椭圆的简单性质练习题及答案

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椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是（A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为（A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为（A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列（B ）r 1, r 2, r 3成等比数列（C ）123111,,r r r 成等差数列（D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是（A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。

(完整版)椭圆的简单性质练习题及答案

椭圆一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0）的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0）和定直线ca x 2-=的距离之比为ac （a >c>0）的点的轨迹是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F （c ，0）的距离之比为ca (a >c 〉0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2,0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 ( ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ )A ．(0，+∞)B ．（0,2)C ．（1，+∞）D ．(0，1)4．设定点F 1(0，－3)、F 2(0，3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 ( ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点,若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1,－1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2｜MF|的值最小,则这一最小值是（）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2,0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 ( ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题,每小题6分，共24分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ 。

椭圆的几何性质(简单性质)

3
则 C 的离心率为 3
.
y
BF 2FD
B
(c, b) 2( x c, y)
x
3 2
c,
y
b 2
.
OF
x
D
(
3 2
c
a2
)2
(
b 2
)2
b2
1,
c2 a2
1 3
,
e
3 3
.
主页
【4】(09·江苏)如图，在平面直角坐标系
xOy中, A1, A2, B1, B2为椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的四
PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
y
P
解：当点 P 在椭圆短轴端点时， F1PF2 最大．
F1
o
F2
x
≥ 45 sin ≥
2 2
c a
sin
≥
2 2
又0e1
2 2
≤
e
1
主页
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且 PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
(Ⅱ)设 PF1 m, PF2 n ，构造方程、不等式
解解解解:::易:易易易知知知知aaa＝a解＝＝＝2:22，易，2，，b知bb＝＝＝ba1＝1＝1，，，12cc，＝c，＝＝cb＝＝333，，，1，3，c＝ 3，所所所所以以以以FFFF11(1(1－(－(－所－3以33，，3，F0，00)1)，()，0－，)FF，F22(23(F(，3233，(，0，)03，00)，)．)．F．02()．3，0)．设设设设PPP((x((xx，x，，，yy)y设)y，)，，)，P(x，y)，

高二上学期数学练习题(7)(椭圆的简单几何性质)有详细答案

高二上学期数学练习题（7）（椭圆的简单几何性质）班级姓名学号一．选择填空题1. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为（）A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69) 2. 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( ) A.32 B.34 C.22 D.233. 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为（） A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝ ( )．A.14B.12C ．2D ．4 5. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( ) A.52 B.33 C.12 D.136. 如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )． A.15 B.25 C.55 D.2557. 已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ( )． A ．2 3 B ．4 3 C ．4 D ．88. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1²k 2的值为 ( )． A.12 B ．－12 C.13 D ．－139. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 （） 10. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1二．填空题11.已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________． 12.已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________．13.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．14.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________15.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．16.椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．17.已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝_______18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 则该椭圆的离心率为________．三．解答题19.求椭圆x 24＋y 2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．20.已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A (2，－6)．求椭圆的标准方程．21.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．22.已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．23.已知过点A (－1，1)的直线与椭圆x 28＋y24＝1交于点B 、C ，当直线l 绕点A (－1，1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程．24.如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．高二上学期数学练习题（7）（椭圆的简单几何性质）参考答案班级姓名学号（5-12页）一．选择填空题1. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为（）A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．答案 D 2. 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( )． A.32 B.34 C.22 D.23解析：将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 14＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32.答案 A 3. 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为（） A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 解析因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.答案 A4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝ ( )．A.14B.12 C ．2 D ．4 解析将椭圆方程化为标准方程为x 2＋y 21m＝1，∵焦点在y 轴上，∴1m >1，∴0<m <1.由方程得a ＝1m ，b ＝1.∵a ＝2b ，∴m ＝14. 答案 A 5. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( ) A.52 B.33 C.12 D.13解析：记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33，故选B.答案 B6. 如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B A.15 B.25 C.55 D.255解析：由条件知，F 1(－2，0)，B (0，1)，∴b ＝1，c ＝2，∴a ＝22＋12＝5，∴e ＝c a ＝25＝255.答案 D7. 已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ( )． A ．2 3 B ．4 3 C ．4 D ．8 解析如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接 AF 1、FD .由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1(其中F 1为椭圆的下焦点)为平行四边形，∴AF 1＝FD ，同理BF 1＝CF ， ∴AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝AF ＋BF ＋BF 1＋AF 1＝4a ＝8.答案 D8. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1²k 2的值为 ( )． A.12 B ．－12 C.13 D ．－13解析设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 12＝b 2－b 2x 12a2，所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 12x 2－x 12＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案 D 9. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 （）解析设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1，0)．∴由F A →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0，∴x 0＝43，y 0＝13n ，将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12³(43)2＋(13n )2＝1.解得n 2＝1，∴|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.所以选A.答案 A 10. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( D )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1二．填空题11.已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4. 所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.答案 x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝112.已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________．解析：①当k ＋8>9时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4；②当k ＋8<9时，e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.答案4或－5413.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析：依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.∴2a ＝12，即a ＝6.∵椭圆的离心率为32，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝32，∴b 2＝9.∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案 x 236＋y 29＝114.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝92，c a ＝35，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝42.但焦点位置不确定．答案 x 250＋y 232＝1或x 232＋y 250＝115.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝（4m ）2－4m （3＋m ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆知，m >0且m ≠3. 综上可知，m 的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．答案 (1，3)∪(3，＋∞) 16.椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（12x 1－12x 2）2＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54（4＋24）＝35，答案 35。

椭圆练习题及答案

椭圆练习题及答案椭圆练习题及答案椭圆是数学中一种重要的几何形状，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文将为大家提供一些椭圆的练习题，并给出相应的答案。

通过这些练习题，希望读者能够更好地理解和掌握椭圆的性质和运用。

1. 练习题一：给定椭圆的长轴长度为8，短轴长度为6，求椭圆的离心率。

解答：椭圆的离心率定义为离心距与长轴长度之比，其中离心距为焦点到椭圆上任意一点的距离。

由于椭圆的离心距等于长轴长度的一半，所以离心率为1/2。

2. 练习题二：已知椭圆的焦点F1和F2的坐标分别为(-3,0)和(3,0)，离心率为2/3，求椭圆的方程。

解答：设椭圆的焦点为F1(-c,0)和F2(c,0)，离心率为e，则椭圆的方程为(x+c)^2+y^2=(x-c)^2+y^2=e^2(x^2+y^2)。

代入已知条件，可得到方程为(x+3)^2+y^2=(x-3)^2+y^2=(4/9)(x^2+y^2)。

3. 练习题三：已知椭圆的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-4)和(0,4)，离心率为1/2，求椭圆的方程。

解答：设椭圆的焦点为F1(0,-c)和F2(0,c)，离心率为e，则椭圆的方程为x^2+(y+c)^2=x^2+(y-c)^2=e^2(x^2+y^2)。

代入已知条件，可得到方程为x^2+(y+4)^2=x^2+(y-4)^2=(1/4)(x^2+y^2)。

4. 练习题四：已知椭圆的焦点F1和F2的坐标分别为(-2,0)和(2,0)，离心率为3/5，求椭圆的方程。

解答：设椭圆的焦点为F1(-c,0)和F2(c,0)，离心率为e，则椭圆的方程为(x+c)^2+y^2=(x-c)^2+y^2=e^2(x^2+y^2)。

代入已知条件，可得到方程为(x+2)^2+y^2=(x-2)^2+y^2=(9/25)(x^2+y^2)。

通过以上练习题，我们可以看到椭圆的方程与其焦点和离心率之间的关系。

椭圆的方程可以通过焦点和离心率来确定，同时也可以通过方程来求解椭圆的性质和参数。

椭圆的几何性质(含答案)

