人教版高中数学必修五3.1不等关系与不等式公开课教学课件 (共26张PPT)
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系与不等式
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
例2 比较 x 3 与 x2 x 1的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
∵ x2+1>0，
=(x－1)(x2+1),
∴ 当x>1时，x3>x2－x+1； 当x=1时，x3=x2－x+1，
1.不等关系和不等式
2.判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
小
a b ab 0
结
a b ab 0
3.作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；通分，分子 /分母有理化等，必要时进行讨论。
4、作商法步骤：（1）作商；（2）变形； （3）判断商与1的大小；（4）结论。
少于2.3%，用不等式可以表示为：( C )
A.f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B.f > 2.5%且p >2.3%
C.
f 2.5% p 2.3%
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式。
思考：不等式a b或b a的含义
不等式a b表示a b或a b中有一个成立即可 不等式a b表示a b或a b中有一个成立即可
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
高中数学新人教版必修五3.1不等关系与不等式PPT课件
[例 1] 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆 载重为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员．此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙 型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不 等式．
[解] 设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆．
[活学活用] 1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速 80 km/h 的路标； (2)桥头上限重 10 吨的标志； (3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不多 于 2.5%，蛋白质的含量 p 不少于 2.3%.
解：(1)设汽车行驶的速度为 v km/h， 则 v≤80. (2)设汽车的重量为 ω 吨，则 ω≤10.
推论(同向同正可乘性)： ac>>db>>00⇒ac>bd； (5)正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0⇒n
n a>
b(n∈N*，n≥2)．
[化解疑难] 1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不 可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条 性质是否具有可逆性．
问题 3：若 a＞b，则 ac＞bc，对吗？试举例说明． 提示：不一定正确，若 a＝2，b＝1，c＝2 正确．c＝－2 时不正确．
[导入新知] 不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)： ac>>db⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性： ac>>0b⇒ac>bc； ac<>0b⇒ac<bc；
高中数学人教必修五课件3.1不等关系与不等式
之前，我们已经学过了相等关系.5210⨯=a a 2a +=回顾知识大小相等相等的性质：（1）a=a(自反性）；（2）若a=b,则b=a(对称性）；（3）如果a ＝b ，且b ＝c ，那么a ＝c （传递性 ）.新课导入但是，我们知道，现实生活中，存在着很多不等关系.如：线段的长短不同.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.a≤c 3x+2>6教学目标知识与能力1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用 .情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量.了解常用的不等关系，初步了解不等式的概念；学会判断不等关系.掌握常用的不等关系，学会现实生活像数学中的转化. 教学重难点重点难点例如，限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h ，写成不等式是什么呢？关键词“不超过”答：汽车的速度应不超过40km/h,不等式应为v≤40.数学中的不等关系某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式是什么？答：根据题意，上题写成不等式应为：f≥2.5%p≥2.3%多喝酸奶身体棒！！1、现实生活中很多量的不等关系可以用数学中量的不等关系表示；2、同学们在学习过程中应多于实际相结合，在现实中寻找不等关系.具体问题1.设点A与平面a的距离为d，B为平面a上任一点，则可以得到什么不等关系？答：应为d≤︱AB︱.AdB2.某种杂志原以2.5元的价格销售，可以售关键词“不低于”出8万本.据调查，每提高0.1元，销量减少2000本.那么，如把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8-(x-2.5)/0.1×0.2) ×x万元.那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示成(8-(x-2.5)/0.1×0.2) ×x≥20.答：不等式为(8-(x-2.5)/0.1×0.2) ×x≥20.3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管结成500mm和600mm两种.根据生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.分析：假设截得500mm钢管x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下关系:（1）截得两种钢管的总长度不能超过4000mm;(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的三倍；（3）截得两种钢管的数量不能为负.