能求出圆C2的方程．②由①知PQ方程为2x+ty﹣2=0，（t≠0），代入椭圆方程得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，t ≠0，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想，能求出λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，∴，解得a=，b=c=1，∴椭圆C1的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）知F（1，0），设M（2，t），则C2的圆心坐标为（1，），C2的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=1+，直线PQ方程为y=（x﹣1），（t≠0），即2x+ty﹣2=0，（t≠0）又圆C2的半径r==，由（）2+d2=r2，得（）2+=，解得t2=4，∴t=±2，∴圆C2的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2．②由①知PQ方程为2x+ty﹣2=0，（t≠0），由，得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，t≠0，则△=（﹣16）2﹣4（8+t2）（8﹣2t2）=8（t4+4t2）＞0，，，|AB|===2×，∴==，S1=πr2=，∵S1=λS2，∴==，当t=0时，PQ的方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，|OM|×|AB|=，=π，∴．∵S1=λS2，∴====＞=．当直线PQ的斜率不存在时，PQ方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，∴S2=|OM|×|AB|=，S1==π，．综上，．2020年9月12日。
2020年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)
高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，则z的虚部是（）A. -1B.C. -2iD. -22.已知集合M==（）A. （-1，1）∪（1，2）B. （-1，2）C. （-1，1）∪（1，2]D. （-1，2]3.已知向量=（2，1），=（1，k），⊥（2-），则k=（）A. -8B. -6C. 6D. 84.把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度得到函数g（x），则下列说法正确的是（）A. g（x）在上单调递增B. g（x）的图象关于对称C. g（x）的最小正周期为4πD. g（x）的图象关于y轴对称5.已知x，y满足约束条件，若的最大值为4，则实数m的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 86.赵爽是三国时代的数学家、天文学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）．如图，设AB：BC=1：3，若向弦图内随机抛掷5000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A. 134B. 67C. 200D. 2507.给出下列四个命题：①命题p：；②的值为0；③若f（x）=x2-ax+1为偶函数，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x．④已知随机变量ξ～N（1，1），若P（-1＜ξ＜3）=0.9544，则P（ξ＜3）=0.9772．其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 1B.C.D. 09.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=3，c=2，b sin A==（）A. 1B.C.D.10.某几何体的三视图如图所示（俯视图中的虚线为半圆），则该几何体的体积为（）A. 8-2πB.C.D.11.函数f（x）=上不单调的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.12.F1，F2是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，F1关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. 2 D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα+cosα==______．14.（2x+y）（x-2y）5展开式中x3y3的系数为______．15.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是_______________．16.在△ABC中，A=，AB=10，AC=6，O为△ABC所在平面上一点，且满足，则m+3n的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=3，对任意n∈N*，都有2S n-a n=na n．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=1，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．19.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点，△OFP的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为3π．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l交C于A，B两点，M是AB的中点，若|AB|=12，求点M到y轴的距离的最小值，并求此时l的方程．20.随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收4元．该公司将最近承揽（接收并发送）的100件包裹的质量及件数统计如下（表1）：1公司对近天每天承揽包裹的件数（在表中的“件数范围”内取的一个近似数据）、件数范围及天数，列表如表（表2）：表2：（）将频率视为概率，计算该公司未来天内恰有天揽件数在～之间的概率；（2）①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人？21.已知函数f（x）=（ax2-2x+a）e-x（a∈）．