大学物理熵和熵增加原理
第3节：熵的定义及熵增加原理
第三节：熵
任意可逆循环的热温商
熵的引出 熵的定义 克劳修斯不等式 熵增加原理
1
第三节：熵
9
3.3 熵增加原理
当过程为绝热过程时，因系统与环境之间无热交 换，即δQ＝0 ，则克劳休斯不等式可以写作： ΔS绝热 ≥0 > 不可逆过程
= 可逆过程 Tamb = T
∴(1)绝热系统中只能发生熵大于0或者等于0的过程,
即：不可逆绝热过程的熵必定增大；
(2) 绝热可逆过程的熵不变——称为恒熵过程； (3)不可能发生熵减少的绝热过程.
Q1
T1
Q2
T2
0
对于一个任一不可逆循环，同时能用无限多个小不可逆 卡诺循环代替，所以所有小不可逆卡诺循环的热温商只和也 同样小于0。即： Qi Q i ＝ 0 式中T为环境温度 T T
不可逆
8
3.2 克劳修斯不等式
将一任意过程与一可逆途径组成一个循环, 则有
或它的环程积分等于零。
QR Q R T T 0
4
第三节：熵
5
第三节：熵
再将循环分成途径a(12)和b(21), 有
1 QR 0 1 2 T a T b 2 QR
p
a
2
1
b
或
2 QR 1 1 T a T b
Q Tamb
1
1
2
2
1 QR Q 0 2 Tamb T
增熵定律熵增定律
增熵定律熵增定律增熵定律，又称熵增定律，是一个在物理学、信息论和自然科学领域中广泛应用的原理。
下面就让我们一起深入探讨增熵定律，了解其背后的原理和指导意义。
熵是热力学中的一个数值，它描述了一个系统的无序程度或混乱程度。
当一个系统的熵增加时，系统的有序性降低，无序程度增加，混乱程度加剧。
根据增熵定律，对于一个封闭系统，熵的增加是不可逆的，即熵不会减小。
首先，让我们以一个生动的例子来说明增熵定律。
想象一下，你有一间整理得井然有序的卧室。
书籍整齐摆放在书架上，衣物被一字排开挂在衣架上，地上没有一丝尘土。
这是一个非常有序的状态，系统的熵非常低。
然而，当你开始使用这个房间时，熵开始增加。
你开始阅读一本书，将书放在桌子上，衣服逐渐脱下并丢在地上。
房间很快变得凌乱不堪，熵的增加使得无序性不断提高。
你可能会想要恢复房间的有序状态，但这需要付出额外的能量和努力。
这正是增熵定律的核心原理。
在物理学中，增熵定律可以解释为自然界中所有自发过程都会导致系统的熵增加。
这涉及到热力学第二定律，该定律指出在孤立系统中，能量总是自发地从高温区域流向低温区域，而从低温区域流向高温区域的过程是不可逆转的。
这一过程总是伴随着熵的增加。
除了在物理系统中，增熵定律也在信息论中起着重要的作用。
信息论是研究信息传输和存储的数学理论。
根据增熵定律，信息在传递和处理过程中会产生噪声，导致信息的无序性增加。
在信息传输中，我们常常需要进行纠错操作来降低噪声的影响，恢复信息的有序性。
增熵定律的指导意义在于提醒我们，在自然界和信息领域中，系统的有序性是需要付出额外能量和努力来维持的。
这可以应用到生活中的各个方面。
比如，在家庭生活中，保持房间的整洁需要定期的清理和整理工作，否则房间会逐渐变得混乱不堪。
在组织管理中，保持良好的秩序需要制定明确的规章制度和有效的管理手段。
另外，增熵定律还提醒我们，在信息处理中，我们需要通过纠错和校验来降低误差和噪声的影响，确保信息的可靠性和准确性。
大学物理课件-熵增原理
量解。：
法一
（T1V1）
等體升溫
（T2V1）
S1
（T2V1） 等溫膨脹 （T2V2） S2
S S1 S2
S1
dQ T
T2 T1
CVdT T
CV
ln
T2 T1
S2
1 T2
dQ 1 T2
V2 V1
RT2
dV V
R ln
V2 V1
S
CV
ln
T2 T1
R ln
V2 V1
法二：
（T1V1） （T1V2）
注意：
熱力學第二定律的數學表述
• 熵是一個態函數。熵的變化只取決於初、末兩個狀態， 與具體過程無關。
• 熵具有可加性。系統的熵等於系統內各部分的熵之和。
• 克勞修斯熵只能用於描述平衡狀態，而玻耳茲曼熵則可 以用以描述非平衡態。
例1. 試求 1mol 理想氣體由初態（ T1， V1）經某一過程到達
終態（ T2，V2）的熵變。假定氣體的定體摩爾熱容 CV 為一恒
2 dQ
1T
T2 mcpdT T T1
mcp
ln
T2 T1