要同时满足上述三个条件，可以用下面不等式组来表示：500x+600Y≤4003x≥yx≥0y≥01、同学们在现实生活中，应注重寓所学数学知识的结合；2、运用数学知识解决实际问题，可以使实际问题变得简化.我们知道，等式有一些基本性质，如“等式的两边加（减）同一个数，结果不变”.不等式知否也有类似的性质呢？从实数的基本性质（任意两个数的和与积都是正数）出发，我们可以证明常用的不等式的基本性质：()⇒1a >b,b >c a >c()c b c a b a 2+>+⇒>()bcac 0c b,a 3>⇒>>()bcac 0c b,a 4<⇒<>怎么证呢？？()ca 0c -a 0c -b b a 0c b 0b a 1>∴>⇒>+-∴--，〉，〉()c b c a 0c)(b c a 0b a b a 2+>+∴>+-+⇒>->，证明：()bcac 0bc ac b)c (a 0c 0,b a 0c b,a 3>⇒>-=-⇒>>-⇒>>()().类似与34要自己思考啊！>>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒<(1)a b,b c a c(2)a b a c b c(3)a b,c 0ac bc(4)a b,c 0ac bc利用上述基本性质，可证明下述性质吗？ ()()()n n nn b a ,b a N n 0,b a 3bdac 0d c 0,b a 2db c a d c b,a 1>>⇒∈>>>⇒>>>>+>+⇒>>()d b c a 0d -c b -a 0d -c 0,b -a d c b,a d-c b -a d)(b c a 1+>+⇒>+∴>>∴>>+=+-+ ()bdac 0d)-b(c 0,b)-c(a 0;b 0,c 0,d -c 0,b -a d c b,a d)-b(c b)-c(a bd-cb cb ac bdac 2>∴>>⇒>>>>∴>>+=+-=- 证明：()()().b a .b,a )b (a ,b a .b a .b a n n n n n n n n n n n n >∴<<<>>矛盾假设用反证法证再根据数学归纳法得2由3() () ()>>⇒+>+ >>>>⇒>>>∈⇒>>n n n n1a b,c d a c b d2a b0,c d0ac bd3a b0,n N a b,a b某旅游团旅游，共80人.已知有甲乙两种客车，甲型号比乙型号少5辆；若只选甲型，则每辆车10人，车不够；若只选乙型车，则每辆9人，车多余.设甲型车x辆，用不等式表示题中的不等关系.解：设甲型车x辆，则有10x<809(x+5)>801a >b >0ab >0,>0ab 1111a >b ,ab ab b ac c c <0,>.a b因,所以于是即××>解： c c a >b >0,c <0,>.a b已知求：证课堂小结1、代数式的大小比较或证明通常用作差比较法；2、比较大小或证明的一般过程为：作差，化积，判断，结论；3、常用不等式：()c a c b b,a >⇒>>1()c b c a b a +>+⇒>2()bc ac 0c b,a >⇒>>3()bcac 0c b,a <⇒<>4()()()n n n n b a ,b a N n 0,b a bdac 0d c 0,b a d b c a d c b,a >>⇒∈>>>⇒>>>>+>+⇒>>765高考链接A.a 2 b 2B.ab 2a 2b （2007 上海）已知a, b 为非零实数，且a b ，则下列命题成立的是（ ）<<<<1122ab a b b a a b <C. D. C解析：若a<b<0，则a 2> b 2 ，A 不成立;若ab>0，a<b, a 2b<ab 2,B 不成立；若a=1,b=2，则D 不成立，故选C. 122,,,b a b a a b a b ∴==>课堂练习1、用不等关系表示下面的不等关系.（1）a与b的和是非正数；a+b≤0（2）在一个矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地。
高中数学必修五：3.1不等关系与不等式课件(共18张PPT)
33
3
还有其它 解法吗?
两式相加得－1≤f(3) ≤20.
提示:整体构造 f (3) f (1) f (2) 利用对应系数相等
求的与 ,从而求其范围.
注意:本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割 断它们之间的联系
小结
不等式的性质
内
容
对称性
a b b a; a b b a
传递性 加法性质
所以 (a b) 0, 即b a 0, 所以b a.
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性。
性质2：如果a>b，b>c，那么a>（c. 传递性）
证明：a b，b c a b 0，b c 0
(a b) (b c) 0
3.1.2
不等关系与不等式
1. 用不等式或不等式组表示不等关系.
2. a b a b 0 a bab0 a b a b 0
3.比较两个代数式的大小——作差比较法
作差 →变形→判断符号 →得出结论
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b.
证明： 因为a b,所以a b 0，
b2
真
注:（1）运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件。
（2）一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格加以证 明，要判断一个命题为假命题，可举反例，或者由题中条 件推出与结论相反的结果。
例1.已知 a > b >0, c <0, 求证
c
c ＞.
ab
证明：因为a > b >0, 所以 ab >0, 1 >0.
得a+c>b+d.
新人教A版数学必修5课件：3.1 不等关系与不等式
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定 比原来的糖水浓、比加糖后的糖水淡.
解: (2)设原来的糖水 b1 克,含糖 a1 克,易知浓度为 a1 ; b1
加糖后的糖水 b2 克,含糖 a2 克,易知浓度为 a2 , b2
则混合后的浓度为 a1 a2 , b1 b2
课堂探究
题型一 用不等式来表示不等关系 【例1】 配制A,B两种药剂,需要甲,乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3 克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若 A,B两种药至少各配一剂,设A,B两种药分别配x,y剂(x,y∈N),请写出x,y应 满足的不等关系式.