（1）当a≥0时，求f（x）的单调区间；（2）若存在a∈（-∞，0]，使得f（x）≥b ln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ＞0，0≤θ＜2π），点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|=6，点B的轨迹为C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设点C的极坐标为（2，0），求△ABC面积的最小值．23.已知函数f（x）=|x-5|+|x-1|．（1）求f（x）的最小值m；（2）若正实数a，b满足≥m．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，则z的虚部是-2．故选：D．2.【答案】C【解析】解：∵，∴（x-2）（x+1）≤0，且x+1≠0，∴-1＜x≤2，∴M={x|-1＜x≤2}，∵∁R N={x|x≠1且x≠3且x≠5}，∴M∩（∁R N）={x|-1＜x≤2且x≠1}．故选：C．解分式不等式化简集合M，再由交集的运算求出M∩（∁R N）．本题考查交、并、补集的混合运算，以及分式不等式的运算，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：；∵；∴；∴k=8．故选：D．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法、数乘和数量积的运算．4.【答案】A【解析】解：函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y=sin（2x+），再将图象向右平移个单位长度得到函数g（x），即g（x）=sin[2（x-）+]=sin（2x-+）=sin（2x-），A．当x∈时，2x-∈（-，），此时g（x）为增函数，故A正确，B．g（-）=sin（-×2-）=sin（-）=-1≠0，即g（x）的图象关于不对称，故B 错误，C．g（x）的最小正周期为=π，故C错误，D．g（x）不是偶函数，关于y轴不对称，故D错误，故选：A．根据三角函数的图象变换，求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性，对称性以及周期性分别进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的图象变换规律求出g（x）的解析式以及利用三角函数的性质是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示，根据z=3x-2y的最大值为4，得出直线x+y-m=0，过直线3x-2y=4和直线x-2=0的交点A（2，1），计算m=2+1=3．故选：B．画出不等式组表示的平面区域，根据z=3x-2y的最大值为4，得出直线x+y-m=0，过直线3x-2y=4和直线x-2=0的交点A，从而求得m的值．本题考查了线性规划的应用问题，解题时用“角点法”，即由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证求出最优解．6.【答案】C【解析】解：设小正方形的边长为a，则四个全等的直角三角形的两直角边长分别为：3a，4a，则大正方形的边长为5a，则S小正方形=a2，S大正方形=25a2，设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为n，由几何概型中的面积型可得：=，解得n=200，故选：C．本题考查了几何概型中的面积型的知识点，属简单题．由几何概型中的面积型可得：=，又设小正方形的边长为a，易得大正方形的边长为5a，由正方形面积公式运算可得解．7.【答案】B【解析】解：①命题p的￢p：∃x＞2，x2-1≤0；故①错误，②=（2x-cos x）|=2π-cosπ-（-2π-cos（-π））=2π+1-（-2π+1）=4π；故②错误；③若f（x）=x2-ax+1为偶函数，则f（-x）=f（x），即x2+ax+1=x2-ax+1，即ax=-ax，则a=-a，即a=0，则f（x）=x2+1，则f（1）=2，f′（x）=2x，则f′（1）=2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-2=2（x-1），即y=2x，故③正确．④已知随机变量ξ～N（1，1），若P（-1＜ξ＜3）=0.9544，则P（ξ≥3）=P（ξ≤-1）=（1-P（-1＜ξ＜3））=（1-0.9544）=0.0228，则P（ξ＜3）=1-P（ξ≥3）=1-0.228=0.9772，故④正确，故正确的命题是③④，共两个，故选：B．①根据全称命题的否定是特称命题进行判断②根据积分的定义和公式进行计算③根据偶函数的定义先求出a=0，然后结合导数的几何意义进行求解判断④根据概率的对称性结合概率公式进行求解判断即可本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．8.【答案】A【解析】解：第一次循环，k=1，S=cos0=1，k=1+1=2，k＞6不成立，第二次循环，k=2，S=1+cos=1+，k=2+1=3，k＞6不成立；第三次循环，k=3，S=1++cos=1++=+，k=3+1=4，k＞6不成立；第四次循环，k=4，S=++cos=+，k=4+1=5，k＞6不成立第五次循环，k=5，S=++cos=+-=1+，k=5+1=6，k＞6不成立；第六次循环，k=6，S=1++cosπ=1+-=1，k=6+1=7，k＞6成立．输出S=1，故选：A．根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查正余弦定理，角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题．由正弦定理得b sin A=a sin B，与b sin A=a cos（B+ ），由此能求出B．由余弦定理即可解得b的值．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得：，得b sin A=a sin B，又b sin A=a cos（B+）．∴a sin B=a cos（B+），即sin B=cos（B+）=cos B cos-sin B sin=cos B-sin B，∴tan B=，又B∈（0，π），∴B=．∵在△ABC中，a=3，c=2，由余弦定理得b===．故选：C．10.【答案】C【解析】解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，中间挖去一个半圆锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为：V=V四棱锥-V半圆锥=×2×2×2-×π•12•2=．故选：C．根据三视图知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，中间挖去一个半圆锥，结合图中数据计算该几何体的体积即可．本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由题意，f′（x）=ax-2a+=，∵函数f（x）在（1，3）上不单调，∴分子应满足在（1，3）有实根，设g（x）=ax2-2ax+1，a=0时，显然不成立，a≠0时，只需，解得：a≥1或a＜-，故a∈（-∞，-）∪[1，+∞），其子集是A，故选：A．