椭圆的几何性质一、选择题1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上 2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0)具有( )A ．相同的长轴B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的离心率3．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( ) A.22B.32 C.53D.634．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．x ，y 有相同的取值范围5．以椭圆两焦点F 1、F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e 等于( )A.12B.22C.32D.2556．中心在原点、焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝17．焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝18．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( ) A.14 B.12 C.22D.329．若椭圆两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆方程是( ) A.x 236＋y 220＝1 B.x 228＋y 212＝1C.x 225＋y 29＝1 D.x 220＋y 24＝1二、填空题10．如图，在椭圆中，若AB ⊥BF ，其中F 为焦点，A 、B 分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e ＝________.11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2，焦距为2c ，若d 1、2c 、d 2成等差数列，则椭圆的离心率为________．12．经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．三、解答题13．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率e ＝32，求椭圆的方程．14．已知椭圆mx 2＋5y 2＝5m 的离心率为e ＝105，求m 的值．椭圆的几何性质（答案）1、[答案] C [解析] ∵点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，∴由椭圆的对称性知，点(－3,2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C. 2、[答案] D [解析] 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0)中，不妨设a >b ，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝a 2－b 2a，椭圆x 2a 2k ＋y 2b 2k ＝1(k >0)的离心率e 2＝k a 2－b 2ka＝a 2－b 2a .3、[答案] A [解析] 由题意得b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，e ＝c a ＝22.4、[答案] B [解析] ∵0<k <9，∴0<9－k <9,16<25－k <25，∴25－k －9＋k ＝16，故两椭圆有相等的焦距．5、[答案] B [解析] 由题意得b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝22.6、[答案] A [解析] ∵2a ＝18，∴a ＝9，由题意得2c ＝13×2a ＝13×18＝6，∴c ＝3，∴a 2＝81，b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，故椭圆方程为x 281＋y 272＝1.7、[答案] A [解析] 由题意得c ＝25，a ＋b ＝10，∴b 2＝(10－a )2＝a 2－c 2＝a 2－20，解得a 2＝36，b 2＝16，故椭圆方程为x 236＋y 216＝1.8、[答案] D [解析] 由题意得a ＝2b ，a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，∴c a ＝32.9、[答案] C [解析] 由题意得c ＝4，∵P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积为12，∴12×2c ×b ＝12，即bc ＝12，∴b ＝3，a ＝5，故椭圆方程为x 225＋y 29＝1. 10、[答案]5－12 [解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，则有A (a,0)，B (0，b )，F (c,0)，由AB ⊥BF ，得k AB ·k BF ＝－1，而k AB ＝b a ，k BF ＝－b c 代入上式得b a ⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，利用b 2＝a 2－c 2消去b 2，得a c －c a ＝1，即1e －e ＝1，解得e ＝－1±52，∵e >0，∴e ＝5－12.11、[答案] 12 [解析] 由题意得4c ＝d 1＋d 2＝2a ，∴e ＝c a ＝12.12、[答案] 2b 2a[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x ＝±c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±c x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝b 4a 2，∴|y |＝b 2a ，故弦长为2b 2a .13、[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝16c a ＝32，∴a ＝4，c ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝4，所求椭圆方程为x 216＋y 24＝1.14、[解析] 由已知可得椭圆方程为x 25＋y 2m＝1(m >0且m ≠5)．当焦点在x 轴上，即0<m <5时，有a ＝5，b ＝m ，则c ＝5－m ，依题意得5－m 5＝105，解得m ＝3.当焦点在y 轴上，即m >5时，有a ＝m ，b ＝ 5. 则c ＝m －5，依题意有m －5m＝105.解得m ＝253.即m 的值为3或253.。

椭圆的简单几何性质典型例题

典型例题例1椭圆的一个顶点为A（2,0）,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置・解：（1）当4（2,0）为长轴端点时，《= 2, b = l,椭圆的标准方程”令+F（2）当A（2,0）为短轴端点时，b = 2, d = 4,椭圆的标准方程为：宁+P说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况•典型例题例2 —个椭圆的焦点将英准线间的距离三等分，求椭圆的离心率.解：•/ 2c = — X 2 X - /. V" = rc 3说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求求C,再求比.二是列含《和C 的齐次方程，再化含€的方程，解方程即可.典型例题例3已知中心在原点，焦点在兀轴上的椭圆与宜线x+y-1 = 0交于A、B两点,M为A8中点，OM的斜率为，椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解：由题意，设椭圆方程为亠+尸=44 月+|CF| = 2|BF,且BF=-. 5 18 yx + y-\ = O由 1牙2 分.W(l + t/)\'-2rt-x = 0,2 a\ + aA —+ y-=l 为所求.4说明:（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法：（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题•典型例题四（Q \=1上不同三点A （・X[, yj, B 4T - , C{x^,儿）与焦点F （4・0）的\ 5丿距离成等差数列.(1)求证X] +x^ =8：（2）若线段AC 的垂直平分线与X 轴的交点为7\求直线的斜率a. 证明：（1）由椭圆方程知a = 5 , h = 3 . c = 4・Ccr a---- 斗cAF 由圆锥曲线的统一泄义知:（2）因为线段AC 的中点为（4,匹尹｝所以它的垂直平分线方程为又T 点r 在X 轴上，设其坐标为（心，0）,代入上式，得33歼一兀 2（X|-X2）又•••点”），B （与儿）都在椭圆上• -）；=却25-彳）y ；=善（25 一卅）-K _ 衣=一舟（“1 + 兀2 -吃）•将此式代入①，并利用西+勺=8的结论得%0-4 =-—0 25典型例题五例5已知椭圆宁+寸=1,片、&为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，便M 到左准线/的距离MN 是M 斥与MF ；的等比中项若存在，则求出点M 的坐标；若不存在, 请说明理由•a = 2tb = Vs ,c = 1 r e = —2「左准线/的方程是x = r ，R - 5 -5 47。

《椭圆的简单几何性质》练习题二

《椭圆的简单几何性质》练习题二1.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若 △F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）（A ）22（B ）212- （C ）2—2 （D ）2—1 2．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不．正确的是( ) A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2 B ．a 1－c 1＝a 2－c 2 C ．a 1c 2<a 2c 1 D ．a 1c 2>a 2c 13.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且 BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.124. 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（） A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴5．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（）A ．516B ．566C ．875D ．8776．椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点距离为8，则点P 到右准线的距离是（）（A ） 25 （B ） 45 （C ） 35 （D ） 425 7．椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点 1F 、2F ，若椭圆上存在点P ，使得 02190=∠PF F ，则椭圆的离心率的取值范围是（）（A ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 （B ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 （C ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 8．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（）（A ）53 （B ）312 （C ）43 （D ）9109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点 M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（）A ．25B ．27C ．3D ．410. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④1212.c c a a < 其中正确式子的序号是（）A.①③B.②③C.①④D.②④10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)．若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____．11.椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，M 到左焦点的距离为， M 到右焦点的距离为 .12.椭圆14922=+y x 的两个焦点 1F 、2F ，点P 是椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝角时，则点P 的横坐标的范围是13.直线062=+-y x 过椭圆12522=+my x 的左焦点，则椭圆的右准线方程是 . 14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且B F x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是15.已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．16已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求（1）||35||1MF MA +的最小值（2）||5||31MF MA +的最小值17.已知椭圆C 的方程为1121622=+y x ，F 1、F 2是它的左右两个焦点，点A 的坐标为(3,1)，试在椭圆上求一点P ，(1)使得|PA|+|PF 2|最小；(2)使得|PA|+2|PF 2|最小，并求出相应的最小值。

(完整版)椭圆练习题(含答案)

解析几何——椭圆精炼专题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7．已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（） A ．相同的短轴 B ．相同的焦点 C ．相同的离心率 D ．相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（） A ．9 B ．12 C ．10 D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为；最小值为． 15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C ，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211b a +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12 .化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。

椭圆的简单几何性质(含解析)