1 4.18 103 ln 373 J.K 1 1.30 103 J.K 1 273
例3. 有一絕熱容器，用一隔板把容器分為V1、V2兩部分，V1 內有N個分子的理想氣體，V2為真空。若把隔板抽掉，求氣體 重新平衡後熵增加多少？
法一： 用克勞修斯熵分析： P1 ， V1
S S2 S1
可逆過程： Ω1 =Ω2
k
ln Ω2
k ln Ω1 S 0
k ln
Ω2 Ω1
0
S 0
熵增加原理: 孤立系統中發生的一切不可逆過程都 將導致系統熵的增加；而在孤立系統中發生的一切 可逆過程，系統的熵保持不變 。
13-7 熵 熵增加原理
c p = 4.18 × 103 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1
' '
由能量守恒得
0.30 × c p (363K − T ) = 0.70 × c p (T − 293K )
T = 314K
'
m1 = 0.3kg
T1 = 363K
各部分热水的熵变
m2 = 0.7 kg ' T = 314K T2 = 293K
dQ SB − S A = ∫ T A
在一个热力学过程中，系统从初态A变 在一个热力学过程中，系统从初态 变 化到末态B的时 系统的熵的增量 的时， 熵的增量等于 化到末态 的时，系统的熵的增量等于 初态A和末态 和末态B之间任意一个可逆过程 初态 和末态 之间任意一个可逆过程 的热温比的积分。 的热温比的积分。
不可逆过程的本质 系统从热力学概率小的状态向热力学 概率大的状态进行的过程 . 一切自发过程的普遍规律 概率小的状态 概率大的状态
以气体自由膨胀为例） 不可逆过程的统计性质 （以气体自由膨胀为例） 一个被隔板分为A、 相等两部分的容器 相等两部分的容器， 一个被隔板分为 、B相等两部分的容器，装有 4个涂以不同颜色分子。 个涂以不同颜色分子。 个涂以不同颜色分子 开始时，4个分子都在 部，抽出隔板后分子将 开始时， 个分子都在A部 个分子都在 部扩散并在整个容器内无规则运动。 向B部扩散并在整个容器内无规则运动。 部扩散并在整个容器内无规则运动 隔板被抽出后， 分子在容器中可能的分布情形 隔板被抽出后，4分子在容器中可能的分布情形 如下图所示： 如下图所示：
( p1 ,V1 , T )
dQ = dE + PdV = PdV
S 2 − S1 =
热力学熵与熵增
热力学熵与熵增热力学熵指的是热力学系统的无序程度或混乱程度。
它是描述热力学系统微观状态的物理量，与系统的能量分布相关。
熵增则指的是熵的增加过程，即热力学系统向更高的无序状态发展的趋势。
热力学熵的概念最早由德国物理学家鲁道夫·克劳修斯提出。
他在19世纪中叶研究蒸汽机的过程中发现，当蒸汽从热源流向冷源时，整个系统的无序程度会不断增加。
后来，克劳修斯将这种无序程度定义为熵，并引入了熵的概念来描述热力学系统的状态。
熵的数学表达式为S=klnW，其中S表示熵，k为玻尔兹曼常数，W 为系统的微观状态数。
由此可见，熵与系统的无序程度成正比。
当系统的微观状态数越多时，熵的值就越大，系统的无序程度也就越高。
根据热力学第二定律，熵在自然界中总是趋于增加的。
这可以通过熵增原理来解释。
熵增原理指出，孤立系统的熵总是趋于增加，而不会减少。
孤立系统指的是与外界不进行物质和能量交换的系统。
熵增原理可以用来解释自然界中的很多现象，如热传导、能量转化等。
在热力学的观点下，自然界中的各种过程都是为了追求更高的无序状态。
例如，在热传导过程中，热量会从热源流向冷源，这是因为冷源的熵较低，通过热传导，熵会增加，系统的无序程度也会相应增加。
除了孤立系统外，对于开放系统和闭合系统，熵增原理也适用。
开放系统指的是与外界进行物质交换但不进行能量交换的系统，闭合系统指的是与外界既进行物质交换又进行能量交换的系统。
在这些系统中，熵的增加与系统与外界的物质和能量交换有关。
总之，热力学熵是描述热力学系统无序程度的物理量，与系统的能量分布有关。
熵增原理指出，在自然界中，熵总是趋于增加的。
熵增原理在热力学中有着广泛的应用，可以解释很多现象。
熵的增加代表着系统朝着更高的无序状态发展，与自然界的整体趋势相一致。
大学物理第四章2熵与熵增加原理
理想气体的熵变公式推导