先求导函数，再根据函数f（x）在（1，3）上不单调，得g（1）g（3）＜0且△≥0，从而可求a的取值范围．本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性，关键是等价转化．12.【答案】B【解析】解：设F1（-c，0），F2（c，0），F1'（m，n），直线l：y=x，F1关于直线l的对称点为，可得，解得m=，n=-，可得F1'（，-），由题意可得|F2F1'|==b，结合a2+b2=c2，化为b2=4a2，可得e====．另解：设F1关于直线bx-ay=0对称点为F1'，设M为渐近线与F1F1'的交点，连接F1'F2，可得由OM为△F1F2F1'的中位线，可得|OM|=|F2F1'|=b，由F1到直线bx-ay=0的距离为d==b，即有b2+b2=c2，可得5（c2-a2）=4c2，即c2=5a2，可得e==．故选：B．设F1（-c，0），F2（c，0），F1'（m，n），直线l：y=x，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得对称点的坐标，以及两点的距离公式，化简整理，结合离心率公式可得所求值．方法二、运用中位线定理和勾股定理，以及离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，同时考查点关于直线的对称点问题，考查方程思想和圆能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由sinα+cosα=，得，∴．∵（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=．∴，∴=．故答案为：．由同角三角函数基本关系求出sinαcosα，再由两角差的正弦函数公式化简求值即可．本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了两角差的正弦函数公式的应用，是基础题．14.【答案】-120【解析】解：根据题意，（x-2y）5=x5-10x4y+40x3y2-80x2y3+80xy4-32y5，则（2x+y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为2×（-80）+1×40=-160+40=-120，故答案为：-120．根据题意，结合二项式定理把（x+2y）5按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），，两式相减得：=-∴=-×，∴==4，∴a2=2b2=4，∴a=2．故答案为：2．利用点差法得a2=2b2，进一步求得a．本题考查了椭圆标准方程的应用，考查了点差法，属中档题．16.【答案】【解析】解：由得：||=||=||，则点O是△ABC的外心，则，由=10×=30所以，所以，所以m+3n=，故答案为：由外心是中垂线的交点及投影的概念得：则，由平面向量的数量积公式得：=10×=30，所以，所以，所以m+3n=，得解．本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)已知a1=3，对任意n∈N*，都有2S n-a n=na n①，当n≥2时，2S n-1-a n-1=（n-1）a n-1②，①-②得：，所以：，…，，故：，解得：a n=3n（首项符合通项），故：a n=3n．(Ⅱ)由于a n=3n，则：==，故：==.【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴CB⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴CB⊥AE，∵BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE．解：（2）线段AD上存在一点M，当AM=时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为．理由如下：∵AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE，在Rt△AEB中，AB=2，AE=1，∴∠ABE=30°，∠BAE=60°，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，设AM=h，则0≤h≤2，∵AE=1，∠BAE=60°，∴M（0，0，h），E（，，0），B（0，2，0），C（0，2，2），∴=（，，-h），=（，-，-2），设平面MCE的一个法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（（2+3h），h-2，2），平面ABE的一个法向量=（0，0，1），由题意得：|cos＜＞|===，解得h=或h=-（舍），∴线段AD上存在一点M，当AM=时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为．【解析】（1）推导出BF⊥AE，BC⊥AB，从而CB⊥平面ABE，进而CB⊥AE，由此能证明AE⊥平面BCE．（2）推导出AE⊥BE，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法推导出线段AD上存在一点M，当AM=时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）∵△OFP的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFP的外接圆圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆周长为3π，所以，圆的半径为，又∵圆心在OF的垂直平分线上，，∴，解得p=2，因此，抛物线的方程为y2=4x；（2）法一：①当l的斜率不存在时，∵|AB|=12，∴4x=62，得x=9，∴点M到y轴的距离为9，此时，直线l的方程为x=9；②当l的斜率存在且k≠0时，设l的方程为y=kx+b，设A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x0，y0），由，得k2x2+2（kb-2）x+b2=0，∴△=-16kb+16＞0，由韦达定理得，．∴═=，即．又==，当且仅当，即时，等号成立，将代入，得或．这两种情况均满足△=16-16kb＞0，合乎题意！则直线l的方程为或．综上所述，点M到y轴距离的最小值为5，此时，直线l的方程为或；法二：由题意可知直线l的斜率不为零，设l：x=my+n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则点，点M到y轴的距离为．由，整理得y2-4my-4n=0．△=16m2+16n＞0，由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=-4n．