椭圆的简单几何性质班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1.椭圆25x2+9y2=1的范围为()(A)|x|≤5,|y|≤3(B)|x|≤,|y|≤(C)|x|≤3,|y|≤5(D)|x|≤,|y|≤2.椭圆x2+4y2=4的离心率为()(A)(B)(C)(D)3.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为()(A)(±13,0) (B)(0,±10)(C)(0,±13) (D)(0,±)4.已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于()(A)9 (B)4 (C)3 (D)25.已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴,椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等,则()(A)a2=25,b2=16(B)a2=9,b2=25(C)a2=25,b2=9或a2=9,b2=25(D)a2=25,b2=96.椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为()(A)有相等的长、短轴长(B)有相等的焦距(C)有相同的焦点(D)有相同的顶点7.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()(A)+=1 (B)+=1(C)+y2=1 (D)+=18.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为()(A)(B)(C)(D)-29.已知A1,A2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,P是椭圆C上异于A1,A2的任意一点,若直线PA1,PA2的斜率的乘积为-,则椭圆C的离心率为()(A)(B)(C)(D)10.设A1,A2为椭圆+=1(a>b>0) 的左、右顶点,若在椭圆上存在异于A1,A2的点P,使得·=0,其中O 为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是()(A)(0,) (B)(0,)(C)(,1) (D)(,1)二、填空题11.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的方程为.12.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=2经过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆E的离心率为.13.已知椭圆+=1的离心率为,则k的值为.14.将椭圆+=1的长轴(线段AB)分成8等份,过每个分点作x轴的垂线,分别交椭圆于P1,P2,P3,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=.15.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上的任意一点,若以F1,F2,P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是.三、解答题16.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0);(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为.17.如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若=2,·=,求椭圆的方程.椭圆的简单几何性质班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1.椭圆25x2+9y2=1的范围为( B )(A)|x|≤5,|y|≤3 (B)|x|≤,|y|≤(C)|x|≤3,|y|≤5 (D)|x|≤,|y|≤解析:椭圆方程可化为+=1,所以a=,b=,又焦点在y轴上,所以|x|≤,|y|≤.故选B.2.椭圆x2+4y2=4的离心率为( A )(A)(B)(C)(D)解析:椭圆x2+4y2=4化为+y2=1,可得a=2,b=1,c==.所以椭圆的离心率e==,故选A.3.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( D )(A)(±13,0) (B)(0,±10)(C)(0,±13) (D)(0,±)解析:由题意知椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c==,故焦点坐标为(0,±).故选D.4.已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于( C )(A)9 (B)4 (C)3 (D)2解析:根据焦点坐标可知焦点在x轴上,所以a2=25,b2=m2,c2=16,又因为m2=b2=a2-c2=9,解得m=3,故选C. 5.已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴,椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等,则( D )(A)a2=25,b2=16(B)a2=9,b2=25(C)a2=25,b2=9或a2=9,b2=25(D)a2=25,b2=9解析:因为椭圆+=1的长轴长为10,焦点在x轴上,椭圆+=1的短轴长为6,所以a2=25,b2=9.故选D.6.椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为( B )(A)有相等的长、短轴长(B)有相等的焦距(C)有相同的焦点 (D)有相同的顶点解析:因为(25-k)-(9-k)=25-9=16,所以焦距相等.故选B.7.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( A )(A)+=1 (B)+=1(C)+y2=1 (D)+=1解析:因为x2+y2-2x-15=0,所以(x-1)2+y2=16,所以r=4=2a,所以a=2,因为e=,所以c=1,所以b2=3,故选A.8.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( B )(A)(B)(C)(D)-2解析:因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.所以离心率e==,故选B.9.已知A1,A2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,P是椭圆C上异于A1,A2的任意一点,若直线PA1,PA2的斜率的乘积为-,则椭圆C的离心率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:设P(x0,y0),则·=-,化简得+=1,则=,e===,故选D.10.设A1,A2为椭圆+=1(a>b>0) 的左、右顶点,若在椭圆上存在异于A1,A2的点P,使得·=0,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是( D )(A)(0,) (B)(0,)(C)(,1) (D)(,1)解析:A1(-a,0),A2(a,0),设P(x,y),则=(-x,-y),=(a-x,-y),因为·=0,所以(a-x)(-x)+(-y)(-y)=0,y2=ax-x2>0,所以0<x<a.代入+=1,整理得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0在(0,a)上有解,令f(x)=(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0,因为f(0)=-a2b2<0,f(a)=0,所以Δ=(a3)2-4×(b2-a2)×(-a2b2)=a2(a4-4a2b2+4b4)=a2(a2-2b2)2≥0,所以对称轴满足0<-<a,即0<<a,所以<1,>,又0<e<1,所以<e<1,故选D.二、填空题11.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的方程为.解析:由题意可知e==,2b=4,得b=2,所以解得答案:+=112.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=2经过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆E的离心率为.解析:由题意得,椭圆的右焦点F为(c,0),上顶点B为(0,b),因为圆(x-1)2+(y-1)2=2经过右焦点F和上顶点B,所以解得b=c=2,则a2=b2+c2=8,解得a=2,所以椭圆E的离心率e===.答案:13.已知椭圆+=1的离心率为,则k的值为.解析:当9>4-k>0,即-5<k<4时,a=3,c2=9-(4-k)=5+k,所以=,解得k=.当9<4-k,即k<-5时,a=,c2=-k-5,所以=,解得k=-21.答案:或-2114.将椭圆+=1的长轴(线段AB)分成8等份,过每个分点作x轴的垂线,分别交椭圆于P1,P2,P3,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= .解析:由椭圆的对称性及定义易知|P1F|+|P7F|=2a,|P2F|+|P6F|=2a,|P3F|+|P5F|=2a,|P4F|=a,所以|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a,因为a=5,所以所求式子的值为35.答案:3515.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上的任意一点,若以F1,F2,P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是.名师点拨:若|PF1|=|PF2|,则·≥0;若|PF1|=|F1F2|,则cos ∠PF1F2≥0,由此建立关于a,c的不等式组,解不等式组可得椭圆C的离心率的取值范围.解析:因为F1(-c,0),F2(c,0),①若|PF1|=|PF2|,则点P为椭圆短轴上的顶点,不妨设P(0,b),则=(-c,-b),=(c,-b),因为△PF1F2不可能是钝角三角形,所以·≥0,即b2-c2≥0,所以c2≤b2=a2-c2,所以2c2≤a2,解得0<e≤.②若|PF1|=|F1F2|=2c,则|PF2|=2a-2c,在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠PF1F2==≥0,所以c2+2ac-a2≥0,所以e2+2e-1≥0,解得e≥-1(e≤--1舍去).因为以F1,F2,P三点为顶点的等腰三角形不可能是钝角三角形,所以所以-1≤e≤.答案:[-1,]三、解答题16.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0);(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为. 解:(1)若椭圆的焦点在x轴上,设方程为+=1(a>b>0),因为椭圆过点A(2,0),所以=1,a=2.因为2a=2·2b,所以b=1,所以方程为+y2=1.若椭圆的焦点在y轴上,设椭圆方程为+=1(a>b>0),因为椭圆过点A(2,0),所以=1,所以b=2,因为2a=2·2b,所以a=4,所以方程为+=1.综上所述,椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.(2)由已知所以从而b2=9,所以所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.17.如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若=2,·=,求椭圆的方程.解:(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有|OA|=|OF2|,即b=c. 所以a=c,e==.(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中,c=,设B(x,y).由=2⇔(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B(,-).将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a 2=3c2.①又由·=(-c,-b)·(,-)=⇒b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆方程为+=1.2。

2022高三总复习数学椭圆及简单几何性质(含解析)