对于理想气体的任意一个平衡态，都可以用两个宏观量来 描述。例如V, T。如果要求任意平衡态的熵S(V, T), 那就必须 先求出其热力学概率 （V, T ）。 以单原子理想气体为例，在一定温度和体积的条件下，其 微观态是由气体的位置与速度来决定的，而且位置和速度的影 响是相互独立的，则：
所有可逆卡诺循环加一起： 分割无限小： 定义状态函数 S，熵
c
dQ 0 T
2
Qi 0 i Ti
dQ S S 2 S1 1 T dQ 对于微小过程 dS T
克劳修斯熵公式 适用于任意可逆过程
dQ 任意系统熵变的微分形式： dS T 对有限过程，系统由宏观态1到宏观态2的熵变：
NA aV 膨胀前的热力学概率 1 1 熵 S1 NAk ln( aV ) 1 膨胀后的热力学概率 2 aV2NA 熵 S 2 NAk ln( aV2 )
此过程的熵变：
S S 2 S 1
V2 R ln V1
V2 NAk ln V1
0
19
利用克劳修斯熵公式，设计一可逆过程来计算
同理，若将一个系统分为多个部分，每个部分的熵分别为 S1, S2 ,…, Si , …则系统总熵为：
S1 k ln 1
S
S
i
4
二、熵增加原理
由热力学第二定律的微观意义： 孤立系统中的自然过程总是向着无序性（热力学概率） 增大的方向进行。 由熵定义可知，以上说法也可换成： 孤立系中自然发生的不可逆过程总是向着熵增大的方向 进行，孤立系统中的熵永不减小。 说明：
0
23
例3：1kg 0 oC的冰与恒温热库（t=20 oC ）接触，
熵和熵增加原理
7
T 例如： 例如：绝热容器中 A、B 两物体相接触， A > TB ， 、 两物体相接触， 这两个物体组成一个系统。 这两个物体组成一个系统。
A向B传热过程为不可逆绝热过 向 传热过程为不可逆绝热过 程。 设微小时间 ∆t 内传热 ∆Q A的熵变 ∆S A = − 的熵变
TA
A
∆Q
B
TB
∆Q
TA ∆Q B的熵变 ∆SB = 的熵变 TB 1 1 ∆Q ∆Q 系统熵变 ∆S = ∆S A + ∆SB= − = ∆Q − + TA TB TB TA Q TA > TB , ∴ ∆S > 0 对任意微小时间内熵是增加的， 孤立系统、不可逆 对任意微小时间内熵是增加的， 孤立系统、 过程熵总是增加的 过程熵总是增加的 。 对整个过程熵也是增加的。 对整个过程熵也是增加的。
由A到B沿不可逆路径热温 商的积分小于两态熵差。 商的积分小于两态熵差。 dQ 对微小过程 dS > ( )I
T
系统的温度和热源温度不 相同，所以上式中的T 相同，所以上式中的T必 须是热源的温度而不是系 统本身的温度。 统本身的温度。
5
将可逆过程和不可逆过程的公式结合在一起，有： 将可逆过程和不可逆过程的公式结合在一起，
Ω2 ∆S = S2 − S1 = k ln Ω2 − k ln Ω1 = k ln Ω1
当状态由状态‘ 变化到状态 变化到状态‘ 时系统的熵增量 时系统的熵增量： 当状态由状态‘1’变化到状态‘2’时系统的熵增量：
克劳修斯根据卡诺定理导出了热量和熵的基本关系。 克劳修斯根据卡诺定理导出了热量和熵的基本关系。
Q A ∫A dQ = T = T
B
S 2 − S1 = ∫
《熵与熵增加原理》课件
熵与信息的关系
熵与信息之间也存在一定的关系。在信息论中，熵被定义为系统不确定性的度量，即系统状态的不确 定性越大，熵就越大。
在通信过程中，信息传递的过程实际上就是熵传递的过程。通过传递信息，可以降低系统的不确定性 ，即降低系统的熵值。
05
CHAPTER
熵在现代科技中的应用
熵在能源领域的应用
能源转换与利用
02
CHAPTER
熵增加原理
熵增加原理的表述
熵增加原理是热力学第二定律的核心内 容，它表述为：在一个封闭系统中，总 熵（即系统熵与环境熵的和）总是增加 的，即自然发生的反应总是向着熵增加
的方向进行。
熵是一个描述系统混乱程度或无序度的 物理量，其值越大，系统的混乱程度或
无序度越高。
在封闭系统中，如果没有外力干预，系 统总是会自发地向着熵增加的方向演化 ，即向着更加混乱或无序的状态演化。
此外，熵增加原理还可以帮助我们理 解信息论和热力学的基本概念，以及 它们在物理学、化学和生物学等领域 的应用。
03
CHAPTER
熵与热力学第二定律
热力学第二定律的表述
