05章 留数及其应用

复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.11
求
f
(
z)
1
eiz z
2
在孤立奇点处的留数。
Re s( f (z),i) 1 Re s( f (z), i) e
2ie
2i
例
5.12
求
f
(z)
sec z z3
在z=0处的留数。
Re s( f (z), 0) 1
2
例 5.13 下列留数。
zez (1) Re s( z2 1,1)
2、m阶极点
定义5.3 设函数f(z)在z0点的某领域解析，若 f(z0)=0，则称z0为解析函数f(z)的零点。
定理5.2 (零点判定定理)
如果f(z)在z0解析,那么z0为f(z)的m级零点的充要条件是
f (z) (z z0 )m(z)
其中φ(z)在点z0的邻域解析并且φ(z0)≠0 ,(m为正整数) 推论 z0为f(z)的m级零点的充要条件是 f (n) (z0 ) 0, n 1, 2,...m 1, f (m) (z0 ) 0
闭曲线，则
L
n
C2
i f (z) d z 2πi L
Res f (zk )
k 1
D
C1
Ck
图 5.1
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.14 计算积分 5z 2
i (1) |z|2 z(z 1)2 d z
(2) tan zdz 4i z 1
解：1)z=0是被积函数的一阶极点， z=1是二阶极点.
e 2
1
(2) Re s(
,i)
(z2 1)3
z sin z (3) Re s( z6 , 0)
3i 16
1 5!
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
(三) 留数定理
定理 5.8（留数定理）
设函数 f (z) 在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2 ,L , zn
外处处解析，L为区域内包围各奇点的一条正向简单
n
n
n0
主要部分 解析部分(正则部分)
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
（二）孤立奇点的分类 定义5.2 设z0为函数f(z)的孤立奇点，据洛朗展开式
f (z) cn (z z0 )n 负幂项情况，可把孤立奇点分为 n
（1）可去奇点： 无主要部分； （2）m阶极点 ： 主要部分有限项(m项)； （3）本性奇点： 主要部分无限项；
sin z 1 0
z 2k
2
(sin z 1) z 2k 0 2
皆为2阶零点。
(sin z 1) z 2k 1 0 2 复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
定理 5.3 (极点的判定定理)
（1）f (z) 在奇点z0的去心邻域内的罗朗级数的主要部分为
有限多项；
（2）f (z) 在z0点的去心邻域 0 | z z0 | R 内能表示为
2i[Re
sf
( ) Re
2
sf
( )]
2i
(2 )
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
课堂练习
cos z
计算积分
C
z3
dz
(C : z 1.逆时针)
解： z 0 是三阶极点，并且被包围于C中
Re
sf
(0)
1 lim
2! z0
d2 dz2
[z3
f
( z )]
1 lim
2! z0
d2 dz2
第5章 留数及其应用
3、本性奇点
定理 5.5 (本性奇点的判定定理)
（1）f (z) 在奇点z0的去心邻域内的罗朗级数的主要部分为
无限多项。
（2）lim f (z) 不存在。 z z0
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.6 判断函数 f (z) sin 1 的孤立奇点的类型. 1 z
解：
z1
2
,
z2
皆为一阶极点，并且都被包围于C中
Re
sf
(
2
)
lim
z 2
(z
2
)
(2z
sin z
)(z
)2
2
2
Re
sf
(
)
lim
z
( z
)
(2z
sin z
)(z
)2
lim
z
(2z
sin z
)(z
)
c os z
1
lim
z 2(z ) (2z )
C
sin zdz
(2z )( z )2
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例5.1 考察函数f(z)=z-sinz在原点z=0的性质。
f (z) z (z 1 z3 1 z5 ...) z3( 1 1 z2 ...)
3! 5!
3! 5!
z=0为函数的3阶零点。
例5.2 求f(z)=sinz-1的全部零点，并指出它们
的阶。
Res[ f (z), 0] lim z z0
5z 2 z(z 1)2
lim
z0
5z 2 (z 1)2
2
Res[
f
(z),1]
lim d z1 dz
(z
1)2
5z 2 z(z 1)2
lim
z1
2 z2
2
i 5z 2 d z 2πi(2 2) 0
|z|2 z(z 1)2
复变函数与积分变换
系数c-1为 f (z)在 z0 点的留数（也称残数），记为
i Res
f
(z0 )
1 2πi
C f (z) d z c1 定义5.5
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.9
求
f
(z)
1 e2z z4
在孤立奇点处的留数。
4 Re s( f (z), 0) C1 3
1
例
5.10
求
ez Res( z2 z ,1)
Q(x)
设
f (z) P(z) Q(z)
为有理函数，其中，P( z), Q( z)
为互质多项式，且
1)分母 Q(z) 的次数至少比 P(z) 的次数高两次
2) Q(z) 在实轴上没有零点。
则有
P(x) Q(x)
d
x
2πi
Im
zk
0
Res
Байду номын сангаас
P(z) Q(z)
,
zk
第5章 留数及其应用
5.2 留数的定义及计算
（一）留数的定义
若函数 f (z) 在z0的去心邻域 0 z z0 R 内解析，
则在此邻域内，可展开成洛朗级数
f (z) L cn (z z0 )n L c2 (z z0 )2 c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 ) L cn (z z0 )n L
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例：试求出下列函数的奇点，并指出类型
sin z
z
,
sin z2
z
,
e
1 z
【解】 奇点皆为：z=0,
sin z 1 1 z2 1 z4 ..
z
3! 5!
可去奇点。
sin z z2
1 z
1z 3!
1 z3 5!
..
一阶极点。
1
ez
1
1 z
1 2!z2
...