椭圆及简单几何性质A 级——基础达标1．已知椭圆x 211－m ＋y 2m －3＝1的长轴在y 轴上，且焦距为4，则m 等于( )A ．5B ．6C ．9D ．10解析：选C 由椭圆x 211－m ＋y 2m －3＝1的长轴在y 轴上，焦距为4，可得m －3－11＋m＝2，解得m ＝9.故选C ．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，则ab ＝( )A ．98B ．322 C ．43D ．324解析：选D ∵e ＝ca ＝ a 2－b 2a 2＝13，∴8a 2＝9b 2， ∴a b ＝3 24.故选D.3．(2021·东北三校第一次联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且cos ∠F 1AF 2＝78，则椭圆的离心率e ＝( )A ．12B ．32C ．14D ．74解析：选C 由题意可知|AF 1|＝|AF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，又cos ∠F 1AF 2＝78，则在△AF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝a 2＋a 2－2a 2cos ∠F 1AF 2，化简得4c 2＝14a 2，则e 2＝116，所以e ＝14，故选C ．4．已知椭圆G 的中心为坐标原点O ，点F ，B 分别为椭圆G 的右焦点和短轴端点．点O 到直线BF 的距离为3，过F 垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G 的方程是( )A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．y 216＋x 24＝1解析：选C 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知设BF 的方程为x c ＋yb ＝1，因为点O 到直线BF 的距离为 3.所以bc a ＝3，又因为过F 垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以2b 2a ＝2，结合a 2＝b 2＋c 2，知a ＝4，b ＝2，故选C ．5．(多选)(2021·山东淄博高三模拟)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q 的周长为4 3解析：选ACD 由已知得，2b ＝2，b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3. ∴椭圆方程为x 2＋y 23＝1，如图．∴|PQ |＝2b 2a ＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.故选A 、C 、D.6.(多选)(2021·山东青岛模拟)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面m 千米，远地点B (离地面最远的点)距地面n 千米，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c ，则( )A ．a －c ＝m ＋RB ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )解析：选ABD 由题意可知a －c －R ＝m ，a ＋c －R ＝n ，可得a －c ＝m ＋R ，所以A 正确；a ＋c ＝R ＋n ，所以B 正确；可得a ＝m ＋n 2＋R ，c ＝n －m2，可知2a ＝m ＋n ＋2R ，所以C 错；由b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －m 22＝(m ＋R )(n ＋R )．则b ＝(m ＋R )(n ＋R )，所以D 正确．故选A 、B 、D.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．解析：因为圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(3,0)，所以c ＝3.又b ＝4，所以a ＝b 2＋c 2＝5.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的左顶点为(－5,0)．答案：(－5,0)8.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为________．解析：设圆柱的底面圆的直径为R ，则椭圆的短轴长为R . ∵截面与底面成45°角，∴椭圆的长轴长为2R ， ∴椭圆的半焦距为 ⎝⎛⎭⎫22R 2－⎝⎛⎭⎫R 22＝R 2，则e ＝c a ＝R 222R ＝22.答案：229．已知点A (0,2)及椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点P ，则|PA |的最大值是________．解析：设P (x 0，y 0)，则－2≤x 0≤2，－1≤y 0≤1，∴|PA |2＝x 20＋(y 0－2)2.∵x 24＋y 20＝1，∴|PA |2＝4(1－y 20)＋(y 0－2)2＝－3y 20－4y 0＋8＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋232＋283.∵－1≤y 0≤1，而－1＜－23＜1，∴当y 0＝－23时，|PA |2max ＝283，即|PA |max＝2213. 答案：221310．(2021·昆明市三诊一模)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，O 为坐标原点，B ，C 两点在M 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝45°，则椭圆M 的离心率为________．解析：由题意，知A (－a,0)．因为四边形OABC 为平行四边形，所以OA ∥BC ，且|OA |＝|BC |＝a .又∠OAB ＝45°，所以C ⎝⎛⎭⎫a 2，±a 2，代入椭圆方程，得14＋a 24b 2＝1，所以b 2a 2＝13，所以e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝63. 答案：6311．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截矩为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解：(1)根据题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)，故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点．MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点．故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28.故a ＝7，b ＝27.12．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点．若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程．解：(1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2.不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a ；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB |＝2b 2a ，|CD |＝4c .由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 23a ，即3×c a ＝2－2⎝⎛⎭⎫c a 2.解得c a ＝－2(舍去)，c a ＝12. 所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1.设M (x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c 2＝1，y 20＝4cx 0，故x 204c 2＋4x 03c＝1.①由于C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF |＝x 0＋c ，而|MF |＝5，故x 0＝5－c ，代入①得(5－c )24c 2＋4(5－c )3c＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)，c ＝3. 所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x .B 级——综合应用13.(多选)(2021·山东潍坊模拟)如图，两个椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，下列四个选项正确的为( )A ．P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值B ．曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称 C ．曲线C 所围区域面积必小于36D ．曲线C 总长度不大于6π解析：选BC 易知F 1(－4,0)，F 2(4,0)分别为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，E 1(0，－4)，E 2(0,4)分别为椭圆y 225＋x 29＝1的两个焦点．若点P 仅在椭圆x 225＋y 29＝1上，则P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A 错误；两个椭圆关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，则曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故B 正确；曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C 正确；曲线C 所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D 错误．故选B 、C ．14．(2021·湖南长沙一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点E (0，t )(0＜t ＜b )．已知动点P 在椭圆上，且P ，E ，F 2三点不共线，若△PEF 2的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．22C ．12D ．53解析：选D 如图，连接EF 1，F 1P ，易知|EF 1|＝|EF 2|，△PEF 2的周长为|PE |＋|PF 2|＋|EF 2|＝|PE |＋2a －|PF 1|＋|EF 2|＝2a ＋|EF 2|＋|PE |－|PF 1|≥2a ＋|EF 2|－|EF 1|＝2a ＝3b ，所以e ＝c a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－49＝53，故选D. 15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若椭圆上一点P 与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形．(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，若直线l 与椭圆相交于A ，B ，且AB 是圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E 的标准方程．解：(1)由题意不妨设椭圆上的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，代入椭圆方程可得14＋a 24b 2＝1，即a 2＝3b 2，∴a 2＝3b 2＝3(a 2－c 2)，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63.(2)由(1)得椭圆E 的方程为x 23b 2＋y 2b2＝1，易知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x －1)－1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)－1，x 2＋3y 2＝3b 2⇒(3k 2＋1)x 2－6k (k ＋1)x ＋3(k ＋1)2－3b 2＝0.∴x 1＋x 2＝6k (k ＋1)3k 2＋1，x 1x 2＝3(k ＋1)2－3b 23k 2＋1.又x 1＋x 2＝2，∴k ＝13，∴x 1x 2＝16－9b 24，则|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1034－4·16－9b 24＝25，∴b 2＝103，则a 2＝10，∴椭圆E 的标准方程为x 210＋y 2103＝1.C 级——迁移创新16．(多选)(2021·山东德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c ，下列结论正确的是( )A ．卫星向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小解析：选ABD 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]，A 正确；当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知其速度更慢，B 正确；a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误；根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．故选A、B、D.。

椭圆专题习题含答案

椭圆专题一．椭圆的定义与性质1.设F 1（﹣4，0）、F 2（4，0）为定点，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=8，则动点M 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．直线C ．圆D ．线段2.如果程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值围是（） A ．3＜m ＜4B ．C ．D ．3.椭圆C ：4x 2+y 2=16的长轴长，短轴长，焦点坐标依次为（） A ． B ．C ．D ．4.已知焦点在y 轴上的椭圆的焦距为，则a=（）A ．8B ．12C ．16D ．525.椭圆的焦距是2，则m 的值是（）A ．9B ．12或4C ．9或7D ．206.已知焦点在y 轴上的椭圆的离心率为，则实数m 等于（）A ．3B ．C ．5D ．7.程+=1表示椭圆，则k 的取值围是．二．椭圆的标准程（待定系数法）：定位（确定焦点的位置），定量（求出a,b ）焦点在x 轴焦点在y 轴知椭圆过两点求椭圆程：设、代点，解程组。

知焦点（焦距）和椭圆经过某一点求椭圆程：待定系数法、定义法。

)0(12222>>=+b a b ya x )0(12222>>=+b a b x ay )0,0,(122>>≠=+n m n m ny mx1.椭圆（a ＞b ＞0）的一个焦点为（3，0），点（﹣3，2）在椭圆上，则该椭圆的程为（） A ． B ．C ．D ．2.已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准程为（） A ．=1 B ．C ．=1 D ．3.求符合下列条件的椭圆的标准程： (1)过点的椭圆 (2)过点(-3,2)且与有相同的焦点；(3)焦点在轴上，，且过点；(4)焦距为6，.三．求离心率：直接法，程法21()(01)c b e e a a ==-<<1.椭圆的离心率为（）A. B. C.2 D.42.椭圆6x2＋y2＝6的离心率为（）A. B. C. D.3.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.5.若一个椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等比数列,则椭圆的离心率为.6.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且满足·=c2,则此椭圆的离心率的取值围是（）A.[,1)B.[,]C.[,]D.(0,]四．焦点三角形：以椭圆上的点、两焦点为顶点的三角形。

【精品提分练习】高中数学第三章1.2椭圆的简单性质(一)2

7．椭圆 (m＋ 1)x2＋ my2＝ 1 的长轴长是 ________．
解析：将椭圆化为标准方程为
x2 ＋ y2＝ 1，
11
m＋1 m
则必有 m>0.
因为
m＋ 1>m>0，所以
11
m＋
< 1
m.
________ ．
所以
a2＝ 1 ，a＝ m
m， m
2a＝
2
m m.
答案：
2m m
8．若椭圆 x42＋ ym2＝ 1 的离心率 e∈
A到
直线 FB 的距离为 2b，则该椭圆的离心率为 ( )
2 A. 2
B．2－ 2
C. 2－ 1
D. 3－ 2
解析：选
C.由题意知，
A(a，0) ，直线
BF
的方程为
x －
c＋
y＝ b
1，即
bx－ cy＋ bc＝0，由
|ab＋ bc| 题意得 b2＋ c2＝
2b，即
a＋
c ＝
a
2，1＋c＝ a
2， c ＝ a
3 2.
又 0<e<1，所以 e 的取值范围是 [ 23， 1)． (2)证明：由 (1)知 mn＝ 4b2，
所以
S△
F
1PF2＝
1 2mn
sin
120°＝
3b2，
即 △ F1PF 2 的面积只与短轴长有关．
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m＋ 3
m＋3
m（m＋ 2） m＋ 3
.
由 e＝ 23得
m＋ m＋
2＝ 3
23，所以
m＝1.
2
所以椭圆的标准方程为
x2＋