热力学第二定律指出，在封闭系统中 ，自发过程总是向着熵增加的方向进 行，即系统的熵永不自发减少。
这一定律揭示了热力学的自然规律， 是热力学理论体系的重要组成部分。
熵增加原理的证明
熵增加原理可以通过热力学的基本定律来证明，特别是第二定律 。
第二定律指出，对于封闭系统，热量总是自发地从高温向低温传 递，而不是自发地从低温向高温传递。这是由于热量在传递过程 中总是伴随着熵的增加，即无序度的增加。
通过分析热力学过程，可以证明在封闭系统中，系统的熵总是自 发地增加，从而证明了熵增加原理。
大学物理熵和熵增加原理
对无穷小可逆过程
dS dQ T
由克劳修斯不等式，导出熵增加原理：
dQ 2 dQ 2 dQ
(C) T 1(I ) T 1(R) T
2 dQ S 0 1(I ) T
S 2 dQ , S 2 dQ
1(I ) T
1(R) T
可逆
不可逆
S 2 dQ 1(L) T
S 2 dQ 1(L) T “＝”：可逆过程；“>”：不可逆过程 由于孤立系统中发生的任意过程都是绝热的， dQ=0，所以有
孤立系统中发生的过程一定绝热，熵增加原 理可表达为
S 0（绝热过程）
在可逆绝热过程中熵不变，在不可逆绝热过 程中熵增加。
9.5.3 克劳修斯熵
两热源循环过程： Q1 Q2 0 T1 T2
推广：
dQ 0
(C) T
“＝”：可逆循环；“<”：不可逆循环
克劳修斯不等式 ：系统的热温比沿任一循环 的积分都小于或等于零。
一个孤立系统的熵永不会减少
S S2 S1 0（孤立系统）
S1、S2：系统初、末态熵；“=” ：可逆过程， “>”：不可逆过程
由熵增加原理可知：孤立系统从一个平衡态 经过某一过程到达另一平衡态，如果过程是可 逆的，则熵不变；过程不可逆，熵增加。由于平 衡态的熵最大，所以孤立系统总是自发地由非 平衡态向平衡态过渡。一旦到达平衡态，系统在 宏观上就不再发生变化。
2 (2V )NA
ΔS
k(ln
2
ln
1 )
k
ln
2 1
kNA
ln
2
R
ln
2
（2）用克劳修斯熵计算
S
CV ,m
ln
T T
R ln
熵及熵增加的概念及意义
熵及熵增加的概念及意义摘 要：熵是热学中一个及其重要的物理概念。
自从克劳修斯于1865年提出熵概念以来，由于各学科之间的相互渗透，它已经超出物理学的范畴。
本文从熵的概念出发，简述了熵的概念和意义及熵增加的概念和意义，促进我们对熵的理解。
关键词：熵；熵概念和意义；一． 熵概念的建立及意义1.克劳修斯对熵概念的推导最初，克劳修斯引进态函数熵，其本意只是希望用一种新的形式，去表达一个热机在其循环过程所必须的条件。
熵的最初定义建立于守恒上，无论循环是否理想，在每次结束时，熵都回到它最初的数值。
首先将此过程限于可逆的过程。
则有0d =⎰T Q图1-1 闭合的循环过程 公式0d =⎰T Q 的成立，足以说明存在个态函数。
因此，对于任意一个平衡态，均可引入态函数——熵：从状态O 到状态A ，S 的变化为 ⎰=-A O T Q S S d 0 S 为一个常数，对应于在状态O 的S 值。
对于无限小的过程，可写上式为pV可逆)d (d T Q S = 或 可逆)d (d Q S T =在这里的态函数S 克劳修斯将其定义为熵。
不管这一系统经历了可逆不可逆的变化过程，具体计算状态A 的熵，必须沿着某一可逆的变化途径。
这里不妨以理想气体的自由膨胀为例来说明这一点。
设总体积为2V 的容器，中间为一界壁所隔开。
图1-2 气体的自由膨胀初始状态时，理想气体占据气体为1V 的左室，右室为真空气体2V 。
然后，在界壁上钻一孔，气体冲入右室，直到重新达到平衡，气体均匀分布于整个容器为止。
膨胀前后，气体温度没有变化，气体的自由膨胀显然是一个不可逆的问题。
对于此过程，是无法直接利用公式(1-1)来计算熵的变化的。
但为了便于计算，不一定拘泥于实际所经历的路线。
不妨设想一个联系初、终状态的可逆过程，气体从体积1V 扩展到2V 得等温膨胀。
在此过程中，热量Q 全部转化为功W 。
⎰⎰===TW T Q Q T T Q d 1d ⎰⎰===∆V P V V T T W T Q S d 1d 2112ln V V nR = 计算中引用了理想气体状态方程pV nRT NkT 时至今日，科学的发展远远超出了克劳修斯当时引进熵的意图及目标。
