黑大《通信原理》第十二章

所以通常将m序列称为伪噪声(PN)序列，或称为伪随机序列。
12.2.3其他伪随机序列简介 1.M序列
由非线性反馈移存器产生的周期最长的序列称为M序列。 周期长达2n
图12-3中，n＝4级的m序列产生器，它有的15种状态。 若使它增加一个“0000”状态，就可变成M序列产生器了。 “0000”状态必须处于初始状态“1000”之前和“0001”状态之后。
互相关系数定义变为 (x, y) A D
A D
A—x和y中对应码元相同的个数； D—x和y中对应码元不同的个数；
若用x的j次循环移位代替y，就得到x的自相关系数。
4.超正交码
若两个码组间的互相关系数ρ<0，称这两个码组互相超正交。
如果一种编码中任两码组间均超正交，则称这种编码为超正交
编码。
ss12((tt))::
Fra Baidu bibliotek
,
d. N阶哈达玛矩阵(N=2m)
[H
N
]
[H
N
/
2
]
[H2
]
H H
N N
/2 /2
HN/2
H
N
/
2
第一行和第一列的元素全为“+”，
这样的[H]矩阵称为哈达玛矩阵的正规形式(正规哈达玛矩阵)。
[H]矩阵中各行（或列）是相互正交的(正交方阵)。
x15 1 (x4 x 1)( x4 x3 1)( x4 x3 x2 x 1)( x2 x 1)( x 1)
x5 1 (x4 x3 x2 x 1)( x 1)
4次本原多项式：(x4 x 1)
(x4 x3 1)
图12-3是4级反馈移位寄存器，其特征多项式为 (x4 x 1) 本原多项式的逆多项式也是本原多项式，
第12章 正交编码与伪随机序列
12.1 正交编码 12.2 伪随机序列 12.3 扩展频谱通信 12.4 伪随机序列的其他应用
12.1 正交编码
12.1.1正交编码的基本概念 1.模拟信号正交性 若两个周期为T的模拟信号s1(t)和s2(t)互相正交，则
T
0 s1(t)s2 (t)dt 0
若M个周期为T的模拟信号s1(t) ， s2(t) ，…， sM(t)构成一正交 信号集合，则有
000 111 101 011 001 共有8个游程： 长度为4的游程有一个；长度为3的游程有一个； 长度为2的游程有两个；长度为1的游程有4个。
在m序列中， 长度为1的游程占游程总数的1/2； 长度为2的游程占游程总数的1/4； 长度为 3的游程占游程总数的1/8；…。
长度为 k的游程数目占游程总数的2-k ，1 k (n 1)
为了使m序列产生器的组成尽量简单，使用项数最少的那些本 原多项式。
本原多项式最少有三项（这时只需用一个模2加法器）。 表中每一本原多项式可以组成两种m序列产生器。
2. m序列的性质 1)均衡性
在m序列的一周期中，“1”和“0”的数目基本相等。 “1”的个数比“0”的个数多一个。
2) 游程分布 把一个序列中取值相同的那些连在一起的元素合称为一个 “游程”。 在一个游程中元素的个数称为游程长度。 例如，在图12-3中给出的m序如下：
(0,1,1) (1,1,0)
s3 (t) : (1,0,1)
这三个码组所构成的编码是超正交码。
5.双正交编码
由正交编码和其反码构成双正交编码。
正交码为 (0,0,0,0) (0,0,1,1) (0,1,1,0) (0,1,0,1)
其反码为
(1,1,1,1) (1,1,0,0) (1,0,0,1) (1,0,1,0)
12.2.2 m序列 1.m序列的产生 m序列是最长线性反馈移位
