二次函数知识点总结(详细)
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、函数定义与表达式1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）；2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）；3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）。
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。
二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。
二、函数图像的性质——抛物线1）开口方向——二次项系数a二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然a≠0.当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大。
顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a）总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。
|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。
y = 2x^2y = x^2y = (1/2)x^2y = -(1/2)x^2y = -x^2y = -2x^22）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴顶点式：x = h两根式：x = x1、x = x23）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
（“左同右异”）a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当x。
-b/2a时），y随着x的增大而增大；当a -b/2a时），y随着x的增大而增大；当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax = -Δ/4a；5）常数项c常数项c决定抛物线与y轴交点。
(完整版)二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数知识要点
二次函数知识要点一、定义和性质二次函数是一种形式为$f(x)=ax^2+bx+c$的函数，其中$a \neq 0$，且$a, b, c$为常数。
二次函数的定义域是实数集$\mathbb{R}$。
1. 抛物线二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于系数$a$的正负。
若$a>0$，则抛物线开口向上；若$a<0$，则抛物线开口向下。
2. 零点二次函数的零点是函数图像与$x$轴的交点，表示方程$f(x)=0$的解。
二次函数的零点个数不超过2个。
3. 预备知识求一个二次函数的图像需要知道抛物线的顶点、开口方向以及与$x$轴的交点等信息，这些信息可以通过转化二次函数的标准形式$f(x)=a(x-h)^2+k$来获得。
二、顶点和轴对称性1. 顶点二次函数的顶点坐标为$(h, k)$，其中$x=h$时取得极值，$k$为函数的最小值（当$a>0$）或最大值（当$a<0$）。
2. 轴对称性二次函数的图像关于直线$x=h$对称。
直线$x=h$称为二次函数的对称轴。
三、更多的性质1. 单调性当$a>0$时，二次函数在开区间$(-\infty, h)$和$(h, +\infty)$上递增，在闭区间$[h, +\infty)$上递减；当$a<0$时，二次函数在开区间$(-\infty,h)$和$(h, +\infty)$上递减，在闭区间$[h, +\infty)$上递增。
2. 函数值的范围对于一般的二次函数，当$a>0$时，函数值的范围为$[k, +\infty)$；当$a<0$时，函数值的范围为$(-\infty, k]$。
3. 极值点若$a>0$，则二次函数的最小值为$k$，对应于顶点$(h, k)$；若$a<0$，则二次函数的最大值为$k$，对应于顶点$(h, k)$。
四、解析式和一般形式1. 解析式二次函数的标准形式为$f(x)=a(x-h)^2+k$，其中$h$和$k$为顶点坐标，$a$决定了开口方向和抛物线的缩放比例。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。
二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。
2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。
4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。
5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。
三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。
2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。
3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。
四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。
2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。
3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。
五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。
2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。
3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。
二次函数知识点总结3篇
二次函数知识点总结第一篇：二次函数的基本定义及图像二次函数是指一个多项式中最高次为二次的函数，通常写成 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的形式，其中 a,b,c 为常数，a 不为零。
二次函数是数学中一类重要的函数类型，其图像为对称的抛物线。
一、基本定义对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 a,b,c 为常数，a 不为零：1. a 是二次函数的开口方向和开口程度的决定因素，当a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。
2. x=-b/2a 是二次函数的对称轴。
3. (x, y) = (-b/2a, c-b^2/4a) 是二次函数的顶点，也是对称轴上的最高点或最低点。
4. 当 a>0 时，对于任何 x，有$f(x)≥y_{min}$；当a<0 时，对于任何 x，有$f(x)≤y_{max}$，其中$y_{min}$ 和 $y_{max}$ 分别为二次函数的最小值和最大值。