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式
课标要求:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不 等关系,会用不等式及不等式组表示不等关系.2.会用作差法(或作商法)比 较两个实数或代数式值的大小.3.掌握不等式的性质,能运用不等式的性质 解决问题.
自主学习
知识探究
1.不等式的有关概念 (1)不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、 ≥、≤、≠连接两个数或代数式来表示它们之间的不等关系,含有这些不等 号的式子,叫做不等式. (2)不等式的分类 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右 边,这样的两个不等式叫做同向不等式;在两个不等式中,如果一个不等式的 左边大于右边,而另一个不等式的左边小于右边,那么这两个不等式叫做异 向不等式b ≥0,所以 a + b ≥ a + b .
ab
ba
法二 (平方后作差):( a + b )2= a2 + b2 +2 ab , b a ba
3.1不等关系与不等式- 高中数学人教A版必修5课件(共42张PPT)
解析 ∵ab>0，bc－ad>0， ∴ac－db＝bc－abad>0，∴①正确； ∵ab>0，又ac－bd>0，即bc－abad>0， ∴bc－ad>0，∴②正确；
§3.1 不等关系与不等式
学习目标
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小. 3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
知识点一 不等关系
1.现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关
系．例如
(1)a 大于 b
6.(2020·杭州模拟)已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： ①若 ab>0，bc－ad>0，则ac－db>0；②若 ab>0，ac－db>0，则 bc－ad>0； ③若 bc－ad>0，ac－db>0，则 ab>0. 其中正确的命题是__①__②__③__.(填序号)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
若a>0，且a≠7，则
A.77aa<7aa7
B.77aa＝7aa7
√C.77aa>7aa7
D.77aa与7aa7的大小不确定
解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝a77－a， 则当 a>7 时，0<a7<1,7－a<0， 则7a7－a>1，∴77aa>7aa7；
当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，
则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.
综上，77aa>7aa7.
1.两个实数比较大小的方法
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ， 即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关 系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管 的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
人教A版高中数学必修五课件第三章3.13.1.1不等关系与不等式的性质.pptx
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第三章 不等式
3.1不等关系与不等式
3.1.1不等关系与不等式的性质
1．能判断生活中的不等关系． 2．会把生活中的不等关系用不等式刻化． 3．掌握不等式的性质；会将一些基本性质结合起来应用．
1．符号法则． 设ab a>0，b>0则a＋b___>___0,ab___>___0，—___>___0. 练习1：“a与b的和是非负数”用不等式表示为_a_＋__b_≥_0__．
解：(1)是假命题．例如 a＝1，b＝－2 满足 a＞b， 但 a2＜b2.又如 a＝1，b＝－1，显然 a＞b，但 a2＝b2. (2)是真命题．若 b＝0，则命题显然成立．若 b＞0，则 a＞ 0， b＞0， a＞ b，两边乘以 a，得 a＞ a· b，两边乘以 b， 得 a· b＞b，所以 a＞b. (3)是假命题．例如 a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝1 满足条 件ab>dc>0，但 ad＝－2，bc＝－1 有 ad＜bc. (4)是真命题．显然 ad＜0，bc＜0. 由 d＜c＜0 知：|d|＞|c|＞0， 又 a＞b＞0，∴|ad|＞|bc|，即－ad＞－bc，从而 ad＜bc.