寄存器序列的简称。 它是由带线性反馈的移存器产 生的周期最长的序列。
a) 4级反馈移存器。 1)初始状态为
(a3, a2 , a1, a0 ) (1,0,0,0)
输出周期最长为15的序列： 000 111 101 011 001
2)初始状态为
1)递推方程
n
i 1
任意一输入 ak ciaki
i 1
2)特征方程（或特征多项式）
移位寄存器的反馈连接
n
f (x) c0 c1x c2 x2 cn xn ci xi
i0
若一个n次多项式f(x)满足下列条件: (1) f(x)为既约的(不能分解因子的多项式); (2) f(x)可整除(xm + 1)，m = 2n – l; (3) f(x)除不尽(xq + 1) ，q < m ;
( x,
y)
1
若码组x和y正交，则必有
(x, y) 0
图中4个数字信号为
s1(t) : (1,1,1,1)
ss32
(t (t
) )
: :
(1,1,1,1) (1,1,1,1)
s4 (t) : (1,1,1,1)
这4个码组中任意两者之间 的互相关系数都为零，
这4个码组两两正交。 把两两正交的编码称为正交 编码。
1 (1111) 0 4
x (2)
1 4
4 i 1
x i
x i2
1 4
(
x1
x3
x2 x4
x3x1
x4 x2 )
1 (1111) 4
1
x (3)
1 4
4 i 1
x i
x i3
1 4 (x1 x4
x2 x1
x3 x2
x4 x3 )
1 (1111) 4
0
若规定用二进数字“0”代替上述码组中的“+1”， 用二进数字“1”代替“-1” ，
m序列的自相关函数只有两种取值： 0和(-1/m)。
把这类自相关函数只有两种取值的序列称为双值自相关序列。
若把m序列当作周期性连续函数求其自相关函数
R( ) 1 T0 /2 s(t)s(t )dt
T0 T0 / 2
T0为s(t)的周期
R( ) 1m1m,T0 1 iT0
0
iT0
T0 ,i 0,1,2 m
a. 2阶哈达玛矩阵(最低阶)
1 1 [H ]2 1 1
简写为[H ]2
b. 4阶哈达玛矩阵
[
H
4
]
[
H
2
]
[
H
2
]
H H
2 2
H2 H2
, — 直积
c. 8阶哈达玛矩阵
[H8
]
[H
4
]
[H
2
]
H H
4 4
H4 H4
而且在长度为k的游程中[l≤k≤(n – 2)]，
连“ l”的游程和连“0”的游程各占一半。
3) 移位相加特性
一个m序列Mp与其经任意次迟延移位产生的另一不同序列Mr模 2相加，得到的仍是Mp的某次迟延移位序列Ms ，即
Mp Mr Ms
[例] m = 7的m序列Mp = 1110010, Mr = 0111001,
双正交编码
(0,0,0,0) (0,0,1,1) (0,1,1,0) (0,1,0,1)
(1,1,1,1) (1,1,0,0) (1,0,0,1) (1,0,1,0)
共有8种码组，码长为4，任两码组间的相关系数为0或-l。
12.1.2 哈达玛（Hadamard）矩阵
它用以构成超正交码和双正交码。
它的每一行(或列)都是一正交码组。
用尽可能少的级数产生尽可能长的序列。 b) n级反馈移存器
一个n级反馈移存器可能产生的最长周期等于(2n - 1)。
将这种最长的序列称为最长线性反馈移存器序列 (maximal length linear feedback shift register sequence)， 简称m序列。
反馈电路如何连接才能使移存器产生的序列最长.