椭圆的性质及常考题含答案

椭圆的性质2.椭圆的离心率：ce a=，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．题型一：椭圆的定义例1 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．线段 D ．射线答案：C例2平面内一动点M到两定点F 1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为( )A．椭圆B．圆 C．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹解析：当2a＞|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．答案：D巩固已知F 1，F2是椭圆x225＋y29＝1的左、右两个焦点．(1)求F1，F2的坐标；(2)若AB为过椭圆的焦点F1的一条弦，求△ABF2的周长．解析：(1)由椭圆的方程x225＋y29＝1可知，a2＝25，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝25－9＝16，∴c＝4.∴F1(－4,0)，F2(4,0)．(2)由椭圆的定义可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10.∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝4a ＝20.题型二焦点三角形问题1.对焦点三角形12F PF △的处理方法，通常是运用⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin 2.若P 是椭圆：12222=+by ax 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb（用余弦定理与a PF PF 221=+可得）.例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解析：由已知a ＝2，b ＝3，得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，即|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|.②②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是335.巩固已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．解析：(1)依题意知c ＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1.a 2＝4.因此b 2＝3.从而椭圆方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2，2·|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35.即∠F 1PF 2的余弦值等于35. 题型三求椭圆的离心率例4 已知椭圆的两个焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝60°，求该椭圆的离心率．解析：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，画出草图如右图所示．由AF 1⊥AF 2知△AF 1F 2为直角三角形，且∠AF 2F 1＝60°.由椭圆定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则在Rt△AF 1F 2中，由∠AF 2F 1＝60°得|AF 2|＝c ，|AF 1|＝3c ，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝(3＋1)c ，所以离心率e ＝c a＝3－1.点评：求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法： ①直接求出a 和c 的值，套用公式e ＝c a求得离心率；②根据题目条件提供的几何关系，建立参数a ，b ，c 之间的关系式，结合椭圆定义以及a 2＝b 2＋c 2等，消去b ，得到a 和c 之间的关系，从而求得离心率的值或范围．巩固设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2。