=，可得，∵，∴==，当且仅当，即m2=2，即当时，等号成立，此时，△=16m2+16n＞0成立，合乎题意！因此，点M到y轴的距离的最小值为5，此时，直线l的方程为．【解析】（1）先求出△OFP的外接圆的半径长，再利用抛物线的定义可求出p的值，从而得出抛物线C的方程；（2）法一：设直线l的方程为y=kx+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），设点M（x0，y0），将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，并计算出|AB|的表达式，根据条件|AB|=12得出k与b所满足的关系式，并求出点M的坐标，结合关系式并利用基本不等式可求出点M到y轴距离的最小值，利用等号成立的条件得出k与b的值，从而求出直线l的方程；法二：设直线l的方程为x=my+n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算|AB|，并利用条件|AB|=12，得出m与n所满足的关系式，然后求出点M的坐标，可得出点M到y轴距离的表达式，将关系式代入并结合基本不等式可得出点M到y轴距离的最小值，并由等号成立的条件得出m与n的值，从而得出直线l的方程．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及方程的求解，同时也考查了韦达定理法在抛物线综合问题中的应用，属于难题．20.【答案】解：（1）由题意得近50天每天承揽包裹的件数在100～299之间的天数为35，∴每天揽件数在100～299之间的概率为=，未来3天中，包裹件数在100～299之间的天数X服从二项分布X～B（3，），∴未来3天内恰有1天揽件数在100～299之间的概率：P==．（2）①估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值为：=[43×8+30×（8+4）+15×（8+4×2）+8×（8+4×3）+4×（8+4×4）]=12（元）．②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12元，若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为240×12×-5×80=560（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为200件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为185×12×-4×80=420（元）因420＜560，故公司不应将前台工作人员裁员1人．【解析】（1）样本中包裹件数在100～299之间的天数为35，未来3天中，包裹件数在100～299之间的天数X服从二项分布，即X～B（3，），由此能求出结果．（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表格，故样本中每件快递收取的费用的平均值．②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12元，若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如表格．若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如表格．可得公司平均每日利润的期望值．本题考查了频率分布直方图的性质及其应用、二项分布列的计算公式，数学期望求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是，f'（x）=-e-x（x-1）（ax-a-2），（i）a=0时，f'（x）=2e-x（x-1），令f'（x）＞0，解得：x＞1，令f'（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增；（ii）a＞0时，1+＞1，令f'（x）＞0，解得：1＜x＜1+，令f'（x）＜0，解得：x＜1或x＞1+，故f（x）在（-∞，1）递减，在（1，1+）递增，在（1+，+∞）递减；（2）f（x）≥b ln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，当x=0时，f（0）≥b ln（0+1），故a≥0成立，又a∈（-∞，0]，故a=0；（i）当b≥0时，∀x∈（0，+∞），b ln（x+1）≥0，xe-x＞0，此时，b ln（x+1）=2xe-x＞0，不合题意，（ii）当b＜0时，令h（x）=b ln（x+1）+2xe-x，x∈[0，+∞），则h'（x）=，其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）=be x+2-2x2，x∈[0，+∞），∵b＜0，∴p（x）在[0，+∞）递减，①当b≤-2时，p（x）≤p（0）=b+2≤0，故对任意x∈[0，+∞），h'（x）≤0，则h（x）在[0，+∞）递减，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≤h（0）=0，即不等式b ln（x+1）+2xe-x≤0在[0，+∞）上恒成立，满足题意；②当-2＜b＜0时，由p（0）=b+2＞0，p（1）=be＜0及p（x）在[0，+∞）递减，故存在唯一x0∈（0，1），使得p（x0）=0且x∈（0，x0）时，p（x0）＞0，从而x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，故h（x）在区间（0，x0）递增，则x∈（0，x0）时，h（x）＞h（0）=0，即b ln（x+1））+2xe-x＞0，不符合题意，综上，b≤-2．【解析】本题考查了函数的单调性，存在性和恒成立问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）利用函数的存在性和恒成立，通过讨论b的范围结合函数的单调性确定b的范围即可．22.【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1．转换为极坐标方程为：ρ=2sinθ．设点B的极坐标方程为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），则：|OB|=ρ，|OA|=ρ0，由于：满足|OA|•|OB|=6，则：，整理得：ρsinθ=3．（2）点C的极坐标为（2，0），则：|OC|=3，所以：．当sinθ=1时，S△ABC的最小值为1．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】（1）解f（x）=|x-5|+|x-1|≥|（x-5）-（x-1）|=4；∴f（x）的最小值m为4；（2）证明：∵a＞0，b＞0，+=，∴（+）[12+（）2]≥（×1+×）2=6≥4．【解析】（1）根据绝对值不等式|a+b|≥|a-b|便可得出|x-5|+|x-1|≥4，从而得出f（x）的最小值为4，即得到t=4；（2）利用柯西不等式即可证明．考查绝对值不等式公式：|a|+|b|≥|a-b|，以及柯西不等式的应用，属于中档题．。