12.2 伪随机序列
12.2.1基本概念
通信 系统 中的 随机 噪声
使模拟信号产生失真 使数字信号出现误码 限制信道容量
消除或减小通信系统 中的随机噪声
在实验室中对通信设备 或系统性能进行测试时，
为了实现高可靠的保密通 信
必须能够获得符合要 求的随机噪声
利用随机噪声的最大困难是它难以重复产生和处理。 伪随机噪声具有类似于随机噪声的某些统计特性， 同时又能够重复产生。 将这种周期性数字序列称为伪随机序列。 它有时又称为伪随机信号和伪随机码。
反馈线的连接状态用ci表示: ci = 1表示此线接通; ci = 0表示此线断开。
设n级移位寄存器的初始状态为： a1a2 an a 1 n
经过一次移位后，状态变为: a0a1 a a n2 n1
经过n次移位后，状态变为: an1an2 a1a0 n
线路连接关系 an c1an1 c2an2 cn1a1 cna0 ciani
则称f(x)为本原多项式。
一n级线性反馈移位寄存器能产生m序列的充要条件为：
反馈移位寄存器的特征多项式为n次本原多项式。
具有最长周期m = 2n – l，
周期与初始状态无关。
图12-3
初始状态不考虑全“0”状态。
[例]要求用一个4级反馈移位寄存器产生m序列， 试求其特征多项式。 n = 4，移位寄存器产生的m序列的长度为m = 2n –1 = 15，
若抽样值为正，则记为“+”； 若抽样值为负，则记为“-”。 将每次抽样所得极性排成序列
这是一个随机序列，它具有如下三个基本性质：
(1)序列中“+”和“-”的出现概率相等。 (2)序列中长度为1的游程约占1/2； 长度为2的游程约占1/4； 长度为3的游程约占 1/8；……。 一般说来，长度为k的游程约占1/2k。 而且在长度为k的游程中， “+”游程和“-”游程约各占一半。 (3)由于白噪声的功率谱密度为常数， 自相关函数为一冲激函数δ(τ)。 由于m序列的均衡性、游程分布和自相关特性与上述随机序列 的基本性质极相似，
T
0 si (t)s j (t)dt 0,i j;i, j 1,2, , M
2.互相关系数
两个码组：x (x1, x2 , , xn ), y ( y1, y2 , , yn )
xi , yi {1,1}, i 1,2, , n
x和y间的互相关系数为
( x,
y)
1 n
n i 1
xi yi ;1
若把其中每一行看作是一个码组，则这些码组也是互相正交的，
整个[H]矩阵就是一种长为n的正交编码，包含n个码组。
7.沃尔什矩阵(Walsh) 将[H]矩阵中行的次序按“+1”和“-1”交变次数的多少重
新排列，得到沃尔什矩阵。
[W
]
其他
5)功率谱密度 信号的自相关函数与功率谱密度构成一对傅里叶变换。
其功率谱密度
Ps ()
2
m m2
1
sin(T0 (T0 /
/ 2m) 2m)
n
2n
T0
1 m2
()
n0
在T0 和m / T0 时，
Ps () 的特性趋于白噪声的功率谱密度特性
6)伪噪声特性 对一正态分布白噪声抽样，
3.自相关系数
x ( j)
1 n
n i 1
xi xi j ;
j
0,1,
, (n 1); xnk
xk
设
x (x1, x2 , x3, x4 ) (1,1,1,1)
x (0)
1 4
4 i 1
x2 i
1
x (1)
1 4
4 i 1
x i
x i1
1 4 (x1 x2
x2 x3
x3x4
x4 x1)
M s M p M r 1110010 0111001 1001011
Ms与Mp向右移位5次的结果相同。
4)自相关函数 自相关函数
R( j) A D A D
AD m
A—该序列与其j次移位序列一个周期中对应元素相同的数目；
D—该序列与其j次移位序列一个周期中对应元素不同的数目； m—该序列的周期。 改写成 R( j) [xi xi j 0]的数目[xi xi j 1]的数目
m
由m序列的迟延相加特性可知，xi xi j 仍为m序列的一个元素，
上式分子就等于m序列一个周期中“0”的数目与“1”的数目之差；
由m序列的均衡性可知，
m序列一周期中“0”的数目比“l”的数目少一个，
R(
j)
1,
1 m
,
j0 j 1,2, , m 1
自相关函数也有周期性，周期也是m;自相关函数是偶函数.
(a3, a2, a1, a0 ) (0,0,0,0)
移位后得到的仍为全“0”状态。 反馈移存器中应避免出现全 “0”状态。
100 110 111 111 011 101 010 101 110 011 001 100 010 001 000 100
0 0 0 1 1 1 1 0 24-1 1 =15 0 1 1 0 0 1 0
M序列它满足m序列的前两个性质 (1)在M序列的一个周期中，出现“0”与“1”的数目相等。 (2)在n级M序列的一个周期中，
游程共有 2n-1个， 其中长度为k的游程占1/2k， 长为n的游程有两个，没有长为(n-1)的游程。 在同长的游程中，"0"游程和"1"游程各占一半。