3.1.2 椭圆的简单几何性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步练习

椭圆的简单几何性质同步练习一、选择题1.已知有相同两焦点F1、F2的椭圆x2m +y2=1(m>1)和双曲线x2n−y2=1(n>0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 随m，n变化而变化2.已知椭圆：x24+y22=1，过点M(1,1)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为()A. x+2y−3=0B. 2x+y−3=0C. x+y−2=0D. 2x−y+1=03.若过椭圆x216+y24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为()A. 3x+4y−13=0B. 3x−4y−5=0C. 4x+3y−15=0D. 4x−3y−9=04.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2−6x+8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A. (−3,0)B. (−4,0)C. (−10,0)D. (−5,0)5.我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2，a>b>c>0).如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()A. 5，4B. √3，1C. 5，3D. √72，16. 如图，F 1F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2的面积为√3的正三角形，则b 2的值为（）A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√37. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0(O为坐标原点)，若|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则椭圆的离心率为( )A. √6−√3B. √6−√32C. √6−√5D. √6−√528. 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A. (0,1)B. (0,12]C. (0,√22) D. [√22,1)9. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e1e 2的最大值为（）A. 3B. 2C. 4√33D. 2√3310. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则k=（）A. 1B. √2C. √3D. 211. 已知F 1(−1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为（）A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 25+y 24=112. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1,−1)，则弦长|AB|=( )A. 5√2B. 2√5C. 5√22D. √1013. 若椭圆C ：x 28+y 24=1的右焦点为F ，且与直线l ：x −√3y +2=0交于P ，Q 两点，则△PQF 的周长为（）A. 6√2B. 8√2C. 6D. 814. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上的点M满足：∠F 1MF 2=60°，且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则b =( )A. 1B. √2C. √3D. 2二、填空题15. 已知抛物线C ：x 2=−2py(p >0)的焦点F 与y 28+x 24=1的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长|AB|=________． 16. 设M 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，以M 为圆心的圆与x 轴相切，切点为椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P ，Q ，若△PMQ 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为________． 17. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为_________． 18. 设F 1，F 2分别为椭圆x 23+y 2=1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的坐标是_________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）19. 已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)四个顶点中的三个是边长为2√3的等边三角形的顶点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +m 与圆O:x 2+y 2=2b 23相切且交椭圆E 于两点M,N ，求线段|MN|的最大值．20.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(−a,0),B(a,0)，点P为椭圆上异于A，B的点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且．(1)求椭圆C的离心率；(2)若b=1，设直线l与x轴交于点D(−1,0)，与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且椭圆上的点到点F的最大距离为3，O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过右焦点F倾斜角为60°的直线与椭圆C交于M、N两点，求△OMN的面积．22.已知椭圆C：x2a2+y23=1(a>√3)的焦距为2，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，M，N为椭圆C上的两点(异于A，B)，连结AM，BN，MN，且BN斜率是AM斜率的3倍．(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线MN恒过定点．答案和解析1.【答案】B【解答】解：由题意，不妨设P 是双曲线右支上的一点，|PF 1|=x ，|PF 2|=y ，则x +y =2√m ，x −y =2√n ， ∴x 2+y 2=2(m +n)， ∵两曲线有相同的焦点， ∴m −1=n +1， ∴m =n +2， ∴x 2+y 2=4(n +1)，即|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2， ∴△F 1PF 2是直角三角形，故选B ．2.【答案】A【解答】解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则x 124+y 122=1，①，x 224+y 222=1，②①−②，得(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+(y 1−y 2)(y 1+y 2)2=0．∴y 1−y2x 1−x 2=−12⋅x 1+x2y 1+y 2．又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2． ∴直线AB 的斜率为y 1−y 2x1−x 2=−12．∴直线AB 的方程为y −1=−12(x −1)，即2y +x −3=0．故选：A ．3.【答案】A【解答】解：设弦的两端点为A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)， P 为AB 中点得{x 1+x 2=6y 1+y 2=2，由A ， B 在椭圆上有{x 1216+y 124=1x 2216+y 224=1,两式相减得x12−x2216+y12−y224=0，即(x1+x2)(x1−x2)16+(y1+y2)(y1−y2)4=0，即3(x1−x2)8+y1−y22=0，即y1−y2x1−x2=−34，则斜率k=−34，且过点P(3,1)，有y−1=−34(x−3)，整理得3x+4y−13=0．故选A．4.【答案】D【解答】解：∵圆的标准方程为(x−3)2+y2=1，∴圆心坐标是(3,0)，∴c=3．又b=4，∴a=√b2+c2=5．∵椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(−5,0)．故选D．5.【答案】D【解析】解：由题意可得|OF2|=√b2−c2=12，|OF0|=c=√3|OF2|=√32，解得b=1，又a2=b2+c2=1+34=74，得a=√72，即a=√72，b=1．6.【答案】B 【解答】解：∵△POF2的面积为√3的正三角形，S=12×c×√32c=√34c2∴√34c2=√3，解得c=2．∴P(1,√3)代入椭圆方程可得：1a2+3b2=1，与a2=b2+4联立解得：b2=2√3．故选B．7.【答案】A【解答】解：设焦点坐标F 1(−c,0)，F 2(c,0)，|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ， |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ，所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2a(√2−1)，|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a(√2−1)，由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，设线段PF 1的中点为M ，则OM ⊥PF 1, 则|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴PF 1⊥PF 2，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，∴(2√2a(√2−1))2+(2a(√2−1))2=4c 2，可得c 2=(9−6√2)a 2，解得e 2=9−6√2，则椭圆的离心率为√6−√3．故选A ．8.【答案】C【解答】解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ，椭圆上任一点P(x,y)，由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，得x 2+y 2>c 2恒成立，代入椭圆方程化简得y 2<b 4a 2−b 2，又−b <y <b ，所以b 2<b 4a 2−b 2，化简得a 2<2b 2=2a 2−2c 2，得a 2>2c 2，可得e =ca<√22，又0<e <1，∴0<e <√22，故选C ．9.【答案】D【解答】解：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为第一象限的点，如图：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a 1，|PF 1|−|PF 2|=2a 2， ∴|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2．设|F 1F 2|=2c ，在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=π3，由余弦定理得，4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cos π3，化简得a 12+3a 22=4c 2，即1e 12+3e 22=4，∴1e 12+3e 22=4≥2√3e 12e 22，∴1e1e 2≤2√33，当且仅当e 1=√22,e 2=√62时，等号成立，则1e1e 2的最大值为2√33，故选D ．10.【答案】B【解答】解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2，可得：b =1，ca =√32，解得：a =2，c =√3，b =1，椭圆方程为x 24+y 2=1，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴y 1=−3y 2，设直线AB 方程为y =k(x −√3)，代入x 24+y 2=1，消去x ，可得(14k 2+1)y 2+√32k y −14=0， ∴y 1+y 2=−√32k 1+14k2=−2√3k1+4k 2，y 1y 2=−141+14k2=−k 24k 2+1，−2y 2=−2√3k 1+4k2，−3y 22=−k 24k 2+1，解得：k =√2．故选：B ．11.【答案】C【解答】解：F 1(−1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，可得c =1，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3，令椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1中x =1，得y =±√b 2−b 2a 2，可得2√b 2−b 2a2=3，化简得4a 4−17a 2+4=0，解得a =2，则b =√3，所求的椭圆方程为：x 24+y 23=1．故选：C ．12.【答案】A【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，代入椭圆方程得x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b 2=1②，相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0， ∴x 1+x 2a 2+y 1−y2x 1−x 2⋅y 1+y 2b 2=0．∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=−2，k AB =−1−01−3=12．∴2a 2+12×−2b 2=0，化为a 2=2b 2，又c =3=√a 2−b 2，解得a 2=18，b 2=9． ∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1．AB 的斜率为12，且过(1,−1)，∴直线AB 的方程为y +1=12(x −1)，即y =12x −32，代入椭圆方程，得3x 2−6x −27=0． ∴x 1+x 2=2.x 1x 2=−9．∴|AB|=√1+14⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=5√2．故选：A ．13.【答案】B【解析】解：∵直线l 过椭圆C 的左焦点F′(−2,0)，直线l ：x −√3y +2=0经过左焦点F′， ∴△PQF 的周长|PQ|+|PF|+|QF|=|PF′|+|PF|+|QF′|+|QF|=4a =8√2，14.【答案】C【解析】解：设|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=m ，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n ，因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则mncos60°=2，⇒mn =4，又m +n =2a ，(1)，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2=m 2+n 2−2mncos60°=4(a 2−b 2)(2)， (1)式平方减去(2)式得：b 2=3，得：b =√3．故选：C ．设|MF 1|=m ，|MF 2|=n ，由数量积及∠F 1MF 2的大小可得mn =4，再由椭圆的定义可得m +n =2a ，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得b 的值．本题考查椭圆的性质及数量积的运算性质，属于中档题．15.【答案】10【解答】解：由题意可得F(0,−2)，则p =4，抛物线方程为x 2=−8y ．设直线AB 方程为y =kx −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其中y 1=−x 128，y 2=−x 228．由y =−x28得y′=−x4，所以在点A处的切线方程为y−y1=−x14(x−x1)，化简得y=−x14x+x128，①同理可得在点B处的切线方程为y=−x24x+x228.②联立①②得x M=x1+x22，又∵M的横坐标为2，∴x1+x2=4．将AB方程代入抛物线得x2+8kx−16=0，∴x1+x2=−8k=4，∴k=−12，∴y1+y2=k(x1+x2)−4=−12×4−4=−6，∴|AB|=p−y1−y2=10．故答案为10．16.【答案】√33【解答】解：如图，过M作MN⊥y轴于N，由△PMQ为等边三角形，可得|PQ|=2√33c，再由题意可得M(c,b2a )，则圆M为(x−c)2+(y−b2a)2=b4a2，取x=0，可得y1=b2a −√b4−a2c2a，y2=b2a+√b4−a2c2a，∴2√b4−a2c2a =2√33c，即3(e2)2−10e2+3=0，解得：e=√33．故答案为：√33．17.【答案】6【解答】解：由题意，F(−1,0)，设点P(x0,y0)，则有x024+y023=1，解得y02=3(1−x024)，因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+1,y 0),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+3(1−x 024)=x 024+x 0+3=14(x 0+2)2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=−2，因为−2≤x 0≤2，所以当x 0=2时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值224+2+3=6，故答案为6． 18.【答案】(0,1)或(0,−1)【解答】解：设A(m,n)．由F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得B (m+6√25,n 5)．又A ，B 均在椭圆上，所以有{m 23+n 2=1,(m+6√25)23+(n 5)2=1,解得{m =0,n =1或{m =0,n =−1, 所以点A 的坐标为(0,1)或(0,−1)．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形，所以a =√3b,b =√3，即a =3，所以椭圆E 的方程为x 29+y 23=1，(Ⅱ)圆O:x 2+y 2=2，因为直线y =kx +m 与圆O:x 2+y 2=2相切，所以√1+k 2=√2，即m 2=2(1+k 2)；联立{x 29+y 23=1y =kx +m得(1+3k 2)x 2+6kmx +3(m 2−3)=0，Δ>0，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，所以x 1+x 2=−6km 1+3k 2,x 1·x 2=3(m 2−3)1+3k 2,由弦长公式得|MN|=√1+k 2·|x 1−x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2·√12(9k 2+3−m 2)1+3k 2，将m 2=2(1+k 2)代入：|MN|=√6·√(2+2k 2)(7k 2+1)1+3k 2≤√6·(2+2k 2)+(7k 2+1)21+3k 2=3√62，当且仅当2+2k 2=7k 2+1，即k 2=15时等号成立，故弦长|MN|最大值为3√62． 20.【答案】解：(1)设P(x 0,y 0)为椭圆上的点，则x 02a 2+y 02b 2=1，整理得：y 02=−b 2a 2(x 02−a 2)，又k 1=y 0x 0+a ，k 2=y 0x 0−a ，∴k 1k 2=y 02x 02−a 2=−12，联立两个方程则k 1k 2=−b 2a 2=−12，解得e =c a =√1−b2a 2=√22． (2)由(1)知a 2=2b 2，又b =1，∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．由题意，设直线l 的方程为：x =my −1，代入椭圆的方程有：(m 2+2)y 2−2my −1=0，则Δ=(−2m )2+4(m 2+2)=8(m 2+1)>0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，则△OMN 的面积S =12|OD |·|y 1−y 2| =12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12×√8m 2+8m 2+2=√2·√m 2+1m 2+2，令√m 2+1=t ，(t ≥1)，则有m 2=t 2−1，代入上式有S =√2·√m 2+1m 2+2=√2t t 2+1=√2t+1t ≤√22，当且仅当t =1，即m =0时等号成立，所以△OMN 面积的最大值为√22． 21.【答案】解：(Ⅰ)椭圆焦点坐标为(1,0)，则c =1，由椭圆C 上的点到F 的最大距离为a +c =3，则a =2， b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由已知可设直线MN 的方程为：y =√3(x −1)，联立方程组{y =√3(x −1)3x 2+4y 2=12消去x 得：5y 2+2√3y −9=0． y 1+y 2=−2√35，y 1⋅y 2=−95，⇒(y 1−y 2)2=(−2√35)2−4×(−95)=19225． ∴△OMN 的面积S =12×OF ×|y 1−y 2|=12×1×8√35=4√35 22.【答案】解：(1)∵{2c =2a 2=c 2+3, ∴{a =2c =1, 所以b 2=a 2−c 2=3∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)连结BM ，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则k AM ⋅k BM =y 1x 1+2⋅y 1x 1−2=y 12x 12−4，∵点M(x 1,y 1)在椭圆上，∴k AM ⋅k BM =y 12x 12−4=3−34x 12x 12−4=−34，∵k BN =3k AM ，∴k BN ⋅k BM =−94，①当MN 斜率不存在时，设MN:x =m ，不妨设M 在x 轴上方， ∴M(m,√12−3m 24),N(m,−√12−3m 24)， ∵k BN ⋅k BM =−94， ∴m =1；②当MN 斜率存在时，设MN:y =kx +t ，由{y =kx +t 3x 2+4y 2−12=0，整理，得(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−12=0， ∴x 1+x 2=−8kt 3+4k 2,x 1⋅x 2=4t 2−123+4k 2， ∵k BN ⋅k BM =y 1x 1−2⋅y 2x 2−2=(kx 1+t)⋅(kx 1+t)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=−94，∴化简可得2k2+3kt+t2=0，即t=−k或t=−2k，当t=−k时，y=kx−k，恒过定点(1,0)，当斜率不存在亦符合；当t=−2k，y=kx−2k，过点(2,0)与点B重合，舍去，∴直线恒过定点(1,0)．。