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高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，则z的虚部是（ ）A. -1B.C. -2iD. -22.已知集合M==（ ）A. （-1，1）∪（1，2）B. （-1，2）C. （-1，1）∪（1，2]D. （-1，2]3.已知向量=（2，1），=（1，k），⊥（2-），则k=（ ）A. -8B. -6C. 6D. 84.把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度得到函数g（x），则下列说法正确的是（ ）A. g（x）在上单调递增B. g（x）的图象关于对称C. g（x）的最小正周期为4πD. g（x）的图象关于y轴对称5.已知x，y满足约束条件，若的最大值为4，则实数m的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 86.赵爽是三国时代的数学家、天文学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）．如图，设AB：BC=1：3，若向弦图内随机抛掷5000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A. 134B. 67C. 200D. 2507.给出下列四个命题：①命题p：；②的值为0；③若f（x）=x2-ax+1为偶函数，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x．④已知随机变量ξ～N（1，1），若P（-1＜ξ＜3）=0.9544，则P（ξ＜3）=0.9772．其中真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A. 1B.C.D. 09.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=3，c=2，b sin A==（ ）A.1 B. C. D.10.某几何体的三视图如图所示（俯视图中的虚线为半圆），则该几何体的体积为（ ）A. 8-2πB.C.D.11.函数f（x）=上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D.12.F1，F2是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，F1关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（ ）A. B. C.2 D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα+cosα==______．14.（2x+y）（x-2y）5展开式中x3y3的系数为______．15.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是_______________．16.在△ABC中，A=，AB=10，AC=6，O为△ABC所在平面上一点，且满足，则m+3n的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=3，对任意n∈N*，都有2S n-a n=na n．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=1，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．19.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点，△OFP的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为3π．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l交C于A，B两点，M是AB的中点，若|AB|=12，求点M到y轴的距离的最小值，并求此时l的方程．20.随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收4元．该公司将最近承揽（接收并发送）的100件包裹的质量及件数统计如下（表1）：表1：包裹重量（单位：kg）（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]包裹件数43301584公司对近50天每天承揽包裹的件数（在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据）、件数范围及天数，列表如表（表2）：表2：件数范围0～99100～199200～299300～399400～500天数5102555每天承揽包裹50150250350450的件数（1）将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在100～299之间的概率；（2）①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人？21.已知函数f（x）=（ax2-2x+a）e-x（a∈）．（1）当a≥0时，求f（x）的单调区间；（2）若存在a∈（-∞，0]，使得f（x）≥b ln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ＞0，0≤θ＜2π），点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|=6，点B的轨迹为C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设点C的极坐标为（2，0），求△ABC面积的最小值．23.已知函数f（x）=|x-5|+|x-1|．（1）求f（x）的最小值m；（2）若正实数a，b满足≥m．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，则z的虚部是-2．故选：D．2.【答案】C【解析】解：∵，∴（x-2）（x+1）≤0，且x+1≠0，∴-1＜x≤2，∴M={x|-1＜x≤2}，∵∁R N={x|x≠1且x≠3且x≠5}，∴M∩（∁R N）={x|-1＜x≤2且x≠1}．故选：C．解分式不等式化简集合M，再由交集的运算求出M∩（∁R N）．本题考查交、并、补集的混合运算，以及分式不等式的运算，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：；∵；∴；∴k=8．故选：D．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法、数乘和数量积的运算．