二次函数知识点总结(详细)

1、已知二次函数

2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④

0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2、已知二次函数

2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④

420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）

A ．①②

B ． ①③④

C ．①②③⑤

D ．①②③④⑤

3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．

的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42

-＞0

D ．c b a ++＞0 4、图12为二次函数

2

y ax bx c =++的图象，给出下列说法：

①0ab <；②方程2

0ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0

y >时，13x -<

<．

其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）

1

1 1- O

x

y

y

x

O

1 －1

5、已知=次函数y ＝ax 2

+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2

B 3

C 、4

D 、5

四、二次函数解析式的确定 例4. 求二次函数解析式：

（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）；

（3）已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。 练习：根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1） 当x=3时，y 最小值=－1，且图象过（0，7）

（2） 图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=3

2

（3） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）

五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

例5、 已知抛物线y ＝x 2

-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。

1、二次函数y ＝x 2

-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为

2、 如图所示，二次函数y ＝x 2

－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于点C ，

则△ABC 的面积为( )

A.6

B.4

C.3

D.1

3、若二次函数y ＝(m+5)x 2

+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是

六、直线与二次函数的问题

例6 已知：二次函数为y=x 2

－x+m ，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在x 轴上方，（3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式．

1、抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。

2、直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点。

例7 已知关于x的二次函数y=x2－mx+

21

2

m+

与y=x2－mx－

22

2

m+

，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的

点．

（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；

（2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

练习如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；

（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．

例8 已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

七、用二次函数解决最值问题

例9 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）15 20 30 …

y（件）25 20 10 …

若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？

例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)

( )

A．1．5 m B．1．625 m

C．1．66 m D．1．67 m

八、二次函数应用

(一）经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.(1)试求y与x的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。