椭圆练习及参考答案

椭圆练习及参考答案一、单选题(共 50 分)1.椭圆x 29+y28=1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则ΔMF1N的周长为（）A.8B.10C.16D.22【详解】因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N,所以PF2为△F1MN的中位线,所以MF1+MN=2PF1+2PF2=2(PF1+PF2)=2×2a=12,F1N=2F1F2=4c=4√9−8=4,所以ΔMF1N的周长为12+4=16.【点睛】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.2.已知定圆C1:(x+5)2+y2=1，C2:(x−5)2+y2=225，动圆C满足与C1外切且与C2内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（）A.x 264+y239=1 B.x239+y264=1 C.x2256+y2241=1 D.x2241+y2256=1【详解】解：设动圆圆心C的坐标为(x,y)，半径为r，则|CC1|=r+1,|CC2|=15−r，∴|CC1|+|CC2|=r+1+15−r=16>|C1C2|=10，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，则2a=16,a=8,c=5，b2=82−52=39，椭圆的方程为：x264+y239=1【点睛】考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，中档题．3.设F1、F2是椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则E的离心率为（）A.12B.23C.34D.45试题分析：如下图所示，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=30∘所以∠PF2A=60∘,∠F2PA=30∘，所以|PF2|=2|AF2|=2(32a−c)=3a−2c又因为|F1F2|=2c，所以，2c=3a−2c，所以e=ca =34所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.4.椭圆x 29+y26=1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则ΔPF1F2的面积为（）A.2√3B.3√2C.√32D.√23【详解】解：∵椭圆x29+y26=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，|PF1|＝4，∴F1（−√3，0），F2（√3，0），|PF2|＝6﹣4＝2，|F1F2|＝2√3，则△PF1F2是直角三角形，∴△PF1F2的面积为S=12×2×2√3=2√3．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，三角形的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．5.已知椭圆x 24+y2=1的焦点分别是F1，F2，点M在该椭圆上，如果F1M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F2M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，那么点M到y轴的距离是()A.√2B.2√63C.3√22D.1【详解】设M（x，y），则椭圆x24+y2=1…①，∵椭圆x24+y2=1的焦点分别是F1，F2，∴F1（−√3，0），F2（√3，0）∵F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x −√3，y)，F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x +√3，y)， F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴x 2+y 2=3…②由①②得x 2=83，x =±2√63， ∴点M 到y 轴的距离为2√63，故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的方程及向量运算，属于中档题． 7.已知直线l 与椭圆x 216+y 22=1交于A,B 两点，AB 中点是M (−2,1)，则直线l 的斜率为（）A.-4B.-14C.14D.4【详解】设交点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则{x 1216+y 122=1x 2216+y 222=1，两式相减得，(x 1+x 2)(x 1−x 2)16+(y 1+y 2)(y 1−y 2)2=0 ，故y 1−y2x 1−x 2=−2(x 1+x 2)16(y 1+y 2)=−2×(−2×2)16×(1×2)=14 ，故选C【点睛】本题考查了直线与椭圆的相交弦问题，一般涉及弦的中点和直线斜率问题时，可采用“点差法”，建立中点坐标与斜率的关系求解.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B,C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的离心率为( )A.√63B.2√33C.12D.√22【详解】将y =b2代入椭圆方程得：B (−√32a,b2)，C (√32a,b2)又椭圆焦点F (c,0) ∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c +√32a,−b 2)，CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c −√32a,−b 2) ∵∠BFC =90∘∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CF⃑⃑⃑⃑⃑ =c 2−34a 2+b 24=c 2−34a 2+a 2−c 24=34c 2−12a 2=0∴e 2=c 2a 2=23 ∴e =√63，故选A 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于a,c 的齐次方程，从而根据e =ca 求得离心率.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |+|PF 1|的最大值为（） A.13B.15C.16D.25【详解】如图所示，由椭圆x 225+y 216=1，可得a =5,b =4,c =√a 2−b 2=3，所以F 1(−3,0),F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a =10，所以|PM |+|PF 1|=|PM |+2a −|PF 2|=10+(|PM |−|PF 2|)≤10+|MF 2|=10+√32+42=15,则|PM |+|PF 1|的最大值15．故选B ．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，以及三角形三边大小关系的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F （3，0）为椭圆C 的右焦点，则OP ⃑⃑⃑⃑⃑ •PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为（） A.(−16,−10)B.(−10,−394)C.(−16,−394]D.(−∞,−394]【详解】因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列所以2a +2c =4b ，即a +c =2b F(3,0)为椭圆C 的右焦点，所以c=3 在椭圆中，a 2=c 2+b 2所以{a 2=c 2+b 2a +c =2bc =3 ，解方程组得{a =5b =4c =3所以椭圆方程为x 225+y 216=1设P(m,n) (0<m <5)则m 225+n 216=1，则n 2=16−1625m 2 OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(m,n )(3−m,−n ) =3m −m 2−n 2=3m −m 2−(16−1625m 2) =−925m 2+3m −16=−925(m −256)2−394因为0<m <5，所以当m =256时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最大值为−394当m 趋近于0时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值趋近于-16 ，所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为(-16,-394] 【点睛】本题考查了椭圆性质的综合应用，向量在解析几何中的用法，属于中档题．二、填空题(共 25 分) 11.已知椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点为F 1，F 2，则椭圆的离心率为_____，过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则|F 1A |＝_____．【详解】椭圆x 24+y 23=1，可得a ＝2，b =√3，则c ＝1，所以椭圆的离心率为：e =c a =12．过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，所以|AF 2|=b 2a=32，由椭圆的定义可知：|F 1A |＝2a ﹣|AF 2|＝4−32=52．故答案为12；52．【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的定义，解题时由椭圆标准方程确定出a,b 再计算出c ，可求离心率，而求椭圆上的点到焦点的距离时，可以与椭圆定义联系起来．12.如果椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是______．【详解】由椭圆x 2144+y 236=1，可得a =12，由椭圆的定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a =24，因为椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是：24-10=14．故答案为14．【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．属于基础题. 13.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(−2√3,0)，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为______；其标准方程是________．【详解】解：已知{a =2b,c =2√3a 2−b 2=c 2∴{b 2=4a 2=162a =8则该椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．故答案为椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．14.已知P 是椭圆x 210+y 2=1上的一点，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，当∠F 1PF 2=2π3时，则ΔPF 1F 2的面积为_____．【详解】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则m +n =2a =2√10在ΔPF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 22=m 2+n 2−2mncos∠F 1PF 2即：36=(m +n )2−2mn −2mncos2π3=40−mn ，解得：mn =4∴S ΔPF 1F 2=12mnsin 2π3=√3 【点睛】本题考查焦点三角形面积的求解，关键是能够利用余弦定理构造出关于焦半径之积的方程，属于常考题型.15.已知P 是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上异于点A(−a,0)，B(a,0)的一点，E 的离心率为√32，则直线AP 与BP 的斜率之积为__________．【解析】设P (x 0,y 0)，有x 02a 2+y 02b 2=1，且c a =√32，得b a =12，k AP k BP =y 0x+a ⋅y 0x−a=y 02x 02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14．点睛：本题考查椭圆的几何性质．由离心率，得到a,b,c 的比例关系．本题中由题意可知，题目由点P 的位置决定，所以设P (x 0,y 0)，得到斜率关系k AP k BP =y 0x 0+a ⋅y 0x0−a=y 02x02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14，为定值．三、解答题(共 34 分)16.已知点A(0,−2)，椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点P(0，√3)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且|MN|=8√27，求k的值.【详解】解：（1）由离心率e=ca =√22，则a=√2c，直线AF的斜率k=0−(−2)c−0=2，则c＝1，a=√2，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆E的方程为x 22+y2=1；（2）设直线l：y＝kx﹣√3，设M（x1，y1），N（x2，y2），则{y=kx−√3x22+y2=1，整理得：（1+2k2）x2﹣4√3kx+4＝0，△＝（﹣4√3k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2＞1，∴x1+x2=4√3k1+2k2，x1x2=41+2k2，∴|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=4√(1+k2)(k2−1)1+2k2=8√27，即17k4−32k2−57=0,解得：k2=3或−1917（舍去）∴k＝±√3，【点睛】考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的求法，弦长的计算，考查转化思想以及计算能力．17.