4.【答案】A【解析】解：函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y=sin（2x+），再将图象向右平移个单位长度得到函数g（x），即g（x）=sin[2（x-）+]=sin（2x-+）=sin（2x-），A．当x∈时，2x-∈（-，），此时g（x）为增函数，故A正确，B．g（-）=sin（-×2-）=sin（-）=-1≠0，即g（x）的图象关于不对称，故B 错误，C．g（x）的最小正周期为=π，故C错误，D．g（x）不是偶函数，关于y轴不对称，故D错误，故选：A．根据三角函数的图象变换，求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性，对称性以及周期性分别进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的图象变换规律求出g（x）的解析式以及利用三角函数的性质是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示，根据z=3x-2y的最大值为4，得出直线x+y-m=0，过直线3x-2y=4和直线x-2=0的交点A（2，1），计算m=2+1=3．故选：B．画出不等式组表示的平面区域，根据z=3x-2y的最大值为4，得出直线x+y-m=0，过直线3x-2y=4和直线x-2=0的交点A，从而求得m的值．本题考查了线性规划的应用问题，解题时用“角点法”，即由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证求出最优解．6.【答案】C【解析】解：设小正方形的边长为a，则四个全等的直角三角形的两直角边长分别为：3a，4a，则大正方形的边长为5a，则S小正方形=a2，S大正方形=25a2，设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为n，由几何概型中的面积型可得：=，解得n=200，故选：C．本题考查了几何概型中的面积型的知识点，属简单题．由几何概型中的面积型可得：=，又设小正方形的边长为a，易得大正方形的边长为5a，由正方形面积公式运算可得解．7.【答案】B【解析】解：①命题p的￢p：∃x＞2，x2-1≤0；故①错误，②=（2x-cos x）|=2π-cosπ-（-2π-cos（-π））=2π+1-（-2π+1）=4π；故②错误；③若f（x）=x2-ax+1为偶函数，则f（-x）=f（x），即x2+ax+1=x2-ax+1，即ax=-ax，则a=-a，即a=0，则f（x）=x2+1，则f（1）=2，f′（x）=2x，则f′（1）=2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-2=2（x-1），即y=2x，故③正确．④已知随机变量ξ～N（1，1），若P（-1＜ξ＜3）=0.9544，则P（ξ≥3）=P（ξ≤-1）=（1-P（-1＜ξ＜3））=（1-0.9544）=0.0228，则P（ξ＜3）=1-P（ξ≥3）=1-0.228=0.9772，故④正确，故正确的命题是③④，共两个，故选：B．①根据全称命题的否定是特称命题进行判断②根据积分的定义和公式进行计算③根据偶函数的定义先求出a=0，然后结合导数的几何意义进行求解判断④根据概率的对称性结合概率公式进行求解判断即可本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．8.【答案】A【解析】解：第一次循环，k=1，S=cos0=1，k=1+1=2，k＞6不成立，第二次循环，k=2，S=1+cos=1+，k=2+1=3，k＞6不成立；第三次循环，k=3，S=1++cos=1++=+，k=3+1=4，k＞6不成立；第四次循环，k=4，S=++cos=+，k=4+1=5，k＞6不成立第五次循环，k=5，S=++cos=+-=1+，k=5+1=6，k＞6不成立；第六次循环，k=6，S=1++cosπ=1+-=1，k=6+1=7，k＞6成立．输出S=1，故选：A．根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查正余弦定理，角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题．由正弦定理得b sin A=a sin B，与b sin A=a cos（B+ ），由此能求出B．由余弦定理即可解得b的值．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得：，得b sin A=a sin B，又b sin A=a cos（B+）．∴a sin B=a cos（B+），即sin B=cos（B+）=cos B cos-sin B sin=cos B-sin B，∴tan B=，又B∈（0，π），∴B=．∵在△ABC中，a=3，c=2，由余弦定理得b===．故选：C．10.【答案】C【解析】解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，中间挖去一个半圆锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为：V=V四棱锥-V半圆锥=×2×2×2-×π•12•2=．故选：C．根据三视图知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，中间挖去一个半圆锥，结合图中数据计算该几何体的体积即可．本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由题意，f′（x）=ax-2a+=，∵函数f（x）在（1，3）上不单调，∴分子应满足在（1，3）有实根，设g（x）=ax2-2ax+1，a=0时，显然不成立，a≠0时，只需，解得：a≥1或a＜-，故a∈（-∞，-）∪[1，+∞），其子集是A，故选：A．先求导函数，再根据函数f（x）在（1，3）上不单调，得g（1）g（3）＜0且△≥0，从而可求a的取值范围．本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性，关键是等价转化．12.【答案】B【解析】解：设F1（-c，0），F2（c，0），F1'（m，n），直线l：y=x，F1关于直线l的对称点为，可得，解得m=，n=-，可得F1'（，-），由题意可得|F2F1'|==b，结合a2+b2=c2，化为b2=4a2，可得e====．另解：设F1关于直线bx-ay=0对称点为F1'，设M为渐近线与F1F1'的交点，连接F1'F2，可得由OM为△F1F2F1'的中位线，可得|OM|=|F2F1'|=b，由F1到直线bx-ay=0的距离为d==b，即有b2+b2=c2，可得5（c2-a2）=4c2，即c2=5a2，可得e==．故选：B．设F1（-c，0），F2（c，0），F1'（m，n），直线l：y=x，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得对称点的坐标，以及两点的距离公式，化简整理，结合离心率公式可得所求值．