万有引力理论的成就(公开课)

mr 2

mr( 2
T
)2
M v2r M r32
G
G
M

4 2r3
GT 2
只能求出中心天体的质量！！！
注意点：(1)勿混淆 轨道半径r 与 星球半径R (2)只能测出中心天体的质量，而环绕天体的质量在
方程式中被消掉了。
3、计算中心天体密度
根据上面两种方式算出中心天体的质量M，M

在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行 星——冥王星。
实际轨道
理论轨道
1.重力等于万有引力
mg

G
Mm R2

M gR2 G
两 条
黄金代换：GM＝gR 2
基 本 2.万有引力提供向心力
思 路
Hale Waihona Puke Baidu
G
Mm r2

ma向

m
v2 r

mr 2

2
mr( T
)2
3.计算天体密度


3r 3
【练习】已知下列哪组数据，可以计算出地球的
质量M( BD ) A、地球绕太阳运行的周期T地及地球距离太阳中
心的距离R地日
B、月球绕地球运行的周期T月及月球离地球中心 的距离R月地
C、嫦娥卫星绕月球运行的周期T卫 D、若不考虑地球的自转，已知地球的半径及重力 加速度
说明：根据地球卫星绕地球运行的参数（如周 期、轨道半径），能推算出地球的质量，但不能推 算卫星的质量；根据行星绕太阳运行的参数，能推 算太阳的质量，但不能推算行星的质量。
三、预测未知天体——海王星的发现
海王星的轨道由英国剑桥 大学的学生亚当斯和法国 年轻的天文爱好者勒维耶 各自独立计算出来。1846 年9月23日晚，由德国的 伽勒在勒维耶预言的位置 附近发现了这颗行星,人 们称其为“笔尖下发现的 行星”。
海王星
海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的 不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另 一颗行星的存在。
GT 2R3
1.飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞 行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星 的密度，只需要测量( AC ) A.飞船的轨道半径 B.飞船的质量 C.飞船的运行周期 D.行星的质量
2.设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T的 平方与其运动轨道半径R的三次方之比为常量k，那么 k的大小（ B ） A.只与行星质量有关 B.只与恒星质量有关 C.与行星及恒星的速度都有关 D.以上都不正确
3.若已知太阳的一个行星绕太阳运转的轨道半径为r, 周期为T,引力常数为G,则可求得（ B ） A.该行星的质量 B.太阳的质量 C.该行星的平均密度 D.太阳的平均密度
1、测算地球的质量
探究一：地球的质量到底有多大？
这个问题困扰了科学家许多年。已知地球表面的 重力加速度g=9.8m/s2，地球的半径R=6400km，万有引力 常量G=6.67×10-11Nm2/kg2。
你能否根据这些数据计算出地球的质量吗？ 思路：若不考虑地球自转的影响，地
面上质量为m的物体所受的重力mg
代入
M=
r 4 2 3
GT 2
得：M=
43.142 (1.51011)3 6.67 10 11(3.16107)2
k
g
=2.0×
1030kg
【解题回顾】 在一些天体运动的估算题中，常存有一些 条件是隐含的，应能够熟悉. 比如地球自转的周期24h（1 天），公转周期365天(1年)， 月球绕地球的运动平均周 期约为27天.地球表面的重力加速度约为g=9.8m/s２等等.
知识回顾：
1、万有引力定律的内容和表达式？
2、该定律中引力常量G是谁首先测 量出来的？值是多少？
4
万有引力理论的成就
万有引力定律的发现对天文学的发展起到了巨大的推 动作用，尤其在天体物理学计算、天文观测、卫星发 射和回收等天文活动中，万有引力定律可称为最有力 的工具。
一、科学真是迷人 一百多年前,英国人卡文迪许用他自己设计的扭 秤，“第一次称出了地球的质量”。
【方法总结】计算天体质量的两条基本思路
1.物体在天体表面时受到的重力等于万有引力
mg

G
Mm R2

M gR2 G
黄金代换：GM＝gR 2
g---------天体表面的重力加速度
R--------天体的半径
2.行星（或卫星）做匀速圆周运动所需的万有引力 提供向心力
G
Mm r2

ma向

m
v2 r
等于地球对物体的万有引力，即：
mg

G
Mm R2
化简 整理
M gR2 G
想一想：卡文迪许自称为测量地球质量第一人，为什么？
例1.设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地 球半径R =6.4×106m，引力常量G=6.67× 10-11 N·m2/kg2，试估算地球的质量。
解： M gR2 9.8(6.4106)2 kg 61024kg
mg

G
Mm r2
解得： M gr2
G
释放小球后小球做匀加速运动
故星球质量为
M

2hr 2 Gt 2
h 1 gt2 g 2h
2
t2
特别提醒 利用万有引力定律提供向心力，我们只能求出
中心天体的质量和密度。所以要求太阳的质量和密 度就要以它的行星为研究对象。若要求地球的质量 和密度，就要以它的卫星为研究对象；也可以以地 面上的物体利用重力近似等于万有引力求得。
4 2r 3
GT 2
结合球体体积计算公式 V 4 R3
3
物体的密度计算公式 求出中心天体的密度
M
V


3r 3
GT 2R3
当r=R时


3
GT
2
例3.宇航员站在一个星球表面上的某高处h自由释放一
小球，经过时间t落地，该星球的半径为R，你能求解出
该星球的质量吗？
解析：由星球表面附近重力等于万有引力得
G
Mm r2

m
2r

m（2
T
）2r
化简整理
M 4 2r3
GT 2
方法2、若已知行星绕太阳做匀速圆周运动的 半径r和运行的线速度v。
G
Mm r2

m
v2 r
化简整理
M v2r G
例2、 以地球绕太阳做匀速圆周运动为例：
地球绕太阳运转的轨道半径： r =1.5×1011m
公转周期一年： T=3.16 × 107s
G
6.671011
答案：6×1024kg
2、计算天体的质量
探究二： 你有办法测量出太阳的质量吗？依据的原理是什
么？
思路：
万有引力提供向心力
G
Mm r2

ma向

v2 m
r

m 2 r
mv m 4 2 r.
T2
方法1、选定一颗绕太阳转动的行星(例如地球）， 测定行星的轨道半径和周期。