§7.6用三角函数解决实际问题3--仰角俯角
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图2
当堂反馈
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB 等于 100( 3 1)m （根号保留）．
图3
图4
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45° ，则折叠后重叠部分的面积为
2 2 cm 2
（根号保留）．
2 1.414, 3 1.732
答案:15.1米
思想与方法
数学建模及 方程思想
解
解方程
直角三角形 解
简单实 际问题
构建
数学模型
三角形 梯形 组合图形
通过作高 转化为直 角三角形
思想与方法
1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括两个 方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画 出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中 的边、角或它们之间的关系. 2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示 意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出 直角三角形.
意犹未尽
5、一架直升机从某塔顶Ａ测得地面C、D两点的 俯角分别为30°、 45°，若C、D与塔底Ｂ共线， CD＝200米，求塔高AB？
A
C
Dwk.baidu.com
B
D′
6、有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为60 米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三 角形场地的面积．
练习：为改善楼梯的安全性能,准备将楼梯的 倾斜角由60°调整为45°.已知调整后的楼梯 比原来多占地4米,求楼梯的高度. D
当堂反馈
1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间 的水平距离BD为100m，塔高CD为 (100 3 50) m，则下 3 面结论中正确的是（ C ） A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30° 图1 2.如图2，在离铁塔BE 120m的A处， 用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已 知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE= (40 3 1.5)m （根号保留）． _________
A
B
C
如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m 的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长 都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面 与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到 头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖 直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否 比较方便?
30 °
450
A
B
C
图5
归纳与提高
α
450
β
α
β
45°
30°
45°
O
B
C
30°
60°
A
O
B
30° 400
A
P
A
P
45° 45 °
200 200米
30 ° 30 °
D
45°
200米 45° 200
O
B
O
B
数学在身边
【探究2】学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后 与同学在环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔，他 想用手中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高 度.现已测出∠ADB=40°，由于不能过河，因此无法知道 BD的长度，于是他向前走50米到达C处测得∠ACB=55°， 但他们在计算中碰到了困难，请大家一起想想办法，求出 21 7 电视塔塔楼AB的高. tan 40 , tan 55 （参考数据： ） A 答案：空中塔楼AB高 约为105米
题
在进行测量时，
仰角、俯角
铅垂线 视线
从下向上看，视线与水
平线的夹角叫做仰角； 从上向下看，视线与水 平线的夹角叫做俯角
仰角 俯角
水平线
视线
合作与探究
【探究1】直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处， 此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别 为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
解：由题意得，
PAO 30, PBO 45 PO PO tan 30, tan 45 P OA OB
α
β
OA
450 450 3, 450米 tan 30
450 OB 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m) O 答：大桥的长AB为 (450 3 450)m.
B
A
合作与探究
变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上 方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大 桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °， 求飞机的高度PO .
P
答案: (200 3 200) 米
45° 30°
O
B
400米
A
合作与探究
变题2：直升飞机在高为200米的大楼AB上方P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30°和45°，求飞机的高度PO .
(参考： sin78°≈0.98， cos78°≈0.21， tan78°≈4.70.)
l.78m
参考数据： sin78°≈0.98 cos78°≈0.21 tan78°≈4.70
变题4：（2008桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升 飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的 P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如 图5）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米， 参考数据 ）.
2 1.414， 3 1.732
Q P
答案：AB≈520（米）
60 °
25 5
B
濠 河 55°
C 50m D
40°
初探中考题
【探究3】 在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上 悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B处测 得条幅顶端D的仰角为45°，已知点A、B和C离地面高度都 为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度． （计算结果精确到0.1米） 参考数据:
P C
30°
A
200米
答案: (100 3 300) 米
O
45°
B
合作与探究
变题3：直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P 点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底 部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.
A
P
45° 30°
200米 D
答案: (300100 3) 米
O B
合作与探究
当堂反馈
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB 等于 100( 3 1)m （根号保留）．
图3
图4
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45° ，则折叠后重叠部分的面积为
2 2 cm 2
（根号保留）．
2 1.414, 3 1.732
答案:15.1米
思想与方法
数学建模及 方程思想
解
解方程
直角三角形 解
简单实 际问题
构建
数学模型
三角形 梯形 组合图形
通过作高 转化为直 角三角形
思想与方法
1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括两个 方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画 出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中 的边、角或它们之间的关系. 2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示 意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出 直角三角形.
意犹未尽
5、一架直升机从某塔顶Ａ测得地面C、D两点的 俯角分别为30°、 45°，若C、D与塔底Ｂ共线， CD＝200米，求塔高AB？
A
C
Dwk.baidu.com
B
D′
6、有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为60 米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三 角形场地的面积．
练习：为改善楼梯的安全性能,准备将楼梯的 倾斜角由60°调整为45°.已知调整后的楼梯 比原来多占地4米,求楼梯的高度. D
当堂反馈
1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间 的水平距离BD为100m，塔高CD为 (100 3 50) m，则下 3 面结论中正确的是（ C ） A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30° 图1 2.如图2，在离铁塔BE 120m的A处， 用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已 知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE= (40 3 1.5)m （根号保留）． _________
A
B
C
如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m 的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长 都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面 与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到 头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖 直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否 比较方便?
30 °
450
A
B
C
图5
归纳与提高
α
450
β
α
β
45°
30°
45°
O
B
C
30°
60°
A
O
B
30° 400
A
P
A
P
45° 45 °
200 200米
30 ° 30 °
D
45°
200米 45° 200
O
B
O
B
数学在身边
【探究2】学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后 与同学在环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔，他 想用手中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高 度.现已测出∠ADB=40°，由于不能过河，因此无法知道 BD的长度，于是他向前走50米到达C处测得∠ACB=55°， 但他们在计算中碰到了困难，请大家一起想想办法，求出 21 7 电视塔塔楼AB的高. tan 40 , tan 55 （参考数据： ） A 答案：空中塔楼AB高 约为105米
题
在进行测量时，
仰角、俯角
铅垂线 视线
从下向上看，视线与水
平线的夹角叫做仰角； 从上向下看，视线与水 平线的夹角叫做俯角
仰角 俯角
水平线
视线
合作与探究
【探究1】直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处， 此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别 为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
解：由题意得，
PAO 30, PBO 45 PO PO tan 30, tan 45 P OA OB
α
β
OA
450 450 3, 450米 tan 30
450 OB 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m) O 答：大桥的长AB为 (450 3 450)m.
B
A
合作与探究
变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上 方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大 桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °， 求飞机的高度PO .
P
答案: (200 3 200) 米
45° 30°
O
B
400米
A
合作与探究
变题2：直升飞机在高为200米的大楼AB上方P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30°和45°，求飞机的高度PO .
(参考： sin78°≈0.98， cos78°≈0.21， tan78°≈4.70.)
l.78m
参考数据： sin78°≈0.98 cos78°≈0.21 tan78°≈4.70
变题4：（2008桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升 飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的 P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如 图5）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米， 参考数据 ）.
2 1.414， 3 1.732
Q P
答案：AB≈520（米）
60 °
25 5
B
濠 河 55°
C 50m D
40°
初探中考题
【探究3】 在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上 悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B处测 得条幅顶端D的仰角为45°，已知点A、B和C离地面高度都 为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度． （计算结果精确到0.1米） 参考数据:
P C
30°
A
200米
答案: (100 3 300) 米
O
45°
B
合作与探究
变题3：直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P 点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底 部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.
A
P
45° 30°
200米 D
答案: (300100 3) 米
O B
合作与探究