方法二、运用中位线定理和勾股定理，以及离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，同时考查点关于直线的对称点问题，考查方程思想和圆能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由sinα+cosα=，得，∴．∵（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=．∴，∴=．故答案为：．由同角三角函数基本关系求出sinαcosα，再由两角差的正弦函数公式化简求值即可．本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了两角差的正弦函数公式的应用，是基础题．14.【答案】-120【解析】解：根据题意，（x-2y）5=x5-10x4y+40x3y2-80x2y3+80xy4-32y5，则（2x+y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为2×（-80）+1×40=-160+40=-120，故答案为：-120．根据题意，结合二项式定理把（x+2y）5按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），，两式相减得：=-∴=-×，∴==4，∴a2=2b2=4，∴a=2．故答案为：2．利用点差法得a2=2b2，进一步求得a．本题考查了椭圆标准方程的应用，考查了点差法，属中档题．16.【答案】【解析】解：由得：||=||=||，则点O是△ABC的外心，则，由=10×=30所以，所以，所以m+3n=，故答案为：由外心是中垂线的交点及投影的概念得：则，由平面向量的数量积公式得：=10×=30，所以，所以，所以m+3n=，得解．本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)已知a1=3，对任意n∈N*，都有2S n-a n=na n①，当n≥2时，2S n-1-a n-1=（n-1）a n-1②，①-②得：，所以：，…，，故：，解得：a n=3n（首项符合通项），故：a n=3n．(Ⅱ)由于a n=3n，则：==，故：==.【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴CB⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴CB⊥AE，∵BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE．解：（2）线段AD上存在一点M，当AM=时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为．理由如下：∵AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE，在Rt△AEB中，AB=2，AE=1，∴∠ABE=30°，∠BAE=60°，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，设AM=h，则0≤h≤2，∵AE=1，∠BAE=60°，∴M（0，0，h），E（，，0），B（0，2，0），C（0，2，2），∴=（，，-h），=（，-，-2），设平面MCE的一个法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（（2+3h），h-2，2），平面ABE的一个法向量=（0，0，1），由题意得：|cos＜＞|===，解得h=或h=-（舍），∴线段AD上存在一点M，当AM=时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为．【解析】（1）推导出BF⊥AE，BC⊥AB，从而CB⊥平面ABE，进而CB⊥AE，由此能证明AE⊥平面BCE．（2）推导出AE⊥BE，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法推导出线段AD上存在一点M，当AM=时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）∵△OFP的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFP的外接圆圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆周长为3π，所以，圆的半径为，又∵圆心在OF的垂直平分线上，，∴，解得p=2，因此，抛物线的方程为y2=4x；（2）法一：①当l的斜率不存在时，∵|AB|=12，∴4x=62，得x=9，∴点M到y轴的距离为9，此时，直线l的方程为x=9；②当l的斜率存在且k≠0时，设l的方程为y=kx+b，设A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x0，y0），由，得k2x2+2（kb-2）x+b2=0，∴△=-16kb+16＞0，由韦达定理得，．∴═=，即．又==，当且仅当，即时，等号成立，将代入，得或．这两种情况均满足△=16-16kb＞0，合乎题意！则直线l的方程为或．综上所述，点M到y轴距离的最小值为5，此时，直线l的方程为或；法二：由题意可知直线l的斜率不为零，设l：x=my+n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则点，点M到y轴的距离为．由，整理得y2-4my-4n=0．△=16m2+16n＞0，由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=-4n．=，可得，∵，∴==，当且仅当，即m2=2，即当时，等号成立，此时，△=16m2+16n＞0成立，合乎题意！因此，点M到y轴的距离的最小值为5，此时，直线l的方程为．【解析】（1）先求出△OFP的外接圆的半径长，再利用抛物线的定义可求出p的值，从而得出抛物线C的方程；（2）法一：设直线l的方程为y=kx+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），设点M（x0，y0），将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，并计算出|AB|的表达式，根据条件|AB|=12得出k与b所满足的关系式，并求出点M的坐标，结合关系式并利用基本不等式可求出点M到y轴距离的最小值，利用等号成立的条件得出k与b的值，从而求出直线l的方程；法二：设直线l的方程为x=my+n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算|AB|，并利用条件|AB|=12，得出m与n所满足的关系式，然后求出点M的坐标，可得出点M到y轴距离的表达式，将关系式代入并结合基本不等式可得出点M到y轴距离的最小值，并由等号成立的条件得出m与n的值，从而得出直线l的方程．