二、图像特征二次函数的图像是一条对称的抛物线，其最高点或最低点位于对称轴上，最大值或最小值发生在相应顶点处。
抛物线与 x 轴的交点称为根，由于对称性，常见情况下二次函数最多有两个根。
三、常用的二次函数图像变换1. 上下移动。
将二次函数整体向上或向下平移 k 个单位，得到一种新的二次函数 $y=f(x)+k$。
2. 左右移动。
将二次函数整体向左或向右平移 k 个单位，得到一种新的二次函数 $y=f(x-k)$ 或 $y=f(x+k)$。
3. 垂直方向压缩或拉伸。
将二次函数沿 y 轴缩短或拉长至原来的 s 倍，得到一种新的二次函数 $y=sf(x)$。
4. 水平方向压缩或拉伸。
将二次函数沿 x 轴缩短或拉长至原来的 s 倍，得到一种新的二次函数 $y=f(sx)$。
总之，二次函数的图像特征以及常用的变换方式是掌握二次函数知识的重要基础。
在实际应用中，这些基础概念和操作将为我们处理二次函数相关问题提供宝贵的帮助和指导。
二次函数知识点梳理
二次函数知识点梳理一、二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式函数，其一般形式为 f(x) =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。
根据 a 的正负，抛物线开口向上或向下。
a > 0 时，抛物线开口向上；a < 0 时，抛物线开口向下。
三、顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。
四、对称轴二次函数的对称轴是一条垂直线，其方程为 x = -b/2a。
对称轴将抛物线分为两部分，这两部分关于对称轴对称。
五、判别式二次函数的判别式是 b^2 - 4ac。
根据判别式的值，可以判断二次函数与 x 轴的交点情况：- 如果判别式 > 0，则有两个实数根。
- 如果判别式 = 0，则有一个实数根（重根）。
- 如果判别式 < 0，则没有实数根。
六、根的性质1. 根的和：如果α 和β 是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根，则α + β = -b/a。
2. 根的积：如果α 和β 是二次方程的两个根，则αβ = c/a。
七、因式分解某些二次函数可以因式分解为 (x - α)(x - β) = 0 的形式，其中α 和β 是函数的根。
八、配方法配方法是求解二次方程的一种方法，通过将二次函数转化为完全平方的形式，从而更容易找到方程的解。
九、二次函数的应用二次函数广泛应用于物理、工程、经济等领域，如描述物体的抛体运动、优化生产成本等。
十、二次不等式二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式。
解这类不等式通常需要考虑二次函数的图像和判别式。
十一、复合二次函数复合二次函数是指外层函数是二次函数，内层函数可以是任何实值函数的情况。
这类函数的性质更为复杂，需要结合内外层函数的特点进行分析。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将对二次函数的定义、性质、图像及其相关内容进行总结。
一、二次函数的定义二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a 表示二次项的系数，b 表示一次项的系数，c 表示常数项。
二次函数的定义域为全体实数集。
二、二次函数的性质1. 凹凸性：二次函数的凹凸性取决于a 的正负性。
当a > 0 时，函数图像开口向上，为凹函数；当 a < 0 时，函数图像开口向下，为凸函数。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是 x = -b / (2a)。
对称轴是图像的中心线，函数图像关于对称轴对称。
3. 零点：二次函数的零点是指函数值等于零的 x 值。
二次函数的零点可以有 0、1 或 2 个。
当判别式 D = b^2 - 4ac > 0 时，有 2个不同的实零点；当 D = 0 时，有一个实零点；当 D < 0 时，没有实零点。
4. 最值：当二次函数的开口向上时，函数的最小值为 f(-b / (2a)) = c - (b^2 - 4ac) / (4a)；当二次函数的开口向下时，函数的最大值为 f(-b / (2a)) = c + (b^2 - 4ac) / (4a)。
三、二次函数的图像二次函数的图像为抛物线，其开口方向、顶点、对称轴和零点等特征在前面已经介绍过。
关于图像的绘制，可以根据以下步骤进行：1. 确定顶点：顶点的横坐标为 -b / (2a)，纵坐标为 f(-b / (2a))。
2. 确定对称轴：对称轴的方程为 x = -b / (2a)。
3. 确定开口方向：根据 a 的正负性可以确定开口方向。
4. 确定零点：根据判别式 D 的值可以确定零点的情况。
除了以上内容，二次函数还与一些相关概念有密切联系：1. 判别式：二次函数的判别式 D = b^2 - 4ac 可以用来判断二次函数的零点情况。
二次函数的相关知识点总结
二次函数的相关知识点总结一、二次函数的概念。
1. 定义。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。
二、二次函数的图象。
1. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。
2. 抛物线的顶点坐标。
- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 例如，对于二次函数y=x^2-2x - 3，其中a = 1，b=-2，c=-3。
根据顶点坐标公式，-(b)/(2a)=-(-2)/(2×1)=1，frac{4ac - b^2}{4a}=frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=(-12 - 4)/(4)=-4，所以顶点坐标为(1,-4)。
3. 抛物线的对称轴。
- 对称轴方程为x =-(b)/(2a)。
4. 抛物线的开口方向。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 例如，y = 3x^2+2x - 1中a = 3>0，开口向上；y=-2x^2+5x+3中a=-2 < 0，开口向下。
三、二次函数的性质。
1. 增减性。
- 当a>0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大。
- 当a < 0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小。
2. 最值。
- 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，y_min=frac{4ac - b^2}{4a}，此时x =-(b)/(2a)。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中，a 控制抛物线的开口方向和大小，b控制抛物线在x轴方向的平移，c控制抛物线在y轴方向的平移。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个称为抛物线的曲线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像在抛物线上的最高（或最低）点称为顶点，顶点的横坐标x=-b/2a，即抛物线的对称轴，纵坐标等于f(-b/2a)，即y的最小值或最大值。