热力学第二定律的熵增原理
热力学第二定律的熵增原理热力学是研究热、功和能量转换等宏观物理现象的科学。
其第二定律是热力学的基本定律之一。
在热力学第二定律中，熵增原理作为一个重要概念被广泛应用。
1. 熵的概念熵是描述系统混乱程度的物理量。
它是系统的一种状态函数，用S 表示。
熵与系统的微观状态有关，它反映了系统在宏观尺度上的混乱程度。
在热力学中，一个孤立系统的熵是不会减少的，这是熵增原理的基础。
2. 熵增原理的表述熵增原理的表述是指在孤立系统中，熵是不断增加的。
孤立系统可以看作是与外界没有物质和能量交换的系统。
根据熵增原理，一个孤立系统的熵增随时间的推移而增加，直到达到最大值。
这意味着宏观上的无序随着时间的推移逐渐增加。
3. 熵增原理与可逆过程可逆过程是指系统在各个阶段都处于平衡状态的过程。
在可逆过程中，系统的熵保持不变，即不发生熵的变化。
这是因为可逆过程中热量的传递是无损失的，从而使得系统的熵保持不变。
与此相反，不可逆过程是指系统在经历各个阶段时不能恢复到原始状态的过程，熵会发生增加。
4. 熵增原理在自然界中的应用熵增原理不仅适用于孤立系统，还适用于开放系统。
开放系统与外界进行物质和能量的交换。
在开放系统中，熵的增加表明了系统的无序程度的增加。
例如，一个被放置在温度较高的环境中的热杯咖啡，热量会从咖啡中传递到环境中，使得咖啡的温度降低，而环境的温度上升。
在这个过程中，系统的熵增加。
5. 熵增原理与宇宙的发展熵增原理也被应用于宇宙学中。
根据宇宙大爆炸理论，宇宙起源于一个极低熵的状态，随着时间的推移，宇宙不断地增加熵。
这意味着宇宙逐渐向着更加无序的状态演化。
熵增原理解释了为什么宇宙中的星系、行星和其他物质结构都趋向于无序和分散的状态。
6. 熵增原理在工程领域中的应用在工程领域中，熵增原理也有广泛的应用。
例如在热能转换过程中，熵的增加代表能量转化效率的损失。
熵增原理帮助工程师分析和改进能源系统的效率，以减少熵的增加，提高能源利用率。
大学物理教程5.5 熵 熵增加原理
Si
S2
S Si
i
由熵增原理可以判断，在自发过程中以平衡态的熵最大
第10章 热力学定律
5.5 熵 熵增加原理
4、一般系统的熵变由熵流和熵产生两部分构成
孤立系统
5、熵增加原理只适用于绝热系和孤立系。如果系统 与周围介质之间有热量交换，必须引入新的态函数再 作判断。
第10章 热力学定律
5.5 熵 熵增加原理
第10章 热力学定律
5.5 熵 熵增加原理
2. 推广到任意循环
任一可逆循环，用认为是由一系列微小可逆卡诺 循环组成： P
V 每一 可逆卡诺循环都有：
第10章 热力学定律
Qi1 Qi 2 0 Ti1 Ti 2
5.5 熵 熵增加原理
所有可逆卡诺循环加一起： 分割无限小：
Qi T 0 i i
从微观上看，系统一确定的宏观态可能对应非
常多的微观状态。 宏观状态对应微观状态数目称为该宏观态的热 力学几率。
第10章 热力学定律
5.5 熵 熵增加原理
例：以气体分子位置的分布为例说明宏观态与微
观态的关系：设有4个分子，并编上号1、2、3、4，将
容器分为左、右两半（A, B两室） 12 3 4
结论 1） 分子在两室中的每一种具体分布叫系统的一 个微观状态。
dQ dS T
第10章 热力学定律
5.5 熵 熵增加原理
四 熵(差)的计算 1) 确定初末态； 1 2) 选择可逆过程连接初末态； 3) 计算热温比积分
2
c2
S 2 S1
2
1
dQ 可 T
第10章 热力学定律
5.5 熵 熵增加原理
例： 求理想气体从初态 P0、V0、T0 准静态地变
大学物理：chap6-6 熵 熵增加原理
牛顿力学 相对论力学 量子力学
时间反演对称
t t 方程形式不变
可用来说明将来，可用于说明过去
热力学——不具有时间反演对称性
时间指向——无序性增加（S↑）的方向
热力学时间箭头 心理学时间箭头 宇宙学时间箭头
彼此一致
6.熵与耗散结构 远离平衡态的开放系统可实现无序
例： 贝纳德对流
有序
T2 > T1
3. 卡诺循环，热机效率和制冷系数
4. 热力学第二定律：表述，本质，统计意义
对孤立系统 dQ 0
S 0
= 对应可逆过程 > 对应不可逆过程
一切自发的宏观热力学过程不可逆 S 0