1 a·d
1 > b·c
>0，
即ad > bc>0.所以
a d>
bc.所以为真命题．
(5)特殊值法，令 a＝2，b＝3，x＝2，ba＝32>54＝ba＋ ＋xx，所以 为假命题．
答案：A 准确记忆各性质成立的条件，是正确应用的前 提．在不等式的判断中，特殊值法也是非常有效的方法，尤其 是对于选择题或填空题，特殊值法可以节省时间．
【变式与拓展】 1．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是 ( D)
人教A版数学必修五《不等关系与不等式》宽屏课件25张
精编优质课PPT人教A版数学必修五3.1 《不等 关系与 不等式 》宽屏 课件( 共25张P PT)(获 奖课件 推荐下 载)
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解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 2000本 0.1
2组
展示要求：
①展示同学展示迅速，书 写规范。
②展示开始时非展示同学
可继续讨论，或翻阅学 案、课本，进一步思考 ； ③展示快结束时，迅速浏
览展示内容，认真比对 ，准备点评、补充， 质疑、追问。
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思考：1.如何比较两个同学的身高？ 2.如何比较两个数的大小？
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强调 2.自主学习思考： 如何比较两个数的大小？
探究一：用不等式（组）表示不等关系 精编优质课PPT人教A版数学必修五3. 精编优质课PPT人教A版数学必修五3. 解：(x2－x)－(x－2) (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； 作差变形方法不够熟练； ②展示开始时非展示同学可继续讨论，或翻阅学案、课本，进一步思考；
因此，销售总收入为：
(80000 x 2.5 2000)x元
0.1
用不等式表示不等关系为：
(80000 x 2.5 2000)x 200000 (x>0) 0.1
人教版必修五第三章3.1.1《不等关系与不等式》(共23张PPT)
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于 2.3%，用不等式可以表示为：( )
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3%
B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
f ≥ 2.5% C. p ≥ 2.3%
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示 它们之间的不等关系。含有这些不等号的 式子叫做不等式。 数轴上的任意两点中，右边点对应的 实数比左边点对应的实数大。
a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
例1．比较x2－x与x－2的大小。 解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
几个两边都是正数的同向不等式的两边 分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。
推论2：（性质7）如果a>b>0，则an>bn， (n∈N+，n>1).
性质8如果a>b>0，则，
n
a b
n
(n∈N+，n>1).
常用的不等式的基本性质有: ⑴a b b a ; (对称性) ⑵ a b，b c a c ; (传递性) ⑶ a b a c b c , (可加性)此法则又称为移项法则; a b，c d a c b d (同向不等式可相加) a b，c 0 ac bc ⑷ (可乘性) a b，c 0 ac bc a b 0，c d 0 ac bd (正数同向不等式可相乘)
人教A版高中数学必修五第三章第一节不等关系和不等式(2)课件(共16张PPT)
组成一个命题，可组成的正确命题的个数
是
3
。
对较为复杂的式
子进行等价变形
设a,b为实数，0 n 1,0 m 1, m n 1,
求证：a2 b2 a b2
mn
若f (x), g(x)都是定义在R上的奇函数，不等式
f (x) 0的解集为(m,n),不等式g(x) 0的解集为
( m , n ),其中0 m n ,求不等式f (x) g(x) 0的
3.1 不等关系和不等式 (2)
一、不等式的性质
不等式的性质: (1)a b b a; (对称性) (2)a b,b c a c; (传递性) (3)a b a c b c; (加法法则1)
(4)a b, c 0 ac bc; a b, c 0 ac bc;
(乘法法则1)
(5)a b,c d a c b d; (加法法则2)
(6)a b 0,c d 0 ac bd;(乘法法则2)
(7)a b 0 an bn , (n N, n 2); (乘方法则 ) (8)a b 0 n a n b (n N , n 2). (开方法则 )
一.两条常用性质 1.倒数性质：
(1)a b, ab 0 1 1 ab
(2)a 0 b 1 1 ab
(3)a b 0,0 c d a b cd
(4)0 a x b或a x b 0 1 1 1 bxa
2.若a b 0, m 0,则 (1)真分数的性质 b b m , b b - m (b - m 0)
性质8： 若 a b 0,则n a n b (n N且n 1)
课堂练习
Hale Waihona Puke 练习3：已知2,，求
的范围
变式：设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2， 2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围。
人教B版高中数学必修五课件3.1不等关系与不等式.pptx
利用不等式基本性质和 两正数和仍是正数来证 明 :
a b
b c
a b
b c
0 0
(a
b)
(b
c)
0
a
c
0
a
c.
新课讲解
3.1 不等关系与不等式
不等式的性质3:
如果a b, 那么a c ___ b c; a b c _a____c___b_ .
利用不等式基本性质来 证明 :
移项法
则
又因为c 0, 得： c c . ba
ab 即 1 1.
ba
即 c c. ab
练习：已知，a b，问：1 与 1 的大小？ ab
小结 小结
3.1 不等关系与不等式
不等式的性质
内容
对称性
a b b a;
abba
传递性
a b,b c a c
加法性质 a b a c b c; a b,c d a c b d
a b 0 an ___ bn.
a b 0 an bn它是不等式乘法性质的推论.
不等式的性质8:
a b 0 n a ___ n b.(n N ,且n 1)
证明 : 假设n a不大于n b , 则n a n b或n a n b . 当0 n a n b时,由"0 b a bn an"得a b,
(2)截得600mm钢管的数量不能超过 500mm钢管数量
的3倍;
以上不等关系用不等式组表示为
(3)截得两种钢管
500x 600 y 4000
的数量都不能为负.