4. 二次函数的零点二次函数在x轴上的交点称为零点，满足f(x)=0时的x值。
零点的判别式为Δ=b²-4ac，当Δ>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实根。
5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
二、解析式求解1. 一般形式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c。
通过配方法、完全平方式或因式分解，可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式来方便求解相关参数。
2. 标准形式将一般形式的二次函数转化为标准形式f(x) = a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。
3. 顶点形式将一般形式的二次函数转化为顶点形式f(x) = a(x-p)(x-q)，其中(p,q)为零点的坐标。
4. 判别式通过二次函数的判别式Δ=b²-4ac，可以方便地判断二次函数的零点类型和数量。
三、图像解析1. 抛物线的开口方向二次函数的参数a的正负决定了抛物线的开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2. 抛物线的顶点、对称轴和最值通过二次函数的顶点坐标和对称轴方程，可以方便地求得抛物线的顶点和对称轴，并进而求得最小值或最大值。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c=+的性质： 上加下减。
3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项cc>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑴当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑵当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．⑶当0总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a b c二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=---；y ax bx cy ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2()2y a x h ky a x h k=---；=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()22. 关于y轴对称2=-+；y ax bx cy ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2()2y a x h k=++；=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k3. 关于原点对称2=-+-；y ax bx cy ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2()2=-+-；y a x h ky a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()24. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x，求这条抛物线的解析式。
《二次函数》知识点梳理与总结
《二次函数》知识点梳理与总结
一、定义
二次函数是一类二元多项式函数，其一般形式如下：
f(x)=ax2+bx+c
其中a≠0，且a，b，c为常数。
它是一阶导数连续可微的函数。
二、性质
1．二次函数的图象是一个双曲线，其有两条对称轴，分别为y轴和其他对称轴，其上还有一个坐标原点称为顶点。
2．关于y轴的对称性:f(-x)=f(x)
3．关于其他对称轴的对称性：f(x+b/2a)=f(x-b/2a)
4．关于顶点：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))
5．当a>0时，双曲线凹，即顶点在第四象限。
6．当a<0时，双曲线凸，即顶点在第一象限。
7．函数的单调性：除两端点外，双曲线上任一点，函数值都在顶点极值线的两侧。
8．二次函数的极值：极值点在二次函数在顶点处，y值为f(-b/2a) 9．函数的凹凸：当a>0时，双曲线是凹函数；当a<0时，双曲线是凸函数。
三、解法
1．利用顶点标准格式求二次函数的顶点：
顶点坐标：(-b/2a，f(-b/2a))
2．利用极值定理求二次函数的极值：
极值点在二次函数在顶点处，y值为f(-b/2a)
3．利用对称性求双曲线的轴的对称性：
1）关于y轴的对称性：f(-x)=f(x)
2）关于其他对称轴的对称性：f(x+b/2a)=f(x-b/2a)。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要内容，以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1. 二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 求解二次函数的根：当y=0时，求解二次方程ax^2+bx+c=0的解。
3.二次函数的图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。
4.抛物线的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。
5.抛物线的对称轴：二次函数图像的对称轴是直线x=-b/2a。
二、图像与相关性质1.拉平方法：将一般式的二次函数化为顶点形式的二次函数。
2.抛物线的开口方向：若二次函数的a>0，则抛物线开口向上；若二次函数的a<0，则抛物线开口向下。
3.抛物线的最值：若抛物线开口向上，则函数有最小值（最小值为f(-b/2a)）；若抛物线开口向下，则函数有最大值。
4.抛物线的轴对称性：抛物线关于对称轴对称。
5.零点存在性：若一元二次方程有实数根，则抛物线与x轴有交点；若一元二次方程无实数根，则抛物线与x轴无交点。
6.抛物线的轨迹：当抛物线的开口向上时，抛物线图像在x轴上方；当抛物线的开口向下时，抛物线图像在x轴下方。
三、解二次方程1. 提取公因式法：ax^2+bx+c=0，公因式为a，即a(x^2+(b/a)x+c/a)=0，再由零因积性质解得x的值。
2. 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，解的公式为x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)。
3. 完全平方式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，通过变形将方程化为完全平方式(x﹦d)^2=0，再解出x的值。