即玻尔兹曼熵增加原理
3.熵的计算
1）如果系统经历的过程不可逆，那么可以在始末状态之间设想某一可逆过程 Nhomakorabea以设想的过
程为积分路径求出熵变；
dS
dQ
T
可逆
S2
S1
2
1
dQ T
可逆
2）如果系统由几部分组成，各部分熵变之和等
实际热力学过程都是不可逆的
完全转换 100%
有序运动能量
无序运动能量
不完全转换 100%
品质高，做功、转 换能力强，可利用 价值高。
品质低，做功、转 换能力弱，可利用 价值低。
S：从反面，运动不能转化方面来量度转化能力，表
示转化已经完成的程度，能量丧失其转化能力的 程度
熵越大，系统的能量中不再可供利用的部分 就越多，所以熵表示系统内部能量的“退化” 或“贬值”，即熵是能量不可利用程度的量度 。能量不仅有形式上的不同，而且还有质的差 别。机械能和电磁能是可以被全部利用的有序 能量，而内能是不能全部转化的无序能量。
熵增加的原理及应用
熵增加的原理及应用1. 什么是熵增加熵（entropy）是热力学中的一个重要概念，也是衡量系统无序程度的物理量。
在统计力学中，熵被定义为系统的微观状态数目的对数。
熵增加表示系统的无序程度增加，即系统的熵值增大。
2. 熵增加的原理根据热力学第二定律，任何封闭系统的熵都会不断增加，直至达到最大值。
这意味着在自然界中，系统的无序状态是不断增加的。
熵增加的原理可以通过以下几个方面进行解释：2.1 微观态的增加系统的熵增加意味着微观态的增加。
微观态是指系统的粒子的位置和动量等微观特性。
当系统的微观态增加时，系统的熵也增加。
2.2 热力学概率性熵增加可以用统计力学中的概率性来解释。
在一个封闭系统中，系统的微观态变化是具有概率性的，不同的微观态对应着系统的不同宏观态。
这种概率性使得系统从有序向无序的状态转变，从而增加系统的熵。
2.3 系统的耗散性熵增加也可以通过系统的耗散性来解释。
系统中的能量流动和物质传递会导致系统的无序程度增加，从而使系统的熵增加。
例如，热传导和物质扩散等现象会导致系统的能量和物质分布变得更加平均，从而增加系统的熵。
3. 熵增加的应用3.1 生态系统的演化生态系统的演化过程中，熵增加是普遍存在的一个现象。
生物种群的繁衍、物种的竞争和自然选择等因素会导致生态系统的有序程度减小，即熵增加。
熵增加的过程使得生态系统能够适应环境变化和进化发展。
3.2 经济系统的发展熵增加在经济系统中也有着重要的应用。
经济系统的发展是一个不断增加无序程度的过程。
市场经济中的竞争、创新和经济交易等因素导致资源的分配更为分散和无序，使得经济系统的熵增加。
3.3 信息传输与储存熵增加在信息传输和储存中也有重要的应用。
信息传输中的噪声和信息丢失会导致信息的无序程度增加，即熵增加。
在信息储存领域，熵增加可以用来衡量信息的压缩效率和数据冗余度。
3.4 环境污染与治理熵增加在环境污染与治理中的应用也是不可忽视的。
环境污染是一种熵增加的过程，它使得环境的有序状态变为无序状态。
§5.3 熵与熵增加原理要点
Sb S a
a可逆
称为熵(entropy) ，以符号 S 表示。它满足 • 如下关系: 对于无限小的过程，上式可写为
T
TdS (dQ) 可逆
dS (dQ)可逆 / T
用熵表示的热力学基本微分方程为
TdS dU pdV
这是同时应用热力学第一与第二定律后的基本微 分方程，它仅适用于可逆变化过程。 虽然 ( dQ )可逆 不是态函数，但在可逆变化过程 中的 ( dQ )可逆 被温度 的全微分 。 在数学上把具有这类性质的因子( 这里就是
• （3）因 dQ 是广延量，T 是强度量，故熵 也是广延量，显然 1摩尔物质的熵 Sm 是强度
量。
(二)关于熵应注意如下几点
(1)熵的计算只能按可逆路径进行。
(2)熵是态函数。系统状态参量确定了，熵也就确 定了
(3)若把某一初态定为参考态，则任一状态的熵可 表示为
T S S0 dQ
（可逆过程）
顺时针可逆循环中的线段 a – c - b 过
程是吸热过程，b - d – a 是放热过程。
整个循环曲线所围面积就是热机在循环中 吸收的净热量，它也等于热机在一个循环中对 外输出的净功。 温-熵图在工程中有 很重要的应用，通 常由实验对于一 些 常用的工作物质制
作各种温-熵图以便
于应用.