设O为坐标原点，动点M在椭圆E:x 24+y22=1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .(1)求点P的轨迹方程；(2)设A(1,0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|=2|AP|总成立？若存在，求出B点坐标；若不存在，说明理由.【详解】（1）设P(x,y)，M(x1,y1)，则N(x1,0)∵M 在椭圆E 上 ∴x 124+y 122=1…①由NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 知：{x =x 1y =√2y 1 ，即：{x 1=x y 1=√22y ，代入①得：x 2+y 2=4即点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=4…② （2）假设存在点B (m,0)满足条件，设P (x,y )由|BP |=2|AP |得：√(x −m )2+y 2=2√(x −1)2+y 2 即：3x 2+3y 2+(2m −8)x =m 2−4此方程与(1)中②表示同一方程，故：{2m −8=0m 2−4=12，解得：m =4∴存在点B (4,0)满足条件【点睛】本题考查椭圆的综合应用问题，涉及到动点轨迹的求解、定点问题的求解等知识；求解定点问题的关键是能够通过假设存在的方式，利用已知中的等量关系建立起关于变量的方程，通过求解方程确定变量的取值，从而得到定点是否存在.18.已知点M (2√33,√33)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和为2√2.（1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点O ，M ）上，求OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围.【详解】（1）由条件知43a 2+13b 2=1，2a =2√2，所以a =√2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.（2）设点A 、B 的坐标为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则AB 中点(x 1+x 22,y 1+y 22)在线段OM 上，且k OM =12，∴x 1+x 2=2(y 1+y 2)，又x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，两式相减得(x 1−x 2)(x 1+x 2)2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，易知x 1−x 2≠0，y 1+y 2≠0，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x22(y 1+y 2)=−1，即k AB =−1. 设AB 方程为y =−x +m ，代入x 22+y 2=1并整理得3x 2−4mx +2m 2−2=0.由Δ=8(3−m 2)>0解得m 2<3，又由x 1+x 22=2m 3∈√3)，∴0<m <√3.由韦达定理得x 1+x 2=4m 3，x 1x 2=2(m 2−1)3，故OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(−x 1+m )(−x 2+m ) =2x 1x 2−m (x 1+x 2)+m 2=4(m 2−1)3−4m 23+m 2 =m 2−43.而0<m <√3，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是(−43,53). 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知Q 为圆x 2+y 2=1上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(0,−35)的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【详解】（1）设Q(x 0,y 0)，P (x,y)，则x 02+y 02=1，由BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，可得{x 0=x2y 0=−y，代入x 02+y 02=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1；（2）假设存在满足条件的定点，由对称性可知该定点必在y 轴上，设定点为H(0,m)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx −35，联立{y =kx −35x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2−245kx −6425=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=24k5(1+4k 2)，x 1x 2=−6425(1+4k 2)，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)−65=−65(1+4k 2)，y 1y 2=(kx 1−35)(kx 2−35)=k 2x 1x 2−35k(x 1+x 2)+925=9−100k 225(1+4k 2)，因为HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1,y 1−m)，HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2−m)，所以HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2−m(y 1+y 2)+m 2=100(m 2−1)k 2+25m 2+30m−5525(1+4k 2)=0，对任意的k 恒成立，所以{100(m 2−1)=025m 2+30m −55=0 ，解得m =1，即定点为H(0,1)，当直线l 的斜率不存在时，以MN 为直径的圆也过点(0,1)，故以MN 为直径的圆过定点(0,1).【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线bx −y +√2a =0经过椭圆C 的左焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线bx −y +4=0与y 轴交于点P ，A 、B 是椭圆C 上的两个动点，且它们在y 轴的两侧，∠APB的平分线在y 轴上，|PA |≠|PB ||，则直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】（1）在直线方程bx −y +√2a =0中令y =0，则x =−√2ab ，故c =√2ab ，又c a=√22，故b =2，所以a =4，所以椭圆标准方程为：x 28+y 24=1.（2）因为A 、B 在在y 轴的两侧，故AB 的斜率必存在，设AB 的方程为y =kx +b ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，因为P 在y 轴上且P 在直线2x −y +4=0，故P (0,4). 因为∠APB 的平分线在y 轴上，所以y 1−4x 1+y 2−4x 2=0，而y 1=kx 1+b,y 2=kx 2+b ，代入整理得到：2kx 1x 2+(b −4)(x 1+x 2)=0. 由{y =kx +b x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+4kbx +2b 2−8=0，所以x1+x2=−4kb1+2k2,x1x2=2b2−81+2k2，所以2k×2b 2−81+2k2+(b−4)(−4kb1+2k2)=0，化简得到k(b−1)=0，所以对任意的k，总有b=1，故直线AB过定点(0,1).【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x2,x1+x2或y1y2,y1+y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21.已知椭圆的离心率为√32，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得{a=2ca=√32，解得{a=2c=√3，………2分所以b2=a2−c2=4−3=1，故所求椭圆C的方程为．…………..4分（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l的方程代入，并整理，得．（*）………………………………….6分则，．………………………………………8分因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即．又,于是，…………….10分解得k =±√112，………………………………..11分经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当k =±√112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．………………12分考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程22.设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点分别是是F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4.（1）求E 的标准方程；（2）设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由题意{2a =42c =2 ，即{a =2c =1，∴b =√a 2−c 2=√3， ∴椭圆E 的方程是x 24+y 23=1.（2）由（1）可知D (−2,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立{y =kx +m x 24+y 23=1 ，得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，Δ=(8mk)2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=16(12k 2−3m 2+9)>0，即3+4k 2−m 2>0，∴x 1+x 2=−8mk 3+4k 2，x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2，又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2 =3m 2−12k 23+4k 2，∵|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，∴DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，即DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=0， ∴4m 2−123+4k 2+2×−8mk 3+4k 2+4+3m 2−12k 23+4k 2=0，∴7m 2−16mk +4k 2=0，解得m 1=2k ，m 2=27k ，且均满足即3+4k 2−m 2>0，当m 1=2k 时，l 的方程为y =kx +2k =k (x +2)，直线恒过(−2,0)，与已知矛盾；当m 2=27k ，l 的方程为y =kx +27k =k (x +27)，直线恒过(−27,0).【点睛】考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题、椭圆中直线过定点问题．对直线与椭圆相交问题，一般设交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由直线方程与椭圆方程联立消元用韦达定理得x 1+x 2,x 1x 2，再把这个结论代入题中另一条件可得参数k,m 的关系，求得定点．23.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 为椭圆上一动点，当ΔMF 1F 2的面积最大时，其内切圆半径为b 3，设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l ⊥x 轴时，|RS |=3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，P,Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线AP,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=−14，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得12⋅2c ⋅b =12(2a +2c)⋅b 3，得c a =12① 将x =c 代入x 2a 2+y 2b 2=1，结合a 2=b 2+c 2②，得y =±b 2a ，所以2b 2a =3③，由①②③得a =2,b =√3故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1（2）设点P,Q 的坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得P （1，32），Q （1，−32）或P （1，−32），Q （1，32），直线PQ 的方程为x =1②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，联立得{x24+y23=1y=kx+m，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2−12=0，由Δ=64k2m2−4(4k2+3)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)>0，得4k2+3>m2x1+x2=−8km4k2+3,x1x2=4m2−124k2+3.(1)）由k1k2=y1y2(x1+2)(x2+2)=−14,可得4y1y2+(x1+2)(x2+2)=0，得4(kx1+m)(kx2+m)+(x1+2)(x2+2)=0，整理得(4k2+1)x1x2+(4km+2)(x1+x2)+4m2+4=0,(2)由（1）和（2）得m2−km−2k2=0，解得m=2k或m=−k当m=2k时，直线PQ的方程为y=kx+2k，过定点(−2,0)，不合题意；当m=−k时，直线PQ的方程为y=kx−k，过定点(1,0)，综上直线PQ过定点，定点坐标为(1,0).【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题以及直线过定点问题，属于综合题．。