四、因式分解1. 根与系数关系：若x1和x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，则方程可以分解为a(x-x1)(x-x2)=0。
2. 判别式与因式分解：一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中b^2-4ac 被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不等实数根，即方程可因式分解为a(x-p)(x-q)=0，其中p和q是方程的两个根；当判别式等于0时，方程有两个相等实数根，即方程可因式分解为a(x-r)^2=0，其中r 是方程的根；当判别式小于0时，方程无实数根，即方程不可因式分解。
二次函数知识点总结(详细)
2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。
（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。
2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结一、基本概念二次函数，是指一种关系式y=ax²+bx+c，其中a为非零常数，而b和c为常数，x和y分别为自变量和因变量。
二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，其中x为自变量，y 为因变量，a、b、c分别为常数，a不等于0.二、图像特征1. 开口方向当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2. 对称轴二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=-b/2a.3. 单调性当a>0时，函数在对称轴左侧单减，右侧单增；当a<0时，函数在对称轴左侧单增，右侧单减。
4. 零点当y=0时，二次函数的解析式可变为ax²+bx+c=0，由求根公式可知，它有两个实数根x1、x2，为二次函数的零点。
5. 最值当a>0时，二次函数在对称轴上有一个最小值；当a<0时，二次函数在对称轴上有一个最大值。
三、性质和运用1. 判别式对于二次函数y=ax²+bx+c，判别式D=b²-4ac可以用来判断它的零点个数和类型：当D>0时，函数有两个不同实根，图像与x轴有两个交点；当D=0时，函数有一个重根，图像与x轴只有一个交点；当D<0时，函数没有实根，图像与x轴没有交点。
2. 求导对于二次函数y=ax²+bx+c，可以对其求导，得到y'=2ax+b，这个导数表示了函数在各个点的斜率，因此可以用来求函数的切线和极值。
3. 模型应用由于具有一定的可控性和可预测性，二次函数可以用来建立各种实际应用中的数学模型，例如：抛物线、自由落体、平衡价格等等。
4. 与图像的关系可以通过调整a、b、c的值，来控制函数图像的形态和特征，例如调整a的值可以改变函数的开口方向和形状，调整b的值可以改变对称轴的位置，调整c的值可以改变函数图像与y轴的截距。
四、常见问题1. 二次函数如何确定开口方向？二次函数的开口方向由二次项系数a的符号决定，当a>0时，函数开口向上；当a<0时，函数开口向下。
初中二次函数知识点汇总(全)
★二次函数知识点汇总★1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 acx x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121 13．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况． (2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根 14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．。
初中数学二次函数最全知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学的重点内容之一，掌握二次函数的知识对于解决实际问题和提高数学能力都具有重要意义。
以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1.函数：函数是一种特殊的关系，它可以用来描述自变量和因变量之间的对应关系。
2. 二次函数：二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二、图像和性质1.基本图像：二次函数的基本图像是抛物线，开口方向由常数a的正负决定。
2. 零点：二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解，可以用求根公式或配方法求出。
3.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。
4.最值：二次函数的最值可以通过对称轴得到，最值为抛物线的顶点。
5.单调性：当抛物线开口向上时，二次函数是增函数；开口向下时，二次函数是减函数。
6.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小来获得新图像。
三、二次函数的解析式1. 标准形式：当a = 1时，二次函数的标准形式是y = x² + px + q。
2.顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
3. 一般形式：二次函数的一般形式是y = ax² + bx + c，实际问题中常用。
四、二次函数的变形1. 增长量：二次函数y = ax² + bx + c中，增长量即为b。
2.曲线方向：二次函数的曲线方向由a的正负决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
3.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小进行变形。
4.翻折：二次函数的图像可以进行关于x轴或y轴的翻折，得到新的图像。
五、二次函数的性质1.零点性质：二次函数的零点个数最多为2个。
2.对称性质：二次函数关于对称轴具有对称性。
3.成立范围：二次函数在全体实数范围内都成立。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结一、基本概念：1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形式f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
2.二次函数图像的一般特征：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。
3.二次函数的平面坐标系：二次函数的图像在平面直角坐标系中的形状、位置以及与坐标轴的焦点有关。
二、顶点坐标与开口方向：1.顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过化简函数式得到，即x=-b/(2a)得到x坐标，再代入函数式计算得到y坐标。
2.开口方向：二次函数开口向上当且仅当a大于零，开口向下当且仅当a小于零。
