part5索洛增长模型培训资料

持平投资：为 保持k在现有水 平所必须进行 的投资。
k(t)0 k增加 k(t)0 k下降 k(t) 0 k不变
2020/8/2 两变量之积的增长率等于两变量增长率之和；
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两变量之比的增长率等于两变量增长率之差。
2、稳态
单位有效劳动资
本存量的变化：
k ( t) s( k f ( t) ( ) n g ) k ( t)
由规模报酬不变假设可得到生产函数的密集形 式：
y=f(k) y=Y/AL，单位有效劳动的产出 k=K/AL ，单位有效劳动的资本
令n＝1/AL，F(K/AL,1)=(1/AL)F(K,AL)
即F(k,1)=Y/AL=y,定义f(k)＝ F(k,1)
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（2）关于密集形式生产函数的假定
外生且既定，资本折旧率为δ。 资本变化＝投资－折旧。
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三、模型的动态学
1、k的动态学
单位有效劳动资本存量的变化：
在k=K/AL 两端分别对t求导，再利用f(k) =Y/AL，可得：
k (t) s(k f (t) ( )n g )k (t)索洛模型的关键方程
每单位有效劳 动的实际投资
①f(0)=0,f’(k)>0,f’’(k)<0
资本的边际产出： M K P F ( K K ,A ) L A (K K L /A f) L f(k )
由规模报酬 F ( K ,A ) A L F ( K L /A , 1 ) L A f( K L /A )
不变可得到
② f(k)满足稻田条件
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以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡 结构：
家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自 主决策。 企业雇佣投入品进行生产。
家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。
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2、关于生产函数的假设
(1)关键假设：规模报酬不变
F(nK,nAL)=nF(K,AL)
隐含两个假定：①经济足够大，从专业化中可 得的收益已被穷尽；②资本、劳动和知识以外 的投入品相对不重要。
lim f '( k )
k0
lim f '( k ) 0
k
满足（1）（2）条件的生产函数被称为新古典生产函数。 因此，索洛增长模型又被称为新古典增长模型。
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稻田条件意味着，在资本存量
f(k)
充分小时资本的边际产出十分
大，当资本存量很大时，其会
变得很小。其作用在于确保经
济的路径不发散。
索洛增长模型
一、索洛模型简评 二、索洛模型的假设 三、模型的动态学 四、储蓄率变化的影响 五、收敛速度 六、绝对收敛与条件收敛 七、增长因素分析法 八、对索洛模型的评论
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一、索洛模型简评
索洛模型是对所有有关增长的分析的起点。 索洛模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的 巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大 差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因 而无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存 在（如资本产生正的外部性）。
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当 k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？
变量
含义
平衡增长速度
备注证明
K 资本存量
n+g
k=K/AL
绝
L 劳动力
n
对
A 知识或技术
g
量
AL 有效劳动
n+g
Y 总产出
n+g
F(cK,cAL)=cF(K,AL)
C 总消费
n+g
C=(1-s)Y
k(Y/AL) 有效劳动的平均资本
0
K/L 人均资本
g
瞬时增长率的定义：
劳动增长 率为n：
L (t ) n L (t )
gxdx/xd t x xdd lnxt
t时劳动力： L(t)L(0)ent
技术进步 A (t ) g t时技术存量： A(t)A(0)egt
率为g： A(t )
产出在消费和投资之间分割，
那么储蓄等于投资。储蓄率s为 K (t) s(Y t)K (t)
消费C=（1-s）Y，因此，消费和产出具有相同
的增长率，等于n+g。
同理可以计算出人均产出Y/L、人均资本K/L和人 均消费C/L具有相同的增长率：g。
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结论：索洛模 型意味着，无 论起点在何处， 经济总会收敛
于一个平衡增 长路径：模型
中的每个变量 都以一个不变 的速率增长。 人均产出增长 率仅决定于技 术进步率。
s2f(k) 储蓄率的变化只会暂时而不会永久
s1f(k) 地影响增长率。或者说，储蓄率的
变化只有水平效应，而无增长效应。
只有技术进步率的变化有增长效应。Байду номын сангаас
k1* k2*
k
储蓄率上升意味着更多资 源用于投资，实际投资线 上移。导致实际投资大于 持平投资，因此，k持续上 升到新的稳态值（不是立
政策含义：投入驱动的增长不会持 续。 2、对消费的影响 c=f(k)(1-s)，储蓄率上升 ，使消费 先降后升。
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3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态,k收敛于k*,单位有效劳动的产出也不变： y*f(k*)
根据单位有效 y*Y/A LYy*AL
工人产出的定 义可以计算出
lY n ly n * lA n lL n
总速资产 度本出 ：增的长增率长k* K Y Y/A L LL K A A k * nA gL KK n g
f(k)
k0
在A点，实际投资与
(n+g+δ)k
持平投资相等，资本
存量不变，经济达到
f(k)
稳态：单位有效劳动
sf(k)
的资本、产出、消费 (k*,y*,c*)固定不变。
A
c*＝f(k*)-sf(k*)
=f(k*)-(n+g+δ）k*
k*
k
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索洛模型中k的相图
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相 y(Y/AL) 有效劳动的人均产出
0
y=f(k)=Y/AL
对 Y/L 人均产出
g
量 c(Y/AL) 有效劳动的人均消费
0
c=(1-s)f(k)
C/L 人均消费
g
K/Y 资本产出比
0
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四、储蓄率变化的影响
（一）短期影响
f(k)
y2* y1*
1、对产出的影响
f(k)
(n+g+δ)k 由y=Y/AL=f(k)得:Y/L=Af(k)
曲线的斜率即为资本的 边际产出。递减的斜率 反映了递减的资本边际 报酬。
0
k
新古典生产函数
柯布－道格拉斯生产函数是规模报酬不变的，
F(K ,A L)K (A L)1 其密集形式为： f (k) k ，满足f(k)的所有假定。
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3、生产投入的变化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。