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及方程的求解，同时也考查了韦达定理法在抛物线综合问题中的应用，属于难题．20.【答案】解：（1）由题意得近50天每天承揽包裹的件数在100～299之间的天数为35，∴每天揽件数在100～299之间的概率为=，未来3天中，包裹件数在100～299之间的天数X服从二项分布X～B（3，），∴未来3天内恰有1天揽件数在100～299之间的概率：P==．（2）①估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值为：=[43×8+30×（8+4）+15×（8+4×2）+8×（8+4×3）+4×（8+4×4）]=12（元）．②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12元，若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围 0～99100～199 200～299 300～399 400～500包裹件数（近似50 150 250 350 450处理）实际揽件数 50 150 250 350 450频率 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1EY 50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450×0.1=240故公司平均每日利润的期望值为240×12×-5×80=560（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为200件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围 0～99100～199 200～299 300～399 400～500包裹件数（近似50 150 250 350 450处理）实际揽件数 50 150 250 350400频率 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1EY 50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400×0.1=185故公司平均每日利润的期望值为185×12×-4×80=420（元）因420＜560，故公司不应将前台工作人员裁员1人．【解析】（1）样本中包裹件数在100～299之间的天数为35，未来3天中，包裹件数在100～299之间的天数X服从二项分布，即X～B（3，），由此能求出结果．（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表格，故样本中每件快递收取的费用的平均值．②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12元，若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如表格．若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如表格．可得公司平均每日利润的期望值．本题考查了频率分布直方图的性质及其应用、二项分布列的计算公式，数学期望求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是，f'（x）=-e-x（x-1）（ax-a-2），（i）a=0时，f'（x）=2e-x（x-1），令f'（x）＞0，解得：x＞1，令f'（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增；（ii）a＞0时，1+＞1，令f'（x）＞0，解得：1＜x＜1+，令f'（x）＜0，解得：x＜1或x＞1+，故f（x）在（-∞，1）递减，在（1，1+）递增，在（1+，+∞）递减；（2）f（x）≥b ln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，当x=0时，f（0）≥b ln（0+1），故a≥0成立，又a∈（-∞，0]，故a=0；（i）当b≥0时，∀x∈（0，+∞），b ln（x+1）≥0，xe-x＞0，此时，b ln（x+1）=2xe-x＞0，不合题意，（ii）当b＜0时，令h（x）=b ln（x+1）+2xe-x，x∈[0，+∞），则h'（x）=，其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）=be x+2-2x2，x∈[0，+∞），∵b＜0，∴p（x）在[0，+∞）递减，①当b≤-2时，p（x）≤p（0）=b+2≤0，故对任意x∈[0，+∞），h'（x）≤0，则h（x）在[0，+∞）递减，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≤h（0）=0，即不等式b ln（x+1）+2xe-x≤0在[0，+∞）上恒成立，满足题意；②当-2＜b＜0时，由p（0）=b+2＞0，p（1）=be＜0及p（x）在[0，+∞）递减，故存在唯一x0∈（0，1），使得p（x0）=0且x∈（0，x0）时，p（x0）＞0，从而x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，故h（x）在区间（0，x0）递增，则x∈（0，x0）时，h（x）＞h（0）=0，即b ln（x+1））+2xe-x＞0，不符合题意，综上，b≤-2．【解析】本题考查了函数的单调性，存在性和恒成立问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）利用函数的存在性和恒成立，通过讨论b的范围结合函数的单调性确定b的范围即可．22.【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1．转换为极坐标方程为：ρ=2sinθ．设点B的极坐标方程为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），则：|OB|=ρ，|OA|=ρ0，由于：满足|OA|•|OB|=6，则：，整理得：ρsinθ=3．（2）点C的极坐标为（2，0），则：|OC|=3，所以：．当sinθ=1时，S△ABC的最小值为1．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】（1）解f（x）=|x-5|+|x-1|≥|（x-5）-（x-1）|=4；∴f（x）的最小值m为4；（2）证明：∵a＞0，b＞0，+=，∴（+）[12+（）2]≥（×1+×）2=6≥4．【解析】（1）根据绝对值不等式|a+b|≥|a-b|便可得出|x-5|+|x-1|≥4，从而得出f（x）的最小值为4，即得到t=4；（2）利用柯西不等式即可证明．考查绝对值不等式公式：|a|+|b|≥|a-b|，以及柯西不等式的应用，属于中档题．。