§5.3.4熵增加原理
其中积分应是从参考态开始的路径积分。
S0
是参考态的熵，是任意常数。
(4)热力学只能对熵作如下定义，
S
T 0 S ( dQ ) 可逆
• 它无法说明熵的微观意义，这是热力学这 种宏观描述方法的局限性所决定的。 • •
• (5)虽然“熵”的概念比较抽象，很难一Байду номын сангаас懂
熵,熵增加原理
熵,熵增加原理熵和熵增加原理是热力学和统计物理中的重要概念。
它们描述了系统的无序性和不可逆性，并且在许多领域中都得到了广泛的应用。
本文将介绍熵的定义和特点，以及熵增加原理的概念和含义。
一、熵的定义熵，是一个物理学的术语，它用来描述一个系统的无序性或混乱程度。
熵通常用符号S表示，它的单位是焦耳/克·开尔文(J/K)，表示每单位质量和温度之间的比例系数。
熵最初是由德国物理学家Rudolf Clausius在19世纪提出的，他认为热力学中的熵是一个重要的物理量，可以用来对系统中热力学性质的变化进行描述。
随着时间的推移，熵不仅被应用于热力学领域，而且被成功地应用于其他学科。
在热力学中，熵被定义为一个系统可以达到的状态的数量的对数。
我们可以将熵理解为系统的无序度或混乱程度。
对于一个高度有序的系统，它的熵值较低，而对于一个高度无序的系统，它的熵值则较高。
在实际应用中，我们可以通过测量系统中分子的运动速度、位置和能量等参数来计算熵值。
熵的计算公式是：S = k ln WS是系统的熵，k是玻尔兹曼常数，W是系统的状况数。
状况数是指系统可能的微观状态数量，通常与分子的数目、能级和体积等有关。
二、熵的特点熵有一些独特的特点，它们对于我们理解熵的概念和应用非常重要。
下面是熵的一些特点：1. 熵是一种状态函数熵是一种状态函数，这意味着它的值只依赖于系统的状态，而与系统如何到达这个状态无关。
如果我们将能量从一个系统移动到另一个系统，改变它们的状态，那么它们的熵可能会发生变化。
这个过程发生的方式对于系统的熵没有影响。
2. 熵的增加方向是单向的熵的增加方向是单向的，这意味着一个孤立系统的熵只能增加。
虽然系统在短时间内可以由低熵状态转移到高熵状态，但是这种临时的不可逆性只是表面现象。
在长时间尺度下，系统的熵仍然会不断增加。
3. 完美晶体的熵为零对于一个完美的晶体，其所有原子都是高度有序排列的，因此其熵为零。
这个特殊的情况是热力学中一极限情况，因为几乎不存在一个完全排列有序的混合系统。
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V2 T2 p1 , V1 T1 p2
CV ,m R C p,m
【例9.6】一刚性绝热容器用隔板平均分成左、 右两部分。开始时在容器的左侧充满1摩尔单原 子理想气体，并处于平衡态，容器右侧抽成真 空。打开隔板后气体自由膨胀充满整个容器并 达到平衡。求熵变。
解（1）用玻耳兹曼熵计算
1 V NA
2 (2V )NA
ΔS
k(ln
2
ln
1 )
k
ln
2 1
kNA
ln
2
R
ln
2
（2）用克劳修斯熵计算
S
CV ,m
ln
T T
R ln
2V V
Rln 2
与玻耳兹曼熵的结果一致，反映出这两种熵 的等价性。
【例9.7】设有温度为20℃ 的水。求下述过程 引起水的熵变及水和炉子所组成系统的熵变： （ 1 ） 把 水 放 到 100℃ 的 炉 子 上 加 热 到 100℃ 。 （2）把水先放到50℃的炉子加热到50℃，再放 到100℃的炉子加热到100℃。（3）把水依次与 一系列温度从20℃逐渐升高到100℃的无穷小温 差的炉子接触，最后使水达到100℃。
一个孤立系统的熵永不会减少
S S2 S1 0（孤立系统）
S1、S2：系统初、末态熵；“=” ：可逆过程， “>”：不可逆过程
由熵增加原理可知：孤立系统从一个平衡态 经过某一过程到达另一平衡态，如果过程是可 逆的，则熵不变；过程不可逆，熵增加。由于平 衡态的熵最大，所以孤立系统总是自发地由非 平衡态向平衡态过渡。一旦到达平衡态，系统在 宏观上就不再发生变化。
1( R)
T
dE CV ,mdT ,
dA PdV RT dV V
S S2 S1
2 dE dA 1(R) T
CV ,m
2 dT 1(R )T
R
2 dV 1( R )V