(2) 根据孤立奇点的类型来计算留数
(A) 可去奇点 Res f z 0 z z0
(B) 1 级极点
Res
z z0
f
z
lim
z z0
z
z0
Pz
Q(z)
P z0
Q(z0 )
(C) m 级极点
Res
z z0
f z
1
d m1
m
1
!
lim
zz0
dz
m1
z z0 m
f
z
(D) 本性奇点 按第一种方法来计算 定理5.7
5.1 解析函数的孤立奇点
（一）孤立奇点的定义
定义5.1 若函数f(z)在z0不解析,而在点z0的去心邻
域 内解析，则称点z0是f(z) 的孤立奇点。
若z0是f(z) 的孤立奇点,则f(z)在点z0的去心邻域内可展
成
f (z)
cn (z z0 )n
1
cn (z z0 )n cn (z z0 )n
极限不存在， 为本性奇点。
z x 0
z x 0
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
定理 5.6
若z=z0为函数f(z)的本性奇点，且f(z)在z0的去 心邻域内不取0，则z=z0必为1/f(z)的本性奇点。
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
（三）孤立奇点∞的定义及分类
本节不要求。
复变函数与积分变换
解法一：z→1时，f(z)的极限不存在，且不为∞，
解法二：sin
1
1
z
1 1
z
1 3!(1
z)3
1 5!(1
z)5
...
所以，z=1本性奇点。
1
例 5.7 证明z=0是函数 f (z) zne z 的本性奇点。
1
1
lim znez lim xnex
z x 0
z x0
1
1
lim znez lim xne x 0
2
2
因此
i i I
|z|1
z2
z2 2
1 2 p
1 z
z 1
p2
dz iz
|z|1
z4 1 2iz2 (1 pz)(z
dz p)
2
z=0为被积函数二阶极点， z=p 为一阶极点，故
Res[
f
(
z
),
0]
lim
z0
d dz
[
z
2
f
(
z)]
1 p2 2ip2
Res[
f
( z ),
p]
lim[( z
f
(z)
(z
5z 1 1)(2z
1)2
的孤立奇点,并判断类型。
z=1为1阶极点； z=-1/2为2阶极点；
例 5.4 求函数 f (z) 1 的孤立奇点,并指出其 sin z
类型。
z=kπ为1阶极点；
例 5.5
讨论函数
f
(z)
ez 1的孤立奇点的类型。 z2
z=0为1阶极点；
复变函数与积分变换
z p
p)
f
( z )]
1 p4 2ip2 (1 p2 )
I 2πp2 1 p2
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
利用留数定理计算实积分的步骤：
➢ 将实积分化成闭合回路的复积分 ➢ 利用留数定理 ➢ 计算留数 课堂练习：习题5.3(1)
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
（二） P(x) d x 型积分
1
1
蜒 解： Res[ f (z),1] 1
2 i
ez
1
C z2 z dz 2 i
ez / z dz
C z 1
1
1 2 i e z e 2 i z
z 1
复变函数与积分变换
i 第5章 留数及其应用
（二）留数的计算
Res
f
(z0 )
1 2πi
C f (z) d z c1
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数
第5章 留数及其应用
1
i 例 5.15 计算积分
ze z d z e 2 |z|2 1 z
i 例 5.16 计算积分
|z|2
ez z2(z2
9)
d
z
2 9
i
例
5.17
求函数
f (z)
z
在z=1及
(z 1)m (z 2)
i z=2处的留数，并计算积分 f (z) d z |z|3
Re s( f (z),1) 2
,
z
z 1 )
iz 2 2i
zk (k 1, 2,, n) 为单位圆内部的n个孤立奇点．
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.23 求 I 2π d 的值。
0 2 cos
【解】 令 z ei 则
i i I
|z|1
2
1 z2
1
dz iz
2 i
1
|z|1
z2
4z
dz 1
2z
被积函数在 z 1内只有单极点 z 2 3，故
I
2 i
2πi
Res
f
( z ),
2
3
4π
lim
z 2
3
z
(2
3)
z2
1 4z
1
2π 3
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.24
求 I 2π cos 2 d
0 1 2 p cos p2
( p 1) 的值。
【解】 令
z ei 由于 cos 2 1 (e2i e2i ) 1 (z2 z2 )
成都第理5章工留大数学及专其业应基用 础课
复变函数
第5章 留数及其应用
主讲教师： 陈小凤
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
本章目录
§5.1 解析函数的孤立奇点 §5.2 留数的定义及计算 §5.3 留数在实变量积分计算中的应用 *§5.4 对数留数与幅角原理
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
1, m 1
i Re s( f (z), 2) 2
|z|3 f (z) d z 0, m 1
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
*(四)无穷远点的 留数 不要求。
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
课堂练习
sin zdz
计算积分C (2 z )( z )2
(C : z 2 , 逆时针).
如下形式： f (z) (z) , (m 1)
(z z0 )m
其中函数 (z) 在0 | z z0 | 是解析的，且(z0 ) 0
（3）函数 g(z)
1 f (z)
以z0为m级零点；
（4）lim f (z) z z0
定理 5.4
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.3
求函数
1 n!zn
...
本性奇点。
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
孤立奇点的特征：
1、可去奇点
定理 5.1（可去奇点的判定定理）
（1）在奇点z0的去心邻域内的罗朗级数中无主要 部分；
（2）lim z z0
f
(z)
c0 , (c0
)
（3）f (z) 在z0的去心邻域内有界；
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
(cos
z)
1 2
C
cos z3
z
dz
2i
Re
sf
(0)
i
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
5.3 留数定理在实积分 计算中的应用
（一） 2 R(cos ,sin ) d 0
型积分
2
n
R(cos ,sin ) d 2πi
0
Res[ f (z), zk ]
k 1
其中
f
(z)
1
R( z
z 1