三、对称轴与焦点：1.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/(2a)。
2.焦点：二次函数的焦点与平面坐标系画图时的焦点位置有关。
四、性质与变化规律：1.奇偶性：二次函数的奇偶性由二次项的系数a的奇偶性决定，即，若a为奇数，则函数为奇函数；若a为偶数，则函数为偶函数。
2.正负性：二次函数的正负性由函数值的正负决定，其函数值与x的值、a的符号以及顶点坐标的y值正负有关。
3.单调性与极值：二次函数的单调性与开口方向有关，开口向上的二次函数在对称轴两侧单调递增，开口向下的二次函数在对称轴两侧单调递减。
二次函数的极值即为顶点值。
4.过点性质：给定两点，可以通过这两点在函数上的坐标计算出唯一确定的二次函数的函数式。
5.零点求解：二次函数的零点即为函数与x轴的交点，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解。
五、两点式与标准式：1.两点式：已知二次函数经过两点，可以利用两点式直接写出函数的函数式。
2.标准式：将二次函数的一般式化简成标准式，即f(x)=a(x-h)^2+k 的形式，能够直接得到函数的顶点坐标。
六、函数图像：1.函数图像绘制：根据顶点坐标、对称轴方程、开口方向以及函数值的正负性，可以绘制出二次函数的图像。
2.辅助判断：利用辅助判断函数的图像与坐标轴的交点，确定函数的变化规律。
(完整版)初中二次函数知识点详解最新助记口诀
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0 x
y
0 x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是xΒιβλιοθήκη ，顶点坐标是（ ， ）；（3）在对称轴的左侧，即当x< 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x= 时，y有最小值，
知识点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特 ，特别注意a不为零
那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小随基础。
【注】基础抛物线
（2）求抛物线 与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
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1、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0D ．c b a ++＞0 4、图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）11 1- OxyyxO1 －15、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4. 求二次函数解析式：（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）；（3）已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
练习：根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1） 当x=3时，y 最小值=－1，且图象过（0，7）（2） 图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=32（3） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）例5、 已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。
1、二次函数y ＝x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为2、 如图所示，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为( )A.6B.4C.3D.13、若二次函数y ＝(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知：二次函数为y=x 2－x+m ，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在x 轴上方，（3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式．1、抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
2、直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点。
例7 已知关于x的二次函数y=x2－mx+212m+与y=x2－mx－222m+，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；（2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？练习如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．例8 已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．七、用二次函数解决最值问题例9 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）15 20 30 …y（件）25 20 10 …若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A．1．5 m B．1．625 mC．1．66 m D．1．67 m八、二次函数应用(一）经济策略性1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。
经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。
假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.(1)试求y与x的之间的关系式.(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。
（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。
（2）如果放养X 天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q 元，写出Q 关于X 的函数关系式。
（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？自我检测（30分钟）一. 选择题。