ΔS
S2
S1
CV ,m
ln
T2 T1
R ln V2 V1
ΔS
S2
S1
C
p,m
ln
T2 T1
R ln
p2 p1
S 0（孤立系统）
熵增加原理
9.5.4 理想气体的熵 综合热力学第一、第二定律 dQ TdS（可逆过程），dQ dE dA 得热力学中的一个基本关系式
TdS dE dA（可逆过程）
1摩尔理想气体由状态1经过某一过程到达状 态2，熵增
2
2 dE dA
S S2 S1 dS
1( R)
S ln
1900 年 普 朗 克 引 入 系 数 k —玻耳兹曼常数
玻耳兹曼熵公式：
S = k ln
单位： Jk1
（1）熵和 一样，也是系统内分子热运动的无
序性的一种量度。
（2）一个宏观状态 一个 值 一个S 值
熵是系统状态的函数
（3）熵具有可加性
设1和2分别表示两个子系统的热力学概率，
整个系统的热力学概率
1009 J K1
水的熵变与加热的过程无关，因此上述结果 就是把水直接放到100℃ 炉子上加热到100℃ 所 引起的熵变。
炉子可当成恒温热源，炉子经过等温过程， 其熵变等于整个过程吸收的热量除以炉温。
炉子的熵变：
S2
dQ
1
T2
dQ
Cm(T2
T1 )
T T2 T1
T2Leabharlann 4.18103 1 (100 20)
273 100
896.5 J K1
系统的熵变：
ΔS ΔS1 ΔS2 1009 896 .5 112 .5 J K 1 0
T 1( L)
2 dQ 2 dQ
1(L) T
T 1( L)
系统的热温比沿可逆过程的积分与可逆过程
无关。由此可以定义系统的一个状态函数：克
劳修斯熵
系统从平衡态1，经某一过程到达另一平衡
态2，克劳修斯熵的增量定义为
S
S2
S1
2 1( R )
dQ T
R：连接态1和态2的任意一个可逆过程。
R 可任意选择，但设计巧妙使计算简单。
1 2
整个系统的熵：
S k ln k ln 1 k ln 2 S1 S2
把熵和概率联系起来：具有深远意义的思想
熵的概念，已经进入人文科学领域。
9.5.2 熵增加原理
孤立系统进行不可逆过程时总是向热力学概 率增加的方向进行，而进行可逆过程时系统的 热力学概率不变。
熵增加原理 （热力学第二定律的数学表述）
解（1）水在炉子上的加热是有限温差热传 导，不可逆。为计算水的熵变，设想把水依次 与一系列温度逐渐升高无穷小温差dT的炉子接 触，通过可逆的等温热传导使水温升高到100℃ 。
水的熵变：
S1
dQ
T2 CmdT
Cm ln
T2
T T1 T
T1
4.18103 1 ln 273100
273 20
孤立系统中发生的过程一定绝热，熵增加原 理可表达为
S 0（绝热过程）
在可逆绝热过程中熵不变，在不可逆绝热过 程中熵增加。
9.5.3 克劳修斯熵
两热源循环过程： Q1 Q2 0 T1 T2
推广：
dQ 0
(C) T
“＝”：可逆循环；“<”：不可逆循环
克劳修斯不等式 ：系统的热温比沿任一循环 的积分都小于或等于零。
对无穷小可逆过程
dS dQ T
由克劳修斯不等式，导出熵增加原理：
dQ 2 dQ 2 dQ
(C) T 1(I ) T 1(R) T
2 dQ S 0 1(I ) T
S 2 dQ , S 2 dQ
1(I ) T
1(R) T
可逆
不可逆
S 2 dQ 1(L) T
S 2 dQ 1(L) T “＝”：可逆过程；“>”：不可逆过程 由于孤立系统中发生的任意过程都是绝热的， dQ=0，所以有
熵，表示系统无序性的大小。其变化，反映 孤立系统自发过程的方向性。
熵的概念是由克劳修斯在1865年首先在宏观 上引入的，并用熵增加原理表述了热力学过程 的方向性。
1877年玻耳兹曼把熵和概率联系起来，阐明 了熵和熵增加原理的微观本质。
可以证明：克劳修斯熵和玻耳兹曼熵是等价 的
9.5.1 玻耳兹曼熵 1877年玻耳兹曼在微 观上引入熵，表示系统 无序性的大小
对任意一个可逆循环 R：
dQ
0
(R) T
克劳修斯等式：系统的热温比沿任一可逆循
环的积分等于零。
劳修斯熵的引入：
L、L/：连接平衡态1和2 的任意可逆过程，C：可逆 循环1L2L/1。
dQ 2 dQ 2 dQ 0,
2 dQ 2 dQ
(C) T
T T 1(L)
1( L)
1(L) T