3x y x0
考虑到实际问题的 意义，y 还 0应有x,y∈N
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3.1 不等关系与不等式
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500 x 600 y 4000
不等关系为不等式组：
3x y
x0 y0
【提升总结】 1. 将实际的不等关系写成对应的不等 式时，应注意实际问题中关键性的文字语 言与数学符号间的正确转换.
文字语言 大于 小于 大于等于 数学符号 文字语言 数学符号 ≤ ≥
＞
＜
至多
至少 不少于 不多于
x 2.5 0.2 x 20 8 0.1
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成
500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式呢?
解:设截得500mm的钢管数x根,截得600mm的钢管y根，则
如果a>b,c<0,那么ac<bc. 如果a>b,c=0,那么ac=bc.
注意：不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变； 不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反.
思考：证明不等式的下列性质： 性质5
如果a>b,c>d,则a+c>b+d.
(同向可加性)
注：同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.
证明：
(开方法则)
注意:当不等式两边都是正数时，不等式两 边同时开方所得的不等式和原不等式同向. 以上这些关于不等式的事实和性质是解决 不等式问题的基本依据.
三.不等式的基本性质：
性质1 性质2
a b, b c a c
abba
使用时注意弄 清每条性质的 条件和结论.
性质3
性质4
性质5 性质6 性质7 性质8
如果a>b,b>c,那么a>c.即 (传递性)
a b, b c a c
注意：同向不等式才能传递.
性质3 如果a>b,那么a+c>b+c.
变式： 移项法则
a b c a c b
注：不等式中任何一项可以改变符号后移到不等 号的另一边. 性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc.
a c b d a b c d 0
乘性)
a c b d (同向且正可 性质6 如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.
注：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不 等式同向. a b 0, c d 0,
证明：
1.若a b, 则ac bc .
2 2
例题选讲 题型一、利用不等式的性质判断命题真假 例1.判断题:
×
× n n 3.若a b, 则a b (n N , n 2) ×
1 1 5.若a b, 则 a b 1 1 6.若a b 0, 则 a b
烟台一中
邵江云
现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系．如两点之间线 段最短，三角形两边之和大于第三边，等 等．
A A
B
B
C
实际生活中:
长短
轻重
一.用不等式表示不等关系 请看下面现实生活的例子: 1.右图是限速40 km/h的路标， 指示司机在前方路段行驶时， 应使汽车的速度v不超过40 km/h，
比较 x y 1与2 x y 1的大小
2 2
研探新知： 思考：等式有一些基本性质,如“等式两边加（减 ）同一个数（或 式子），结果仍相等”。不等式 是否也有类似的性质呢？ 三.不等式的基本性质： 性质1 性质2 如果a>b,那么b<a;如果a<b,那么b>a.即
abba
(对称性)
如果a>b,那么a+c>b+c. 如果a>b,c>0,那么ac>bc. 如果a>b,c<0,那么ac<bc. 如果a>b,c=0,那么ac=bc. 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. 如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd. n n 如果a>b>0,那么 a b (n∈N,n≥2) 如果a>b>0,那么 n a n b, (n∈N,n≥2)
40
v≤40 写成不等式就是：___________.
2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪
的含量f应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应
不少于≥2.3%
请看下面数学中的问题: 问题1 设点A与平面α 的距离为d，B为平面 α 上的任意一点，则d ≤ |AB|
≥ ≤
≥ ≤
小于等于
2. 当问题中同时满足几个不等关系时， 应当用不等式组来表示它们之间的关系。 3. 当问题中涉及两个变量时，则选用 两个未知数x,y来表示对应的变量，并抽象 概括出二元不等式（组）。
4. 实际应用中注意所设未知数本身的 实际意义
关于实数a,b大小的比较，有以下的事实：
a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b
a - b < 0 <=> a < b
比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b 的符号
二. 比较两实数大小的方法
—作差比较法： a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
这是我们研究不 等关系的出发点
a - b < 0 <=> a < b
比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b的符号 比较两个代数式的大小，实际上也是比较它们的值的 大小，而这也归结为判断它们的差的符号．
（填“≤”，“≥”） A
d
B Ｏ B
B
. 2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售 问题 ，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每 提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等 式表示销售的总收入仍不低于20万元？
分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为： x 2.5 0.2 x 万元. 8 0.1 那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可 以表示为不等式：
ac bc 0, bc bd 0, ac bd 由两个可推广到多个
性质7 如果a>b>0,那么 a n bn (n∈N,n≥１) (乘方法则)
注意:当不等式两边都是正数时，不等式两边同时乘 方所得的不等式和原不等式同向.
性质8 如果a>b>0,那么
n
a n b (n∈N,n≥2)