1. 用配方法将12322x x ++化成()a x b c ++2的形式（ ） A. ()123522x +-B. 1232542x +⎛⎝ ⎫⎭⎪-C.()12322x ++D.()12372x +- 2. 对于函数y ax a =<20()，下面说法正确的是（ ）A. 在定义域内，y 随x 增大而增大B. 在定义域内，y 随x 增大而减小C. 在()-∞，0内，y 随x 增大而增大D. 在()0，+∞内，y 随x 增大而增大3. 已知ab c <<>000，，，那么y ax bx c =++2的图象（ ）4. 已知点（-1，3）（3，3）在抛物线y ax bx c =++2上，则抛物线的对称轴是（ ）A. xab=-B. x =2C. x=3 D. x =15. 一次函数yax b =+和二次函数y ax bx c =++2在同一坐标系内的图象（ ）6. 函数yx x =-++33322的最大值为（ ） A.94B. -32C.32D. 不存在二. 填空题。
7.()()y m x m x m=++-++11321是二次函数，则m =____________。
8. 抛物线y x x =--52222的开口向________，对称轴是____________，顶点坐标是____________。
9. 抛物线y ax bx c =++2的顶点是（2，3），且过点（3，1），则a =___，b =___，c =____________。
10. 函数y x x =---123522图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数____________的图象。
三. 解答题。
12. 抛物线()()y x m x m m =-++-+-222243，m 为非负整数，它的图象与x 轴交于A 和B ，A 在原点左边，B 在原点右边。
（1）求这个抛物线解析式。
（2）一次函数y kx b =+的图象过A 点与这个抛物线交于C ，且S ABC ∆=10，求一次函数解析式。
◆强化训练 一、填空题1． 右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．2． 已知抛物线y=a 2+bx+c 经过点A （－2，7），B （6，7），C （3，－8），•则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______． 3．已知二次函数y=－x 2+2x+c 2的对称轴和x 轴相交于点（m ，0），则m 的值为______．4． 若二次函数y=x 2－4x+c 的图像与x 轴没有交点，其中c 为整数，•则c=_______（只要求写出一个）． 5． 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（1，2）与（－1，4），则a+c•的值是______．6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （m ）与其距地面高度h （m ）之间的关系式为h=－112s 2+23s+32．如下左图所示，•已知球网AB 距原点5m ，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94m ，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m•的取值范围是______．7．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．8．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，•房子的价格y（元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）•都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2．二、选择题9．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，•则下列关系式不正确的是（）A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0(第9题) (第12题) (第15题)10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（）A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y1<y3<y211．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．212．如图所示，抛物线的函数表达式是（）A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+213．抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位14．已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（）A．（12，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）16．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，•且m≠0）的图像可能是（）三、解答题17．如图所示，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a>0）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP•是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．18．如图所示，m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，•抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标．19．某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，•其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车．按规定，•机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．•为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，•建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB 和拱高OC．20．已知一个二次函数的图像过如图所示三点．（1）求抛物线的对称轴；（2）平行于x轴的直线L的解析式为y=254，抛物线与x轴交于A，B两点．•在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．21．如图5－76所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x•轴交于A，B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．22．如图所示，过y轴上一点A（0，1）作AC平行于x轴，交抛物线y=x2（x≥0）于点B，交抛物线y=12x2（x≥0）于点C；过点C作CD平行于y轴，交抛物线y=x2于点D；过点D作DE平行于x轴，交抛物线y=14x2于点E．（1）求AB：BC；（2）判断O，B，E三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由．。